（基础数学专业论文）对力迫公理a和自然数分拆的注记.pdf

对力迫公理a 和自然数分拆的注记 专业：基础数学 研究生：刘江指导老师：张树果教授 摘要：本文由两个部分组成第一部分通过讨论吐l 上的理想，的广义c o h e n s 力迫c ( ，) 的博弈论性质，我们推广了s h a r p 在论文c o m b i n a t o r i c s o ni d e a l sa n d a x i o ma ( t h ej o u r n a lo fs y m b o l i cl o g i c 。1 9 9 4 ) 中的一个主要结果一一如果u 是 一个超滤，则其对偶理想j = u + 所作成的广义c o h e n s 力追c ( j ) 不满足力迫公 理a ，我们进一步证明了如果，是一个正则的p i d e a l 则c ( ，) 不满足力迫公理 a 并由此得到个崭新的结论：力迫公理a 性质对稠密子集不遗传同时指出 了m r e p i e k ，在c o l l a p s i n go fc a r d i n a l si ng e n e r a l i z e dc o h e n sf o r c i n g ( 1 9 8 8 ) 一文中的一个严重错误 众所周知，偏序与格关系紧密乍一看，偏序的可分裂性与格的可分配性很 相似，似乎有一致性那么它们之间到底有什么关系昵? 本文第二部分通过研究 自然数分拆的内在结构，讨论偏序( ( 埘) ，) 的可分裂性，以及格( ( 删) ，s ) 的可分 配性，我们证明了存在一个偏序它是可分裂的，但由它诱导的格却是不可分配 的最后。我们对a 。a ，给出个比c o n v e r s ed u a lc a r d i n a l s ( 由张树果和 j 。b r e n d l e 著) 一文中证明更直接。更简单的部分证明。 关键词：力迫公理a ，博弈论，稠密，正则理想，p r o p e r - 力迫，分拆，格。可分裂 性，可分配性，极大不交族 an o t et ot h ep a r t i t i o no f ( oa n da x i o m a m a j o r ：m a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：l i uj i a n g d i r e c t o r ：p r o f z h a n gs h u g u o a b s t r a c t ：t h i st h e s i sc o n s i s t so ft w op a r t s i nt h ef i s tp a r t c o n s i d e r i n gt h eg a m e t h e o r e t i c a la s p e c to fg e n e r a l i z e dc o h e n sf o r c i n go i nd e p e n d e n c eo fi d e a ljo n ，g e n e r a l i z e dar e s u l to fs h a r pi nc o m b i n a t o r i c so ni d e a l sa n da x i o ma f r h e j o u r n a lo fs y m b o l i cl o g i c ，1 9 9 4 ) ，w ea r g u et h a ti fji sar e g u l a r p 一i d e a lt h e n c ( ，) d on o ts a t i s f ya 】【i o ma w ep r o v et h a tt h ep r o p e r t ys a t i s f y i n ga x i o ma i s n o th e r e d i t a r yf o rd e n s es u b s e t a tt h es a m et i m e ，i ti sp o i n t e do u tt h a tt h e r ei sa g a p i n c o l l a p s i n go f c a r d i n a l si ng e n e r a l i z e dc o h e n s f o r c i n g ( b y m r e p i e k j ，1 9 8 8 ) i t i sw e l lk n o w nt h a tp a r t i a lo r d e ri sc l o s e l yr e l a t i v et ol a t t i c e a tag l a n c e 。 