（电气工程专业论文）混沌系统的控制与同步及其在保密通信中的应用.pdf

摘要 摘要 混沌运动是一种确定性的非线性运动，它运动轨迹非常复杂但又不完全随机， 在实际的系统中可以观察到混沌运动的存在。关于混沌的研究从早期的混沌发现， 到今天主要是混沌的控制和应用。当混沌现象对电气和电子等系统产生危害时， 需要对它进行控制。同时，混沌信号具有遍历性、非周期、连续宽带频谱、似噪 声的特性，特别适合于保密通信和图像加密领域。混沌运动的动力学特性也可用 来描述和量化许多复杂现象。混沌系统和混沌现象的复杂性和奇异性以及广阔的 潜在应用价值，使得混沌控制和应用的研究具有挑战性，也使得这。领域的研究 和发展成为当代相关学科的研究热点。 本论文的内容主要侧重于混沌动力学系统的控制和同步以及在保密通信中的 应用研究。针对混沌系统，采用基于李雅普诺夫指数和开闭环控制实现了连续和 离散混沌系统的控制。在混沌同步尤其是超混沌系统同步方面，研究了线性反馈 控制以及基于观测器设计的方法。在分析当前混沌通信研究的基础上，对混沌保 密通信进行了仿真研究，实现了提出的同步方法在保密通信中的应用，并在硬件 上进行实验。 本论文所作的工作包括以下几部分内容。 1 基于李雅普诺夫指数的混沌控制的研究。提出了通过改变离散混沌系统的 李雅普诺夫指数对离散混沌系统进行控制的一种方法。施加控制后，系统的李雅 普诺夫指数可以按需要配置为负值，从而能使系统收敛到任意的期望点上。仿真 和实验结果表明，该控制方法是有效的，可以实现系统的快速稳定。 2 采用开闭环方法研究了混沌控制方法。充分应用开环控制和闭环控制的优 点，针对不确定参数下的离散混沌系统，提出了开闭环控制应该满足的假设条件。 针对系统参数不能直接测量的系统，提出了参数自适应开闭环控制方法，证明了 在参数满足假设条件下可以实现控制。在原有的开闭环控制基础上提出了参数自 适应开闭环控制，对系统控制分析证明这种方法具有很强鲁棒性。 3 对基于反馈控制的同步方法进行了系统研究。分析了单向和双向反馈控制 目前研究的状况，并分别提出了一种单向反馈和双向反馈的混沌同步方法。针对 超混沌系统，应用李雅普诺夫稳定性理论和非线性近似方法，提出了一种单向耦 合反馈控制策略，实现了超混沌系统的同步。在此控制下，加入参数自适应策略， 可以实现不确定参数的混沌同步。在研究双向耦合同步的基础上，提出了时间延 迟双向耦合混沌同步方法，研究了耦合系数的设计问题，应用李雅普诺夫稳定性 理论给出了一般意义上的同步条件，通过求解鼬c c a t i 方程得到混沌系统实现同步 的参数范围。在给定的控制参数范围内，可以实现系统的同步和控制。通过改变 控制信号的延迟时间，可以控制混沌系统的收敛轨道，系统能被镇定到不稳定不 动点和周期轨道上。 4 基于观测器设计的不确定超混沌系统的同步控制理论研究。进一步研究了 浙江大学博士学位论文 基于观测器设计的混沌同步控制理论，在此基础上，提出了两种分别针对离散和 连续系统的基于状态观测器的超混沌同步方法。第一种方法针对一类离散超混沌 系统提出在不确定参数下基于观测器的同步方法，给出了增益矩阵和参数自适应 策略。针对广义h 6 n o n 系统，进行了同步仿真及其在通信中的应用，结果表明方 法的有效性。第二种方法针对具有满足l i p s 出t z 条件的非线性函数的混沌系统， 应用李雅普诺夫稳定性理论，推导了系统同步的控制参数条件，并转化为求解l m i 不等式，并能实现不确定参数混沌系统的同步。 5 对混沌同步理论应用于通信的三种主要方法：混沌掩盖，混沌键控和混沌 调制进行理论分析，介绍了混沌同步理论在保密通信中的研究进展，指出了混沌 同步保密通信中存在的若干问题并对混沌同步理论在保密通信中的应用进行了展 望。采用论文提出的方法以超混沌实现图像和声音信号的保密通信，并针对该方 法给出了它的硬件设计。 