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变分理论与数值分析方法 教案 变分理论与数值分析方法 教案 （第三章（第三章 变分原理与有限元方法）变分原理与有限元方法） 蔡中义蔡中义 变分理论与数值分析方法 1 第三章第三章 变分原理与有限元方法变分原理与有限元方法 泛函的极值函数可以通过求解相应的 Euler 方程（微分方程的边值问题）来获得，另一方面， 也可以通过求解泛函的极值函数获得相应微分方程的解。这就是说，求解微分方程边值问题等价于求解微分方程边值问题等价于 求解相应泛函极值问题求解相应泛函极值问题，这种相关性通常叫做变分原理。把这一原理应用于各类物理问题就构成了 各种物理问题的变分原理，变分原理是以积分形式表达的物理定律，这种积分形式的泛函常常代表 能量，习惯上也把微分方程边值问题转化为泛函极值问题的求解方法叫做能量法，如力学中的最小 势能原理、虚功原理等。 实践告诉我们，微分方程边值问题的求解往往比较困难，而从泛函变分求微分方程近似解常常 容易些，可以采用 Ritz 方法、有限元法等。这种方法的关键问题是要找到以所给微分方程为其 Euler 方程的泛函，这一泛函如何构造？本章主要介绍典型的微分方程、偏微分方程的变分原理，并通过 微分方程的有限元求来说明有限元方法的基本思想。 3.1 预备知识预备知识 为了叙述方便，先介绍几个基本概念。 3.1.1 函数的内积函数的内积 【定义】 定义域在上的连续函数)(Pu、)(Pv（P）乘积在上的积分 dPvPuvu)()(, （3.1.1-1） 称为函数)(Pu，)(Pv在区域上的内积内积。 若0,vu，称u与v正交。 由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。 从内积的定义可以得到内积的如下性质： 设为)(Pu、)(Pv、)( 1 Pu、)( 2 Pu是定义域在上的连续函数，、是任意实数，则 对称性：uvvu, 线性：vuvuvuu,),( 2121 非负性：0,uu 0)(0,Puuu，P 证证 uvdPuPvdPvPuvu,)()()()(, vuvu dPvPudPvPu dPvPuPuvuu , )()()()( )()()(),( 21 21 2121 0)(, 2 dPuuu 若0)(Pu，P，则0)( 2 dPu。 第三章 变分原理与有限元方法 2 若 2 ,( )0u uuP d ，则应有0)(Pu，P。否则，必有一点 *P，在该 点0*)(Pu。因)(Pu在上连续，所以必存在*P的某个领域G，在该邻域上0)(Pu，从而 22 ,( )( )0 G u uuP duP dG 这与假设矛盾。 例例 1 xucos，xv 定义在, 0上，求vu, 解解 2cossin)sin(cos, 0 0 0 0 xxdxxxxdxxvu 3.1.2 算子算子 1. 算子的概念算子的概念1 【定义】给定两个集合M，D。若M中的每一个元素u（Mu）对应于D中的一个元素)(uL （DuL)(） ，则称L为算子算子, 即DML:。集合M称为算子L的定义域，集合D称为算子L的值 域。 算子L是将空间M转变为空间D的一种变换，M与D可以相同也可以不同。 例例14 微分算子 设M为二阶连续可微函数空间, 2 baC，对于任意的Mxy)( )()()( )( )( )( )()( )( )()( xyxqxyxpxyxp xyxq dx xdy xp dx d yL 其中)(xp，)(xq为已知函数。 若D为,ba上连续函数空间,baC，则M中的每一个元素y（yM）, 对应于D中的一个 元素)(uL（DuL)(） 。L就是一个微分算子，记DML:为 )()(xq dx d xp dx d L 如果给定,)(baCxf，则( )( )L yf x是算子方程。 例 例 积分算子 对于任意的Mxy)(（,: 2 baLM） b a dtxytxKyT)(),()( 其中，),(txK是矩形域,baba中的二元连续函数。 T就是一个积分算子。如果给定,)( 2 baLxf，则 )()(),()(xfdtxytxKyT b a 即为算子方程( )T yf。 变分理论与数值分析方法 3 本课程只涉及微分算子，一般情况下，提到的算子都是指微分算子。 例例 微分方程的边值问题可以写成微分算子方程的形式，如 ),( ),( 2 2 2 2 yxpu yxf y u x u （3.1.2-1） 该微分方程的解),(yxu在区域内满足（3.1.2-1）的第一式，在边界上满足（3.1.2-1）的第 二式。这意味着)(),( 2 Cyxu，且在边界上等于),(yxp。 