（运筹学与控制论专业论文）随机利率下有违约风险的最优投资组合.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文讨论如下的最优投资组合问题金融市场中有4 种证券：银行存款、无违约风险 零息票债券、有违约风险零息票债券和股票投资者可以以任意数量买卖这4 种证券以使 他的终端财富期望效用最大化我们用约化形式方法对违约风险建模，并假定利率和信用 利差都服从c a x - i n g e r s o l l - r o s s 模型我们把最优投资组合问题看作个三维的随机最优控 制问题，给出了相应的h a m i l t o n - j a c o b i - b e l l m a n 方程的显式解和最优投资策略 关键词- 随机利率，违约风险，随机控制。最优投资组合 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n go p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e m t h ef l n a n d a lm a r k e tc o n s i s t s o fas a v i n g sa c c o u n t ，d e f a u l t - f r e ez e r oc o u p o nb o n d s ，d e f a u l t a b l ez e t oc o u p o nb o n d sa n d s t o c k s a ni n v e s t o rc a ni n v e s ti nt h e mw i t h o u ta n yr e s t r i c ta n dt r i e st om a x i m i z et h e e x p e c t e du t i l i t yf r o mh i st e r m i n a lw e a l t h t h ed e f a l l l tr i s ki sm o d e l e di nar e d u c e df o r m a p p r o a c h t h ei n t e r e s tr a t ea n dt h ec r e d i ts p r e a da r ea s s u m e dt of o l l o wt h ec o x - i n g e r s o l l - r o s sm o d e l t h eo p t i m a li n v e s t m e n tp r o b l e mi st r t e da sa no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o ra t h r e e - d i m e n s i o n a ls t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a ls y s t e m t h ea s s o c i a t e dh a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n e q u a t i o ni ss o l v e de x p l i c i t l y , a n dt h eo p t i m a lp o r t f o l i oi sa l s og i v e ni na c l o s e df o r m k e y w o r d s ：s t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t e ，d e f a u l tr i s k ，s t o c h a s t i cc o n t r o l ，o p t i m a li n v e s t m e n t 2 第一章引言 