（基础数学专业论文）一类拟线性椭圆方程基态正解的渐近行为.pdf

摘要 这篇硕士论文由两章组成，主要讨论了一类拟线性椭圆方程 d i v ( i w , i p 一2 v u ) 一n ( z ) 矿1 + 6 ( z ) 舻= 0 的基态正解的渐近行为 第l 章简单介绍了问题产生的历史背景，解决问题所需要的预 备知识，如极值原理等，指出了它的一些简单的应用 第2 章研究了这类拟线性椭圆方程在满足条件 1 ，z r ，1 p o o ，p 一1 1 ，z r ，1 p o o ，p 一1 g 0 ，l i mu ( ，) = 0 ，、 t 7 ( 0 ) = 0 w e g i v ea ne x p l i c i tf o r m u l ao ft h ea s y m p t o t i ce x p a n s i o n o u rm a i nr e s u l t s i m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m eo ft h ek n o w nr e s u l t s k e yw o r d s ：q u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，g r o u n ds t a t e s ，a s y m p t o t i c b e h a v i o r ，m a x i m u mp r i n c i p l e i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担 学位论文作者签名：毫乏二爷刀 矽口g 年y 月础日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内丰r ) 作者签名： 导师签名： f 月；厶日 警只bf t 一类拟线性椭圆方程基态正解的渐近行为 1 绪论 偏微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域 有着非常广泛的应用，如在几何学、力学、天文学、物理学等领域已 成为不可缺少的工具；在空间技术、高能物理、电子技术、现代生物 学和经济学等领域，偏微分方程的理论和方法已经成为推动这些学 科发展的强有力的杠杆。在偏微分方程的理论研究中，对解的渐近 行为的研究有着非常重要的意义，比方说对解的存在性与非存在性 就非常有用 1 1 问题产生的背景 下面就本文研究的问题产生的历史背景作一简短概述 在1 9 5 9 年，k a t o ( 3 1 ) 研究了方程 a u + q ( z ) 乱= 0( 1 1 1 ) 解的渐近性，在这篇论文里他得出了一系列好的结果，而这些结果对 研究方程 a u + ，0 ，“) = 0( 1 1 2 ) 解的存在l 生与非存在性非常有用 y il i 和n i ( 【7 】，( 8 】，【9 】) 研究了方程( 1 1 2 ) 并且得到了一些关于方 程( 1 1 2 ) 的渐近性结论下面列举其中的一些主要结果： 定理1 1 1 设u 是方程 u + k ( 1 2 1 ) u p = 0( 1 1 3 ) 的一个有界正解，k 是一个局部h s l d e r 连续函数，且在无穷远处满足 i 忌( 刮c ，其中c 为常数，z - 2 ，m 0 当1 一2 时； ( k 2 ) 在靠近无穷远处七是可导的，且【( d d r ) ( r 一七( r ) ) 】+ l 1 ( k 3 ) 在靠近无穷远处七是可导的，且【( d d r ) ( r 一七( r ) ) 】l 1 2 类拟线性椭圆方程基态正解的渐近行为 定理1 1 4 设让是方程( 1 1 3 ) 的一个径向正解，设尼满足 ( 1 ) ( k 1 ) 和( k 2 ) ，当0 m m 一2 ) 1 2 时，或 ( 2 ) ( k 1 ) 和( k 3 ) ，当m 一2 ) 2 伽+ 2 ) ( 佗一2 ) 时，方程( 1 1 6 ) 存在唯一正对称解，其中n 2 此后的研究向更广泛的方程形式深入 在2 0 0 5 年，y il i 和c h u n s h a nz h a o ( 【1 0 】) 在r 空间中研究了方程 a m 扎+ ( u ) = 0 ，( 1 1 7 ) 其中 仇 l ，a m 札= d i v ( i w l m - 2 v u ) ， 3u 硕士学位论文 z 兄，u ( z ) = “( r ) ，r = i x l ，牡( o ) 0 ，r l 。