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电磁波作用下人体的电场应力分布 2 a b s t r a c t t h ei n t e r a c t i o no fs t a b l e p l a n ew a v ea n de l e c t r o m a g n e t i cp u l s e f i e l d sw i t h h u m a n b o d y i ss t u d i e di nt h i sp a p e rb a s e de l e c t r i cf i e l ds t r e s s t h er e s e a r c hi so f g r e a t i m p o r t a n c e b o t hi n t h e o r y a n di n p r a c t i c e i t c a no f f e rd a t a b a s e sn o to n l yf o r e l e c t r o m a g n e t i cd o m e s t i cr e s e a r c h ，b u ta l s of o rm e d i c a la p p l i c a t i o ni nt h ef u t u r e ( f o r e x a m p l eab l i n dm a nm a yb eg e n e r a t e da c o u s t i cs i g n a l sf o rm i c r o w a v ea u d i t o r y e f f e c t s ) ，a l s of o r t h ep r e s t u d yo f m i c r o w a v eb e i n g u s e da sw e a p o n i nt l l i s p a p e r , t h ec a l c u l a t i o n i sm a d eo ft h ee l e c t r i cs t r e s sd i s t r i b u t i o na n d s p e c i f i ca b s o r p t i o nr a t e ( s a r ) d i s t r i b u t i o ni nt h eh u m a nb o d ye x p o s e d t ot h es t a b l e p l a n ew a v ea n dn u c l e a re x p l o s i o ne l e c t r o m a g n e t i cp u l s ea n dm i c r o w a v ew e a p o n e l e c t r o m a g n e t i cp u l s e t 1 1 eh i g h l i g h t si nt h er e s e a r c ha r e f i r s t l y , t h es o f t w a r e t or e a l i z ef d t d ( f i n i t e d i f i e f e n c et i m e - d o m a i n ) m e t h o da n d r f d ) 2 t d ( f r e q u e n c y d e p e n d e n t f i n i t e - d i f f e r e n c e t i m e d o m a i n ) m e t h o d w e r e p r o g r a m m e d ，a n d t h e i rc o r r e c t n e s si sv e r i f i e d s e c o n d l y , t h e h u m a nb o d yi ss i m u l a t e d b y am o d e l 、i t i l i n h o m o g e n e o u s d i e l e c t r i cc o n s t a n ta n dc o n d u c t i v i t yi nt h ef d t dp r o g r a mt oc a l c u l a t et h ee f f e c to f s t a b l ep l a n ew a v et ot h eh u m a nb o d y i nt h es a m et i m et h em o d ec a nb eu s e di n ( f d ) 2 t dp r o g r a m m e dt oc a l c u l a t et h ee f f e c to fe l e c t r o m a g n e t i cp u l s et ot h eh a m a n b o d yb yu s i n gd e b y ep a r a m e t e r t h i r d l y , t h es t r e s sd i s t r i