（计算数学专业论文）几类矩阵扩充问题的迭代解法.pdf

摘要 矩阵扩充问题又称子矩阵约束下矩阵方程问题，不同的矩阵方程 ( 组) 、不同的矩阵约束、不同的子矩阵约束等得到不同的矩阵扩充问题， 在结构设计、动力模型修正、振动理论等众多领域有重要应用，其研究 已成为计算数学很热门的课题之一，至今已取得很多研究成果。 本篇论文主要研究以下问题。 问题i 给定矩阵彳尺”，曰尺”，x ( p l ：p 2 ，口l ：9 2 ) = x ，p 2 一p i + l = p ， 9 2 一g l + 1 = g ，求x s ，使得 a x = bo 问题i i 给定彳尺”，曰尺”“，c r ”，x ( p l ：p 2 ，g l ：9 2 ) = x ，p 2 一p l + 1 2 p ， 9 2 一g l + l = g ，求x s ，使得 a x b = co 问题 给定彳l 尺帆“，曰i 尺“埘，c j 尺”- “，彳2 r ”2 “，b 2 r “”，c 2 尺m 2 ”， x ( p l ：p 2 ，g l ：9 2 ) = j ，p 2 一鼽+ l = p ，9 2 一g l + l = g ，求x s ，使得 i 彳l 咫l = q 【彳2 肋2 = c 2 问题设问题i 或i i 或i 相容，且其解集为& ，给定x 。s ，求x s ，使得 j x 。1 1 2 艘i 弦一x 。l 。 其中l i - i i 为f r o b e n i u s 范数，s 为满足某种约束条件的矩阵集合。t 本文的主要工作如下： 1 当s 为自反矩阵、反自反矩阵、反对称次对称矩阵、双反对称矩 阵、对称正交对称矩阵、对称正交反对称矩阵时，本文利用广义共轭梯 度法的思想构造了相应的迭代算法。 2 证明了相应算法的有限步终止性，即对任意初始矩阵，在没有舍 入误差的情况下，当矩阵方程( 组) 相容时，经过有限步迭代得到矩阵 方程( 组) 的解：当矩阵方程( 组) 不相容时，经过有限步迭代得到矩 阵方程( 组) 的最小二乘解。 3 若取特殊的初始矩阵，经过有限步迭代得到问题的极小范数解， 从而解决了相应最佳逼近问题的迭代求解。最后进行了数值实验验证了 结果的正确性。 关键词：子矩阵约束：矩阵方程；迭代解法；有限终止性 n a b s t r a c t t h em a t r i xe x t e n s i o np r o b l e m ，a l s ok n o w na sm a t r i xe q u a t i o np r o b l e m u n d e rs u b m a t r i xc o n s t r a i n t w h e nt h e 玎c l a t r i x e q u a t i o n ( e q u a t i o n s ) i sd i f f e r e n t ，o rt h ec o n s t r a i n tm a t r i xi sd i f f l e r e n t ，o rt h es u b 玎【l a t r i xc o n s t r a i n ti s d i f f c r e n t ，w ec a ng e tad i f f c r e n tm a t r i xe x t e n s i o np r o b l e m t h em a t r i x e x t e n s i o np r o b l e mh a sb e e nw i d e l yu s e di ns t r u c t u r a l d e s i g n ，d y n a m i c m o d e lu p d a t i n g ，v i b r a t i o nt h e o r y ，a n dm a n yo t h e rf i e l d s i t sr e s e a r c hh a s b e c o m eav e f yp o p u l a ro n eo ft h et o p i c si nc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s s o f a r ，m a n yr e s e a r c hr e s u l t sh a v eb e e na c h i e v e d t h i st h e s i sm a i n l yd i s c u s s e st h ef o l l o w i n gp r o b l e m s p r o b i e mig i v e n 彳尺”“，曰尺肼”，x r ，”，s 尺”“，f i n dx s ，s u c h t h a t a x = b ， w h e r ex ( p l ：p 2 ，g l ：9 2 ) = j ，p 2 一p l + l = p ，9 2 一g l + l = g p r o b l e mi i g i v e n 彳r 埘“，曰er “”，c r 删。