i m u ( r ) = 0 ， t 正7 ( o ) = 0 ； 乱7 ( r ) o ，仳( o ) 2 翼嚣缸( z ) ， ( o ) = 0 ，( r ) 2 时，c l 由下式所决定 ( n - 1 ) c l - 1 一仇妒孛c l = 圭掣( 嘞矧， i 2 2 i l + i 2 + + 乱= l ，i l ，缸 o 其中妒= ( 与) 咛，f ( j d ) = m 1 ) ( 妒+ p ) 惫 特别是有 l i m 弘r 蒜南e ( 志) 上r ：e弘( 7 ) r 丽e 志膨7 = g 其中常数c 满足0 1 ，z r n ，l p 之o o ，p 一1 2 时，q 由下式所决定 ( - 2 ) c l - 1 0 0 c l = 圭华( 啪：瞄， i = 2 i l + i 2 + + i i - - - - i ，i l ，i i 0 其中妒= ( 詈等) 宁，a o = p 妒器- 1 - l ，f ( s ) = ( p 1 ) ( 妒+ s ) 寺 特别是有 1 i mu ( 7 ) r 错e p 宁，：c t 其中常数g 满足 0 o 或 ( n - 1 ) l ( 3 l _ 1 - - a o c l 一- - - 壹掣( 岛。c i 2 c i l ) ， 特别是有 l i r au ( 7 ) r 躺e 妒孛r = 岛， 6 一类拟线性椭圆方程基态正解的渐近行为 其中常数g 满足 0 0 ，1 i r a 乱( r ) = 0 ， “，( 0 ) = 0 。 下面给出几个常见的不等式： 8 定理1 3 5y o u n g 不等式( 【2 0 】“2 2 】) 设a 和b 是任意正数；p 1 ，q l ，；1 + ；1 = l ，则有 口b l a p + l b q ， q 并且对v 0 ，带e 的y o u n g 不等式的形式为： a b e 矿+ ( 功一q 肠q 一1 b q 定理1 3 6c a u c h y 不等式( 【2 0 】， 2 2 1 ) ： 2 a b a 2 + b 2 ，a ，b r 定理1 3 7 带e 的c a u c h y 不等式( 【2 0 】，【2 2 】) ： 2 a b e q 2 + b 2 e ，a ，b r ，e 0 定理1 3 8h 6 l d e r 不等式( 【2 0 】，【2 2 】)设：o 。p l ，o 。q 1 ，；1 + i 1 = 1 ，u 汐( u ) ，z 7 l q ( u ) 则有 u v d x i i u l i l 1 ，z r 川，1 p o 。，p 一1 q 0 ，l 。i m u ( r ) = 0 ， 缸7 ( 0 ) = 0 由此给出了具体的渐近展开式 这些结果改进和推广了y il i 和c h u n s h a nz h a o ( 【1 0 】) 的结果 本章的组织结构如下： 在第二节我们将介绍和证明一些引理； 在第三节我们将得出本文的主要结果； 在第四节我们将对本文进行一些回顾与展望 硕士学位论文 2 2 一些引理 引理2 2 1 设乱( z ) = u ( r ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个基态正解，n ( ，) = o + 专，a ( 0 ，眵) ，d 【0 ，) ，忌 1 ，2 ，3 ， ， ，峻6 ( r ) = 6 【o ，。o ) 那么有 ( m p - - 2 “1 ) ，+ 掣i u ，i p - 2 乱t _ a p ) u p - 1 + 6 ( 7 ) 乱q ：o ( 2 2 1 ) 证明结论( 2 、2 、1 ) 是明显成立的 引理2 2 2 设t = u ( r ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个基态正解，a ( r ) = a + d ，a 。( 0 ，o o ) ，d 0 ，o o ) ，七 1 ，2 ，3 ， ， 熙6 ( 7 ) = 6 【o ，o o ) 那么有 u ，( r ) 0 1 2 在r 凰时一定成立；因此 牡+ 器 在r 风时一定成立； 于是对 v r l ，r 2 【r o ，o o ) 且冗1 r 2 且u ( 昆) u ( r 2 ) ， 这意味着u ( r ) 在区间，一风上是严格单调减小的，因此 c ( r ) 二( l ) p l 。4 a 满足，那么有 ：p 一1 ) 妒寺一早妒一n ( r ) + 6 ( 7 ) 矿p + 1 孚妒舟( 2 2 3 ) 现在反设 l i r as u p 妒( 7 ) = r - - - + 0 0 令 。栌t 嘶訾( 等滂) ( 筹崩 由于妒( o ) = 0 和妒( r ) 0 在7 充分大时成立，因此有 0 n o 。 假如r 。= o o ，那么引理已获证明 现在我们假设r ， 0 在，- 充分大时成立，从式( 2 、2 、2 ) 和引理( 2 2 4 ) 可得到 0 l i mi n f 妒( r ) = 1 3 e o o r _ o o 和 0 l i ms u p 妒( ? - ) = p o o r _ o o 下面证明 a = 口 反设o 和 g ： 它们在i 趋向于无穷大时也趋向于无穷大；并且 仇) 是妒的局部极小值点； ( i ) 是妒的局部极大值点； 且有 班 g o 其中妒：( 等) 宁，n 0 = p 妒孛，f ( 3 ) = 0 9 - 1 ) ( + s ) 南 特别是有 l i mu ”号乎e 妒争r ：a t ( r ) r l i 芦广e r = a r 1 7 其中常数劬满足 0 q 0 ，这里存在一个常数c ( e ) ，且0 c ( 0 。