b u t i o ni nt h eh u m a nb o d ye x p o s e d t os t a b l ep l a n ew a v ei s c a l c u l a t e di nd i f f e r e n ti n c i d e n td i r e c t i o na n dd i f f e r e n tp o l a r i z e d a l s ot h es t r e s se x e r t s o nt h es u r f a c eb e t w e e nh u m a ns k u l la n db r a i nt i s s u ei sc a l c u l a t e dw h e nt l l eh u m a n b o d yi se x p o s e dt o n u c l e a re x p l o s i o ne l e c t r o m a g n e t i cp u l s eo rm i c r o w a v ew e a p o n e l e c t r o m a g n e t i cp u l s e i nl e f ti n c i d e n td i r e c t i o na n d p a r a l l e lp o l a r i z e d t h ec o n c l u s i o n sa r ef o l l o w e d ：1 w h e nt h eh u m a n b o d y i se x p o s e dt op l a n ew a v e ( 1 0 0 m h z o r3 0 0 m h z ) ，t h el e f ti n c i d e n tw a v ew i l lh a v eh i g h e re f f e c t so nb o d yt h a n t h ef r o n t ( o rb a c k ) i n c i d e n tw a v e ，i n c l u d i n gt h es t r e s sd i s t r i b u t i o na n ds a r 2 w h e n t h eh u m a n b o d y i se x p o s e dt on u c l e a re x p l o s i o ne l e c t r o m a g n e t i cp u l s e ，t h ep e a ks t r e s s e x e r t e do nt h es k u l ls u r f a c ew a sc a l c u l a t e dt ob e4 3 4 7 18p a 3 w h e nt h eh u m a n b o d y i se x p o s e dt om i c r o w a v ew e a p o ne l e c t r o m a g n e t i cp u l s e ，t h ep e a ks t r e s se x e r t e do n t h es k u l ls u r f a c ew a sc a l c u l a t e dt ob e4 3 2 7 7x1 0 5 p a k e y w o r d s ：p l a n ew a v e e l e c t r o m a g n e t i cp u l s e f d t dh u m a n b o d y e l e c t r i cf i e l ds t r e s s 第一章绪论 第一章绪论 1 1论文选题背景及意义 随着电子技术的迅猛发展和信息时代的快速逼近，人们在体会到它给社会 文明带来极大推动力的同时，也感受到了生存空间电磁环境的日渐复杂：在努 力企图通过信息给社会带来极大经济效益的同时，也在慎重考虑、分析和研究 由之而产生的复杂电磁环境与人类自身健康的关系。如果说，发展信息产业是 为了兴其经济效益之利，那么，研究电磁环境与人类自身的关系则是为了兴社 会效益之利。事实上，后者形成了一个专门的研究领域，即生物电磁学，该领 域主要涉及五个方面的内容：1 ，电磁场( 波) 的生物学效应，研究电磁场( 波) 作 用使生物系统发生了什么响应；2 电磁场( 波) 生物学效应的机理，研究电磁场( 波) 的作用为什么会使生物系统发生此类响应；3 生物电磁剂量学，研究在何种电 磁参量条件下才会发生此类响应；4 生物组织电磁特性，即将生物组织作为媒 质看待时它的电磁参数及特点，研究产生此类响应的生物学依据；5 电磁场( 波) 的医学、生物学应用。研究此类响应有什么用途及如何应用。 从一般意义上讲，电磁波作用于生物系统的最终动因可以是焦耳热、电磁 能、反应物化学活性的改变或电磁场应力等。本文正是从电场应力的角度研究 生物电磁学的相关问题的。 该课题的目的在于分析在平面电磁波、脉冲电磁波、微波武器以及爆炸( 特 别是核爆炸) 所伴随的电磁波作用下人体内特别是头颅内的电场应力分布。