第1~6届启智杯真题+答案.pdf

1 2015 深圳市第深圳市第 6 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题（数学思维竞赛题（A1 中年级中年级组）组） 1在下式括号中填上合适的数，使得等式满足下列三个条件： （1）等式成立； （2）各分数值小于 1； （3）所有分数的分母不相等 ()2()4()3 30()12()10() 2下列图形从左往右的排列中，直角个数变化是有规律的，请你写出这个变化规律，并在问号处填上选择 符合的图形对应的字母 3下面左右两幅方格图中，每个方格中都有 49 个交点 （1）观察左图，发现点C到A、B的距离相，那么这副图中剩下的 46 个交点中，到A、B距离相等的 公共交点还有哪些？请在图中描出 （2）在右图中A、B两点确定了一个距离，试在图中剩下的 48 个交点中描出所有可能的点，使得这些 点到B点的距离等于A、B两点的距离 4将 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数分别填在如图所示的各个圆圈中，使每条线段上的三个圆圈内 的数之和相等，把满足条件的可能填发全部列出 2 5期末考试，在语数英三门课程中，聪聪有一门得了满分，她的同学甲、乙、丙在猜测到底哪一门得了满 分甲认为不是语文，乙认为是数学或英语，丙认为是英语实际上，这三个同学的看法至少有一种是正确 的，也至少有一种是错误的请问，聪聪到底是哪门课考了满分？说明你的答案与推理过程 6已知 1111 2457820142015 1 236723692016 ab，求ab的值，写出计算过程 7下图左边是一个44的正方形去掉六个1 1的小正方形后剩下的“十字”形图形，右边的六个图形也是有 1 1的小正方形拼成的图形，这些图形中，选择两块可以在平面上移动（可转动，但不翻动）拼成左边“十 字”形图形，请把所有可能选出两块的拼法画在“十字”形图形上，并标出拼图组件所对应的字母 3 8一个数各个位置上的数字加起来的和叫做数字和，如 123 的数字和是 1+2+3=6如果一个数的数字和不 是一位数，就将其数字和再求数字和如：456，4+5+8=17，1+7=8，如果最后得到的结果是 1，则称这个数 为“孤独数”请问从 1 到 2015 的自然数中“孤独数”有多少个？写出结果及推理的过程 9甲、乙、丙三人在A、B两块相邻的地植树，A地要植 400 棵，B地要植 600 棵已知甲、乙、丙每天 分别能植树 30，34，38 棵甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地植树三个人 在两块地上的植树活动要求同一天开始同一天结束，乙应在开始后第几天从A地转到B地？A、B两地哪 一块最先结束植树活动？写出答案及分析过程 10右边乘法算式中，只有四个位置上的数已知，它们分别是 2，0，1，5，请你在空白位置填上数字，使 得算式能够成立，写出所有可能成立的算式 4 11如下图，在正方形ABCD的四个顶点A、B、C、D上按照顺时针方向依次进行如下标注：首先在顶 点A、B上分别标注数 1、2，之后将AB两点的标注数之和（1+2=3）标注在下一个顶点C处，再将BC两 点的标注数之和（2+3=5）标注在下一个顶点D处接下来再把A点的标注数 1 擦去，将CD两点的标注数 之和（3+5=8）标注在A点，如此下去，请问：对A点进行第 2015 次标注的数被 3 除的余数是多少？说明 你的依据 12某电脑动态屏保是这样设计的：开始共有 2015 只小鸟，随机编成若干列，每列数量不限从第一列开 始，每两列一组依次连续从屏幕左侧进入屏幕，移动至右侧从屏幕消失如果消失的两列数量不同，就从后 面增补一列小鸟（2015 只小鸟以外） ，其数量为前面消失两列的数量之差（多的减少） ；如果消失的两列数 量相同， 则直接消失不予增补 如此下去， 小鸟数量和列数都会越来越少， 如果最后完全消失， 则屏保结束； 如果最后剩下 1 列， 则电脑再随机增补 100 只新的小鸟， 依然随机编排， 并依前述规则进入和退出屏幕 问： 如此下去，这个屏保会否在某个时刻结束？说明你的理由 5 2015 深圳市第深圳市第 6 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题（数学思维竞赛题（A2 高年级高年级组）组） 1规定：符号“”为选择两个数中较大的数的运算，符号“”为选择两个数中较小的数的运算 比如 53=5，710=10，37=3计算： 13.141 320154214201570.33? 31.234 2一列数，其前七项依次为 1，1，3，4，5，9，7，第 8 项是什么？说明理由 3如图所示，圆周上的两个点 1 A、 2 A将圆等分成 2 份，在这两个点处写上 1 4 ；圆周上的两个点 3 A、 4 A再 将两段半圆弧等分，在点 3 A、 4 A处分别写上相邻 2 个数之和；如此继续这样操作，问能否出现圆周上所有 数字之和 2015？