（信号与信息处理专业论文）基于二次规划的小波模极大值信号重构.pdf

摘要 小波变换是继傅里叶变换后又一个有效的时频分析工具。小波变换在时间- 尺 度平面上表示信号并且具有多分辨分析的特点和良好的时频局部化特性。小波变 换理论已经成功的应用于许多领域，比如信号与图像处理、数据压缩、量子物理 和地震学等领域。本文主要研究了利用信号的小波变换系数重构原信号的方法。 信号的奇异性通常包含了信号的大部分信息，小波变换模极大值可以很好的 反映信号的奇异性。因此，信号的小波变换模极大值包含了信号的大部分信息， 利用信号的小波变换模极大值重构信号一直是小波应用的研究热点。本文提出了 一种利用信号的小波变换模极大值重构信号的方法，将重构信号的问题归结为二 次规划问题，从而实现对原信号的快速准确重构。 二次规划问题是非线性规划中一类特殊的数学优化问题，二次规划的应用领 域也非常广泛，比如管理学、经济学、运筹学、系统分析和组合优化等学科。一 个实际问题如果能够转化为二次规划问题将更容易求解。因此，本文算法基于重 构信号与原信号具有相同的小波变换模极大值的假设，虽然这样的假设不能保证 重构信号与原信号严格相等，但是重构信号可以以较高的精度近似的等于原信号。 通过求解二次规划问题，就可以从小波模极大值中恢复信号。 本文算法包括以下的步骤。首先，对输入的一维信号进行小波变换；其次， 根据小波变换系数寻找小波变换系数模极大值；再次，通过求解带约束的二次规 划问题得到重构信号。同时，本文也提出了二维信号的小波交换模极大值重构的 算法且发现该算法可以用于数据压缩。经实验验证，该算法利用较少的小波模极 大值得到误差较低的重构信号，且该方法比一般的迭代算法的运算复杂度低。 关键词：小波变换奇异性小波变换模极大值二次规划信号重构 a b s t r a c t m w a v e l e t 仃a n s f 0 1 1 1 1i sa n o t h e re f f i c i e n tt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i st o o la f t e rf o u r i e r a n a l y s i s w a v e l e tt r a n s f o r i l l sr e p r e s e n ts i g n a l so nt h et i m e s c a l ep l a n ea n dh a v et h e m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i ss t r u c t u r ea n dg o o dt i m e f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o n w a v e l e t t h e o r yh a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di nm a n yf i e l d s ，s u c h 嬲s i g n a la n di m a g e p r o c e s s i n g ，d a t ac o m p r e s s i o n ，q u a n t u mp h y s i c s ，s e i s m o l o g y ，e t c n i st h e s i si sf o c u s e d o nt h ei n v e s t i g a t i o no ft h ea l g o r i t h m st or e c o n s t r u c ts i g n a l sf r o mt h em o d u l u sm a x i m a o fw a v e l e tt r a n s f o r m s 。 