（工程力学专业论文）半定规划在动柔度优化中的应用.pdf

大连理工大学硕七学位论文 摘要 本文将半定规划( s e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n g ) 应用到桁架类结构动力拓扑优化中。 假设激励为简谐激励，以杆的横截面积为设计变量，结构重量最小为目标函数，在 无阻尼和考虑反对称阻尼两种情况下分别进行研究。 无阻尼时，设激励频率小于结构基频，给定动柔度上限，构造出标准s d p ( s e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n g ) 列式。最后通过算例，证明了动力设计的结果往往“驱 使”结构基频尽可能的远离激励频率，这是避免共振的需要。同时也验证了引入动柔度 上限对有效的控制结构整体振动水平的必要性。 考虑阻尼时，将实半正定推广到h e r m i t e 半正定。当阻尼矩阵是反对称矩阵时，动 力方程中的动刚度阵是h e r m i t e 矩阵，给定动柔度上限后，构造出h e r m i t e 半正定矩阵 不等式，利用线性变换，将其转化为实数域内s d p 所要求的半正定约束。最后通过算 例，得到了一些和无阻尼时不同的结论。 关键词：半定规划；动柔度；拓扑优化；h e r m it e 半正定；反对称阻尼矩阵 半定规划在动柔度优化中的应用 s e m i - d e f i n i t ep r o g r a m m i n gf o ro p t i m i z a t i o no fd y n a m i cc o m p l i a n c e a b s t ra c t s e m i d e f i n i t ep r o g r a m m i n g ( s d p ) i si n t r o d u c e dt os o l v ed y n a m i cp r o b l e mo ft o p o l o g i c a l d e s i g no p t i m i z a t i o no ft r u s s e ss t r u c t u r e sw i t h w i t h o u ts k e w s y m m e t r i cd a m p e rt h a ta l e s u b j e c t e dt ot i m e - h a r m o n i cd y n a m i cl o a d i n gw i t hp r e s c r i b e df r e q u e n c ya n da m p l i t u d e t h i so b j e c t i v ei si m p l e m e n t e db ym i n i m i z i n gt r u s s sw e i g h tu s i n ge r o s s s e c t i o no fe a c h m e m b e r 郁d e s i g nv a r i a b l e w h e nt h ep r e s c r i b e dl o a d i n gf r e q u e n c yi ss m a l l e rt h a nt h ef u n d a m e n t a le i g e n f r e q u e n c y o ft h es t r u c t u r ew i t h o u td a m p i n g ，t h ep r o b l e mi sf o r m u l a t e da ss d pw i t hp r e s c r i b e du p p e r b o u n do fd y n a m i cc o m p l i a n c e a ni m p o r t a n to b j e c t i v eo fd y n a m i cp r o b l e mi st od r i v et h e f u n d a m e n t a le i g e n f r e q u e n o yo ft h es t r u c t u r e 鄱f a ra w a ya s p o s s i b l ef r o mt h ep r e s c r i b e d l o a d i n gf r e q u e n c yi no r d e rt oa v o i dr e s o n a n c e i n t r o d u c t i o no fp r e s c r i b e du p p e rb o u n do f d y n a m i cc o m p l i a n c ee n s u r e sr e d u c t i o no fv i b r a t i o nl e v e lo ft h es t r u c t u r e w h e nas k