关键词：混沌控制混沌同步混沌保密通信不确定参数开闭环李雅普诺夫 指数状态反馈状态观测器 浙江大学博士论文 a b s t l r a c t c h 舐cm a t i o ni sac o n l p k xn o i l l i n e a rm o t i o n ，w h o s en 两e c t o 叮o f t h eo r b i t si nt l l e p h a s ep l 锄ei sv c r yc o m p l c xb mn o ts t o c h a s t i c 1 1 1 ec h a o t i cp h e n o m e n o nh a v eb e e n o b s e r v e di nal o to f 坞a 王s y s 蛐sa n dt h er e s e 甜c h0 nc h a 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随着时间的推移，混沌学成为了一门覆盖面广、跨学科大、综合性强的学科。在 未来的科学研究中可以预见其必将对人类生活产生深远的影响。 真正发现混沌的第一位学者是法国伟大的数学、物理学家h p i o n c a r c ，他在 研究天体力学时。特别是在研究三体问题时发现了混沌现象。他以太阳系的三体 运动为背景，证明了周期轨道的存在。在详细研究周期轨道附近流的结构时，发 现在双曲点附近存在着无限复杂精细的“栅栏结构”。他发现了三体引力相互作 用能产生惊人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见性，这就是人 们现在所说的动力学混沌现象。当h p i o n c a r e 意识到当时数学水平不足以解决天 体力学的复杂问题时，就着力于发展新的数学工具。他与l y 印l n l o v 奠定了微分 方程定性理论的基础，为现代动力学理论贡献了一系列的重要概念，如动力系统、 奇异点、极限环、稳定性、分岔、同宿、异宿等。同时他还提供了许多有效的方 法和工具，如小参数展开发、摄动方法、h p o i n c a r e 截面法等。他所创立的组合 拓扑学是当今研究混沌学必不可少的工具之一，现代动力系统理论的几个重要组 成部分，如稳定性理论、分岔理论、奇异性理论和吸引子理论等，都源于h p i o n c a r e 的早期研究。这一系列的数学成就对以后混沌学的建立有着广泛而深刻地影响。 他在科学的价值一书中提出了h p i o n c a r c 猜想，对后人的影响很大，猜想的 命题是：与疗维球具有相同伦型的紧致盯维流型必同胚与行维球，这个命题实际 上已经蕴含了确定性系统具有内在的随机性这一混沌现象的重要特性。 在h p o i n c a r e 之后，一大批数学家和物理学家所作的出色工作为混沌理论的 建立提供了宝贵的知识积累。特别是g d b i 趟1 0 f f 于1 9 1 7 年至1 9 3 2 年间在动力 学系统研究中发表的一系列的论著，他在h a i i l i l t o n 微分方程组的正则型求解及不 变环面的残存等问题上，在对不可积系统的轨道特征、遍历理论方面都有重要贡 献。他在研究有耗散的平面环的扭曲映射时发现了一种极其复杂的“奇异曲线”， 这实际上是混沌中的一种奇异吸引子。 浙扛大学博士学位论文 早期混沌研究的一个重要阶段是h p i o n c a r e 把拓扑动力学的思想推广应用于 耗散系统。最早的工作进展是在电工学领域。1 9 1 8 年，g d i l 伍n g 对具有非线性 恢复力项的受迫振子系统进行了研究，提示出了许多非线性振动的奇妙现象，建 立了标准化的动力学方程- d u 伍n g 方程。1 9 2 7 年荷兰物理学家b v 锄d 唧o l 在 研究三相复振荡器时，建立了著名的v a 【1 1 d e r p o l 方程。早期的混沌探索的另一个 突出的成果是在生态领域，经过数代人的努力，提炼出了l o 酉s t i c 方程： x = ( 1 一z 。)