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东北大学硕士学位论文 摘要 不确定广义系统的保性能控制 摘要 本文研究了不确定连续广义系统的弹性保性能控制，离散广义系统的风和具有 圆盘极点约束的保性能控制，以及性能函数中含有时间乘积因子的连续广义系统保 性能控制等问题。实际系统中不确定性的来源是多样的，也往往会具有不同的性质。 通过适当的等价变换，这些不确定性可以表示成具有对角结构的形式，即结构化的 不确定性，可将这种结构化的不确定性看作是对满足范数匹配条件的不确定性的一 种扩展，从而可以利用结构化不确定性的结构特点来改善设计方法，减少保守性。 在二次型性能指标中如果含有时间乘积因子，那么这样的性能指标会使得状态响应 随着时间的增加更快地趋于零，从而缩短系统达到稳定所需的时间。论文中也研究 了一些多目标保性能控制，例如在所要求的性能指标基础上加入其他诸如风、圆盘 极点约束等性能要求，能够使被控系统具有更好的动态性能。 本文主要内容如下： 第二章研究了不确定广义系统的弹性保性能控制问题，首先给出了对所有容许 的系统不确定性和控制器扰动，连续广义系统存在弹性保性能控制器的一个充分条 件，接着证明了该充分条件等价于一组不等式的可解性问题，并利用变量替换法进 行处理得到广义弹性动态输出反馈控制器。并且控制器是满足其微分矩阵的秩等于 不确定系统微分矩阵秩条件的任意阶形式。最后用实例演示了所提供方法的有效性。 第三章针对类具有范数有界不确定性的连续广义系统和一种含有时间乘积因 子的二次型性能指标，设计状态反馈控制器使得对所有容许的系统不确定性，闭环 系统正则，无脉冲，稳定且最小化闭环性能指标的一个上界值。文中给出了保性能 控制器存在的充分必要条件并基于双线性矩阵不等式( b m i s ) ，二次矩阵不等式 ( q m i s ) 和线性矩阵不等式( l m i s ) 给出其设计方法，并利用s d p 软件和b m i 软 件举例说明。 第四章考虑了不确定离散广义系统的风保性能控制问题，基于线性矩阵不等式 给出了使得闭环系统具有给定的风性能y 的输出反馈风保性能控制器的存在条件 及设计方法，并举例说明所得结论的可行性。 i i 东北大学硕士学位论文 摘要 第五章讨论了不确定离散广义系统具有圆盘极点约束的保性能控制问题，目的 是设计状态反馈控制器使得对所有容许的不确定性，闭环系统正则、因果且闭环极 点在给定圆盘区域内，给出了保性能控制器的存在条件和设计方法。 关键词：不确定性；广义系统；保性能控制；弹性控制器；风控制：状态反馈 输出反馈；线性矩阵不等式；双线性矩阵不等式；二次矩阵不等式； 二次d 一稳定 1 1 1 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ru n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yp r o b l e m so ft h er e s i l i e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o r u n c e r t a i nc o n t i n u o u ss i n g u l a rs y s t e m s ，t h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lw i t h 风a n dp o l e p l a c e m e n ti nad i s ko fd i s c r e t es i n g u l a rs y s t e m s ，a n dt h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lo f c o n t i n u o u ss i n g u l a rs y s t e m sw i t hat i m e - m u l t i p l i e dl i n e a rq u a d r a t i cc o s tf u n c t i o n ，f o ra p h y s i c a ls y s t e m ，t h es o u r c e so fu n c e r t a i n t i e sa r ev a r i o u sa n dt h eu n c e r t a i n t i e sa l w a y s o w nd i f f e r e n tc h a r a c t e r s w i t haa p p r o p r i a t e e q u i v a l e n t t r a n s f o r m a t i o n ，t h e s e u n c e r t a i n t i e sc o u l db es h o w na sad i a g o n a lc o n s t r u c t i o n ，n a m e