（概率论与数理统计专业论文）部分因析设计最优准则及构造理论.pdf

摘要 由于p 完全因析设计要求实施个水平组合的试验，所以，当n 较大时完全因 析设计在实际中很少采用取而代之的是部分因析设计，它由完全因析设计的一个子 集或部分组成由于部分因析设计可有效地利用试验水平组合同时考虑大量的试验因 子，因而在试验研究中被广泛采用总的来说，部分因析设计可分为两大类：正规的 和非正规的 由于最小低阶混杂【m i n i m u ma b e r r a t i o n ( m a ) 准则被广泛用于选择因析设计的 最优部分，因而，刻划m a 设计的特征在试验设计理论中是一个很有意义的问题对 于对称因析设计，t a n ga n dw u ( 1 9 9 6 ) 和s u e n ，c h e n ，a n dw u ( 1 9 9 7 ) 对正规部分因 析设计与其补设计( c o m p l e m e n t a r yd e s i g n ) 的字长型之间的关系得到了一般的结果 其内容将在1 2 节给出对于混和水平因析设计，m u k e r j e ea n dw u ( 2 0 0 1 ) 利用投影 几何理论得到了正规混和水平因析设计用其补子集表示的字长型，但其字长型中仅考 虑了长度为3 和4 的字在本章1 3 和1 4 节中，我们通过引入参照设计( c o n s u l t i n g d e s i g n ) ( 即扩大的补设计) 的概念并基于因析设计理论与代数编码理论之间的关系，得 到了将一个正规因析设计的字长型与其参照设计的字长型联系起来的一组组合等式 根据这些等式，我们进一步建立了用参照设计来识别最小低阶混杂混和水平因析设计 的一般而统一的规则从而改善并推广了m u k e r j e ea n dw u ( 2 0 0 1 ) 中的结果 我们知道，通过把试验水平组合分成合适的区组可以有效地消除试验单元之间的 系统变差因而，这促使人们开始深入地研究分区组的部分因析设计分区组的正规 因析设计有两个字长型理想的情况是，我们能够找到关于处理和区组都有m a 的设 计然而，z h a n g a n dp a r k ( 2 0 0 0 ) 证明了不存在这样的二水平设计由此，我们必须 在处理字长型和区组字长型之间进行折衷本文第二章考虑了两种方法第一种方法 是2 2 节中的m a 设计的m a 分区组方案，第二种方法是在2 3 节中根据修正的效应 排序假设以及别名或混杂关系数的合适排序，将两个字长型向量的元素结合成一个混 合字长型同时，我们还研究了两种最优分区组设计之间的关系。并对一些有用的1 6 和3 2 个水平组合的两种最优分区组正规混合水平因析设计列表比较 关于分区组正规部分因析设计的特征，c h e na n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) 得到了分区组二 水平对称因析设计与其剩余设计( r e s i d u a ld e s i g n ) ( 即扩大的补设计) 之间的关系在 本文2 4 和2 5 节中，我们将这种研究推广到分区组的混和水平因析设计与第一章 中的结果类似，我们得到了联系一个分区组的正规混和水平因析设计与其分区组的参 照设计之间关系的组合等式，并进一步建立了通过分区组的参照设计来识别m a 分区 组的混和水平因析设计的一般规则 为了比较和选择一般的非正规因析设计，x ua n dw u ( 2 0 0 1 ) 提出了广义最小低 阶混杂 g e n e r a l i z e dm i n i m u ma b e r r a t i o n ( g m a ) 1 准则该准则是通过一组我们称之 为 特征值的以( d ) 值来定义的在本文3 2 节中，我们找到了一组联系设计点集 v v i 摘要 合与 特征值集合的线性方程这就意味着。一旦选定了规格化正交对照。一个因析 设计可由其，特征值唯一确定由此确立了g m a 准则的投影证明所有这些结论 都推广了t a n g ( 2 0 0 1 ) 中关于二水平因析设计的有关结果 在此之前，d e n ga n dt a n g ( 1 9 9 9 ) 和t a n g a n dd e n g ( 1 9 9 9 ) 在对不同的，正规或 非正规。二水平因析设计排序时提出了广义分辨度( g e n e r a l i z e dr e s o l u t i o n ) 和最小g 2 一 混杂( m i n i m u mg 2 一a b e r r a t i o n ) 准则受他们的启发，我们在3 3 节将相应的定义推 广到争水平因析设计。其中s 是任意的索数或素数幂通过对一个实例o a ( 1 8 ，3 7 ，2 ) 的研究。我们发现对对称因析设计来说，最小g 2 一混杂准则完全可以替代g m a 准 则，而且前者的计算要比后者简单得多 在第三章中我们还考虑了非正规部分因析设计的最优分区组的理论通过研究囡 析设计理论与编码理论之间的关系，我们在3 4 节得到了控制一个分区组的因析设计 的裂分广义字长型 s p l i tg e n e r a l i z e dw o r d l e n g t hp a t t e r n ( g w p ) 】与其分区组的参照设 计的裂分广义字长型之间关系的组合等式进一步。仿照z h a n ga n dp a r k ( 2 0 0 0 ) 中 的推理过程，我们提出了分区组设计的结合广义字长型( c o m b i n e dg w p ) 的概念基 于前面的组合等式，我们建立了由分区组的参照设计表示的分区组因析设计的一般特 征 正如c h e n ，s u n ，a n dw u ( 1 9 9 3 ) 中所说明的，当不存在分辨度v 和更高分辨度 的设计时，最大分辨度和m a 准则并不总能导出最好的设计、v ua n dc h e n ( 1 9 9 2 ) 提出了纯净的( c l e a r ) 主效应和纯净的二因子交互作用的概念按照设计的可估能力 ( e s t i m a b l ec a p a c i t y ) ，我们应该选取包含最多纯净的主效应和最多纯净的二因子交互 作用的设计然而，对一个确定的水平组合数，设计在什么条件下才有纯净的主效应或 纯净的二因子交互作用呢? 