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分类号： u d c ： 密级： 漠神被夫哮 硕士学位论文 b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型的研究 t h er e s e a r c ho fb l a c k - s c h o l e sm o d e l 朱芳芳 指导教师姓名： 申请学位级别： 论文定稿日期： 学位授予单位： 学位授予日期： 王志明副教授 武汉科技大学理学院 答辩委员会主席： 评阅人： 章逸平教授 章逸平教授 赵喜林副教授 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 摘要 期权是风险管理的核, d - l - 具。期权理论是2 0 世纪经济学领域最伟大的发现之一， 对期权定价理论作出杰出贡献的s c h o l e s 和m e r t o n ( 实际上也应该包括b l a c k ) 曾因此 荣获1 9 9 7 年诺贝尔经济学奖。其理论研究的重点在于两个方面：一个是如何构造出新 的期权，以满足不断变化的市场投资需要；另一个是如何确定这些日趋复杂的期权的价 值，即给期权定价的问题。 对于b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型，如今比较流行的定价方法有偏微分方程、解析近 似方法、二叉树方法、有限差分方法和m o n t e - c a r l o 模拟等。本文充分利用积分变换的理 论和方法，给出了一种新的期权定价方法一积分变换的方法，并对模型的求解进行了 定性和定量的研究。其中，特别是对连续支付红利的欧式b l a c k s c h o l e s 期权定价模型 j o 西v + ( r ( ，) - 9 ( f ) ) s 詈+ 丢嘲豢- ，( ，胪o ly ( s ，丁) = ( s ) ( o s + ) ， 求得其买权和卖权的定价公式分别为： c ( s ，f ) = 矿( s ，t ) = s e x p ( 一fg ( x ) 西o ( 吐) 一k e x p ( 一fr ( x ) d x ) n ( d 2 ) ， p ( s ，t ) = v ( s ，t ) = k e x p ( 一lr ( x ) d x ) n ( 一d 2 ) 一s e x p ( 一lq ( x ) d x ) n ( 一面) 此外，还对具有固定敲定价格的几何平均亚式期权的模型 詈+ 譬c 竿，2 等竹中争竿等- ，睢o i 【，( 善，f ) = 阡7 ( s ) ( o s 佃) ， 给出买权的定价公式： u ( 善，f ) = 善p 6 ( 吐) 一( 1 n k ) e 。n q ：d 2 ) 所得结果与用经典解法求得的定价公式完全一致。 关键词：期权定价；积分变换：b l a c k s e h o l e s 模型；红利；布朗运动 a b s t r a c t o p t i o ni st h ec o r ct o o lt or i s km a n a g e m e n t o p t i o nt h e o r yi so n eo f t h eg r e a t e s tf i n d i n g s i nt h ea l c ao f t h ew o r l d se c o n o m i c si nt h e2 0 “c e n t u r y s c h o l e sa n dm e r t o n ( b l a c k ) w h oh a d g a i n e dt h en o b e lp r i z em a d eg r e a t l yd e d i c a t i o nt ot h et h e o r yo fo p t i o np r c i n g t h er e s e a r c h o no p t i o np r i c i n gt h e o r yi sf o c u s e do nt h ef o l l o w i n gt w oa s p e c t s ：o n ei sh o wt od e s i g nn e w o p t i o n st os a t i s f yt h ec h a n g i n gi n v e s t m e n td e m a n d ；t h eo t h e ri sh o wt op r i c et h em o r ea n d m o r ec o m p l i c a t e do p t i o n s ，i e o p t i o np r i c i n g t os o l v e t h e b - s 。