e 、s y m m e t r i cd a m p e rm a t r i xi sc o n s i d e r e d ，d y n a m i cs t i f f n e s sm a t r i xi s h e r m i t i a nm a t r i x w i t ha p p l i c a t i o no fs c h u rc o m p l e m e n t ，t h ep r o b l e mi sf o r m u l a t e da ss d p w i t hp r e s c r i b e du p p e rb o u n do fd y n a m i cc o m p l i a n c ea f t e rl i n e a rt r a n s f o r m a t i o n i ti ss h o w ni n t h ee x a m p l e s ，t h a td y n a m i cd e s i g nw i t hs k e w s y m m e t r i cd a m p e rd i f f e r sm u c hf r o mt h a t w i t h o u td a m p i n g k e yw o r d s ：s e m i - d e f i n i t ep r o g r a m m i n g ；d y n a m i cc o m p l i a n c e ；t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ； h e r m i t i a ns e m i d e f i n i t e ；s k e w - s y m m e t r i cd a m p e r i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 越毖 日期：坦堕：! ：堡： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：烈构 导师签名： 塑里笸年月堕e t 大连理工大学硕士学位论文 引言 拓扑优化方法最早由b c n d s o e 和k i k u c h i 1 于1 9 8 8 年提出，通常是给定外载和边界 条件，改变结构拓扑以使结构在满足约束的前提下，达到最优目标。拓扑优化有助于工 程师提出新颖高效的概念设计方案，可以获得比形状优化、尺寸优化更大的收益，因此 在工程结构设计领域具有重要的应用前景。 半定规划【”】( s d p ) 是指线性函数在对称矩阵的仿射组合半正定的约束下的极小值 问题。对于标准s d p 形式【4 l ，得到的局部最优解也是全局最优解。 1 9 9 9 年，m o h s a k i ，k f u j i s a w a 等【5 】最早研究了指定基本特征值下限的桁架类拓扑优 化问题，利用r a y l e i g h 准则，提出了以k 一旦( m ，+ m o ) o 为约束的s d p 列式，目标 函数是结构体积最小。由于采用了s d p a ( s c l n i d e f i n i t ep r o g r a m m i n ga l g o r i t h m ) 算法， 保证了解的精度和计算的高效性。本文的算例也采用s d p a 求解，算法的优化迭代过程 可参考这篇文献。 2 0 0 6 年，w a c h t z i g e r , m k o c v a r a 【6 】在数学上严格证明了k 一旦( 肘。+ 肘o ) 0 ，在此 基础上，构造了以平衡方程和静柔度上限相结合的双线性s d p 列式，讨论的是最大化 基本特征值的拓扑优化问题。 相对于静柔度，2 0 0 5 年，n o l h o f f , j i a n b md u 7 1 基于s i m p 模型，利用拉格朗日乘 子法进行优化迭代，研究了给定激励频率和激励振幅的连续体最小动柔度问题。 无阻尼时，本文采纳n o l h o f f 关于动柔度的概念，构造了当激励频率小于结构基频 时、给定动柔度上限的s d p 列式，通过算例，得到了和n o l h o f f 一致的结论，同时也 验证了引入动柔度上限对有效的控制结构整体振动水平的必要性。 我们还考虑了以下动力方程： 朋譬( c ) + c x ( t ) + k x ( t ) = p ( 亡) 其中，c 为阻尼矩阵。阻尼对结构振动特性影响很大，然而在实际分析中，要精确 的决定阻尼矩阵是相当困难的，通常允许将实际结构的阻尼简化成总质量阵m 和总刚度 阵k 的线性组合： c = a ：m + 卢k ( 口，p 是不依赖于频率的常数) ， 即r a y l e i g h 阻尼【9 】，一般为正定对称矩阵。 1 9 8 5 年，清华大学邓兆昌【10 1 指出：“对应于正阻尼情况，( 阻尼矩阵) 也可以是 非对称的正定或负定矩阵，或如陀螺效应所表征的反对称矩阵”。 