对于二水平正规部分因析设计。c h e r ta n dh e d a y a t ( 1 9 9 8 ) 用投影几何工具对此问题进行了统一的研究，并给出了存在纯净的二因子交互作用的 设计的完整分类在本文第四章中，我们将其结果推广到任意素数或素数幂的* 水平 正规因析设计中并得到了一般的结果基于这些结果，我们得出结论。弱m a = 水平 因析设计有最多的纯净主效应数本章还给出了1 6 ，3 2 和2 7 ，8 1 个水平组合的包含最 多纯净主效应或最多纯净二因子交互作用的设计表 m a 准则基于部分因析设计的字长型。因而主要是组合代数形式而无明确的统计 意义随后。s u n ( 1 9 9 3 ) 从模型稳健性的角度引入了另一个不同的准则，即最大估计 能力m a x i m u m e 8 t i m a t i o nc a p a c i t y ( m e c ) i 沿着c h e n g ，s t e i n b e r g ，a n ds u n ( 1 9 9 9 ) 和c h e n ga n dm u k e r j e e ( 1 9 9 8 ) 对不分区组设计的思路，c h e n g a n dm u k e r j e e ( 2 0 0 1 ) 考虑了具有m e c 的分区组的正规对称部分因析设计的构造同题在本文第五章，我 们考虑分区组的正规混和水平因析设计的类似问题通过利用有限投影几何方法，我 们确立了个分区组的混和水平因析设计的估计能力与其补子集之间的关系，并得到 了一些一般的结果 做试验时一般要求试验的水平组合应完全随机化然而，实际操作中实施完全随机 化试验通常是不现实的当改变一些因子的水平很难或代价昂贵时。部分因析裂区设计 f r a c t i o n a lf a c t o r i a ls p l i t - p l o t ( f f s p ) d e s i g n 会是一种更为可行的设计方案m u k e r j e e a n df a n g ( 2 0 0 2 ) 利用投影几何理论确立了用补子集来表示一个正规对称f f s p 设计 的附加字长型 s e c o n d a r yw o r d l e n g t hp a t t e r n ( s w p ) 在本文第六章，我们得到了联 v i i 系一个正规对称威混和水平1f f s p 设计的附加字长型与其参照设计的附加字长型之 间关系的一组组合等式基于这些等式，我们进一步建立了通过参照设计来识别最小 附加混杂f m i n i m u ms e c o n d a r ya b e r r a t i o n ( m s a ) 1 对称 或混和水平】f f s p 设计的一 般而统一的规则对对称设计来说，我们的规则与m u k e r j e ea n df a n g ( 2 0 0 2 ) 仅考虑 长度为2 ，3 和4 的附加字长型时的规则是等价的，然而我们的表达式既简单又一般， 从而是他们结果的改善和推广对混和水平f f s p 设计来说，我们的结果是全新的 在本文6 5 节，我们考虑了分区组的正规f f s p 设计，并在三因子或更高阶交互作用 可忽略的假设下得到了一个分区组的f f s p 设计的由其分区组的参照设计表示的一般 特征 在本文第七章，我们考虑了一般的多层f f s p 设计的问题基于m u k e r j e ea n d f a n g ( 2 0 0 2 ) ，我们提出了正规多层f f s p 设计的附加字长型以及m s a 准则，并建立 了通过参照设计来识别m s a 正规多层f f s p 设计的一般规则另外，我们还研究了 具有最大估计能力( m e c ) 的多层f f s p 设计的问题，并提出了一个新的最大附加估 计能力【m a x i m u ms e c o n d a r ye s t i m a t i o nc a p a c i t y ( m s e c ) 】准则来比较非同构的m e c 多层f f s p 设计，而且建立了与参照设计的联系同时，我们解释了。在某种意义上 m s a 也可以很好地替代m s e c 准则最后，我们给出了m s e c 准则与m u k e r j e ea n d f a n g ( 2 0 0 2 ) 的m s p e c 准则的简单比较 第八章对本文的主要结果和关键技术方法进行了总结，并提出了几个值得进一步 研究的问题 关键词：分区组；纯净；编码理论；补子集；参照设计；部分因析设计；部分因析裂 区设计；广义最小低阶混杂；最大估计能力；最小低阶混杂；最小附加混杂；混和水 平；多层；非正规；投影几何；投影性质；正规；分辨度 学科分类号：0 2 1 2 5 a b s t r a c t b e c a u s es “f u uf a c t o r i a ld e s i g n sr e q u i r et h a t 驴r u n sb ep e r f o r m e d f u uf a c t o r i a l d e s i g n sa r er a r e l yu s e di np r a c t i c ef o rl a r g en f r a c t i o n a lf a c t o r i a l ( f f ) d e s i g n s ，t h e o t h e rc h o i c es u b s t i t u t i n gf o rt h ef u l lf a c t o r i a ld e s i g n s w h i c hc o n s i s to fas u b s e to rf r a c t i o no ff u l lf a c t o r i a ld e s i g n s ，a r ea r g u