（基础数学专业论文）模糊随机变量的收敛性.pdf

摘要 本文以模糊随机理论为基础，讨论了模糊随机变量序列的有关收敛性问题首 先，提出了几类模糊随机变量序列的收敛性概念，包括：必然收敛、几乎必然收敛、 一致收敛、几乎必然一致收敛、近一致收敛、依机会测度收敛以及与以上概念相对 应的弱收敛；其次，讨论了收敛性之间的关系；最后我们设计了模糊随机模拟算法， 用于计算模糊随机事件的平均机会，寻找收益函数的乐观值，以及估计模糊随机变 量的期望值 本文的创新点为 提出了模糊随机变量序列的有关收敛性的定义 讨论了某些模糊随机变量序列收敛性之间的关系 设计了模糊随机模拟算法 关键词模糊随机变量；平均机会；收敛性；收敛关系；模糊随机模拟 a b s t r a c t b a s e do nf u z z yr a n d o mt h e o r y , t h i st h e s i sd i s c u s s e st h ei s s u eo ft h e c o n v e r g e n c e f o rs e q u e n c eo ff u z z yr a n d o mv a r i a b l e s f i r s t ，w ep r e s e n t , v a r i o u sn e w c o n v e r g e n c e c o n c e p t sf o rs e q u e n c eo ff u z z yr a n d o mv a r i a b l e s ，i n c l u d i n gc o n v e r g e n c es n r e ，c o n v e r - g e n c ea l m o s ts u r e ，u n i f o r mc o n v e r g e n c e ，u n i f o r mc o n v e r g e n c em m o s ts u r e ，a l m o s t u n i f o r mc o n v e r g e n c e ，c o n v e r g e n c ei nc h a n c em e a s u r e ，a n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gw e a k c o n v e r g e n c e s e c o n d ，t h er e l a t i o n sa m o n gs o m et y p e so fc o n v e r g e n c ea r es t u d i e d f i n a l l y , w ed e s i g ns o m ea l g o r i t h m sa b o u tf u z z yr a n d o ms i m u l a t i o n st oc o m p u t et h e m e a nc h a n c eo ff u z z yr a n d o me v e n t ，f i n dt h eo p t i m i s t i cv a l u eo fa r e t u r nf u n c t i o n ， a n de v a l u a t et h ee x p e c t e dv a l u eo fa f u z z yr a n d o mv a r i a b l e t h em a j o rn e wr e s u l t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s s o m en e wc o n v e r g e n c ec o n c e p t sf o r s e q u e n c eo ff u z z yr a n d o mv a r i a b l e sa r e p r e s e n t e d ； t h er e l a t i o n sa m o n gs o m et y p e so fc o n v e r g e n c ea r es t u d i e d s o m ea l g o r i t h m sa b o u tf u z z yr a n d o ms i m u l a t i o n s & r ed e s