（物理电子学专业论文）反卷积光谱重建技术研究.pdf

隶南大学硕士学位论文 摘要 在光谱测量中，狭缝宽度对光谱测量的分辨率有很大的影响，通常 大魄狭缝燮度会降低测爨光谱的分辨搴。在进行弱光溅量器重，为提高 信号强度不得不增大狭缝宽度，这时测得的光谱将与实际光谱差之甚 远。从数学上看，狭缝宽度对分辨率的影响可以用狭缝函数这一概念 来描述，测得静光谱是真实光谱与狭缝函数的卷积。为了获得真宴的 光谱，必须鼹反卷积技术寒重建光谱。本文瓢理论耧实验上对蠢落反 卷积重建技术进行了深入研究。 反卷积问题在数学上属于一类不适定问题。在反卷积过程中，测 量光谱中瀚嗓声会被无限放大，因而必须对噪声迸行抑制。新兴发展 起来的小波技术以其强大的时频局部化翡力在信号处理镁减产生了 巨大的影响。在消噪方面，最近提出的一些基于小波分析的去噪声算 法在实践中已取得了相当好的效果。 本文借助于夺波分橱这一新手段对光谱耋建褥题进行研究，较好 的搀制了噪声，缓解了阍题的病态特性。在噤声摔制方西本文将空域 相关性与尺度间相关性引进阈值化方法中，利用最小化阈值估计的风 险得到了闽值的最优值。在信号恢复方面则在对传统规整化方法改进 懿基穗土褥小波方法弓| 遂虢整纯中，建立了其有自适应性的瓶整纯求 解算法。文中对各糙算法绘出了模拟实验的终果。最蜃使题基予小波 的规整化方法对所测量的低分辨率钠光谱进行了重越，得到了钠光谱 的精细结构。 【关键词】光谱反卷积狭缝函数小波分析闽值化舰整化 奎塑查兰堡圭兰些堕奎 a b s t r a c t i ns p e c t r u mm e a s u r e m e n t ，t h er e s o l u t i o no far e c e i v e ds p e c t r u mi sg r e a t l ya f f e c t e d b yt h es l i tw i d t ho fm o n o c h r o m a t o r g e n e r a l l y ，l a r g es l i t w i l ld e g r a d et h er e e e n e d s p e c t r u m w h e nm e a s u r i n gl o wi n t e n s i t ys p e c t r u m ，o n em u s te n l a r g e t h es l i tt o i n c r e a s et h ei n t e n s i t yo f t h es p e c t r u m ，w i mt h er e s u l to f g e t t i n gad e g r a d e ds p e c t r u m t h ei n f l u e n c eo ft h es l i tc a l lb ed e s c r i b e da sas l i tf u n c t i o n ，a n dt h er e c e i v e ds p e c t r u m i sac o n v o l u t i o no f t h er e a ls p e c t r u ma n dt h es l i tf u n c t i o n t h e r e f o r e ，d e c o n v o l u t i o ni s n e e d e dt or e c o n s t r u c tt h er e a ls p e c t r u m m a t h e m a t i c a l l y d e c o n v o l u t i o np r o b l e mb e l o n g st o a l li l l p o s e dp r o b l e mw h i c h m e a n ss m a l lc h a n g e si nt h er e c e i v e ds i g n a ll e a dt ol a r g ec h a n g e si nt h es o l u t i o n s t h e r e f o r e ，n o i s er e s t r a i n ta n dr e s o l u t i o ne n h a n c e m e n ta