m e r t o n 2 0 1 于1 9 7 1 年讨论了连续时间最优投资组合问题他假设市场是完备的，且市 场利率是常数投资者可以投资于银行存款和多种不同风险股票，以投资策略过程描述投 资者的投资行为，通过极大化终端财富期望效用，将投资组合问题归结为一个控制问题， 利用随机控制方法，m e r t o n 给出了最优投资策略 假设利率为常数是m e lt o n 模型的一个限翻，而市场上的利率往往是不断变化的随着 债券市场的壮大，利率期限结构的研究获得了长足的发展，随机利率下的最优投资组合问 题已备受关注k o r n 和k r a f t 1 6 研究了v a s i c e k 2 5 】随机利率模型和h o - l e e 8 】随机利率 模型下的最优投资组合问题在随机利率下，财富方程不满足l i p s c h i t z 条件，故不能用通 常的验证定理( 参考【7 1 ) 来证明所构造投资组合的最优性f 1 6 】给出了个修正的验证定 理，能够用随机控常9 方法给出投资于银行存款、无违约风险零息票债券和股票的最优投资 策略 v a s i c e k 随机利率模型和h o - l e e 随机利率模型具有简单好用的优点，但却有一个非常 明显的缺陷t 短期利率会以一个正的概率取负值由一般均衡方法发展出来的c i r 利率模 型【3 】克服了该缺陷，而且还具有均值回复的特性该模型自1 9 8 5 年出现以来，在理论和 应用上获得了人们的认可d e e l s t r a 等【4 】利用鞅方法( 参见【1 5 ) 讨论了c i r 随机利率模 型下的最优投资组合问题 违约风险( d e f a u l tr i s k ) 是指债券发行方不能如约完成契约上所事先约定的义务的风 险，公司债券就是具有违约风险的资产的例子对具有违约风险的市场进行研究，涉及的一个 关键问题就是对违约时问进行建模，主要有两种方法一种方法称为结构化形式( s t r u c t u r a l f o r m ) 方法，由m e r t o n 2 1 】于1 9 7 4 年提出在这种方法中，违约时间由一个描述公司价值 的基础过程来确定当该过程超过某个界限时就发生违约，此时违约时间r 关于资产价值 所形成的信息流是一个停时另一种方法称为约化形式( r e d u c e d - f o r m ) 方法，相关文献可 以参考【5 1 ， 1 3 l 和 2 2 在这种方法中。将债券发行方的违约行为看作一个不可料的事件 约化形式方法一个关键的优点是可以很方便地利用期限结构模型来建模，因而成为近年来 对违约风险市场研究的个热点 4 复且大学硕士学位论文 考虑金融市场中同时存在利率风险和违约风险的最优投资组合问题具有非常现实的意 义，相关研究比较少h o u 1 0 】研究了随机利率下，投资于银行存款、股票、国债和公司债券 的最优投资组合问题，文中假定利率和信用利差服从v a s i c e k 模型前文巳经提到v a s i c e k 模型有着本质的缺陷 设( n ，p ) 是个完备的概率空间，( - ) = ( 胍( ) ，( ) ，w 3 ( ) ) t 是定义在其上 的三维标准布朗运动，其中胍，- ，w 3 相互独立 f = 五) t e p 司是由布朗运动( ) 生 成的自然n 域流，满足通常条件，其中亍( 0 ，+ 。) 本文假定市场上有4 种证券银行存款、无违约风险零患票债券、有违约风险零息票 债券和股票 假设短期利率过程r ( ) 满足c i r 模型t d r ( t ) = k l ( a l r ( t ) ) d t + a l y 而d w l ( t ) ， ir ( o ) = ， 其中，h ，巩，o 1 为正的常数，满足条件2 k 1 8 1 口 则银行存款的价格过程b ( t ) 满足如 下微分方程t ld b ( t ) = r ( t ) b ( t ) d t ， ib ( o ) = 1 对票面金额为1 ，到期时刻为乃( 丑st - - - ) 的无违约风险零息票债券， b ( t ，噩) 满足随机微分方程 髻掰= ( r ( t m “t ) ) 班州咖- v 丽d w l ( 吐 这里a ，沙( ) 为无违约风险零息票债券的风险市价q ( ) 由 一丽斋豢高 所定义，其中 1 1 = 、( 1 + a l ；h ) 2 + 2 盯 5 假设其价格过程 复旦大学硕士学位论文 我们对违约风险用约化形式方莹进行建模1 良设有违约风险零恳票债券的信用利差过 程j ( ) 满足c i r 模型t d 占( t ) = 如( 如一6 ( t ) ) 班+ 观苫葡w i ( t ) ， i6 ( o ) = 如， 其中南，k 2 ，如，0 2 为正的常数，满足条件2 k 2 8 2 醴我们还进一步假设到期时刻为丑的 有违约风险零息票债券价格p ( t ，噩) 满足随机微分方程： 警掰= ( 心咖蚓她) 出 + q ( 加。舡_ d 帆( t ) + 龟( f ) 观瓶_ d ( t ) 这里如、j ( - ) 为违约风险市价q ( ) 由 钮( 力= 一百可再2 习( j * 再c t l - 0 硒- 砸1 ) 丽圃 ( 1 2 ) 所定义，其中 1 2 = ( 乜+ a 2 a 2 ) 2 + 2 磋 假定股票价格过程s ( ) 满足随机微分方程； j 辩= ( r ( t ) + 如( 亡) a 3 ( t ) ) 如+ 如( ) 西蚝( t ) ， is ( o ) ；岛， 这里如( ) 为有界可测函数，确定性函数a 3 ( - ) 为股票风险市价 考虑一个投资者，以x ( ) 表示他的财富过程，初始财富为x ( o ) = z o 0 以 ( ) = ( 7 r 1 ( 茚，丌2 ( 味丌3 国) ，t 【o 司， 表示他的投资策略，其中t ( 丑丌1 ( ) ，抛( ) ，丌3 ( - ) 分别表示投资者在区间【0 ，卅投资于无 违约风险零息票债券、有违约风险零息票债券和股票的金额所占总财富的比例，1 一”( ) 7 r 为投资于银行存款的金额所占总财富的比例，其中r = ( 1 ，1 ，1 ) t 在自融资的投资策略下， 财富过程x ( ) 满足随机微分方程： d x x ( ( t t _ a ) ) = m + ”( t ) 7 ( p ( t ) 一r ( t ) 跏出+ r ( t ) 7 一( t ) d w ( t ) ， ( 1 3 ) 复旦大学硕士学位论文 p ( t ) = o - ( t ) = 白( t h 、而0 0 q ( t h 厕q ( t k 丽0 00 田( t ) 我们考虑的允许的投资策略定义如下； 定义1 1 假设条件p 2 1 ) 满足对任意的t o 【0 ，列，投资策略 丌( t ) ) 。“。司称为允 许的。如果 n ( t ) ) t e ，钉是循序可测的； 一砂对任意初始财富x “( t o ) = z # 。 0 ，财富方程( 1 3 ) 都存在唯一的强解 x ”( t ) 吲如，卅 且 x “( t ) 0 ，v t t o ，邪； 一叫对k n ，有 e ( 小( s ) 阳s ) 0 ，寻找投资策略矿( ) 一4 ( 0 ，x o ) 使得 e u ( x 。( t ) ) 2 非m a x ，e u ( x ”( 聃 利用随机控制方法我们得到本文的主要结果 7 蚴 搽卅m 啪 复旦大学硕士学位论文 定理1 1 假设 满足，其中 ，y y 2 注记2 1 当条件2 k 0 盯2 满足时。