，岩尺p ”，s 尺”“，f i n dx s ，s u c ht h a t 以爿矗= c ， w h e r e x ( p i ：p 2 ，g l ：9 2 ) = x ，p 2 一p l + 1 = p ，9 2 一g l + l = g p r o b i e m g i v e n4 尺呐“，且月”“，c j 尺”l ”，彳2 月m 2 “，曰2 尺“。，c ，2g 尺”2 “，x 尺，”，s r “。，f i n dx s ，s u c ht h a t f4 船。= g 【彳2 船2 = c 2 w h e r ex ( p l ：p 2 ，g l ：口2 ) 2x ，p 2 一p l + l = p ，9 2 一g l + l = g p r o b l e m s u p p o s ep r o b l e m io ri io ri i ii s c o m p a t i b l e ，l e ts e d e n o t et h es e to fs o l u t i o n s ，f o rg i v e nm a t r i x j ，0 s ，f i n d 宕s ，s u c ht h a t 归一刊= 懋恬一剐 w h e r e | i | | i sf r o b e n i u sn o r m ， si st h em a t r i xs e ts a t i s f y i n gs o m ec o n s t r a i n tc o n d i t i o n s t h em a i nw o r k so nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf b l l o w s 1 w h e n sa r er e f l e x i v em a t r i c e s ，a n t i - r e f l e x i v em a t r i c e s ，a n t i s y 舶【l - m e t r i cs y m m e t r i cm a t r i c e s ，b i a n t i s y m m e t r i cm a t r i c e s ， s y m m e t r i co r t h o s y m m e t r i cm a t r i c e s ，s y m m e t r i co r t h o - a n t i s y m m e t r i cm a t r i c e s ， b yt h e g e n e r a l i z e dc o n j u g a t eg r a d i e n tm e t h o d ，w ec o n s t r u c tt h ec o r r e s p o n d i n g i t e r a t i v ea l g o r i t h mi nt h i st h e s i s i i i 2 w eh a v ep r o v e dl i m i t e dt e r m i n a t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m f o ra n vi n i t i a lm a t r i x ， i nt h ea b s e n c eo fr o u n do f fe r r o r s ， w h e nt h e e q u a t i o n ( e q u a t i o n s ) i sc o n s i s t e n t ，i tc o n v e r g e st h es o l u t i o n s o ft h ee q u a - t i o n sw i t h i nf i n i t ei t e r a t i o ns t e p s ；w h e nt h ee q u a t i o n ( e q u a t i o n s ) i sl n c o n s i s t e n t ， i tc o n v e r g e st h el e a s t s q u a r e ss o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n sw i t h i n f i n i t ei t e r a t i o ns t e p s 3 1 fas p e c i a lk i n do fi n i