记算子（Laplace 算子） 2 2 2 2 yx 则（3.1.2-1）写成算子方程 fu ，Mu 其中微分算子的定义域M是所有在区域二阶可微、在边界上等于),(yxp的函数的集合，即： ),(),(),(, ),(: 2 yxpuCyxuyxuM 一般情况下，微分方程可写成算子方程的形式： fuL)(，Mu 由于)(uL是上的函数，可以定义与任意函数v的内积为 vduLvuL)(),( 2. 线性算子线性算子 【定义】 若M是一个线性集合，对于任何Mvu,和任意实常数，算子L具有如下性质 )()()(vLuLvuL 则称算子L为线性算子线性算子（linear operator） 。线性微分算子相对应的方程为线性微分方程。 微分、积分运算是线性运算。因此，许多微分方程和积分方程都是线性算子方程。 例例 1 证明在线性集合, 10 1 xxC上给定的算子 dx d L （） （）为线性算子 解解 对于任意实数，及Mvu,有 )()()()(vLuL dx dv dx du vu dx d vuL 因此，L在M上是一个线性算子。 3. 对称算子对称算子1 【定义】M是一个线性集合，L是M中的线性算子。若对于任何Mvu,，有 )(,),(vLuvuL 则称算子L为对称算子对称算子 例例 21 设M是由,)( 10 2 xxCxu组成的线性集合，且满足齐次边界条件0)( 0 xu，0)( 1 xu。 ),(yx 为的边界 第三章 变分原理与有限元方法 4 证明算子 2 2 dx d L （） （） 是对称算子 解解 事实上，L是线性算子。对每一对Mvu,构造内积并进行积分 1 0 1 0 1 0 )( ),( x x x x x x dxvuvuvdxuvuL 由于Mv，0)( 0 xv，0)( 1 xv，于是边界项 0)()( )()( )( 1100 1 0 xvxuxvxuvu x x 从而 1 0 ( ), ( ), ( ) x x L u vu v dxL v uu L v 因此，L在M上是一个对称算子。 4. 正定算子（正算子）正定算子（正算子） 【定义】若L算子是对称算子，对于任何Mu，恒有 ( ),0L u u 而且只有当0u时上式为 0，则称算子L为正定算子正定算子（positive operator） 例例 3 例 2 中已经证明算子 2 2 dx d L （） （）是对称算子，现证明其为正定算子 解解 由于对任意Mvu,有 1 0 ),( x x dxvuvuL 成立。取vu ，于是 0),( 1 0 2 x x dxuuuL 当0),(uuL时，有 0 1 0 2 x x dxu 因)( xu在, 10 xx上连续，从而推知0)( xu，即)(xu在, 10 xx上是常数。 由于Mu，0)( 0 xu，0)( 1 xu，于是 ( )0u x ，, 10 xxx 故L在M上是一个正定算子。 3.1.3 对称正定算子方程的变分原理对称正定算子方程的变分原理 对于一个正定算子方程，一定有一个与之等价的泛函极小值问题。 【定理】设L是对称正算子，若算子方程 ( )L uf，Mu （3.1.3-1） 存在解 0 uu ，则 0 u所满足的充分必要条件是泛函 ( ),2,J uL u uf u （3.1.3-2） 变分理论与数值分析方法 5 在 0 uu处取极小值。 定理中的泛函 J u，一般称为算子方程的能量泛函能量泛函。 证明证明 先证明必要性： 若 0 uu是算子方程（3.1.3-2）的解，则有 0 ()0L uf （3.1.3-3） 对于M中任意的 0 uu，应有 0000 (),2,J uJ uL uuf u 因为L是对称正算子，根据内积的性质，上式可以展开 00000 0000 00 (),(),( ),( ),2,2, (),2,( ),2(),2, ( ),2(), J uL uuL uLuLf uf L uuf uLL uf J uLL uf （3.1.3-4） 由于 0 ()0L uf，故 0 ( ),J uJ uL 注意到L是正算子定义，所以当为非零函数时( ),0L ，仅当0时( ),0L ，即 ( ),0L 因此有 0 J uJ u 且等号当且仅当 0 uu 时才成立。这说明泛函uJ在 0 uu 时取极小值。 再证明充分性： 因为当 0 uu时，泛函uJ取极小值，从而0J，即 ( ),2,(),( ),2,0JL u uf uLu uL uufu 注： ( ),( ) ( ) ( )( ) ()( ) (),( ), L u uL u udL u u d L u uL uu dLu uL uu d Lu uL uu ,f ufudfudfu (微分、积分与变分次序可以互换) （ 00 ),(),(uLuL） 第三章 变分原理与有限元方法 6 注意到算子L是对称的，有 2( ),2,2( ),JL uufuL ufu 由 0 0 u u J ，有 0 (),0L ufu 即为 0 ()0L ufud （3.1.3-5） 由于u的任意性，因此有 0 ()0L uf 即 0 u是方程（3.1.3-2）的解。