（检测技术与自动化装置专业论文）小波变换在远程心电监护系统中的应用.pdf

摘要 摘要 随着社会经济生活水平的不断发展，心血管疾病己经成为威胁人类健 康的主要疾病之一，作为能反应心血管系统状态的e c g 信号，对其的研究 分析具有重要的意义。远程心电监护系统的出现解决了心电信号采集的时 间和空间限制，同时它也需要我们对传输的心电信号进行相应的处理，使 医生能够及时掌握真实的心电情况。 小波变换是一种信号的时间一尺度分析方法，它具有多分辨率分析的 特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。由于其在信号处 理领域表现出的优异性能，目前在生物医学领域，广泛应用于信号检测、 特征提取、图像处理、信号压缩等方面。 本文在回顾远程心电监护的发展历程及其目前国内外的研究状况基础 上，介绍了e c g 信号的产生原理及其波形特性。基于小波分析理论，对心 电信号的压缩、噪声抑制及q r s 波检测等方面进行了深入探讨。在信号压 缩方面，使用了心电信号小波变换自适应编码压缩方法来实现心电信号的 压缩，取得较好的效果；在信号噪声抑制方面，对噪声进行了分类抑制并 给出了仿真结果。基线漂移采用了小波变换逼近信号进行滤除。肌电干扰 及工频干扰采用非线性阈值与小波变换模极大值相结合的方法，既有效的 滤除了噪声，又很好的保留了q r s 波群较高的频率。在q r s 波检测时， 利用二次微分小波对心电信号进行r 波检测，再确定q 波及r 波位置。 最后，本文对远程心电监护系统进行硬件和软件方面的设计，使小波 分析理论方法在心电监护系统中的应用得以实现。 关键词小波变换；e c g ；远程心电监护；信号压缩；噪声抑制；q r s 波 检测； 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h es o c i e t ye c o n o m ya n dl i f e ，c a r d m cd i s e a s e s h a v eb e e no n eo ft h em a j o rd i s e a s e st h a th a r mh u m a n sh e a l t h a se c g ( e l e c t r o c a r d i o g r a p h ) r e f l e c t st h es t a t eo f t h ec a r d i a cs y s t e m , t h e r ei si m p o r t a n t m e a n i n g t or e s e a r c ht h ee c gs i g n a l s t h e d e v e i o p m e m o fr e m o t e e l e c t r o c a r d i o g r a mm o n i t o r i n gs y s t e mh a ss o l v e dt h el i m i to ft i m ea n ds p a c e a l s ot h et r a n s m i t t i n gs i g n a ls h o u l db ep r o c e s s e dc o r r e s p o n d i n g l y , s ot h a t d o c t o r sc a ng e tt h er e a lc o n d i t i o ni i lt i m e w a v e l e tt r a n s f o r mt h e o r yi sat i m e d i m e n s i o nm e t h o do f s i g n a la n a l y s i s i th a st h ec h a r a c t e r i s t i t so fm u l t i r e s o l u t i o na n dc a nb eu s e dt od e s c r i b et h e l o c a lc h a r a c t e r i s t i co fs i g n a li nb o t ht i m ef i e l da n df r e q u e n c yf i e l d b e c a u s eo f t h ee x t r ap e r f o r m a n c ei ns i g n a lp r o c e s s i n g i nt h e a r e ao f b i o m e d i c a l e n g i n e e r i n g i th a s b e e nw i d e l ya d o p t e di i ls i g n a ld e t e c t i n g ，f e a t u r ee x t r a c t i o n , i m a g ep r o c e s s i n g ，s i g n a lc o m p a s s i o na n ds oo n i nt h i sp a p e r , t h eh i s t o r yo fr e m o t ee l e c t r o c a r d i o g r a mm o n i t o r i n ga n di t s c u r r e n tr e s e a r c hs t a t ei nh o m ea n da b r o a da r ei n t r o d u c e da tf i r s t 。