i g n e d k e y w o r d sf u z z yr a n d o mv a r i a b l e ；m e a nc h a n c e ；c o n v e r g e n c e ；c o n v e r g e n c er e l a t i o n ；f u z z yr a n d o ms i m u l a t i o n i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机 构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均己在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 越夔望日期：丘年么月卫同 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月同解密后适用本授权声明。 2 、不保密。 ( 请在以上相应方格内打“4 ”) 作者签名： 导师签名： 盘夔望 麴盔垒 日期：吐年厶月鱼r 日期：! 皇年丘月f 旦f 1 第1 章引言 1 1 模糊随机理论的发展 现实生活中存在着大量的不确定性现象，通常我们把这些不确定性分为三类： 随机性、模糊性和粗糙性，人们对不确定性现象的研究是从随机现象开始的，这种 现象从表面上看，杂乱无章、没有什么规律，但实践证明，如果同类的随机现象大 量重复出现，它的总体就会呈现出一定的规律性比如掷硬币，每一次投掷很难判 断是哪一面朝上，但是如果多次重复的掷这枚硬币，就会越来越清楚的发现正反面 朝上的次数大体相同在客观世界中，随机现象大量存在，对这种现象的研究也成 为必然趋势，以随机现象为研究对象的概率论就是这样发展起来了概率论已经大 量应用到了国民经济、工农业生产及各学科领域 所谓模糊现象，是指客观事物之间难以用分明的界限加以区分的状态，它产生 于人们对客观事物的识别和分类，并反映在概念之中例如，高与矮、美与丑、胖 与瘦、年轻与年老等等因此以模糊现象为研究对象的新兴学科也就应运面生了， 这就是由美国控制论专家z a d e h 1 , 2 1 所创立的模糊数学，这门学科自创立以来发展 迅速1 3 _ 6 】，并已应用到了模糊优化问题中m 】，目前这门学科已涉及应用数学、自 然科学、人文科学和管理科学等方面，在图象识别、人工智能、自动控制、信息处 理、经济学、心理学、社会学、生态学、语言学、管理科学、医疗诊断、哲学研究 等领域中，都得到了广泛的应用 粗糙集理论是建立在以粗糖巨现象为基础的一种刻划不完整性和不确定性的数 学工具，是由波兰学者p a w l a k 【。】在1 9 8 2 年提出的，目前这一理论已成为人工智能 领域中一个较新的学术热点，引起了越来越多的科研人员的关注 事实上，在很多情况下，不是某一个单一的不确定性现象发生，而是几种不确定 性同时起作用，使得任何一种单一的不确定性理论都无法解决这类问题双重不确 定性问题在现实生活中普遍存在，一对双重不确定性理论的研究也势在必行目前， 已经有许多学者对这类现象进行了研究模糊随机现象作为双重不确定性现象的一 种，对它的研究也必然有着重要的意义模糊随机现象是随机性与模糊性同时并存 一1 一 ， 堡i l 奎耋堡童堡圭耋堡垒耋：一! 一! 一! ，! ，一 的一种现象，而模糊随机理论也正是基于对这种现象的研究而发展起来的 自1 9 7 8 年k w a k e r n a a k 1 0 首次绐出模糊随机变量的定义之后，模糊随机现象 也越来越引起研究者的关注p u r l 和r a l e s c u ，k r u s e 和m e y e r ，l s p e z - d i a z 和g i 1 3 、以及l i u 和l i u 叫曾先后根据各自理论的需要，给出模糊随机变量的不 同的数学定义近来，一些学者运用模糊随机变量来研究模糊随机规划问题在文 献【1 5 ，l6 中，w a n g 和q i a o 把模糊随机变量作为系数应用到线性规划中而“u 在文献1 7 中提冉了模糊随机机会约束规划，为丁度量模糊随机事件的机会，给出 了模糊随机事件的本原机会的定义，这个定义是从 0 ，1 】到 0 ，1 l 的一个函数，而不 是一个数，在此基础上也给出了模糊随机变量的乐观值和悲观值的定义文献f 1 8 1 则给出了本原机会函数的等价形式l