1 9 9 5 年，李革【1 1 】在“速度约束模态在固定界面模态综合法中的应用”中，以悬梁 为例，给出了反对称阻尼的具体形式： 半定规划猩动柔度优化中的应用 鹕0 二摹粥 1 9 9 6 年，德振华、窭杰l 蠲推导了反对稼阻尼振囊系统豹囊力约束子结构法，并指 渤反对称阻尼阵产生的原因愚，弹性管道中流动的流体受科里奥利力作用。 1 9 9 9 年，f 。s o a r p a 和g 。c u r t i ”i 研究的内腔声。结构耦合系统的自由振动方程： m 黜+ c 惫卜黜q n j 叩， c 1 拦k 二一铡 式孛豹【翻薄也其有反对称形式。 另外，无阻尼陀螺系统振动方程 1 1 6 1 0 0 的陀螺矩阵g 就是反对称矩阵。 辫量敬+ k x = p ，式= 一g r 文献【1 2 】、【1 3 1 眷n 无阻尼陀螺系统是类问题，有鉴于此，本文考虑动力方程中的阻 霭矩舞也是反对称矩阵。 h e r m i t e 半正定是实半正定在复数域内的推广，h e r m i t e 半正定理论f 。1 锄已经很成熟。 2 0 0 5 年，m ，x g o c m a n s a 和d 。p 。w i l l i a m s o n 2 0 t ，首创性的用复半定2 1 1 规划( 准确的 说是h e r m i t e 半正定瓶划) 研究组合优化中的m a x 3 c u t 和些其他闻莲。 2 0 0 7 年，王建宏、王晓敏【2 2 l 将复半定规划应用到系统和控制理论中。建立了复半 定赧巅静l a g r a n g e 对耨理论以及最铙性条 孛，绘出了求粲大擐摸复拳定撬划阗题豹一个 原始对偶中心路径算法。在应用方而建立了两个常见l y a p u n o v 不等式的择性定瑗， 弊利用这溪个择一性定理给趱了嚣个关于l y a p u n o v 不等式常见结论麴新的证明。 考虑阻尼时，根据复数向量内积酶概念，本文将n o l h o f f 关于确柔度的概念推广剃 复数域。假设激励为简谐激励，当阻尼矩阵是反对称矩阵时，动平衡方程中的动刚度阵 是h e r m i t e 矩阵，给定动柔度上限磊，构造鎏了h e r m i t e 半芷定形式靛线注矩阵不等式， 成功的将h e r m i t e 半正定理论应用到结构动力拓扑优化中。 大连理工大学硕士学位论文 1数学准备 1 1s d p 标准型 矽： m i n i m i z e 譬1c ix i ( 1 1 ) 删巧e c tt o ：x = 冬1 鼍，f f o ，s 弓x = 0 d ：m a x i m i z e f o 。l ， s u b l e c tt o ： f y = c f ( f = 1 ，讥) ，s 弓y = 0 各符号代表含义： $ - - - - i z 实对称矩阵空间； f l s ( i = 1 ，7 t ) 约束矩阵； c = ( c 1 ，c 2 ，c n ) r r n 系数向量； z = i ，x 2 ，) r r n 设计变量向量； x s ，y 卜设计变量组成的约束矩阵； 矩阵内积：u i ，= 冬1 冬1u q ，u s ，v s ； 定义：设u s ，对v y r n 都有 y r 【，y o ( y 丁【，) ， o ) 则称，为半正定( 正定) 矩阵，记为u = o w - o ) 。 我们把原问题和对偶问题d 合称为s d p 问题。 如果x ) 是原问题矽的可行解，l ，是对偶问题d 的可行解，贝j j ( x ，x y ) 是s d p i 口7 题的 可行解。 对于标准s d p ，目标函数线性，f ( x ) = 翟1c f 镌，约束映射是仿射，l ( z ) = 冬1 旄t 一，0 ，因此标准s d p 问题是凸问题，局部极小值也就是全局极小值。 1 2 动力方程和两个结论 我们所考虑问题的动力方程： m ( x ) f l ( t ) + c u ( t ) + k ( z ) ( 亡) = p ( 亡) ( 1 2 ) 本文只考虑桁架类问题，设计变量向量z = ( x 1 ，x 2 ，) r 是杆件的横截面积， 毛2o ( i = 1 ，礼) ，礼为单元总数。 m ( 曲，k ( x ) 是总质量矩阵和总刚度矩阵，线性的依赖于设计变量x ， n n t 1x 1 肘( z ) = z fm l ，k ( x ) = z fk t i = 一1 i 一= 1 3 以为2 其中， 模量。 半定规划在动柔度优化中的应用 c 为阻尼矩阵，不考虑阻尼时，( 1 2 ) 式变为 f ( z ) 赴( ) + k ( z ) l l ( 亡) = p ( 亡) e f 为第i 根杆单元的弹性 ( 1 3 ) 结论( 1 - 1 ) 【6 】：设z r m ，鼍o ( i = 1 ，m ) ，y r 为一定值，给定! 1 ，l ) ， 如果有u f r “满足： k ) u l = f z 和厂2l l i y 则 饿2 碧甘( 三州- f z t r ，卜。 