有 p r ( ) 0 ，v t 【0 ，习) = l ， 我们在这里省略证明，相关证明可见毫“中引理1 3 4 3 称随机利率模型( 2 2 ) 为c o - i n g e r s o l l - r o s s ( 简称c i r ) 模型与v a s i c e k 模型不同， 我们很难得到方程( 2 2 ) 的显式解，即利率r ( t ) 的显式表达式由下面的引理2 1 可知，随 机微分方程( 2 2 ) 存在唯一的强解 复旦大学硕士学位论文 引理2 1 设一维随机微分方程 d x t = b ( t ，x t ) d r + 口( t ，x t ) d 眦 的系数对0 t o 那么方, i l 偿印存在唯一强解 注记2 2 条件俾秒由y a m a d a 和w a t a n a b e ( 1 9 7 1 ) 提出特别地，我们取 = 篡 且 ( t ) = 仃t ，其中口 0 此时引理霉j 保证方程偿甜存在唯一强解我们在这里省略 引理2 j 的证明，详细证明可见口”中定理4 只霉或口卅中命题5 2 j 了 对给定的到期时刻t ，假设t 0 ，q p t ) 0 定义右连续过程 h ( t ) ：= 1 ，f ) ，：= 盯( 日( 钍) ：“t ) ，t 【0 ，司， h ：= “t ) t 1 0 t 动表示关于违约信息的小域流令g ：= f v h ，吼：= 五v ，t o ，司， 则r 是一个g 一停时 令f ( t ) ：= q ( r t i 五) ，假设对任意的t 【o ，t - i ，都有f ( t ) t ) = b n r t ( 2 7 ) 证明易见劣c 多，又 瓯= 五v 一口( “t ，五) = u ( t 茎u ，“t ；五) 1 1 复且大学硕士学位论文 故只需证对a = 0 t 1 ) ，u s t 或a 五，h b 五使得 a n r t ) = b n f t ) 即可而当a = 0 t ) ，u t 时，取b = 口；当a 五时。取b = a 即证证毕 引理2 3 俐令0 t s 亍，对任意g 可测的随机变量y ，有以下等式成立 e q ( i ，y i 鼠) = 1 p t 8 “扣) “e q ( 1 ， 。) y i 特别地。如果y 是j - 可测的，则有 e q ( 1 p 。) y i 吼) = 1 ， t e q ( e r “胁y l 五) 一砂对有界，f - 可料过程z ，0 t 。 y l 兀) = q 盯 t f 五) x x ：盟1 刎- - y ( t ) ；e 肌) 扎e q ( 坼刈y i 五) 如果y 是五一可测的，则有 e 矗“扣冲e q ( y q ( r s 1 只) i 瑚 e j ：“( u ) 如e q ( y ( 1 一f ( s ) ) i 五) e q ( e r m 扎y i 五) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 复旦大学硕士学位论文 ( n 由( i ) 可知 e q ( i 。 t e 片6 和如e q ( 1 t r a z ，j 假设z ( ”) 是一个逐步有界f 一可料的过程，即 毋= 砑1 “。5 札，t t s t ! o 五) 其中t = 芘 t i 沁l = 8 ，霹a = o ，曲是五。一可测的随机变量当n 一+ 时，z p ) 一尻，t t s s e q ( i 一鲥玲i 五) = e q ( l 怀，垒+ l 砑i 五) = e q ( 毋( f ( 南+ z ) - f ( t t ) ) i 五) = 铲( j f i 硷d f ( 让) = e q ( z 。e 片m 冲z p 危( 钍) 如i 五) ， 上式当n 一+ o 。时，由z 是有界过程知 e q ( 1 似，纠互i 五) = e q ( 。e f “况 ( u ) 如f 五) ， 所以 e q ( 1 似，鲥磊吼) = 1 一) e q ( e rm 冲磊 ( 札) 乩| 五) 证毕 l 理2 4 对t 【0 ，t - l ，过程 m ( t ) ：= 日( t ) 一j c h ( u ) d u( 2 1 1 ) 是一个g 一鞍 证明对0 t 8 0 e q ( e - 俨“卅m l 五) p ( 嘱) = 妒( j ( n e 一肿汹d d ( n ) lg ) = e q 、 t 1 e r r c s ) a a z ( u ) d 日( ”) + e _ 妒州如1 椰i 岛) = e q ( 1 t