若可能，请求出经过了多少次操作？若不能，请说明理由 4右图是四朵对称的小黄花相互连接于一个边长为 4 的正方形内，如果四朵黄花所围出的中间白色区域的 面积为 1.2，问一朵黄花的平面面积是多少？说明理由 （注：黑白印刷下，每一朵黄花是指图中虚线所包围 的部分，包括其中的小圆内） 6 5如图，在正五边形ABCDE的五个顶点A、B、C、D、E上按顺时针方向依次进行如下标注：首先在 顶点A、B上分别标注 1、2，之后将A、B两点的标注数之和1 23标注在下一个顶点C处，再将B、 C两点的标注数这和235标注在下一个顶点D处再将C、D两点的标注数之和3 58标注在下 一个顶点E处接下来再把A点的标注数 1 擦去将D、E两点的标注数之和5 813标注在A点，如 此下去，请问：对A点进行第 2015 次标注的数被 5 除的余数是多少？说明你的依据 6某边远山区发生一起谋杀案，警方抓捕了三个嫌疑人A、B、C法官问A是否杀了人，但A呜哩哇讲 了一通方言，法官听不懂，就问另两位能讲普通话的嫌疑人B和C，他们懂这种方言B说：“A告诉你， 他没有杀人” C说：“不对，A承认是他杀了人” 法官相信，在询问过程中，非罪犯是不会撒谎的，撒 谎的一定是罪犯请问：到底谁是罪犯？请说明理由 7在一个孤岛上生活着三种怪物：奇虎、奇狮、奇豹，数量分别为 2010、2015、2020 个这些怪物有一种 古怪的习性：它们任何两种怪物一旦见面，就双方都变成第三种怪物（比如，一个奇虎和一个奇狮见面，就 都变成奇豹） ，见一种怪物见面则不会产生变化问，如此下去，它们是否有可能到某种时刻全部变成同一 种怪物？请说明理由 7 8在平面上用长度为5cm的火柴棒摆正方形，摆出 1 个边长为5cm的正方形需要 4 根火柴，摆出 2015 个 这样的正方形最少需要多少根火柴？说明你的摆法（不必画图） 9有一个魔术是这样表演的： 表演者将一副扑克牌去掉大小鬼共 52 张放入一暗箱，另有足够多的备用扑克 牌请一位观众上台，让他们从暗箱中随意取出若干张牌，算出这些牌的点数之和的个位数（规定 J、Q、 K 的点数分别为 11、12、13） ，然后从备用牌中拿来一张点数为这个个位数的扑克牌放进暗箱（如果个位数 是 0 则不放） ，这个过程称为一次“置换”如此下去，经过多次置换，暗箱里的扑克牌数量会越来越少，直 至剩下一张 此时，魔术师非常自信地报出最后剩下的这张牌的点数， 请问你能确定它的点数是几吗？为什 么？ 10如图所示，是一块上、下两面边长为 28 厘米的正方形蛋糕，其上表面和四周表面分别均匀覆盖着两种 不同的糖霜，其厚度相同如果用刀将其平均切分成 7 块体积相等，且覆盖有等量两种糖霜的小蛋糕，那么 该怎样切？请在给出的平面图（下图右）上画出你的切割示意图，并做简要说明分割的理由 8 11在棋盘上滚动骰子，使骰子的一面和棋盘格的大小相等，然后将骰子以棱为轴，滚动到邻近的棋盘格， 每滚动一次， 骰子朝上一面的数字就会变化如果骰子的初始位置如左图， 当骰子滚动六次到达对角顶点时 （如右图） ，那么，第一步、第四步、第六步朝上的面分别是几点？（说明：骰子的相对两个面的点数之和 为 7） 12钢筋原材料每根长 10 米，每套钢筋架子用长 2.4 米、2 米和 1.5 米的钢筋各一段现需要绑好钢筋架子 20 套，至少要用去原材料多少根？总共浪费多少米？请填写下表以确定你的切割方案 原料序号 钢筋段数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 总 1.5 米 2 米 2.4 米 9 2014 深圳市第深圳市第 5 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题（数学思维竞赛题（A 组）组） 1观察如下几个等式： （1） 3 3 1 ； （2） 57 3 1 3 ； （3） 79 11 3 1 35 ； 你发现了什么规律？请据此写出第 100 个式子. 2有一个 2014 位数，其从左到右第 2、3 位数字分别为 2、3，第 11、30、2014 位数字分别为 4、5、6.如 果其任何相邻的五位数字之和全相等，请问该数的第一位数字是几？全部2014位数字之和是多少？写出结 果，并写出分析过程. 3一个非零自然数，如果从左到右顺读和从右到左逆读，都是一样的，则这个数称为“对称数”，如 4，55， 171，4994，12321 等都是对称数，而 332 不是对称数.那么全部非零自然数（从 1 开始）从小到大的第2014 这个对称数是多少？写出结果，并写出分析过程. 4把一张纸片裁剪成 8 份，称第 1 次操作；取其中一张再把它裁剪成 8 份，称第 2 次操作；如此继续下 去，能否经过若干次操作后正好剪出了 2014 张纸片？若不能，请说明理由；若能，则需要经过多少 次操作？写出结果，并写出分析过程. 