i u 在文献1 9 中提出了模糊随机相关机会 规划，在文献f 2 0 中，l i u 和l i u 给出了另外一种机会即平衡机会，该机会是基于 s u g e n o 刚积分的一种测度在文献 1 4 1 中，l i u 和l i u 给出了模糊随机变量期望值 的纯量值定义此后，他们又提出了一类基于模糊随机变量纯量值的期望值算子的 模糊随机期望值模型r 2 2 1 ，并给出了模糊随机模拟技术l i u 和l i u 用c h o q u e t 积分的形式给出了平均机会测度，在此基础上给出了模糊随机变量的期望值的一种 等价表示，并建立和求解相应的规划模型由于平均机会本身是一个纯量值，使得 在此基础上定义的模糊随机变量的乐观值、悲观值以及期望值更容易 算，而且具 有比较好的性质，基于这点原因，本文的模糊随机事件的机会采用平均机会这个指 标 在以上文献中关于模糊随机变量收敛性的研究则相对较少，在文献 2 4 】中略有 涉及鉴于此本文着重提出模糊随机变量序列的一些收敛性，并讨论它们之间的一 些关系，从而对模糊随机理论做一个必要的补充 1 2本文研究的主要内容 由于模糊随机现象结合了模糊和随机两种不确定性，对此种现象的研究必须建 立在概率论与可能性理论这两种理论基础之上，而模糊随机理论正是概率论与可能 性理论相结合的产物，是研究模糊随机现象的有效工具，本文试图用一种新的观点 性理论相结合的产物，是研究模糊随机现象的有效工具本文试图用一种新的观点 一2 一 来研究模糊随机现象，从而完善模糊随机理论由于这一理论是两种不确定性理论 的结合，因此我们有必要对这些理论作一下简单回顾，而概率论是大家所熟知的， 在此略去不提，我们只回顾一下可能性理论的相关内容，故本文做如下安排： 第二章为模糊随机理论建立的理论基础，首先回顾可能性理论的相关内容，给 出模糊随机变量的定义；其次介绍几种模糊随机事件的机会，包括本原机会、平衡 机会和平均机会，着重介绍平均机会，并给出相应的性质；再次给出模糊随机变量 的两个数字特征，即期望和方差；最后，给出模糊随机变量的关键值 第三章首先给出几类收敛性概念，有必然收敛，几乎必然收敛，一致收敛，几 乎必然一致收敛，近一致收敛，相应的弱收敛的概念，以及依机会测度收敛等等， 然后讨论各种收敛性概念之间的关系 第四章设计基于模糊随机模拟的算法，对三种指标分别给出具体的模拟方法， 包括对平均机会的模拟、对乐观函数的模拟以及对期望值的模拟 论文的最后，我们对所研究的工作作了总结，并指出需要进一步考虑的问题 一3 一 鎏j e 盔主垄兰堡主堂垡堡塞 第2 章模糊随机变量 2 1 模糊随机变量的定义 在给出模糊随机变量的定义之前，我们首先回顾一下可信性理论的一些知识 可信性理论是建立在两个对偶的模糊测度一可能性测度和必要性测度的基础之上 的而这两个模糊测度，都定义在同一可能性空间之上 定义2 1 给定一个论域r ，p ( f ) 是r 的幂集，p o s 是一个定义在p ( r ) 上的集函数称p o s 为一个可能性测度，如果它满足下面的条件： 1 ) p o s ( 0 ) = 0 ，p o s ( r ) = 1 ； 2 ) p o s ( u , ，a 。) = s u pp o s ( a ) 对于任意的p ( r ) 的子集 a 。1 ie ， 4 j 容易验证p o s 满足以下性质： ( p 1 ) a c b jp o s ( a ) p o s ( b ) ； ( 尸2 ) 对任意的非递减列 a 。) cp ( r ) ，我们有l i mp o s ( a 。) = p o s ( ua 。) ； n + o 。j ( p 3 ) 对任意的集合a 和日，我们有p o s ( a u b ) + p o s ( a n b ) p o s ( a ) + p o s ( b ) 另外，必要性测度n e c 也定义在r ( r ) 上 定义2 2 【2 5 j 定义在p ( r ) 上的集函数n e c ，被称为必要性测度，如果它满足 下面的条件： 1 ) n e c ( 0 ) = 0 ，n e c ( r ) = l ； 2 ) n e c ( n _ i e ，a ) = i n ，f n e c ( a i ) 对于任意的p ( r ) 的子集 a 。