a n dt h e nt h e p r i n c i p l ea n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so fe c ga r ee x p l a i n e d b a s e do nt h e o r yo f w a v e l e tt r a n s f o r m , t h ec o m p r e s s i o nm e t h o d , d e n o i s i n gm e t h o da n dq r s d e t e c t i n gm e t h o do fe l e c t r o c a r d i o g r a ma r ed i s c u s s e dp r o f o u n d l y s e l f - a d a p t i v e c o d i n gm e t h o db a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r mi su s e di i lt h i sp a p e rt oc o m p r e s s e c gs i g ：n a l , w h i c hh a sf r e ee f f e c t i nd e n o i s i n gp r o c e s s i o n , n o i s ei sr e m o v e d a c c o r d i n gt ot h e i rc a t e g o r y , t h es i m u l a t i n gr e s u k sa r ea l s og i v e n am e t h o du s i n gw a v e l e ta p p r o x i m a t i o ni su s e dt or e m o v et h eb a s e l i n e w a n d e r si ne l e c t r o c a r d i o g r a m i no r d e rt or e m o v em u s c l ea r t i f a c ta n dp o w e r f r e q u e n c yi n t e r f a c e ，am e t h o dc o m b i n i n gn o n l i n e a rt h r e s h o l dw i t hm o d u l a r m a x i m u md e n o s i n gm e t h o db yw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o ni su s e d i te f f e c t i v e l y r a t l o v e st h en o i s ea n da l s om a i n t a i n st h eh i g h e rf r e q u e n c yo fq r sa tt h es a l n e t i m e w h e nd e t e c t i n gq r sw a v e ，q u a d r a t i cd i f f e r e n t i a lw a v e l e ti su s e dt o d e t e c tr w a v e ，a n dt h e nl o c a t eq w a v ea n drw a v e f i n m l y b o t hh a r d w a r ea n ds o f t w a r eo ft h er e m o t ee l e c t r o c a r d i o g r a m m o n i t o r i n gs y s t e ma r ed e s i g n e d s ot h a tw a v e l e ta n a l y s i s u s e di nr e m o t e e l e c t r o c a r d i o g r a mm o n i t o r i n gs y s t e m i sr e a l i z e d k e yw o r d s w a v e l e tt r a n s f o r m ；e c g ；r e m o t ee l e c t r o c a r d i o g r a mm o n i t o r i n g ； s i 掣1 a 1c o m p r e s s i o n ；d e n o i s i n g ；q r sw a v ed e t e c t i n g ， i i i 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文小波变换在远程心电监 护系统中的应用，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包 含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人 承担。 