（基础数学专业论文）dirichlet级数与随机dirichlet级数的增长性.pdf

西北工业大学硕上学位论文 摘要 摘要 本文从三个方面研究d i d c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数的增长性： 1 零级d i r i c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性， 2 无限级和有限级随机d i r i c h l e t 级数的增长性， 3 整d i r i c h l e t 级数的一些性质 第一章回顾d i r i e h l e t 级数研究的历史，给出本文得到的主要结果 第二章第二节减弱了前人提出的关于零级整d i r i c h l e t 级数增长性的条件，在条 件 而尝= o ( v p 1 ) l - - | o o 九9 下，研究零级整d i r i c h l e t 级数的增长性以及型的系数特征，推广了前人的结果；并 且在此条件下，研究了级数的正规增长性，给出了一类充分条件本章的第三节在 条件 而丝：0 一_ ，* h 以 下，进一步具体讨论了零级解析d i d c h l e t 级数在指标了丽堕誓堕塑下的j f 规增长性 j 呻o 一j 玎仃 和零级随机d i r i c h l e t 级数的增长性；第四节主要借助半平面内零级d i r i c h l e t 级数对 数级和对数级的型的概念，减弱了前人的条件，在条件 面生 1 ) ， 一。五9 一 a n di m p r o v e ss o m ek n o w nr e s u l t s m o r e o v e r t h er e g u l a rg r o w t ho ft h es e r i e s i s c o n s i d e r e du n d e rt h es a m ee x p o n e n tc o n d i t i o n ，a n dg i v e ni sas u f f i c i e n tc o n d i t i o no ft h e r e g u l a rg r o w t h ，i nt h es e c t i o n3o fc h a p t e r2 ，u n d e rt h ec o n d i t i o n 而坠：o l i l 磊 t h er e g u l a rg r o w t ho f a n a l y t i cd i r i c h l e ts e r i e so f o r d e rz e r oa r ec o n s i d e r e do nt h eb a s i so f t h ei n d e x i n + m ( c r ) m o r e o v e r ，t h eg r o w t l lo fr a n d o md i r i c h l e ts e r i e si sc o n s i d e r e d j + - i n 盯 。 。 a n ds o m er e s u l t sa r eo b t a i n e d i nt h es e c t i o n4o fc h a p t e r2 ，u n d e rt h ew e a k e r c o n d i t i o n 面竺 佃 i n 五 t h eg r o w t ha n dt h ec o e f f i c i e n tc h a r a c t e r i s t i co ft h el o g a r i t h m i ct y p eo fa n a l y t i cd i r i c h l e t s e r i e so fo r d e rz g r oa l ec o n s i d e r e d ，o nt h eb a s i so ft h ei n d e xo ft h el o g a r i t h m i co r d e ra n d h i 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h el o g a r i t h m i ct y p eo f d i r i c h l e ts e r i e si nt h er i g h th a l f - p l a n e i nt h es e c t i o n2o fc h a p t e r3 ，t h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec o e f f i c i e ma n dt h eg r o w t h o fr a n d o md i r i c h l e ts e r i e so fi n f i n i t eo r d e ri si n v e s t i g a t e di nt h ew h o l ep l a n e ，a n di ti s p r o v e dt h a tt h eg r o w t ho