( 1 1 ) 这就是描述生物种群系统演化的典型模型，常称为虫口模型。 到二十世纪五六十年代，混沌理论的研究发生了两个重大突破。 第一个重大突破发生在以保守系统为研究对象的天体力学领域，k a m 定理 被公认为研究创建混沌学理论的历史性标记。前苏联概率论大师a n k o l m o g o r o v 是以概率论的基本概念、概率论的解析方法等名著奠定了现代概率论的基 础；他建立了现代拓扑学主要分支的同调理论，掌握了对混沌学研究极具重要价 值的拓扑学方法；在湍流研究中提出了著名的k o l l n o g o r o v 三分之二定理；在遍 历理论方面引入了测度熵概念，成功地解决了流的同构问题；在复杂性问题的探 索中，把复杂性和随机性概念在算法理论的基础上统一了起来。放他具备了突破 描述保守系统复杂性行为所必需的一切必要的知识基础。他研究了解析h a i n i l t o n 系统的椭圆周期轨道的分类，发现了一类充分接近可积h a m i i t o n 系统的不可积系 统，对此系统若把不可积当作可积h a r n i l t o n 函数的扰动来处理，则在小扰动条件 下，系统运动图像与可积系统基本一致：扰动足够大时，系统图像就发生性质改 变，成了混沌系统。该发现为如下结论奠定了理论基础，即不仅耗散系统有混沌， 保守系统也有混沌。1 9 6 3 年，l 幻1 i n o g o r o v 学生v i a m o l d 对此作了严格的数学证 明，差不多在同一时间，瑞士数学家j m o s e r 对此给出了改进表述，并独立地作 出了数学证明。k a m 定理就是以他们三人名字的首位字母命名的，这是一个多 世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统所取得的成功结果。 混沌学研究的第二个重大突破发生在遍布于现实世界的耗散系统。对此作出 杰出贡献的学者是美国气象学家l 0 r c n z 。1 9 6 2 年，b s a l t a m 柚通过简化流体对流 模型得到了一完全确定的三阶常微分方程组。当时，l o d e l l z 把它作为大气对流模 型，用计算机作数值计算，观察这个系统的演化行为。在计算观察中，确实看到 了这个确定性系统的规则行为，同时也发现了同一系统在某些条件下可出现非周 期的无规则的行为，这是与当时气象界的权威观点相矛盾的，但却与l o r e i i z 的经 验和直觉相吻合，因为长期的天气预报确实始终没有成功过，这就是著名的“蝴 蝶效应”。1 9 6 3 年发表了著名论文确定性非周期流川，以后又陆续发表了3 篇论文。这组论文是混沌的第二个突破，他提出了一系列混沌运动的基本特征， 如确定性非周期性、对初值的敏感依赖性、长期行为的不可预测性和第一个奇怪 吸引子i ，o r e l l z 吸引子。为耗散系统中混沌研究开辟了道路。 混沌学研究的世界性热潮的到来是以数学家和物理学家分离几十年后在7 0 年代初重新结合为标志的。3 0 年代数学家和物理学家的分离，让出了数学积累的 绪论 时间。这期间，在数学的抽象思维中、拓扑学、泛函分析、整体分析、微分几何、 微分流形等分支迅速发展起来。分析学和概率论的建立、遍历理论的进展、分形 几何的问世，都直接或间接地为混沌的研究提供了有力的数学工具。微分动力学 系统理论、非线性及平衡态热力学相变临界理论、系统科学等多个科学领域的理 论使混沌学研究获得了强大的活力，并引起了世界性的研究热潮。 1 9 7 1 年，法国的数学物理学家d r l l e l l e 和荷兰f 诎e 璐联名发表了著名论文 论湍流的本质，在学术界第一个提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点。 他们通过严密的数学分折，独立的发现了动力学系统存在一套特别复杂的新吸引 子，并描述了它们的几何特征，证明与这种吸引子有关的运动即为混沌。