揭 示：( 1 ) 等辐波作用下人体内电场应力的分布规律：( 2 ) m w ( 兆瓦) 级脉冲波 作用下人体内电场应力的分布及应力极值分布区域：( 3 ) 爆炸电磁脉冲作用下 人体内电场应力的分布规律及极值。该研究的意义在于：( 1 ) 为电磁波通过应 力途径产生生物学效应提供理论基础和相应的生物电磁剂量学资料：( 2 ) 为可 能的医学应用( 如用电磁波产生聋人听觉) 提供资料；( 3 ) 为将微波作为一种非 致死武器作预研究并提供相应数据和资料：( 4 ) 为生物电磁剂量学提供数据。 1 2生物电磁学概述 电磁场对生物特别是对人体是否产生影响及产生何种影响的研究促成了一 2 电磁波作用下人体的电场应力分布 门交叉学科“生物电磁学”的产生。广义来讲，其研究内容包括：1 外界 电磁场( 波) 与生物体的作用，发现电磁场在生物系统上产生的各种效应，以达 到利用其正效应避免负效应，服务于人类健康的目的；2 研究生物体特别是人 体自身的电磁过程及其与生命活动的关系和宏观表现形式。但后者在早期开始 时己被列入生理学和生物电生理的研究内容，因而目前生物电磁学的研究主要 集中于前者。所以狭义来讲，生物电磁学的研究内容是与前者相关的领域，主 要包括：电磁场生物学效应的实验研究，电磁场生物学效应的机理研究，生物 组织电磁特性的研究，生物电磁剂量学研究以及电磁场生物学效应的应用研 究。 人们把电磁场( 波) 在生物系统中所引起的与生命现象有关的响应称为电磁 场( 波) 的生物学效应。依据引起效应的原因，又将其分为热效应和非热效应两 种形式。所谓熟效应是指由在生物系统内转变为焦耳热的那部分电磁能所引起 的生物学效应，这种效应的特点是效应的强度仅与吸收功率成正相关而不具有 电磁场( 波) 的频率特异性和功率密度特异性。关于这方面的实验结果已有不少 文献做了报导。所谓非热效应是指由在生物系统内未转变为焦耳热的那部分 电磁能直接引起的生物学效应，这种效应的特点是，引起效应的电磁能量远小 于效应本身所蕴含的能量，意即电磁场仅起效应的触发作用，而引起效应的实 际能源是生物系统新陈代谢能。非热效应往往表现出电磁场( 波) 的频率特异性 和强度( 功率密度) 特异性，亦即只有若干离散的特定频率和特定密度的电磁场 ( 波) 才会引起生物学效应。这方面的实验结果也有不少报导。 1 3有关人体与电磁波相互作用的研究工作的概述 有关人体与电磁波相互作用的问题已经在很多国家有很多年的研究历史 了。随着计算工具和测量手段的发展、进步，在对这个问题的研究中，所涉及 的计算方法越来越精确，所涉及的人体模型越来越精细。在很多人共同努力了 很多年的基础上，有关人体与电磁波相互作用的研究结果将越来越能精细地揭 示这一自然界的实际情况。本节纵向说明在电磁波作用下人体内部应力分析的 发展状况，横向比较人体与电磁波相互作用的分析方法。 一电场应力的研究 关于电磁波作用下在生物体内产生电场应力问题，最早( 1 9 7 7 年) 起源于对 微波听觉效应机理的研究，提出了电磁波作用于生物体可产生三种弹性压的观 点，一是热弹性压，二是电致伸缩压，三是表面辐射压，且认为热弹性压起主 要作用：在此之后( 1 9 8 6 年) 的代表性研究认为，在微波低端热弹性压起主要作 第一章绪论 3 用，而在微波高端则电致伸缩压大于热弹性压或至少可与热弹性压相当。近期 研究的代表观点( 1 9 9 6 年) 认为，以前研究中的模型过于简化且没有充分考虑生 物组织的多样性及电参数的不均匀性。因而提出了生物组织界面电参数突变所 产生的电场应力。仔细分析以前的所有研究，可以发现均采用平面或平面分层 模型，其原因在于回避分析电磁场在生物体内传播时所带来的复杂性。而今， 若采用f d t d 这种数值方法是可以处理十分接近真实人体模型所遇到的场分 布问题的复杂性的。本文试图通过f d t d 计算方法分析更真实人体模型的电 磁场分布，进而分析体内的电场应力分布 二电磁场计算方法概述 1 解析法 早在1 9 9 1 年，g u y 就总结了人体各部分场强分布的近似求解方法。在那 个年代，计算机的功能还不足以用来计算复杂的人体模型内的场强分布，但是， 用于计算球体内场强分布的求解方法已经较为成熟，解决球体内场强分布的方 法基本上是以幂级数展开理论( 1 9 0 s ) 为基础的。 早期最重要的一篇文章是由s h a p i r o 等在1 9 7 1 年发表的一篇文章。这篇 文章奠定了人体头部幂级数展开模型的基础，同时也证明了将头部表面进行分 层的可能性。这篇文章研究了多层球状模型在微波段平面波辐射下，模型内部 的感应场和温度变化情况。这个球体模型近似地模拟了动物的头部结构。整个 模型包括同心的五层材料，分别代表皮肤、皮下脂肪、颅骨、骨髓和脑髓。各 层材料的介电常数和电导率选自公开发表的人体组织的特性参数。后来k r i t i k o s 和s c h w a n ( 1 9 7 5 ) 用同样的方法在1 0 m h z 到1 2 g h z 频率范围内，计算了具有 与人脑相同电特性参数的有耗球体内部的热能分布。近来著名的天线研究者 k i n g ( 1 9 9 5 ) 将上述方法稍做改动后，计算了在偶极予天线近场作用下，球体内 的场强分布。 