fr a n d o me n t i r ef u n c t i o ni ne v e r yh o r i z o t a ll i n e sh a st h es a m e g r o w t ho fe n t i r ef u n c t i o nd e f i n e db yi t sc o r r e s p o n d i n gd i r i c h l e ts e r i e s i nt h es e c t i o n3 o fc h a p t e r3d e a l sw i t ht h eg r o w t ho f r a n d o md i r i c h l e ts e r i e so ff i n i t eo r d e ri nt h er i g h t h a l f - p l a n e i ti sf o u n dt h a ts o m ep r o p e r t i e so fr a n d o md i r i c h l e ts e r i e so ff i n i t eo r d e ra r e s i m i l a rt ot h o s eo f d i r i c h i e ts e r i e so f f i n i t eo r d e r c h a p t e r4c o n s i d e r st h ed i r i c h l e ts e r i e s g ( s ) = 阮e 一”，办( j ) = 瓦。e 一和，厂( j ) = a e 一和 n = 0 月；on ；l i ti sp r o v e dt h a tt h e yh a v et h es a m eo r d e r , l o w e ro r d e r , t y p ea n d ( p ，g ) ( r ) - o r d e r , l o w e r ( p ，g ) ( r ) - o r d e ru n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s k e y w o r d s ：d i r i c h l e ts e r i e s ，r a n d o m d i r i c h l e t s e r i e s ，g r o w t h ，r e g u l a rg r o w t h ， l o g a r i t h m i co r d e r , t y p ef u n c t i o n ，( p ，g ) ( r ) - o r d e r i v 西北工业大学业 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文r 作 的知识产权单位属_ 丁西北l 业大学。学校有权保留并向国家有关部i ” 或机构送交论文的复 印件和电子版。本人允许论文被查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存$ i t e 编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰弓的文章一律注明作者单何为两- 1 1 ：, i 业 入学。 保密论文待解密屙适用本声明。 学位论文作者签名：i ! l l 一 指导教师签名：二工：! 星垦秀 2 加7 年；月l 上日2 力，7 肆夕月旷日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本 人在导师的指导f 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的i x j 容 和致谓j 的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成 果，不包含本人或其他已申请学位或其他用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体均已在文中以明确方式表明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：塑煎 加7 r 年 月j 主日 f 两北工业大学硕七学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1d i r i c h l e t 级数研究的历史概述 d i r i c h l e t 级数是十九世纪中叶d i r i c h l e t 研究数论时引进的，可以看作t a y l o r 级数 的推广，也是l a p l a c e s t i e l t i j e s 变换的特例研究d i r i c h l e t 级数，一方面是为了解决 数论中提出的问题。