t h es e p a r a t i v i t yo fp a r t i a lo r d e ra n dt h ed i s t r i b u t i v e n e s ss e e m sc o h e r e n t d ot h e r eo n e a r t he x i s ts o m ei n t e r r e l a t i o n sw e l l 山e n ? i nt h es e c o n dp a r t w ec o n s i d e rt h e i n t r i n s i cs t r u c t u r eo ft h ep a r t i t i o no f 。s t u d yt h es e p a r a t i v i t yo f t h e 饥慨“翻) ) a n dd i s c u s st h ed i s t r i b u t i v i t yo ft h el a t t i c e s “彩) ，) i nt h ee n d ，w eg i v eam o r e i m m e d i a t ea n ds i m p l ep a r tp r o o fo fa c a ，f r o mc o n v e r s ed u a lc a r d i n a l s ( b y s g 2 1 m n ga n dj b r e n d e l k e y w o r d s ：p r o p e rf o r c i n g 。a x i o ma g a m e d e n s e 。r e g u l a r - i d e a l p a r t i t i o n 。l a t t i c e ， s e p a r a t i v e ，d i s t r i b u t i v e ，n r r l c o 致谢 v7 7 5 8 9 3 衷心感谢导师张树果教授三年来对我的关心、鼓励和教导本文的选题、写 作和一些难点的突破自始至终得到了导师的指导和帮助。导师严谨的学风、看问 题本质的能力、广阔的交流、不畏艰难的精神和对时间的重视等，给我留下了 深刻的印象，并将对我的一生产生重要影响三年来，导师不仅给我精心的学习 指导和思想教育，还在生活上给了我很多的关怀和支持我想唯有今后踏实工 作、不断进取才能回报他的厚爱 感谢张德学教授给予我的指导、关心和鼓励，以及给我提供学习和讨论的 机会 感谢我的家人三年来给予我的关爱，支持和经济上的援助 感谢所有学友对我的关心和帮助、鼓励，特别是钟吉玉同学帮助我学习 l a t e x ，龚金国同学经常割爱他的电脑予我撰写论文，童念栋同学与我有益的讨 论，吕王勇同学不断的鼓励 最后，再一次感谢所有曾经支持、关心和帮助我完成学业的老师、同学， 向他们致以最诚挚的谢意! 四川大学预t 学位论文 综述 众所周知，集合论上数学的基础所有的观念都可以根据集合的原始概念和 关系来定义在公理集合论中，我们简洁地陈述很少几个关于这些概念自i 公理， 试图捕捉到基本的“明显地正确”的集论原理我们可能从这些公理导出所有 已知的数学选择这些公理是非常艰巨的，稍有不同的选择都会对数学的各个 分支一一比如拓扑、代数、几何等产生深刻的影响自从c o h e n 发明f o r c i n g ( p a u l c o h e n ，t h ei n d e p e n d e n c eo f t h ec o n t i n u u mh y p o t h e s i s , 1 9 6 3 ) h t _ 日) 连续统假设不成 立与z f c 系统相容这四十多年来，使用力迫法得到了许多重要的发现力追法 也变的越来越精细，经常都会涉及罩酗迭代这自然会引起对选倦的系统研究在 这方面很重要的一个结果就是由s h e l a h 引进的p r o p e rf o r c i n g ( p r o p e rf o r c i n g 1 9 8 2 ) p r o p e rf o r c i n g 是个强有力的集论方法，我们经常甩它去获得种种问题 一不仅来自“纯”集合论。也来自数学的其他分支入：拓扑、代数、几何学等 的独立性结果但是要验证一个力迫偏序是否是p r o p e r 的通常都不是一件容易 的事情为此b a u m g a r t n e r 在i t e r a t i o nf o r c i n g 一文中引入了一个很容易验证的 力迫概念一即所谓的力迫公理a 明显地，所有满足力追公里a 僦瞒序都是 p r o p e r 的但要注意有一些力迫偏序它们是p r o p e r 的但不满足力迫公理a 在 本论文的第一部分，我们给出一个与p r o p e rf o r c i n g 相关的结果一力迫公理a 性质对稠密子集不遗传同时指出了m r e p i c k ，在c o l l a p s i n go fc a r d i n a l si n g e n e r a l i z e dc o h e n 奢f o r c i n g ( 1 9 8 8 ) 一文中的一个严重错误他在此文的定理 2 5 说假设，是脚上的一个理想，则力迫c ( j ) 不坍塌铂等价与c ( j ) 是某q 一闭 和某c c c 力迫的迭代根据本文的定理2 8 和3 0 ，这是不可能的他在他的证 明中使用了他认为明显的但实际是错误的事实一力迫公理a 性质对稠密子 集遗传 我们都知道，用特定的偏序可得到特别的扩张。