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4.2.1变上限定积分,4.2定积分基本定理,4.2.2微积分的基本公式,4.2.1变上限定积分,如果x是区间a,b上任意一点，定积分,表示曲线y=f(x)在部分区间a,x上曲边梯形AaxC的面积，,如图中阴影部分所示的面积.,当x在区间a,b上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，,所以变上限定积分,是上限变量x的函数.,记作F(x)，,即,F(x),注意到教材中的积分式,积分上限中的积分变量，与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的含义是不同的,为避免混淆,这里改用为积分变量.由于定积分的值与积分变量的记号无关,把积分变量改用别的字母表示,不影响积分结果.,通常称积分式,为变上限的积分,变上限的积分,有下列重要性质:,定理4.1若函数f(x)在区间a,b上连续，,则变上限定积分,在区间a,b上可导，,并且它的导数等于被积函数，,即,定理4.1告诉我们，,是函数f(x)在区间a,b上的一个原函数，,这就肯定了连续函数的原函数是存在的，,所以，定理4.1也称为原函数存在定理.,变上限定积分,推论(原函数存在的充分条件)闭区间上的连续函数,在该区间上它的原函数一定存在.,例1(1),求(x).,解根据定理4.1，得,(2)求,解,补充例,求(x).,解,(x),补充例,求F(x).,解根据定理1，得,*补充例,解,例2,求,解当,时,原式为,型不定式,可用洛必达法则求,得,4.2.2微积分的基本公式,定理如果函数f(x)在区间a,b上连续，,F(x)是f(x)在区间a,b上任一原函数，,那么,为了今后使用该公式方便起见，把上式右端的,这样上面公式就写成如下形式：,“NewtonLeibniz公式”,例3计算下列定积分.,解,4.2.3定积分的性质,下面各性质中的函数都假设是可积的.,性质1(1)两个函数和的定积分等于它们定积分的和，,即,性质2被积函数的常数因子可以提到积分外面，,即,性质1(1)可推广到有限多个函数代数和的情况，即,性质3(积分对区间可加性)如果积分区间a,b被点c分成两个区间a,c和c,b，那么,当点c不介于a与b之间，,即cab或abc时，,结论仍正确.,补充例题计算下列定积分.,解,解把被积函
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