t i a lm a t r i xi sc h o s e n ，t h es 0 1 u t i o nw i t hl e a s t n o r mc a nb eo b t a i n e dw i t h i nf i n i t ei t e r a t i o ns t e p s s ow es o l v et h ei t e r a t l v e s o l u t i o no ft h ec o r r e s p o n d i n gb e s ta p p r o x i m a t i o np r o b l e m f i n a l l y ， w e c a r r i e do u tn u n 1 e r i c a le x p e r i m e n t s ，a n dv e r i f yt h ec o r r e c t n e s so ft h er e s u l t s k e yw o r d s ：s u b - m a t r i xc o n s t r a i n t ；m a t r i xe q u a t i o n ；i t e r a t i v es o l u t i o n ； l i m i t e dt e r m i n a t i o n 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担 作者签名： 日期2 矽年j 月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密日 ( 请在以上相应方框内打“ ) 货者躲舌簪眺严r 月矽日 i 翩躲闺肜嗍口7 年f 月加日 1 1 课题研究背景 第一章绪论弟一早珀t 匕 矩阵扩充问题( 即子矩阵约束问题) 就是给定矩阵彳的一个子矩阵厶， 在某种约束条件下构造矩阵彳的问题。l9 7 8 年，d eb o o r 和g o l u b 首次提 出并讨论的j a c o b i 矩阵逆特征值问题：给定，l 阶j a c o b i 矩阵，。和实数 五，如，五。，构造一个2 以阶j a c o b i 矩阵以。，使得五，五，五。是以。的特征值， 并且。是，。的疗阶顺序主子矩阵，就是一类j a c o b i 矩阵的扩充问题。研 究矩阵扩充问题对矩阵理论、方法及其实际应用具有重要意义。 矩阵扩充问题是一类约束矩阵方程问题，约束矩阵方程问题是在满 足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程( 组) 的解的问题，它是近年 来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一，在结构设计，非线性规 划，参数识别，电学，动态分析，结构动力学，固体力学，有限元，线 性最优控制等领域都有广泛应用。例如：在有限元模型的修正、线性最 优控制、线性模型中方差及协方差的估计等问题中导致谱约束下矩阵方 程最佳逼近解问题。正是这些领域提出的许多不同类型的问题刺激了约 束矩阵方程问题理论的快速发展，使得约束矩阵方程问题成为当今计算 数学领域最热门的研究课题之一。 h o c h s t a d t 于19 7 4 年发表了由谱数据构造j a c o b i 矩阵的研究论文i 引。 l9 7 8 年，d eb o o r 和g o l u b 【1 】首次提出并讨论谱数据约束下的j a c o b i 矩阵 扩充问题，亦称d o u b l ed i m e m s i o n 问题。随后，19 91 年张振跃提出并讨 论了缺损特征对约束下的三对角矩阵扩充问题【3 】。2 0 0 0 年胡锡炎、张磊 和彭振赞提出并讨论了缺损特征对约束下的j a c o b i 矩阵扩充问题【4j 。2 0 01 年彭振赞提出并讨论了线性约束下的实矩阵扩充问题【5 】。2 0 0 3 年彭振赞 在其博士论文中比较系统地阐述了线性方程从= 曰约束下对称、双对称、 对称次反对称矩阵的扩充问题【6 1 。 约束矩阵方程问题的研究中，不同的约束矩阵集合，不同的矩阵方 程即可得到不同的约束矩阵方程问题。到目前为止，已经研究的约束矩 阵集合包括：( 反) 对称矩阵、( 反) 自反矩阵、中心( 反) 对称矩阵、 双对称矩阵、对称次反对称矩阵、可对称化矩阵、广义对称矩阵等等。 使用的方法有矩阵分解和迭代法等。 对于简单的矩阵方程似= b ，l9 8 4 年张磊等在正定矩阵集合中就线 性方程组进行了研究，得到了可解条件和解的通式【。7 1 。蒋正新【引、孙继广 【9 ，1 0 ，在19 8 6 年及19 8 7 年就一般矩阵类的情形进行了详细的讨论，给出了 解的存在条件及解的具体表达式。