10 5有如下三组数： A组： 1 3 ， 1 6 ， 1 10 ， 1 15 ； B组：1，3，5，7，9； C组：0.7，1.4，2.1，2.8，3.5，4.2，4.9. 从每一组中各取一个数，相乘得到一个乘积，求这140个乘积的总和是多少？写出过程和结果. 6如图所示，五个圆中有部分的圆彼此相切（两个圆有且只有唯一一个公共点称两个圆相切） ，且总共只有 三种不同长度的直径.若图中阴影部分的面积和为 7 2 cm，求最大圆内空白处的总面积. 7如图所示，正方形ABCD和正方形BEFG边长分别为a和b，2 5a b，若ACF的面积是 2 6cm，求 CEF的面积. 8通过折线的手段将一个正方形的每边两等分（对折） 、四等分（再对折） 、八等分（再对折）等等，都是 轻而易举的（如图，虚线为折痕）.请问，你能否在正方形的每边四等分、八等分的基础上，通过折线将其 每边三等分、七等分？能否五等分呢？若能，请在图中用虚线画出你的折痕（用字母标出折痕经过的点） ； 若不能，请说明理由. 11 9请将 1，2，3，4，11，12 共 12 个数填入下列“井”字图形的 12 个内，要求： （1）每个数都用一次； （2） 每个“口”字四个解上 （如ABCD四个位置） 四个数之和都相等， 四条直线上 （如ACFG四个位置） 四个数之和也相等，且等于各个“口”字四个角上四个数之和. 10明明的QQ号是由五个不同的数字组成的五位数，他把号码口头告诉了A、B、C三位同学.可惜他们 都没有记住.A记的是“23865”，B记的是“32856”，C记的是“56328”.如果ABC三人每个人记的五位数中， 位置和数字均正确的都只有两位， 而且位置不相邻， 请问明明的QQ号是多少？写出结果， 并写出分析过程. 11张老师、王老师、李老师三人的年龄为三个连续的自然数，其中张老师 28 岁，他们三人分别教数学、 语文和英语.已经知道： （1）李老师比英语教师年龄大； （2）张老师和语文教师不同岁； （3）语文教师比王老师年龄小. 请判断一下，数学、语文、英语教师分别是谁？他们的年龄各为多大？写出结果，并写出分析过程. 12某疗养院有 100 个床位，床号为 1、2、3、100，依次分布在三种不同类型的病房内：单人房、双 人房、三人房（每种类型至少有 1 间，前几间是单人房，接下来几间是双人房，最后几间为三人房）. （1）最少有多少间房？ （2）最多有多少间房？ （3）如果其中有 13 个单人房，并且 52、53 号床在同一个房间，58、59 号床不在同一个房间，问这里 共有多少个房间？ 写出结果，并写出分析过程. 12 2013 深圳市第深圳市第 4 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题（数学思维竞赛题（A 组）组） 1在下面的算式中，不同的汉字代表 19 中不同的数字，那么， “为了一切学生”的各字分别代表了什么 数字？写出一种答案，说明你的分析过程 987654 为了一切学生 一切为了学生 为了学生一切 2从 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这 9 个数字中选出 8 个不同的数字分别填入下面两个算式的方框内（每 个数字只许用一次） ，使它们都成立，简述理由 3在如图所示的3 3的方格中，不同的汉字代表不同的数，每行、每列和两条对角线上各数的和相等则 每一行各数之和是多少？写出结果并说明理由 13 4 如图， 根据前面 2 个图形中四个数的排列规律， 在后面图形的空缺处填入适当的数并说明你发现的规律 5请将 400 分别表示成 8 个、10 个、20 个连续的奇数的和的形式；400 可以写成最多多少个连续奇数之 和？为什么？ 6下图由 6 个大小相同的正方体组成的几何体吊在空中，从上下左右前后各个角度观察；会看到不同个数 的正方形请将你的观察结果填入如下括弧内，不必说明理由 从侧面（前后左右）看，共有（ ）个正方形； 从上面往下看有（ ）个正方形； 从下面往上看有（ ）个正方形 7请对下列空间几何体进行分类，并指出两种分类标准（即分类依据）和分类结果，填入如下的横线上 分类依据一是_， 每一类分别是（把同一类标号填在一起）_，共分_类； 分类依据二是_， 每一类分别是（把同一类标号填在一起）_，共分_类 8给定一条长度为 2013 米的硬塑料管，请你按下列要求把它裁断（三个要求同时满足） ； （1）每段长都是整数米； （2）任意三段为边长都不能构成三角形； （3）最长的一段尽可能的长 请问：最多可以裁成多少段？说出你的裁截思路与结果 14 9 如图， 在斜边长为 20cm 的直角三角形ABC中去掉一个正方形EDFB， 留下两个阴影部分直角三角形AED 和DFC若8cmAD ，12cmCD ，则阴影部分面积为多少？