作者签字椽小年 日期：勿形年，f 月如日 燕山大学硕士学位论文使用授权书 小波变换在远程心电监护系统中的应用系本人在燕山大学攻读硕 士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕山 大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。本 人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向 有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授 权燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论 文的全部或部分内容。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密囝。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名：椽d 哗 日期：知昭年，月厶日 导师签名：球淑请 日期：如彩铆，月o 日 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 本课题的研究意义 心脏病是一种常见多发慢性疾病，由于病情隐蔽、发展缓慢、发病危 险性高的特点，对心脏病患者、特别是中老年患者的危害性极大，是威胁 人类生命安全的“第一杀手”。医学实践表明，心脏病防治最有效的手段就 是预防保健，在对心脏病患者进行经常性监测的基础上，尽早发现异常病 变情况，及早进行治疗，控制病情的进一步发展【l j 。 为了进行方便、经济的日常心电监测，需要专门为此设计普及型心电 监测产品一远程心电监测仪。它具有集成度高、体积小、反应速度快、智 能化、稳定及可靠性强等特点，能全自动地监测佩带者的心电信息，然后 将心电信息发送到医院或其他监护部门，自动进行分析、判断，若发现异 常，立即发出声音提示，并将异常心电波形记录、存储在计算机中并结合 专家意见进行处理。监测记录的心电信息可以通过计算机回放、打印出来， 可存储在计算机中作为原始病历档案保存，也可通过普通心电图机回放记 录的信息，方便没有计算机的用户，是面向社区医疗服务机构和中小诊所 普及动态心电监测手段。采用微型远程心电监测仪产品，就能进行方便、 经常的心电监测了。 社区医疗机构或诊所，可以为辖区内的心脏病患者建立心脏健康档案， 对患者进行经常性的心电监测，把监测记录都保存在档案内，如果发现异 常变化，尽早提示患者及时采取防治措施，把病情控制在萌芽状态，或是 提示患者赶快到医院就医，如有必要还可以提供病历档案资料，为医院诊 断、治疗提供原始的病历资料。这样就能有效控制心脏病发作，提高患者 的生活质量。 如何确保心电信号没有严重失真，使医生能够看到较真实的心电信号， 以及减少时间延迟就成为该远程心电监测系统的一个重要问题。本课题以 燕山大学工学硕士学位论文 此为重点，使用基于小波分析的信号处理方法，力求使医院得到符合要求 的心电信号，并通过对其进行特征提取，为医生的诊断带来方便。 1 2 心电生理学基础 心脏的主要功能是泵血以维持周身血液循环。泵血的过程牵涉两种类 型的生理活动，其一是心肌兴奋( e x c i t a t i o n ) ，然后是心肌的收缩( c o n t r a c t i o n ) ， 前者引发后者，成为兴奋收缩偶联( e x c i t a t i o nc o n t r a c t i o nc o u p l i n g ) 。心肌的 兴奋是电学活动，包括细胞膜的除极一复极的周期性规律，形成心电周期。 心肌的收缩是机械活动，包括肌纤维的收缩一舒张周期性规律，形成心动 周期，可以说心脏的周期性节律是由心肌电活动的生理功能所主宰的。正 常的心脏电生理功能使心脏保持正常的心率，心律失常本质上是由心电活 动的异常引起的。研究心脏电活动的生理一病理规律的科学，称为心电生 理学。 在生物体内各组织和器官活动时，无不伴随有电的变化，这些电的产 生与作用统称为生物电现象，这是生物细胞活动和兴奋的重要标志。因此， 心肌细胞在其活动中，始终伴随着一系列的电活动变化。在一个心动周期 中，要使心肌收缩，必须使其兴奋，而产生兴奋刺激的来源是窦房结，它 是心脏的主导起搏点，一束心肌像一根电缆，由于局部已经被激动的细胞， 其电位发生了变化，又由于心肌细胞间在电学上是相互连接的，因而刺激 了临近的细胞，于是激动沿着被兴奋的心肌从一个心肌细胞向另一个心肌 细胞传导。这样，就使兴奋不断的向周围扩布。在静息状态下，细胞膜外 散布着正电荷，极性为正。当某一部位受到刺激而兴奋时，正电荷迅速进 入细胞，细胞膜内外的电荷发生逆转，膜外变为负电荷，这种极化逆转过 程，称为除极过程。因此，在心肌的兴奋过程向各方面作顺序扩布过程中， 假定心脏中兴奋部位的全部负电荷集中起来合成一负电中心。这样一对电 量相等，极性相反的电荷构成一对电偶。它的电力作用可用负电中心指向 正电中心的电量表示。 