19 88 年戴华在他的博士论文中首次提 出并研究了j a c o b i 阵特征对反问题】。2 0 0 0 年胡锡炎，张磊和周富照首 次提出并讨论了对称正交对称矩阵逆特征值问题【1 2 】。2 0 0 2 年周富照系统 地讨论了对称正交对称矩阵，对称正交反对称矩阵，反对称j 下交对称矩 阵和反对称正交反对称矩阵逆特征值、最小二乘等问题【1 3 】。2 0 0 4 年彭亚 新则用迭代法研究了矩阵方程从= b 的一般解、( 反) 对称解、中心( 反) 对称解、( 反) 自反解、双对称解等问题【l4 1 。 对于矩阵方程国= c ，19 9 5 年p e n r o s e 得到了它存在一般解的充要 条件和通解表达式【1 5 】。2 0 01 2 0 0 3 年，邓远北利用矩阵对的标准相关分 解( c c d ) 在对称矩阵集合和反对称矩阵集合中研究了此方程，得到了 它有解的条件和解的表达式【1 6 】。2 0 0 3 年，廖安平利用广义奇异值分解研 究了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘问题【1 7 】。2 0 0 4 年，彭亚新用 迭代法系统地研究了矩阵方程似b = c 的一般解、对称解、中心( 反) 对 称解、( 反) 自反解、双对称解与对称次反对称解等问题1 1 。 对于矩阵方程组，l9 91 年，陈永林、李志林利用k r o n e c k e r 积和广 义逆给出了矩阵方程组4 船= c l ，彳，船，= c 一般解的充要条件和通解表 达式【”】。19 9 9 年，陈永林用迭代法讨论了矩阵方程组从= c ，船= d 一般 解的问题【l9 1 。2 0 0l ，年姚健康用迭代法解决了当矩阵方程组 4 魍= g ，彳：船，= c 相容且4 与彳，及e 与毋分别同型时一般解的问题 【2o 。2 0 0 4 年，彭亚新用迭代法研究了矩阵方程组4 嬲= c 1 ，以皿= c 的 一般解，( 反) 对称解，中心( 反) 对称解，( 反) 自反解，双对称解与 对称次反对称解等问题【1 4 】。2 0 0 5 年，李范良系统地研究了矩阵方程组 似= 曰，配= d 最小二乘自反解与反自反解、最小二乘广义自反解与广义 反自反解、最小二乘次对称解与次反对称解、最小二乘广义h a m i l t o n i a n 解与广义反h a m i l t o n i a n 解及其最佳逼近解【2 。 对于其它类型的约束矩阵方程的求解问题也有很多研究成果，可参 见文献【2 3 4 3 】。 尽管约束矩阵方程问题的研究已取得丰硕的成果，但是由于传统的 直接法采用的主要是会大幅增加计算量的奇异值分解、商奇异值分解、 广义奇异值分解、标准相关分解、c h o l e s k y 分解、s h u r 分解等矩阵分解， 这些成果大多难以在实际工程计算中应用，因此越来越多的人考虑用迭 代法求解约束矩阵方程问题。2 0 0 4 年，彭亚新率先采用迭代法得到了矩 阵方程似= 曰和似君= c 以及矩阵方程组4 咫= c i ，以咫，= c ，的对称、反 对称、中心对称、中心反对称、自反、反自反、双对称以及对称次对称 矩阵解【i4 1 。在他之后，张艳燕沿用【14 】中采用的迭代法得到了矩阵方程 趔= 曰在中心对称、自反、双对称以及对称正交对称矩阵约束下的最小 2 二乘解【27 1 。朱丹对彭亚新的迭代法进行了一些改进，讨论了子矩阵约束 下三类矩阵方程对称、反对称、中心对称以及双对称迭代解【4 川。 关于用迭代算法求约束矩阵方程或方程组还有很多问题需要解决， 如迭代过程的改进、迭代算法的加速等，此外，能否用类似的迭代算法 讨论其它矩阵方程或方程组在约束矩阵类上的求解问题及线性流行上的 求解问题、最小二乘问题等，这些都是需要进一步研究和探讨的。 1 2 本文研究的主要问题和主要工作 本文主要研究下列问题的迭代算法： 问题1 2 1 给定矩阵彳足“，曰r 削“，x ( a ：p 2 ，g l ：9 2 ) = x ，p 2 一p l + l = p ，9 2 一g l + 1 = 留，求x s ，使得 a x = bo 问题1 2 2 给定彳尺”“，曰r “。，c r 删，x ( p l ：p 2 ，吼：9 2 ) 墨x ，p 2 一a + 1 一 p ，9 2 一g l + l = g ，求x s ，使得 脚= c 。 问题1 2 3 给定4 尺埘i x 4 ，置尺删，c l 尺州，彳2 尺婀2 x 4 ，曰2 r ，g r 埘2 。， 彳( p l ：p 2 ，g l ：9 2 ) = j ，p 2 一p i + 1 = p ，9 2 一g i + 1 = g ，求x s ，使得 l 彳。码= c l 【彳2 码= c 2 、o 问题1 2 4 设问题1 2 1 1 2 3 相容，且其解集为s e ，给定x o s ， 求j s ，使得 忪一划2 艘恬一剐。 