l ys t r u c t u r e du n c e r t a i n t i e s t h i sk i n do fu n c e r t a i n t i e sc a r lb er e g a r d e da sa ne x t e n s i o no ft h en o r mb o u n d e do n e s ，s o t h es t r u c t u r e sc a nb eu s e dt oi m p r o v et h ed e s i g n e dm e t h o da n dr e d u c et h ec o n s t r a i n to f t h ec o n c l u s i o n i ft h e r ei sat i m e m u l t i p l i e dg e n ei nt h eq u a d r a t i cc o s tf u n c t i o n ，i tc o u l d h e l pt h es t a t er e s p o n s ea p p r o a c hz e r om o r eq u i c k l y , a n ds h o r t e nt h es t a b i l i z i n gt i m eo f t h es y s t e m s w ea l s os t u d ys e v e r a lk i n d so fm u l t i o b j e e t i v eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o li n t h i sp a p e r f o re x a m p l e ，b a s e do ut h ec o s tf u n c t i o nr e q u i r e d ，o t h e rr e q u e s t ss u c ha s 凰，p o l ep l a c e m e n ti nad i s ka n ds oo n ，a l lo fw h i c hw o u l dm a k et h es y s t e m sp o s s e s s b e t t e rd y n a m i cp e r f o r m a n c e s t h em a i nc o n t e n to ft h i sp a p e ri sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，t h er e s i l i e n t g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rs i n g u l a rs y s t e m sw i t h s t r u c t u r e du n c e r t a i n t i e si sc o n s i d e r e d f i r s t l y ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o ni nt e r m so fl m i s f o r t h ee x i s t e n c eo fr e s i l i e n tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r si so b t a i n e df o ra l lt h ea d m i s s i b l e u n c e r t a i n t i e so fs y s t e m sa n dd i s t u r b a n c e so fc o n t r o l l e r s u s i n gt h em e t h o do fv a r i a b l e r e p l a c e m e n tt od e a lw i t ht h el m l s ，w eo b t a i nt h es i n g u l a rr e s i l i e n td y n a m i c a lo u t p u t - f e e d b a c kc o n t r o l l e r s a tl a s tt h en u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ed e s i g n e d m e t h o d c h a p t e r3c o n s i d e r st h eg u a r a n t e e dc o s t c o n t r o lf o rac l a s so fn o r mb o u n d e d u n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m sw i t hat i m e - m u l t i p l i e dl i n e a rq u a d r a t i cc o s tf u n c t i o n ，a n d 一 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e s i g n ss t a t e - f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r ss u c ht h a tt h ec l o s e d l o o ps y s t e m sa r e r e g u l a r , i m p u l s e f r e e ，s t a b l ea n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o s tf u n c t i o nh a sac e r t a i nu p p e r b o u n dm i n i m i z e df o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n i so b t a i n e da n da l s ot h ed e s i g n e dm e t h o do fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r sb a s e do nb i l i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t i e s ( b m i s ) ，q u a d r a t i cm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( q m i s ) a n dl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ( l m i s ) i s a tl a s tt h en u m e r i c a le x a m p l es h o w st h ev a l i d i t yo fo u ri n c l u s i o n v i at h es o f t w a r eo fs d pa n db m i i nc h a p t e r4 ，t h e g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rd i s c r e t e t i m es i n g u l a rs y s t e m sw i m u n c e r t a i n t i e si ss t u d i e d w ea d d r e s st h ee x i s t e n c ec o n d i t i o na n dt h ed e s i g n e dm e t h o do f o u t p u t - f e e d b a c kg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r sv i al m if o rag i v e nd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o n 凰p e r f o r m a n c ega n da l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s ，an u m e r i c a le x a m p l ei su s e dt o i n d i c a t et h ea p p l i c a t i o no ft h et h e o r y i nc h a p t e r5 ，w ed i s c u s st h eg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lp r o b l e mf o ru n c e r t a i n d i s c r e t e t i m es i n g u l a rs y s t e m sw i t hp o l ep l a c e m e n ti nad i s ka n dd e s i g ns t a t ef e e d b a c k c o n t r o l l e r ss u c ht h a tt h ec l o s e d - l o o ps y s t e m sa r er e g u l a r , c a u s a la sw e l la st h e c l o s e d - l o o pp o l e sa r ep l a c e di nag i v e nd i s kf o ra l la