s i n g u l a r i t yc a r r i e sm o s ti n f o r m a t i o no fs i g n a l s t h em o d u l u sm a x i m ao fw a v e l e t t r a n s f o r m sc a l lc h a r a c t e r i z et h es i n g u l a r i t yi ns i g n a l sw e l l t h e r e f o r e ，t h em o d u l u s m a x i m ao ft h ew a v e l e tt r a n s f c r m so fs i g n a l sc a r r ym o s ti n f o r m a t i o no ft h es i g n a l sa n d r e c o n s t r u c t i n gt h es i g n a l sf r o mt h em o d u l u sm a x i m ao ft h ew a v e l e tt r a n s f c i r m s i s a l w a y sah o ts p o ti nw a v e l e ta p p l i c a t i o n s an e wm e t h o d o fs i g n a lr e c o n s t r u c t i o nu s i n g w a v e l e tm o d u l u sm a x i m ai sp r e s e n t e di nt h i st h e s i s s i g n a lr e c o n s t r u c t i o nu s i n gt h e m o d u l u sm a x i m ao fw a v e l e tt r a n s f o r m sb o i l sd o w nt oaq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g p r o b l e m ，w h i c h c a nq u i c k l ya n da c c u r a t e l yr e c o n s t r u c ts i g n a l sf r o mt h em o d u l u s m a x i m ao ft h e i rw a v e l e tt r a n s f o r m s q u a d r a t i cp r o g r a m m i n gi s t h e s i m p l e s ts p e c i a lo p t i m i z a t i o np r o b l e ma m o n g n o n l i n e a rp r o g r a m m i n ga n dh a sb e e nu s e di nm a n yf i e l d s ，s u c ha sm a n a g e m e n t ， e c o n o m i c s ，o p e r a t i o nr e s e a r c h ，s y s t e ma n a l y s i sa n dc o m b i n a t o r i a lo p t i m i z a t i o n w h e n ap r a c t i c a lp r o b l e mi st r a n s f e r r e dt oaq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，i ti se a s i e rt ob es o l v e d f a s t i no u rp r o b l e m ，t h eb a s i ca s s u m p t i o nt h a tt h er e c o n s t r u c t e ds i g n a lh a st h es a m e w a v e l e tm o d u l u sm a x i m aw i t ht h eo r i g i n a ls i g n a li su t i l i z e d t h o u g ht h i sa s s u m p t i o n c a n n o ta s s u r et h a tt h er e c o n s t r u c t e ds i g n a ls t r i c t l ye q u a l st ot h eo r i g i n a ls i g n a l ，t h e r e c o n s t r u c t e ds i g n a lc a na p p r o x i m a t et ot h eo r i g i n a ls i g n a lw i t hv e r yh i g hp r e c i s