（通用版）2020版高考数学复习专题六统计与概率6.1概率、统计基础题练习文.docx

6.1概率、统计基础题高考命题规律1.高考必考考题.主要考查利用古典概型和几何概型求概率,图表信息题等.2.选择题,5分,中低档难度.3.全国高考有5种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1抽样方法14命题角度2求古典概型的概率43511543命题角度3用几何概型的概率求解、随机事件的概率845命题角度4统计图表信息题343命题角度5变量间的相关关系与散点图命题角度1抽样方法高考真题体验对方向1.(2013全国3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样答案C解析因为学段层次差异较大,所以在不同学段中抽取宜用分层抽样.2.(2018全国14)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是.答案分层抽样解析因大量客户且具有不同的年龄段,分层明显,故根据分层抽样的定义可知采用分层抽样最为合适.3.(2017江苏3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件.答案18解析抽取比例为601000=350,故应从丙种型号的产品中抽取300350=18(件).典题演练提能刷高分1.为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是()A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按年龄段分层抽样D.系统抽样答案C解析该地区老、中、青三个年龄段人员的活动情况有较大差异,而男女差异不大,所以按年龄段分层抽样具有代表性,比较合理.2.已知某单位有职工120人,男职工有90人,现采用分层抽样(按性别分层)抽取一个样本,若已知样本中有18名男职工,则样本容量为()A.20B.24C.30D.40答案B解析设样本容量为n,则n120=1890,n=24,选B.3.现从已编号(150)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习状况,用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法所选取的5位同学的编号可能是()A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5D.2,10,18,26,34答案B解析由系统抽样方法的概念,抽取5位,必须每层都有,则每10个里面有1个,所以符合要求的编号可能是3,13,23,33,43,故选B.4.我国古代数学名著九章算术中有如下问题“今有北乡八千七百五十八,西乡七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,何各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,问从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数是()A.102B.112C.130D.136答案B解析由题意得,三乡总人数为8758+7236+8356=24350.共征集378人,需从西乡征集的人数是723624350378112,故选B.5.总体由编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从第1行的第5列和第6列数字开始由左往右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314021443199714019832049234493682003623486969387181A.01B.02C.14D.19答案A解析从随机数表第一行的第五列和第六列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的,编号重复的保留前者.可知对应的数值为08,02,14,19,01,则第五个个体的编号为01.故选A.6.分层抽样是将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个样本的抽样方法;在九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付5141109钱B.乙应付3224109钱C.丙应付1656109钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少答案B解析依题意,由分层抽样知识可知,100(560+350+180)=10109,则甲应付10109560=5141109钱;乙应付10109350=3212109钱;丙应付10109180=1656109钱.故选B.7.某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查,得到了如下表所示的数据,则xyz=.年级段小学初中高中总人数800xy样本中人数1615z答案37 500解析由分层抽样的特点,得80016=x15=yz,即x=750,yz=50,则xyz=37500.8.某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测,对这100件产品随机编号后分成5组,第一组120号,第二组2140号,第五组81100号,若在第二组中抽取的编号为24,则在第四组中抽取的编号为.答案64解析设在第一组中抽取的号码为a1,则在各组中抽取的号码满足首项为a1,公差为20的等差数列,即an=a1+(n-1)20,又第二组抽取的号码为24,即a1+20=24,所以a1=4,所以第四组抽取的号码为4+(4-1)20=64.9.某校高三年级3个学部共有600名学生,编号为:001,002,600,从001到300在第一学部,从301到495在第二学部,从496到600在第三学部.采用系统抽样的方法从中抽取50名学生进行成绩调查,且随机抽取的号码为003,则第二学部被抽取的人数为.