2 数值计算方法f d t d 法 迄今为止，采用时域有限差分法( f d t d ：f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n ) 来 分析有关人体( 包括生物体) 与电磁波相互作用问题的文章最多。f d t d 法最早 是由y e e 在1 9 6 6 年提出来的。虽然从那时起直到现在，这种方法有了很大的 发展，但大多数f d t d 软件包还是采用了基本的y e e 氏网格。 最早的f d t d 软件之一是t h r e d e ，它是在时域中，在三维笛卡尔坐标 系中求解m a x w e l l 方程，并采用了吸收边界条件( a b c ：a b s o r b i n gb o u n d a r y c o n d i t i o n s ) 。最初，开发这个软件是为了预测核电磁脉冲对军用设备的影响 ( h o l l a n d ，1 9 7 7 ) t “，它采用m e r e w e t h e r ( 1 9 7 1 ) 的吸收边界条件以模拟自由空间的 环境【”。这种算法能在有限的计算空间边界上消除非物理的反射。后来，该软 4电磁波作用下人体的电场应力分布 件被美国政府改为商用软件，并进一步加以改进，加入了m u r 一阶近似边界 条件( m u r ，1 9 8 1 ) 和m e i 与f a n g ( 1 9 9 2 ) 的吸收修正算法。 t a f l o v e 和u m a s h a k a r ( 1 9 8 9 ) 总结了f d t d 法在电磁波的散射和相互作用问 题的应用i ”。该作者描述了f d t d 法的般特性和应用，并引用了在1 0 0 和 3 5 0 m h z 时，整个人体模型的s a r ( b p 比吸收率，单位质量生物组织吸收的电 磁功率) 分布的一个例子。作者提出在有关电磁波与生物体组织相互作用的研 究中采用f d t d 法是出于两个原因：一，在f d t d 网格中，每个格点上媒质 的场矢量和媒质的电磁参数是单独规定的，这使得这种方法能适用于复杂的生 物体组织；二，f d t d 法与其它方法相比，对所需的计算机资源要求较低。一 些早期的报告也提出了使用并行计算机。 g a n d h i 等在1 9 9 3 年提出了用于计算人体感应电流的依赖于频率的时域有 限差分法( ( f d ) 2 t d t s ( f r e q u e n c y - d e p a n d e n tf i n i t e d i f f e r e n c e1 抽ed o m a i n ) 。标 准的f d t d 法几乎完全忽略了人体介质的色散特性，这对于频带很宽的短脉 冲来说，会造成很大的误差。g a n d h i 等提出的方法则可用于计算典型的色散 媒质，他们以一维和三维的由三分之二等效肌肉的材料所构成的人体模型为 例，采用( f d ) ：t d 法计算了空气与水交界面处垂直入射时的反射系数。结果表 明，在各个不同的频率点上，采用这种方法计算的结果与采用解析法计算所得 的结果符合得非常好。 三其他数值计算方法 r u k s p o l l m u a n g 和c h e l a 在1 9 7 9 年用矩量法计算了在平面波辐射作用下， 包括1 8 0 个网格的人体头部模型内的感应场，频率直到2 4 5 0 m h z 。在这么高 的频率上，只划分1 8 0 个网格的人体模型的可靠性是值得怀疑的。但是这种试 图建立更接近实际的人体模型的工作还是值得推荐的。 m o r g a n ( 1 9 s 1 ) 采用有限元法( f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ) 计算了由具有轴对称 的、非均匀的有耗媒质所构成的人体头部模型的电磁波透射问题，频率为l 到 3 g h z t 6 1 。该作者利用人体解剖图中横截面分层的数据构成轴对称的人体模型。 该模型的上部为半球形，下部为椭圆球体，分别赋予实际人体组织的介电常数 和电导率。有限元法的正确性通过计算有耗均匀球体和一个五层非均匀球体的 内部功率密度分布和功率损耗来证明。该作者指出应用有限元法的一个重要限 制是人体模型必须是轴对称的。 c h e n 和w a n g ( 1 9 9 4 ) 用褶积程序( c o n v o l u t i o np r o c e d u r e ) 计算了在电磁波脉 冲作用下，人体内的感应电流。由于计算的最大频率为7 1 5 m h z ，因此，模型 内的最短波长为5 2 5 c m 。该作者提出了标准的f d t d 法和( f d ) 2 t d 法所特有 的不足之处是整个算法要求计算机主机或工作站的内存大于2 5 2 4 m 比特。但 第一章绪论 5 这个不足之处可通过计算和存储人体的脉冲响应来克服。计算结果表明，用褶 积法得到的结果与用标准f d t d 法或( f d ) 2 t d 法得到的结果相当一致。 1 4 本文的主要工作和特点 本论文的工作是围绕平面电磁波、脉冲电磁波、核爆炸脉冲波所伴随的电 磁波作用下人体内的场强和电场应力分布的理论研究而展开的。 