a b l yt h em o s t w i d e l yu s e dd e s i g n si ne x p e r i m e n t a l i n v e s t i g a t i o n sd u et ot h e i re f f i c i e n tu s eo fe x p e r i m e n t a lr u n st om a n yf a c t o r ss i m u l t a n e o u s l y f fd e s i g n sc a nb r o a d l yb ec l a s s i f i e di n t ot w ot y p e s ：r e g u l a ra n dn o n r e g n l a r s i n c em i n i m u ma b e r r a t i o n ( m a ) c r i t e r i o nh a sw i d e l yb e e nu s e df o rs e l e c t i n go p - t i m a lf r a c t i o no f r e g u l a rf a c t o r i a ld e s i g n s ，t h ec h a r a c t e r i z a t i o no fd e s i g n sw i t hm a i sa m e a n i n g f u li s s u ei nd e s i g nt h e o r y f o rr e g u l a rs y m m e t r i c a lf a c t o r i a ld e s i g n s ，t a n ga n d w u ( 1 9 9 6 ) a n ds u e n ，c h e n ，a n dw u ( 1 9 9 7 ) o b t a i n e dt h eg e n e r a lr e s u l t st h a tr e l a t e t h ew o r d i e r l g t hp a t t e r no far e g u l a rf fd e s i g nt ot h a to fi t sc o m p l e m e n t a r y d e s i g n ， w h i c ha r e 酉v e ni ns e c t i o n1 2f o rr e g u l a rm i x e d - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n s ，m u k e r j e ea n d w u ( 2 0 0 1 ) e m p l o y e dp r o j e c t i v eg e o m e t r yt h e o r yt of i n dt h ew o r d l e n g t hp a t t e r no fa r e g u l a rm i x e d l e v e lf a c t o r i a ld e s i g ni nt e r m so fi t sc o m p l e m e n t a r ys e t ，b u to n l yf o rt h e n u m b e r so fw o r d sw i t hw o r d l e n l g t h3o r4 i ns e c t i o n s1 3a n d1 4 ，b yi n t r o d u c i n ga c o n c e p to fc o n s u l t i n gd e s i g na n db a s e do nt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nf a c t o r i a ld e s i g nt h e - o r ya n dc o d i n gt h e o r y , w eo b t a i nc o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e st h a tr e l a t et h ew o r d i e r i g t h p a t t e r no far e g u l a rm i x e d l e v e lf a c t o r i a ld e s i g nt ot h a to fi t sc o n s u l t i n gd e s i g n a c c o r d i n gt ot h e s ei d e n t i t i e s ，w ef u r t h e r m o r ee s t a b l i s ht h eg e n e r a ia n du n i f i e dr u l e sf o r i d e n t i f y i n gm a m i x e d l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n st h r o u g ht h e i rc o n s u l t i n gd e s i g n s i ti sa n i m p r o v e m e n ta n dg e n e r a l i z a t i o no ft h er e s u l t si nm u k e r j e ea n dw u f 2 0 0 1 ) a sw ek n o wt h a ts y s t e m a t i cs o u r c e so fv a r i a t i o n si ne x p e r i m e n t a lu n i t sc a nb e e f f e c t i v e l ye l i m i n a t e db yp r o p e r l yg r o u p i n gt h er u n si n t ob l o c