l et w or e q u i r e m e n t st h a to n e c o n f l i c t st h eo t h e ri ns p e c t r u md e c o n v o l u t i o np r o b l e m d u et oi t ss t r o n ga b i l i t yo fl o c a l i z a t i o nb o t hi nf r e q u e n c yd o m a i na n di nt i m e d o m a i n ，w a v e l e tt r a n s f o r mt e c h n i q u eh a sm a d eal o to fa c h i e v e m e n t si nt h es i g n a l p r o c e s s i n ga r e a si n c l u d i n gs i g n a ld e n o i s i n gp r o b l e m i n t h i sp a p e r , s p a t i a lc o n s t r a i n t s a n dm u l t i s c a l ec o r r e l a t i o n sw e r es t u d i e da n dc o m b i n e dw i t l lt h et h r e s h o l d i n gm e t h o d t o s u p p r e s s t h en o i s ea n da l l e v i a t et h ei l l - c o n d i t i o no ft h ep r o n e m t h er i s ko f t h r e s h o l d i n g w a sm i n i m i z e dt o g e t t h e o p t i m u mv a l u e o ft h et h r e s h o l d t h e t h r e s h o l d i n gm e t h o dw a si n t r o d u c e d i n t ot h er e g u l a r i z a t i o nt e c h n i q u et o g e t t h e a d a p t i v es o l u t i o n so f t h es p e c t r u md e c o n v o l u t i o n p r o b l e m t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s s h o w e dt h a tt h er e s o l u t i o nc a nb eg r e a t l ye n h a n c e db yu s i n ga d a p t i v er e g u l a r i z a t i o n t e c h n i q u e s s o d i u ms p c c t r u m m e a s u r e da tw i d es l i tw a sd e c o n v o l v e d u s i n g w a v e l e t b a s e dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o da n dh i g hr e s o l t r t i o nr e s u l tw a s a c q u i r e d 【k e y w o r d s 】s p e c t r u md e c o n v o l u t i o n ，s l i tf u n c t i o n ，w a v e l e tt r a n s f o r m ， t h r e s h o l d m g ，r e g u l a r i z a t i o n 学位论文独创性声明 y 5 8 2 3 2 5 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导f 