另一方面是为了研究级数本身的分析性质后者的研究主要由 四个部分组成：收敛性、自然边界( 以及奇异点的分布) 、增长性和值分布 增长性不仅是d i r i c h l e t 级数的一种重要性质，而且是研究值分布理论的基础 近年来，很多学者研究了d i r i c h l e t 级数的增长性，并且得到了很多成果关于随机 d i r i e h l e t 级数的增长性，目前的研究主要围绕4 个方面：在水平直线上的增长性、在 水平半带形上的增长性、在收敛半平面上及全平面上的增长性、与n e v a n l i n n a 特征 函数有关的增长性本文主要讨论d i r i c h l e t 级数及随机d i r i c h l e t 级数在收敛半平面 及全平面上的增长性问题 d i r i c h l e t 级数的一般形式是 邢) = a e 由( s = c r + i t ) ， ( 1 1 1 ) 其中盯，t 是实变量， 吒 是一列复数，指数 气 满足条件： o = 九 五 五 几时，如无特别说明，记，( j ) 最大模、最大项和最大项指标分别为 肘( 力= s u p i f ( a + i ，) i ：，研， m ( 盯) = m a x i q e - 厶a , n ， 乃( 。) = 1 1 1 a ) 矗：i t e 一扣= 小( 盯) 如果级数( i 1 1 ) 满足条件 西北丁= 业大学顾i 学位论义 第一章绪论 而半：e 佃， 以 面刿：咖 一 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 那么由v a l i r o n 公式”1 知，级数( 1 1 1 ) 的收敛横坐标、绝对收敛横坐标、一致收敛横 坐标均为负无穷，这时级数( 1 1 1 ) 的和f ( s ) 是整函数这个函数的( r ) 级和( r ) 下级分 别定义为2 】 p ：l - 磊m - - mi n i n m ( c r ) ， f ：l i mi n i n m ( c r ) 如果级数( 1 1 1 ) 满足条件 面挈：0 ， ( 1 1 - 4 ) 一* 五 、。 而坐型：o ，( 1 1 5 ) 那么由v a l i r o n 公式”1 知，级数( 1 1 1 ) 的收敛横坐标、绝对收敛横坐标、一致收敛横 坐标均为零，这时级数( 1 1 1 ) 的和( s ) 是右半平面内的全纯函数余家荣2 1 仿照r i t t 的方法定义了f ( s ) 在右半平面内的级 f i n + i n + m ( 盯) p 。：+ i m 0 j 忑一 及下级 n 1 1 1 + i n + m ( o - ) f = n m 一 j _ 0 +一i n 盯 这里 h 肛00 赫 【， x l 当p = 0 ，0 0 内解析，当 r e s = 盯 0 时，就可以定义无( s ) 在r e s o 内的级 及下级 尸( ) _ l 而m i n + i n 山* m 盯( o , c o ) f ( ) ：l i mi n + l n * m ( o , ( o ) d 斗0 +一i n 盯 研究d i d c h l c t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性，主要研究它的级，下级以及 有关增长指标的系数特征，通常可以分为零级、有限级和无限级d i r i c h l e t 级数的情 形来研究本文从以下三个方面进行了研究： 1 零级d i f i c h l c t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性： 2 无限级和有限级随机d i f i c h l e t 级数的增长性； 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 3 整d i d c h l e t 级数的一些性质 1 2 本文的主要结果 1 2 1 零级d i r i c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性 零级d i r i c h l e t 级数在整个级数理论中有着重要的位置对于零级整d i r i c h l e t 级数 的增长性，许多学者都做过研究4 “i 1 9 9 4 年，高宗升川曾在指数条件 i 五旦 1 ) ( 1 2 2 ) w 矗9 。、。 下讨论零级整d i r i c h l e t 级数在指标限q 岛= j 1 ，i m 。i ni n l n m 盯( a ) ， 铲h a m 盯“( c r ) ( 岛e ( 1 ，+ ) ) 下的增长性，并且在此条件下研究了级数的正规增长性，给出了一类充分条件，得 到的结论如下： 1 ) 若零级整d i r i c h l e t 级数厂= e a oe 如满足条件( 1 2 2 ) ，且整函数厂( s ) 不是 一个指数多项式，那么 胪燕章“f o _ 半厦事 2 ) 对满足1 ) 的零级整d i r i c h l e t 级数，若存在单调增的正整数序列 月，) ，使得 4 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 那么 熄击+ 1 。纠，l 吣i m i n 2 以, 。