（概率论与数理统计专业论文）分布函数的优良估计问题.pdf

硕士学位论文 m a s t e rst h e s i s 摘要 给定来自一未知分布函数f 的容量为n 的子样，本文考虑了分布函数f 的优良估计问题在对称损失函数 ， l s ( 只回= 7f p ( t ) 一d ) 7 f o ( ) ( 1 一f 0 ) ) o d f ( t ) ，o ，犀一l j 下，现有的文献仅在r = 2 的情况，给出了连续分布函数f 的最优不变估计， 本文在r = l 的情形下得到了f 的最优不变估计从而将结论推广到更一般的 情形，并且证明了最优不变估计作为离散分布函数的估计时的容许性 由于实际问题的需要，非对称损失在统计判决问题中一直以来都受到人们 密切的关注但，目前在菲参数问题的讨论中使用非对称损失函数的文献却较 少为此，在这里我们引入并改造参数估计中常用的非对称的线性指数损失函 数 ， l 。，( f ( t ) ，d ( t ) ) = b ( e x p a ( d ( t ) 一f ( t ) ) ，一a ( d ( t ) 一f ( t ) ) 一1 ) d f ( t ) j 并在此非对称损失下考虑了连续分布函数f 的不变估计问题，在单调变换群 下，我们得到了f 的最优不变估计，并证明了它是m i n i m a x 的从而丰富丁非 参数问题中的损失函数，为这一领域的实际工作者提供了更多可供选择的方法 及其理论依据 关键词：非参数估计；最优不变估计；m i n i m a x 估计；容许估计 a b s t r a c t g i v e nar a n d o ms a m p l e 。l ，。2 ，一，2 7 no fs i z enf r o ma l lu n k n o w n d i s t r i b u t i o n f l m c t i o nf ，t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ep r o b l e mo fo p t i m a le s t i m a t o ro f t h ec d u n d e r t h e1 0 s sf u n c t i o n l s ( f ，d ) = i f ( t ) 一d ( ) 】f 。( ) ( 1 一f ( t ) ) 4 d f ( t ) ，o ，卢一l ， j s o m el i t e r a t u r eh a v eg i v e nt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o r o ffw h e nr = 2 i n t h i sp a p e r ， w eo b t a i nt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ro ff w h e nr = 1 ，a n dt h e nw eo b t a i n e dt h a t g i v e nf i sd i s c r e t ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o nt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ri sa d m i s s i b l e f u r t h e r m o r ew ec o n s i d e rt h ea s y m m e t r i cl o s s ( l i n e x ) i np a r a m e t r i cp r o b l e m ， w h i c ha sa ni m p o r t a n tl o s sf u n c t i o ni nn o n p a r a m e t r i cp r o b l e mw a sc a r e db ym a n y a u t h o r t h el o s sc a nb ee x p r e s s e da s r l 。( f ( t ) ，d 0 ) ) = b ( e x p a ( d ( t ) 一，( f ) ) ) 一a ( d ( t ) 一f ( ) ) 一1 ) d f ( t ) j u n d e rt h i sl o s s ，w ec o n s i d e r st h ep r o b l e m o fo p t i m a le s t i m a t o ro fc o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf w eg e tt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ra n dt h e np r o v e di t sam i n i m a x e s t i m a t o r t o o k e y w