第二章主要讨论了当s 为自反矩阵、反自反矩阵时问题1 2 1 1 2 4 的解。很多文献采用传统的矩阵分解等方法讨论了这些问题有解的充要 条件和通解表达式。为了避免在求解问题之前讨论它们的相容性，我们 利用子空间上梯度矩阵的性质采用广义共轭梯度法构造了迭代算法，使 得当问题1 2 1 1 2 3 相容时算法能够自动收敛到原问题的解，当问题 1 2 1 1 2 3 不相容的时候算法能够自动收敛到最小二乘问题的解。 第三、四章分别讨论了当s 为反对称次对称矩阵、双反对称矩阵，对 称正交对称矩阵、对称正交反对称矩阵时问题1 2 1 1 2 4 的解，利用广 义共轭梯度法构造了相应的迭代算法，该算法的优点是能自动判定解的 情况：当矩阵方程( 组) 相容时，得到矩阵方程( 组) 的解；当矩阵方 程( 组) 不相容时，得到矩阵方程( 组) 的最小二乘解。 证明了算法的有限步终止性，对任意初始矩阵，在没有舍入误差的 3 情况下，经过有限步迭代得到所求问题的一个解。若取特殊的初始矩阵， 则得到问题的极小范数解。并提供了一些数值实例。 1 3 符号定义 p i n 色 s 。 彳r 护0 ) 尺( 彳) w c ( 彳) r 刷厅 艘斛” 么s r 玎” r ? 棚p ) 掣”d ) a s s r 耐。 b a s r 耐 躲；斤 黝尺爹“ 彳圆曰 义( a ：p 2 ，9 1 ：垡2 ) 零矩阵 刀阶单位矩阵 ，z 阶单位矩阵的第f 列 玎阶反序单位矩阵，鼠= ( 巳，巾，q ) 矩阵么的转置 矩阵彳的迹 矩阵彳的值域( 列空间) 矩阵爿的f r o b e n i u s 范数 矩阵彳的拉直映射 全体聊刀阶实矩阵的集合 全体 嚣阶实对称矩阵的集合 全体疗哪介反对称矩阵的集合 全体行万阶关于矩阵- ，的自反矩阵的集合 全体n 露阶关于矩阵，的反自反矩阵的集合 全体刀订阶反对称次对称矩阵的集合 全体万万阶双反对称矩阵的集合 全体刀，l 阶对称正交对称矩阵的集合 全体刀刀阶对称正交反对称矩阵的集合 矩阵彳，b 的k r o n e c k e r 积 矩阵x 的子矩阵，从p 。行到p 2 行，从g 列到9 2 列 4 第二章子矩阵约束下矩阵方程的自反矩阵迭代解 对于矩阵方程似= 曰、似君= c 以及矩阵方程组4 姗。= c ，彳，= g ， 有很多文献【l 2 0 】已经利用矩阵分解等方法讨论了它们的对称、反对称、 中心对称、中心反对称等解，而 4 2 】则采用同样的方法讨论了子矩阵约束 下它们的对称和反对称最小二乘解，在【14 中，彭亚新首先采用迭代法求 这三类矩阵方程的对称、反对称、中心对称、中心反对称、自反、反自 反、双对称以及对称次对称矩阵解，在他之后，张艳燕沿用【14 】中采用的 迭代法得到了矩阵方程似= 曰在中心对称、自反、双对称以及对称正交 对称矩阵约束下的最小二乘解【27 1 。在本章中，我们利用广义共轭梯度法 构造了相应的迭代算法，讨论了子矩阵约束下这三类矩阵方程在相容和 不相容时的自反、反自反矩阵解，并证明了算法的有限步终止性。 2 1 引言 f ，d d d 1f ，o dd 、 fdd0 1 令，= ldj ，di ，叮= ld di ，j = i djd l ，则子矩阵约束 i d dd j i d dd j l d do 可简化为，x 。= 舅。因此本章主要研究与问题1 2 1 1 2 3 等价的最小 卿0 泌一刽。 m i n0 a l 召一c | l 。 x e s 五= ( ：三 ，j = ( 吾呈) ，台= ( 三兰，) ，e = ( 苫呈) 。 五= ( 苫兰，) ，宕= ( 吾呈) ，台= ( 言三) ，e = ( 吾呈) 。 5 j = 三昙曼 ，j = 喜詈呈 ，含= 耄丢l 、o o p io o x lo o 问题2 1 2 令s 为问题2 1 1 的解集合， 得 i l j 一扎0 5 爨妥i 防一x 。l i 。 引理2 1 1 【2 5 】设厂似) 是s 尺”。”上的连续可微的凸函数，那么存在 x 。s ，使得厂伍) 2 卿厂) 的充要条件是v 厂) = o 。 引理2 1 2 【2 6 1 设相容线性方程组胁= 6 有一个解y r 似7 ) ，则y 必 为此方程的唯一的极小范数解。 2 2 当s = 尺夕。d ) 时，问题2 1 卜2 1 2 的迭代解 首先求i 司越2 1 1 的解。 定义2 2 1 【14 1 设r 删为实广义反射阵，即r = ，2 = l ，若矩 阵x 尺删”满足j 灯= 彳，则称矩阵x 为关于矩阵，的自反矩阵。若矩阵 x r 删”满足z 耵互一x ，则称矩阵x 为关于矩阵，的反自反矩阵 引理2 2 1 l 若矩阵x 尺脚，则x + j 财e 尺夕4 p ) 。 引理2 2 2 【1 4 】若矩阵x 尺删，则x z 耵群。“p ) 。 