发现了 第一个通向混沌的道路，并命名这类新型吸引子为奇怪吸引子，确立了他们在混 沌学发展史上的显赫地位。作为杰出代表的r m a y 在1 9 7 1 年开始从研究理论物 理转向研究生物学，他用数值计算研究虫口模型，既看到了规则的周期倍分岔现 象，又看到了不规则的“奇怪现象”，同时还发现随机运动中会出现稳定的周期 运动。 1 9 7 5 年，正在美国马里兰大学攻读博士学位的华人李天岩和他的导师j y 0 r k e 联名发表了一片震动整个学术界的论文周期3 蕴含混淹( 3 j 。基本恩想是y o r l 受l o r e l l z l 9 6 3 年论文的启发而得，李天岩给出了具体的证明，这就是著名的 l i y 0 r l c e 定理。此定理描述了混沌的数学特征，为以后一系列的研究开辟了方向。 l i y 0 r l 还率先引入了“混沌”( c h a o s ) 一词，为这一新兴领域确定了一个中心概 念，为各学科研究混沌现象树立起了一面统一的旗帜。l i y 0 r k e 定理使r m a y 理 解了他在l o g i s t i c 方程中发现的奇异现象，他总结和阐述了一个基本事实：简单 的确定性非线性差分方程可以产生出从平衡态到周期态再到混沌的整个动力学 行为。1 9 7 6 年，r m a y 发表了题为具有复杂动力学过程的简单数学模型的综 述文章，考察了混沌区的精细结构，绘制了分岔轮廓图，汇集了敏感函数、周期 窗口、树枝分岔、切分岔、基本动力学单元、不动点谐波等混沌学词汇。 混沌学研究的又位功臣是分形学的创始人法国数学家b m a i l d e l b r o t 。混沌 运动在相空间的复杂图像表明传统的几何学的局限，需要创造新的几何工具。 1 9 7 3 年，b m a i l d e l b r o t 正式提出了分形几何的概念，相继出版了分形对象一一 形、机遇和维数等专著，奠定了分形研究的基础。1 9 7 6 年，年轻的m a n d e l b r o t 在美国科学杂志上提出了“英国的海岸线有多长? ”，回答是“不确定的”， 它取决于测量时所用的尺度。m a l l d e l b m t 的工作为探索种种不规则的回转曲折的 相空间提供了理想的工具，有力地推动了混沌的研究走向高潮。7 0 年代，美国物 理学家m j f c i g e n b a u n n 以其杰出的研究成果为混沌跻身于现代科学打下了基础。 在他的论文一类非线性变换的定量的普适性中，他发现了倍周期分岔过程中 分岔间距的几何收敛性，并发现收敛速率即每次缩小的倍数为4 6 6 9 2 ，这就是 著名的f e i g e n b a u 玎n 常数。他建立了关于一维映射混沌现象的普适理论，发现了 尺度变换的方法，给出了一条走向混沌的具体道路，把混沌学研究从定性分析推 到了定量计算阶段，成为混沌学研究的个重要里程碑。 浙江大学博士学位论文 1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利召开，标志着混沌科学的正式诞生。 大会主持人之一物理学家j f o r d 认为混沌是二十世纪物理学的第三次革命，与前 两次革命相似，混沌学也与相对论和量子力学一样冲破了牛顿力学的教规。他说 陬j ：“相对论消除了关于绝对空间与时间的幻想；量子力学消除了可控测量的牛 顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论是可预测性的幻想”。 2 0 世纪8 0 年代以来，已有一万多篇混沌研究的论文发表，还有5 0 0 多部专 著和文集出版。混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象和基本课题、独特 的概念体系和方法框架的新学科，与几乎所有的自然学科交叉，并向工程领域和 社会经济领域渗透，形成蓬勃的发展态判3 3 1 。 