m4 ， k ( 曲可能奇异，所以不能直接用s c h u r 补定理证明。 对v 1 ，r “和v a r ， 妒n 4 = ( 二：悉) ， y r 4 y 娟v 7 ，( 二；悉) ( o = a 2 y 一2 t t z r l ，+ v r k ( x ) v 于是，a 0 铮o r z y 一2 f z r l ，- i - v r g ( x ) v 0 充分性蹲k ( x ) 札u 。爹j ( 二。m - 1 r ，卜。 ( 1 5 ) 当k ) o 时，考察以为自变量，二次函数q = 。r k ) 一2 f l r m 的性质。 当k ) = 0 时， q = 7 1 k ( x ) 山一2 f l t o o 有全局最小值。 4 - 1 _ ， 一1 度 长 ， 1 o 的 ) 一7 m 巨一k 靳 矩 = 杆 量 托 根 质 ， 秕蝴、厂娣斛参怵 用1 2 0 ， 采r度 、- 、 k i j 触 搐 叭 吖 _ ：罢 严 种 f j 一 例 m 惮 元 蜥 羁 淑 杆 第 点 为 节 纪 大连理工大学硕士学位论文 皇：坐塑掣掣：( k + m n 一2 厂f ：o 0 0 , j 0 k ( z ) 对称，k ) = k ) 7 即：l c ( x ) u l = f t 此时，q 取最小值一厂i t l l f 。 于是对v t o r “有 j 2 ( k ( 妁一y z ) l 山锄l = 0 o o t k ( x ) o j 一2 f 们一f l u i 一y 令= 洲，p r ，v 1 ，r n ) 带入上式： ( o - v ) 丁g ( x ) ( 洲) 一2 f 27 ( o - v ) 一y 当盯o 时，有 v 丁k 。) v f l y _ - - 刍y 令a ：一1 ，即得到： a 2 y 一2 a f 1 ，+ v r k ( x ) v 0 ，粳陛( 饿2 爹仁( 二：翻- f z r 。 在( 1 6 ) 式中，令a = 1 则 y 一2 f l t l ，+ v r k ( x ) v 0 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 再次利用凸二次函数q = v r k ( x ) v 一2 厂l7 1 ，的性质，当u f r “满足k ( z ) 札f = 厂f 时， 有全局最小值是一厂i t i l f 。 要使( 1 7 ) 式对v 1 ，r “都成立，要求 即： 综上， y + q m f n 0 y i i t u o 或y f l u f 甓2 主歹2 铮( 二：- f t r ) 。 5 半定规划在动柔度优化中的应用 结论( 1 2 ) 6 j ：定义最小特征值： 五饥e n ) = m n 似l | r “：k ( z ) = a m ( z ) ，肼( z ) o ) k f n ) 也可以写成r a y l e i g h 商的形式： = 札i n f 。需 则： j ；【m f n ) = s u p a l k ( x ) 一2 m ) = o ) ( 1 8 ) 证明： ( i ) 首先证明 k n ) s u p r l k ) 一a m ( 功o ) 设v a 满足k ( z ) 一l m ( x ) 0 ，左乘u r ，右乘u ( v u o ) ，得到： u 7 k ( x ) u 一l u r m ) 札0 如果m ) l l 0 ，肘( 力皇0 = 号v u ：札丁m 0 ) 0 ，我们有 u r k ( x ) u 孑而a 因为a 和让任意，在左边加“i n f ”，右边加“s u p ”，不等式仍然成立： 凳黑supaik(x)inf u p 一州咖o ) ：删札o 菰a a m ( x ) o ) 带入k f n ) 定义： a m f n ( z ) s u p , t l k ) 一a m ( x ) o ) 。 ( i i ) 其次证明 令五= k e n ) ， m ) l l 0 时， ；l 讥f n0 ) s u p 2 1 k ( x ) 一a m ( z ) o ) 兀=mf蒜urku：m(x)uom ， 仅 ) 札 u o( z ) u u u 一 k m 一 坐仉“ o ) ( 1 1 0 ) 则称4 为h e r m i t e 半正定( 正定) ，记为a o ( a o ) 。 4 一b 0 ，记为a b 。 ( 4 ) h e r m i t e 矩阵a 的性质： a 0 ( a - o ) ，则a 的所有特征值大于等于零( 大于零) 。 若以可逆，则a 俨ja 一1 俨。 半定规划在动柔度优化中的应用 1 4 线性变换丁和关于h e r m i t e 矩阵的s c h u r 补定理 ( 1 ) 若x c n 黼，以尺p 僻) 表示复数矩阵x 的实部，j m ) 表示复数矩阵x 的虚部，则 x 。甘( 篇罱- 泖i m ( x ，卜。 ( 1 1 1 ) 谶| 生变换删= ( 篇曷篙) 删线性变换删可将h i t e 半正定矩阵 不等式转化为s d p 问题所要求的半正定矩阵不等式。 ( 2 ) s c h u r 补定理 令肘俨= ( ；丢) 且q 可逆，则有： m 0 甘p s q 一1 s + 0 ， i fq 0 ( 1 1 2 ) 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 2 半定规划在动柔度优化中的应用( 无阻尼) 2 1 原始问题列式 我们所考虑问题的动力方程( 无阻尼) ： 肘( z ) 让 ) + k ( x ) u ( o = p ( 亡) 设外激励为p ( t ) = p e 山p ，设解的形式为：l l ( t ) = u e 山p 。，这里p 和札都是实数向 量，哗为激励频率。 将p ( c ) ，u ( t ) 带入动力方程中，得到以振幅向量表示的动平衡方程： ( k ( z ) 一山；m ) ) l l = p 记动刚度k d ) = k ) 一嵋m ) ，上式变为： k d 0 ) 牡= p ( 2 1 ) 对于静力问题，由t - k ( x ) = 0 ，p 丁u = 札7 p = t 7 1 t c ( x ) u oo 对于动力问题，p r u 正 负未定，所以加绝对值符号，以c d = i p r l 上i 表示，这就是n o l h o f f 关于动柔度的定义。 我们所考虑的优化问题列式： f i n dz = 0 1 ，x n ) t ( 2 2 ) m i n i m i z e w = 冬1p il i x i s u w e c t t o ： k d ) u = p c d = l p 7 u l y 0 0 ，p f 为第i 根杆的密度。 半定翘划在动柔度优化中的应瘸 2 2s d p 问题列式 关键是去掉动柔度约束q = | p r u | y 中的绝对值。 结论( 2 1 ) ：如果结构基频满足：k 妞拦2 ，且k 汛；艿( 频率禁区疆霹艿 o ) 时，则p 丁u 0 。 证明：h n 棚；+ 5 筒k ( 的一( 弗+ 占) m ( x ) 0 对v y gr 嚣 y r ( k ) 一( 嵋+ 占) 肘o ) ) = f ( k ( x ) - 汛搬( + k f n 掰( 一( 嵋艿) 掰 ) ) ) ， = y r ( k ( 曲一k 搬m ( z ) ) ) ，+ y r ( k 汛一( c u ；+ 6 ) ) m ( x ) y 第一项y r ( x ) 一k nj l f ( 力) y 0 ，利用结论( 1 - 2 ) 。 因为质量矩阵肼( z ) 0 ，当k 挑急嵋+ 艿时， ) ，7 ( h n 一( ；+ 6 ) ) m ( z ) y 象0 。 故穆r n ，当k 斑娣+ 6 时， y t ( k ( x ) 一厶汛m ) y + y 7 f n 一( 娣+ 占) ) 肼( z ) y 0 恒成立。 嘲p r 仳= u r p = i i t ( k ( z ) 一( 嵋+ 艿) m ( z ) ) 越波0 证鹱完毕。 由于k f n 嵋+ 5 ，根据上面的结论知 x 一( 嵋专艿) 醒0 ( 2 。3 ) 此时动柔度约束可以写成： c d = p r u y 结合k d ( 种札一p ，由结论( 1 1 ) 知 大连理工大学硕士学位论文 蒜，卜。 综上，所考虑的动力问题s d p 列式为： f i n dx = 1 ，) t m i n i m i z e w = 翟1p il i x i s u b j e c tt o ： 蒜，卜。 k ) 一( 辞+ 占) m ) 0 0 0 。 在此s d p 列式的约束中，设计变量z = 0 1 ，) t 是单元横截面积，k ) 、m ) 是 z 的线性函数，k ( z ) 一( 叫；+ 6 ) m ) 。和( 二i 互) ) = 。都可以写成 目标函数w 也是x 的线性函数，因此该问题是凸问题。对于凸问题，局部极小值就 是全局极小值。 o 0 f fx = 、j z ，l h 半定规划在动柔度优化中的应用 2 3算例 2 3 1 简谐激励作用下空间三杆简支结构动柔度优化 空间三杆铰接于节点4 ，非结构质量m o = 1 1 0 3 k 9 固于其上，所有杆杆长 f ( f ) = 1 2 2 4 7 m ，设定每根杆的横截面积下限为x m e n = 0 6 4 5 c m 2 ，弹性模量 e = 2 1 1 0 儿p a ，材料密度p = 7 8 0 0 k g m 3 。作用于节点4 的简谐激励p ( c ) = p e 山p 。， t o p = 6 2 8 3 2 r a d s ，振幅向量p = 一1 0 8x 【1 ，2 ，3 】7 n 。动柔度上限取y = 4x 1 0 8 ，频率 禁区6 = 1x1 0 。结构在节点1 、2 、3 处简支。 