s p r i c i n g f o r m u l a s ，t h e r e a t e m a n y p o p u l a r m 烈l l o d $ n o w ，s u c h a s p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，a n a l y t i c a la p p r o x i m a t i o n ，b i n o m i a lt r e em e t h o d s ，f i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o da n dm o n t e - c a r l os i m u l a t i o n w es y s t e m a t i c a l l yr e p r e s e n tan e wm e a no f s o l v i n gt h e m o d e l - - t h em e t h o do f i n t e g r a lt r a n s f o r m a t i o nb yt h et h e o r yo f i n t e g r a lt r a n s f o r m a t i o ni nt h i s p a p e r a n dw e r e s e a r c ht h em o d e li n t h ea s p e c to f q u a n t i t ya n dq u a l i t y s p e c i a l l y , w cp r i m a r y d e a l sw i t ht h eo p t i o np r i c i n go f b l a c k - s c h o l e sm o d e lw i t hc o n t i n u o u sd i v i d e n dp a y m e n t s 詈+ ( r ( f ) - q ( t ) ) s 芸s + l o t 2 万0 2 v 川肛o 【r ( s ，乃= w ( s x o s s 佃) ， t h e ng e tt h ec a l lo p t i o na n dp u to p t i o nf o r m u l a s ： c ( s ，f ) = v ( s ，t ) = s e x p ( - f q ( x ) d x ) n ( d 。) 一k e x p ( - ，( x ) d x ) n ( d d ， p ( s ，f ) = 矿( s ，f ) = k e x p ( 一f ，( 力& ) j h 一畋) 一s e x p ( 一r g ( 工) c 劬j ( 一吐) a n dt h em o d e lo f g e o m e t r i ca v e r a g ea s i a no p t i o n sw i t h 丘k e ds t r i k ep r i c e 詈+ 譬昂2 罟+ ( r - q - 争孚詈一，u = 。 lu ( f ，f ) = w ( s x 0 s 佃) ， t h e nw eg e tt h ec a l lo p t i o nf o r m u l a ： ( ，( 孝，f ) = 参产( ) 一( i n k ) p 。( 畋) t h er e l e v a n tf o r m u l a sa b o u tc a l lo p t i o na n dp u to p t i o n , w h i c ha a l li d e n t i c a lw i t ht h e c l a s s i c a lo n e s k e y w o r d s ：o p t i o np r c i n g ：i n t e g r a lt r a n s f o r m a t i o n ； d i v i d e n d ；b r o w n i a nm o t i o n 武汉科技大学硕士学位论文第1 页 第一章绪论 1 1 实际背景 一个国家经济的发展，离不开金融的发展。金融市场，特别是资本市场对西方经济 的发展起到了非常大的推动作用。