给出答案并说明你的计算依据 10某小学六年级一、二班老师A、B、C、D、E、F、G、H共 8 人依次围着一张圆桌吃饭，其中有 数学、语文、英语老师各 2 人，自然、社会老师各 1 人；有班主任 2 人，分别是语文和数学老师为了便于 交流，他们同一个学科的两人坐邻座，两位班主任也坐邻座，但自然老师与社会老师不坐邻座已知C的左 侧老师与C在同一学科；C的对面老师教语文请问哪两位是班主任？ 11请设计一个游戏：地面上摆放着若干颗石子，甲乙两人轮流从中取石子，每人每轮最少取 2 颗，最多取 5 颗，取到最后一颗石子者为胜请设定这堆石子的颗数（至少 50 颗） ，使先取者有必胜的策略，并说明你 的策略 12某商场购进 1000 套夏季套装，分三个阶段销售 （1）第一阶段：新货上架，以每套 1000 元价格出售； （2）第二阶段：旺季热卖促销，买 2 套打 8 折（即每件 800 元） ，买 3 套打6.5折； （3）第三阶段：过季大甩卖，全场 3 折 各阶段销售情况如下表已知在第二阶段商场促销活动中，卖给一个人 3 套比卖给一个人两套可以多 赚 100 元问该批服装进价如何？该商场在这批服装销售中共赚（毛利润）多少钱？请填写下表 （注：毛利润：售价进价，不计人工及场地等费用） 阶段 第一阶段 第二阶段 第三阶段 合计 销售方式 原价销售 2 件 8 折 3 件6.5折 全场 3 折 售出数量（套） 300 200 300 200 1000 销售收入 毛利润 15 2012 深圳市第深圳市第 3 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题（数学思维竞赛题（A 组）组） 1如图所示的算式中，相同的汉字表示相同的一位数字，不同的汉字表示不同的一位数字，则我+爱+启+ 智+杯= 写出你的推算过程 杯 智杯 启 智杯 爱启 智杯 爱启 智杯 我爱启 智杯 2有三个封口的袋子，里面都装着同样重量和大小的小球，A 袋子内装着红球，B 袋子内装着白球，C 袋 子内混合装着红球和白球三个袋子分别贴有“红色”、“白色”、“混合色”的标签，可惜每一个标签都与袋子 中球的实际颜色不符 现在允许你只打开一个袋子， 从中摸出一球 （不准看袋子里面） ， 看着这个球的颜色， 你能立刻为三个袋子贴上正确的标签吗？请说明你的具体操作方法 3在 6，9，15，19，21，27 中，从不同的角度看，你会发现有一个与众不同的数，这个数是几？请你写出 4 个不同的答案，并说明理由 4观察下列等式： 12231 13221; 23 352253 32; 3558338553 以上每个等式中两边的数字是分别对称的，且每个等式中的两位数与三位数的数字之间具有相同的规律， 我们称这类等式为“数字对称式”，请根据上述各式所反映的规律填空，使下列式子称为数字对称式 （1）62_ 26； （2）_ 891 198_ 说明你发现的规律 5如图所示，在四分之一圆内含有两个以半径为直径的半圆，求图中阴影部分的面积和空白处的面积之 比 （ 取3.14） 16 6如图所示，已知圆周上的五个点 A、B、C、D、E 依次间隔弧长为 1、2、3、4 厘米，而 E 和 A 之间的弧 长为 5 厘米，有一根很长的直尺，该直尺上的整整长度处依次标上 1 厘米，2 厘米、3 厘米、4 厘米现 在将该圆放在直尺上，将点 B 放在标有 0 厘米的刻度处，让圆沿着直尺由左到右无滑动滚动前进，问在直 尺的 2012 厘米处与圆周上对应的英文字母是 说明你的推算过程 7将数字 2、3、5、8、9、11 书写在每一个骰子的六个表面上，做成 6 枚一样的骰子分别取 3 枚这种同 样的骰子叠放成如图 A 和 B 的两个柱体问柱体 A 和柱体 B 的表面（不含底面）点数之和分别是多少？说 明你的理由 8用相同大小的正六边形来铺广场，按如上图所示的方式来铺设，中间的正六边形瓷砖记为 A，定义它为 第一层， 在它的周围铺上同样大小的正六边形瓷砖，定义为第二层， 在第二层的外围铺上同样大小的正六边 形瓷砖，定义为第三层，按这种方式铺下去，当铺第 15 层时，用了 块瓷砖请说出你的 规律 9本题分为两个小题，每题各 5 分请分别写出解题过程 （1）有三个连续的两位数，由小到大依次分别是 3、4、5 整除，那么这三个数各是几？ （2）三个连续自然数，由小到大依次分别是 7、10、13 整除，那么，所有这三个自然数组中，最小的一组 是多少？ 43210 E D C A B A 17 10如图所示，在一块22cmcm的方格网板上钉上 9 颗图钉如果用线绳围成三角形，大小形状完全相同 的算一类，问其中面积为 2 1 2 cm的三角形有几类？分别在图中画出一个每类各有多少个不同位置的三角形？ 一共有多少个？ 11仔细观察右边的算式，答案 649 正好和上边的被减数 946 的数字排列相反如果选另外三位数减掉 297 后， 答案也正好和所选的三位数的数字顺序相反的话， 可以选出若干组这样的三位数，那么一共可以选出多 少个这样的三位数？