o ，使满足 缸( 7 ) c ( ) e 一( 筲) r ( 2 3 1 ) 特别的取e = 警，我们有 u ( r ) c ( 口) e 一( 耥) r 为了方便起见，令 ( 赫) 5 = b ，、2 ( p 1 ) 7 叫 我们有 u ( r ) c e 柏r ( 2 3 2 ) 接下来我们将给出一个更精确的v ( r ) 的渐近展开式 令妒= 妒+ 妒l ， 从式( 2 、2 、2 ) 和引理( 2 2 5 ) 我们可得到 l i r a 妒1 ( r ) = 0 r + 和妒。( r ) 满足 科二p t ) ( v o o + 妒，) 舟+ 型 + 妒。) + n ( r ) 一6 ( r ) 俨一p + l = o 也就是 妒：一p 妒孛妒1 + 盟 妒l = 一n ( r ) + b ( r ) u q p + 1 + ( p 一1 ) ( 妒+ 妒1 ) 寺 一p 妒亭妒1 一盟 妒 ( 2 3 3 ) 注意到 1r 6 ( 7 ) u p p + 1 ( 7 ) = o ( u q - - p + l ( ， ) ) 在，一o 。时成立， 令h = g p + 1 ， 在r 充分大时我们将会得到：， 一。( r ) + 6 pu q p + l = 一一罟+ o ( 乱h ) ( 2 3 4 ) 同时在，充分大时得到 ( p 一1 ) ( 妒+ t 0 1 ) 寺：( p 一1 ) 妒孛+ p 妒孛妒1 + o ( 妒；) ( 2 3 5 ) 因此从式( 2 、3 、3 ) ，( 2 、3 、4 ) ，( 2 、3 、5 ) 可知，在，充分大时有 “瞒- 1 _ 1 时竿舻1 2 ) 一竿妒一要+ o ( u 气，( 2 3 6 ) 在式( 2 、3 、6 ) 两边同时乘以妒。，再对方程两边同时从，到o o 进行 积分，在，充分大时得到， i 1 2 1 p ) + r ( p 妒孛一半 + o ( 妒1 ) ) 妒 d s = r ( n - 1 ) 。卫o o t d y _ 1 d s ro ( u h ) 妒1 d s ( 2 3 7 ) = r 、( n - - 1 ) 。v o o + d o ( u h ) ) 妒1 d s 因此在，充分大时得到： 即孛一旦 + d ( 扣o y y o 古。 即葑1 一= 二+ d ( 妒1 ) 二n ，一p t 和 ( n - 1 ) ( p o o + d o ( u h ) r 时成立 因此在r 充分大时有 + 即孛巾s 2 ) 由下式所决定 注意到 c i2 ( 一1 ) 妒+ d 釜：2 ( 一2 ) c l 一瓦与妒葑1 c ； ( 一2 ) q 一1 一知白= i = 2 当r _ o 。时有 由此可得 其中常数g 满足 一 t 1 = 产( 啪。q ；) 让，上 2 一妒p 一1 t l i m “( r ) ，气乎声，：c i ， ，。“( 7 ) ，1 哥品= ， 0 0 j 1 戥 ( n - 1 ) c l - 1 - - a o c t = 壹学( ，2 七 i = 2 i l + i 2 + i i = l ，i l ，缸 o 特别是有 l i r au ( 7 ) r 赫e 妒声r = g ， 其中常数q 满足 0 g o o 证明此定理的证明思路和定理( 2 、3 、1 ) 证明思路是类似的 令 妒p ) = 妒o o + 垆1 ( r ) ， 2 3 硕士学位论文 从式( 2 、2 、2 ) 和引理( 2 2 5 ) 我们可得到 一l i e 妒t ( r ) = 0 和妒1 ( r ) 满足 d 一知妒- + _ n - 1 妒t = 一口p ) + 6 ( r ) 乱_ i l + 一1 ) ( 妒+ 妒。) 寺一0 0 妒。一半 ( 2 3 2 1 ) 注意到 l i r au ( r ) = 0 r _ + o o 7 和 b ( o u h = o ( u h ) 在r o 。时成立，同时在，充分大时有 ( p 一1 ) ( 妒+ 妒1 ) 舟：( p 一1 ) 妒孛+ 锄妒1 + d ( 妒 ) 从式( 2 、3 、2 1 ) 和( 2 、3 、2 2 ) 可知，在r 充分大时有 科一蝴+ 竿舻i ) - 坠竽一万d + o ( u h ) 在式( 2 、3 、2 3 ) 的两边i 司时乘以妒，再于方程两边同时从r 到0 t 3 进 行积分，在r 充分大时可得 扣) + 厂( n o 一孚+ o ( 肼虻厂( 半+ 熹- 0 ( 眦 o 2 32 4 ( ) 取r 充分大，可得 n d 一竿+ o ( 妒1 ) 丢知 n d 一+ u ( 妒1 ) ：知 q 。 ， 和 ( n - 1 ) 妒o o + 1 d o ( u h ) r 时成立 因此取充分大的，可得 妒；( r ) + a o 衍d s 4 半妒。d s 妒+ 4 坐半妒ls 注意到 2 ，毕妒t d 3 詈荫d s + 华0 0 刍d s 2 3 2 2 3 3 2 2 一类拟线性椭圆方程基态正解的渐近行为 由于上面的估计和式( 2 、3 、2 4 ) ，我们在r 冗分大时得到 ，挚d s ( 2 3 2 5 ) 因此当，_ o 。