具体说来，本论文的工作主要包括以下几个方面； 一编制并使用时域有限差分法( f d t d ) 来计算单一频率点的平面电磁波 在不同的入射方向以及电场极化的条件下作用时，人体内外的场强和电场应力 以及比吸收率s a r 分布。 二编制并使用色散时域有限差分法( f d ) 2 t d ) 来分析在脉冲波包括核爆炸 脉冲波和微波武器发射的脉冲波作用下，人体内外的场强和屯场应力和比吸收 率s a r 。 三在人体医学解剖图的基础上，首先用图像处理软件来得到对应于人体 每个剖面层各种组织的彩色图，然后用m a t l a b 工具将颜色图转换为用网格划 分的数学模型，再通过编制的m a t l a b 程序将数学模型中的每种组织赋予相应 的电参数，最终建立人体的数值化电磁模型。这是本文工作的重点和难点所在， 也是本文的一大特点。 四同理，在计算宽频带电磁波脉冲对人体的作用时，利用德拜公式，以 及人体组织电磁特性公开发表的经验数据，根据人体每个剖面层的数据模型， 通过m a t l a b 程序将数据模型中的各个组织赋予相应的德拜常数，最终建立了 人体的德拜色散模型，同样是本文的一大特点。 五论文给出了通过眼睛横剖面层电场应力分布的具体位置，这是时域有 限差分法的一大优点，同时也具有实际应用价值，这是本文一个特点。 最后，对本文工作的一些重要结论进行概括总结，并提出进一步工作的建 议。 6电磁波作用下人体的电场应力分布 第二章时域有限差分f d t d 法概述 2 1f d t d 法的基本原理 一y e e 氏网格介绍 f d t d 法是直接用有限差分式代替m a x w e l l 时域场旋度方程中的微分式得 到关于场分量的有限差分式，用与该单元所代表的生物组织具有相同电参数的 空间网格去模拟被研究的物体，选取合适的场的初始值和计算空间的边界条 件，去模拟相关的物理界面，再通过计算机编程计算，最终得到包括时间变量 在内的m a x w e l l 方程的数值解的一种数值计算方法。 为了建立差分方程，首先要把求解空间离散化，通常用一定形式的网格来 划分求解空间，且只取网格节点上的未知量作为计算对象，再通过差分代替微 分，用离散变量的差分方程近似代替连续变量的微分方程，进行求解。 k s y e e 在1 9 6 6 年提出了如图2 1 的网格划分，场分量的典型关系如图2 2 所示。其特点是在同一网格中，电场和磁场各分量在空间的取值被交叉地放置， 使得每个磁场分量的四周由电场分量环绕。这样的电磁场空间配置符合电磁场 的基本定律f a r a d a y 电磁感应定律和a m p e r e 环路定律，满足了m a x w e l l 方程的基本要求，因而也符合电磁波在空间的传播规律。 电磁场问题与空间媒质的电磁特性直接相关，在网格空间中除了规定电场 和磁场的离散取值点外，还必须给出各离散点上相应媒质的电磁参量，即电场 离散点处的介电常数和电导率，磁场离散点处的磁导率和等效磁阻率。这也说 明，通过赋予空间各点电磁参数的方法可在网格空间中模拟各种媒质结构，使 得f d t d 法便于模拟电磁场与复杂媒质的相互作用。 二m a x w e l l 旋度方程的有限差分表示 设电磁参数不随时间变化，并引入虚构磁流概念，则宏观电磁场的m a x w e l l 旋度方程可表示为： + an 呻 v e = 一= 一厶( 2 1 - 1 ) v x 五：等+ z ( 2 1 - 2 ) 西 。 、7 第二章时域有限差分法 7 图2 1y e e 氏网格单元 h x 点 ： 1 li l ( a ) 在八分之一单元内( b ) 在平面上 图2 2 场分量间的典型关系 以上两式中，e 为电场强度( v m ) ；h 为磁场强度( a m ) ：d 为电位移矢 量( c m 2 ) ；b 为磁感应强度( t ) ：j 。为电流密度矢量( a m 2 ) ；j 。为磁流密度 矢量( v m 2 ) 。 对于各向同性媒质而言，在实际工程问题中经常遇到的场强范围内，本构 关系是简单的线性关系： - q , _ d = s e ( 2 1 - 3 ) b = “h ( 2 1 - 4 ) 式中，s 为介电常数( f m ) 为磁导率( h m ) 。 在电和磁的导体中，对电流密度矢量和磁流密度矢量有下式成立： _ - j t = 盯e ( 2 1 - 5 ) j m = o 。h ( 2 1 6 ) 8电磁波作用下人体的电场应力分布 式中，盯为o g - 导- g ( s m ) , 1 3 m 为等效磁导g ( n m ) 。综合( 2 1 - 1 ) 和( 2 1 - 2 ) 式，m a x w e l l ：h - 程可写为： v ：= - a t - 汨否- t 一置( 2 1 - 7 ) v 。五：占旦墨+ 盯言 a f 在直角坐标系中，将( 2 1 7 ) 与( 2 1 - 8 ) 式展开可得： ( 2 1 - 8 ) 堡： ( 譬一譬一匾) ( 2 1 _ 9 a ) o ts 、a v如 “、7 笪o t = ( 盟o z 一警一吗)占、苏 堡： ( 塑一i o i l c r e , ) o t 占、o xa v 盟：土( 堡一堡一盯。