2014 年全国中学生数学能力竞赛（样题）试题 高三年级组.pdf

2014 年全国中学生数学能力竞赛 （样题） 试题 高三年级组 满分： 150 分时间： 120 分钟 一、 运算求解能力 1援 抛掷一粒骰子， 观察掷出的点数， 设事件 a 为出现 奇数点， 事件 b 为出现 2 点， 已知 p （a）越 1 2 ， p （b） 越 1 6 ， 则出现奇数点或 2 点的概率为援 2援 数列 an 的通项公式是 an越 1 n姨+n + 1姨 ， 前 n 项和为 9， 则 n 等于. 3援 已知 p 为双曲线 c： x2 9 原 y2 16 越 1 上的点， 点 m 满 足om越 1， 且om pm 越 0， 则当pm取得最小 值时的点 p到双曲线 c 的渐近线的距离为. 二、 数据处理能力 4援 对任意非零实数 a， b， 定义 a茚b 的算法原理如程序 框图所示. 设 a 为函数 y = 2 - sinxcosx 的最大值， b 为双曲线x 2 4 - y2 12 = 1 的离心率， 则计算机执行该 运算后输出的结果是 （） a援 7 5 b援 7 4 c援 7 3 d援 7 2 开始 输入 a， b a 臆 b？ a茚b = b - 1 a a茚b = a + 1 b 输出 a茚b 结束 （第 4 题图） ab c d a1 b1 c1 d1 （第 5 题图） 是否 三、 空间想象能力 5援 如图所示， 正四棱柱 abcd原a1b1c1d1中， aa1越 2ab， 则异面直线 a1b 与 ad1所成角的余弦值为. 6援 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （） 226 正 （主） 视图 2 11 5 3 侧 （左） 视图俯视图 （第 6 题图） a. 200 垣 9仔b. 200 垣 18仔 c. 140 垣 9仔d. 140 垣 18仔 四、 抽象概括能力 7援 函数 f （x） 的导函数为 f忆 （x） ， 若对于定义域内任意 x1， x2（x1屹 x2） ， 有 f （x1）- f （x2） x1- x2 = f忆 （x1 + x2 2 ） 恒成 立， 则称 f （x） 为恒均变函数援给出下列函数： 淤f （x）= 2x + 3； 于f （x）= x2- 2x + 3； 盂f （x）= 1 x ； 榆f （x）= ex； 虞f （x）= lnx援其中为恒均变函数的序号是援 （写出所有满足条件的函数的序号） 五、 推理论证能力 8援 有两种花色的正六边形地面砖, 按下图的规律拼成 若干个图案, 则第六个图案中有菱形纹的正六边形 的个数是 （） . 第一个图案 第二个图案第三个图案 （第 8 题图） a. 26b. 31c. 32d. 36 9援 已知集合 a 越3m垣 2n m 跃 n 且 m， n沂n ， 若将集 合 a 中的数按从小到大排成数列 an ， 则有 a1越 31 垣 2 伊 0 越 3， a2越 32垣 2 伊 0 越 9， a3越 32垣 2 伊 1 越 11， a4越 33越 27， ， 依此类推， 将数列依次排成如图 所示的三角形数阵， 则第六行第三个数为 （） a1 a2a3 a4a5a6 a援 247b援 735c援 733d援 731 六、 实践能力 10援 某企业为节能减排， 用 9 万元购进一台新设备用于 生产. 第一年需运营费用 2 万元，从第二年起， 每 年运营费用均比上一年增加 2 万元， 该设备每年生 产的收入均为 11 万元. 设该设备使用了 n （n沂n*） 年后， 年平均盈利额达到最大值 （盈利额等于收入 减去成本） ， 则 n 等于 （） a. 3b. 4c. 5d. 6 七、 创新能力 11援 在数列 an 中， n沂n*， 若 an + 2- an + 1 an + 1- an = k （k 为常 数） ， 则称 an 为 “等差比数列” . 下列是对 “等差比 数列” 的判断： 淤k 不可能为 0 于等差数列一定是等差比数列 盂等比数列一定是等差比数列 榆等差比数列中可以有无数项为 0 其中正确的判断的序号是：. 12援 对于 c 0） 经过点 （1， 3姨 2 ） ， 离心率为 3姨 2 援 （1） 求椭圆 c 的方程； （2） 直线 y = k （x - 1） （k屹0） 与椭圆 c 交于 a， b 两 点， 点 m 是椭圆 c 的右顶点援直线 am 与直线 bm 分别与 y 轴交于点 p， q， 试问以线段 pq 为 直径的圆是否过 x 轴上的定点？ 若是， 求出定点 坐标； 若不是， 说明理由援 18援 在数列 an 中， an= 1 n（n沂n*） .从数列 a n 中选出 k （k 逸 3） 项并按原顺序组成的新数列记为 bn ， 并 称 bn 为数列 an 的 k 项子列.例如数列 1 2 ，1 3 ， 1 5 ， 1 8 为 an 的一个 4 项子列. （1） 试写出数列 an 的一个 3 项子列， 并使其为等 差数列； （2） 如果 bn 为数列 an 的一个 5 项子列， 且 bn 为 等差数列， 证明：bn 的公差 d 满足- 1 8 d 0 亦 函数 f （x） 在 （-1， 1） 上是增函数. （3） 疫 f （t - 1）+ f （t） 0， 又 f （x） 是奇函数， 亦 f （t - 1） -f （t）= f （-t） ， 疫 f （x） 在 （-1， 1） 上是增函数， 亦 -1 t - 1 -t 1， 解 得 0 b3 b4 b5 0， 所以 d = b2- b1 0， 所以 4d = b5- b1= b5- 1 -1， 即 d -1 4 . 这与 d 臆 -1 2 矛盾. 所以 b1屹 1. 所以 b1臆 1 2 ， 因为 b5= b1+ 4d， b5 0， 所以 4d = b5- b1逸 b5- 1 2 -1 2 ， 即 d - 1 8 ， 综上， 得-1 8 d 0. （3） 证明： 由题意， 设 cn 的公比为 q， 则 c1+ c2+ c3+ + cm= c1（1 + q + q2+ + qm - 1） . 因为 cn 为 an 的一个 m 项子列， 所以 q 为正有理数， 且 q 1， c1= 1 a 臆 1 （a沂n*） . 设 q = k l（k， l沂n*， 且 k， l 互质， l 逸 2） . 当 k = 1 时， 因为 q = 1 l 臆 1 2 ， 所以 c1+ c2+ c3+ + cm= c1（1 + q + q2+ + qm-1） 臆 1 + 1 2 +（1 2 ） 2 + +（1 2 ） m- 1， = 2 -（1 2 ） m - 1， 所以 c1+ c2+ c3+ + cm臆 2 -（1 2 ） m - 1. 当 k 屹 1 时， 因为 cm= c1qm - 1= 1 a 伊 km - 1 lm- 1 是 an 中的项， 且 k， 蕴 互质， 所以 a = km - 1伊 m （m沂n*） ， 所以 c1+ c2+ c3+ + cm= c1（1 + q + q2+ + qm-1） = 1 m（ 1 km - 1 + 1 km - 2l + 1