he ) n e c 满足以下性质： ( n 1 ) acb 号n e c ( a ) n e c ( b ) ； ( n 2 ) 对任意的非递增列 a 。) p ( r ) ，我们有j l mn e c ( a 。) 一n e c ( na 。) ； ( n 3 ) 对任意集合a 和b ，我们有n e c ( a u b ) 十n e c ( a n b ) n e c ( a ) + n e c ( b ) 容易验证p o s 与n e c 具有对偶关系 n e c ( a ) 一l p o s ( a 。) ，a p ( r ) 4 定义2 3 2 6 】c r ( a ) 一j ( 1 + p o s ( a ) 一p o s ( a 。) ) ，a p ( r ) 定义2 4 2 4 1 若是一个从可能性空间( r ，p ( r ) ，p o s ) 到实直线贝上的函 定义2 5 2 4 1 如果是一从可能性空间( r ，p ( r ) ，p o s ) 到实直线贝上的模糊 蹦扯巴蠹i ，o 。 0 e 畴 = r i ( 1 ) 一r ( 吖) ( 2 ) 。o c r 7r d r j 一c r 7 r d r 20 特别地，如果是一个离散的模糊变量，具有下面的可能性分布函数 f 1 r = a 】 弘：j 舰一毗 l lp n r = n n 那么的期望值为 e = 蚴p z = 1 假定对于任意的2 = 1 ，2 ，礼，式中的a i 满足a l a 2 a 。权重 =i(嘧旷砝j=0pi助) + i ( 密如5 互( 。翟f 如一“a x 助j + 互( 写野心 其中p o = 0 ，p 。+ ，= 0 ，容易验证权重满足下面的条件， p 。20 ，p i = v 警l 肌= l ( 2 ，3 ) ( 2 4 ) 一般来说，模糊随机变量是从概率空间到模糊变量组成的集类上的可测函数， 其实质是一个取值为模糊变量的随机变量本文中我们采用如下定义： 定义2 8 1 4 设f 是一个从概率空间( n ，p r ) 到模糊变量集合的函数模 糊随机变量是这样一个映射：n 一夕勺，使得对于5 兄上的任何b o r e l 集b ，函数 4 ( b ) ( u ) ：p o s 1i 。( 7 ) b )( 2 5 ) 是关于u 的可测函数，其中五是定义在可能性空间( f ，p ( r ) p o s ) 上的模糊变量 的集合 例2 9 ， 2 3 l 设是一个模糊随机变量，如果对每一个u 巳是一个三角模糊 变量，则称f 为一个三角模糊随机变量 设是一个模糊随机变量，如果对每一个u ，已是一个梯形模糊变量，则称f 为一个梯形模糊随机变量 设是一个模糊随机变量，如果对每一个u ，屯是一个正态模糊变量，则称 为一个正态模糊随机变量 一6 一 岛= ；i 喜誊，一1 ) 薹蒌茎j ； 定理2 1 2 ( 1 4 1 设f 是从概率空间( n ，p r ) 到可能性空间( p ，7 ，( r ) 、p o s ) 上 定义2 1 3 【1 7 】设为定义在概率空间( q ，e ，p r ) 上的模糊随机变量，是 定义2 1 4 2 0 l 设f 为定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量，厂是 7 丑垄盔主垄兰堡圭耋筐丝塞 定义2 1 5 2 a l 设为定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量，且为 b o r e l 集，则平均机会定义为 c h c b = c r 岛b ) p r ( d u ) 也可以定义为以下形式： c h 尸 e b ) _ p o s o b ) p r ( d w ) ， j n 和 c h b = n e c g b p r ( d w ) j n 在本文中，我们所采用的是平均机会，在后面所讨论模糊随机变量依机会收敛 的时候，我们只考虑平均机会c h p b ) ，为方便起见，我们将其统一记为c h 下 面我们讨论关于平均机会的性质 性质2 1 6 0 c h b ) 1 且c h o ) = 0 c h 晚) = 1 j 汪明 o h 0 ) = 1 2c r a ) p r ( d a ，) = 0 ，c h f 蛇 = 上2c r ( 螗) p r ( d w ) 一1 0 厶c r 0 b ) p r ( d u ) 墨j jp r ( d u ) = 1 口 性质2 1 7 若b 1cb 2 ，则c