k s t h i sm o t i v a t e sp e o - p i et od e e p l ys t u d yt h eb l o c k e df r a c t i o n a lf a c t o r i a ld e s i g n s i ti sk n o w nt h a tt h e r e a r et w ow o r d l e n g t hp a t t e r n sf o rb l o c k e dr e g u l a rf a c t o r i a ld e s i g n s i d e a l l y , o n es h o u l d s e a r c hf o rad e s i g nt h a th a sm aw i t hr e s p e c tt ob o t ht r e a t m e n t sa n db l o c k s h o w - e v e r ，z h a n ga n dp a r k ( 2 0 0 0 ) s h o w e dt h a tt h e r ea r en os u c hm ad e s i g n sf o r2 - l e v e l c a s e t h e r e f o r e ，i ti sn e e d e dt oc o m p r o m i s eb e t w e e nt h eb l o c kw o r d l e n g t hp a t t e r na n d t r e a t m e n tw o r d l e n l g t hp a t t e r n t w om e t h o d sa r ec o n s i d e r e di n c h a p t e r2 t h ef i r s t i sm a b l o c k i n gs c l l e m eo fm ad e s i g n si ns e c t i o n2 2 t h eo t h e ri st oc o m b i n et h e c o m p o n e n t so ft h et w ow o r d l e n g t hp a t t e r nv e c t o r si n t oo n em i x e dw o r d l e n g t hp a t t e r n a c c o r d i n gt ot h em o d i f i e dh i e r a r c h i c a la s s u m p t i o n sa n da na p p r o p r i a t eo r d e r i n go ft h e n u m b e r so fa l i a so rc o n f o u n d i n gr e l a t i o n si ns e c t i o n2 3 t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e t w ot y p e so f o p t i m a lb l o c k e dd e s i g n si sa l s oi n v e s t i g a t e d s o m eu s e f u lo p t i m a lb l o c k e d i i i a b s t r a c t r e g u l a rm i x e d - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n so f t w o t y p e sw i t h1 6o r3 2r u n sa r et a b u l a t e da n d c o m p a r e d f o rt h ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h eb l o c k e dr e g u l a rf fd e s i g n s ，c h e r ta n dc h e n g ( 1 9 9 9 ) g o t t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nab l o c k e dt w o - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g na n di t sr e s i d u a ld e s i g n i ns e c t i o n s2 4a n d2 5 ，w ee x t e n dt h es t u d yt ot h ec a s eo fb l o c k e dm i x e d - l e v e lf a c t o r i a l d e s i g n s a si nc h a p t e r1 ，w eo b t a i nc o m b i n a t o r i a l i d e n t i t i e st h a tr e l a t et h ep a r t i t i o n e d w o r d l e n g t hp a t t e r n so fab l o c k e dr e g u l a rm i x e d - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g nt ot h a to fi t s b l o c k e dc o n s u l t i n gd e s i g n ，a n df u r t h e r m o r ee s t a b l i s hs o m eg e n e r a lr u l e sf o ri d e n t i l y i n g m ab l o c k e dm i x e d - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n