说明它的特征 946 297 649 12国庆期间，天虹商场采取“买满 200 送 100 连环送”的酬宾活动，规则如下： （一）顾客在商场内消费每满 200 元就送 100 元购物券，多买多送（满 400 送 200，以此类推） ，消费不足 200 元的部分不赠送 （二）购物券不能兑换现金，但可以与现金同等使用，用购物券购物同样享受满 200 送 100 问题： （1）如果你有 1000 元，最多能购买价值多少钱的商品？说明你的购买策略 （2）如果某顾客计划在该店购买的商品及价格如下表所示： 商品名 旅游鞋 羊毛衫 T 恤 浴巾 拉杆箱 皮带 日用品若干 合计 价格 338 798 458 148 205 256 约 170 约 2370 该顾客要至少需要支付多少现金？说明你的购买策略 18 2011 深圳市第深圳市第 2 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题（数学思维竞赛题（A 组）组） 1 今天是 2011 年 12 月 03 日， 请在 20111203 八个数字之间添加、 、 、 四种运算符号中的某些符号， 使得下面等式成立 20 1 1 12039 2汉字“数”、“学”、“好”分别表示不同的数字，根据下列所给算式，则“数”表示数字_，“学”表示数字 _，“好”表示数字_ 学好 学好 学好 学好 数学 3“启”、“智”、“杯”各表示一个数字，同时满足下列等式： =22启 智 杯； =4启 智 杯； =6启 智杯 则“启”表示_，“智”表示_，“杯”表示_ 4有一个孤岛，那里的人们在商品交易时有如下特殊的要求： （1）所有商品价格（单位：元）为整数，且不超过 31 元 （2）消费者支付款项时，每一种币值的钱币最多只能使用 1 枚，而且商家不找零钱 问：为了保证公平交易（照实支付） ，至少应该生产_种不同面值的钱币，请具体列举出来： _ 5按照下图规律，写出第四个图中 x，y，z 所表示的三个数x=_，y=_，z=_请说明理由： _ 42756411 7151051937 x yz 图一图二图三图四 19 6在同一个布袋里有红色、黄色、蓝色袜子各 15 只，最少要拿_只，才能保证其中至少有 2 双颜 色不同的袜子（注意：袜子不分左右） 7如图所示是 2011 年 12 月份的日期，现用一矩形在日历中任意框出 6 个数 ，请用一个等 式表示 a、b、c、d、e、f 这 6 个数之间的关系是_ 8如上图所示，长方形的长:宽=4:3，将该长方形划分为四个三角形，其面积分别是 1234 SSSS、 、 、若 1234 =+=SSSS，则 23 :SS=_ 9a、b、c、d 为正整数，满足等式 130 1 43 1 1 a b c d ，则 d=_ 10观察下面的算式： 0000， 11 11 22 ， 22 22 33 ， 1111 2323 ， 根据算式反映出的规律，再写出满足这个规律的两个算式 _，_ S4 S3 S2 S1 A BC D E F 20 11 半径为 1 的圆沿着半径为 3 的圆的内侧与外侧无滑动地滚动 （如下图） ， 当它们回到开始滚动的位置时： （1）哪个圆滚动的圈数多？为什么？_ （2）若点 A 是内侧滚动圆上的一个定点（如甲图） ，请在甲图中画出点 A 的运动路线 12 有一家公司董事长想从他四个得力助手中挑选一名担任策划部总经理， 他给他们出了以下问题： 把一闲 置的圆形土地平均分成四块，要求每块都与其他三块相连（即有公共边） 请你在下列所给图中至少画出 2 个符合要求的分割方法 13A，B，C，D 四个盒子中分别放有 6，5，4，3，个球第一个小朋友找到放球最少的盒子，从其它的盒 子中各取 1 个球放入这个盒子中， 然后第二个小朋友又找到一个放球最少的盒子， 从其它的盒子中各取 1 个 球放入这个盒子中，如此进行下去，当第 2011 个小朋友放完后，A，B，C，D 四个盒子中的球数依次 是多少个？ 乙图甲图 A 21 2010 深圳市第深圳市第 1 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题（数学思维竞赛题（A 组）组） 1一张三角形的纸片，请你剪去一个角，要求还剩三个角，想一想，该怎样剪？ 2桌上放着八枚硬币，竖着放五枚，横着放四枚（如上图） ，请问：如果只许移动其中一枚，能否使横竖都 成为五枚硬币？ 3请在四个数字 5 之间，适当添加, , ,( )这些符号，以使等式成立 （1）55551； （2）55552； （3）55553； （4）55554； （5）55555； （6）55556 4下面是一组被打乱的数字，在被打乱之前它们之间有一个非常有趣的规律你试着找找看，然后按其原 有的规律重新把下面的数字排列起来，并说明原来的规律是什么 3，5，13，21，1，1，2，8 5在下列题目中缺少一个图，你认为从左边选择哪一个图插入右边空挡比较合理？说明你的理 由（ ） 6商店规定 4 个空汽水瓶可换一瓶汽水，某班 28 位同学春游，他们至少买多少瓶汽水才能确保每人有一 瓶汽水喝？ 