o r d s ：n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n ；t h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o r ；m i n i m a x e s t i m a t o r ；a d m i s s i b l ee s t i m a t o r i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究 工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和 集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名糊 日期：行- 年 。月矽日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有 关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 导师签名：。和厕 日期：加j 年j 月日 本人已经认真阅读“c a m s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本 人的学位论文提交“c a m s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章 程”中的规定享受相关权益。囤重迨塞理童蜃溢蜃! 旦堂生；旦：生；旦三生 蕴鱼! 晦苦签毛碱 日期：w 日年r 月形日 导师签名 日期：沙 缈咖 、o步 第一章引言 在未知分布函数f 的估计问题中，通常考虑两种参数空间 布函数空间 0 。= f f ：f 为连续分布函数) ， 另一种为离散分布函数空间 0 d = 伊：f 为离散分布函数) ， 一种为连续分 ( 1 2 ) 那么分布函数空间为 e o = 9 d u e c ( 1 3 ) 为了追求理论上的完美，现有文献常将 a = d ( # ) ：d ( ) 是由实数域职到区闻f o ，1 】上的非降函数) ( 1 4 ) 作为行动空间a 除了包含所有的分布函数外，还包含有缺陷分布缺陷分 布是指且中有这样的成员o ，它在一些点上既不左连续，也不右连续，或 1 i ms 。u p 。( 。) o 在寻找分布函数的优良估计时，现有文献通常使用如下三种损失 上i ( 只d ) = 九f ( ) 一d ( t ) l ( f ( # ) ) d ( ) ， ( 1 5 ) l 2 ( 只嘶= p o ) 一d ( t ) 1 7 ( f ( ) ) 馥p ( ) ( 1 6 ) 和 l 3 ( r d ) = s u p l f ( t ) 一d ( t ) l ， ( 1 7 ) t 其中r 为一正整数，w 为一已知的有界测度， ( t ) = 尸( 1 - t ) 4 ，d 一1 ，卢一1 针对不同的损失函数和参数空间，已有文献给出了分布函数f 的一些优良 估计 硕士学位论文 m a s t e r 。st h e s i s 在损失( 1 5 ) 中r = 2 的情况下，p h a d i a ( 1 9 7 3 ) 在1 9 ：，卢取特殊值时，得到 了分布函数，的m i n i m a x 估计，特别是当o = 卢= 一1 时，m i n i m a x 估计 s ( t ) = i 1 l ( x i t ) 为经验分布函数 损失( 1 6 ) 在单调变换群下具有不变性，因此最受人们的关注，对于它的研 究也最为常见a g g a r w m ( 1 9 5 5 ) 首先在参数空间e 。下讨论了连续分布函数f 的不变估计及其m i n i m a x 性问题给定来自一未知分布函数f 的样本z h 一，。 和不变损失( 1 ，6 ) ，由a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 知，判决问题在单调变换群 9 2 锄：g p ( z l ，z 2 ，。n ) 2 ( 妒( 。i ) ，妒( z 2 卜，妒( 。n ) ) ， 九8 妒是从实数域皿到豫的严格单调递增函数1 、7 下是不变的，且所有非随机化不变估计具有如下形式： n 吼x ) = u i l ( x ( i ) t x ( i + l ) ) ， ( 1 9 ) i = 0 其中x 0 ) 。( 2 ) 0 损失适用于过高估计带来的后果比估计过低带来的后果要严 重的情形，反之a 0 ，则损失适用于估计过低带来的后果比估计过高带来的后 果要严重的情形虽然线性指数损失函数受到了较多的关注，但都是在参数问 题中 本文将非对称损失函数推广到非参数问题中，即对分布函数f 的估计中 为了在非参数问题中使用线性指数损失函数，我们首先需要对其进行变换首 先将损失( i 。