_ 1 呱毒圳蚶1 ) 一岷 lim掣=坂马hato,4-ao i n l 7 i n a n + l ”呻o l 一，一 l 、 1 9 7 8 年，余家荣i 7 在条件( 1 2 1 ) ，( 1 1 5 ) 下曾研究了右半平面内d i r i c h l e t 级数的 增长性和正规增长性；1 9 8 3 年，余久曼i s l 在条件( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 及 面竺 0 ，使得s u p e l 以n 蝴，s u p e l 以r + ，则 月2 l砣i 删l i r a + 堡警掣= 一( 。，佃) a s 营熙等掣= 爿( 。，栅) i n 一 “ 1 9 7 9 年，a w a s t h i ，k n 1 引入了零级解析d i r i c h l e t 级数的对数级和对数级的型 p i n + i n * m ( o ) ，f l i - - 鬲i n * m ，( o - ) + h l n + m 土) ， 在条件( 1 2 ，1 ) 下讨论了级数的增长性本文的第二章第四节主要借助了其中的零级 解析d i r i c h l e t 级数对数级和对数级的型的概念，在较( 1 2 1 ) 弱的条件 - - 嬲面i n n 佃 ( 1 圳 n - o i n 下，讨论了零级解析d i r i c h l e t 级数的对数级与级数的指数和系数之间的关系以及对 数级的型的系数特征，得到的结论如下： 1 ) 若零级d i r i c h l e t 级数( 1 1 1 ) 满足条件( 1 2 4 ) ，并且存在单调增的正整数序列 h 。) ，使得 娩割砒【l，峨l吣imina九nin - 1 ， r 一，t l 无 一 v l i l 无 。 那么 l i m i n * i n + m ：( 一a r ) ：- - 。i n + i n + l a i 4 卅k m ! ”。l n l n & 2 ) 若零级d i r i c h l e t 级数( 1 1 1 ) 满足条件：- 而罂m i l n 石n = 反 0 ，t 吏s u p e i 以广) 0 ，l 吏s u p e l 以r 佃 ( 1 1 ) 以 是概率空间( t a ，f ，) 上独立的随机变量序列， e ( 以) = o ，e ( i 以1 2 ) = 瓯 佃， 并且e ( 掣m 有下胁o 关于无限级d i r i c h l e t 级数，孙道椿4 i 、田范基”】、陈特为( 1 4 1 等人对半平面上 的情况进行过许多的研究，得到了一些很好的结果对全平面上的情况，孙道椿 i t j 、高宗升 t 6 l 也进行了研究本文的第三章第二节进一步讨论了全平面上随机变量 序列 以 满足( i i ) 的无限级随机d i r i c h l e t 级数的增长性，证明了它所确定的随机整 函数的增长性几乎必然与其在每条水平直线上的增长性相同，得到的结论如下：若 随机蹦蝴级数拍) = 喜鼍( 咖和满足条件甄寄 l ，随机变量序列 j 0 ) 满足( i i ) ，那么 百i ! 璺! 璺丝( ! ：型：1a s 而堕。：1 ， 4 呻伸 1 l l u ( e 4 ) l i l u ( i 吒皖 一寺) 甄觜n u ( e 小s 甄型i n 笔u ( e 掣s ， _ + 柙 l 4 ) d _ 9 ) 其中u ( r ) 为型函数 对于有限级d i r i c h l e t 级数，1 9 7 8 年，余家荣 7 1 在条件( 1 2 1 ) ，( 1 1 5 ) 下，借助型函 数u ( r ) = r 肿及函数t = r u ( r ) 的反函数，= ( f ) ，研究右半平面内d i r i c h l e t 级数的 增长性和正规增长性，得到了如下的结论：若有限级d i d e h l e t 级数( 1 1 1 ) 满足条件 ( 1 1 5 ) ，( 1 2 1 ) ，则 西北工业大学硕士学位论文 第一章绪论 ( i ) 甄弩可甄掣2 丽w 掣4 -= 旦孚f 而p ，并且存在单调增正 mj生 。 7 口l + p 整数序列 。) ，使得 甄掣掣= 考r 南l i r a i n 2 _ , = ”。 九南一1 1 1 其中p 为级数( 1 1 1 ) 在右半平面的有限正级 2 0 0 2 年，刘名生”1 在条件 1 - 丽mlnlnnllm l = 一 一一1 n 五p + l ( 1 2 5 ) 到了下述结论：若有限级d i r i c h l e t 级数( 1 1 1 ) 满足条件( 1 1 4 ) ，( 1 1 5 ) 和( 1 2 5 ) ，则 (i)面考卅li-i删in鬲+a#ia-)o+ _ 1 u ( 土) 口u ( i l 1 盯ml a 。l ( i i 僻弩叫l i m 删i n 鬲+ a i _ 1 ，粕张脏数序 4 。0 + u ( 三) ”+ ”口u ( 芒鲁_ ) 仃 l ni 乱i 列 n ，) ，使得 慨五i n + l a 月i 吐她等一t ”。