i o n t h r o u g hs o l v i n gt h ep r o p o s e dq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ，t h eo r i g i n a ls i g n a l c a nb e r e c o n s t r u c t e df r o mt h em o d u l u sm a x i m ao fi t sw a v e l e tt r a n s f o m t h ep r o p o s e da l g o r i t h mi n c l u d e st h ef o l l o w i n gs e v e r a ls t e p s f i r s t ，ao n e d i m e n s i o n a ls i g n a li st r a n s f o r m e di n t ot h ew a v e l e td o m a i n s e c o n d ，t h em o d u l u s m a x i m ao ft h ew a v e l e tt r a n s f c r i l la r ef o u n df r o mw a v e l e tt r a n s f o r mc o e f f i c i e n t s t h i r d ， s i g n a l r e c o n s t r u c t i o ni sc a r r i e do u tb y s o l v i n gaq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gw i t h c o n s t r a i n t s m o r e o v e r ，t h ep r o p o s e da l g o r i t h mi sa l s oe x t e n d e dt ot h et w o d i m e n s i o n a l c a s ea n di st r i e dt oa p p l yt od a t ac o m p r e s s i o n n ee x p e r i m e n t a lr e s u l t st or e a l o n e d i m e n s i o n a ls i g n a l ss h o wt h a tt h er e c o n s t r u c t i o ne r r o ra r ea tv e r yl o wl e v e lw h e na s m a l ln u m b e ro ft h em o d u l u sm a x i m aa r eu s e d i np a r t i c u l a r ，t h ep r o p o s e da l g o r i t h m h a sm u c hs m a l l e rc o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yt h a nt h ec o m m o n l y u s e di t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o nm e t h o d s k e yw o r d s ：w a v e l e t t r a n s f o r m s q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g s i n g u l a r i t y m o d u l u sm a x i m a s i g n a lr e c o n s t r u c t i o n 第一章绪论 第一章绪论弟一早三：酉下匕 1 1 研究背景和意义 传统的信号处理理论是以傅里叶分析为基础的i 。傅里叶分析采用的是一种 全局性的变换，无法反映信号的时频局部特性。在实际应用中，人们开始不断地 改进傅里叶变换，发展了许多新的信号分析理论，包括短时傅里叶变换、g a b o r 变换、时频分析等，也由此产生了小波分析。小波分析是从工程和纯数学领域独 立发展起来的学科，是以调和分析、傅里叶分析、数值分析和泛函等为基础的。 小波分析的应用领域非常广泛，包括应用数学、物理学、计算机科学、信号与图 像处理、地震勘探等。