d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s a l s ot h e e x i s t e n c ec o n d i t i o na n dt h ed e s i g n e dm e t h o do fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e r sa r eo b t a i n e d k e yw o r d s ：u n c e r t a i n t y ；s i n g u l a rs y s t e m ；g u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l ；f r a g i l ec o n t r o l l e r ； 风c o n t r o l ；s t a t ef e e d b a c k ；o u t p u tf e e d b a c k ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ； b i l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ；q u a d r a t i c m a t r i x i n e q u a l i t i e s ；q u a d r a t i c d s t a b i l i t y v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果 除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包 括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名 1 1 ，和爆夺 日 期：彻多矿- 。莎 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规 定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索、交流。 学位论文作者签名：求，秦采 日 期：砌占口f 驴乡 另外，如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。 学位论文作者签名： 导师签名 签字日期：签字日期： 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 保- | 生能控制 第一章绪论 控制理论自2 0 世纪5 0 年代末产生以来得到了飞速的发展，在许多领域中得到 成功的应用。而在现代研究中，人们对具有不确定性的控制系统的要求己不再仅仅 局限于鲁棒稳定性，往往还希望使闭环系统的某一主要性能指标达到最优或者予以 优化。对于线性系统而言，保性能控制是一个有效的控制方法，这正是本文的研究 内容。 1 1 1 研究背景 现代控制理论的研究大多是基于对象的一个数学模型，根据系统的性能要求， 通过对被控对象的数学模型进行分析来设计系统的控制器，进而将所得到的控制器 应用于被控对象来保证闭环系统具有所期望的性能。线性二次型最优控制 ( l q l q g ) 是一种重要的设计方法，但是该方法依赖于对象的精确数学模型和对 系统外部干扰的特殊限定，当对象具有不确定性以及干扰特性未知时，基于这样模 型设计的控制系统很难保证具有所期望的性能要求，甚至稳定性都会遭到破坏，这 使得最优控制在工业应用中受到很大的限制。在控制系统研究中所遇到的不确定性 主要包括结构不确定性或参数不确定性，非结构不确定性或非结构摄动。这些不确 定性是导致系统不稳定和系统性能指标恶化的主要根源之一，因此寻找控制器使得 闭环系统同时具有鲁棒稳定性和鲁棒性能，在理论和应用上都有十分重要的价值和 意义。鲁棒线性二次调节器( r l q r ) 能较好的处理鲁棒稳定和性能问题，并取得 不少的研究成果【1 】。但是一味追求确定目标的最小值，会导致所得结论过于保守， 并且可能会破坏了系统的性能鲁棒性，另一方面，集中考虑闭环系统的最大稳定性 问题，忽视了性能和控制作用的相互关系，会不可避免地导致控制器的高范数增益。 例如文献【1 】设计的反馈增益最大值是相应的规范l q 设计的3 7 倍。 为了克服这一困难，出现了一系列新颖的方法，例如，处理具有有限能量不确 定外部扰动的凰控制方法【2 1 ，具有模型参数不确定性的保性能控制( g c c ) 方法以及 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 不确定系统的二次镇定方法3 ，4 1 。其中g c c 是由c h a n g 和p a n g 5 1 于1 9 7 2 年在自适 应控制中首次提出来的，主要思想是在保证闭环系统鲁棒稳定的同时，又使得由于 系统不确定性而恶化的性能指标仍小于某一个确定的性能上界。 