h k b 1 ) c h b 2 证明 c h k b 1 = j 毛c r 已b ) p r ( d w ) 上：c r 已b 2 ) p r ( d u ) ：c h f b 2 ) ， 口 性质2 1 8 a ) 若c h b ) = 厶p o s g b ) p r ( d w ) ，则 c h p b 1ub 2 ) c h p b 1 ) + c h 9 b 2 ) ； b ) 若c h b = 正z c r 矗b ) p r ( d c u ) ，贝4 c h c b 1ub 2 ) c h c f b i ) + c h c f b 2 ) 证明 a ) c h 9 b 1ub 2 = p o s o ( b lub 2 ) ) p r ( d c o ) j i 2 = 上2p o s ( 0 b 1 ) u ( 矗b 2 ) ) p r ( d w ) p o s 已b 1 ) p r ( + z p o s b 。) p r ( 叫 c h p b 1 ) 十c h 尸 b 2 b ) c 暇b 1ub 2 = 上c 峨( b ub z ) ) p r ( = z c r 圳u ( f 。b 2 ) ) p i ( d e 0 ) 冬c h g b 1 ) + c h g f b 2 ) 2 3 模糊随机变量的数字特征 这一节，我们给出模糊随机变量的一些数字特征，如期望值、方差等 口 定义2 1 9 - 弘“设为定义在概率空间( 旺，p r ) 上的一个模糊随机变量，则 f 的上期望值定义为 c o f 0 e + 畦 = c h r d r 一c h n r d r ， ( 26 ) j uj 而下期望值定义为 f o or 0 巳障 = c h n 三r d r 一c h p r d r ，( 2 7 ) ，0j 一。 于是它的期单佰常义为 眯 = f c h o e 圳c h 。骼壮 ( 2 8 ) ( 为了避免出现。一o ( 3 的情形，要求上式右端中两个积分至少有一个有限) 定义2 2 0 i 4 1 设为定义在概率空间( n ，p r ) 上的模糊随机变量，且期望 值有限，则 称为的方差 v f = e ( e 晤 ) 2( 29 ) 一一 i la 盔兰垄兰堡主堂丝迨塞 2 4 模糊随机变量的关键值 设为模糊随机变量，下面我们用乐观值和悲观值来刻画模糊随机变量由 于机会测度的定义不同，因此对这两个指标的定义也有所不同，基于本原机会的关 键值定义如下： 定义2 2 1 m 设为模糊随机变量，且7 ，6 ( 0 ，l l 则 矗。( 7 ，6 ) = s u p r i c h 。 2r ) ( ，y ) 6 )( 2l o ) 称为模糊随机变量f 的( 7 ，d ) 一乐观值 定义2 2 2 设为模糊随机变量，且 ，d ( 0 ，1 1 ，则 附( 7 ，6 ) = i n f r c h 。 r ) ( 7 ) d )( 2 1 1 ) 称为模糊随机变量的( 1 ，6 ) 一悲观值， 本文对模糊随机变量的关键值的定义基于平均机会，其定义如下： 定义2 2 3 设f 为模糊随机变量，且q ( 0 ，l 】，则 已。( ) = s u p r l c h f r ) )( 21 2 ) 称为模糊随机变量的d 一乐观值 定义2 2 4 设为模糊随机变量，且。( 0 ，1 1 则 。f ( d ) = i n f r l c h r o ( 21 3 ) 称为模糊随机变量的d 一悲观值 由平均机会的性质我们有以下结论： 性质2 2 5 设6 秆( 。) 和已。，( o ) 分别为模糊随机变量f 的。一悲观值和。一 乐观值，则有： ( 1 ) 6 。r ( n ) 为n 的增函数； ( 2 ) f 。，( q ) 为n 的减函数 证明由悲观值和乐观值的定义易知以上两个结论成立 第3 章模糊随机变量序列的收敛 在本章里，我们将给出几种模糊随机变量序列的收敛性定义，包括必然收敛、 一致收敛、几乎一致收敛、近一致收敛以及一些弱收敛的定义，并讨论它们之间的 一些关系 3 1 模糊随机变量序列的收敛性 定义3 1 设 矗) 为定义在概率空间( n ，p r ) 上的模糊随机变量序列，若对 任意的( u ，1 ) qxr ，都有 l i r a i f n ，。