特别是在信号处理领域，它被认为是继傅里叶变换之后又 一个有效的时频方法。 与傅里叶变换相比，小波变换是一个时间尺度的分析方法，在时域和频域都 具有局部性质。小波变换的时间窗和频率窗都可以改变，因此在应用中可以针对 不同的要求使得在不同的频率分量上有不同的频率分辨率和时间分辨率。小波变 换可以利用小波函数将信号分成不同频率分量，并通过变化与尺度相联系的分辨 率对每一个分量进行研刭1 1 ，解决了傅里叶变换不能解决的许多困难问题。 随着小波变换的广泛应用，信号重构也一直是人们关注的研究方向。作为小 波变换的逆问题，信号重构同小波变换一样有着较为广泛的应用，如图像去噪1 2 j 、 边缘检测【3 1 、数据压缩 4 】等。由小波变换的知识可以知道，信号的峰变点和不连 续点反映了信号的奇异性特点，奇异性通常包含了信号的重要信息，而小波变换 的模极大值点可以表述信号的奇异性。如果能够从小波变换模极大值重构信号， 就可以通过改变小波变换模极大值来修改信号的奇异性特征p j 。同时，对于二维 信号而言，例如图像，其奇异性往往表现在图像的边缘结构。多尺度的c a n n y 边 缘检测算子f 3 】就相当于在二维信号的二进小波变换下检测模极大值【5 j 。因此利用 奇异性来重构信号一直是研究的热点1 5 以6 。 1 2 小波系数重构的研究现状 小波变换在许多领域有着较为广泛的应用，所以从信号的小波变换系数来恢 复信号一直是国内外科学家关注的问题。q u ，r o u t h 等人在1 6 j 中提出了种由层数 决定的正惩罚小波变换重构方法，用来重构在噪声下的非均匀采样信号。在该文 章中，作者将重构信号的问题转化为一个罚最d x - 乘问题，再通过l a r s l a s s o 算 法求解该罚最小二乘问题。罚最小二乘问题的两个正则化参数可以通过a i c 来进 行自适应的选择，而自由度可以通过解的非零元素的总数来估计。j i ng u o y i n g 和 c h e nh o n 科e 在文献【刀中的提出了一种基于非可分的多分辨分析( m r a ) d , 波重构 2 基于二次规划的小波模极大值信号重构 方法。作者采用两通道的小波来处理投影数据从而可以直接获得信号的近似小波 系数和细节小波系数。该算法不仅具有与基于可分离的多分辨分析算法相同的局 部重构特性而且具有较好的图像质量和较短的计算时间。在文献【8 】中，l ix i n g m e i 和c h e nl i a n g 提出了一种对不完整信号进行小波重构的方法。作者用差分比较的 方法来自适应的估计损失的信号，并用估计的信号代替丢失的信号来实现信号的 重构。除了上述几种小波变换重构的算法外，还有一类算法是利用信号的奇异性 对信号进行重构1 5 】 1 9 。1 6 】。 从奇异性重构信号的方法主要有两大类：利用过零点重构信号和利用模极大 值重构信号的方法。利用过零点重构信号的方法【1 】主要有以下几种。l o g a n l 9 l - f i - 先证明了可以利用过零点对窄带信号进行重构。然而该重构算法不够稳健，很难 应用于实际问题中。m a l l a t 1 0 j 提出了从过零点表示近似恢复信号的交错投影算法。 在文章中作者指出剧烈变化的点是表现瞬态信号最有意义的特征，小波变换的过 零点能够提供信号在不同尺度下剧烈变化点的位置。文章研究了二进小波变换下 的过零点表示的完备性与稳健性，并提出了交错投影算法来重构信号。该算法从 信号的过零点表示重构信号，重构的信号稳健且重构算法的收敛性快，信号为 个采样值时，每次迭代需要o ( n l 0 9 2 ( ) ) 的运算量。在参考文献【1 1 】中，h u m m e l 和m o n i o t 提出了一种从尺度空间的过零点重构信号的方法。该文献又一次证明了 从过零点和沿着过零点的梯度值重构信号是可行的。该算法通过使得重构等式的 误差最小化从而从尺度空间的过零点重构信号。作者同时也指出了利用过零点表 示信号的一个缺点就是存在冗余。 由于模极大值比过零点有着更好的特性，另一类算法则是利用小波变换系数 的模极大值对原始信号进行重构。在参考文献【1 2 】中，m a l l a t 和z h o n g 提出了用 二进小波模极大值重构信号的交错投影算法。该文章指出多尺度的c a n n y 边缘检 测与寻找小波变换模极大值等价，小波变换模极大值在不同尺度上的传播可以表 达不同的局部不规则结构。采用交错投影算法重构信号的误差比视觉敏感度低。 