以资本市场为主要融资方式的国家，在过去的十年中 既享受了经济繁荣也保持了金融系统的稳健发展。美国是最早发展资本市场并使之成为 企业的主要融资渠道的国家，其金融系统保持着良好的运行态势。欧盟在欧洲货币统一 以后，资本市场也取得了快速发展。日本是发达国家中以银行系统作为其主要融资方式 的国家，其银行系统的不良资产非常严峻，经济增长缓慢，经济十年不振。 随着中国的改革开放，市场经济改革取得了很快的发展，经济的快速发展需要一个 发达的金融市场。目前中国股票市场、国债市场、企业债市场已初具规模，银行也在进 行商业化改革。随着中国加入w t o ，金融市场逐步对外开放，中国正在朝着建立一个发 达的金融市场体系这一目标前进。不断鼓励探索金融创新，加快会融市场建设步伐，建 立一个有效的、现代化的金融体系是中国当务之急。中国经济的进一步开放和国际市场 全球化的发展趋势，更增加了这个任务的紧迫性。 2 0 世纪6 0 年代证券组合理论的突破和7 0 年代衍生证券定价模型的发现，促使了股 票、债券、和金融衍生品的投资规模成几何级数增长。当时，金融作为一个新兴领域又 可以分为两个部分：资本市场理论与实践( 如股票市场和债券市场等投资决策) ，公司 财物( 公司的资本结构和投资决策) 。理论研究的一个重要任务就是指导公众投资者， 帮助他们作出理性的投资决策。理论发展也可以提高金融市场的有效性和稳定性。有关 理性投资行为的理论研究对于政策制定者和管理人员也十分重要，因为这将有助于建立 一个公平、透明、稳定、有效的市场。研究资产价格行为模式的实证研究主导着金融的 理论研究领域。这是一个很自然的现象，因为7 0 年代股票市场蓬勃发展，无论是机构 投资者还是个人投资者都强烈地希望找到一种能够击败市场的方法。许多重要的资产定 价理论便是在那一个时期发展起来的。 中国金融市场虽然目前尚不发达，但在未来十年中它在国民经济中所扮演的角色将 越来越重要。因此对于从事金融研究的人来说，以科学的眼光来看待这个市场是至关重 要的。特别是应该揭示事实和真理，以此指导公众投资者，为政府管理者提供导向。美 国过去的经验显示，学术理论的发展对于金融界的实践有着巨大的影响，中国的情况也 是一样的。 2 0 世纪7 0 年代，以金融制度创新和金融工具创新为主要内容的金融创新( 缅a n c i a l i n n o v a t i o n ) 浪潮在西方发达国家此起彼伏，风起云涌。特别是各种新颖的金融衍生工具 层出不穷，交易量在世界范围内迅速扩大，其对宏观金融运行的影响及在微观财务管理 中的作用日益显现。 第2 页硕士学位论文武汉科技大学 1 2 理论背景 现代期权出现在2 0 世纪7 0 年代。但是，期权有着很久远的历史。 据记载【i j ，亚里士多德描述有关泰利斯的故事，和他发明的金融工具，是历史上第 一笔关于选择权契约的相关纪录。亚里士多德( a r i s t o t l e ) 在他的政治学( p o l i t i c s ) 第一册中，就把期权描述为“一种有广泛应用的财务设备”。亚里士多德接着又说了一 个小亚细亚哲学家泰利斯( t h a l e s ) 的故事。泰利斯在某个冬夜里观看星象，预见下个 秋季的橄榄收成会比往年好很多。于是，他拿着微薄的积蓄，不动声色地造访当地每家 橄榄榨油坊，预付些许定金，言明秋天一到，就得把榨油机的优先使用权给他。他争取 到很低的价格，因为离收成期还有9 个月的时间，况且谁会知道下次收成到底是好是坏 呢? 泰利斯购买了橄榄油机的使用权的买入期权，此举的根据是：他预计下次橄榄的收 成将很好。他的预言果然实现，他履约后把橄榄油机组给农民使用，获得了相当多的利 润。又有记载认为泰利斯预计下次橄榄的收成不好，而购买了将来以某一预定价格购买 橄榄的权利，当橄榄果然歉收时，他就“垄断了市场”。虽然有些学者对泰利斯是否从 事过此类交易表示怀疑，但历史上的记载确实说明了期权交易在数世纪以前就存在了。 1 9 7 3 年4 月2 6 日，c b o t 建立了芝加哥期权交易所( c h i c a g ob o a r do fo p t i o n e x c h a n g e ，c b o e ) ，开始交易股票期权。这标志着金融衍生品发展史上占据极其重要地 位的期权交易从此可在场内合法地进行，并以此为起点，开始了期权合约标准化、期权 交易规范化的进程。 金融衍生物( f i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ) 是一种风险管理工具，它的价值依赖于其他更基 本的标的资产( u n d e r l i n ga s s e t s ) 的价格变化。