1 1 2 研究现状 随着鲁棒控制研究的不断深入，鲁棒g c c 越来越受到人们的重视，人们针对 各种系统作了广泛的研究，研究成果已经贯穿控制系统的各个领域【6 。9 1 ，如线性连续 不确定系统、离散不确定系统、时滞系统、不确定2 d 系统、不确定随机系统以及 广义系统等等。然而，有效的系统分析和综合方法并不多见，理论分析和实例验证 都表明，在不确定性范数匹配有界的假设条件下，利用不等式放大技术而得到的结 论往往偏于保守，有的甚至比较严重。薛安克【lo j 等人给出了正常连续系统在保性能 意义下不确定性的最大允许范围，建立了不确定性与闭环系统鲁棒保性能控制之间 的关系，减小了鲁棒保性能控制系统分析和设计的保守性。 由于保性能控制问题等价于一类h 2 巩控制问题，p e t e r s e ni 1 1 等人采用不确定 系统二次镇定的r i c c a t i 方程处理方法，提出了二次保性能概念，利用非线性规划的 方法，通过求解特定的r i c c a t i 方程和不断优化得到最优保性能控制矩阵。s a v k i n 1 2 1 3 等人针对一类具有二次约束的非结构不确定系统，由一组l m i s 和凸优化问题的求 解设计了一种保性能控制器，对时不变标称系统得出了一种无限水平保性能控制 器，并提出是否存在一个比由二次l y a p u n o v 函数得到的控制器更好的控制器的问 题。对于此问题，v a l e r 【1 4 】等人针对l u r e 系统，通过求解一个调整的r i c c a t i 方程 和l u r e p o s t n i k o vl y a p u n o v 函数得出存在一个t t z 次保性能控制的充分必要条件。 对于不确定离散时间系统，y u l l 5 等人通过将保性能控制问题转化为一个辅助线 性时不变系统的正控制问题，采用f 乙控制技术给出了控制器存在的一个充分条件， 又于1 9 9 9 年基于求解具有l m i 约束的凸优化问题给出了不确定离散系统的最优保 性能控制器i ”】。 b e r s t e i d 1 7 , 1 8 1 等人针对一类具有随机不确定性的线性系统和一个线性有界函数， 通过求解一组l m i s 得到最优降维控制器的必要条件。m o h r m s n 等人在此基础上， 对一类可检测的初始状态随机的范数有界不确定时变系统，找到了存在静态输出反 馈保性能控制器的必要条件，并将动态输出反馈问题转化为静态输出反馈问题，通 过加权矩阵的选择，得到动态输出反馈控制器存在的必要条件。 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 控制系统的多目标设计一直是人们致力解决的课题，它的设计核心是处理不同 目标之间的竞争问题，给出一种折衷的解决方法。文献 1 9 针对一类连续时间线性 范数有界不确定系统，提出了多目标优化的非劣解( p a r e t o 最优解) 的概念，并通 过加权因子向量的选择将多目标优化控制问题转化为一标量函数的优化控制问题。 俞立 2 0 】等人首次对具有两个不同被调输出的一类不确定离散时间系统的也巩状态 反馈保性能控制进行了研究。导出了控制器存在的充分必要条件，用一个l m i 的可 行解给出所有保性能控制器的参数化表示。 d e l t a 算子理论在自动控制和信号处理中的应用研究中受到广泛重视并取得很 大发展。d e l t a 算子方法避免了高速采样时采样算子方法引起的数值不稳定问题，当 采样周期趋于零时，d e l t a 离散模型趋于原来的连续模型。因而，基于d e l t a 算子描 述的系统作为连续和离散模型的统一描述方法，可以将连续和离散系统的许多结果 纳入d e l t a 算子系统的统一框架【2 1 。基于d e l t a 算子描述下的线性不确定系统保性 能控制的结果还很少见【2 。 在控制问题中，为了达到满意的控制效果，不仅要使控制系统具有好的稳态性 能，同时也要使控制系统的动态性能满足一定的要求，诸如尽可能短的调节时间、 小的超调量等。这些系统的动态特性是由其闭环极点位置来决定的，因而对闭环系 统传递矩阵的极点进行约束可保证系统具有良好的动态性能。而在实际应用中，精 确的极点配置并不必要。对线性连续时间系统而言，只要使闭环系统极点位于左半 复平面上某一区域；对离散系统只要位于单位圆内某一区域，在工程上己足够了。 将闭环系统极点配置在复平面上某一圆域，即d 稳定理论。通过l y a p u n o v 和r i c c a t i 矩阵方法，出现了许多控制器综合方法，来设计具有d 稳定性的控制器【2 ”2 7 j 。 c h i l a l i r 2 8 1 等人利用l m i 最优化方法获得数值解。将闭环系统极点约束在一个给定的 区域中的不确定系统保性能控制2 9 1 问题事实上是一个多目标鲁棒控制问题。 1 1 3 存在问题 1 ) 状态反馈保性能控制是人们研究最多的一种保性能控制，也是研究成果最为 丰富和成熟的一种设计方法，但是由于构造状态反馈控制器需要知道系统的全部状 态信息，这在实际工作中实现起来是相当困难的。