进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包己 其他人已经发表或撰写过的研究成果，电不包含为获得东南大学或其它教育e ，l i ，句 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：蠹基叁日期：竺剑 关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学他 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 l 乜j ：文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允【，e 文被查阅和借阅，可以公向( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：鱼壁叁导师签名： 日期：缝i ：至! 东南大学硕士学位论文 1 1 论文选题背景 第一章绪论 在光谱测量中，光谱仪的狭缝宽度对测得光谱的分辨率有很大影响。一般而言，增大狭 缝宽度会降低光谱的分辨率，所以在测量时应尽量使用窄的狭缝：另一方面，在弱光测量中， 为最大限度的收集信号光通常尽量增大狭缝宽度以提高信号强度，但这同时也增大了谱线 的半宽，降低了分辨率。为了消除狭缝的影响，就需要对测量光谱做某些数学处理以获得 尽可能真实的光谱，这就是光谱重建问题。 狭缝宽度对光谱测量的影响可以用狭缝函数来描述。由理论分析可知道，测量光谱是由 真实光谱与狭缝函数卷积的结果为了得到真实光谱就必须做反卷积处理。事实上卷积 是线性时不变系统中最常见的过程，几乎所有涉及到信号测量的领域都会遇到卷积和反卷积 运算。本文所要研究的是一类狭缝函数已知的反卷积问题，也就是所谓确定型问题。 反卷积是信号处理技术中具有理论挑战性的分支，由于应用广泛，它一直是研究熟点 1 2 4 ”。理论上，反卷积问题是一种典型的反问题，其数学模型的不适定性及数值求解的精度 和效率一直是数学界的研究热点。实践中，人们不断发展出新的反卷积方法。但由于反卷积 问题本身的病态特性各种具体的问题并不能在统一的框架下得到解决。本章首先介绍反卷 积问题的病态特性及常用解决方法，然后介绍本文的主要研究：【作。 1 2 反卷积问题的病态特性及解决方法 当用一个仪器来观测和记录一个物理现象和过程时，所得到的观测和记录不仅仅反映物 理过程的特性，还反映仪器( 包括传输线路和记录介质) 的特性。一些系统的非理想特性会 使得到的观测记录质量降低。这个过程在数学上用一个叠加积分来描述，当不考虑非线性的 影响并且假设系统是时不变的，此过程就可以用一个卷积来描述【”1 ： y ( f ) = f h ( t r ) x ( f ) d r ( 1 1 ) 式中，x ( t ) 是待测物理量：y ( t ) 是观测值：h ( t ) 是系统脉冲响应或称之为系统函数，在光谱测 量中则是狭缝函数。实际希望得到的是不失真的物理量x ( o 。反卷积是一种技术方法，它依 据观测量y ( t ) 和信号及噪声的先验知识来估计原物理量。如已经知道脉冲响应h ( t ) ，则估计 问题是一个常规的反卷积问题。 1 2 1 反卷积问题的病态特性 众所周知，系统函数与输入信号的卷积等价于对信号的一种滤波。实际的系统函数总 是形成一个低通滤波器，使输入信号的高频成分受到抑制甚至丧失。反卷积是一个逆过程， 它要找回丢失的高频成分。事实上，对( 1 1 ) 式作f o u r i e r 变换并利用卷积定理得： h ( e a ) x ( a ) ) = y ( 脚) 式中h ( ( 0 ) 、x ( ) 和y ( ) 分别是h ( t ) 、x ( t ) 和y ( t ) 反卷积问题的频域解可以写为； ( 1 2 ) 的f o u r i e r 变换。于是 x ( ) = y ( ) 日 ) ( 1 3 ) 也就是说让测量谱通过一个滤波器i h ( ) ，它的输出就应该是原来的输入x ( t ) 。上面讲 到，h ( ) 是一个低通滤波器，在高频域jh ( ) i 趋于零，这使得i l 肿( ) i 趋于无穷太。 东南大学硕士学位论文 而且，实际的接收信号总是含有噪声，此时，模型可以写为 j ，( f ) = 卜( 卜f ) x ( f ) d f + h ( f ) ( 1 4 ) 式中n ( t ) 表示一个加性噪声。