然而，交错投影算法计算复杂度高，收敛慢，不能应用于实时处理中。m a l l a t 在 参考文献【5 】中又提出了一种用共轭梯度法从二进小波模极大值恢复信号的方法， 该算法在对信号进行重构时需要进行多次迭代，较为复杂。还有一些算法都是在 m a l l a t 的算法的基础上进行改进，从而从模极大值重构信号的。参考文献【1 3 】、 【1 4 】、【1 5 】和【1 6 】都是通过改进m a l l a t 的算法从模极大值重构信号的。 第一章绪论 3 1 3 本文的主要研究内容 本文主要研究了利用小波变换的模极大值近似恢复信号的方法。并对已有的 小波重构算法进行了研究和分析，总结已有算法的优缺点，针对其不完善的地方 进行改进。 本文首先介绍了小波变换的基本理论知识，重点介绍了信号奇异性的衡量方 法以及小波变换模极大值的基本知识。其次，介绍了凸优化问题的理论基础，并 重点介绍了凸优化问题的一类特殊问题，即二次规划问题。再次，本文改进了 m a l l a t 在参考文献【5 】中提出的用共轭梯度法从小波变换模极大值重构信号的方 法，提出了一种基于二次规划的小波模极大值重构的方法。该算法根据信号的小 波变换模极大值能够反映信号的奇异性特征，利用小波模极大值对原始信号进行 重构。在对原始信号进行重构的过程中，通过将重构信号所需满足的条件转化为 二次规划问题来求解，从而得到精确的重构信号。二次规划问题的应用领域非常 广泛，能够将重构信号的问题转化为二次规划问题就能够简化原问题，且可以进 行有效的求解。通过对该算法进行仿真实现并与共轭梯度算法相比较，可以得出 该算法以l o 石级的相对误差近似地恢复信号，比共轭梯度法重构的信号更加精确， 且不需要进行迭代。 1 4 本文的章节安排 本文主要研究了利用信号的小波变换系数模极大值对信号进行重构的方法。 论文的主要章节安排如下： 第一章：主要介绍了对小波变换系数进行重构的研究背景，以及研究现状， 同时，介绍了本文的主要研究内容。 第二章：主要叙述了小波变换的基本理论知识。简要介绍了小波函数、连续 小波变换、离散小波变换以及二进小波变换等知识。重点叙述了刻画信号奇异性 的l i p s c h i t z 指数以及一维信号的小波变换模极大值和二维图像的多尺度边缘。 第三章：主要介绍了凸优化的基本知识。凸优化是数值优化的一类特殊情况， 应用较为广泛。本章简单介绍了凸优化的基本概念，包括凸集、凸函数以及凸优 化问题的标准形式。重点介绍了线性规划、二次规划、几何规划的知识，包括他 们的标准形式以及如何将一个问题转化成为凸优化问题的标准形式，从而进行有 效的求解。 第四章：重点介绍了本文提出的基于二次规划的小波模极大值重构的方法。 信号的奇异性往往包含了信号的重要特征，该方法利用小波变换模极大值反应了 信号的奇异性特征，从小波变换的模极大值中恢复信号。通过将重构信号的问题 4 基于二次规划的小波模极大值信号重构 转化为二次规划问题，从而有效的恢复信号。利用这一算法对信号进行重构，得 到的重构信号比共轭梯度法得到的信号更加精确。同时，又将该算法推广n - 维 信号的情况下，提出了二维信号的小波模极大值重构。 第五章：总结了作者在本论文期间所完成的工作，并对基于二次规划的小波 模极大值重构算法的优缺点进行了总结，提出了进一步的研究方向。 第二章小波变换的理论基础 5 第二章小波变换的理论基础 2 1 引言 小波是从应用数学领域中发展起来的一门学科，近几十年来得到了飞速的发 展【1 7 】。许多科学家，如m o r l e t ，a r e n s ，f o u r g e a u 和g i a r d 掣1 8 j 在小波分析这一领 域取得了令人瞩目的成就i l 刀。小波分析是从工程和纯数学领域独立发展起来的学 科，是以调和分析、傅里叶分析、数值分析和泛函等为基础的1 1 9 】。小波分析的应 用领域非常广泛，包括应用数学、物理学、计算机科学、信号与图像处理、地震 勘探等【2 0 】。 本章将介绍一些小波变换的基础理论知识，为后文所述的利用小波模极大值 对信号进行重构提供了基本的理论依据。本章将先对小变换理论，包括小波函数、 连续小波变换、离散小波变换以及二进小波变换等概念做一简单的介绍。然后会 重点阐述小波变换模极大值，包括信号的正则性与奇异性的衡量方法，以及如何 通过检测小波模极大值来检测信号的奇异性，从而获得信号的重要信息等。 2 2 小波变换理论 小波分析的方法是傅里叶分析方法的延拓，是空间( 时间) 和频率的局部变换， 因而能有效地从信号中提取信息，解决了f o u r i e r 变换不能解决的许多困难问题。 