人体内包含有多种电解质及体液，具有一定的导电性，是一个容积导 2 第1 章绪论 体。心肌活动( 除极与复极) 时，由心电偶产生的电场必然使电流自正极向负 极流动，电流也将贯穿的布满在整个体液中，此种导电方式称为“容积导 电”1 2 。 心脏不断地进行着有节奏的收缩和舒张活动，心脏在机械收缩之前， 心肌首先产生电激动，心肌激动所产生的微小电流可经过身体组织传导到 体表，使体表不同部位产生不同的电位，使身体各部位在每一心动周期中 也都发生有规律的电变化活动。在体表放置两个电极，分别用导线连接到 心电图机的两端，它就会按照心脏激动的时间顺序，将体表两点间的电位 差记录下来，形成一条连续的曲线，这就是心电图。 正常心电图上的每个心动周期中出现的波形曲线改变是有规律的，国 际上规定把这些波形分别称为p 波、q r s 波、t 波，有时在t 波后，还出 现一个小的u 波。示意图1 3 ) 血1 1 下： 02 0 06 0 0t ( i s ) 图1 - 1 典型的心电图波形 f i g 1 - 1t y p i c a le l e c t r o c a r d i o g r a mw a v e f o r m p 波：反映左右两心房的电激动过程。心脏的激动发源于窦房结，最 先传导至心房，使之发生激动，所以在一组波形中首先出现的便是p 波。 燕山大学工学硕士学位论文 p r 段：反映激动由心房传至心室的过程。p 波出现以后，心脏的激动 沿心房肌传至贯通心房与心室的传导系统，下传至心室。激动通过这段传 导组织时所产生的电位影响极为微弱，因此在p 波以后、心室激动以前， 有一段时间不产生电位影响。这一段称为p r 段。 q r s 波群：反映左右两心室的电激动过程。典型的q r s 波群包括三个 紧密相连的波，第一个向下的波称为q 波( 电压低的称q 波) ，第一个向上 的波称为r 波( 电压低的称r 波) ，继r ( 或r ) 波以后向下的称为s 波( 电压低 的称s 波) 。这三个波紧紧相连，总共时间不超过0 1 0 秒，而且都是反映心 室激动的波形，所以合并称之为q r s 波群。 s t 段：是心室激动产生q r s 波群以后至心室复原，再度在体表面产 生明显的电位差( t 波) 以前的一段平线。 t 波：是继s t 段后一个比较低而且占时间较长的波【4 】，它代表心室肌 激动后复原时所产生的电位影响。 u 波：在t 波后面有时可以看到一个很小的波动，它代表心肌激动的 “激后电位”。 心电信号是一种生理电信号，它的频谱范围为o 0 5 2 5 0 i - i z ，并且大部 分信号集中在1 4 7 5 h z ，l o o h z 以上的信号在总体信号中所占比例很少。 幅值为1 0 u v ( 胎) l ) 5 m v ( 成人) 。因此，它是低频弱信号，并不可避免地伴 随有噪声。 1 3 小波分析概述 小波分析是f o u r i e r 分析理论发表1 7 0 多年来对其最辉煌的继承、总结 和发展，对分析工具起着继往开来的重要作用，并取得了许多传统分析方 法难以实现的显著应用效果，这种分析技术是一种高新技术【5 】，是高科技的 重要内容，它已经把信息工业和信息技术推向一个新时代 6 1 。 小波分析的起源可以追溯到非常遥远的时代 7 1 ，其说法至少有1 5 种以 上i s 。虽然1 9 1 0 年h a a r 提出了最早的小波规范正交基，但当时并没有出现 “小波”这个词。m e y e r 认为，小波分析思想萌芽于1 9 3 0 年至1 9 8 0 年，但 4 第1 章绪论 真正起锤炼作用的是法国地质物理学家j e a n m o r l e t 。2 0 世纪6 0 年代，由于 工业发展需要，寻找地下石油成为法国的一项重大项目。地下找油的标准 方法是向地下打炮或发射脉冲波，通过反射的信号分析粗略构架地下岩石 油层分布，其重要参数是密度。一般情况下，地下结构非常复杂，回收的 反射信号也就十分繁多，如何从这些反射信号中提取有用的石油信息是 m o r l e t 的主要工作。1 9 8 1 年，m o r l e t 仔细研究了g a b o r 变换方法，对f o u r i e r 变换与加窗f o u r i e r 变换的异同、特点及函数构造做了创造性研究、首次提 出了“小波分析”概念，建立了以他的名字命名的m o r l e t 小波。此方法在 m o r l e t 的地质数据处理中取得巨大成功。m e y e r 凭借自己深厚的数学功底对 m o r l e t 方法进行系统性的高屋建瓴的研究，为小波分析学科的诞生和发展 作出了最重要的贡献。随后，m a l l a t ，d a u b e c h i e s ，c h u i 等人的工作联合奠 定了小波分析的基础。 由于小波分析的发展是以解决实际问题应用为出发点，尔后上升到理 论辐射多学科的，所以小波分析形成一次又一次研究热潮，成为国际研究 热点，就不难理解。 m e y e r 认为小波分析是人们对变化敏感体会的一种方法，正如我们对速 度的反应一样身体和大脑仅对加速度有反应，而对速度没有感觉。只要火 车或飞机的速度是常数，我们就感到它们没有动。这就是小波分析的基本 思想，它与人类体验反应、思维方式、视觉工程等十分类似。小波分析这 一特性便于我们区分信号的敏感部分和平坦部分，实施对信号的压缩和传 输。 