同样，对上式作f o u r i e r 变换得到： y ( 珊) = 日( 出) r ( 出) + n ( )n 5 ) 式中n ( ) 是n ( t ) 的f o u r i e r 变换。则反卷积问题的频域解可咀写为： z ( m ) = 】，( ) h ( o j ) 一n 油) 日( 棚)n 6 ) 既然在高频i i i - i ( ) 瞪于无穷大，噪声n ) 的一个很小的变动都会造成解x 佃) 的很大变 动。也就是说在进行反卷积时包含在观测信号中的高频噪声会被放大。这意味着反卷积 的结果有可能偏离真实的解。为了获得尽可能真实的解，在进行反卷积时必须对噪声加以 抑制。用算子论方法可以更深刻的了解问题病态的根本原因。 1 2 2 反卷积问题病态特性的算子论分析 在系统函数h ( t ) 已知的情况下，卷积方程是第一类f r e d h o l m 积分方程。将其写成算子 形式： k x = g ( 1 7 ) k x = i k ( t r ) x ( r ) d r 6 式中若i i k ( , ) i2 d r + c o 则可以证明k 是一个紧算子。当核函数为实对称时，k 成为紧自 伴算子。对于一般的算子，若按最小二乘方法求解，也导致个紧自伴算子。为此，在理论 上只考虑紧自伴算子情况。 设k 是h i l b e r t 空间h 上的紧自伴算子，( u i ) 是k 的特征向量构成的一组正交基。任何 u ，g e h ，可以表示成 “= ( 则) “，+ ( 1 8 ) 式中u 0 ，铷是u ，g 落在算子k 的零空间中的分量。考虑算子方程式( 1 7 ) 则得到： ( 刚) 虬= ( g ，坼) 峨+ 舒( 1 9 ) 式中九，是k 的特征值。比较等式两边得到：g o = 0 ，( “，“) = ( g ，“) 五于是得到方程的 形式解： ”= 艺掣 ( 1 _ 1 0 ) ，l7 式中u o 是k u = 0 的一个特解。为保证u 是h i l b e r t 空间的一元，必须 og +” ) g( 。h i i g 东南大学硕士学位论文 妻蛭笾 。 台舒 下面的定理给出了卷积方程有解的条件。 定理1考虑第一类f r e d h o l m 方程 觳= g ( 1 1 1 ) 式中，k 是一个紧自伴算子，具有特征值 h 和正交特征向量 u i ) 。该方程具有一个唯一解 的必要和充分条件是( 1 ) k 的零空问是空集( 2 ) 式( 1 1 0 ) 得到满足。此唯一解为： “：竞掣“。 ( 1 1 2 ) i = l 若式( 1 1 ) 不满足则解不存在。若k 的零空间非空，为使解存在，g 必须属于k 的值域 的闭包。但此时解不唯一给解加上k 的零空间中的任意元仍然是方程的解。 现在分析此定理。定理要求k 是紧自伴算子。对g 的要求相当于说g 必须是一个由k 的核产生的卷积，这是一个自然而苛刻的限制；式( 1 1 1 ) 的限制说明，若k 不是有限秩， 会有九_ o 此时观测数据g 的一个微小变动所引起的( g , u 。) 的变动会被k 放大。也就是说 当( g , u ，) 不是无限小而x 趋于零时，算子k 的逆是不连续的或者说是无界的。这种不利的 性质和求解方法无关，是问题本身固有的。这就十分清楚的解释了反卷积问题的病态性质。 总结来说，反卷积问题的病态特性有几个原因：一是零空间非空时解的不唯一；二是卷积算 子的特征值趋于零造成的噪声放大。 为得到反卷积问题的有用结果，必须寻求某种近似方法对问题进行修改，使得修改后 的问题不再是病态的，而且修改后的问题的解必须非常靠近原问题的解。 从1 9 2 3 年h a d a m a r d 提出良态问题( w e l l - p o s e dp r o b l e m ) 的概念开始口2 2 4 3 人们对 病态问题的认识经历了几十年的历史。七十年代，前苏联数学家a nt i l ( h o n o v 详细研究了 病态问题，并提出了一套处理病态问题的理论方法，称为规整化( r e g u l a r i z a t i o n ) 。 m z n a s h e d ”“推广了良态的概念：一个方程的定解问题在最d x - - 乘意义下是良态的，如 果该方程存在唯一的最小二乘解，并且解连续地依赖于数据。