st h r o u g ht h e i rb l o c k e dc o n s u l t i n gd e s i g n s f o rc o m p a r i n ga n ds e l e c t i n gg e n e r a ln o n r e g u l a rf fd e s i g n s ，x ua n dw u ( 2 0 0 1 ) s u g g e s t e dg e n e r a l i z e dm i n i m u ma b e r r a t i o n ( g m a ) c r i t e r i o n t h i sc r i t e r i o ni sd e f i n e d b yu s i n gas e to f 凡( d ) v a l u e s ，c a l l e dj - c h a r a c t e r i s t i c sb yu s i ns e c t i o n3 2 ，w ef i n da s e to fl i n e a re q u a t i o n st h a tr e l a t et h es e to fd e s i g np o i n t st ot h a to fj - c h a r a c t e r i s t i c s ， w h i c hi m p l i e st h a taf a c t o r i a ld e s i g ni su n i q u e l yd e t e r m i n e db yi t sj - c h a r a c t e r i s t i c s o n c et h eo r t h o n o r m a lc o n t r a s t sa r ed e s i g n a t e d t h e r e t o ，ap r o j e c t i o nj u s t i f i c a t i o nf o r g m ai se s t a b l i s h e d a l lo ft h e s ec o n c l u s i o n sg e n e r a l i z et h er e s u l t sf o rs y m m e t r i c a l t w o - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n si nt a n g ( 2 0 0 1 ) p r e v i o u s l y , d e n ga n dt a n g ( 1 9 9 9 ) a n dt a n g a n dd e n g ( 1 9 9 9 ) p r o p o s e dt h e g e n e r - a l i z e dr e s o l u t i o na n dm i n i m u m g 2 - a b e r r a t i o nc r i t e r i o nf o rr a n k i n gt h ed i f f e r e n tr e g u l a r o rn o n r e g u l a r ，t w o - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n s i nt h e i rs p i r i t ，w eg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gd e f i n i t i o n sf o rs - l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n s ，w h e r e8i sa n yp r i m eo rp r i m ep o w e r ，i n s e c t i o n3 3 b ys t u d y i n ga ne x a m p l e0 a ( 1 8 ，3 7 ，2 ) ，i tc a nb ef o u n dt h a tf o rs y m m e t r i c a lf a c t o r i a ld e s i g n s ，m i n i m u mg 2 一a b e r r a t i o ni sa g o o ds u r r o g a t ef o rt h ec r i t e r i o no f g m a ，b u tt h ec a l c u l a t i o nf o rt h ef o r m e ri sm u c hs i m p l e rt h a nf o rt h el a t t e r i nc h a p t e r3 ，w ea l s oc o n s i d e rt h et h e o r yo fo p t i m a lb l o c k i n go fn o n r e g u l a rf f d e s i g n s b ye x p l o r i n gt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nf a c t o r i a ld e s i g nt h e o r ya n dc o d i n gt h e - o r y , w e o b t a i nc o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e st h a tg o v e r nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es p l i t g e n e r a l i z e dw o r d l e n g t hp a t t e r n ( i nb r i e f , g w p ) o f ab l o c k e df a