引理2 2 3 【13 1 尺= r ? 。”p ) o 群。”u ) 。 设x s ，伍) = 0 允纺一q 1 2 ，则f 似) 是子空间s 上的二次连续凸函数。 定义2 2 2 设x “定义 盼( 掣 为删在子空间s 上的梯 度矩阵。显然 ( x ) s 。 在子空间s 上，由泰勒展式可得： ，似+ 逝) = f 似) + 占( 似x e ) + d g ) ，vx ，e s ，占r ， ( 2 1 ) 另方面， ，似+ 逝) = f 似) + 占( 2 0 r 以砷r 一么r 凹r l e ) + s 2 ( 彳皿，彳励) 。 ( 2 2 ) 6 使 占 s o ，-=、 o o x x o c 0 求 c 0 o n ，k、 s = e ， ， 、 定 0 0 给 令d 似) = 2 0 r 删r 一彳r 凹7 ) ，则d ( x ) 尺脚，令z = 么r 删7 一彳r r ， 则d 伍) = ( z + 脚) + ( z 一脚) 。再令q 似) = z + 历，d ：似) = z 一倒，显 然d l 似) 尺夕d ) ，d ：伍) 彤u ) ，于是，( d ：似) ，e ) = o 。因此，式( 2 2 ) 变为 f 伍+ 逝) = f 伍) + f ( q 伍l e ) + s 2 ( 彳脚，彳脚) 。 ( 2 3 ) 比较式( 2 1 ) 与式( 2 3 ) ，我们得到”伍) = d 似) ，即 飞f l x 、= 管a x b b t + j 岔a x b b tj a ? c b t j 岔c 酽jo 故v f 伍) s 。 由引理2 1 1 ，我们得到下述定理： 定理2 2 1 ，似) = 0 似b c l l 2 是子空间s 上的二次连续凸函数，则存在 x + s ，使得f 似) = 魄p ，伍) 的充要条件是 伍) = o ，也就是 岔a x b b t + j a la x b b tj a 1c b t j a jc b tj = o 。 证明容易证明。 为了方便讨论，引进记号如下： 肘似) = 么7 脚b r + 以7 脚b r ， g = 么7 r + 尉r 了， 凇) = 一 似) = g m ( ) ，只= 砸。) 。 算法2 2 1 令误差上界为s o ，初始矩阵x 。= d ，七= l ， 1 计算 最= 彳，7 + 以r 凹7 ，； 幺= m 心) ； 2 计算 碣+ 蹁级； 竹龋m 鼢 纨吨，一粼幺； 3 当i l r i l 占或慨8 一龋( 弛) 8 2 器q - 1 ) q 肄g ) 卅跏喇1 2 02 | 一” 引理2 2 8 表明如果只d ，那么m 娩) d ，从而q d 。因此当异d 时，算法2 2 1 可以继续迭代下去。 定理2 2 2 算法2 2 1 有限终止于问题2 1 1 唯一极小范数自反矩 阵解。 证明我们仅考虑问题2 1 1 不相容时的情形，相容时的情形可以做 类似考虑。 如果存在某个f 使得只= d ，即v ，) = d ，则由引理2 1 1 可知五是 问题2 1 1 的最小二乘自反解。否则，由引理2 2 8 可知算法2 2 1 可 以继续迭代下去。 由引理2 2 5 可知( 鼻，e ) = o ，f j f ，f ，= 1 ，2 ，以2 ， 故矩阵序列只，只， ，乞：构成子空间s 的一组正交基与此同时，对矩阵只：+ 。，我们有( c ，乞：+ 。) = o ，f = l ，2 ，刀2 。从而乞：+ i 2 d ，即x 。：+ l 是问题2 1 1 的自反矩阵解。 上述讨论显示算法2 2 1 有限终止于问题2 - 1 1 的自反矩阵解。我 们假设x + 是由算法2 2 1 迭代得到的解，则x 显然可以表示成为x = 彳r 阳r + 朋r 凇7 ，其中】，是任意尺雕”矩阵。 下面我们将证明x 即为问题2 1 1 的唯一极小范数自反矩阵解。 考虑最小二乘问题： 试淼心) | | o 4 ， m l n l lo k 二q ， 舶5 队彳以船l c 川 显然，求解问题2 1 1 等价于求解( 2 4 ) ，因此，我们只需证明x 就是 ( 2 4 ) 的唯一极小范数自反矩阵解即可。 记他c 似) = 石，w c 伍) = x 。，眦( c ) = c ，眦( y ) = y ，则( 2 4 ) 等价于下 9 册荔詈甜制| o 5 ， 嚣r ，) 圆( 卸厂。 “ x = 化c 07 阳r + 朋7 馏7 ) = p 圆彳7 ) y + 胁) o 7 陟 2 詈蝴扣耄甜 o 由引理2 1 2 可知，x 是( 2 5 ) 的唯一的极小范数自反矩阵解，而 拉直映射是同构的，因此x 是( 2 4 ) 的唯一的极小范数自反矩阵解。从 而x + 是问题2 1 1 的唯一的极小范数自反矩阵解。 其次求问题2 1 2 的解。 