( 7 ) 一0 ( 1 ) l = 0( 3 1 ) 成立，则称模糊随机变量序列 矗) 必然收敛于模糊随机变量，记为厶一 定理3 2 设 矗) 是定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列，则 模糊随机变量序列 矗) 必然收敛于模糊随机变量当且仅当对任意给定的u q ， 模糊变量序列( 厶，。) 必然收敛于模糊变量矗 证明 由定义3 1 ，易知本定理成立 定义3 3 设 岛) 为定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列，若 存在e 和f p ( r ) ，p r f e = p o s f = 0 ，使得对任意给定的u a e 和 7 r f ，有 l i r a i 。，。( 7 ) 一已( ，y ) i = 0( 3 2 ) 成立，则称模糊随机变量序列 矗) 几乎必然收敛于，记为矗兰当 定理3 4 设 矗) 是定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列，则 对模糊随机变量序列 矗) 几乎必然收敛到当且仅当对几乎所有的u q ，序列 厶，。 几乎必然收敛到已 证明若 矗) 几乎必然收敛到，由定义3 3 知，存在ee ，fe 于( r ) ，且 p r e = p o s ( f ，= 0 ，使得对任意给定的u a e 有 矗，。) 在f f 上收敛到矗， 故 矗，。) 几乎必然收敛于毛 反之，若。兰。对u n 几乎必然成立，则3 e ，且p r e ) = 0 ，使 得对任意的w q e ，序列 矗，。) 在r 兄上收敛于o ，令f =u 兄，则有 w e n e p o s f ) = 0 ，从而 矗) 在( f 2 e ) ( r f ) 上收敛于，由定义3 ，3 知 矗 几乎必 然收敛于 口 定义3 5 设 矗 为定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列若 v e 0 ，存在正整数( e ) ，使得v ( w ，1 ) q f ，当n ( e ) 时，都有 厶，。( 一厶( ，y ) j 一致收敛于，记为矗b ( 3 ，3 ) 定义3 6 设 矗 是定义在概率空闯( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列，若对 于任意给定的u ，模糊变量序列 矗，。) 一致收敛于模糊变量已，则称模糊随机变量 序列 矗) 弱一致收敛于，记为。竺笃 定理3 7 设 矗) 是定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列，如果 岛，则矗竺警f 反之，若u 具有离散概率分布且取有限多个值，则逆命题亦 成立 有 证明若矗二，则垤 0 ，j ( e ) ，使得v ( w ，7 ) q f ，当佗 ( e ) 时， 矗，。( 1 ) 一0 ( 7 ) j 0 ，及对任意的，( j = 1 ，2 ，m ) ，j ( e ，u ，) ： 使得 f ，当n j v u ，) 时，都有 厶，。( 7 ) 一0 h ) i o ，以及v ( u ，7 ) n r ，当礼 ( ) 时，都有 l f 。，。( 7 ) 一o h ) 0 ，3 n ( s ) ，当n ( e ) 时，对任意给定的uen e 和1ef f ，都有 矗，( 7 ) 一0 h ) i 0 ，j ( e ) ，当n n ( e ) 时，对任意给定的u a e ，和 7 r f ，都有 i 矗，。n ) 一0 ( 7 ) i 0 ，3 n ( e 一，) ，使得当n n ( c 、u 7 ) 时，对任意的 7 f 凡，都有 靠。( 7 ) 一o ，( 7 ) l ( ) 时，对任意给定的( u ，7 ) ( a e ) x ( r f ) ，都有 f f 。，。( 7 ) 一已( 7 ) f ( e ，屿) 时，有 再令i v ( ) 2 ( ，) ，则当n ( ) 时，则对任意的，- y ) ( 9 e ) ( r 赡) 有 成立，f h 定y 31 1 知，矗当 ( 31 2 ) 口 定义3 1 4 设 矗) 是定义在概率空间( n ，p r ) 上的模糊随机变量序列如 果垤 0 ，有 l i mc h t 矗一f i e ) = 0 ， ( 31 3 ) 那么称 矗) 依机会c h 收敛于，记为矗旦 定理3 1 5 设 靠) 是定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列，如 果存在e q ，且p r e ) = o ，使得对任意给定的u q e ，模糊变量序列 。) 