抉句话说，偏序决定扩张，因 此在作扩张时，偏序的性质具有非常关键的作用因而。在本论文的第二部分， 我们将研究一个特别的偏序“甜) ，s ) 一一一个由自然数分拆构成的偏序众所 周知，偏序与格关系紧密自然地，我们会非常关注它们骺牲质之间董蚪日互关系 四j i l 太学硕 学位论文 我们将发现由( ( 倒) ，) 这个可分裂地偏序诱导出的格( ( 彩) ，) 是完备的但却是不 可分配的最后，我们将对a 。4 ，给出一个比c o n v e r s ed u a lc a r d i n a l ( b y s g z h a n ga n dj b r e n d l e ) 中证明更壹按、更简单的部分证明 2 四川大学硕十学位论文 第一章对力迫公理a 的注记 1 1引言 在最近二十年，满足力迫公理a 的偏序，由于它在力迫理论中的重要性，已 经成为很热门的主题之一在本文中，通过考虑翻上的理想，的广义c o h e n s 力 迫的博弈论性质，我们证明了力迫公理a 对稠密子集不遗传，这与可数链条件 形成强烈对比s h a r p 在文 2 中证明了，如果j 是o j 上的一个不平凡的极大理 想，则c ( j ) 不满足公理a 。我们可以把这个结果推广到任意正则的p 一理想通 过我们的新结论可知，文 3 的定理2 5 的证明是错误的，即c ( ，) 是某个戤一闭 和某个c , c c 的力迫的迭代是不可能的 在本文中我们使用标准的集论记号对o j 上的一个理想，。我们用，表示 它的对偶滤子。令 ，+ = p ( 研一j 令c ( d = u ( 2 。：工j l 并且以逆包含为序令 7 o 是所有o j 的有限予集所构成的集合，令五= s 瓦；v n d o m ( s ) | s ( n ) n 1 ) 同 样的，集合瓦和互以逆包含为序，并且它们所作成的序是树我们用s * t 表示两 个序列s 和t 的串联 1 2c ( ，) 和力迫公理a 定义1 2 0 ( 见 2 ， 4 和 5 ) ( 1 ) 一个序列( 工：雄毫捌 被称作是一个强 ，一分割，如果它满足：第一，它是翻上的一个分割，第二这个分割的任意有限个 元素的并集都属于， ( 2 ) 捌上的个理想，。我们称它是一个p 一理想，如果它满足：对每个强 ，一分割都存在一个x 属于，。并且x 与分割的每一个元素至多相交于一个有限 集会 ( 3 ) 删上的个理想，我们称它是个正则理想。如果它满足：对每个把 翻分成有限集合的分割 工；彪埘 都存在个无限集合ac 翻使得 u x n , 雅ea j ( 4 ) 如果a t o 是一棵树且s a ，则 在s 的分歧是集合r a f f l 2 网川大学硕士学位论文 f t ：s f a ，这儿( t ) 表示序列 ( 0 ，t ) ( 5 ) 假设，是0 j 上的一个理想，我们称一棵树a 瓦是一个，一强树如果 它满足：对任意s a 存在一个j j + 使得汹“r a m ( j ) ( 6 ) 一树枝h ：埘- 【刎。被称作是_ ，一大的，如果它满足：u r a m ( h ) ej + ( 7 ) 一个理想，被称作是一个p - - t 一理想，如果它满足：对每个，一强树 a e 瓦都由一个大树枝 ( 8 ) 对脚上的一个理想，博弈g ，指两个玩家轮流作如下i 0 宇戏：玩家i 在 第n 步选择一个j 使得工。n 以2 舀k n r u 。石。= 街，玩家i i 在第n 步 选择工。的一个有限子集c 玩家i i 获胜当且仅当u 二。，。， ( 9 ) 一个力迫偏序p 满足公理a 的含义是：存在p 的偏序族 1 满足： ( i ) p 毛q 蕴含ps q ： ( i i ) p q 蕴含p q ： ( i i i ) 如果 p 。 是一个序列满足p o op l2 。p 。则存在一个 q 使得q 。p 。对所有1 1 都成立： ( i v ) 对每个p p 和每个n 0 则对所有的n o j 我们有j j ，这是因为j 。e z 。j 由引理1 2 2 ，存 在一个y j 。使得| z 。1 7 y j 0 ，= n ，则对n e 脚有e 和“cr ， 由于，是一个p + 一理想，存在r ，+ v n ( i r 、i 国 引理1 4 4 ( 见 4 ) 如果一个理想，是在理想，上的可数生成而不是单 元生成，则j 绝不可能是一个p l 理想 引理1 4 5 若，是0 j 上的一个理想，则，是p 一理想当且仅当a d d 觋 证明：由引理1 4 4 ，从左到右很容易验证对n e 捌令j ，工c 取x = i y = t o x 。