m a l l a t 首次提出快速小波算法( f a s tw a v e l e ta l g o r i t h m - f w a ) 使用的是 无限长b a t t l e l e m a f i e 小波的截断函数，截断必然带来误差，而一种新型小 波一紧支集正交小波能避免截断，从而消除误差。这种小波的一个例子就 是著名的d a u b e c h i e s 小波，它是有限长的，即只在有限区间内取非零值。 不同于m o r l e t 小波与m e t e r 小波，d a u b e c h i e s 小波是计算机时代的产物。 d a u b e c h i e s 小波不能用解析公式给出，只能通过迭代方法产生，是迭代过 程的极限研究表明，基于两个或两个以上的尺度函数可以解析构造紧支集 正交小波，而多分辨分析不服从d a u b e c h i e s 小波的极限过程。从目前研究 5 燕山大学工学硕士学位论文 情况来看，构造对称紧支集正交小波是可能的，例如分形小波、分片多项 式小波等多( 多重) 小波就是这样构造出来的。 d a u b e c h i e s 小波【9 】是目前应用最广泛的一种小波。g r o s s m a n n 认为： “d a u b e c h i e s 的工作不仅作出了十分重要的贡献，而且她还制作了适合各 种通信的有用的小波传输方式。” 目前小波在许多领域得到了广泛应用，如j m o r l e t 等将小波用于地震信 号的分析与处理；m a l l a t 将二进小波变换用于图像的边缘检测、图像压缩 与重构；m f a r g e 将连续小波变换用于涡流的研究【1 0 】；m vw i c k e r h a u s e r 将小波包的理论用于图像的压缩i l l 】：m f r i s e h 等将小波变换用于噪声中的 未知瞬态信号【1 2 1 ；p d u t i l l e u x 等将小波变换用于语音信号的分析、变换和综 合【”l ；h k i m 等将小波变换用于时频分析【1 4 】；g b e y l k i n 将正交小波变换用 于算子及拟微分算子的化简：e b o e r y 等将小波变换的自适应性用于解微分 方程。 新近发展起来的小波变换方法具有很多优点，其中二进小波在各个尺 度上是一组具有不同频带的带通滤波器，已经广泛地应用于雷达信号、语 音信号、机械振动信号和生物医学信号的特征分析中，并取得了很好的应 用效果，将这种小波变换方法应用于运动心电信号的特征识别中，它能够 很好地抑制干扰信号以及消除基线的漂移，为运动心电信号准确的特征识 别提供有效方法和研究途径。 当前，研究各类小波如正交小波、双正交小波、向量小波、连续小波、 二迸小波、离散小波以及非交换域上正交小波的构造和基本性质，研 究选取最优小波的方法等等，是小波分析研究的重要内割”】。 面对某一具体应用，怎样选择恰当的小波是当前小波分析研究的重中 之重。法国小波分析专家m a r i ef a r g e 警告不要用无限能量来选择小波，不 要以为对于给定的信号就一定存在适合它的最佳小波。将小波与图像压缩 作为其博士论文的法国学者o l i v i e rr i o u l 不完全同意m a r i ef a r g e 的观点， 他认为研究人员应努力寻找最适合其任务的小波，这样使得问题研究具有 个性，具有特性。我们认为，应该具体问题具体分析，“什么样的性质”与 “什么样的小波”并不矛盾，关键看侧重点在哪里【1 6 】。例如，对于图像压 6 第1 章绪论 缩，正则性比频率选择性重要，而对语音压缩，频率选择性是最重要的， 到目前为止，我们尚不知道小波性质的真正作用究竟有多大。 小波分析的优越性在于它是一个普遍性的分析工具，并且已经在许多 领域取得卓越的应用效果。无穷无尽的小波函数和小波f o u r i e r 杂交型函 数为人们自由地选择小波提供了广阔的空间，但是，学术界在面向某一具 体问题，怎样合理地选择小波，并没有取得共识，至今仍是一个开放性的 课题。另外，选择何种小波变换方式( 如连续，离散，框架，正交，双正交 等) ，选取多少阶消失矩，正则性如何，频率选择性怎样等等，是很难综合 协调的。因此，我们在欣赏小波分析优良性能的同时，应当看n 4 , 波分析 的一些不足，并努力想办法解决它。 1 4 远程心电监护的研究现状 目前研究的家庭心电图远程监护报警系统一般有两种类型1 ：( 1 ) 心电 长时间实时监护系统，如清华大学研制的家庭心电血压监护网系统。该系 统的家庭端单元由一个便携式心电检测仪和一台智能心电实时监护仪器构 成。检测仪以无线电方式发送的心电图，通过智能心电监护仪接收并对接 收的心电图进行实时处理。当异常心电图超过报警阈值时自动拨号将当时 的心电图通过调制解调器实时送往医院。该系统在病人不适时具有手动按 键报警功能和类似h o l t e r 的心电图长时间记录发送功能。清华大学的家庭 心电，血压监护网系统除了具有心电图远程监护功能外，还可以配备血压计 实现血压的远程监护。位于医院的中心端是一台基于u n i x 操作系统的工 作站，实现同时对多个家庭中的患者的心电图进行实时监护、归档、信号 处理和病历管理等功能。( 2 弘凸电b p 机系统。