给定矩阵戤，当x & 时，则有 a x b = c a 味一xq 、b = c a xb b 。 裹到脚一c 0 魉忙一k 归一( c 一矾b ) l i 。 令j = x x 。，0 = c 一允k 召，则求解问题2 1 2 等价于求矩阵方程 以醪= o 或m i n i | 允话一矧的极小范数自反矩阵解膏a 利用算法2 2 1 可以求 得上述问题的唯一极小范数自反矩阵解霄，故问题2 1 2 的最佳逼近解 为文= 叉+ x 、。 2 3 当s = 盯”p ) 时，问题2 1 卜2 1 2 的迭代解 首先求问题2 1 1 的解。 设x s ，( x ) = 8 似君一c | 1 2 ，则f ( x ) 是子空间s 上的二次连续凸函数。 定义2 3 1 设x 吨定义v 舷，_ ( 掣 为删在子空问s 上的梯 度矩阵。 与尺夕”u ) 类似，当s 为r ：u ) 时，下面的结论成立。 定理2 3 1 ，似) = 8 圆一c f l 2 是子空间s 上的二次连续凸函数，则存在 l o x s ，使得，似。) = 骥p ，似) 的充要条件是即伍) = d ，也就是 么r 从胎r 一朋r 似胎r ，一么r 凹r + 朋r 凹r = d 。 为了方便讨论，引进记号如下： m 似) = 彳7 御础r 一剧r 御脚r ， g = 彳7 凹r 一剧r 凹7 ， p 似) = 一即似) = g m ) ，最= 尸似。) 。 算法2 3 1 令误差上界为占 0 ，初始矩阵x l = o ，后= 1 ， 1 计算 最= 彳r c 87 一朋7 c b7 j ； 2 计算 g = m 化) ； = t + 毒鲛； r k 2c a xk b ； 哥龋比) ； 纨谢燃g ； 3 当忙。9 s 或f 1 只0 0 ，初始矩阵x l = d ，后= l ， 1 计算 最= 彳r 凹r b c r 彳一最0 r r b c r 彳声。； 绞2 肘化) ； 1 5 2 计算 = 以+ 藩幺； r k 。c a xk b ； 竹凿兆) ； 警黜级； 3 当忙。0 叫燃( 她) 1 ( q - l m 一l ”r ”鞠- 1 7 = 4 器q - i ) 叫簪g ) 叫跏刊| 2 02 | 一” 注：引理3 2 1o 表明如果只o ，那么m ( q j ) d ，从而q d 。因此 当d 时，算法3 2 1 可以继续迭代下去。 定理3 2 2 算法3 2 1 有限终止于问题3 1 1 唯一极小范数反对称 次对称解。 证明我们仅考虑问题3 1 1 不相容时的情形，相容时的情形可以做 类似考虑。 如果存在某个f 使得= d ，即vf ) = d ，则由引理3 1 1 可知五是 问题3 1 1 的最小二乘反对称次对称解。否则，由引理3 2 1o 可知算法 3 2 1 可以继续迭代下去。 由引理3 2 7 可知( 只，0 ) = o ，f ，f ，= l ，2 ，万2 ，故矩阵序列足， ，乞：构成子空间s 的一组正交基。与此同时，对矩阵乞：卅，我们有( 只，2 + i ) = o ，净1 ，2 ，甩2 。从而乞：+ 。2d ，即t ：+ ，是问题3 1 1 的反对称次对称解。 上述讨论显示算法3 2 1 有限终止于问题3 1 1 的反对称次对称解。 我们假设x 是由算法3 2 1 迭代得到的解，则x 显然可以表示成为x = 1 7 魄 吲倒卜 x e s4 一么s 。裕。b ii c l 7 瓯船。么r jl c7 川 磐撼挑卅 的 i l 一彳ob r iic 2 ，n亡、 罂卜p r s 。) 。o 瓯) hc l | | o ” 艮0 瓯) o p r 瓯) jl c ：l 蠡滩h 1 菇) i 7 飞溉删猷fl 1 磁刊 由引理3 1 2 可知，x 。是( 3 5 ) 的唯一的极小范数反对称次对称解， 而拉直映射是同构的，因此x 是( 3 4 ) 的唯一的极小范数反对称次对称 解。从而x 是问题3 1 1 的唯一的极小范数反对称次对称解。 其次求问题3 1 2 的解。 给定矩阵甄，当x & 时，则有 彳爿b = c 彳伍一x o ) b = c 一么x o b ， 暾0 脚一c f i 营卿f l 彳似一k 归一( c 一砜曰) i i 。 1 8 令j = 工一x 。，0 = c 一似。曰，则求解问题3 1 2 等价于求矩阵方程 彳治= o 或l n i n 0 治一叫j 的极小范数反对称次对称解j 。利用算法3 2 1 可 以求得上述问题的唯一极小范数反对称次对称解膏，故问题3 1 2 的最 佳逼近解为j = j + x 。 3 3 当s ：删艘时，问题3 1 卜3 1 2 的迭代解 首先求问题3 1 1 的解。 设x s ，似) = l | 御圆一q | 2 ，则f 伍) 是子空间s 上的二次连续凸函数。 定义3 3 1 设，定义 防( 掣) 为删在子空间s 上的梯 度矩阵。 与彳跚“”类似，当s 为删艘“”时，下面的结论成立。 