定理证毕。 该定理说明算子方程( )L uf与其变分方程 ( ),2,)0J uL u uf u 是等价的， 变 分方程是积分表达式，当采用变分法求解对称正定算子方程式（3.1.3-1）时，都是以变分方程作为 出发点的。 泛函公式（3.1.3-2）也可写成： 1 ( ), 2 J uL u uf u （3.1.3-6） 该式与（3.1.3-2）完全等价，泛函中增加了系数1/2，不影响泛函的极值性质，主要是为了保 证有关公式推导的简洁性。 3.2 线性微分方程边值问题等价的变分问题线性微分方程边值问题等价的变分问题 考虑二阶微分方程 ( ) ( )( ) ( )( ) ddy L yp xq x y xf x dxdx （3.2-1） 3.2.1 齐次边界条件齐次边界条件 微分方程边值问题 0000 1111 ( ) ( )( ) ( )( ) ()()0 ()()0 ddy L yp xq x y xf x dxdx y xy x y xy x （3.2-2） 其中，)( xp、)(xq和)(xf都属于 01 ,C xx， 0)(xp，( )0q x ， 0 ， 0 ， 1 ， 1 是非负的常数，且0 2 0 2 0 ，0 2 1 2 1 ，又当0 0 ，0 1 时， 变分理论与数值分析方法 7 0 2 1 2 0 。 二阶微分算子为DML:，其中 2 01 ( )( ),My x y xCxx（二阶连续可微） ，且满足 0000 ()()0y xy x， 1111 ()()0y xy x 显然，对任意的( )y xM，( )z xM，利用分部积分法（利用等式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) dd p x y x z xp x y x z xp x y x z x dxdx ） ，有 1 0 11 1 0 00 1 0 01 000111 01 ( ),( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )() () ()() () () x x xx x x xx x x d L y zp x y xq x y xz x dx dx p x y x z xp x y x z x dxq x y x z x dx p x y x z xq x y x z x dxp xy xz xp x y x z x 上式的右端是关于( )y x及( )z x的实对称式，因此有 ( ),( ), ( )L y zL zyy L z 即L是对称算子。 又令( )( )y xz x，得 1 0 222201 0011 01 ( ), ( ) ( )( )( )()()()() x x L yyp x yxq x yx dxp xyxp x yx 由于( )0p x ，( )0q x ， 0 ， 0 ， 1 ， 1 非负，因此( ),0L yy 如果( ),0L yy ，上式右端四项均为零，特别是 1 0 2 ( ) ( )0 x x p x yx dx 因 为( )0p x ， 所 以( )0( )y xy xC。 又 因 22 01 0， 比 如 0 0， 则 0 ()0( )0y xy x。因此，有 ( ),0( )0L yyy x ，( )y xM 即L还是正定算子。 于是，当 0 0， 1 0时， （3.2-2）相应的泛函为 第三章 变分原理与有限元方法 8 1 0 222201 0011 01 ( ),2, ( ) ( )( )( )2 ( ) ( )()()()() x x J yL yyf y p x yxq x yxf x y x dxp xyxp x yx （3.2-5） （3.2-4） 、 （3.2-5）中被积函数关于( )y x，( )y x是二次的，称为二次泛函，在物理上称为能量 积分。 3.2.2 非齐次边界条件非齐次边界条件 （3.2-2）考虑的边界条件是齐次的，现在考虑非齐次边界条件 00000 11111 ( ) ( )( ) ( )( ) ()() ()() ddy L yp xq x y xf x dxdx y xy xC y xy xC （3.2-6） 其中 0 C、 1 C为常数，且满足（3.2-2）中的、及。 可以通过一变量替换，将上式转化为齐次边界条件情形。