b p 机系统的家庭端一般包括 类似b p 机大小的心电图监护记录单元和通信单元。监护记录单元的功能是 对佩带者的心电图进行监护。当发现心电异常或佩带者感到不适时按下按 钮可记录下6 秒到2 4 0 秒的心电图，然后使用者将监护记录单元放在通信 单元上，将记录的心电图通过接口转换经电话线送往医院。位于医院或诊 所的中心端一般为一台计算机，能完成一对一的心电图接收、显示、归档 7 燕山大学工学硕士学位论文 等管理功能。传输方式基本为声耦合方式，即将0 5 h z 1 0 0 h z 的心电图经 过频率调制到语音频段后再通过电话话筒送出，在医院中心经过反变换恢 复心电图数据。目前市场上的心电图远程监护系统多为这类系统，包括以 色列的s h a h a l 医疗服务公司的电话传输心电图远程监护系统、c a r d g u a r d 公司的c a r d g u a r d 系列心电监护系统、t i e 公司的a e r o t e l 电话传输心电图 系统、美国的h e a r t f a x 、h e a r t m i r r o r 、h e a r t v i e w 系y u , 5 , 电监护产品、瑞典 的c a l i b e r t r i g g e r m o n i t o r 系统和国内珠海中立电子公司生产的院外心脏病 集群监护系统、“护心神”电话传输心脏监护系统。 1 5 本文的研究工作 本文利用小波变换对心电信号进行适当的压缩，可以迅速地将心电数 据传输到医院，然后对心电信号进行重构，得到还原的心电图。然后再利 用小波分析提取心电特征，进行初步诊断，最后进行相应的处理。另外， 本文对远程心电监护系统作简单介绍，使人们有一个整体的了解。 本文在介绍小波分析基本理论基础上，主要研究如下内容： n ) 使用小波分析的方法对心电信号进行压缩。 ( 2 ) 用基于小波分析的滤波方法对心电信号的噪声进行抑制。 ( 3 ) 使用小波分析的方法对q r s 综合波进行检测。 ( 4 ) 简单介绍远程心电系统的构成及工作原理。 第2 章小波分析理论 2 1 引言 第2 章小波分析理论 随着现代科技的进步，信号处理技术的发展日新月异，相应推动了生物 医学信号处理方法的更新。信号处理技术在传统的傅里叶变换的基础上产生 了当今多学科关注的研究热点一小波变换。由于小波分析可处理的信号范围 广阔，因而它在心电信号的综合处理与研究方面也具有很大的潜力。 2 2 小波分析与f o u r i e r 变换 小波变换是一种新的变换分析方法，它的主要特点是通过变换能够充分 突出问题某些方面的特征，因此，小波变换在许多领域都得到了广泛而又成 功的应用【1 0 1 。 小波分析是f o u r i e r 分析思想方法的发展与延拓。它自产生以来，就一 直与f o u r i e r 分析密切相关。它的存在性证明，小波基的构造以及结果分析 都依赖于f o u r i e r 分析，二者是相辅相成的。两者比较主要有以下不同【2 1 1 ： ( 1 ) f o u r i e r 变换的实质是把能量有限信号厂( f ) 分解到以 p “ 为正交基 的空间上去；小波变换的实质是把能量有限的信号i ( t 1 分解到 矽，( j = 1 ，2 ，t ，) 和e ，所构成的空间上去。 ( 2 ) f o u r i e r 变换用到的基本函数只有s i n ( 魂) ，c o s ( c 面t ) ，e x p ( i 历t ) ，具 有唯一性；小波分析用到的函数( 即小波函数) 则具有不唯一性，同一个工程 问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差很远。小波函数的选用是小波 分析应用到实际中的一个难点问题( 也是小波分析研究的一个热点问题) ，目 前往往是通过经验或不断的试验( 对结果进行对照分析) 来选择小波函数。 ( 3 ) 在频域中，f o u r i e r 变换具有较好的局部化能力，特别是对于那些频 率成分比较简单的确定性信号，f o u r i e r 变换很容易把信号表示成各频率成分 的叠加和形式。 9 燕山大学工学硕士学位论文 ( 4 ) 在小波分析中，尺度a 的值越大相当于f o u r i e r 变换中面的值越小。 ( 5 ) 在短时f o u r i e r 变换中，变换系数主要依赖于信号在卜一6 ，r + 占1 片段 中的情况，时间宽度是2 8 ( 因为6 是由窗函数g “1 唯一确定，所以2 6 是一个 定值) 。在小波变换中，变换系数矿，( 吼b ) 主要依赖于信号在 b a a v ，b + a a l | f ，1 片段中的情况，时间宽度是2 a a v ，该时间宽度是随着尺 度a 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。 ( 6 ) 若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时f o u r i e r 变换不同之处 在于：对短时f o u r i e r 变换来说，带通滤波器的带宽厂与中心频率厂无关； 相反，小波变换带通滤波器的带宽鲈则正比于中心频率厂，即 q = 钐= c 亦即滤波器有一个恒定的相对带宽， 质因素，且有q = 中心频率带宽) 。 