；n m lcj 如果删蜘，则母j 1 y 爿 珊对n e0 j 都 成立，令善= 删、y ，则k 、工。i 埘且x e ，。由引理1 2 1 ，是一个p + 一理想 引理1 4 6 ( 见 3 ) 力迫p ( j ) 坍塌c 到a d d ( ，) 定理l ，4 7 如果歹是r _ d 上的一个正则p 一理想，贝q c 0 ) 是某个玛一闭和 某个c , c c 的力迫的迭代的稠密子集 证明：我们很容易验证c u ) 在以j ) 4 c 。( 置) 中稠密由引理1 4 2 ，p ( ，) 是m 一闭的又由引理1 4 3 。c - ! ( 日) 不坍塌吼。而由引理1 4 1c 。( 日) 在由 尹( _ ，) 所作的扩张中是c c c 的 由定理1 2 8 和引理1 3 0 ，我们立即可得： 定理1 4 8 力迫公理a 性质对稠密子集不遗传， 注意：这与c c c 性质对稠密子集遗传和戗一闭性质对稠密子集不遗传可 作比照。我们不知道是否可以把定理1 4 7 推广到p r o p e r 力迫，朗是否任意的 p r o p e r 力迫都可以被稠密嵌舯某q 一闭和某c c c 力迫的迭代? 8 四川丈学硕士学位论文 第二章 关于自然粉拆的一些性质 2 1引言 m a t e t 在文 9 中率先研究了与自然数分拆的组合性质相关的基数系数，这 些基数对偶于文 1 0 和 1 1 中出现于v a nd o u w c n 图中的基数紧跟着，论文 1 2 ， 1 3 】和 1 4 对这些基数作了更系统的研究m a j c h e r - 1 w a n o w 在文章 1 5 中引进和研究了逆对偶基数，得到了许多有趣的结果最近，j b r e n d l e 和张树果 在文c 1 6 中完全解决了逆对偶与经典基数不变量之间的关系 然而，对于这个偏序的其它性质的研究还不是很完备，比如：偏序的可分裂 性和可分配性( 这里，偏序的可分配性是指：由这个偏序诱导的格的可分配性) 但是，我们知道：在作力迫扩张时，偏序的这些性质非常重要，直接影响扩张的 性质在这一章中我们将看到：一个偏序它是可分裂的但却是不可分配的 为了文章的完整性，我们在这里详细地陈述相关的概念我们用标准的集 论约定和概念我们用【纠”表示脚的所有有限子集，用【蜘。表示翻的所有子集 对七ea 0 ，令【叫表示砬l 的j ：元子集由( 翻) 表示所有的自然数分拆，即集 族xcp ( 脚) 使得x 的元两两不相交且ux = 曲我们用( 妫。表示所有的无限 分拆对x ，y e ( 吐i ) ，我们称y 比x 粗或x 比】，细的含义是：诋毫x 却ey o c ，记着：】，x m n t c t 在文 9 得到：( ( 妫，9 是一个以极小元0 ： 埘) 和 极大元1 = “n ，一毫倒l 的完备格 对d e 【叫”和xe ( 脚) ，我们令 x o = u j ex ：工nd 0 u 石ex ：鼻n d = a x d ： 工d ：工ex u f 一 ：以乍d ) 对xe ( 鲫。，我们令 p 口沁( x ) = 七。l e t 砰：3 口x ( 1 t 。i l c 幻 如果p 锄倦( x ) 是有限的，即当x 只包含有限个有限块，其余的块都是单 点集，我们称x 是平凡的我们用伊表示所有的埘的平荔津分割 设xe ( 翻) ，一个分割x e ( ) 被称为x 的有限修改是指：把x 的有限 9 四川大学硕j 学位论文 几个块粘合成一块就可得到x 。，即3 d 叫。( x ：x4 ) 我们说x 几乎包含 于l ，用x ：y 表示，是指：存在一个x 的有限修改x 使得x l ，用( 叻。表 示脚的无限非平凡分割，对x ，y e ( 妫定义： xt y ( 我们称xc 一垂直于y ) 当且仅当xvl r ei f 这里，xvy 是x 和y 在格( ) ，) 中最小的上界 如果x 和y 不是c 一垂直的，我们称它们是c 一相容的 2 2可分裂性与可分配性 m a j c h e r - 1 w a n o w ( 见 1 5 中引理1 ) 证明了偏序( ( 脚) ，) 关于c 一垂直是可 分裂的对偏序( ( 吐】) 。) 我们有类似的结果： 引理2 2 0 偏序( ) ，) 是可分配的，即：vx l ，3 z s x ( z y = 0 ) 证明：由于x 菇y ，存在) ，y ，屯，屯x 满足y n 五o ，y n j 2 彩令 z = ( u ( 膏ex ，j x 2 l ，j 2 ，贝0 z x 且z t y 明显地，z 0 现在，我们考虑偏序( ( 岱) ，) 的逆序，即偏序( ( o j ) ，) ，x j ，当且仅当 r x 在偏序( ( 翻) ，) 中，它的极小元恰好是偏序( c o j ) 。