时，有 妒= o ( 吾) ( 2 3 2 6 ) 也就是当r _ o 。时，有 o ( 妒i ) 一挚一万d = d ( 吾) 通过这个估计和式( 2 、3 、2 3 ) 以及( 2 、3 、2 ) ，当r _ o o 时有 讲一蝴+ 孚旷d ( 吾) ( 2 3 2 7 ) 同样的重复式( 2 、3 、1 1 ) ，( 2 、3 、1 2 ) ，( 2 、3 、1 3 ) 中的过程，当r 。 时有 妒l ( 7 ) = o ( 吾) ( 2 3 2 8 ) 从式( 2 、3 、2 s ) ，( 2 、3 、2 3 ) 和( 2 、3 、2 ) 可得 n - l e - a o r 妒。1 _ _ r n - l e - a o r ( 坠竽+ d ( 勃 ( 2 3 2 9 ) 与式( 2 、3 、1 1 ) ，( 2 、3 、1 2 ) ，( 2 、3 、1 3 ) 中的过程一样，我们得到 州= 与笋+ o ( ( 2 3 铷) 同样的令 炉与笋蝴 妒l = 二型+ 妒2 ， 其中 妒2 = 0 ( 石1 ) 现在我们可以重复上面的步骤，从而得到如定理( 2 、3 、2 ) 所叙的渐 近展开式，接下来我们需要决定系数q ( i = 1 ，2 ，) 的值 令 一 f ( s ) = p 1 ) ( 妒+ b ) p - 。1 ， 那么f ( s ) 在s = 0 处的t a y l o r 展开式如下： 以曲二蒜瓮葺二簿 皿3 趣， 2 卫一3，、l 么o o 上i 一船鲁妒s 3 + + 学矿+ ， 、一 其中 。 f ( o ) = 业垃辈希掣妒# 擎，n 4 那么我们从式( 2 、3 、2 1 ) 可得 将式 纠一蝴+ 孚舻d 蚴i 毕一著+ 嚆讲+ ( 2 3 3 2 ) + 学十 v 。 妒，( 7 ) = 7 c l 十c 2 + + 暑+ 代入式( 2 、3 、3 1 ) ，同时比较7 1 ( ? = l ，2 ，) 的系数得 c 1 ：( n - 1 ) ( p o o ， a o q ( 1 2 ) 由下式所决定 或者 ( n - 1 ) c l r 之c l + d = l 掣( 啪。) ，2 ：七 i = 2 “ i 1 + i 2 + + i = l 注意到 ( n - 1 ) c t _ 1 - - a o c i - - - l 掣( 嘞训 j 南 i = 2 i l + i 2 + + i i = l 乱，上 i 2 一妒p 1 ， 2 6 一类拟线性椭圆方程基态正解的渐近行为 当r o 。时有 由此可得 其中常数g 满足 警= 一( 妒孛+ 署争+ o ( 古) ) = 一妒嚣1 一趸n 而- 1 + o ( 吉) ， l i mu ( r ) r ；汹e 妒宁r = g ， 1 1 - - o o 定理( 2 、3 、2 ) 的证明完成 0 c 2 o o 2 4 回顾与展望 ( 2 3 3 3 ) 从2 2 和2 3 的证明可以看出，方程( 2 1 1 ) 中的项6 ( r ) 所满足 的条件： l i m b ( r ) = b 【0 ，o o ) r _ 可以放宽为： 6 ( r ) 在区间【0 ，o o ) 上有界；那么有 6 ( r ) u 口呻+ 1 ( r ) = 0 - p + l ( 7 ) ) 在，_ o o 时成立 因此引理( 2 2 4 ) 和引理( 2 2 5 ) 仍然成立，由此可以得出定理 ( 2 、3 、1 ) 和定理( 2 、3 、2 ) 仍然成立 接下来我们考虑方程( 2 1 1 ) 中的项o ( r ) 所满足的条件： n p ) = n + 暑， a ( 0 ，o 。) ，d 【0 ，o o ) ，k l ，2 ，3 ， 2 7 硕士学位论文 如果把它改为： 口( r ) = a + 妥， a ( 0 ，o o ) ，d 0 ，o 。) ，k ( 0 ，o 。) 引理( 2 2 4 ) 和引理( 2 2 5 ) 仍然成立 但是当k 不是正整数而是正分数时，例如k ( 0 ，1 ) 时，要想给出 一个更精确的妒( r ) 的渐近展开式将会变得非常困难，这有待于进一 步的研究 2 8 参考文献 【1 】f g a z z o l a ，j s e r r i n ，a n dm t a n g e x i s t e n c eo fg r o u n ds t a t e sa n df r e eb o u n d - a r yp r o b l e m sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i co p e r a t o r s a d v d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s5 ( 2 0 0 0 ) 1 3 0 【2 】b g i d a s ，w m n i ，l n i r e n b e r g s y m m e t r yo fp o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n