此现象制约了状态反馈保性能控 制的发展。 2 ) 输出反馈保性能控制是解决状态反馈控制所存在问题的一种有效方法，但其 一3 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 设计的复杂性及计算量浩大而使得这方面的工作显得非常困难，尚需进一步的研究。 3 ) 弹性保性能控制是保性能控制研究中的一个新兴研究方向。y a n g 3 0 1 等人对 确定系统，由一组l m i s 和凸优化问题给出了具有乘法或加法形式扰动的保性能控 制存在的充分必要条件。由于它比正常的保性能设计具有更强的条件和要求，可能 会使得性能函数的上界值增大，因此这方面的工作显得举步维艰。目前对弹性保性 能控制的设计只局限于线性正常系统，在其他领域还未见到这方面的文献。 4 ) 保性能控制器中的鲁棒性分析与综合方法，是在不确定性范数有界的假设条 件下，利用不等式放大技术得到闭环系统保性能控制鲁棒界，其结论往往存在相当 大的保守性。 5 ) 对于时滞系统，状态扩充的方法【3 1 1 已被广泛用来处理离散时滞系统地分析 和综合问题，它通过将离散时滞系统转化为一个不含滞后项的离散系统，从而可以 应用有关离散系统的结果来解决离散时滞系统的分析和综合问题。但是，这样的处 理方法存在以下问题【3 2 】： a ) 得到的控制器不仅依赖当前的信息，而且还依赖过去的信息，是一个有记 忆的控制器： b ) 由于状态的增维，导致系统模型的阶数大幅度增加( 尤其当滞后时间常数 较大时) ，从而使得计算量大幅度增加； c ) 这种方法不能应用到具有未知滞后或具有滞后不确定的系统。 6 ) 不确定跳跃系统可以更好地描述动态系统在结构上的突然变化( 例如动力 系统，经济系统等) ，因此这种系统模型在控制与运筹研究领域受到广泛关注。通俗 地说，跳跃线性系统是状态响应同时包含离散和连续部分的切换系统。具有时乘因 子性能指标的不确定跳跃系统保性能控制的研究成果还相当的少见p j 。 7 ) 经过多年来的研究，保性能控制已经取得了很大的进展，并正处于快速发 展之中，但是相应的应用工具还不够多，使得在应用方面有很大的实现困难，所取 得的成果很少。 1 2 广义系统 1 9 7 4 年，r o s e n b r o c k 3 3 在研究复杂的电网络系统过程中，首次提出了广义系统 模型。广义系统又称为描述系统、微分代数系统、广义状态空间系统、半状态系统 等，一般可以表述为如下的微分代数方程： 一4 一 东北大学硕士学位论文第一章绪论 e i c ( t ) = a x ( t ) + b u ( t ) 其中x ( t ) r ”，u ( t ) r ”和t r 分别表示系统的状态向量，输入控制向量和时间变 量。系数矩阵e r “”，a r “，b r ，r a n k e = r n 。当r = n 时，广义系统 退化为正常系统。 广义系统与正常系统的区别主要体现在以下七个方面： ( 1 ) 广义系统的解通常由三部分组成：对应于有穷极点的指数解，对应于无 穷极点的脉冲解和静态解，以及输入函数的导数项；而正常系统只有指数解。 ( 2 )广义系统的动态阶为，阶( 一般小于系统的维数n ) ；正常系统的动态阶 为n ( 等于系统的维数) 。 ( 3 ) 广义系统的传递函数矩阵通常由真有理分式矩阵和指数大于1 的多项式 矩阵两部分组成；正常系统的传递函数矩阵通常是真有理分式矩阵。 ( 4 ) 广义系统的齐次初值问题可能是不相容的，即对某初始值x ( o ) ，微分代 数方程可能无解，或即使有解也不一定唯一。故而通常要求广义系统是正则的( 此 时，对于给定的允许初态，方程的解才存在且唯一) ，而正常系统的齐次初值问题的 解是存在且唯一的。 ( 5 ) 广义系统具有层次性，一层为系统的动态特性( 由微分方程描述) ：另 一层为系统的静态特性( 由代数方程描述) ；正常系统没有静态特性。 ( 6 ) 广义系统有两类极点：一类是有穷极点，共q = r a n kd e t ( s e 一爿) 个；另一 类是无穷极点，共( n 一目) 个，这些无穷极点又可分为动态无穷极点和静态无穷极点； 正常系统只有n 个有穷极点。 ( 7 ) 广义系统在系统结构参数扰动下，通常不再具有结构稳定性。 广义系统作为客观系统的更为自然的表示，具有比正常状态空间模型描述更多 实际系统的特征并广泛存在于工程系统中( 如电力系统、生物系统、电子网络、化 学反应过程等) 。然而这类系统往往由于时滞导致其振荡甚至不稳定，因而有必要对 它们的稳定性及控制进行研究，且随着计算机技术的发展及其在控制中的广泛应用， 目前广义系统的研究已经取得了一定的进展【3 4 。36 1 ，许多正常系统的结论被相继成功 的推广到广义系统37 1 。比如能控性、能观性、极点配置和l y a p u n o v 方程 3 5 等。 