依可能性测度p o s 收敛到0 ，那么序列 矗) 依机会c h 测度收敛到f 证明对任意的e q ，设 f 。，。) 依可能性测度收敛到已，则有 。l 。i m 。p o s i ，u 一毛f e ) = o 再由机会测度c h 的定义有 c h l 。一| e ) = 正：p o s l f 。，。一已f e ) p r ( 山) ( 3 1 4 ) 从而由有界控制收敛定理得 l i r ac h 一l e ) = 1 j m p o s 1 。 “一。，12 = 5 mp o s i 矗，。 j i2 “一o o o i e p r ( d u ) 已1 ) p r ( d w ) = 0 ( 31 5 所以我们有b mc h f 毛一 = 0 成立，再由定义31 4 知 ( e ) 时，都有 o o 再令f = n 风，则p o s f ) = 0 ，若，y v f ，则存在某个正整数n o ，使得1 + t = 1 吣r 。，由于 斥 为递减列，从而7 r 最( 乏三礼o ) ，故 矗) 在( n e ) ( r q 上 收敛于，从而矗骂 接下来我们讨论近致收敛与依机会测度收敛的关系： 定理3 1 7 设 。) 为定义在概率空间( q ，p r ) 上的模糊随机变量序列， 果模糊随机变量序列 厶) 近一致收敛于，则 矗) 依机会收敛于 一1 6 一 口 如 证明 设矗当，故存在递减列 玩) ce ，p r e b ) 一0 ，以及递减列 r ) cp ( r ) ，p o s f k ) 一0 ，使得对任意的k ，k = 1 ，2 ， 矗) 在( f 2 e k ) ( r r ) 上一致收敛于f ，故对任意给定的u q & ，k = 1 ，2 ，有f 。兰兰已，则 。! 写毛，即对任意的e 0 ，有 l i mp o s j 岛。一已j e ) = 0 n 4 。 由机会测度c h 的定义及有界控制收敛定理得 l i r ac h f 厶 f e = l i m p o s f f 。，。一毛i p r ( & o ) = o ， 7 - “一0 。j n 从而 靠) 依机会c h 收敛于 口 定理3 1 8 设 矗) 为定义在概率空间( n ，p r ) 上的模糊随机变量序列，如 果极限岛，。霉矗对u q 几乎必然成立，那么： 1 ) 矗攀 2 ) f n 兰 证明1 ) 根据模糊随机变量的定义，对任意给定的u q ，己为模糊变量 如果极限矗。驾。几乎必然成立，那么对任意给定的正整数z ，当n o 。时，我 们有 p o s 7 l l 。，( - y ) 一矗h ) i 1 卢) 一0 几乎必然成立即对任意的正整数k ，存在正整数孔沌使得当札r , 。时，有 令 我们有 p o s 7 1 1 9 。( 7 ) 一0 ( ，) i 1 z ) 0 ，取 i 使得1 i r - ( 4 4 ) 根据平均机会的定义，我们有 且 c h 尸 r ) = p o s 矗r ) p r ( d a ；) j n c h r = n e c 已兰r ) p r ( d c o ) j n c h c 茎r )c r 已r ) p r ( d w ) j 2 m p p o s ， m p i n e c ， ( 4 5 ) ( 4 6 ) m p m c ( 4 7 ) 例4 2 设 是足义在戳翠至1 日j ，p r ) 上日可一个俣捌睫秽l 叟萤，彬则 m - 。31 2 毋相t - g n 1 2 【( 。1 0 2 9 0 3 3 ) ，俐j 1 2 p 。s ，= p 。s t 。，r ，= ；! s ，三i 三i ， 一z 屿n屿n ，、 u j | | h | | p 磐 、 m m n “吼m n na “ ，一 0 而 从而有 c h 。d r ) 同样地，我们有 而 p o s 2 = p o s 已：r ) p o s 矗 n f c h 尸 f r = 【 0 r 1 1 、1 7 2 妒响：；p o s ，+ 扣。 0 、r 一3 o4 一3 t 一2 0 5 ，一2 r 1 1 1 r n e c t = n e c t 已：r ，= ；：。