22 7一位 3 米高的巨人，沿赤道(假定赤道是一个圆)环绕地球步行一周，那么他的脚底沿赤道圆周移动了一 圈，他的头顶画出了一个比赤道更大的圆已知地球赤道的半径是 6371 千米在这次环球旅行中，这位 巨人的头顶比他的脚底多走了多少米？我们可以这样来计算： 巨人的脚底走过的圆，半径是 6371 千米巨人的身高是 3 米，所以他的头顶走过的圆的半径比脚走 过的圆的半径增加 3 米若都用千米做长度单位，半径就增加0.003千米取圆周率的近似值为3.14，那 么两圆周长的差为：3.142(6371 0.003)3.14263713.140.0030.01884 ()18.84 ( )kmm 结论是：环绕地球一周，巨人的头顶只比脚底多走18.84米 如果这位巨人打算再环绕月球表面步行一圈 （假定这个圈是以月球球心为圆心的圆） ， 那样一圈走下来， 他的头顶比脚底多走了_米呢？ 8 我们知道：1 条直线可以把一个平面分成两个部分，2 条直线最多可以把一个平面分成四个部分，那么 8 条直线最多可以把一个平面分成_个部分 9某人每天下午 5 点钟下班，由汽车按时到达接他回家一天，他提前一个小时结束工作，因汽车未到达 而步行回家， 在途中遇到来接他的汽车又改为乘车，结果比平时早 10 分钟到家， 此人步行 分钟遇到 接他的汽车 10对于给定的有顺序的四个数：30，10，67，15任意交换两个非相邻位置的数，算作一次操作（不允许 交换两个相邻位置的数） ，能否利用三次操作，使得最后得到的四个数从左到右依次减小，写出具体的操作 步骤 112009 只茶杯，杯口朝下，每次翻动 4 只茶杯，能否经过若干次翻动，使所有茶杯全变为杯口朝上？每 次翻动 5 只呢？ 12在一张长方形纸片上有 2009 个点，加上 4 个顶点共有 2013 个点，这些点中任意 3 点都不在一条直线 上 现在以这 2013 个点为顶点， 把长方形纸片剪开， 最多能剪出多少个三角形 （任意两个三角形没有重叠） ？ 23 13复旦大学某班 A、B、C、D、E、F、G、H、I 共 9 名同学参加 2010 年上海世博会志愿者知识测 试测试合格者进入志愿者选拔范围测试结果只有一人合格向他们询问谁合格他们的回答如下： A:“是 E”； B:“是我”； C:“是 B” ； D:“不是 E”； E:“是 B 或 H”； F:“是 E”； G:“不是 B”； H:“不是 B 也不是我”； I:“H 所说的是事实” 其中，说实话的只有 3 个人，那么请问合格的是 14将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB重合（接 缝粘贴部分忽略不计） ，则围成的圆锥形纸帽是 (A) (B) (C) (D) 15在下边的算式中 A、B 代表不同的数字，若算式成立，求出 A=（ ）、B=（ ） 114 304 3 154 AB BA 16你让工人为你工作 7 天，给工人的回报是一根金条 金条平分成相连的 7 段，你必须在每天结束时 给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？ 17有一堆夹心糖，如果按 8 块一份来分，最后剩 2 块；按 9 块一份来分，最后剩 3 块；按 10 块一份来 分，最后剩 4 块 这堆糖至少有_块？ 18假设排列着 100 个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第 100 个乒乓球的人为胜利者条件 是：每次拿球者至少要拿 1 个，但最多不能超过 5 个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎 么拿就能保证你能得到第 100 个乒乓球？ 24 2015 深圳市第深圳市第 6 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题数学思维竞赛题答案答案（A1 中年级中年级组）组） 1 【答案】 1526453 304128106 【分析】要发现分子与分子的倍数关系，分母与分母的倍数关系 2 【答案】直角个数的变化规律：1491625，满足平方数列，选 D 【分析】1 个小正方形有 4 个直角，有序枚举出直角的个数 3 【答案】 【分析】 （1）到AB，距离相等的点，应在AB，的中间 （2）只要满足是“1 3 ”网格的对角线即可题中说剩下 48 个点，包括A的 8 个点 4 【答案】 【分析】设每条线段的和为x，设中间数为a 41 293 4453 xa xa 枚举：当1a，12x 当515ax， 当918ax， 5 【答案】数学 【分析】假设法假设甲是正确的，即不是语文 此时若丙是正确的，乙也是正确的，不成立； 即丙是错误的，不是英语 那就是数学，即乙是正确的 6 【答案】1344 【分析】法一： 111133333 1 234672369122016 