1 2 ) 中的0 和6 分别以分布函数f ( t ) 和估计d ( t ) 代替，则得到如下 形式的损失 l 7 ( f ( t ) ，d ( t ) ) = b ( e x p a ( d ( t ) 一f ( t ) ) ) 一a ( d ( t ) 一f ( t ) ) 一1 ) ， ( 1 1 3 ) 由于( 1 1 3 ) 与变量t 有关，为了去除t 的影响，对关于有限测度函数w ( t ) 求期望，即得到了非参数问题中的线性指数损失函数 他d ) 6 ( e x p n ( ) 印( 啪) ( ) 廿) 一1 ) d w ( 现 ( 1 1 4 ) 由于本文考虑的是不变估计问题，所以还需要将损失( 1 1 4 ) 转化为不变损失， 参照二次损失的做法，令损失( 1 1 4 ) 中的有限测度( z ) = f ( t ) ，即得到了不变 损失 l n s ( f ( t ) ，d ( t ) ) = 6 ( e x p 。( d ( ) f ( ) ) 一。( d ( t ) 一f ( ) ) 一1 ) d f ( t ) ( 1 1 5 ) 本文将在此损失下考虑连续分布函数f 的优良估计问题，首先，我们在单调变 换群g 下得到了f 的所有非随机化不变估计及其风险的一般表达式，再通过函 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 数极值方法得到最优不变估计接着我们证明了最优不变估计是m i n i m a x 的 这一部分内容构成了论文的第三章 相关记号：通篇文章我们都以x o ) 。( 2 ) 。( 。) 记样本z l ，。的次 序统计量；1 ( e ) 表示集合e 的示性函数；为方便叙述记d = a ( t ) ；d ( x ，t ) = d ( 。( 1 ) ，。( 2 ) ，。( 。) ，t ) 对任意的m = 1 ，2 ，p ”定义为px p ，即m 个p 的乘机空间 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章损失l 下的优良估计 在损失反( 如( 1 1 1 ) 式定义) 下，对于一般的口一1 和p 一1 ，a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 只给出了所有的不变估计本章的目的就是瑟在所有不变估计类中找 出最优不变估计，a g g o x w a ( 1 9 5 5 ) 寻找最优不变估计的方法仅适应q = p = o 和n = p = 一1 的情况，为处理一般a2 一l 和卢一1 的情况，我们采用了新 的方法，得到了一般的n2 1 和卢2 l 情况下的最优不变估计，从而完整地 解决了a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 留下的问题然后，我们在参数空间e d 下，考虑上述最 优不变估计的容许性 2 1 最优不变估计 对于任意的f 0 。，d a 和损失函数l ，由a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 知带着样本观 察值钆观，z 。的统计判决问题( 0 。，几) ( 这里损失函数l 为任意的不变 损失函数) 在单调变换群g ( 见( 1 8 ) 式) 下是不变的，且有如下的引理2 1 1 引理2 1 1 连续分布函数f 在单调变换群9 下的所有不变估计具有 m x ) = u ；1 ( 。( ) st 。( 州) ) ( 2 1 ) 哿0 的形式，其中。( o ) 和z ( n + 1 ) 分别定义为一o 。和十o 。，x = ( 。( o ) ，。( 1 ) ，。( n + 【) ) ， “ 为常数 注：由于次序统计量为充分完全统计量，因此我们只需要考虑关于次序 统计量x 的判决函数 进步，我们可以得到关于不变估计风险的定理2 ，l ，l 定理2 1 1在损失l 。下，对于任意分布函数f 0 。，具有俾叫式形式的不 变估计d 的风险函数 船d ) 娄( 州m 1 h r 砒 ( 2 。) 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明注意到 咒( 只d ) = e 陋( f d ) 】 ，+ = e i ，( ) 一d ( t ，x ) l h i f ( t ) d f ( ) j 0 0 r + 。 = e i f ( t ) 一d ( ，x ) l h f ( t ) d f ( t ) ，( 2 3 ) 当d ( ，x ) 是f 的形如( 2 1 ) 式的不变估计时，此日寸若t 晒；) ，。( ；+ 1 ) ) ，则d ( t ，x ) = ”而事件。( 。) t z ( 洲) 表示来自分布f 的n 个样本中有i 个观察落在区间 ( 一。，t 中，另外n i 个观察落在区间( t ，+ 。1 中，由此可以将此事件视为二项 分布b ( n ，f ( t ) ) 】因此， e l f ( t ) 一d ( t ，x ) l = i f ( t ) 一“i i p ( z ( 。) t o ，又由( 27 ) 式可知 型o u i j u i = o = - - ( n i 1 1 ，叫州坳j i i 上。