答案17解析由题意得,号码的间隔为60050=12,则第一组随机抽取的号码为003,则抽取的号码构成一个等差数列,通项公式为3+12(n-1)=12n-9,由30112n-9495,即31012n50412,即26n42,共有17人.10.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本,若分别采用系统抽样法和分层抽样法,则都不用剔除个体;当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,那么样本容量n为.答案6解析n为18+12+6=36的正约数,因为18126=321,所以n为6的倍数,因此n=6,12,18,24,30,36.因为当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,所以n+1为35的正约数,因此n=6.命题角度2求古典概型的概率高考真题体验对方向1.(2019全国3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14C.13D.12答案D解析两位男同学和两位女同学排成一列,共有24种排法.两位女同学相邻的排法有12种,故两位女同学相邻的概率是12.故选D.2.(2019全国4)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15答案B解析设测量过该指标的3只兔子为a,b,c,剩余2只为A,B,则从这5只兔子中任取3只的所有取法有a,b,c,a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,a,A,B,b,c,A,b,c,B,c,A,B,b,A,B共10种,其中恰有2只测量过该指标的取法有a,b,A,a,b,B,a,c,A,a,c,B,b,c,A,b,c,B共6种,所以恰有2只测量过该指标的概率为610=35,故选B.3.(2018全国5)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为()A.0.6B.0.5C.0.4D.0.3答案D解析设2名男同学为男1,男2,3名女同学为女1,女2,女3,则任选两人共有(男1,女1),(男1,女2),(男1,女3),(男1,男2),(男2,女1),(男2,女2)(男2,女3)(女1,女2),(女1,女3),(女2,女3)共10种,其中选中两人都为女同学共(女1,女2),(女1,女3)、(女2,女3)3种,故P=310=0.3.4.(2017全国11)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A.110B.15C.310D.25答案D解析由题意可得抽取两张卡片上的数的所有情况如下表所示(表中点的横坐标表示第一次取到的数,纵坐标表示第二次取到的数):123451(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)总共有25种情况,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的情况有10种,故所求的概率为1025=25.5.(2016全国5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A.815B.18C.115D.130答案C解析密码的前两位共有15种可能,其中只有1种是正确的密码,因此所求概率为115.故选C.典题演练提能刷高分1.两名同学分3本不同的书,其中一人没有分到书,另一人分得3本书的概率为()A.12B.14C.13D.16答案B解析两人分书的基本结果有(0,3),(1,2),(1,2),(1,2),(2,1),(2,1),(2,1),(3,0)共8种情况,其中一人没有分到书,另一人分得3本书有两种情况,故根据古典概型概率公式可得一人没有分到书,另一人分得3本书的概率为28=14,故选B.2.袋中有5个球,其中红色球3个,标号分别为1,2,3;蓝色球2个,标号分别为1,2;从袋中任取两个球,则这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为()A.310B.25C.35D.710答案A解析设红色球为R1,R2,R3,蓝色球为B1,B2,任取两个球,可能的事件包括:R1B1,R1B2,R2B1,R2B2,R3B1,R3B2,R1R2,R1R3,R2R3,B1B2共10种可能的组合,其中满足题意的组合有R2B2,R3B1,R3B23种,所以这两个球颜色不同且标号之和不小于4的概率为310.3.已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示下雨,5,6,7,8,9,0表示不下雨;再以每三个随机数作为一组,代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907,966,191,925,271,932,812,458,569,683,431,257,393,027,556,488,730,113,537,989.据此估计,该地未来三天恰有一天下雨的概率为()A.0.2B.0.25C.0.4D.0.35答案C解析根据题意,1,2,3,4表示下雨,“未来三天恰有一天下雨”就是三个数字xyz中只有一个数字在集合1,2,3,4中,考查这20组数据,以下8个数据符合题意,按次序分别为925,458,683,257,027,488,730,537,其概率P(A)=820=0.4,故选C.4.四个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币.若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下,则这个人继续坐着.那么,没有相邻的两个人站起来的概率为()A.12B.516C.716D.1116答案C解析四个人坐着或站起来的情形共有24=16种.