a 1 2457810 1120142015 369122016 b 即 31 2345378320142015 83669920162016 ab =6722 =1344 25 法二： 1111 1 234672 1 2457820142015 3692016 3639620162013 3692016 12671 1111 23672 a b 即1344ab 7 【答案】ABADCF， 【分析】 8 【答案】224 【分析】数字和不影响 9 的整除规律，要得到的结果为 1 这些数为 1，10，19，只要满足被 9 除余 1 即可， 即 12015 内：1，10，19，2008 等差数列求项数=2008 19 1224（个） 即孤独数有 224 个 9 【答案】乙在开始后第四天从A地转到B地B地先结束 【分析】总植树量：400+600=1000（棵） 总效率：30+34+38=102（棵/天） 因为：910010210 所以：10 天肯定完工 若甲自己干 10 天，10 30300（棵） :400300100343102A棵（棵） 所以乙要帮甲 3 天，第 4 天从A地转到B地 A地结束时间：400343309.93（天） B地结束时间：60038 3343839.75（天） 所以：B地先结束 10 【答案】 【分析】从“0”入后，可知“9”，因为3 39 5420，舍去 5630， 5 840， 26 11 【答案】余数是 1 【分析】免子数列 A的第 2015 次，是总的第20144 18057次 805781，即余数是 1 12 【答案】不会结束 【分析】原来共有 2015 只小鸟 总和的变化有 3 种情况：设长列为a，短列为b 2015-220152 2015-20152 2015-100 ab ababb 或 即变化的总为偶数，总和不会变成 0 所以，不会结束 2015 深圳市第深圳市第 6 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题数学思维竞赛题答案答案（A2 高年级高年级组）组） 1 【答案】48 【分析】原式= 11 342157 34 = 7 47 12 =48 2 【答案】16 【分析】 3 【答案】不能 【分析】不能，求和： 111 (1) 442 ( 2 )增加的数为原来的两倍，一共和为原来 3 倍： 13 3 22 39 (3)3 22 n 1 3 2 n 27 4 【答案】2.8 【分析】中间白色区域面积为 1.2，则虚线内的白色也为 1.2 则： 2 21.24 1.22.8 5 【答案】4 【分析】 （1）对于A点的每次操作，对应的是第 1，6，11，16，21，个数，则第n次的操作应为54n个 数 52015410071 （2）数列：1，2，3，5，8，13，21，5 余：1，2，3，0，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2， 4，1，0，11，2 100712011，第 11 个余数为“4” 6 【答案】C 【分析】B、C互相矛盾，必有一个说谎；则A为真话，A不是凶手 （1）若B说谎，则与分析矛盾； （2）若C说谎，则C为罪犯，符合 7 【答案】不可能 【分析】不可能 对于每次这样的操作，例如： 任意相邻的两个数，要么差不变要么差+3，则任意两数之差除以 3 的余数，不会变 2015201032 2020201532 2020201031. ， ， 而若所有都成同一动物，则其中必有两个 0，除以 3 余 0，与分析矛盾，因此不能 8 【答案】4120 根 【分析】先找规律：4 个正方形应该是22的摆，比摆成1 4的要节省 则构造正方形： 2 452025，最接近 2015 对于4545的正方形，共用火柴：454624140（根） 此时我们还要再去掉 10 个正方形，每拿掉 2 根火柴就少一个正方形： 414042 104120（根） 9 【答案】4 【分析】1 2313491 4364 由于每次的操作都是去掉若干个 10364104 所以最后剩下“4” 10 【答案】 28 11 【答案】 12 【答案】12 根，2 米 【分析】理论上：1.522.4201011.8（根） ，至少 12 根 构造： 序号：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.5m：2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2m： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 5 2.4m：2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 至少要用 12 根，浪费原料： 10 1.5222.42102 m 2014 深圳市第深圳市第 5 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题数学思维竞赛题答案答案（A 组）组） 1 【答案】第n项： 21232199 3 1 3521 nnn n 【分析】第n项分母：从1开始到n个奇数之和 第n项分子：从第1n个奇数开始往后n个奇数之和. 