蒯( 南) 丸 其中口= ( 1 + 户) “9 p ，u ( r ) 为型函数 陈聚峰在文【2 0 】中对全平面上有限级d i r i c h l e t 级数和随机变量序列 以) 满足( i i ) 8 西北工业大学硕上学位论文 第一章缔论 随机变量序列 以) 满足( i ) 的零级随机d i r i c h l e t 级数的增长性问题，得到了类似于零 级d i r i c h l e t 级数所表示的增长性的结果本文的第三章第三节在此基础上进一步研 究了右半平面上随机变量序列( 五) 满足( i ) 的有限级随机d i r i c h l e t 级数的增长性，研 的增长性的结果，得到的结论如下：着随机d i r i c h l e t 级数( 1 1 6 ) 满足条件( 1 1 4 ) ， 5 肌2 5 ) ，随机变量搠以 蓠足( i ) ，并且 u ( i n n ) 。，那么 ( i ) 甄弩卅铮- - 嬲丽l a l a 1 - l a s ( i i ) 姆弩s l i - - 鬲删l n 鬲+ l a i - l ，张朔骶皴序 列 n 。) ，使得 嫩五i n + l a , i 吐魄等乩 础( 南) 气 1 2 3 整d i r i c h l e t 级数的一些性质 根据静人得到的成果，本文第四章主要研究整d i r i e h l e t 级数 g ( s ) = 吒e 一和， ( j ) = 吃。e 一和，厂( s ) = e 一和 n = on = on t i 的级和型的一些性质，研究发现：在条件 l i m 业j ：e 佃 ”。 下，以上三个级数有相同的级和下级；当e = 0 时，它们有相同的型、( p ，g ) ( 尺) 级和 下( p ，g ) ( r ) 一级 9 堕北工些人学硕t 学位论文第二章零级d t r i c h l e t 级数和随机d i r i c h i c t 级数的增k 性 第二章零级d i r i c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性 2 1 引言 对于零级整d i r i e h l e t 级数，高宗升4 1 曾在指数条件( 1 2 1 ) 下研究了零级 d i r i c h l e t 级数的增长性，贺隆贞哪在指数条件( 1 1 2 ) 下引进指标q ，g ) ( r ) 级和下 ( p ，g ) ( r ) 级研究了整d i r i c h l e t 级数的增长性本章第二节中减弱了这些指数条件 在较弱的指数条件( 1 2 2 ) 下讨论了零缴整d i r i c h l e t 级数在指标f 舢 岛= j l _ + i m + 。l a i n l n m 盯( a ) ，f o = 。f - 面_ m + 田l n m d a ( a ) ( 岛( 1 ，+ 。) ) 口_ + 。 i n 盯 。 d _ + 田 盯加 。 下的增长性，并且在此条件下研究了级数的正规增长性，给出了一类充分条件 对于右半平面内d i r i e h l e t 级数和随机d i r i e h l e t 级数的增长性，本章第三节中在 条件( 1 2 3 ) 下具体讨论了零级解析d i r i c h l e t 级数在指标- - - n n 。i n * m ( o ) 下的正规增长 口 ( 1 1 一m 盯 性和零级随机d i r i c h l e t 级数的增长性 本章第四节主要借助了文 1 1 仲零级d i r i c h l e t 级数对数级和对数级的型的概念 减弱了其中的条件( 1 2 1 ) ，在条件( 1 2 4 ) t 讨论了零级d i r i c h l e t 级数的对数级以及对 数级的型的系数特征 2 2 零级整d i r i c h l e t 级数的增长性 考虑d i r i c h l e t 级数 厂( s ) = a e 如， n = o ( 2 2 1 ) 假定级数( 2 2 1 ) 在全平面上绝对收敛，那么和，( s ) 为一整函数级数( 2 2 1 ) 在全平面 上的级p 为 1 0 西北工业大学硕士学位论文第一二章零级d i r i c h l e t 级数和随机d m c h l e t 级数的增长性 p ：一l i mi n i n m ( c r ) j 一1 啪c r 当p = 0 ，0 o ，3 0 0 0 ，当盯 时， m ( c r ) e x p ( ( r 舻5 ) 于是对于任意的刀， l n 庠i n m ( o ) - 2 o - 盯岛+ 。一 盯 在这个不等式中取盯：( 墨l ) 南，我们可以得到 l nr qr 乃仃p o + e - 1 ， 岛+ e + d ( 1 ) s p o + e - l ， l n + ( 粤叫) ” 九 由此就可得，岛 下面证明岛，不失一般性假定z 是有限的根据 可知：v 占 0 ，3 1 = a ( e ) 0 ，使得对于任意的珂，都有 旦 1 峰a e x p ( 一五“”) 又由条彻2 2 ) 可知：当p = 高 1 时，级数喜e x p ( - t 2 馓敛，和数记蝴。 