s ) 的极大元 引理2 2 1 偏序( ( 脚) ，) 是可分裂的，即：v x i y ，3 z x ( z v y = 0 ) 证明：由于x y ，即y 葚x ，存在x ex ，) i ，y 2 er 使得x n 咒o ， 善n y 2 0 取定n l x n 咒和n 2e 工n y 2 令d = f ( 以j ：玎1 以n 2 ，n e 脚】，我仃 再令z = “n i ，n 2 l u d ，则z x 且z v y = 0 m a t e t 在文 1 5 】中证明了( 洄) ，) 是一个完备格，那么它是否可分配呢? 定理2 2 2 完备格( ( 删) ，s ) 和( ( 脚) ，) 都不是可分配的 证明：我们取任意x ( 曲使得x - - x ，n o j ) u l a ) ，在这里a 是x 的一 个至少包含两个元素的分块，令a = b u c 是把a 分割成两个非空集合的分割 取a ，b 【纠”使得a n b = o ，a u b = 翻对a ，丑分别取6 = u ，嚣a ub ，c = u 算。n b ) uc ，b a = u j 。，n b ub ，c b 2 u x ，n ea u c 我们再令x = b a c l 和x 口= b 8 ，) 则可得：xax 。 翻 2 0 。xax j 2 0 因此，( x x ) v ( x x 日) = o ，但是我们有x vx 。= u ( 再。，r a ， u f ，n b ) ，b ，c 。xa ( x vx 。) = u ，n a ) ，u ，n b ) ，a 0 因而，完备格( ) ，) 不可能是分配的 1 0 四川大学硕t 学位论文 2 3对论文 1 5 的一个注记 在论文 1 5 中，m a j c h c r - 1 w a n o w 观察到：p a i r s ( x ) p a i 坩( y ) - y x 及当x 和r 的分块都是有限的时候y 曼：x - p a i r s ( x ) c p a i r s ( y ) 现在，我 们将把这个结果推广到更一般的情形： 定理2 3 0 我们假设y s ? x ，即3 d 【c o 。( y 。冬x ) ，现在我们把集合 y ey ：r n d a 枚举为： y f ：i k h 令d = u 触y 。，若i d i - 蕴涵着 v x ( x x x e 【d r ) 3 y ey ( x y ) 及f ( j x ：工【d 】。 j f ，k ( x o y i a x n y ，) | 埘，则p a i r s ( x ) p a i r s ( y ) 证明：任意取似， ，如果f 七，) 芒p a i r s ( y ) ，阮，jc 工ex 则工e 【d 严，且对 不同的f j k 有工n y 。a ，工n y ，a 但是嘲条件可知：x 中这样的工只有 有限多个，而且每个这样的工都是有限的，因而。这样的序对忙。? 也是有限的 因此，p a i r s ( x ) fp a i 憎( y ) 定义2 3 1y ：x 当且仅当存在d e 【叫。使得y 匕 引理2 3 2 序：是序：的一个真扩张 证明：假设对某x ，y ) ，x ：y 则存在d 【矾“使得x 匕令 0 = ( m i n ( x ) ：工x ( ( x n d a ) v ( x ny a d n y ) ) 1 明显地，矗是有限的 且x o y 即x y 蕴涵x ：y 但是x ：y 并不蕴涵xs ：l r ，因为。如果我们取x = “2 n 。 仨叫。( 2 - i - 1 。 珂o j i 和l ，= f ( 2 一，2 n + l ，行eo j 则x ：y ，然而，x ：y 因此，序：是序 ：的一个真扩张 如果我们引入如下的概念： 定义2 3 3 我们说x ；y 当且仅当存在d 1 ，d 2 e 【明”使得x 匕， 我们将看到偏序“西，：) 等价于循序( ( 动。：) ： 定理2 3 4x ：y 当且仅当xs y 证明：由定义，因为xg ；y ，所以存在一，d 2 【纠“使得x g 匕，再由 引理2 3 2 我们有x 乩：l ，。显然。x ：x “。因此，x ：l ，另一面是明显的 2 4 a ，的部分证明 婴盔兰堡兰兰垡堡壅 定义2 4 0 ( i ) q = i n j n ( h ，a 是增枞翻到国的部分函数构成的极大几乎 不变族 ( i i ) 我们说o ( 功。是一个极大的自然数分割的c 一垂直族( 懈c 口) ，如 果它是一族极大的两两c 一垂直的分割令4 。= i n i n 1 西i ，o 是( 妫。中一个 m a c o j b r e n d l e 和张树果在论文 1 6 中证明了a 。= a 。