定理3 3 1 ，似) = | l 创圆一c i l 2 是子空间s 上的二次连续凸函数，则存在 x s ，使得f 伍) = 孵，( x ) 的充要条件是v f 伍) = d ，也就是 么7 赵胎7 一肋7 x 彳r 彳+ s 。0 r 删+ 胎r 一鼢7 x + 么7 彳) 5 。 一b r c b r b c7 彳+ s 。07 c 曰r 一曰c r 么声。j = d 。 为了方便讨论，引进记号如下： m 伍) = 么r 脚b r 一肋7 别r 么+ 瓯0 r 御础r 一胎7 黝r 彳球， g = 么7 c 曰r b c r 彳+ 瓯0 r c 口r 一曰c r 彳冷。， 凇) = 一2 即伍) = g 一肘伍) ，只= 凇。) 。 算法3 3 1 令误差上界为占 o ，初始矩阵五= o ，七= l ， 1 计算 最= 彳7 7 一口c r 彳+ s 。0 r 凹7 一b c r 彳冷。： g = 肘位) ； 2 计算 = t + 搞绞； r k 。c a x t b ； 1 9 竹世m 鼢 一( 只+ ，肘眩) ) ( 级，肘慨) ) 姨： 3 当i l r0 占或1 1 只i i o ，初始矩阵五= d ，后= 1 ， 1 计算 只= 彳r c 曰r + b c r 彳+ p 0 r c 曰r + 曰c r 彳炉； 绞= m 陂) ； 讽+ 搞g ； r k 2c a xk b ； 竹搞m 鼢 一( 最+ ，m ( 绕” ( 鲛，m 娩) ) 级； 3 当0 r0 占或0 只0 o ，初始矩阵五= d ，七= l ， 1 计算 最= 彳r c 曰7 + b c7 彳一p 0 7 c 曰7 + b c7 彳) p ： 幺= m 化) ； 2 计算 计即器级； r k 2c a xk b ； 唧揣肘 哦。一粼姨； 3 当i k8 占或慨8 占时，算法终止；否则，置七= 七+ l ，转第2 步。 显然，由算法4 3 1 迭代出的矩阵鼻、q 和五都是对称正交反对称矩 算法4 3 1 具有以下性质： 引理4 3 1 假定e s ，h s ，那么( m ( e 1 日) = ( e ，m 。 引理4 3 2 对于算法4 3 1 中只和q ，如果存在一个正整数七，对所 有的汪1 ，2 ，七，满足d ，那么， ( ，弓) = o ，( q ，肘包= o ，( f ，_ ，= l ，2 ，七，f _ ，) 。 栅4 3 3 算虬3 1 中q 满足一锱= 静。 引理4 3 4 假定x 是问题4 1 1 的一个解，那么，对任恿仞始对称 正交反对称矩阵x 。，算法4 3 1 中的矩阵列亿) ， q ) 和忸，) 满足 ( r 硝舭) ) = 4 酗刊川2 ) o 定理4 3 2 算法4 3 1 有限终止于问题4 1 1 的唯一极小范数对称 正交反对称解。 其次求问题4 1 2 的解。 给定矩阵x 。，当x & 时，则有 a x b = c a 心一x 3 b = c a x 融b 。 魉i i 脚一c 0 艘0 彳伍一k 归一( c 一从。b 渊。 令j = 工一甄，0 = c 一允b ，则求解问题4 1 2 等价于求矩阵方程 砝台= 弓或m i n 0 治一创的极小范数对称正交反对称解岩。利用算法4 3 1 可以求得上述问题的唯一极小范数对称正交反对称解贾，从而问题 4 1 2 的最佳逼近解为史= 岩+ k 。 4 4 数值实例 例4 4 1 给定矩阵p 4 ，曰，c j 如下： p = 一o 7 0 7 l o o o o o 7 0 7 l 0 一o 7 0 7 l o o o 7 0 7 l o o 0 0 7 0 7 l 一0 7 0 7 l 0 o o 0 一o 7 0 7 1 0 7 0 7 l o o 7 1 盯 盯 7 o 0 o 0 叼 蝴o o o o 忉 一 0 7 1 盯 o 7 0 o 砌o o帜o o忉。 一 0 么= b = c = 2 0 0 0 0 0 2 0 9 8 5 0 0 0 0 3 0 0 0 8 3 8 7 8 5 0 1 2 3 4 2 2 3 4 5 3 1 3 4 5 6 - 3 5 2 4 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 3 3 6 3 2 8 5 7 1 8 9 4 7 4 1 7 7 2 4 5 2 4 1 5 9 3 1 9 9 9 l o 3 1 7 4 2 o 0 0 9 2 7 7 1 4 2 3 2 7 8 一o 3 3 2 1 3 2 3 5 4 o 4 2 1 4 5 6 5 6 7 4 2 3 4 5 2 3 4 3 5 9 o o o o 7 3 1 7 2 1 9 5 7 3 0 1 7 8 5 1 0 2 4 9 8 9 0 5 0 0 0 1 7 o 0 0