小波变换被誉为数学显微镜，是因为它能在时域和频域都有不同的分辨率，是调 和分析发展史上里程碑式的进展1 2 。 时频分辨率问题是f l t h e i s e n b e r g 不确定准则引起的，并且与所使用的信号分 析方法无关。短时傅里叶变换( s t f t ) 使用的是一个固定的时频分辨率。通过使 用多分辨分析( m r a ) 可以在不同频率下分析一个信号。分辨率的变化可以从下 面的图2 1 中看出1 2 2 j 。 从下图2 1 可以看出，低频存在于信号的整个时间区间，而高频只在一段时 间内出现，这反映了实际问题的情况。小波分析方法实际上是计算信号与小波函 数q ( t ) 之间的互相关。在不同的时间间隔上对信号与分析小波函数之间的相似性 进行独立计算，这就产生了两维的小波变换表示。而分析小波函数少( f ) 被称为母 小波【2 2 1 。 6 基于二次规划的小波模极大值信号重构 2 2 1 小波函数 频 率 时间 图2 1 多分辨时频平面 傅里叶变换是一种时频全局变换，无法表述信号的时频局部性质【2 3 1 。实际在 分析非平稳信号时最关心的就是其时频局部特性，小波变换可以很好的分析非平 稳信号2 2 1 ，因为小波变换在时域和频域都有很好的局部化性质【2 4 1 。 与傅里叶变换相比，小波函数的选择就更加自由，也不需要采用正( 余) 弦函数。 小波函数缈( f ) 是一个很小的波，它以一定的方式变换来区分不同的频率【2 5 1 。小波 函数既包含了分析形状又包含了窗。 一个分析函数少( f ) 要成为小波函数必须满足以下的数学条件【2 6 】： l 、一个小波函数必须具有有限的能量。 e = ii y ( f ) | d t o o ( 2 - 1 ) 能量e 等于分析小波函数妙( f ) 的模平方再积分且必须小于无穷。 2 、如果、王，( w ) 是小波函数少( ，) 的傅里叶变换，那么必须满足下面的条件： f 、p 乙l ，2 土 聊的，那么工在1 ，的邻域就是m 次连续可微的。 如果0 口 l ，那么仇( f ) = x ( v ) 且l i p s e h i t z 条件( 2 一1 3 ) 可以转化为： v t r ，l x ( o - x ( v ) l - x ：l t - v 1 4 ( 2 - 1 4 ) 一个在v 不连续的有界函数在v 处是l i p s c h i t z0 的。如果l i p s c h i t z 正则化在1 ，处是 l i p s c h i t z a 口阶 消失矩的小波： e t 。v ( t ) d t = o ，o 七 刀 ( 2 1 8 ) 一个有玎阶消失矩的小波与刀一1 阶多项式正交。因为口 1 ，多项式仇至少是刀一l 阶的。利用变量替换t = ( f u ) s ，得到： w p v ( u ，s ) ：亡n ( f ) 专( 坐) d t ：o ( 2 1 9 ) 因为x = a + 毛，所以 w x ( u ，s ) = e , e v ( u ，j )( 2 2 0 ) 下面的定理2 1 证明了一个具有刀阶消失矩的小波可以写成函数0 的刀阶导 数，小波变换的结果是一个多尺度微分算子。假设小波函数沙的衰减是快速的， 即对任意的衰减指数m n 存在c 册为常数使得 v t e r , 帅l 寺 ( 2 。2 1 ) 定理2 1 ：小波函数少具有刀阶消失矩且是快速衰减的， 减的函数0 ，使得： 纰) _ ( - 1 ) ”华 从而， 当且仅当存在快速衰 ( 2 - 2 2 ) 胍( ”) = ，斋( x 木巧) ( 甜) ( 2 - 2 3 ) 其中，瓦( f ) _ = s - 1 1 2 0 ( 一f j ) 。而且，当且仅当e 口o ) 衍o 时，y 具有小于等于疗阶 的消失矩。 第二章小波变换的理论基础 如果k = 6 ( t ) d t 0 ，那么卷积x 奉瓦( f ) 可以表示为x 与一个伸缩尺度为s 的 核的加权平均。所以式( 2 - 2 3 ) 证明了w x ( u ，s ) 是一个石在一个与s 成比例的区域上 的平均的r i 阶导数。因为0 有着快速的衰减，我们可以证明： 脚忑1 吃- = k 8 ( 2 - 2 4 ) 其中，万是d i r a c 函数，经常被用作将实变量的函数转化为离散序列，与万做符号 运算可以不用担心收敛性问题且简化了计算量【1 8 j z 。