没有相邻的两个人站起来,即硬币的正面不能相邻,有以下几种情况:正反正反,反正反正,反反反正,反反正反,反正反反,正反反反,反反反反,共有7种方法.由古典概型概率公式可得,没有相邻的两个人站起来的概率为716.选C.5.从“1,2,3,4”这组数据中随机取出三个不同的数,则这三个数的平均数恰为3的概率是.答案14解析本题与顺序无关,随机取出三个不同的数共有4种情况:(1,2,3),(1,2,4),(1,3,4),(2,3,4),其中平均数为3的数组有(2,3,4)这一种情况,所以P=14.6.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为石(精确到小数点后一位数字).答案169.1解析设这批米内夹谷约为x石,由题意结合古典概型计算公式可得:x1534=28254,则x=281534254169.1.7.从1,3,5,7,9中任取3个不同的数字分别作为a,b,c(abc的概率是.答案310解析由题意知,从1,3,5,7,9中任取3个不同的数字a,b,c(abc的结果有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共3种.故所求概率为P=310.8.现在有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生,在5人中随机抽取2人进行深入调研,则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为.答案35解析记喜爱综艺类节目的男生为A,B,不喜爱综艺类节目的男生为1,2,3,则任取2人,所有的情况为(A,B),(A,1),(A,2),(A,3),(B,1),(B,2),(B,3),(1,2),(1,3),(2,3),共10种.其中满足条件的为(A,1),(A,2),(A,3),(B,1),(B,2),(B,3),故所求的概率为P=610=35.9.某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包,被甲、乙、丙三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是.答案25解析由题意得共有(1,1,5),(1,5,1),(5,1,1),(1,2,4),(1,4,2),(2,1,4),(2,4,1),(4,1,2),(4,2,1),(1,3,3),(3,1,3),(3,3,1),(2,2,3),(2,3,2),(3,2,2)这15种,其中甲领取的钱数不少于其他任何人的事件有(5,1,1),(4,1,2),(4,2,1),(3,1,3),(3,3,1),(3,2,2)6种,所以概率为615=25.10.两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为.答案0.44解析用(x,y)表示两位老师的批改成绩,则(x,y)的所有可能情况为1010=100种.当x=50时,y可取50,51,52,共3种可能;当x=51时,y可取50,51,52,53,共4种可能;当x=52,53,54,55,56,57时,y的取法分别有5种,共30种可能;当x=58时,y可取56,57,58,59,共4种可能;当x=59时,y可取57,58,59,共3种可能.综上可得两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的情况有44种,由古典概型概率公式可得所求概率为P=44100=0.44.命题角度3用几何概型的概率求解、随机事件的概率高考真题体验对方向1.(2018全国5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7答案B解析设不用现金支付的概率为P,则P=1-0.45-0.15=0.4.2.(2017全国4)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.8C.12D.4答案B解析因为正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称,即关于内切圆的圆心成中心对称,所以黑色部分和白色部分各占圆的一半.设正方形的边长为a,则正方形的面积为a2,黑色部分的面积为12a22=8a2,所以此点取自黑色部分的概率为8,故选B.3.(2016全国8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310答案B解析因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40-1540=58,故选B.4.(2017江苏7)记函数f(x)=6+x-x2的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是.答案59解析由6+x-x20,即x2-x-60得-2x3,所以D=-2,3-4,5,由几何概型的概率公式得xD的概率P=3-(-2)5-(-4)=59.典题演练提能刷高分1.(2019山东菏泽一模)在区间-4,4上随机取一个数x,则sin 2x的值介于0到32之间的概率为()A.34B.23C.12D.13答案D解析所有的基本事件构成的区间长度为4-4=2,由0sin2x32,x-4,4,解得02x3,则0x6,所以概率为P=6-02=13.2.某景区在开放时间内,每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车,某人上午到达景区入口,准备乘坐观光车,则他等待时间不多于10分钟的概率为()A.110B.16C.15D.56答案B解析由题意,此人在50分到整点之间的10分钟内到达,等待时间不多于10分钟,所以概率p=1060=16.故选B.3.(2019湘赣十四校联考二)已知某水池的容积是20 m3,向该空水池注水的水龙头A和水龙头B的流速分别是1 m3/h与2 m3/h,它们在一昼夜内随机开024 h,则水池不溢出水的概率为()A.2572B.25144C.2536D.25288答案B解析设水龙头A开xh,水龙头B开yh,显然,0x24,0y24,若水龙头不溢出水,则x+2y20.