取( )w xAxB，且在端点 0 x、 1 x 处满足（3.2-6）中的边界条件，即 0110 1000011 1 ()() CC A xx ， 000111 10 1000011 1 ()() ()() x Cx C B xx 设)(xy是（3.2-6）的解，令( )( )( )u xy xw x，则)(xu是下面微分方程边值问题 0000 1111 ( ) ( )( ) ( )( ) ()()0 ()()0 ddu L up xq x u xg x dxdx u xu x u xu x （3.2-7） 的解。从而边值问题得到齐次化。其中 ( )( ) ( )( ) ( ) ddw g xf xp xq x w x dxdx 可以证明对应的泛函为 11 00 2222 220011 00110011 0101 ( ) ( )( )( )2 ( ) ( )2 ( ) ( )( )( )2 ( ) ( ) 22 ()()()()() ()() () xx xx J yp x yxq x yxf x y x dxp x wxq x wxf x w x dx CC p xyxp x yxp xy xp x y x （3.2-8） 变分理论与数值分析方法 9 3.3 偏微分方程边值问题等价的变分问题偏微分方程边值问题等价的变分问题 3.3.1 齐次边界条件齐次边界条件 Poisson 方程方程 现在讨论 Poisson 方程边值问题1，偏微分方程： 22 22 ()( , ) uu uf x y xy ，),(yx （3.3.1-1） 在的边界上，满足下列齐次边界条件之一： 0u （3.3.1-2） 0 u n （3.3.1-3） 0 u u n （3.3.1-4） 其中，0),(yx，),(yxf与),(yx都属于( )C ； u n 为的外法线方向导数。 分别称 （3.3.1-1） 与 （3.3.1-2） 为第一边值问题、 （3.3.1-1） 与 （3.3.1-3） 为第二边值问题、 （3.3.1-1） 与（3.3.1-4）为第三边值问题。 1. 第一边值问题第一边值问题 Poisson 方程第一边值问题 22 22 ()( , ) 0 uu uf x y xy u （3.3.1-5） 取算子的定义域为 2 : ( , )( , )( ),0Mu x y u x yCu 先证明算子是对称正定算子。由于 22 22 ,()() uu u vu vdxdyvdxdy xy 利用等式： 22 22 ()()()() uuuuu vuv vvv xxyyxxyyxy （3.3.1-6a） 以及 Green 公式 ()() cos( , )cos( , ) uu vvdxdy xxyy uuu vn xn y dsvds xyn （3.3.1-6b） ),(yx 为的边界 第三章 变分原理与有限元方法 10 其中，s为的弧长变量， n u 为的外法线方向导数。 则 ,()()() () uuu vuv u vvvdxdy xxyyxxyy uvuvu dxdyvds xxyyn （3.3.1-7a） 由于( , )v x yM，有0v ，因此，上式化为 ,() uvuv u vdxdy xxyy （3.3.1-7b） 上式右端关于u、v是对称的，所以 ,u vv uuv 成立，故在M上是对称算子。 又由（3.3.1-7）式，取uv，于是 22 ,()() 0 uu u udxdy xy （3.3.1-8） 如果,0u u ，则0 uu xy ，而0u ，故( , )0u x y 。 因此，对于一切( , )u x yM，都有,0u u ，而且,0( , )0u uu x y 。这就证 明了在M上是正定算子。 于是，可以构造与（3.3.1-5）相应的二次泛函 22 ,2, ()()2 J uu uu f uu uf dxdy xy （3.3.1-9） 其中Myxu),(。 2. 第二边值问题第二边值问题 Poisson 方程第二边值问题 22 22 ()( , ) 0 uu uf x y xy u n （3.3.1-10） 其中 u n 为的外法线方向导数。 取算子的定义域为 ),(yx 为的边界 变分理论与数值分析方法 11 2 : ( , )( , )( ),0 u Mu x y u x yC n 先证明算子是对称正定算子。由（3.3.1-6） ，代入0 u n ，于是 ,() uvuv u vdxdy xxyy 由前面讨论知在M上，是对称算子，可是它却不是正定算子。