c t o r i a ld e s i g na n dt h a t o fi t sb l o c k e dc o n s u l t i n gd e s i g ni ns e c t i o n3 4 t h e yw o r kf o rr e g u l a ra n dn o n r e g u l a r d e s i g n s f u r t h e r m o r e ，f o l l o w i n gt h ed e d u c t i o no fz h a n ga n dp a r k ( 2 0 0 0 ) ，w es u g g e s t t h ec o n c e p to fc o m b i n e dg w pf o rab l o c k e dd e s i g n b a s e do nt h ep r e v i o u si d e n t i t i e s w ee s t a b l i s hg e n e r a lc h a r a c t e r i z a t i o no ft h eb l o c k e df a c t o r i a ld e s i g n si nt e r m so ft h e i r b l o c k e dc o n s u l t i n gd e s i g n s a sa r g u e da n dd e m o u s t r a t e di c h e n ，s u n ，a n dw u ( 1 9 9 3 ) ，w h e nt h e r ei sn o d e s i g nw i t hr e s o l u t i o nv o rh i g h e r ，m a x i m u mr e s o l u t i o na n dm ad on o ta l w a y sl e a d t ob e s td e s i g n s w ua n dc h e n ( 1 9 9 2 ) p r o p o s e dt h ec o n c e p to fc l e a rm a i ne f f e c t sa n d c l e a rt w o - f a c t o ri n t e r a c t i o n s ( 2 f i s ) a c c o r d i n gt ot h ee s t i m a b l ec a p a c i t y , t h ed e s i g n s c o n t a i n i n gm o s tc l e a rm a i ne f f e c t sa n dm o s tc l e a r2 f i sa r ep r e f e r r e d f o raf i x e dn u m b e ro fr u n s ，w h e nc a nd e s i g n sh a v ec l e a rm a i ne f f e c t so r2 丘s ? f o r t w o - l e v e lr e g u l a rf f d e s i g n s ，c h e na n dh e d a y a t ( 1 9 9 8 ) p r o v i d e dau n i f i e dg e o m e t r i c a l i i i s t u d yo ft h i sp r o b l e ma n dg a v eac o m p l e t e c l a s s i f i c a t i o no ft h ee x i s t e n c eo fc l e a r2 f i s i nc h a p t e r4 ，w eg e n e r a l i z et h e i rr e s u l t sf o rs - l e v e lr e g u l a rf fd e s i g n s ，w h e r esi sa n y ap r i m eo rp r i m ep o w e r ，a n dg e tag e n e r a lc o n c l u s i o n b a s e do nt h ea b o v er e s u l t s ， w ef u r t h e rc o n c l u d et h a tt h ew e a km a d e s i g n sh a v em a x i m u mn u m b e ro fc l e a rm a i n e f f e c t sf o rt w o - l e v e ld e s i g n s ac o l l e c t i o no fd e s i g n sc o n t a i n i n gm o s tc l e a rm a i ne f f e c t s o rm o s tc l e a r2 f i sf o r1 6 ，3 2a n d2 7 ，8 1r u n si sg i v e n m ai sac r i t e r i o nb a s e do nt h ew o r d l e n g t hp a t t e r no fa nf f d e s i g na n dh e n c ei s p r i m a r i l yc o m b i n a t o r i a la n dh a sn oo b v i o u ss t a t i s i t c a im e a n i n g ，s u b s e q u e n t l y ，f r o m t h ev i e w p o i n to fm o d e lr o b u s t n e s s ，s u n ( 1 9 9 3 ) i n t r o d u c e dad i f f e r e n t c r i t e r i o n ，t h a t i sm a x i m u me s t i m