记“水池不溢出水”为事件A,则A所占区域面积为122010=100,整个区域的面积为2424=576,由几何概型的概率公式,得P(A)=100576=25144.4.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图,是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自灰色部分的概率是()A.14B.18C.38D.316答案B解析不妨设小正方形的边长为1,则两个等腰直角三角形的边长为1,1,2,一个等腰直角三角形的边长为2,2,2,两个等腰直角三角形的边长为2,2,22,即最大正方形边长为22,所以p=1-21211+1222+21222+18=18,选B.5.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形,若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形内的概率为15,则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为()A.55B.255C.15D.33答案B解析设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x,1+x,x2+(1+x)2,由几何概型可得1x2+(1+x)2=15,解得x=1,x=-2(舍),所以直角三角形边长分别为1,2,5,直角三角形中较大锐角的正弦值为25=255,选B.6.(2019广东深圳高三适应性考试)勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线,它由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现,其作法是:以等边三角形每个顶点为圆心,以边长为半径,在另两个顶点间作一段弧,三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形中随机取一点,则此点取自正三角形内的概率为()A.2-332(-3)B.32(-3)C.32(+3)D.2-332(+3)答案B解析如图,设BC=2,以B为圆心的扇形面积是226=23,ABC的面积是122232=3,所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积,即233-23=2-23,所以在勒洛三角形中随机取一点,此点取自正三角形的概率是32-23=32(-3),故选B.7.在圆C:(x-3)2+y2=3上任取一点P,则锐角COP59,5148,3629,6845,所以在北京这22天的空气质量中,按平均数来考察,最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量,即选项A正确;AQI不低于100的数据有3个:143,225,145,所以在北京这22天的空气质量中,有3天达到污染程度,即选项B正确;因为12月29日的AQI为225,为重度污染,该天的空气质量最差,即选项C错误;AQI在0,50)的数据有6个:36,47,49,48,29,45,即达到空气质量优的天数有6天,即选项D正确.故选C.10.为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况,以及重要商品库存变化的动向,中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查,制定了中国仓储指数.由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数,绘制出如下的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是()A.2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D.2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月,波动性更大答案D解析2016年各月的仓储指数最大值是在11月份,所以A错误;由题图可知,2017年1月至7月的仓储指数的中位数约为53,所以B错误;2017年4月的仓储指数的平均数为51+552=53,所以C错误;由题图可知,2016年1月至4月的仓储指数比2017年1月至4月的仓储指数波动更大,故选D.命题角度5变量间的相关关系与散点图高考真题体验对方向1.(2015湖北4)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关.下列结论中正确的是()A.x与y负相关,x与z负相关B.x与y正相关,x与z正相关C.x与y正相关,x与z负相关D.x与y负相关,x与z正相关答案A解析由y=-0.1x+1知y与x负相关,又因为y与z正相关,故z与x负相关.2.(2012全国3)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)(n2,x1,x2,xn不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,n)都在直线y=12x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为()A.-1B.0C.12D.1答案D解析样本相关系数越接近1,相关性越强,现在所有的样本点都在直线y=12x+1上,样本的相关系数应为1.典题演练提能刷高分1.某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据,绘制成散点图如图所示,则下列说法错误的是()A.沸点与海拔高度呈正相关B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强答案A解析结合绘制的散点图可得,B中沸点与气压呈正相关;C中沸点与海拔高度呈负相关;结合B,C选项的说法可知,A选项中,沸点与海拔高度呈负相关,且D中沸点与海