【l “，“毗刮 和 掣k 一( 0 1 ，卅。柙疵 。， j i = h f l 2i i j n 。1 1 一。j ”4 。 u 所以方程! 磐= 0 在0 到1 之间有且只有一个实根解方程 翌掣：0 ， 口u 。 得到零点毗满足 f o u lt i + a ( h ) n - i + b d t = ；z t t i + a ( ，叫嘞。 即 b ( 口+ i + 1 ，n i + l + 卢) 这表明啦是b e t a 分布 _ “+ 。( 1 0 g ( z ) = j i i ；i ；i j ：1 j j i 二厕z i + a ( 1 。) “ + 口，o z l 的中位数 值得注意的是当a = 一1 时，若u 0 0 则( 2 6 ) 式右边第一项的积分是发散 的，因此为了极小化风险r ，此时必有u o = 0 同理当p = 一l 时，必有u 。= 1 定理得证口 2 2 容许估计 上一节中我们在连续分布函数空间e 。下讨论了判决问题( 0 。，上。) 的不 变估计问题，并得到了分布函数f 的最优不变估计毋( t ，x ) ( 见( 2 5 ) 式) 本节我 们将考虑，若将估计咖( t ，x ) 作为离散分布函数的估计，是否具有容许陛? 下面 的定理2 2 1 回答了这个问题 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s z $ 首先介绍一个引理 引理2 2 1 ( 陈希孺( t 9 s 1 ) ，引理2 3 2 ) 设f 为一维变量x 的分布函数，贝l e f ( i x mj ) = 璧i x r n l d f 对m 的最小值在f 的中位数处达到 定理2 2 1 在损失工。中a 一l 和卢 一1 的情况下，若将由引理2 j 得到 的连续分布函数的最优不变估计庐( t ，) 作为离散分布函数尸的估计，则它为 容许估计 证明上述定理需要做一些准备工作 对充分小的e 0 ，考虑锄的子分布类 ，k = f ( t ) ：f o ) = p i l t 6 】，p e m ，p i = 1 ) ， ( 2 9 ) t = 】t = 1 以及五。上的先验分布 d 丁e ( - p ) = 1 p 只1 玎1 p 二l l 却l d p 。一h ( 2 1 0 ) 其中自 一l 的损失工。下，f 的任意估计d 关 于先验分布丁c 的b a y e s 风险为 r r ( 只d ) = 冗( 只d ) d t c ( p ) j = l 。( f ，d ( x ) ) p ? 1 册d ( p ) o x s “ 一m tlt = p “p j d ( x ，驯( 巧) “( 卜p j ) 4 p 7 1 船帆( p ) 1 0 圯 如 。硝 一 n 功 ；脚 一 瞪 m 蹦 靠 xd一 协 ；触 纯 正 m 一 = 其中r ( f ) d ) 为d 的风险函数，s = 乳一。) ，是集合 i ：嗣= “ 所含元 素的数目，d p = d p l 却。- l 为了简化( 2t 1 ) 式中的积分记号，我们记 r imi i z ( d ( x ，矗) ，e ) = n 肌i p j d ( x ，& ) 1 p _ ( p j ) 。( 1 一班) 4 p m d 只( 2 1 2 ) o ，= l七= 1j = lj = l 且( 2 ，1 2 ) 式中的积分可变换为( 证明见附录) ，绯)：ci(d(xc 广譬仇一d ( x 删n ( 1 一q i ) 一椰由i ，汹)，) ，e ) = i 仇一，6 ) l 西+ o ( 1 一+ ”由， ( 2 1 3 ) ( 2 m ) 其中 g ：i 厂镫- 一- c t 一。，”* + - 一a 。 x 雾武j 1 - i ( 1 - q i _ 1 ) n 虹、 。1 j f ，毒糕诂- l ( ，咄) n - k = i + l 。t = t 再t 万币 是与f 的估计d 无关的量，这里我们规定“= l 珊，当k 1 时，c 中相 应的积分为1 现在回到定理的证明若满足定理条件的曲是不容许的，则必存在一估计 d ，使得 r ( 只咖) 2r ( 只d )( 2 1 4 ) 对一切f e d 成立，且至少存在一个f o e d 使严格不等号成立，因此，有 r ( f 】妒) r ( 只d )( 2 1 5 ) 现从昂的支撑集中选出一组实数f 1 使得集合v = t ( x ，t ) s n + 1 ：d ( x ，t ) 妒( x ，t ) ) 非空，由b a y e s 风险公式( 2 1 1 ) 和( 2 , 1 2 ) 及不等式( 2 1 5 ) ， 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 易得 m r ( f ，西) r ( f ，d ) = i ( g ( x ，黝，e ) ( 2 1 6 ) x s “i = l 若( x ，釉v 。