现在，规整化的概念包罗各 种方法，其目的是修改一个病态问题成为趄态问题，使得解在物理上是合理的，且连续地 依赖于数据。当然对问题的任何一种修改都必须是合理的，必须符合对问题的解的先验 知识。事实上，所谓规整化，其基本思想就是利用解的先验知识构造附加约束或改变求 解策略，使得反卷积的解变得确定和稳定。 1 2 3 反卷积问题的规整化 t i k h o n o v 曾指出一个经典的结论p ”： 定理2 设k 是一个从h i 射入h 2 的有界线性算子并设b ch 。，是一个紧集。如果 k 限制于b ，那么k “是从k ( b ) 映入h 2 的连续算子。 这样，如果先验的知道原来的解在一个紧集中，反卷积问题将是一个良态问题。因此， 对反卷积问题可以这样来修改：一个方程的病态表现为方程的解不连续的依赖于数据，或 者说，在观测数据受到扰动的情况下，解的空间太宽。注意到真解或近似解是在解空间 中，如果引入附加限制，定义一个包含真解的紧集，那么就可以在原解空间和这个紧集的 交集中去找真解。这样得到的解将连续地依赖于观测数据。 实际上f r e d h o l m 第一类方程的病态是算子k 定义域d ( k ) 和值域r ( k ) 的共同结果。 东南大学硕士学位论文 为克服病态，可以修改算子，限制定义域，或限制值域。总的来说，就是利用物理问题的 先验知识，对问题增加更多的约束，使问题的解连续地依赖于观测数据。实现这个想法的 技术通称为规整化。在反卷积问题中常用的规整化方法主要来自以下一些想法： ( 1 ) 修改问题的解的概念。这包括：将先验知识作为附加约束把原问题变成一个晟 小化问题；把求解问题变成一个迭代或滤波过程，并在迭代和滤波过程中使用附 加约束：把求解问题变成投影迭代问题。 ( 2 ) 限制数据。对解的高频分量进行估计和截断；用：l e 线性滤波和投影消除不合理的 数据。 ( 3 ) 修改算子，如使用规整化算子。 1 3 本文研究内容 小波分析是近年来迅速发展起来的新兴学科，它的应用范围包括信号分析、图象处理、 量子力学、计算机识别、地震勘探等许多方面。小波分解能够提供信号极好的时域和频域的 局部信息，并且它固有的低通滤波特性使得它有着极强的噪声抑制能力。目前，已经有很多 基于小波的噪声抑制算法被提出来p ”。小波快速算法的出现使得各种基于小波的算法得以 实现并被广泛的应用。同时小波对信号时域局部性质的分析，以及多分辨技术，使得有可 能同时在时域及频域对信号进行自适应的处理。 本文主要工作是针对光谱反卷积问题，在仔细研究频域反卷积算法及一般规整化方法 的基础上得到改进方法并利用小波分析技术的时频局部特性建立基于小波的自适应规整化 算法。 本文分成两部分。第一部分( 第二章) 针对反卷积中常遇到的噪声放大问题深入地硬 究了各种基于小波的噪声抑制算法。文中利用空域限制对般阚值化方法进行了改进，并 在对尺度间相关性仔细研究的基础上提出了多层联合闽值估计。 第二部分( 第三章) 针对信号恢复将第二章给出的小波阈值化方法引进传统的规整化 方法中，建立了反卷积问题的自适应规整化解。利用小波方法建立的规整化也被运用到了 凸集投影方法中。 文中使用模拟光谱来检验各种算法的效果。最后对实验测量的光谱进行了重建并获得 了满意的结果。 4 东南大学硕士学位论文 第二章基于小波分析的噪声抑制 绪论中讲到，光谱重建问题的一个重要方面就是噪声抑制。光谱重建问题中的去噪声问 题是这样的：长度为n 的离散信号f 被线性算子h 所褪化且加入方差0 2 的g a u s s 自噪声w ，其 模型为： y = h + f + w( 2 1 ) 于是通过对褪化求逆反卷积问题被转化为去噪声问题。当逆h _ 1 不是有界时，噪声被一个趋 于无穷的因子所放大，这被称为一个不适定逆问题。这一章将系统地研究各种基于小波分析 的去噪声算法。 2 1 阈值消噪 首先给出标准的去噪声模型：长度为n 的未知信号f 砷) 被概率分布已知的加性噪声w ( n ) ( 不考虑非线性噪声) 所污染： 0 ) = ，( 九) + w ( n )( 2 2 ) 其中信号与噪声不相关。通过用一个决策算子d 来变换含噪声的数据x ，可估计信号f 。所 得估计子为 f = d x( 2 3 ) 在传统的估计中限制决策算子d 为线性，得到昂优线性估计。