以) o t “、o z o y ( 2 1 9 t b ) ( 2 1 - 9 c ) ( 2 1 - 9 d ) 堡o t = 吉( 誓一i o e , 一q ) ( 2 1 - 9 e ) 譬：上( 誓一誓一删 ( 2 1 - 9 9 f ) 8 tl 1 1a y敏 “ 。 在采用图2 1 所示的y e e 氏网格时，用缸，缈，位分别表示在x ，y ，z 轴方向的空间网格步长，时间步长用，表示，n 表示时间步长个数。网格元顶 点的坐标( x ，y ，z ) 可记为 ( i ，j ，k ) 。( ih x ，j y ，k az )( 2 1 - 1 0 ) 则任意空间( i j ，k ) 和时间n 的函数可表示为： f ”( f ，j ，k ) = f ( i a x ，j a y ，k a z ，n a t ) ( 2 1 1 1 ) 其中f 为任意时变函数。在大多数电磁场问题中( 在本论文中也是如此) ，计算 空间内为非磁性媒质，在这种情况下= t o ，盯。= 0 。此外，在非磁性媒质内，当 采用国际单位f b l j ( s i ) 时，电场和磁场在数值上往往相差较大，如在自由空间中平 面波的电场和磁场既有关系： e = r o h = 胁岛h ， ( 2 1 1 2 ) 第二苹时域有限差分法 9 _ - _ - _ _ - _ - - - - - _ _ _ _ - _ - _ _ - _ - 一 其中a3 7 7 f 。这种数值关系给计算带来不便。为克服这一影响，可用规一 化的电场营替代原来的电场e ，二者之间的关系为 e = e | 1 o = q 8 b | “4 eq 1 1 3 、 将( 2 1 9 a ) 至( 2 1 9 f ) 的六个标量方程式中的空间和时间上的微分用中心差 分代替，这里电场采用了归化的形式。便可得到f d t d 的基本方程式如下： 霹气，+ 如炉c a ( i + 扣”霹( ，+ 如卅c d c b ( i + 扣砂 【月。：+ ；( ，+ 1 ，- ，+ 吾，七) 一月? + ；( ，+ 圭，j 一圭，七) + h ：+ ；( ，+ 圭，七一圭) 一 。+ 上11 日，2 ( f + 寺，k + 寺) ( 2 1 1 4 ) 其中 ( j ，+ ；舢争= ( j ，- ，+ n 争c d 瓢_ ，+ ；n t ) 一 e ( “+ j 内+ 霹( “，| j + 圭) 一霹( “+ 1 ，后+ ：) 】( 2 1 - 1 5 ) 1 - o ( i , j , k ) a t 翻( f 删= 歪2 皿e ( i , , 洹k )】+ 二臻土拦 2 占( i ，j ，七) 倒工2 石薄s ( f ，女) + 鼍导些 c d ：墅 a s _ s q “a ( 2 1 - 1 6 a ) ( 2 1 1 6 e ) 盯为电导率，由于只有电介质，而无磁介质，故去掉了下角标。其它电磁场分量依 次类推。 应该注意的是，方程中电场各分量均取整数时间步长( 如n + l ，n 等) 的值， 磁场各分量均取半整数时间步长( 如n + l 2 ，n 1 2 等) 的值，且每一电场( 磁场) 分 量由上一时间步的电场( 磁场) 值和上半个时间步的磁场( 电场) 值求得，通过反 复迭代，即可模拟电磁波在空间传播及其与目标的作用过程。同时， s ，p ，盯，盯。都被表示为空间坐标的函数，因此这种算法在处理非均匀媒质时非 常方便和有效。 1 0 电磁波作用下人体的电场应力分布 三数值稳定性与色散性 由m a x w e l l 旋度方程按y e e 氏网格所导出的差分方程是一种显式差分格 式，它的执行是通过按时间推移计算电磁场在计算空间内的变化规律，因而存 在稳定性的问题。因此，需要合理地选取时间步长和空间步长的关系。对于非 均匀媒质构成的计算空间可选用如下的数值稳定性条件， 国= 其中v 。为不同媒质区域中电磁波的最大传播速度。 格，则a x = a y = 血= 占，于是上式化为， 躯彘 ( 2 i - 1 7 ) 如果采用均匀立方体网 ( 2 1 1 7 ) 在实际应用中，常取厨= 兰，其中c 为光速。 2 c 电磁波的传播随频率而变化的现象称为色散，存在色散现象的媒质称为色 散媒质。用有限差分方程近似代替m a x w e l l 旋度方程，模拟电磁波在空间的 传播时，在非色散媒质空间中也会出现色散现象，因为在f d t d 网格中波的 传播速度将随波长、传播方向以及离散化的情况而改变，这种非物理的色散现 象称为数值色散。它能够导致若干非物理性效应，如脉冲波形失真、人为的各 向异性和虚假的折射现象等。分析表明，数值色散是由于用近似差分计算代替 微分计算而引起的。因而色散效应可以通过减少离散化过程所取的时间和空间 步长而减小。对于给定的网格空间，数值色散还存在一个截止频率，高于该截 止频率的电磁波不能在这种网格空间中传播。为了减小波在y e e 氏网格中传 播时发生的畸变，应慎重选取空间步长。一般要求空间步长占小于波频谱中主 要高频分量所对应波长九；。的十分之一，这时不论波在网格中的传播方向如 何，主要频谱成分的数值相速的变化均小于1 。但实际分析时，在精度要求 不高时，也常取占 k 。5 等。