a t i o nc a p a c i t y ( m e c ) f o l l o w i n gt h ei d e a so fc h e n g ，s t e i n b e r g ， a n ds u n ( 1 9 9 9 ) a n dc h e n ga n dm u k e u e e ( 1 9 9 8 ) f o rt h eu n b l o c k e dc a s e ，c h e n ga n d m u k e r j e e ( 2 0 0 1 ) c o n s i d e r e dt h ei s s u eo fc o n s t r u c t i n gb l o c k e dr e g u l a rs y m m e t r i c a lf f d e s i g n sw i t hm e c a n dg o ts o m e g e n e r a lr e s u l t s i nc h a p t e r5 ，w es t u d yt h ea n a l o g o u s i s s u ef o rt h eb l o c k e dr e g u l a rm i x e d l e v e lf a c t o r i a ld e s i g n s b y u s i n g t h ef i n i t ep r o j e c t i v e g e o m e t r i ca p p r o a c h ，w ei d e n t i f yt h ec o n n e c t i o nb e t w e e nt h ee s t i m a t i o nc a p a c i t yo fa b l o c k e dm i x e d l e v e lf a c t o r i a ld e s i g na n di t sc o m p l e m e n t a r ys u b s e ta n dg e ts o m em o r e g e n e r a lr e s u l t s w h e na ne x p e r i m e n ti sp e r f o r m e d ，i ti sr e q u i r e dt h a tt h ee x p e r i m e n t a lr u n sa r e c o a l 【p l e t e l yr a n d o m i z e d f r e q u e n t l yi t i si m p r a c t i c a lt op e r f o r mt h ee x p e r i m e n t a lr u n s i nac o m p l e t e l yr a n d o mo r d e r w h e nt h el e v e l so fs o m eo ft h ef a c t o r sa r ev e r yd i m c u l t o re x p e n s i v et oc h a n g e ，af r a c t i o n a lf a c t o r i a ls p l i t - p l o t ( f f s p ) d e s i g nm a y r e p r e s e n t ap r a c t i c a ld e s i g no p t i o n m u k e r j e ea n df a n g ( 2 0 0 2 ) e m p l o y e dp r o j e c t i v eg e o m e t r y t h e o r yt of i n dt h es e c o n d a r yw o r d l e n g t hp a t t e r no far e g u l a rs y m m e t r i c a lf f s p d e s i g n i nt e r m so fi t sc o m p l e m e n t a r ys u b s e t i nc h a p t e r 6 ，w eo b t a i nc o m b i n a t o r i a li d e n t i t i e s t h a tr e l a t et h es e c o n d a r yw o r d l e n g t hp a t t e r no far e g u l a r ，s y m m e t r i c a lo rm i x e d l e v e l ， f f s pd e s i g nt ot h a to fi t sc o n s u l t i n gd e s i g n a c c o r d i n gt ot h e s ei d e n t i t i e s ，w ef u r - t h e r m o r ee s t a b l i s ht h eg e n e r a la n du n i f i e dr u l e sf o ri d e n t i f y i n gm i n i m u m s e c o n d a r y a b e r r a t i o n ( m s a ) ，s y m m e t r i c a l o rm i x e d l e v e l ，f f s pd e s i g n st h r o u g ht h e i rc o n s u l t i n g d e s i g n s f o rt h es y m m e t r i c a lc a s e ，o u rr u l ei se q u i v a l e n tt ot h o s ei nm u k e r j e ea n df a n g ( 2 0 0 2 ) w h e nt h es e c o n d a r yw o r d l e n g t hp a t t e r no n l