，则d ( x ，t ) = ( x ，t ) ，此时显然有“曲( x ，鳓，f ) = z ( d ( x ，纠，e ) ，因 此由( 2 1 6 ) 有 且( x ，矗) ，e ) l ( d ( x ，t ) ( 2 1 7 ) ( x 矗) v( x ，6 ) v 另一方面，由( 2 1 3 ) 有 “( x ，6 ) ，e ) 荔万h 一咖( x ，6 ) i q ? 汁。( 1 一吼) “一。1 + 8 d q i 丑。( x 烈) 以搿jg 一d ( x ，姗p ( 1 一口 ) n - a i + # d q f ，时i 吼一曲( 肖，已) 好+ o ( 1 一口 ) “一“+ 8 d q i 上1 一i q i d ( x ，靠) l q 7 i + a ( 1 一q i ) ”一“+ 4 如 注意到，l ( t ) 是仅在点列乳2 ， 。上跳跃的离散分布于是若。( 。) = 矗 x ( k 。+ 1 ) ，此时有以= k o 和 t z k o 由定理条件知估计妒( x ，6 ) 中的常数u k 。为分布 g ) 2 百百 ；1 _ = f i i 去_ = _ 磊而z k o + a ( 1 一z ) ”一幻+ 4 ，o z 1 的中位数，因此，由引理2 2 ，1 知积分0i q ；一g 阱。”( 1 一引n - k o + 卢幽在y = ( x ，纠= u 。时达到最小值，结合( 2 1 8 ) 知对任意的( x ，) v ，我们有 洲t i m 黜 ( 2 1 9 ) x 脚 m 娜 堕如 螂万 口一f 一一一 n n 吼一吼 二一11 1 一叮 + 一+ 妒一妒 矗一& x x 似一烈 二一 吼一吼 如一时 + z 0 和卢 0 的情况下，若将由引理2 ，1 j 得到的连 续分布函数的最优不变估计曲( ，x ) 作为任意分布函数f 的估计，则它为容许 估计 1 3 1 1 0 一) “ 型川 、 _j 刚一刚 一毖 小一小 x ，i 矗一引 烈一“ 一 以一以 塑如 幽涨功历 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三章损失三。下的优良估计 第二章我们在对称损失己，下讨论了分布函数f 的不变估计和容许估计 问题，本章我们将在对称损失。下讨论判决问题( 0 。，a ，l 。) 的不变估计和 m i n i m a x 估计问题其中不变估计的讨论中的变换群仍为( 1 8 ) 式所定义的g ； m i n i m a x 估计的讨论仍然在连续分布函数空间e 。中进行， 3 1 最优不变估计 假设z - ，z 2 ，。为来自一未知连续分布函数f 的样本注意到，虽然本 节是在损失l 。下讨论问题，但由a g g a x w a ( 1 9 5 5 ) 或f e r g u s o n ( 1 9 6 7 ) 可知2 1 节 中的引理2 1 1 此处仍然成立因此，不变估计具有( 2 1 ) 式的形式为了方便 叙述，我们记“为所有满足( 2 1 ) 式的f 的估计的集合因此，要寻找f 的最 优不变估计，即是在估计集吖中找到风险最小的估计 定理3 1 1 在损失l 。下，对于任意估计d “，则d 的风险 n r ( f ，d ) = 6 昆( f ，d ) ， ( 3 1 ) i = 0 其中r d f , d ) = 矗( ? ) ( e x p 口( 地一t ) 一a ( u i t ) 一1 ) t ( 1 一t ) - - d t 证明由于我们考虑的是集合甜中的估计，因此首先可以将损失函数上。 进行简化 l 。( f d ) = bf ( e x p a ( d ( t ) 一f 0 ) ) ) 一o ( ( f 0 ) 一f ( t ) ) 一1 ) d f ( t ) ：6 妻厂q ”“( 。；p 0 ( m ) 一即) ) ) - n ( 邮) 一邢) ) - 1 ) 冽t ) = s 耋蔗。唧州一m 叫 旷州t = 6 l i ( f , d ) ， ( 3 2 1 4 其中厶( 只d ) = 后：( e x p 。( 地一t ) 卜n ( 啦一) 一i ) d t 若令五= f ( x l i ) ) ，则我们有 n r ( 只d ) = 层陋( f ，d ) = 6 e ( 五i ( e d ) ) ；= 0 ：6 ne 严”( 唧 ( 旷m - n ( 旷旷1 ) 出 i = 0 o z i = a 薹z o “序唧州一m - a ( u i - t ) - 1 肭卿- ) = 6 娄删卜小叫 _ 0 叫叫柏+ 1 ) 出 6 塞小小- f ) h _ f ) 一1 ) z 1 z + 1 ( 撕1 ) d c 6 萎上( e x p 扣沁r ”h n 。一) - 1 ) 上z 仉一+ 1 ( 犏) d 。 b i = or ”i ) 小x p ( 小t 叫) - a ( u i - t ) _ 1 ) c t ( 1 叫如 = 6 r ( f d ) l = 0 定理得证口 定理3 1 2 在非对称损失工。