2 0 世纪9 0 年代以来，国际上混沌同步及控制的研究已取得了实质性的进展， 混沌学出现了应用的契机，其主要标志是1 9 9 0 年美国马里兰大学的物理学家o t t 、 g r e b 0 画和y 0 k r e 提出了混沌控制方法。同年，美国海军实验室的p c c o r a 、c 姗l l f 7 】 发现了电路中的混沌自同步现象，以及d i 牡0 等在一个磁弹性体实验室中首次实 现了周期一的稳定控制。其后，国际上形成了混沌控制的研究热潮，特别是掀起 了混沌在保密通信中的应用研究热潮。混沌控制及混沌同步的突破性进展激发了 理论与实验应用研究的蓬勃发展，使混沌的可能应用出现了曙光，以至于各国的 军事研究部门及大学机构均有学者竞相参与研究，不断提出新的控制及同步方法 和新的保密通信方案。更因混沌控制和同步可能在今后高科技领域中有潜在的应 用可能，从而国际上出现了激烈竞争的发展趋势。 混沌控制及其应用虽然已进行了大量的研究，但目前人们对混沌的控制还进 行进一步的研究，尤其是同步及其应用还有许多研究要做。 1 2 混沌动力学系统 1 2 1 混沌动力学系统定义 一个决定论动力学系统是系统按照某一确定性规则随时间改变的系统。定义 系统状态的变量数拧称为相空间维数。对于一般意义下的微分方程初始值问题， 则必须满足一定的条件才有方程解的存在性和唯一性。但动力学系统。从物理的 观点看，其描述方程毫无疑问是有解的，并且对于给定的初始条件，解是唯一的。 而一个动力系统，若其基本力学量的运动由非线性方程描述，则称作非线性动力 学系统。按照变化规则是否关于时间连续，动力学系统可以分为连续系统和离散 系统。 连续动力学系统有n 维微分方程组表示： i ( r ) 2 厂( x ( 帅) ( 1 r 2 ) 其中x ( r ) r ”是肛维欧氏空间的一个矢量，表示连续时间，时刻的状态。设q r 一 是n 维空间的一个开子集，对于任意初始条件x ( o ) = z 。q ，可以得到有矢量场 ，：q 月”生成的一个n 维空间中的流或相轨迹 x ( f ) = m ( 蜀，f ) ，( 爿o ，f 。) = x o( 1 3 1 4 绪论 连续动力学系统( 1 2 ) 的矢量场厂不显含时间r ，称为自冶系统。若矢量场，显含时 间f ，称为非自冶系统。 1 2 2 混沌系统的几个概念和特征 1 相空间( p h a s es p a c e ) 在连续动力学系统中，用一组一阶微分方程描述方程运动，以状态变量( 或 状态矢量) 为坐标轴的空间构成系统的相空间，系统的一个状态用相空间的一个 点表示，通过该点有唯一的一条积分曲线。 2 混沌( c h a o s ) 如果满映射厂：，j ，满足下述条件，则称映射厂为混沌的。 ( 1 ) 厂具有初值敏感性； ( 2 ) ，为拓扑可迁的； ( 3 ) 厂在定义域上周期轨道稠密。 由上述定义可知，混沌系统具有初值敏感性所以它是不可长期预测的，由于 混沌系统具有拓扑可迁性，所以它不可分为两个互相关的子系统，尽管混沌系统 宏观上表现为类随机系统的现象，但由于其具有稠密的周期轨道，因此其内部仍 存在有规律的成分。 3 超混沌 具有两个或两个以上正的l y 印q n o v 指数的高维动力系统所表现出的混沌现 象。 4 不动点( f i x e dp o i n t ) 又口q 平衡点( e q l l i l i m 啪p o i n t ) 。在连续动力系统中，相空间中有一点，若 满足当f 寸时，轨迹x ( f ) 一，则称为不动点。 5 流形( m a l l i f o l d ) 相空间的一个子空间。凡是具有初始条件的解位于此予空间中者，在微分或 差分方程作用下，这个解仍在此子空间中。这个子空间就叫做流形。 6 分岔( b i 矗盯c a t i o n ) 指的是长时间动力学运动的类型在某个参数或某组参数发生变化时也发生 变化。例如，对一根杆施加横向压力。杆发生弯曲由一个平衡态变成两个稳 定的平衡态。这个参数或这组参数称为分岔点，在分岔点处参数的微小变化会产 生不同的动力学特性。