经过s d p a 计算4 】【2 6 】，当x 1 = 3 1 1 7 4 0 c m 2 ，x 2 = 4 3 7 3 5 c m 2 ，x 3 = 9 3 0 6 3 c m 2 时， 3 x 1 w m l 孔= p ( f ) f ( f ) z ( f ) = 4 2 8 4 8 9 8 k 9 j 二- 一 f = 1 保持其他参数不变，动柔度上限分别取y = 2x1 0 8 ，y = 4 1 0 8 ，y = 8x1 0 8 ，图2 1 出了结构重量的迭代历史。横坐标为迭代次数，纵坐标做了取冶的处理f 2 7 1 ( 若原坐标值 为a ，新坐标值为1 0 9 o ，但图例上仍标记了原坐标值) 。 经过比较可知，对结构动柔度要求越低，各杆的横截面积越大，结构重量也就越大。 大连理工大学硕士学位论文 1e 12 1e 11 1e 10 1 e g 1 0 0 0 0 d 10 0 0 d 1 0 0 口 0 5 1015 2 02 5 迭代次数 图2 1 动柔度上限分别取y = 2 1 0 8 ， ，= 4x1 0 s , y = 8 1 0 b , 结构重量的迭代历史 f i g 2 1 i t e r a t i o nh i s t o r i e sf o rs t r u c t u r a lw e i g h tw i t hd i f f a r o n tu p p e rb o u n do fd y n a m i oc o m p l i a n c e ( y = 2x1 0 8 , y = 4 1 0 8 , y = 8 1 0 8 ) 保持其他参数不变，改变动柔度上限y ，图2 2 出了结构基频甜1 的变化图。 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 11 1 0 0 d o e + 0 0 0 5 d o e * 0 0 b1 0 口e + 0 口g1 5 d e + 0 0 92 0 0 e + 口0 925 d e + 0 9 93 0 0 e + o o b 动柔度上限， 图2 2 动柔度上限取不同值时，结构基频的变化图。 f i g 2 2 s t r u c t u r a lf u n d a m e n t a le i g e n f r e q u e n o yc h a n g i n gw i t hd i f f e r e n tu p p e rb o u n do f d y n a m i cc o m p l i a n c e 1 3 日 7 0 e e 0 1 1 0000 删蚓霉好 i骚郴霉姆 半定规划在动柔度优化中的应用 随着动柔度上限y 取值的不断增大，结构基频6 0 1 总体下降。当y = 5x1 0 8 时，1 有 局部最小值1 1 0 4 1 r a d s 。 2 3 2 简谐激励作用下平面十杆桁架动力拓扑优化 所有杆由铝制成，弹性模量e = 6 8 9x1 0 1 0 p a ，材料密度p = 2 7 7 0 k g m 3 ，各 杆的横截面积下限设定在九= 1x1 0 4 肌2 。激励p ( ) = 一p 洒一。，施加在节点， 激励频率0 9 口= 3 o r a d s 。非结构质量m o = 4 5 4 1 0 5 k 9 ，分别固定于节点和。 动柔度上限y = 4 1 0 7 ，频率禁区5 = o 0 1 。桁架在节点、处简支，几何尺寸 如图所示1 2 引。 z = 9 1 4 辱mz = 9 1 4 4 r n ( 6 ) 硅 p ( - 亡) = - - e 唧 经过s d p a 计算，当z 1 = 1 8 3 3 7 0 c m 2 ，x 3 = 1 6 2 2 0 0 c m 2 ，x 4 = 1 0 7 8 9 0 c m 2 ， x 725 7 5 3 9 c m 2 ，x 821 2 9 6 7 0 c m 2 ，x 9 = 1 2 9 5 7 0 c m 2 ，x 22x 5 。x 62x 1 02x m f n = 0 0 0 0 1 c m 2 时，最小结构重量： 1 0 弋_ 1 f n = p ( ) 2 ( f ) z ( f ) = 2 2 8 3 3 0 1 k 9 簧 保持其他参数不变，改变( u 口，最优解时结构的拓扑图( 当z ( f ) = x m f n 时，删除第f 根 杆) 如图2 3 所示。 大连理工大学硕士学位论文 p ( t ) = 一8 2 唧 唧= 0 一。 o j p = 0 0 5 p ) = 一8 泐p o j p = 0 5 p ( c ) = 一8 矽t 半定规划在动柔度优化中的应用 嗡= 3 p ( ) = _ e t o 唧, t 哗= 5 p ) = 一8 p t 图2 3 对不同，最优解时结构的拓扑图 f i g 2 3o p t i m i z e dt o p o l o g i e so ft h et r u s s e ss h l l c t i l i - ef o rf i v ed i f f e r e n tl o a d i n gf r e q u e n c i e s 从图2 3 知， ( i ) 激励频率从0 增加到0 0 5r a d s 的过程中，结构拓扑和杆的横截面积基本不 变。 ( i i ) 从0 0 5r a d s 增加到0 5r a d s 的过程中，结构拓扑和杆的横截面积都发生 比较大的变化。杆( 1 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 、( 8 ) 、( 9 ) 对传递外力继续起主要作用，随着杆( 7 ) 作 用的加强，杆( 5 ) 消失。 大连理工大学硕士学位论文 ( i i i ) 哗从0 5r 口d s 增加到57 n d 加的过程中，结构拓扑保持不变，主要传力杆 ( 4 ) 、( 7 ) 、( 8 ) 、( 9 ) 的横截面积都在变大。 从上面的分析得到结论： ( i ) 当激励频率接近0 时，动力设计的拓扑结果和静力( = o ) 结果类似，而静 力设计的结果取决于激励振幅向量的空间分布。 ( i i ) 当激励频率超过一定范围( 本例中可认为o 5 r a d s ) 时，动力设计的 拓扑结果由动力的需求决定为了避免共振，尽可能的“驱使”结构基频远离激励频 率。 ( i i i ) 当激励频率介于前两者之间( 本例中可认为0 0 5 r a d s s0 5 r a d s ) 时，最优拓扑是动力设计和静力设计的折中。 以上结论，和n o l h o f f ，j i a n b md u 在文献【7 】得到的结论一致。 激励频率的变化对结构基频( o 】的影响如图2 4 所示。 当很小时，结构基频】变化缓慢，动力结果和静力结果很接近。随着激励频率 的增加，为了避免共振，c d ，被“驱赶着”增加，这就是动力设计的需求。 01 2 3 456 澈胁频率p 图2 4 结构基频c j 0 1 随的变化 f i g 2 4 s t r u o t u r a lf u n d a m e n t a le i g e n f r c q u e n o ya s s o c i a t e dw i t hd i f f e r e n tl o a d i n gf r e q u e n c i e s 在给定上限 ，= 4 1 0 7 和不考虑上限的两种情况下，动柔度白随激励频率的变化 如图2 5 所示，纵坐标做了取幻的处理。 8 5 4 a 2 1 0 5联蝴霉旱； 半定规划在动柔度优化中的应用 堪 眯 丽 1 e 1d 1 e 9 1 e 日 0 00 20 4口b0 b1 01 21 激励频率 图2 5 动柔度白( 给定上限y = 4 1 0 7 ) 随的变化 f i g 2 5d y n a m i oo o m p l i a n c e ( w i t h o u ta n dw i t hu p p e rb o u n dy2 4x1 0 7 ) a s s o c i a t e dw i t hd i f f e r e n t l o a d i n gf r e q u e n c i e s 对于给定y = 4 1 0 7 的情况，最优时的动柔度不随激励频率哗变化，c a = y = 4 1 0 7 。无上限约束时，最优时的动柔度维持在1 1 0 1 0 的水平。这说明引入动柔度上限y 是 必要的，通过约束动柔度上限，有效的控制了结构整体振动水平。 7 0 0 0 6 0 0 0 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 123456 澈勖频率u ，p 图2 6 最小结构重量随的变化 f i g 2 6 m i n i m u ms t r u c t u r a lw e i g h ta s s o c i a t e dw i t hd i f f e r e n tl o a d i n gf r e q u e n c i e s 一1 8 一 叫恻霉姐萎噼 大连理工大学硕士学位论文 最小结构重量随激励频率的变化如图2 6 所示。( o 口很小时，最小结构重量变化 缓慢。随的增大，最小结构重量增加很快。 2 4 ，j 、结 无阻尼时，设激励频率小于结构基频，给定动柔度上限，构造出标准s d p 列式。 通过算例得到以下结论： ( 1 ) 对结构动柔度要求越低，各杆的横截面积越大，结构重量也就越大。 ( 2 ) 随着动柔度上限y 取值的不断增大，结构基频c 0 1 总体下降。 ( 3 ) 当激励频率c t j p 接近o 时，动力设计的拓扑结果和静力结果类似；当激励频率超 过一定范围时，动力设计的拓扑结果由动力的需求决定为了避免共振，尽可能的“驱 使”结构基频远离激励频率。当激励频率介于前两种情况中间时，最优拓扑是动力设计 和静力设计的折中。 ( 4 ) 引入动柔度上限后，有效的控制了结构整体振动水平。 半定规划在动柔度优化中的应用 3 考虑反对称阻尼的动柔度优化 3 1原始问题列式 我们所考虑问题的动力方程： m ( x ) f t ( t ) + c u ( t ) + k ( z ) u ( ) = p ( ) 设外激励为p ( 亡) = p e 山p 。