si nr n ，m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，p a r ta ，p p 3 6 9 - 4 0 2 a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r kl o n d o n ，1 9 8 1 m r 0 6 3 4 2 4 8 ( 8 4 a ：3 5 0 8 3 ) 【3 】t k a t o ，g r o w t hp r o p e r t i e so fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h er e d u c e dw a v ee q u a t i o n w i t hav a r i a b l ec o e f f i c i e n t ，c o m m ，p u r ea p p l m a t h 1 2 ( 1 9 5 9 ) ，4 0 3 _ 一4 2 5 【4 】m k k w o n g ，j e m e l e o d ，l a p e l e t i e r ，w c t r o y , o ng r o u n d s t a t es o l u t i o n so f 一“= u p 一俨j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s9 5 ( 1 9 9 2 ) 2 1 8 - 2 3 9 【5 】y l i a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fp o s i t i v es o l u t i o n so fe q u a t i o n sa u + k ( x ) u p = 0i nr n j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s9 5 ( 1 9 9 2 ) ，n o 2 ，p p 3 0 4 - 3 3 0 m r l l 6 5 4 2 5 ( 9 3 k ：3 5 0 4 8 ) 1 6 】6 v i t a l il i s k e v i c h ，s o f y al y a k h o v a ，v i t a l ym o r o z p o s i t i v es o l u t i o n st on o n l i n e a r p - l a p l a c ee q u a t i o n sw i t hh a r d yp o t e n t i a li ne x t e r i o rd o m a i n s j d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s2 3 2 ( 2 0 0 7 ) 2 1 2 2 5 2 【7 | y l ia n dw m n i ，o nt h ec o n f o r m a ls c a l a rc u r v a t u r ee q u a t i o n si nr n ，d u k e m a t h j 5 7 ( 1 9 8 8 ) ，8 9 5 9 2 4 1 8 | 8 y l ia n dw - m n i ，o nt h ee x i s t e n c eo fs y m m e t r yp r o p e r t i e so ff i n i t et o t a l m a s ss o l u t i o n so ft h em a t u k u m ae q u a t i o n ，t h ee d d i n g t o ne q u a t i o na n dt h e i r g e n e r a l i z a t i o n s ，a r c h r a t i o n a lm e e h a n a l 1 0 8 ( 1 9 8 9 ) ，1 7 5 1 9 4 【9 l y l ia n dw - m n i ，o nt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r sa n ds y m m e t r yp r o p e r t i e so f p o s i t i v es o l u t i o n so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n si n 冗住a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l ( 1 9 9 2 ) ，1 9 5 2 2 2 【l o jy l i ，c h u n s h a n z h a o an o t eo ne x p o n e n t i a ld e c a yp r o p e r t i e so fg r o u n ds t a