因此在分岔点处系统是不稳定的。 7 奇怪吸引子( s 啪l i l g e a t 仃a c t o r ) 吸引子( a t t a r a c o r ) 指相空间的一个点集或一个子空间，随着时间的流逝在 暂态消亡之后所有轨迹线都趋向于它，吸引子是稳定的不动点。奇怪吸引子又称 混沌吸引子，指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行，此吸引子 不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分数维的吸引子。 著名气象学家l o r e n z 于1 9 6 3 年在研究对流试验的时候得到了第一奇异吸引 子动力学系统： 浙江大学博士学位论文 f j = 一占( 工一y ) 户= 啊一y 一船( 1 4 ) 【j = w k 上面的这个动力学方程的研究发表在气象科学杂志上，但到了1 9 7 3 年 后才逐步引起大家的注意，这是混沌学中最著名的奇异吸引子，此后人们又在这 个奇异吸引予的基础上发现了更多的奇异吸引子。 在图1 1 中显示了不同角度下l o r e i l z 奇异吸引子的图像，动力系统的参数 占= 1 0 ，r = 2 8 ，6 = 8 ，3 。图中反映的三个系统状态都是不稳定的，当一个状态 作放大运动而不断振荡，系统状态达到一定值后，开始转入另一个不稳定的状态。 这种变化不断交替进行。实际上系统状态在两个不稳定平衡状态中反复振荡，保 持了一种奇异的平衡。 在动力学的耗散系统，当时间，一o 。时，就趋向某种稳定的模态。在相空间 中，运动轨迹便趋向某条稳定轨道，称之为“吸引子”。吸引子是一个系统的收 敛性表现，根据对行为运动范围的控制和限制，可以把吸引子分为三种不同的类 型：吸引不动点、极限环( 1 砌tc y c l e ) 和奇异吸引子( 也称混沌吸引子或l o r e l l z 吸引子) 。人们比较熟悉的吸引子是不动点和极限环，吸引不动点是将系统的行 为收敛为一个静态的平衡点；极限环收敛为一个周期性的行为：而奇异吸引子则 趋向不同于前二者的收敛行为，它具有： ( a ) 稳定性代表在有扰动的环境中动力学系统的最终状态； ( b ) 低维性是在相空间中只有很少自由度的一条轨道； ( c ) 非周期性轨道永远不相交。它具有全局和局部的自相似结构。 ( a ) 奇异吸引子( x ，j ，) 平面图 ( b ) 奇异吸引子( x ，= ) 平面图 ( c ) 奇异吸引子 ，z ) 平面图( d ) 奇异吸引子( 墨j ，z ) 平面图 图1 1l o r e n z 奇怪吸引子 这里看到的l o r e n z 奇异吸引子在不同角度的变化图。在众多混沌系统中有着 很多类似l o r c i l z 系统的奇异吸引子，例如d u 伍n g 混沌系统和c h i l a 混沌系统等 等系统。作为混沌系统的特征，奇异吸引子是一个很重要的判断混沌存在的手段。 1 3 混沌控制与同步综述 混沌的控制与同步是既有紧密联系又有一定区别的两大部分，但同属于一个 课题的研究范畴f 8 0 】【8 l 】，从方法、策略及技术都有一定的相似性，可以相互借鉴和 促进。为了更清晰的阐述控制和同步的研究成果，我们分开来描述。 1 3 1 混沌控制综述 1 9 6 3 年l o r e i l z 在分析气侯数据时发现：初值十分接近的两条曲线的最终结果 会相差很大，从而获得了混沌的第一个例子，揭开了混沌研究的序幕，但到8 0 年代末，混沌的研究更多的停留在数学和物理学上，人们不断地发现新的混沌奇 异特性，通过对各种混沌现象产生的机理的研究，不断加深和统一了对混沌的理 解。同时，也逐渐认识到混沌运动对一些系统带来的危害，如混沌运动会使机电 系统或电路产生不规则的振荡，导致系统运动完全偏离目标，一些混沌甚至会给 系统带来灾难性的后果。因此在某些实际系统中，控制混沌是非常重要的。