若信号f 和噪声w 的协方差 矩阵在同一k a r h u n e n - l 0 6 v e 基b = 邑) e 下对角则最优线性估计子( w i e n e r 估计子) 在此基下也是对角的： ，= 蓑舟k ( 2 4 ) 其中 x ：= ( x ，g 。) ，群= ( f ，g 。) ，吖= ( w ，g 。) ，所= 联1 群f 2 ) ，仃：= 酬l 町1 2 ) 由上面分析可知，传统的去噪声方法是将被噪声干扰的信号通过一个滤波器，滤掉噪声 成分。但传统方法存在一定局限性。对白噪声等噪声在低信噪比情况下，经过滤波器处理， 不仅信噪比得不到有效改善，而且信号的位置信息也被模糊掉了。实际上，f 的估计可用非 线性算子来改进。基于小波变换的去噪方法利用了小波变换的变尺度特性对确定信号具有的 一种集中能力。如果一个信号的能量集中于小波变换域少数系数上，那么这些系数必然大于 在小波变换域内能量分散于大量小波系数上的信号或噪声的小波系数值。这就是基本的闽值 去噪声的思想。一般小波去噪声包括三个步骤： 1 做小波变换，包括各种移变及移不变变换。 2 对小波系数进行筛选，一般使用闽值估计。 3 做逆小波变换。 其中如何对小波变换域的系数进行筛选是小波闽值化去噪的关键步骤。小波系数筛选又主要 东南大学硕士学位论文 依赖于闽值化与阈值的选取，下面讨论这两个问题。 2 1 1 阈值化 在小波系数之间进行取舍，实际上是按照一定准则，将小波系数划分成两类：一类是重 要的、规则的小波系数；另一类是不重要的或者受噪声干扰较大的小波系数。通常以小波系 数的绝对值作为小波系数的判断标准，小波系数绝对值趋向零意味着小波系数包含的信息量 少且强烈受噪声干扰。d o n o h o p8 】等人证明这种判断方法具有良好的统计优化特性。小波系 数的绝对值是一个局部测度，每个小波系数被看成是独立变量。给定一个阈值t ，所有绝对 值小于t 的的小波系数被视为噪声，并用零代替或用t 缩减：而超过阈值的小波系数或保 留或做进一步处理，因此阈值方法也称为小波缩减法( w a v e l e t - s h r i n k a g e ) 。这种方法意味着 在小波域中移去小幅度的噪声或者非期望的信号然后通过小波逆变换得到消噪后的信号。 【 | | i i 浮| | i - 1 ( a ) o 1 原始小波系数 一1o1 ( b ) 原始小波系数 图( 2 1 ) 两种基本闷值化方法示意图 ( a ) 硬闽值化( b ) 软阈值化 基本的缩减方法有软阈值化( s o f t 4 h r e s h o l d i n g ) 和硬阈值化( h a r d - t h r e s h o l d i n g ) 如图( 2 1 ) 所示。 ( 1 ) 软阈值：绝对值小于阈值t 的小波系数值用零代替：绝对值大于阈值t 的小波系 数用t 来缩减，即： 软取阈值的风险为 _ d 5 = x t j + 丁 o 6 r r 一丁 f x i t ( 2 5 ) 1 8 6 4 2 0 2 4 6 8 1 0 0 0 o 0 o 0 0 1 8 6 4 2 o 2 4 6 8 1 o o 0 0 o o 0 0 数系波小的后化值阈 查堕查堂塑主堂些丝奎 一l r ( 口，厂) = 耳j 厂( 门) 一皿瞵( 一) 】1 2 因为x = f + w ，所以 i 厂c 胛，一。：r x c 订，j 2 = i 爻：；：i ( 2 6 ) ( 胛) p r ( h ) l t 、 ( 2 ) 硬闽值：绝对值小于闽值t 的小波系数值用零代替；绝对值大于闽值t 的小波 系数，不做处理，即： f 工陋t l x i t 一i r ( d h ，) = e i 厂( 行) 一巩( ) 】1 2 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 其中 i 厂c n ，一。一c z c 疗，1 2 = ：爻：；：i ：工x 。( 力n ，) f i ，z c 2 ，。， 现在分别具体计算硬取阈值估计与软取阈值估计的风险： ( a ) 对硬闽值估计 o ) 若l x b ( n ) l q 对硬闽值估计，将系数置为零，这产生等于if ( n ) 1 2 的风险因为 硎( ，? ) 1 2 】- j 厂( n ) i 2 + 盯2 ( 2 1 2 ) 所以可用i x ( n ) 1 2 一a 2 来估计i f ( 酬2 。 