所以，第100个式子： 201 203399 3 1 3 5199 2 【答案】8055 【分析】将这个2014位数的第i位记为 i a.根据题意，任意相邻五位数字之和相等，因此 4 nn aa的和与 15 nn aa的和相等， 即5 nn aa， 每个数字都是5位一循环， 所以 111 4aa，22a，33a， 42014 6aa， 530 5aa，连续五位之和是4236520.201454024，这个2014个数可组成402组，每组是 连续的5个数，和为20. 另外多出来的四个数，恰好是4，2，3，6.因此，2014个数总和是 4022042368055. 3 【答案】1015101 【分析】从小到大枚举，一位对称数有9个，两位对称数有9个，三位对称数有90个，四位对称数有90个， 五位对称数900个，六位对称数900个，此时已经列举了1998个对称数.将七位对称数从小到大排序枚举， 10000011009001 10个 ，10101011015101 6个.因此第2014个数是1015101. 4 【答案】不可以构造 【分析】一张纸片，第一次操作，剪成8段，共8. 第二次操作，找出一段剪成 8 段，共78张. 第三次操作，找出一段剪成 8 段，共278张. 则第n次操作，剪出178n张. 所以，1782014n，n不为整数，无法构造. 29 5 【答案】 980 3 【分析】数形结合，把A组数看做长，B组数看做宽，C组数看做高，那么每一个乘积都可以看做一个小立 方体的体积，而这140个体积加在一起，正好就是大正方体的体积.因此，总和是： 1111980 1 35590.7 1.42.1 2.83.54.24.9 3610153 . 6 【答案】14 【分析】将黑色小圆放入空白部分，大圆直径为小圆直径的3倍，设小圆半径为x，大圆半径为3x，则 SSSS 阴小圆大圆大月牙 . 2 39Sxx 大圆 2 Sxx 小圆 22 2 325Sxxx 大月牙 所以 2222 953Sxxxx 阴 又 2 622714SxS阴 空 . 7 【答案】 45 2 【分析】连接BF，根据等积变形，易知6 ABCACF SS.比较三角形ABC与三角形BCF，它们底相等，高 是2的 关 系 ； 再 比 较 三 角 形BCF与 三 角 形CEF， 它 们 高 相 等 ， 底 是2 3的 关 系 ， 因 此 5345 222 CEFABC SS. 8 【答案】 9 【答案】 （1） （2）1231278，4 =78 1幻和，3幻和=78，1 幻和=26 10 【答案】36825 【分析】 2 3 8 6 5A 2 8 5 6B 6 3 2 8C 每行有2个“”共 6 个“”，因此从列的方向看，必有某一列含2个“”，而能写出2个“”的只能第三列 30 的8. 从此入手不难知道最终答案为：36825. 11 【答案】王李张 则王30岁（数学） ，李29岁（语文） ，张28岁（英语） 12 【答案】 （1）35 （2）97 （3）49 【分析】 （1）100 1297（个） ，973321，需要多加 1 个单人房，共32 1235（间）. （2）1003295（个） ，95195（间） ，95 1 197（间）. （3）49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 / 59 60 61 因为52、53在一起，则有52、53为一间双人房或三人房. 当52、53为双人房时，又要58、59不在一间房，则54、55在一间房.56、57在一间房.综上所述， 113号共13个单人房，14 55共21个双人房，56 100共15间三人房.则一共有1321 1549（间）. 当52、53为三人房时，无法构造58、59分开状态.舍去. 2013 深圳市第深圳市第 4 届届“启智杯启智杯”数学思维竞赛题数学思维竞赛题答案答案（A 组）组） 1 【答案】372415 【分析】法一：记“为了”为 A，“一切”为 B，“学生”为 C，则有： 987654 ABC BAC ACB ，其中， 254154254 7675175 29897 BC ABC AB 或或 或或 或 而(2 )(2)2()BCABABC，这样就能只有一 种情况满足： 254 7622 298 BC ABCAC AB ，如下表： A32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 C10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 B3