和变换群g 下，连续分布函数f 的最优不变估 计为 妒( ，x ) = u k l ( x ( k ) st 。 1 5 证明由定理3 1 ，1 可知，任意不变估计d 吖的风险函数 n r ( f i d ) = b r i ( f , d ) ， i = 0 要在“中寻找最优不变估计，即要找出一不变估计使得其风险在所有不变估计 的风险中最小那么，由上式可知，要最小化风险r ( 只d ) 等价于极小化上式右 边的每一项足( 只d ) 又聩( f d ) s 有如下的一阶和二阶导函数 毫兄( 删= ( 1 ( 沙e x p ( 山i _ f ) h ( 1 叫d f ( 34 1 昌皿( 删= 0 1 ( 垆e x p 咖。- f ) ( r 锄 ( 3 s ) 由( 3 5 ) 式易知，对于v i = 0 ，1 ，n 有 矗啪d ) 。， 因此，当讹为方程孤o 。、f ，d ) = 0 的实根时，r ( e 回达到最小值，同时r d ) 也达到最小值 解方程西。五r ( ed ) = 0 得到 、群r ( 1 一t ) n 一1 d t e x - n “1 ) 2 i j oi ：；蒜 面丽t ”l 1 一) “ 则 驴：h 鸫羚 显然0 啦 0 ，则在实数 集r 的l e b e s g u r e 可测子集，上存在一均匀分布p 和一不变估计d l ，使得 p “+ 1 ( x ，t ) ： d ( x ，t ) 一d d x ，) i ) s6 注： 显然对于d a 和f 0 。，总有0 l n s ( f d ) = b f ( e x p a ( d ( t ) 一 f ( t ) ) ) 一a ( d ( t ) 一f ( t ) ) 一1 ) d f ( t ) + o 。因此，在判决问题( 0 。，一4 ，“；) 中任意 估计d 的风险r ( 只d ) 总是有限的，也就是说引理3 2 1 中估计d 的风险有限这 一条件这里自然成立 定理3 2 1 考虑函数e x p n 忙一s ) ) ，其中n 0 ，0 s 1 为两常数则对于变 量0 兰z l z 2s 】有不等式 成立 e x p a ( x l s ) ) 一e x p a ( x 2 一s ) ) i j 圳1 2 1 一x 2 ie x p n i )( 3 6 ) 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明由于函数e x p a ( x s ) ) 是连续的，所以存在( z l ，z 2 ) 使得 ( e x p f 。( ”啪一e x p m 。叫) ) = 瓦oe x p ( 如叫) 也f ( x 1 - - 2 2 ) 耋：!：。e。xpp；。o。(；-。s，)，兰 0 由定理3 2 2 ，存在f 0 。和不变估计d o “使得 | 兄( 只d ) 一r ( e d o ) l e 又由于妒为最优不变估计，所以 ( 3 ，9 ) r ( 只妒) 兄( e d o ) r ( f 1 d ) + g ( 3 ，1 0 ) 则由不等式( 3 ，l o ) 和 o 的任意性不难推出i a f ds u p f 9 。r ( 只d ) = r ( f j 西) 因 此，估计妒为f e 。m i n i m a x 估计口 硕士学位论文 m a s t e r lst h e s i s 附录 定理2 2 1 中积分变换的证明 即是要证明 ：p 。蚓壹j = l 州c i 酚一( ，e i 。p j ) o ( 1 - ，i 。p j ) 9 p m 护 而 ，1 一m - - ie = 口”】哦一d ( x ，矗) l 谚，+ 。( 1 一q i ) “一“+ 8 d q i j ( i l m ) g ：螽厂嵩羚秽- l ( ，刊咖 k = l 。= 而末嚣习瓣 1 ( 1 一毋一1 ) 4 嘶i i 。百厂毒黼矿l ( 1 划一m k = i + l 。f 币毒可7 币 证明：首先对积分作变换 ( i ) pj = ”i ，p 2 一w 一1 ，= 2 ，一，m 注意到变换的j a c o b i a n 行列式 o ( p 1 o ( w l ， p m 一1j “) m ij 于是积分变换为 ( 圳：一 l 一1 ) i i d ( x ，) ( 叫i ) n ( 1 一 ；) 口( 叫m w 2 1 嚣 $托 。 严一毗 一 毗 m 一 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 其中w = ( e w m - - 1 ) ： 鲁叫女+ 啬s 叫k + l w m = l ， k = 1 ，- ，m 一2 ) ，w o = 0 ，d w = d w l - - d w m - - 1 再对积分作变换 ( i i )仙女= 变换对应的j a c o b i a n 行列式为 l i i q t = 七 q i ， 女 i t = 如= i 鞣l = ( 驴1 ) 陋k = i r ) 这里我们规定：对任意的实数a t ，当f s 时，n 毗= 1 则( + ) 式可以改写为 厶蹦q i - - q i - l q i ) l 啦一| ( 啦) n ( 1 - q i ) 4 娶( 1 - 9 1 ) ”娶佃r 饥_ 1 ) 帆“) 其中口为吼，i = 1 ，2 ，m 一1 取值空间，d = j ( x ，曲= 由1 d q 2 ：，d 一1 而 t 一1t 一1 q k l ( w k w k 一) ”1 = ( ( 1 q k 一1 ) 鲰) k = l = l t = m 。