呈烹三璺坚：堡粤篓竽计将保留起系数，产生平均平方误差为一的风险为。综合两种情况 得到硬闽值风险的估计： 其中 对硬闽值而言 ：莹。 n l r ( d h ，厂) = 巾( i ( 玎) j2 ) m = 0 ( 2 1 3 ) ( 。) ：i n = - 仃2 觏- 丁2 一个不利情况是这个估计是有偏的。对零均值g a u s s 白噪声可以计算这个偏 d ( x n ) = x 。 ( 1 以p 丁) 其中o ( ) 是逻辑函数。于是定义： g ( x 。) = 一x 。o ( i 爿ji 丁) 7 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) o rfl = r d 是险风的 法疗值闽暇硬 东南大学硕士学位论文 则d ( 瓦) = x 。+ g ( x 。)( 2 1 6 ) 可以得到： 厂n、厂n、 e ( i ，一d x 。1 2 ) = 司( 厂一甄) 2i - 1 e ( 以一厂+ 鲋。) 2j ( 2 1 7 ) n = ln = l = e ( w 2 ) + 2 e ( w ，g ( x 。) ) + e g 2 ( x 。) 】) 利用 番( ( 隅阿) ) 叫聃删。叼 则( 2 1 7 ) 式为 ( 2 1 8 ) n e ( i ，一蹦。l 2 ) = r 。+ 2 t o - 2 【( 丁一) + 庐( 一t 一厂) 】 ( 2 1 9 ) 其中( p ( t ) g a u s s i 弱数：删= 刁1 磊。x p ( - u 2 2 a 2 ) 计算中以x 取代f 得到可实际使用的风险估计 e ( i f d x 1 2 ) = 中( x 。1 2 ) + 2 t a 2 【妒( r 一。) + 庐( 一t 一以) ( 2 2 0 ) n = i = i 将此风险更清楚的写出，可将n 个小波系数按减序排序( 序号从1 开始) ，t ) 1 x ( 1 ) l ，则风 险估计可改写为： n n m s e h “= i j ( n ) i 2 一( 一，) 仃2 + l a 2 + 2 t c r 2 矿( 7 1 一j 。) + 矽( 一t 彳。) 】( 2 2 1 ) ( b ) 软闽值估计的风险：对软闽值估计的风险可做与硬阈值风险相同的分析。 若l x ( n ) r 0 t 。o 的系数的具体值。若m 是p 个均值为零、 方差为0 0 2 的独立g a u s s 随机变量的绝对值的中位，则： e ) z0 6 7 4 5 c r o( 2 3 5 ) 通过忽略f 的影响，可以由，y ) ) o ；。，：的中位m 来估计噪声w 的方差a 2 ： m 子2 0 6 7 4 5 ( 2 3 6 ) 2 1 3 多分辨率阈值 通常，奇异性在每一尺度上产生相同数目的大系数，而总的小波系数的个数，当尺度 减少时增加。于是可将闽值选取自适应于尺度2 7 。在大尺度上，阈值t j 应该较小，以避免 将太多的大幅值信号系数置为零，因为这会增加风险。为此，首先在最细的尺度上用中位公 1 0 鏖。 对 相1 0 5 度。 嚣一s 相1 0 05 0 0 1 0 0 0 ( a ) 1 5 0 0 2 0 0 02 5 0 0 _ j l j ( c ) 信号序列 图( 2 2 )多尺度自适应估计 ( a ) 原始信号( b ) 硬闽值估计 ( c ) 多尺度自适应估计 1 0 东南大学硕士学位论文 式( 2 2 2 ) 计算噪声方差a 2 的估计子2 ，然后在每一尺度2 ，用后面给出的各种闽值算法 f t 、 由2 - j 个噪声系数i ( 盖，m s , o ) o ：。2 一，计算出不同的阈值，最后在此尺度上使用闽值估计。 图( 2 2 ) 是分别使用自适应尺度的多分辨闽值去噪声与用单一闽值去噪声的比较。两种 方法都使用了硬阈值估计。原始信号带有g a u s s 白噪声，信噪比为9 5 4db 。图( 2 2 b ) 是用单一闽值进行去噪声的结果。信噪比为1 6 6 5db ：图( 2 2c ) 是用多分辨率 闽值估计进行去噪声的结果，信噪比提高到1 7 0 3db ：也就是说使用自适应多分辨率阈值 估计改进了估计。 2 1 4 利用空域限制的闽值化 上面硬或软闽值方法使用一个依赖于小波系数绝对值，的缩