事实上 22 ,()() 0 uu u udxdy xy （3.3.1-11） 因为对于M中的任意恒等于C的函数u，都有 ,0u u 因此，不能得到：,0u uu 此时，必须考虑对M补充条件 ( , )0u x y dxdy （3.3.1-12） 亦即把算子的定义域取为 2 : ( , )( , )( ),0( , )0 u Mu x y u x yCu x y dxdy n ， 事实上，由,0u u ，则0 uu xy ，所以Cu（常数） 。 因( , )u x yM ，故有 ( , )0u x y dxdyCdxdy 因而，0C，即( , )0u x y 。即得证算子在M 上是正定算子。 于是，可以构造与（3.3.1-10）相应的二次泛函 22 ,2, ()()2 J uu uu f uu uf dxdy xy （3.3.1-13） 其中( , )u x yM 。 3. 第三边值问题第三边值问题 Poisson 方程第三边值问题 第三章 变分原理与有限元方法 12 22 22 ()( , ) 0 uu uf x y xy u u n （3.3.1-14） 其中 u n 为的外法线方向导数，( , )x y是上的非负连续函数，且不恒等于零。 取算子的定义域为 2 : ( , )( , )( ),0 u Mu x y u x yCu n 可以证明算子是对称正定算子。于是，可以构造与（3.3.1-14）相应的二次泛函 222 ,2, ()()2 J uu uu f uu uf dxdyu ds xy （3.3.1-15） 其中( , )u x yM。 3.3.2 椭圆型偏微分方程边值问题椭圆型偏微分方程边值问题 1. 齐次边界条件齐次边界条件 现在我们讨论椭圆型偏微分方程边值问题，偏微分方程： ( , )( , ) ( ) ( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) u x yu x y L up x yp x yq x y u x yf x y xxyy ， ( , )x y （3.3.2-1） 在的边界上，满足下列边界条件之一： 0u （3.3.2-2） 0 u n （3.3.2-3） 0 u pu n （3.3.2-4） 其中，( , )0p x y ，( , )0q x y ，( , )0 x y；以及 1 ( , )p x yC，( , )q x y、( , )f x y、( , )x y 都属于C。 u n 为的外法线方向导数，s为的弧长变量。 和上节中的讨论相类似，可得到椭圆型偏微分方程边值问题（3.3.2-1）至（3.3.2-4）相应的二 次泛函如下： ),(yx 为的边界 变分理论与数值分析方法 13 （1）第一类边值问题）第一类边值问题 222 ( ),2, ()() 2 J uL u uu f uu pquuf dxdy xy （3.3.2-5） 算子L的定义域为 2 : ( , )( , )( ),0Mu x y u x yCu （2）第二类边值问题）第二类边值问题 当( , )q x y不恒等于零时 222 ( ),2, ()() 2 J uL u uu f uu pquuf dxdy xy （3.3.2-6） 算子L的定义域为 2 : ( , )( , )( ),0 u Mu x y u x yC n 当( , )0q x y 时 22 ( ),2, ()() 2 J uL u uu f uu puf dxdy xy （3.3.2-7） 算子L的定义域为 2 : ( , )( , )( ),0,( , )0 u Mu x y u x yCu x y dxdy n （3）第三类边值问题）第三类边值问题 2222 ( ),2, ()() 2 J uL u uu f uu pquuf dxdyu ds xy （3.3.2-8） 算子L的定义域为 2 : ( , )( , )( ),0 u Mu x y u x yCu n 2. 非齐次边界条件非齐次边界条件 ( , )( , ) ( ) ( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) u x yu x y L up x yp x yq x y u x yf x y xxyy ， 第三章 变分原理与有限元方法 14 ),(yx （3.3.2-9） 在的边界上，满足下列边界条件之一： ( , )uu x y （3.3.2-10） ( , ) u g x y n （3.3.2-11） ( , ) u puh x y n （3.3.2-12） 其中，( , )0p x y ，0),(yxq，0),(yx；以及 1 ( , )p x yC，),(yxq、( , )f x y、),(yx都属 于C。 u n 为的外法线方向导数，),(yxu、),(yxg、),(yxh为给定边界上的连续函数。 