o e q ( e 一铲( r ( 卅坤油i 五) 证毕 令6 ( i ) ：= ( ) o ( ) ，称d ( - ) 为有违约风险零息票债券的信用利差( c r e d i ts p r e a d ) 过程 可以假设d ( ) 是一个外生的过程，即不依赖于债券本身的价值过程，这样我们就可以很方 便地利用标准的期限结构模型来对违约风险进行建模 1 6 第三章最优投资组合问题 3 1 金融市场建模 设( n ，9 ，p ) 是一个完备的概率空间， ( ) = ( w a ( ) ，( ) ，w ，3 ( ) ) 1 是定义在其上的三维标准布朗运动，其中m ，w ；，w a 相互独立 f = 五) t 旧是由布朗 运动( ) 生成的自然n 域流，满足通常条件，其中亍( o ，+ o 。) 对任意t 【o ，习，五cg 我们考虑一个金融市场，假设市场上有4 种证券：银行存款、无违约风险零息票债券、 有违约风险零息票债券和股票假设市场是无套利的。q 是p 的等价鞅概率测度，使得市 场上任意可交易资产的价格关于无风险利率r ( 一) 的贴现价格在测度q 下都是鞅 假设短期利率过程r ( ) 满足c i r 模型： 邮) ；”，一) 吼厕奶，( 3 1 ) 【r ( o ) = r o ， 其中r o ，膏l ，p 1 ，口1 为正的常数。满足条件2 k l 口l 口 银行存款的价值过程b ( t ) 满足如下 微分方程： id b ( t ) = r ( t ) b ( t ) d t ， 【b ( o ) = 1 考虑个票面金额为1 、到期时刻为墨亍) 的无违约风险零息票债券。假设它 的价格过程s ( t ，正) 满足随机微分方程t 篙船= ( 忡m l r ( t ) ) 出州加，厕删啦 这里a ( ) 为无违约风险零息票债券的风险市价 q ( ) 由 砟) _ - 矸斋筹高装哪 ( 3 z ) 1 7 复旦大学硕士学位论文 所定义，其中 z ， 瓜了孑丽 设r 是定义在( n ，g ，q ) 上的实值非负随机变量，表示有违约风险零息票债券的违约 时间假设q ( t = 0 ) = 0 ，且对任意的t 0 ，q p ) 0 定义右连续过程 日( t ) ：= 1 ，f ) ，咒t ：= 口( 日( u ) ：u t ) ，t 【o ，司， h ：= ) 。【0 ，而表示关于违约信息的m 域流令g ：= f v h ，骁：= 五v ，t o ，司， 则r 是一个g _ 停时 由第二章第二节内容可知，f - 循序可测非负随机过程九( ) 使得过程 m ( ) ：h ( 0 一“”) d u h ( o ，t 0 ，习，( 3 3 )m ( ) ：= 一o h ( u ) d u ，。 0 ，习， ( 3 3 ) 是一个g 一鞅票面金额为1 ，到期时刻为乃( 乃 0 e q ( e p 州卅m 肭i 五) ， ( 3 4 ) 其中j ( ) 为有违约风险零息票债券的信用利差过程假设债券的特定违约损失率。( t ) = 1 ，vt 【0 ，噩】，即当有违约发生时，债券持有人不能获得任何清偿，此时债券的信用利差 等于危险率，即6 ( ) = ( ) 假设有违约风险零息票债券的信用利差过程d ( ) 满足方程t p ) = k 2 ( 0 2 “o ) ) 啦删t ) ， ( 3 5 ) i6 ( o ) = 如， 其中南，如，如，以为正的常数，满足条件2 k 2 8 2 磅 引理3 1 短期利率满足c i r 模型阻 ，信用利差满足方程p 彰时，票面金额为 j ，到期时刻为正( 矗 0 ，财富方程( 3 8 ) 都存在唯一的强解 x ”( t ) t e ，司 且 x ”( t ) 0 ，v t t o ，卅； 一l 砂对七n ，有 e ( r i 。哟 0 ，寻找投资策略矿( ) a ( o ，。o ) 使得 e u ( x 一( t ) ) 2 非m & ( 。