在我们计算电磁场对人体作用时一般取 占 九。5 。 2 2 吸收边界条件 用f d t d 法求解对于像辐射，散射等这类开放问题时，所需的问题空间 是无限大的。而所取的问题空间越大，所需的计算机存储量越大。但计算机的 第二章时域有限差分法 1 1 存储量不可能是无限大的，因此，只能在问题空间中设置一定的边界，构成有 限的计算网格空间，以减少计算过程中所需的计算机的计算时间和存储空间。 为了使设置了边界的有限的计算空间网格能模拟无限大的空间，需对该有限空 间的边界做特殊的处理，使得向边界面行进的波在边界面处保持“外向行进” 的特征，无明显的反射发生，并且不会使内部空间的场产生畸变。具有这种功 能的边界条件称之为吸收边界条件，或网格截断条件。 实际中，在计算网格空间中设置边界，把网格空间截断后，在网格空间的 截断处所出现的反射并不是实际的电磁反射，而是由算法本身所导致的非物理 的电磁反射。这种反射的存在将严重影响计算精度。因此必须设置边界条件来 消除这种非物理因素引起的入射到截断边界上的波的反射以保证边界场的计算 精度。值得注意的是，在f d t d 法中的吸收边界条件并不等同于求解m a x w e l l 积分方程时为了定解而需要确定的边界条件，这是两个不同的概念。在用f d t d 法来计算人体内部的场分布时，由于这个场是入射场和散射场叠加后的总场， 因此，在用m a x w e l l 积分方程的差分格式来计算这个总场时，媒质不连续面 上的切向场连续条件自动得到满足，不必再附加不同媒质交界处的边界条件。 人体是一个由多种不同电特性参数的媒质所构成的非常复杂的散射体。之 所以用f d t d 法来求解人体内部的场分布，一个重要原因就是在f d t d 计算 网格空间中，每个网格单元所代表的媒质可以与其他网格所代表的媒质毫不相 干，赋予每个网格的电参数是彼此独立的。因此可用f d t d 法精确模拟形状 复杂电磁参数不均匀的散射体。 m u r 在1 9 8 1 年给出单一行波方程的各阶近似及其差分格式后，吸收边界 条件得到了广泛的应用，且实践证明，m u r 近似吸收边界条件能够提供足够的 计算精度。 一m u r 吸收边界条件 在三维空间中，波可以以任意方式投射到边界上。由于任意波可以用平面 波谱的叠加来表示，故可以讨论用以任意方向投射到边界的平面波来代表实际 问题中可能遇到的情况。设( 墨y ，z ，f ) 为三维空间中任意一场分量，则在无源 区域内有波动方程： 【导十导+ 导一古等) = 0 ( 2 2 - 1 )l 丽十萨+ 萨一萨，妒2 引入偏微分算子l ，令 = 簧+ 萨0 2 + 等一7 1 萨a 2 ( z 二z ) 扛丽+ 萨+ 虿一7 萨 ( 2 2 之) 1 2 电磁波作用下人体的电场应力分布 则式( 2 2 - 1 ) 可写成上= 0 将算子l 进行因式分解 式中 上击= z l - = 0 c ：e x + 8 t 瓣 v ( 2 2 3 ) l - = 8 x 一三a t 4 1 一s 2 阳怕州矧r 亿z q 现已证明川，在网格空间的六个边界面上，精确的边界条件分别为： f = 0( x = o ，y = o ，z = 0 ) ( 2 2 5 ) f 妒= 0 = ，y = 儿，z = 气)( 2 2 6 ) 对上式精确边界条件中的根号部分进行t a y l o r 展开，且只取展开式的前 一两项作为近似 面= 一三算嬲 如果取阶近似，则可得到m u r 一阶吸收边界条件：如果取二阶近似， 则可得到m u r 二阶吸收边界条件。今以二阶近似为例来说明如何得到m u r 二 阶吸收边界条件的f d t d 算式。将二阶近似代入式( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 中可 得到六个方程式，其中在x = o ，工= x r a 处有下列具体表达式： ( 良8 磊2 一i 1 鲁a t + 曼2 导+ 兰2 等 妒= 。( x = 。时) ( 2 2 7 )【良a f v 2 。 咖2 瑟2j r 。 p 川卜u f 旦+ i 1 8 x s t 罢8 t 一兰2 等一兰2 等 伊。( x ：时) ( z 二s )l 。v 2 勿2出2j 。 ”一”7 ”“7 在y = 0 ，y = ，z = 0 ，z = z 。处可以得到类似的方程。这便是三维空间中的 二阶近似吸收边界条件。将式( 2 2 - 7 ) 和式( 2 2 8 ) 中的偏导数用中心差分 来代替，则可得到边界条件的f d t d 表示式 第二章时域有限差分法 1 3 “( o ，的= 却”( 1 ，的+ i v a 而t - a x 【妒, 1 ( 1 ，妨+ 痧“( o ，_ ，七) 】+ 面2 a + x 出 矿”( o ，- ，妁 + m ，纠+ 面( v 而a t ) 2 a x ( 。，+ l ，七) 一矽，七) + m ，一1 ，助+ m ，+ l ，七) 一硼川+ m 一1 ，蛐西( v i n 石) 2 丽，膨”( + 1 ) 一矽( o ，七) + m ， + 妒”( t j ，七+ 1 ) 一2 妒”( 1 ，工+ 妒“( 1 k - 1 ) 】( x = ( 2 2 - 9 ) 值得注意的是，应用上述边界条件时，应取边界上场的切向分量。