现在取常数口 0 ， 0 ，使得口+ = 1 ，于是就有 西北 二业大学硕士学位论文第_ 二章零级d m c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性 于是 肘( 盯) a e x p ( - 2 , g ：z i + 五d ) = a e x p - ( a + f 1 ) 2 , , 9 + 五盯 n = 0 n = 0 a s u p e x p ( - a 2 9 + 乃e x p ( 一既9 ) n z i n = o sa # ( f 1 ) s u p e x p ( - a 2 9 + 五盯) o = a c p ) e x p a ( p 一1 ) ( 旦) 南】 。l i ml n l n m ( o ) j l ：，+ g 。l i l 仃p 一1 由此可得岛，这样就证明了定理2 2 1 定理2 2 2 的证明记 m = 譬， k 丽- , 码( - l nl 每a i ) p _、 ， 以 首先证明m l f 0 不失一般性假定是有限的由于 t i n 肘( 盯) 2 ，1 i m 。， 那么v 占( 0 ，1 ) ，3 c r 0 0 ，当盯 a o 时， i n m ( a ) ( + f ) 盯脚， 于是对于任意的 1 ， i n l i + 以盯s ( t o + 占) 盯岛 对于充分大的疗，取盯= 【。生一】”1 ，则 【o + e ) p o h 吲志r 1 鲁， 于是 南学钳占 西北工业大学硕士学位论文第二章零级d i r t c h l c t 级数和随机d t r i c h l e t 级数的增k 性 由此i ：j 得m l g f o 下面证明f 0 m l 不失一般性假定工是有限的由于 如甄盈辜 那么v 占( 0 ，1 ) ，3 b = b ( e ) o ，使得对于任意的”， i 喀x p 【一以( 熹) 一p o - i 肌x p 【一丸丽a o ( 去) 丽】 i 1 当9 2 ，二蓦 j 时，级数量n = o e x p ( 一彤) 收敛，和数记为( f ) 现在取常数口 o 0 ，使得口+ = 1 ，记 肛( 去声叫去声， = ( 专) 岛一，口= 口( ) 岛， l + sl + c 于是就有 且1 上 m ( 哪善b e x p 一( 壶十一盯】 = b e x p n = o 一( 口+ ) ”( 壶) ”+ 以) b s u p e x p ( - o r 丸4 + 盯) e x p ( 一以9 ) n 2 0 h ，n ：b v ( p ) e x p ( g 1 ) ( 车) 善】， 口q 由此可得 ，l 丽m 。i n m 盯。( o ) i 1 旦：云岩( 三+ f ) o _ ” o “伐p 0 由于 s u pa = 1 及占的任意性，所以0 m l 证毕 定理2 2 3 的证明 由定理2 2 3 的条件可知，对于充分小的占 0 ，存在自然 数当v n 时有 1 4 西北工业大学硕士学位论文 第二章零级d i r i c h l e t 级数和随机d m c h l e t 级数的增长性 ：= ：! 茧，一l 一占，l f i + ( 兰型) ” 于是有 i n ( 1 a , l e 4 ) 九盯一九甬 取q 满足丸= ( 等q ) f - “，则当q i n t o ( c r y ) i n i f + 九以 e 等t r y ) t 一南 鲁盯击广8 南 liintnm(o)2l-llm 一一 f 呻+ i n 盯t 十占 l ilnlnm(cr)llm，2 f 口呻+ 1 1 1 c r 规訾_ f 2 3 零级随机d i r i c h l e t 级数的增长性 考虑与d i r i c h l e t 级数( 1 1 1 ) 相应的随机d i r i c h l e t 级数( 1 1 6 ) 五( j ) = a 。x a r o ) e _ 。， 假定级数( 1 1 6 ) 的收敛横坐标几乎必然为0 ，级数( 1 1 1 ) 的收敛横坐标为0 ，那么级 西北工业大学硕士学位论文第二章零级d i r i c h l e t 级数和随机d t r i c h l c t 级数的增性 数( 1 1 6 ) 的和无( s ) 是右半平面内的随机解析函数，级数( 1 ，1 1 ) 的和厂( s ) 是右半平面 内的解析函数 本节恒假定 以) 是概率空间( 口，f ，p ) 上的一列复随机变量，满足条件：存在常 数盘 0 ，夕 0 ，使得 s u p e i 以1 4 ) 佃，s u p e l 以ip 佃 ( 2 3 1 ) 月2 1月2 l 若随机d i r i c h l e t 级数( 1 1 6 ) 满足 面生：0 i n 以 丽掣：o ， 以 ( 2 3 2 ) 并且 以) 满足条件( 2 3 1 ) ，那么级数( 1 1 6 ) 的收敛横坐标几乎必然为0 ，无( s ) 是右 半平面内的随机解析函数若级数( 1 1 1 ) 满足条件( 2 3 2 ) ，则f ( s ) 是右半平面内的解 析函数 本节的主要结果如下： 定理2 3 1 如果零级d i r i c h l e t 级数( 1 1 1 ) 满足条件( 2 3 2 ) ，且有 那么 l i r a i n 2 , i ：1 一mm 屯 l i m 堕掣：4 ( o ，+ 。) ”0 + l l l 土 营l i m 剖：州。