，现在，我们通过考虑一个 简单情形来证明一个相关结果： 定理2 4 1 若，是一个至少有两个无限分块的m a c o ，则f ，i 2 a ， 证明：我们取f 的两个无限块a ，曰因为f 是m a c o ，a 和b 一定不相 交考虑x f 它即不包含a ，也不包含矗假设x = ( 毛：f e 翻 ，由于f 是 m a c o ，我们可知一定有：v i o a n x , l 劫 v 。i ( i a n x , i 1 ) v i ( i b n x , i 曲 v i ( i b a x , f 1 ) 我们定义矗如下： = t n ，如果3 i ( a n x i = ( n ) b n = ( m 1 我们断定：套= f 矗：x e f a 芒x 丑茌x 是一个关于从a 到廖的部分 函数的极大几乎不交族由此我们可得l f i a 。我们只需证明这个断言即可 取个从a 到曰得无限部分函数占。令 x = n 。g ( ) ，n d o r a ( g ) ) u ( n l ，n 芒d o m ( g ) 我们看到：x 。( c o ) 。，并且x 。与任意包含a 或丑得分割都是c 一垂直的 由f 的极大性。存在xef 使得：x 是包含a 或口的并且x 与x 是c 一相容的 因此，j 。n ( 矗伽) = g ( n ) ) 这儿这个证明使用了比文 1 6 更直接的方法来证明 1 2 四川大学颂上学位论义 参考文献 【1 1p k o s z m i d e r o nc o h e r e n tf a m i t yo f f i n i t e - t o - o n ef u n c t i o n j n ej o u r n a l o fs y m b o l i cl o g i c ，1 9 9 3 ，5 8 ( 1 ) ：1 2 8 1 3 8 【2 】j d s h a r p c o m b i n a t o r i c so i li d e a l sa n d a x i o ma 【j 】n 砖j o u m a lo fs y m b o l i c l o g i c ，1 9 9 4 ，5 9 ( 3 ) ：9 9 7 1 0 0 0 【3 】m r e p i c k 9 c o l l a p s i n go fc a r d i n a l si ng e n e r a l i z e dc o h e njf o r c i n g j b e t a u n i v e r s i t a t i sc a r o l i n a e m a t h e m a t i c ae tp h y s i c a ，1 9 8 8 ，2 9 ( 2 ) ：6 7 - 7 4 【4 】m r e p i c k j p r o p e r t i e so f m e a s u r ea n dc a t e g o r y 伽g e n e r a l i z e dc o h e n ja n d s i l v e r sf o r c i n g j a c t a u n i v e r s i t a t i sc a r o l i n a e - m a t h e m a t i c ae t p h y s i c a ， 1 9 8 7 2 8 ( 2 ) ：1 0 1 一l1 5 ， 【5 】j a m e sb a u m g a r t n e r s u r v e y si ns e tt h e o r y m 。l o n d o n a n dn e wy o r k ： c a m b r i d g eu n i v p r e s s s 。1 9 8 3 ：1 - 5 9 【6 】s s h e l a h p r o p e r f o r c i n g m n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 2 【7 】s g f i g o r i e f f c o m b i n a t o r i c so ni d e a l sa n df o r c i n g j 。a n n a l so fm a t h 1 0 9 i c 1 9 7 1 3 ：3 6 3 3 9 4 【8 】t j e c h m u l t i p l e f o r c i n g j n e wy o r k ：c a m b r i d g eu n i v p r e s s s ，1 9 8 6 【9 】p m a t e t ，p a r t i t i o n sa n df i l t e r s j t h ej o u r n a lo fs y m b o l i cl o g i c ，1 9 8 6 。 5 l ：1 2 - 2 1 【l o 】e k v a nd o