在如图 2 1 所示的网格中，场的切向分量为e ，e 。，e ：，而这时的磁场分量为面上的法 向分量。因而，边界条件式中的庐应取相应面上的电场切向分量。例如在 z = 0 平面上切向分量为e ，占：。 二截断边界面交线上的吸收边界条件 对位于两截断边界交线上的节点往往可用一阶近似吸收边界条件处理。与 x 轴，y 轴或z 轴平行的交线上分别只有丘，e ，e 分量，但交线上的吸收边 界条件还必须考虑到交线附近的另外两个电场分量。下面给出截断边界面上的 吸收边界条件： f n + l ( j ) = f ”( q ) + 。i i ! 。i j i 朦驴”+ 1 ( ( ) 一厂”( 尸) 】( 2 2 - 1 0 ) 上式中f 代表巨，e ，e ；p ，q 点的位置如图2 3 所示。 虑。 e ( p h l 髟( 尸) 纵? i _ - ? 。 ，( q ) 2 3 连接边界条件 很多电磁场问题是研究平面电磁波与物体的相互作用。在物体附近往往关 心的是总场，而在离开物体的远区往往仅需关心散射场。但不论是散射场、入 射场或总场均应满足麦克斯韦方程，即f d t d 算法对求解三种场中任一种均 是适用的。为了方便计算总场和散射场，f d t d 法把求解空间分成两个区域， 1 4电磁波作用下人体的电场应力分布 既总场区i 和散射场i i ，图2 4 所示为二维矩形网格区域时的情况。 连接边界 吸收边界 图2 4 总场和散射场分区图 场和散射场的分界边界称为连接边界条件，入射平面波就设置在这一边界 上，以在区域i 内产生平面波。该平面波具有预定的时间波形、入射角和极化 角。连接边界一方面几乎将入射波完全“禁锢”在区域i 内，另一方面又有效 地将外向散射波转移到外区i i 内。散射场区的外边界是吸收边界，故吸收边 界条件只作用于散射场。 在划分为总场区和散射场区的计算网格空间中，总场区中所有网格点上的 总场都是用m a x w e l l 方程的差分格式计算的，因而计算机中只存储上一时间步 所计算的总场的值。而在散射区中，差分格式只用于计算散射场。因而对该区域 的每一网格点计算机只存储上一时间步计算所得的散射场值。但是按中心差分 近似的时域有限差分格式在执行中不仅需要网格点场量上一时间步的值，而且 还需相邻网格点的上一时间步的场值。于是当计算总场区和散射场区交界面上 网格点的场时就发生了问题，即在计算总场区边界点的总场时需要预先知道属 于散射场区网格点的总场值，类似地，在计算散射场区边界点的散射场时又需预 先知道属于总场区网格点的散射场值，而散射场区中边界网格点的总场值和总 场区中边界网格点的散射场值在计算机中并不存在。为了解决这一问题，总场 区和散射场区交界面处各网格点场的计算需要特别对待。我们把这些边界点场 的特殊计算关系称为连接条件。 具体方法是，设置总场区和散射场区的连接边界，使在该面上只有电场的 切向分量和磁场的法向分量的离散样点，并规定在连接边界面上的场分量都是 总场值。如图2 5 所示，连接边界由六个坐标平面组成。依据上述原理，可推 出连接边界面上场分 x 图2 5 三维网格空间中的连接边界 第二章时域有限差分法1 5 ( 1 ) 连接边界面上场分量的递推公式： 在连接边界六个面上，很显然，处于，= j o 和，= _ ，。两个面上的电场是e ，、 e ：两个分量，它们在两个面上的位置是相同的：处于k = k 。和k = k ，两个面上 的电场是e 。和e ，两个分量，而处于i = i o 和f - f 。两个平面上的电场是e 。w e 两 个分量，而且相互平行的网格面上的电场分量的位置都是相同的。比如对 j = j 。面上的e 。，根据2 1 节，我们可有 e ( f ，j 。，) = c a ( i ，j 。，k ) - e ：( f ，j 。，k ) + c d c b ( i ，j 。，女) 【h 。n + i ( f ，j 。+ l 2 ，七) 一日嚣n + - - 2 ( f ，j 。一1 ，2 ，七) + 日n 。+ - - 2 ( f ，j 。，k 一1 ，2 ) 。+ 上。+ 上 一日。2 ( i ，j o ，k + 1 2 ) 一日。2 ( i ，o 一1 2 ，k ) 】( 2 3 - 1 ) 其中，下标中t 表示电磁场分量的总场值，s 表示电磁场分量的散射场值。例如， 或( f ，j o ，七) 表示规约化后的电场x 方向的分量在n 时刻、坐标( f ，- ，。一1 2 ，七) 处的 总场值。 由于区域划分后，在散射场区的网格点( f ，j o 一1 2 ，k ) 处仅存储散射场( 图 2 4 左边) ，因此在计算中取值于( i ，。一1 2 ，k ) 处的场值自然就是 日。( f ，- ，。一1 2 ，) 即散射场值。于是( 2 3 一1 ) 除了h 。部分外可用式( 2 1 1 2 ) 的格 式替代，用曰+ ( f ， ， 圮。来表示。按此规定式( 2 3 1 ) 可简写为 i 霹“( f ， ，七) = 霹“( f ，j o ，女) k l - 1 4 ) 一c d - c b ( i ，j o ，女) 日了