椭圆型偏微分方程边值问题（3.3.2-9）至（3.3.2-12）相应的二次泛函如下： （1）第一类边值问题）第一类边值问题 222 ( ),2, ()() 2 J uL u uu f uu pquuf dxdy xy （3.3.2-13） 算子L的定义域为 2 : ( , )( , )( ),( , )Mu x y u x yCuu x y （2）第二类边值问题）第二类边值问题 当( , )q x y不恒等于零时 222 ( ),2, ()() 22 J uL u uu f uu pquuf dxdyguds xy （3.3.2-14） 其中s为的弧长变量 算子L的定义域为 2 : ( , )( , )( ),( , ) u Mu x y u x yCpg x y n 当( , )0q x y 时 22 ( ),2, ()() 22 J uL u uu f uu puf dxdyguds xy （3.3.2-15） 算子L的定义域为 变分理论与数值分析方法 15 2 : ( , )( , )( ),( , ),( , )0 u Mu x y u x yCpg x yu x y dxdy n 这类边值问题可解的条件为 ( , )( , )0f x y dxdyg x y ds （3）第三类边值问题）第三类边值问题 2222 ( ),2, ()() 2(2) J uL u uu f uu pquuf dxdyuhu ds xy （3.3.2-16） 算子L的定义域为 2 : ( , )( , )( ),( , ) u Mu x y u x yCpuh x y n 3. 自然边界条件与强制边界条件自然边界条件与强制边界条件 对于非齐次边界条件的边值问题，边界条件可分成两大类型： （1）第一类边界条件也称为“本质边界条件”或“强制边界条件” ，在求解能量泛函极值的变 分式时，这类边界条件应作为约束条件提出； （2）第二类和第三类边界条件称为“自然边界条件” ，这类边界条件已经包含在能量泛函中， 当泛函极值的变分式成立时，这种条件可以自动得到满足。 在第一类边值问题所对应的变分问题中，泛函（3.3.2-13）的容许函数必须满足边界条件 （3.3.2-10） 。即椭圆型方程边值问题（3.3.2-9）与（3.3.2-10）的求解，等价于求变分式 0 ( , ) J uu x y 第二类与第三类边值问题所对应的变分式 （3.3.2-14） （3.3.2-16） 包含了边界条件式 （3.3.2-11） 、 式（3.3.2-12） ，当变分式成立时，这种条件可以自动得到满足。这时，椭圆型方程边值问题（3.3.2-9） 与（3.3.2-11）式、 （3.3.2-9）与（3.3.2-12）式的求解，等价于求变分式 0J 下面将通过椭圆型方程第三类边值问题所对应的变分式（3.3.2-16）来说明边界条件（3.3.2-12） 自动得到满足。泛函的变分 2222 ()() 2(2) 2 ()2()2() uu Jpquuf dxdyuhu ds xy uuuu pqufu dxdyuhuds xxyx （3.3.2-17） 由（3.3.1-6）得 第三章 变分原理与有限元方法 16 () ()()()() ()() uuuu pdxdy xxyy uuuu p up uuppdxdy xxyyxxyy uuu pudsppudxdy nxxyy （3.3.2-18） 代入式（3.3.2-17）得 2()()2() uuu Jppqufudxdypuhuds xxyyn （3.3.2-19） 由于u的任意性，由0J得 在内：()() uu ppquf xxyy 在上： u puh n 这就说明微分方程与自然边界条件都得到满足。 变分理论与数值分析方法 17 3.4 求解微分方程的有限元方法求解微分方程的有限元方法 通过变分原理的讨论，我们知道，一个微分方程边值问题，可以将它转化为某个泛函的极值问 题，用寻求泛函极值的办法来求解。 上一章介绍了微分方程变分求解的 Ritz 方法， 在用 Ritz 法求微分方程等价泛函的极值函数近似 解时，先选取试探函数 1 ( )( ) n nii i uxax ，使泛函在试探函数类上取最小值，把这个函数作为极 值函数的近似解。但是，Ritz 法对试探函数( ) i x的光滑性要求较高，而且是建立在整个求解区域 上的。对于比较复杂的二维（或三维）区域，要构造出这种试探性函数往往是困难的，有时还是不 可能的。为克服这些困难，人们对( ) i x的光滑性降低要求，并选取分片多项式作为( ) i x。这种 基函数仅仅连续，在有些点连导数也没有，这就扩大了试探函数类的范围。