t e s f o rq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ，p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a l s o c i e t y , v o l u m e1 3 3 ，n o7 ，p p 2 0 0 5 - 2 0 1 2 ，s0 0 0 2 - 9 9 3 9 ( 0 5 ) 0 7 8 7 0 - 6 【i i 】w - m n i ，o nt h ee l l i p t i ce q u a t i o na u + k u ( n + 2 ) ( n 一2 ) = 0 ，i t sg e n e r a l i z a t i o n s a n da p p l i c a t i o n si ng e o m e t r y , i n d i a n au n i v m a t h j 3 1 ( 1 9 8 2 ) ，4 9 3 5 2 9 【1 2 】w - m n i ， s o m ea s p e c t s o fs e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s i n r n ， i n ”n o n l i n e a r d i f f u s i o n e q u a t i o n s a n dt h e i r e q u i l i b r i u m s t a t e s 2 9 ”( w - m n i ，l a p e l e t i e r ，a n dj s e r r i n ，e d s ) ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ， 1 9 8 8 【1 3 】w - m n i ，o nt h ep o s i t i v er a d i a ls o l u t i o n so fs o m es e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a - t i o n so nr 馆，a p p l m a t h o p t i m 9 ( 1 9 8 3 ) 3 7 3 3 8 0 f 1 4 1w m n i ，i t a k a g i o nt h es h a p eo fl e a s te n e r g ys o l u t i o n st oas e m i - l i n e a rn e u - m a n np r o b l e m ，c o m m p u r ea p p l m a t h4 4 ( 1 9 9 1 ) ，n o 7 ，8 1 9 8 5 1 m r l1 1 5 0 9 5 ( 9 2 1 ：3 5 0 5 2 ) 【1 5 1w m n i ，j w e i o nt h el o c a t i o na n dp r o f i l eo fs p i k e - l a y e rs o l u t i o n st os i n - g u l a r l yp e r t u r b e ds e m i - l i n e a rd i r i c h l e tp r o b l e m s ，c o m m p u r ea p p l m a t h 4 8 ( 1 9 9 5 ) ，n o 7 ，7 3 1 - 7 6 8 m r l 3 4 2 3 8 1 ( 9 6 9 ：3 5 0 7 7 ) 【1 6 lw - m n ia n ds y o t s u t a n i ，o nm a t u k u m a se q u a t i o na n dr e l a t e dt o p i c s ，p r o c j a p a na c a d s e r am a t h s c i 6 2 ( 1 9 8 6 ) ，2 6 0 一2 6 3 【l7 】w - m n ia n ds y o t s u t a n i ，s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n so fm a t u k u m at y p ea n d r e l a t e dt o p i c s ，j a p a nj a p p l m a t h 5 ( 1 9 8 8 ) ，1 3 2 ， 【1 8 jj s e r r i n ，m t a 唱u n i q u e n e s so fg r o u n ds t a t e s f o r q u a s i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s ，i n d i a n au n i v m a t h j 4 9 ( 2 0 0 0 ) n o 3 ，p p 8 9 9 2 3 m r l 8 0 3 2 1 6