x m ) ，e u ( x ( 即) ( 3 9 ) 问题( p ) 称为最优投资组合问题，对矿( ) a ( o ，x o ) 满足( 3 9 ) ，称7 f ( ) 为问题( p ) 的最优投资策略 2 1 复旦大学硕士学位论文 3 3 形式求解 由于财富方程( 3 8 ) 中漂移项和扩散项系数都是随机的，最优投资组合问题( p ) 可以 看作是一个i p 中的随机最优控制问题三维状态过程可视为 y ( ) ：= ( x ( ) ，r ( ) ，j ( ) ) 7 根据( 3 8 ) 、( 3 1 ) 和( 3 。5 ) ，y ( ) 的演化规律以矩阵形式表示如下； id y ( t ) = a ( t ，y ( t ) ，”( t ) ) d t + e ( t ，y 0 ) ，7 r o ) ) d 矸，( t ) ， iy ( o ) = x o ，r o ，而) 7 ， 这里 e = a = x ( r + ”1 。似一r r ) ) 碗( 以一r ) ( 如一6 ) x ( v q + 7 r 2 ) l a l g 1 o x 丌2 白啦 6x 7 r s a s o0 如狮0 由随机最优控制的动态规划原理可知，上述最优控制问题( p ) 的h a m i l t o n - j a c o b i - 。m a r 3 x c g ，z ，6 = o ，。| 0 2 1 。，r 6 ( o ，+ o o ) ( 3 1 0 ) lg ( t ，z ，r ，6 ) = ，z ( 0 ，+ o 。) g ( t ，) = g t ( t ，) + 吼( t ，) t a ( t , y ) + i t r ( ( t ，口) e ( 蛐) t g w ( t ，g ) ) g t + 互1 。2 ( ( 丌1 + 丌2 ) 2 砰r + 呱2 2 2 口2 2 a 十丌3 2 2 ) g + i 1 。1 2 r g r r + ；霹6 ( + 。( ，f 1 + 1 r 2 ) q 盯；r g 。+ 。丌2 钮霹6 g 西 + z ( r + ( ，r 1 + 丌2 ) q 盯1 a l r + 7 r 2 q 口2 a 2 5 + r s a s a 3 ) ( 毛 + ( k l p l 一r ) g ，+ ( k 2 巩一6 ) g 6 星旦盔堂堡圭堂焦鲨塞一 一 其中鲈= ( z ，r 1 6 ) 下面我们来形式地求解上面的h j b 方程( 3 1 0 ) 暂时假设瓯。 0 ，则由动态规划原 理，最优投资策略矿应具有如下形式； 种1 = 一袅击一袅石1 叫， c 岛b ( 1 “；一x g z x q 2 a 2 一j 瓦磊 g 。b 2 一丽；= = 一o - 3 ( 3 1 1 ) 。：g 。+ 却一蕊e x 击一瓦g r 拶1 盯一袅去一爰* 书 + ( 一j g 舀x = 磊a 3 ) 2 司】倪z + j 1 盯 r g ”+ ；砖6 g 时 州一袅击一袅扣州一磊g x 磊a 2 一是三哕g z a + 茁 r 仆袅击一袅石1 ) e i a i i r + c 一袅盅一袅扣砒a + ( 一袅塞) 内a a 】瓯+ h ( 0 1 一r ) g r + k 2 ( e 。一6 ) 函， 满足边值条件 g f t 霉r ，= 两边同乘以g ；。得 o = g 。g 。+ ； ( a ，( 毛+ 口t g 一) 2 r + ( z g + 啦g z d ) 2 6 + 碣g ：】 + 扣r 靠g 。+ 歪1 吧2 鼢5 g 船+ l ( 口l r ) 谚+ 如慨一d ) g 艘； 一( 矿l a l g x + 口；g ，) r g 0 一( o r 2 a 2 g + 磅咒d ) d 瓯d + p 一( a 吼+ m a - 靠) r 一( 定q + 毋a 2 瓯d ) 6 一定q 】g 。， 整理，得 o ：g ；+ 枷，g 矗；+ b 如g 艘；一；越戗 ( 3 1 2 ) + p g ；g 。一百1 ( a 倪+ 。，g 。) 2 一硫研g 。+ 互1 a ；g ” 爿r + 一j 1 ( a 。g 。