t 一- ，1 一1 ( j i 。声l = 1 k 一。) a f ：二i 一；+ 2 2 1 j i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 所以( ”) 等于 七一1 1 ( 1 咄) 一11 t = ii = 1 1 ( 1 一吼一1 ) “i q i d ( x ，矗) l 口；，+ 。( 1 一仇) “一“+ 口 j o ( 酗1 h 舻1 ) ( 基，话1 h 扩一) 电 + ， 注意到变换( i i ) 等价于 叫 s + 1 因此，当s i 时有 兰吼：。is 1 一( m - i ) e mm r 兰：爸= ，一i ：；：兰j ；三? 磁 ， 州一 一一 一 靠 一一 m 辄 基戮 一矗 盟。篙 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 由此得到了q f 取值空间，从而得到积分范围因此，( t + + ) 式可分解为 亘震移1 t 计” q i 一1 ) “出l i 。1_挚iqi-d怎)14(1一俄)n-oi+bdqqid ( x q o i + a； ，磊 ( 1 一俄； j ( i m ) ( 。m - 1 j ! ! i 专7 高9 。2 - 一- ( - 一仇) n 一一* a 。 k = 件1 。丁= t ( ) 二可7 ；币 从而完成了积分变换的证明口 鬻 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 1 a g g a r w a0 p s o m em i n i m a xi n v a r i a n tp r o c e d u r e sf o re s t i m a t i n gac u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n n m a t h s t a t i s t ，1 9 9 5 ，2 6 ：4 5 0 4 6 2 2 y uq m i n i m a xi n v a r i a n te s t i m a t o ro fac o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n a n n 打m s t a t 妇肘o t h 。1 9 9 2 a 4 4 ：7 2 9 7 3 5 3 y l lq ，p i t a d i aeg m i n i m a x i t yo ft h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ro fad i s t r i b u t i o nf u n c t i o nu n d e rt h ek o l m o g o r o v s m i r n o vl o s s a n n s t a t i s t ，1 9 9 2 ，2 0 ： 2 1 9 2 2 1 9 5 4 y uq a d m i s s i b i l i t yo ft h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ro fad i s c r e t ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s t a t i s t i c as i n i c a 1 9 9 8 8 ：3 7 7 3 9 2 5 y uq c h o wm s m i n i m a x i t yo ft h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni ni n v a r i a n t e s t i m a t i o n a n n s t a t i s t 1 9 9 1 1 9 ：9 3 5 9 5 1 6 y uq i n a d m i s s i b i l i t yo ft h ee m p i r i c md i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni nc o n t i n u o u si n v a r i a n tp r o b l e m s a n ns t a t i s t ，1 9 8 9 1 7 ：1 3 4 7 1 3 5 9 7 f e y n m a nr p m r