保性能控制所研究的对象大多局限于正常系统，对于不确定广义系统，由于不 仅要保证闭环系统的鲁棒稳定性和满足性能指标的要求，还要使闭环系统是正则无 脉冲的，并且l y a p u n o v 方程的非线性性，所得g c c 问题要满足的矩阵不等式一般 也为非线性的，应用起来相对困难，因此，广义系统的保性能控制问题要比正常系 5 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 统的复杂得多，目前此方面的相关结果还不是很丰富。 1 3 本文的主要工作 本文针对不确定广义系统研究了相关的保性能控制问题： ( 1 ) 连续广义系统的弹性保性能控制。对所有容许的系统不确定性和控制器 扰动，给出了连续广义系统存在弹性保性能控制器的一个充分条件，且该充分条件 等价于一组不等式的可解性问题，并利用变量替换法进行处理得到了广义弹性动态 输出反馈控制器。 ( 2 ) 性能指标中含有时间乘子的连续广义系统保性能控制。对一类具有范数 有界不确定性的连续广义系统和一种具有时间乘积形式的二次性能指标设计状态反 馈控制器。并基于b m i s ，q m i s 和l m i s 给出了状态反馈保性能控制器存在的充分 必要条件和设计方法，最后利用s d p 软件和b m i 软件举例验证。 ( 3 ) 离散广义系统的强。保性能控制问题。基于线性矩阵不等式，通过调节一 个矩阵参数得到动态或静态输出反馈风保性能控制器。它使得对于所有容许的系统 不确定性，闭环系统正则、因果、稳定且具有某一个性能函数上界及给定的风性能 ，。最后举例说明设计方法的可行性。 ( 4 )离散广义系统具有圆盘极点约束的保性能控制问题。设计了状态反馈控 制器使得对所有容许的不确定性，闭环系统正则、因果且闭环极点在给定圆盘区域 内。文中给出了保性能控制器的存在条件及设计方法。 6 东北大学硕士学位论文 第二章广义系统的弹性保性能控制 第二章广义系统的弹性保性能控制 k e e l 在文献 3 8 1 中指出，对不确定系统设计的某些鲁棒控制器，在某些极端情 况下只有被精确实现才能保证闭环系统的鲁棒稳定性，否则，在实际过程中的任何 偏差都将导致闭环系统的不稳定。基于这一思想，如何设计出既保证系统鲁棒稳定 和鲁棒性能，又可以忍受一定程度扰动的控制器成为值得研究的问题，我们称这种 控制器为弹性控制器。 弹性保性能控制目前主要考虑的是满足范数匹配条件的不确定系统 3 9 4 1 ，很 少考虑到不确定性的结构特点，从而存在相当的保守性。本章将针对不确定连续广 义系统，研究它具有结构化系统不确定性和控制器扰动的弹性保性能控制，在一定 程度上降低了结果的保守性。并且所设计的弹性动态输出反馈控制器可以是满足其 微分矩阵的秩等于系统微分矩阵秩条件的任意阶控制器。 2 1 准备知识与系统描述 考虑如下不确定线性广义系统 e 1 莺o ) = a x ( o + b l “o ) + b 2 w o ) y ( t ) = c l x o ) + d 】“( r ) + d 2 w ( r ) j ( f ) = c 2 x ( t ) + d 3 u ( t ) + d 4 w ( t ) ( 2 1 1 ) w ( o = ( f ) 1 9 0 ) x ( o ) = z o 其中x ( t ) r ”，u ( t ) r ，y ( t ) r 一分别是系统的状态向量、控制输入向量和输出向 量。a ( t ) 是描述系统不确定性的函数矩阵。8 ( t ) r 。和w ( ) r 9 是用来描述不确定 性( f ) 的外部向量。e 1 r “”，a r “”，b 1 r ，c 1 r p 。n , d 1 r ”分别是己知 的定常系数矩阵且r a n k e l 兰刀，b 2 r ”9 ，c 2 r ，d 2 r ，b r ”和ber ”9 是用来描述不确定性a ( t ) 如何进入系统的己知定常矩阵。是系统的允许初始状 态。假设系统不确定性a ( t ) 属于如下形式的结构化不确定性集合： ( f ) u 。：= o ) ：r r q 。qi l ( r ) | i 0 。 考虑广义弹性动态输出反馈控制器量 e 2 占( f ) = 彳。善( f ) + b “y o ) + b c z w a t ) 鼠p ) = e f ( f ) + 皿1 y ( r ) + 砬2 w o ( t ) w c ( f ) = a 。( t ) 8 0 ( t ) ( f ) = k 。手( f ) 孝( o ) = 0 其中善( f ) r “是控制器的状态向量，鼠( f ) r7 和w 。( f ) r 是用来描述控制器扰动 。( r ) 的外部信号向量。e ：，a 。，b d ，b c ：，c 。，皿，d c ：和k 。为控制器参数矩阵 且r a n k e z = r a n k e 。( o ) 是控制器的初始状态。假设控制器扰动a 。) 属于如下形式 的结构化不确定性集合 。o ) u 。：= 。( r ) ：r 斗r l x li i a 。( o l i 1 且。o ) u 。 么：= # z d 政旃砘乇，茂毛，i ，- 一，令 ：彰e r ，i = i ，v ；，e r “，“，j = l ，h ； 联合控制器巨和系统( 2 1 1 ) 得到闭环不确定连续系统 ( 言兰 ( 嚣 = 匕c 警 ( 黧) + 盎芝： ( 裟) = ( 。