2 3 小波变换 ( c 为常数)( 2 - 1 ) 称之为等q 结构( q 为滤波器的品 心电信号是一个近似周期信号，它的特点是突变性很强，属于一种非常 典型的具有明显时频特性与时间一尺度特性的生物医学信号。所以，用小波 信号来分析它是恰到好处的。在实际应用中，通常我们把信号分为稳定信号 和非稳定信号。 如果一个信号的性质随时间是稳定不变的，则称这个信号是稳定信号。 研究稳定信号的理想工具是传统的f o u r i e r 变换。如果一个信号的性质随机 性很强，那么我们称这个信号是不稳定信号( 生物医学信号属于这个范畴) 。 为了分析和处理非平稳信号，人们对f o u r i e r 分析进行了推广，提出并发展 了一系列新的信号分析理论：短时f o u r i e r 变换、g a b o r 变换、时频分析和小 波变换等。其中，小波变换对生物医学信号的处理效果很好，能很好地满足 压缩、去噪以及分析等要求。 2 3 1 小波变换定义 小波变换是基于小波函数l f ，的，l f ，必须满足“容许性条件”，即 1 0 第2 章小波分析理论 等价的有 g ：f 掣如 a o p z ， e i f ，( f ) 西= o ( 即l f ，被称为小波的原因)( 2 3 ) 对任意的厂r ( r ) ，它的小波变换公式为： ( 厂) ( 6 ，口) = 击l f ，( t - 。b ， f ( ，p = 。( r ) 厂( r ) 击 ( 2 4 ) 其中，a , b r ( r ) ，a 0 ( 垆去y ( 等) ( 2 - 5 ) v “ 从式( 2 - 4 ) 、( 2 - 5 ) 可以看出，小波变换是通过信号与母小波函数妒的伸缩 与平移形式内积而实现的阱】。 设母小波函数l f ，的中心为t ，半径为，则函数l f ，如( t ) 的中心为b + a t ， 而其半径等于口。由小波变换公式可以知道，小波变换在时间轴的分辨窗 为： b + a t 一口，b + a t + + a a ， ( 2 - 6 ) 同样设母小波函数l f ，的傅里叶变换矿的中心为，半径为，由于 去虬( ) ：唉唧( 一，曲) y ( 等卜：毡乒唧( 一向啦( 鲫) ( 2 _ 7 ) 所以函数蛾。向) 的中心为一c o ，而其半径为业，由小波变换公式同样 可以知道，小波变换在频率轴上的分辨窗为： lo , 5 一垒，0 , - + 笠l ( 2 - 8 ) la aaaj 这样，小波变换在相空间内给出了一个时间一频率窗 b + a t * - a 加+ 驰， l 等一等，尘a + 等l q 嘞 燕山大学工学硕士学位论文 这个时间一频率窗的面积为2 口 = 4 y ，与它在相空间的位置 无关，在整个相空间内它的面积都是保持不变的。但是，它的时间窗宽度为 2 口，随着a 的变化而变化。在a 较大时，时间窗会自动变宽以检测低频信 息；而口较小时，时间窗会自动变窄以检测高频信息。它在相空间内的示意 图如图2 - 1 所示。 同时，在频率窗上可以知道 中心频率 带宽 = i c o - ( 2 1 0 ) 2 、 中心频率与带宽的比与中心频率的位置无关，即这个比值在任意频率位 置都保持为一个常量，称为“常数一q 滤波”。这种现象同样说明了小波变 换的时间一频率窗的可调整性，在频率较大的位置，由于“常数- q 滤波”性 质，其频率窗要相应增大，由于整个时间一频率窗的面积是不变的，频率窗 岛+ a f b 2 + a 2 t 图2 - l小波变换空间示意图 f i g 2 - 1s c h e m a t i cd i a g r a mo f w a v e l e t t r a n s f o r ms p a c e 带宽增大的结果是使时间窗宽度变窄，而在频率较小的位置，时间窗的宽度 的变化正好相反，所以在整个相空间上，时间一频率窗保持了随频率的大小 而调节形状的特性1 2 3 1 。生理信号被分解后常表现出高频分量持续时间较短， 低频分量持续时间较长的特点。这也正和小波分析的性质互相吻合。 嘭砺 一2 第2 章小波分析理论 2 3 2 小波变换的类型 2 3 2 1连续小波变换 厂r ( r ) 的连续小波变换为： c 胛( 班去叽等灿西 ( 2 1 ) 、，口7 其中，a , b 为整数。参数口称为尺度参数，参数b 称为偏移因子。 令r = a t ，则连续小波变换公式为： c w r ( s ) = l 口降l f ，( f - 少( 讲) 廊( 2 - 1 2 ) 从( 2 1 1 ) 式可以看出，当尺度口增加时，l ；f ，f 三二鱼 在时域上扩展，对越来 l 口 越长的时间范围内的信号f ( t 1 起作用，而从( 2 1 2 ) 式，当尺度口增加时，信 号f ( a t l 在时域上收缩越来越厉害，而滤波器的长度却保持不变。所以说， 尺度参数口所起的作用与地图上的比例尺类似，当尺度越大时，表示的是全 局的概况，而尺度越小时，则表示更详细的细节内容。 2 3 2 2 离散小波变换连续小波变换对信号的表示冗余度是很高的。在实 际应用小波变换时，需要对连续收缩因子口和偏移因子b 作离散化处理。问 题是，怎样保证在口，b 离散化以后，使得信号在小波分解后能够完全重构出 来。 