，三； 三- 2 ：， 一 n e c 2 = n e c t 。茎r ，= ；：；萎；兰； c h r ) = 上n e c 毛纠p r ( 山) = 善2 嫩，= 少1 c + 尹1 c 。 因此我们有 c h r ) = 0 t 一2 0 1 5 一2 r 一1 0 5 一l r l o 5 5 1 r 2 0 8 5 2 r 3 1 3 r 2 1 ，、l 用同样的方法，可得 c h e r ) o 、 01 5 ， 0 3 2 5 0 5 07 7 5 08 2 5 r 一3 3 r 2 一2 r 1 一 一1 r 1 一 l ， 2 2 r 3 3 r 。= i - i 0 1；j二二兰： 吖骼忙摩蓬 chtr，=；_三：；：!茎；，i： 甜雌忙亭羔 2 2 u ( p d ，1e p j ：2= ) ，量鼽= 其中胁是模糊变量o ，的隶属函数，基于这种情况，我们可以通过模糊模拟将 每个模糊变量已，离散化我们记 = 萋 ，i 己，眈= 萋i ，i 二，。= 塞j ：i i ， 其中包，= 9 , j ( l 。) = s u p | 七z ，；s 已。) ( j ) ，而，包，分别是模糊变量o ， 和器。的实现值 令。，。= 器，则我们得到模糊随机变量序列 矗) 而对于每一个岫，由 2 8 可 知，用这种方法得到的模糊变量序列 昆) 0 = 1 ，2 ，) 一致收敛到0 ，也就是说 模糊随机变量序列 矗) 弱一致收敛到由第三章的定理37 可知，序列 矗) 一 致收敛到f 例4 4 设是定义在概率空间( n ，p r ) 上的一个模糊随机变量，形如 我们有 c h p 荨r f ( 一3 ，一2 ， 。： ( 一1 ，o ，1 ) 【( i ，2 ，3 ) 1 ) 概率为a 4 概率为a 2 概率为l 4 r 一3 3 r 一2 2 r 一1 1 r 曼0 c h “ 曼7 ， 0rl 1r2 2 r r 一2 2 r 一1 1 r 0 or1 lr2 2 7 、 r ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) c 铲c r 小= i ( m 觚 r ) - r l m a x # 。i r ) ( 4 1 1 ) 2 6 根据乐观函数的定义，我们有 蓝。( o ) = s u p ( r i c h r ) o ) d 。( a ) = s u p r i c h r ) 血) ( 4 1 2 ) = m a x p ；n e c r ) ) 2o i = 1 m 2m a x r 1 ( n “r a i n ，( 1 叫i j ) 。) ( 41 3 ) 繇。( o ) = s u p r i c h c ( r 2o ) m = m a x r i ( p 。c r 4 。r ) ) 三。) m 1， 2 m a x 洲p i ( i 嚣蛳+ i 紫 其中。( 0 ，1 j 例4 5 设是定义在概率空间( n ，p r ) 上的一个模糊随机变量，形如 f ( i 3 1 2 盯- 1 ) ，概率圳z o = 【( ，1 。2 。3 。) ，概率为，z 那么我们有 一k 叫0 o f 0 1 5 盎= 1 ，0 4 5 o s0 5 i 一，0 5 a 。s s 【一2 ，0 8 5 一 町 卫 蛳 “ 狱五 吲 嚣 n 融 m嚣m 刊 叫 缸 缸 m m 盛。( o ) 10n05 2 0 5 ( 1 _ 0 6 - 3 ，0 6 兰l ， 0n00 7 5 00 7 5 o 02 2 5 02 2 5 n 05 l 、0 5 o 06 7 5 1 0 6 7 5 0 _ 08 0 2 08 0 o 步骤2 令，= j ( 九+ ，r ) ，并且用模糊随机模拟来估算c h c ，( z ，) ， 步骤3 如果c h g ，( z ，) ， 卢，令f l = ，i 否则，r f ，然后重置 一 _ 厂= l ( f l + f r ) 步骤4 如果f r 一几d ，返回f 4 = j ( 九+ ，r ) i 否则返回步骤2 4 3期望值的模拟 r 向给出模糊随机变量别望值的计算方法 情形i 设f 为定义在概率空间，p r ) 上的模糊随机变量，形如： u ( p l 菱：2 ) ，耋p ，= l ( ，z ， 其中p ：= p r w = ) ，并且 已。( 嚣麓：帆a i n i ) ，