由此产生了现代的适用 于广阔领域的有限元法。本节从变分法的角度介绍一下有限元法的指导思想。 现在用一个简单的常微分方程的求解过程来说明有限元法的基本过程。 考察微分方程 2 2 2 ( ) ( ), ( ) ab d u uf xaxb dx u au u bu （3.4-1） 其边界条件确定。 写成算子方程的形式 2 2 2 ( )( ) d u L uuf x dx 根据3.2 对二阶微分方程（3.2-1）的讨论，这时( )10p x ， 2 ( )0q x，则( )L u是 对称正定算子，相应于（3.4-1）的变分原理为 2 2 2 2 22 2 22 11 ( )( ),()() 22 11 (2) 22 11 ()(2) 22 bb aa bb aa b bb aa a d u J u xL u uu fu udxf udx dx d u udxufu dx dx dudu du udxufu dx dxdx dx 变分方程为（第一项在边界上的变分为 0） ： 222 1( )20 2 b a du Jufu dx dx （3.4-2） 现在，我们用有限元法来求使泛函（3.4-2）取极小值的极值函数，这一过程就相当于求解微分 方程（3.4-1） 。 （分部积分） （代入边界条件） 第三章 变分原理与有限元方法 18 3.4.1 变分问题的离散化变分问题的离散化 （1）将求解区间划分为有限个单元）将求解区间划分为有限个单元 将区间ab，用分点 0121iin xaxxxxxb 划分成n个互不重叠的子区间 1 , ii xx (1,2, )in。称这些子区间为单元单元，第i个单元记做 1 :, iii exx (1,2, )in，分点 i x(0,1,2, )in称为节点节点。则区间ab，内共有n个单元、 1n个节点。 （2）分片（单元）构造插值函数）分片（单元）构造插值函数 任意取出一个单元e，如图 3.4.1-1 所示，其节点分别记为节点 1 与节点 2 。1、2 是限于单元 内的局部编号，对于第i个单元，其对应的整体编号为1i与i,节点坐标为： ( ) 11 e i xx ， ( ) 2 e i xx。 记单元e的节点函数值为 ( ) 11 e i uu ， ( ) 2 e i uu（如图 3.4.1-1） ，根据节点函数值，构造插值函 数作为单元e上( )u x的近似函数，单元e的线性插值函数如下： ( )( ) ( )( )( )21 12 ( )( )( )( ) 1221 ( ) ee eee eeee xxxx uxuu xxxx （3.4.1-1） 其中， ( ) ( )2 1 ( )( ) 12 ( ) e e ee xx Nx xx ， ( ) ( )1 2 ( )( ) 21 ( ) e e ee xx Nx xx 就是插值基函数，在有限元法中，这些基函数 又叫做单元e的“形函数形函数” 。于是，单元e的插值函数为： ( )( )( )( )( ) 1122 ( )( )( ) eeeee ee uxNx uNx u U （3.4.1-2） 其中， ( )( ) 12 ( )( ) ee e NxNxN叫做单元e的“形函数矩阵形函数矩阵” ( ) 1 ( ) 2 e e e u u U是由单元e的节点值构成的向量。 1 2 单元e )( 1 e u )( 2 e u )( )( xu e 图 3.4.1-1 单元插值函数和单元节点值 )( )( 1 xN e )( )( 2 xN e 12单元e 11 变分理论与数值分析方法 19 3.4.2 有限元方程推导有限元方程推导 泛函（3.4-2）在全区域,ba上的总积分可改写成各单元的局部积分之和，即 ( ) 11 ( )( ) nn e e ee J u xJJ ux （3.4.2-1） 单元e的泛函值为 1 1 1 ( )222 222 2 1 ( )()2 2 ()1 ()2 2 1 (2) 2 i i i i i i x e e x x ee eeee x T x TTTTTee eeeeeeee x du JJ uxufu dx dx d fdx dx dd fdx dxdx N U N UN U NN UUU N N UU N （3.4.2-2） 记： 1 2 () i i T x Tee eee x dd dx dxdx NN kN N 单元广义刚度矩阵（22阶对称方阵） （3.4.2-3） 1 i i x T ee x fdx rN 单元的广义载荷向量 （3.4.2-4） 则 1 2 TT eeeeee JU k UU r （3.4.2-5） 记区域 , a b的全部节点值列向量为： 01 ()T n uuuU 由于单元e的节点值列向量 1