，设解的形式为：u ( 亡) = u e 汹p 。，这里p 是实数向量，1 正是 复数向量，竹为激励频率。 阻尼矩阵c 为反对称矩阵，即c = 一c 7 将p ( c ) ，l l ( ) 带入动力方程中，得到以振幅向量表示的动平衡方程： 0 ) 一w ；m c x ) + l o o p c ) u = p 记动刚度k d ) = k ) 一山；肘( z ) + i o o 矽c ，上式变为： k d0 ) l l = p ( 3 1 ) 假设k d 可逆，则有1 l = k j l p 。 借鉴n 0 1 h o f f 关于无阻尼时动柔度的定义，我们定义复数域内考虑阻尼的动柔度： c d = l ( p ，u ) i 于是，有动柔度上限约束，以结构重量最小为目标的动力拓扑优化问题可列式如下： f i n dz = g 1 ，) 7 ( 3 2 ) m i n i m i z e w = 翟1p il i x i s u b e c tt o ：k d o ) 札= p c d = l ，m ) i y 0 0 ，p i 为第i 根杆的密度。 大连理工大学硕士学位论文 3 2 构造h e r m i t e 半正定问题列式 关键是去掉动柔度约束白= i ( p ，札) l y 中的绝对值。 结论( 3 1 ) ：如果k d ) = k ) 一m ( z ) + l o o p l 7 中的m ( z ) ，k ( x ) ，c 满足： rk ( z ) = k ( z ) r 0 ，m ) = m ) r 0 ，c = 一c 丁 t f ，k z 一砰w pc + 占肘z k ) 一( 嵋- o o + pc 占) ) m ( z ) ) 。 则必有c d 0 ( 这里m ( z ) ，豳陋) ，c 均为实数矩阵，频率禁区占 o ) 。 证明： 实数矩阵m ) ，k ) ，c 满足 k ( z ) = k ( z ) r _ o ，m ( x ) = j i f ( z ) 7 - 0 ，c = 一矿时， k d ( x ) = k ：( x ) ， 即k d ) 是h e r m i t e 矩阵。 假设激励频率山口较低，如果结构基频( i ) 满足，k m = ( i ) 2 ，且k m 嵋+ 5 ( 频率禁 区5 0 ) ，有 k ) 一( 嵋+ 占) m ) 0 苗k ( 力一睇m ( z ) 6 m ( z ) 0 如果m ( z ) ，k ( x ) ，c 满足 ( k z 一鬈c + 6 m 。k 一( 丢：昙) m ( z ) ) 。一l 嘶+ 6 j m ( z j 骨( 肌震小别肌，葛 ，) 吣。骨l唧三k ( z ) 一匆m ) j 庐d 朋忱 u 考k d ( z ) 0 故对任意0 u c n ，必有 c d = ( p ，= 1 1 1 + p = 1 1 1 + k d u 0 证明完毕。 当k d - 0 时， c d = ( p ，u ) = ( 弘k d l p ) = p 7 k i l p y 半定规划在动柔度优化中的应用 应用s e h u r 补定理， 出托胚y 甘( ；k 岛卜。 骨 0 。 ；0k 。，二毒占，m ，) 。 一唧cl y p r j p ” p k o ) 一( ( 嵋+ 占) m ) 0 p ( f ) z ( f ) z q ) = 6 9 7 2 8 3 0 k g j i = 1 半定规划在动柔度优化中的应用 图3 1 给出了无阻尼和考虑阻尼两种情况下，结构重量的迭代历史。横坐标为迭代 次数，纵坐标做了取幻的处理。 1e 12 1e 11 1e 1 0 1e 目 1e 日 脚叫 删 1e 7 罪 姆1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 口0 10 0 0 0 1 0 0 d 1 口d 0510152 0 迭代次数 图3 1无阻尼和考虑阻尼时，结构重量的迭代历史( y = 4x1 0 8 ) 。 f i g 3 1 i t e r a t i o nh i s t o r i e sf o rs t r u c t u r a lw e i g h tw i t h w i t h o u td a m p e r ( y24 1 0 8 ) 2 5 保持其他参数不变，表3 1 给出了无阻尼和考虑阻尼时，动柔度上限分别y = 2x1 0 8 ， y = 4 x1 0 8 和y = 8x 1 0 8 ，结构最小- a - a w m f 尢( 幻) 、基频1 ( r n d s ) 和动柔度c a 的结果 对比( 注：无阻尼时的结果分别为f n ，1 ，白；考虑阻尼时的结果分别为w 仇n ，0 9 1 ， c d ) 。 表3 1 无阻尼和考虑阻尼时，结构最小重量、基频和动柔度的结果对比。 t a b 3 1 r e s u l t so f