二。职c e c 黝+ ( d c 2 d ：烈 亿，渤 l 馥( ，) j 二l d 。c 。八f ( f ) j l 。：d 。：j l w 。( f ) j ” ( 矧= 剖 邓，= ( 捌= 简记为 9 东北大学硕士学位论文 第二章广义系统的弹性保性能控制 厨( f ) = 一i ( r ) + b 面( f ) 1 9 0 ) = c i ( f ) + d 面o ) w ( t ) = a ( t ) 8 ( f ) 相应的闭环性能指标是 ，= f ( 掰曙k 爿瓣= f 确嘲r ) a t 定义2 4 考虑不确定广义系统( 2 1 1 ) 和性能指标( 2 1 2 ) ，如果对于所有的系统 不确定a ( t ) u 。和控制器扰动a 。( f ) ，存在控制器巨和一个正实数l ，+ 使得闭环 系统( 2 1 3 ) 鲁棒正则，鲁棒无脉冲，二次稳定且性能指标( 2 1 2 ) 的闭环值满足j j + ， 则称控制器巨是不确定广义系统( 2 1 1 ) 和性能指标( 2 1 2 ) 的具有性能上界，+ 的一个 弹性保性能控制。 注2 3 若控制器量不存在扰动，即。( f ) ，b c ：，c 。，d c 。，d c ：为适当维数的零矩阵， 则控制器e 退化为一般的保性能控制器；若系统不存在不确定性，即 ( f ) ，b ：，c ：，d ：，d 3 ，d 4 为适当维数的零矩阵，则称控制器互是广义系统( 2 1 1 ) 和性能 指标( 2 1 2 ) 的一个弹性线性二次型调节器。 2 2 控制器的分析与设计 为进一步降低稳定性条件的保守性，引入矩阵集 u 。= b l o c kd i a g s 1 ，s 。，s 。j t ，s ，气。j ：s 。r 蜀“，t r ，墨 0 ，_ o j u 。= b l o c k 函昭乜，一，。4 - ，。，j + ， ：i r ”，o r ，正 o ，。， o j 由于对任意( f ) u 。，a c ( f ) u k ，s u s 和s u m 都有 ( 絮二州 ) 剖( ：) j 记i = ； ，因此闭环系统等价于 蠡( f ) = 五蚋+ 卸( f ) 西( f ) = 譬( f ) + d 帚( f )( 2 1 4 ) 郇) = 五( f ) 西0 ) 其中言= 万，童c 。= i c 。，( 耋言 = ：善 ( 享昙 ：； ， 东北大学硕士学位论文 第二章广义系统的弹性保性能控制 p ( f ) 呶f ) ) = 曩j ( - ( ) 订( r ) ) 。 下面的定理给出了系统( 2 1 1 ) 存在弹性保性能控制器e 的一个充分条件。 定理2 1 考虑不确定系统( 2 1 1 ) 和t + t 能指标( 2 1 2 ) ，如果存在可逆矩阵 p r 2 ”“，s u s 和s 。u m 满足矩阵不等式 豆7 p = p 7 万0 f 2 1 5 a ) p 等p 短舅+ 黔p 冰。 b m b ， l 百一i ji 矿厂、。 7 。 、 则控制器量是不确定广义系统( 2 ，1 1 ) 和性能指标( 2 1 2 ) 的一个弹性动态输出反馈保 性能控制器，并且性能指标上界为j = i ( o ) 7 万7 既( o ) 。 证明：由于系统( 2 ，1 1 ) 与系统( 2 1 4 ) 等价，因此证明结论对系统( 2 1 4 ) 成立即可。 对矩阵不等式( 2 1 5 b ) 的左边分别左乘和右乘d i a g i ，吾一j 得到等价不等式 p 奢p 短i 吲p 西) 。 l 杏r 一l 西，厂 7 对任意( f ) u a 和a c o ) u k 定义l y a p u n o v 函数v = 叠7 ( f ) 童7 戌( r ) ， 矿( 量o ) ) = ( 五聋+ 谛) 7 戌+ 圣7 p 7 ( j 量+ 西 = 童7 ( 五7 p + p r 五) 圣+ 2 j 7 p 7 雪谛一谛7 谛+ 西7 a a d 量7r 五7 p + p2 f 4 ) j + 2 i 7 p 7 杏访一谛7 1 + 7 = 斛+ ，p 尸r j 身盼西搦) o e ， l 五je j 置，jle j e ：e 。j 一。 根据s c h u r 补定理变换不等式瞳1 5 b ) 有 p t 百 一s d o 两边分别乘以矩阵击昭 n 7 ， 和d i a g f l ， 且定义如下新变量 不等式( 2 1 5 b ) 等价于 j = 掰4 m 。+ 壤b 。c l m 。，+ ( 瑶曰。k 。+ 磁爿。) m ：。 豆= 磁b c 。，厩= p 。r b c ： 0 = q 吖： 启= k 。m 2 1 1 2 一 一9 卜 所翟c +p一爿 东北大学硕士学位论文第= 章广义系统的弹性保性能控制 a m l l + ( a m l l ) 7 + 蜀豆+ ( b l 爱) 7a + j + 朋二qb 2 0 + 只i 爿+ 4 7 b l + ( 茸c i ) 7 + q鼻i