一) 一一* l n 无 、 ( 2 3 3 ) 定理2 3 2 若随机d i r i c h l e t 级数( 1 1 6 ) 满足( 2 3 2 ) ， 以) 满足条件( 2 3 1 ) ，则 l 面mi n + m ( c r , t o ) 一面必：l 而mi n + m ，( o ) “+ k 三 ”一i n & o * - - * 0 l i l 土 定理2 3 3 若随机d i r i c h l e t 级数( 1 1 6 ) 满足( 2 3 2 ) ，( 2 3 3 ) ，( 以) 满足条件 ( 2 3 1 ) ，那么 ：彳( o ，佃) a s 骨i i m 圳：彳( 0 ，佃) l n 西北t 业大学硕士学位论文 第二章零级d t r i c h l e t 级数和随机d i r i c h l e t 级数的增长性 那么 相关的引理及定理证明如下 引理2 3 1 9 1 如果级数( 1 1 1 ) 满足( 1 2 2 ) ，并且 蕊旦 佃 b - - i ”0 h a 五 而攀掣：，i n + m ( c r ) i n * m ，( o - ) ，+ i n n l n 以 ”0 + i n lc r - + 0 * l l l 土l i l 磊 由此我们就可得到 引理2 3 2 若d i r i c h l e t 级数( 1 ，1 1 ) 满足条件( 2 3 2 ) ，则 面掣：l - 丽- m _ i n + m ( c r ) ：丽型型 ”0 + l i l !a - * 0 * i n ! ”i n 2 引理2 3 3 若d i r i c h l e t 级数( 1 1 1 ) 满足条件( 2 3 2 ) ，则 l i m 掣：l i m 掣 一“+ l i l 三一一，0 + l n 三 证明由条件( 2 3 2 ) 知，v 占( 0 ，1 ) ，3 n n + ，使得当订n 时，有 于是有 l n n 占l n ，一以一盯1 es 一一n s m ( 2 川e 4 和= 川e 却e 却 n = o月| 0 j 肌( 盯) ( + 1 + ( e - i ) ”) ， 口 由于( e i ) “ o 4 “+ i n 二 o r - - * 0 * i n t 充分小时有 对于充分大的n ，取一使 i n + m ( c r ) ( 4 一占) ( 1 n 二) l 盯 西北工业大学硕七学位论文第二章零级d i r i c h l e t 级数和随机d t d c h l e t 级数的增长性 i f e 一厶：埘( 一) 己) 一 吒 ( 其中m i 吖i ) 为 i n i 吒i 的凸正规化序列) 于是 i - ( 彳叫( 1 n 习五 取一：上式右端取得最小值，于是得 i n l a i ( 彳一占) ( 1 n a 兰- l 6 ) + 4 一占， l i m 幽彳 n - + * i n 月。 假设上式中不等号成立，那么3 占( o ，a ) 使得 h m 里幽 a + 占 h + m i n 以 于是当1 1 充分大时， i n + i cp ( 4 + 8 ) l n j l ， 从而 i n m ( c r ) _ l n l ci e 一厶4 ( 4 + j ) l l l 五一九仃， 变量x 的函数口+ a ) l n x - x a 在x ：生兰时达到最大值，设x 【 ，五+ ，】，于是存在 盯 使得矗一a + _ k 8 ， i n a + t 旦生1 i n 乃i n 盯 由( 2 3 3 ) ，l i m 篮：1 ，又 l n m ( 盯) h 脚( 一) ( 彳+ 8 ) 1 n 兰二善一l ， o - 由此得 1 9 西北工业大学硕士学位论文 第一章零级d i r i c h l e t 级数和随机d i n c h l e t 级数的增匠性 l i m 掣州m 掣4 + 占 一州l n 土 ”旷l n 七 do “ 这与已知条件矛盾，所以就有 由此可知 l i m 竖型：4 1 一一，* h a 丸 l i m 坠型：4 t 1 m i n 九 结合引 2 3 2 得，溉可i n + l a = 彳定理成立 引理2 3 4 ”若概率空间( 口，f ，p ) 上的复随机变量序列 以) 满足条件( 2 3 1 ) ， 那么对几乎所有的( - 0 q ，存在n ( c o ) ，当胛 ( ) 时，有 n 一- i 五j ( ) i 胛蚝，( 2 3 4 ) 其中为自然数，并且 m a x 虽，石2 定理2 3 2 的证明由引理2 3 2 知 l i - i l n + m ( a 。, w ) ：l 而m i n + i a x ( c o ) i a s ”旷 l i l 土 i n 以 结合( 2 3 4 ) 式可得 f - - - 盂m l n + la x ( c o ) l 丽必+ k 而一i n n ：面必， 一。 i n 一mi n 矗 ”一* i n 以i n 以7 所以 面! 盟型蕊垫：! 堡墨熊丝 ”。i n 九 i n 心 l - 丽ml n ia x ( c o ) i 十k o l t m i n n ”。 i n 如i n 以 ：l - i - - r a mi n + ia x ( o a ) i ， 2 0 西北工业