+ 观g a ) 2 一如g a + ；g a s g p 复旦大学硕士学位论文 假设c ( t ，z ，r ，6 ) 具有如下形式 满足 代入( 3 ，1 2 ) 。得 g ( ，z ，r ，6 ) = e f c o + g ( 。) 7 + “( 0 5 z f ( t ) = g ( t ) = h ( t ) = 0 o = 1 等 ( 7 1 ) ( ，“r + 舶) + ( 7 - 1 ) 郴。9 + ( 7 - - 1 ) k 2 0 2 h 一互1 1 砖 + t c v - 1 ) 一j 1 1 ( a - + a ，9 ) 2 一( 7 1 ) 。9 + ；( 7 1 ) 盯；9 2 r “一；7 ( 柑啦妒一( y - 1 ) k 2 h + ；( 1 1 ) 酲 m ， 因为7 ，g 0 ，所以 o = ( 7 1 ) ( ，+ h 口x g - i - k 2 0 2 h ) 一i 1 1 a ； + 【( 1 1 ) g - 互1 a 9 2 + ( ( 1 7 ) k 1 - 9 a a a ，) g - - 9 ( 1 7 + ；a ；) r “( ，y 一1 ) 一；砖 2 + ( ( 1 一，y ) 乜一7 啦a z ) 一互1 7 咖， 注意到上式对任意的r ，6 都成立，因此有 当 即 o = ( 7 1 ) ( ，+ l 口1 9 + k 2 口2 h ) 一i 1 7 a ；， 0 = ( 7 - 1 ) g 一j l a 一22 + ( ( 1 1 ) k l - y o l a l ) 9 - 7 ( 1 - 7 + 互1 2 1 ) o = ( 7 1 ) 一；砖，产+ ( ( 1 7 ) 岛一7 啦a 2 ) 一百1 7 a 1 ( k l - 南酬2 一蓦( z + 旦1 - 7 南c + 筹+ ) u 。k 。1 ) 。， 即 南r 蕉2 + 等) 笪2 a 2 满足时，常微分方程( 3 。1 5 ) 有实解，由知p ) = 0 解得 酢，：丽蠢篙， 其中 地=f 蒿碚 另外由，( 几) = 0 解常微分方程仕1 3 j 碍 坤) = 篙( t 叫+ m f t g ( 帕+ k 2 0 2 j ( t 坤) d s 定理3 1 假设不等式 南1 ( + 蕉2 + 丝o 1 ) 嘉一7 、 。 7 2 仃 知 南(壁212 + 警) 芸 一1 、啦72 一 都成立。即 ，y 0 ，v t 0 ，卅下面的定理将证明由( 3 2 3 ) 给出的投资策略丌 满足定义3 1 中条件( i v ) 定理3 2 当条件p 2 砂满足时，由p 2 力给出的函数g ，对任意增的停时序列 ) p n ，0 如t ，存在q 1 使得 8 u p e i g ( 如，x 一( 如) ，r ( ) ，占( ) ) 。 i ， l g ( ，x ”( 够，r 6 1 4 = e x p ( q ( f ( t ) + 9 ( 亡) r 0 ) + 0 v 0 ) ) x ” ) ” = 印唧 口( ，( t ) + g p ( t ) + ( t ) 6 0 ) ) el十(丌：(8)+丌；(s)q(s)盯lal一百1+q7l 1 ( 订( s ) + ( 3 ) ) 2 q o ) 2 斫】r ( s ) 如十( 丌：( 8 ) + 丌；( s ) ) q ( s ) 盯l a l 一百( 订( s ) + ( 3 ) ) 2 q 0 ) 。 