两个尺度0 0 石，根据n y q u i s t 定理，在尺度a t 上 的小波系数再抽样的比例是在尺度a o 上的小波系数再抽样比例的形倍，所 以很自然地将口，b 离散化为 口= 。，b = 。其中，七为整数。( 2 1 3 ) 相应的小波函数i f ， ( t ) 为 y m o ) = 口。一必i ! f ，( 口。一t - k ) ( 2 1 4 ) 一个特殊的取法是a o = 2 ，则相应的小波函数为 1 ；f ，j o ) = 2 必l f ，( 2 t k ) ( 2 1 5 ) 燕山大学工学硕士学位论文 2 3 2 3 正交小波变换如果小波函数l f ，m ( f ) 满足以下条件： m r ) 一l p j k ( t ) d t = 糍囊“ 则可以认为所有的v ，j ( ，) 构成了r ( r ) 上的一个正交基。亭( r ) 上的任 意函数可以用这个正交基来描述，信号可以由小波基函数的加权和来表示： ，( f ) = q ，。( f 弦( f ) f 2 1 7 ) 2 3 3多分辨率分析、m a l l a t 算法与滤波器组 2 3 3 1 多分辨率分析定义一个函数( f ) r ( r ) 被认为生成一个多分 辨率分析( m r a ) 。如果用 巧= c l o s l 2 r ) 屯# ，k z ， j z ( 2 。1 8 ) 定义的r ( r ) 的子空间巧满足如下性质嘲： ( 1 ) 一致单调性：c e 。c kc 巧c 、 ( 2 ) 渐进完全性：c l o s 。, iu v , i = l 2 ( r ) ，n = o ( 3 ) 伸缩规则性：i x ) 巧营f ( 2 x ) 巧+ - ， _ ，z ( 4 ) 平移不变性：i x ) 营s x 一七) ， k z ( 5 ) 正交基存在性：存在妒k ，使协| i z ) 形成的一r i e s z 。妒( f ) 称为一个尺度函数。 在上式中，。为： 纵( r ) = 2 必妒( 2 f k ) 工k e z( 2 _ 1 9 ) 在多分辨率分析的定义中，只要求使 i j i o j i ) ，k e z 形成的一r i e s z 1 4 第2 章小波分析理论 基，但是根据这个理论，又可以通过构造得到某个妒( f ) ，使得 ( f 一七) ，七z 构成k 的规范正交基，从而 咖，_ i z ) 构成巧的规范正交基，这样，由于 妒( ) 叱c v o ，有 妒( ) 2 荟矗( 七) 妒( h ) ( 2 - 2 0 ) 其中， ( 后) = ( 彪妒( ) ，妒( ) ) ( 2 - 2 t ) 式( 2 2 0 ) 有时候称为“二元尺度方程”。事实上，h ( k 1 完全决定了一个 多分辨率分析，或者更明显的说，某个 ( | | ) 序列它唯一对应了一个尺度函数 妒( f ) 。 ( 七) 在实际应用中相当于起到了一个低通滤波器的作用。从_ 的规范 正交基 妒k z 1 出发，又可以构造得到某个小波函数v ( t ) ，使得 渺， ，| z 构成形的规范正交基，并且满足正交补的关系，即 巧一o 形一- = 巧 这样，又由于夕名l f ，( ) 矽，c r o ，有 y ( ) 2 荟g ( _ j ) 妒( ) 其中， g ( 七) = ( y ( ) ，妒( h ) ) g ( 后) 在实际应用中相当于起到了一个高通滤波器的作用。 由r 的性质及式( 2 2 0 ) 易得： ( 2 - 2 2 ) r 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 燕山大学工学硕士学位论文 o i v , - - o 彬。o o o = 亭( r ) ( 2 - 2 5 ) 因此，可以看出 i f ，m ，七z 就构成了平方可积空间p ( r ) 的一个规范正 交基。 2 3 3 2 m a l l a t 算法对于给定的任一信号，( f ) ，由于得到的信号总是有一 定的分辨率，因此可以设，( r ) ( 为一确定的整数) ，以尺度函数九 ( t ) 为正交基分解可得到： 厂( f ) = 以厂( f ) = c s , 。“，( f ) 由巧一。o 一。= 巧，j z ，有 s ( t ) - - - a s f ( t ) = 一。厂( f ) + 。厂( f ) 其中， 由上一小节可知， 所以有 ( 2 - 2 6 ) r 2 2 7 ) 以。厂( f ) = l 。九。( t ) ( 2 - 2 8 ) 一。厂( f ) = _ 1 ，_ l ，。( t ) ( 2 - 2 9 ) 阮，九锄) = 噍。 ( 九j ，l f ， - i 。= g t 一：。 q 吐。= 嚏。q 上 t e z f 2 3 0 ) f 2 - 3 1 ) ( 2 - 3 2 ) 巩却= & 。j ( 2 - 3 3 ) t e z 根据以上推导，接下来就可以用同样的方法对低频分量如一：，( f ) 进行分 解，可得到下一层的高频分量和低频分量a s , 一：厂( f ) + d l 一：f ( t ) ，同时还可得 1 6 第2 章小波分析理论 到相应的分解系数c j , 一：，和巩- 2 。，如此进行下去，直到满足需要为止，这 就是m a l l a t 分解算法，也称为小波分解或小波变换，其图示如图2 2 。 t cj 厶 图2 - 2m a l l a t 算法示意图