这就意味着，对于任意在甜点 连续的，存在： 蛳掌老瓦( “) = 删( “) 如果x 在u 的邻域内是”次连续可微的，那么式( 2 - 2 3 ) 表明： 1 删i mw x ( u w , s ) 一l 圳i r a 舢击砸) = 础b ) ( 2 - 2 5 ) 特别的，如果x 是刀阶导数有界的c ”，那么i 夥( 甜，s ) i = d o 肿1 彪) 。这是i 耽( 甜，s ) i 的 衰减性与x 的一致正则性之间的第一个关系。下面还会介绍其他的关系。 小波变换幅值沿着尺度的衰减与信号的一致的逐点l i p s c h i t z 正则性相关。衡 量渐进衰减性相当于用一个趋于0 的尺度来聚焦信号。假设小波缈具有行阶消失 矩且是c ”，而且其导数是快速衰减的，那么，对于任意的o k5 胛和m n 存在c 肼 使得： v t e r , ) i 0 ， 使得： v ( u ，s ) 【口，6 】r + ，1 w x ( u ，s ) l - - o 使得在甜【口，b 】和s ：寻厂；：妥c o s g ，- i - 里s m ( 2 - 3 1 ) a 刀 瞒o x 2 当寸厂与二平行时，上面的偏导数的绝对值最大。这就说明了，v f ( x ) 与平面f ( x ) 的变化最大的方向平行。如果l 寻厂( x ) l 在x ：y 处沿着x = y + 五号( y ) 且当h 足够 小时是局部最大的，则将点y il l i 2 定义为边缘点。也就是说，当x 沿着厂在y 上 的最大变化方向在y 的一维邻域变化，厂的偏导数在x = y 处达到局部最大。这些 边缘点就是厂的拐点。下面介绍一下多尺度边缘检测。 一个多尺度的边缘检测算子可以通过用核函数o ( x ) 的伸缩做卷积来磨光平 面实现。通过与两个小波函数作用，这两个小波函数是0 的偏导数： 少1 ：一i 0 0 ，2 ：一i 0 0 ( 2 - 3 2 )少1 = 一i ，= 一摹 c lc 2 尺度随着二进序列 ) ，e z 变化，以此来限制计算量和数据存储量。当l 七2 ， x = “，x 2 ) ，我们表示 蟛( 五，毪) = 吉y 唔，( 2 - 3 3 ) 并且以( x ) = 以( 一x ) 。 在l k 2 标记的两个方向，厂r ( 碾2 ) 在”= 。，) 处的小波变换为： 厂( 甜，2 7 ) = ( 厂( 曲，蟛 一“) ) = 厂木成( “) ( 2 - 3 4 ) 记色，( x ) = 2 - 。0 ( 2 7 x ) ，分z ，( x ) = 嚷，( 一x ) ，那么两个尺度小波可以改写为： f f ：s = 2 so o z j 一，并且2 7 z = 2 so 0 2 s - ( 2 - 3 5 ) 从( 2 3 4 ) 式我们可以得到小波变换的分量与用多z ，磨光的的梯度向量成比例： r 形1 m ，2 ：2 ， l 形2 厂( 材，2 7 ) j 昙( 厂木旁：从“) 硎1 三u 宰爹：伙“) 斗 一 = 2 7 v ( f * 0 2 j ) ( “) ( 2 - 3 6 ) 这一梯度向量的模与小波变换的模垂直： m r ( 啦忙痧石开万瓦可( 2 - 3 7 ) 令g f ( u ，2 j ) 是小波变换向量( 2 - 3 6 ) 在平面( 五，吒) 的角度： 1 4 基于二次规划的小波模极大值信号重构 a f ( u , 2 j ) - i a ( u 嘶) ) ，旒f2 篇0 ( 2 - 3 8 ) l 万+ 口( 甜) ，1 ( ”，) 0 ) 就称作s 次优化的，并且所有占 次优化的点称作问题( 3 - 6 ) 的占一次优化集合。 我们称一个可行点z 是局部优化的，当r 0 时满足： ( x ) = i n f f o ( z ) i ，( z ) 0 ，f _ l ，m ， 忍( z ) = 0 ，i = 1 ”p ，i i z - x l l ：r ) 或者说x 为如下的变量为z 的优化问题的解： m i n 石( z ) z ( z ) o i - - 1 , ，m s t 磊国- - o , i - - 1 , ，p 畛一习i ：尺 严格的讲，这意味着x 使得五在可行集合的邻域点最小。 基于二次规划的小波模极大值信号重构 如果x 是可行的并且z ( 功= 0 ，那么我们称第f 个不等式条件z ( x ) o 在x 是 有效的。如果z ( x ) o 。这个优化问题也可以转化成为标准的最小二乘问题。增加的项p # f = l 削弱了变量x 中较大的值，所求的解比只使第