r ( s ) 如 ，u + 鲋r ( 3 ) 白( s ) 观k 一；( s ) 2 q ( s ) 2 醒1 6 ( 8 ) d 3 + q 7 - ( ，r + ”) q ( s ) 盯l 雨孤( s ) + q 7f 呓( s ) q ( s 胁咖( 而碱( s )( ，r i 0 ) + 7 r ；( 3 ) ) q ( s ) 盯l 、r ( s ) c f w ，l ( s )， 丌；( s ) q ( s ) 观、6 ( s ) d 计，2 ( 3 ) j o j u + 口，y f 【( s ) 铂( s ) h ( s ) 一；嵋( s ) 2 毋( s ) 2 】d s + 口1 f 嵋( s ) c r 3 扣) a w 3 ( s ) ) ， 稚理得 f g ( t ，x 矿r ( o ，6 ( t 坩 = d 1 ( t ) e x p q 9 ( t ) r ( t ) + q h ( t ) 6 ( t ) + 口7 r 1 + ( 荆+ ( s ) ) q ( s ) a l k l 一；( ，r + 畦( 8 ) ) 2 q ( s ) 2 仃m s ) d s + r 竹；( s k ( s ) 啦沁一；畦( s ) 2 白( s ) 2 砣1 6 ( s ) d s + j c 吲s ) + 呓( s ) ) q ( s o l 、r ( s ) d ( 3 ) + 9 7 胁( s ) 钮( s ) 吼俩d ( s ) ) l l ( s ) ， 一一 星旦盔堂堡主堂焦堡塞 p _ _ - 一 其中 d l ( t ) 上1 1 ( t ) ：z 矿唧 q ，( ) + 口7r 【( s ) 印( s ) a a ( s ) 一；嵋( s ) 2 如( s ) 2 】d s + ；矿中石畦( s ) 2 如( s ) 2 如) ， ：唧 _ ；q 2 1 2r 呓( s ) 2 如( s ) 2 d s + q 1r ”；( s ) 如( s ) d w 3 ( s ) ) 代入矿( 8 ) ，由i t 6 公式，有 r 臼i ( 3 ) + ( s ) k ( s ) 以小孓动晰( s ) = ：吉c 志+ 黎川口，厕啪， = 志r 以厕咻) + 击胁h 厕呲) = 【r ( 旷巾) 一f o k ( 删酬 + 击b ( 帅) 刊。) r ( 。) 一r 咖) 吼叫劝d 5 一z 。( 咖( s ) d s 】 r ( 3 ) 龟( s ) 匏q 历丽h 么( s ) = r 击c 去+ 器川以厕呲， = 志上。啦瓜觚+ 击胁胁厕瞰) = 陬旷即) 一j ( 。如( 如叫劝d s l + 击) 一 ( 。) 6 ( 。) 一f o t h ( 姚慨一6 ( s ) 冲一f j h ( s ) 6 ( 渊 i g ( t ，x ”+ ( t ) ，r ( ) ，6 ( 圳9 = d 2 ( t ) “p i 毛b ( t ) 十等) r ( 力+ 鲋r 日，( s ) r d s + i _ 兰( h ( ) + 塑o 2 ) 6 ( t ) + r 日，( s ) 6 ( s ) d s ) l 1 ( t ) ， 其中 d 2 ( t ) = 日l ( 8 ) = d 1 ( t ) e x p 一暑( a t r o + a l 。k t 。0 1 t + g ( o ) r o + k 1 0 1r 9 ( s ) d 8 + 警+ i m k 2 0 2 ( 0 ) 南+ k 2 0 2f o j o 琊) d 0 ) ， 啦 毋 1 + 击( 砖怕加( 砌一万杀( a ，棚如) ) 2 + 击警+ 再k l 如) 一再1 排t ) ；一而1 ，( s ) - 南。( s ) 2 + 坐舻小) 埘 ，a i r i - - t + 1 + r 兰百一面了哥+ i j i = _ 丽石 = 百与 ( 7 _ 1 ) 俐一互1 a 2 + ( ( 1 刊卜伊，砌如) 刊1 - 7 + 互1 a ) + 南( i - 7 + 秽1 + 普一禹+ 栋 一南c h q l2 ) + t + 兰一鼎+ 若 = 五1 ( ，+ 萼+ 警) ， 鲍( s ) = 击( 啪- 叻坳( s ) ) 一面r 与( a z + 啦忡) ) 2 + 击等+ 岛忡) 一上1 - 7 矾s ) ：一击) - 南脚n 坐挚郧) + 兰1 - 7 一上2 ( 1 - 7 ) 2 + 拦啬 = 志卜1 ) 荆一( s ) 2 + ( ( 1 刊k 2 - 7 a 2 a 2 ) 忡) 一翔) + 志+ 旦1