在金融市场、商品市场中有很多种形式 的衍生工具，常见的金融衍生工具种类繁多，一般分为五大类别：远期、期货、期权、 互换和混合证券忙l 。 在各种金融衍生工具中，期权是最富创造性的一种，它从根本上改变了以往所有交 易方式的盈亏对称性特征，从而使市场交易经历了一场深刻的革命。期权合约的推出极 大地丰富了投资策略的选择范围，因为期权交易除了它本身能进行各种组合之外，还能 与其他交易工具一起使用，从而能适应各种各样的市场行情变化和投资者的预期心理。 除了在金融投资领域中被用于市场风险的控制与市场盈利的发掘之外，期权思想在矿产 资源的开发、研发费用( 黜d ) 的投入、实物资产的购买、工程的评估、项目的筹建等 资本预算或决策分析过程中也被积极引入。换言之，除了金融期权之外，实物期权( r e a l o p t i o n s ) 管理期权( m a n a g e r i a lo p t i o n s ) 在“不确定条件下的投资”领域中也正在大显 身手。如今，作为一种选择权，期权无处不在。可以毫不夸张地说期权合约及其所体现 的交易思想是2 0 世纪金融领域中最重要的创新，它带来了投资决策方法的革命，是改 善战略思维的最有价值的工具。 我们都知道，期权是一种权利。既然期权赋予它的持有者是一种权利而不是义务， 那么它必然有一定的价值，即期权的价值。那么，期权的购买方要支付多少费用才能得 武汉科技大学硕士学位论文第3 页 到选择权，这是期权交易的关键问题。现代期权理论正是以期权定价为轴心建立的，而 且，定价问题的解决极大地推动了期权交易的发展。在这个意义上，现代期权理论实际 上就是期权定价理论。 历史上，期权定价模型分成两类m ：特定模型和均衡模型。特定模型一般只依靠经 验观察和曲线配合，因此不需要反映任何被经济均衡强加的价格限制。特定模型本质上 使期权价值与期权期望收益贴现值相等，而期权的期望收益明显依赖于将来股价的假定 概率分布。另外，用期望收益率作为贴现成现值的贴现率必须也是指定的。而均衡模型 则是按照一般均衡理论的公理化研究方法，根据市场参与者最大化的结果来推断期权价 格。建立期权定价的均衡模型的努力，可追溯至法国数学家巴舍利耶( b a c h e l i e r , 1 9 0 0 ) 发表的一本著作投机理论( t h et h e o r yo f s p e c u l a t i o n ) 。在他的这本著作中建立了一 种期权定价模型，类似于后来推导出的一个物理学上的热方程。但是，这一期权定价模 型在经济学和数学方面存在缺陷，尽管如此，它却指明了用来研究期权定价的均衡原理 的各种途径。期权定价均衡模型的最重要突破来自费雪布莱克和迈伦嘶科尔斯在1 9 7 3 年撰写的论文。 布莱克斯科尔斯期权定价均衡模型的诞生，标志着现代期权理论的建立。这个 模型回避了关于个人风险偏好和市场均衡价格结构的限定性假设，发展了期权定价的均 衡模型。布莱克和斯科尔斯证明有可能组建一个包含股票和无风险资产头寸的投资组 合，使其在短时期内的盈利与期权完全一致。另外，布莱克和斯科尔斯还精确的表明投 资组合的组成如何随着股价的波动和时间的流逝而不断变化，以使其盈利与期权盈利继 续保持一致。这个模型既美观又可观的刻画了风险和价值之间的关系。投资人知道股票 和期权的目前价格、期权的履约价、到期日及现行利率。有了这些资料，这个模型就能 够预测隐含在期权价格内的股价波动性。然后，则是靠投资人来判断市场对于股票波动 性的预测是太低、太高还是适中。 1 3 期权定价理论的近期发展 布莱克一斯科尔斯原始模型是为欧式期权定价的，即必须到到期日才能执行的期 权。这一模型的产生有一系列假设条件，主要有4 个方面【3 】： ( 1 ) 市场的无摩擦性。即无税，无交易成本；所有的资产可以无限细分；无卖空 限制。 ( 2 ) 从时刻f = o 到f = t ，都可以以一相同的不变的利率借贷，利率按连续复利r 计 算。 ( 3 ) 从时刻t = 0 到t = t 股票不分红。 ( 4 ) 标的股票价格的变化遵循对数正态分布的随机过程，包括以下条件： i 股票价格连续变化： i i 在整个期权生命期内，股票的预期收益和收益方差保持不变； 第4 页硕士学位论文武汉科技大学 i i i 在任何时间段股票的收益和其他时间段股票的收益互相独立； i v 任何时间段股票的复利收益率服从正态分布，即有 l o g ( 器h 声( f 2 m c r 2 ( ，2 删 其中，是无风险利率，丁为到期日( 、t e 【0 ，刀) ，s 为标的物( 股票) 的价格， 为漂移率，即预期收益率，盯为股价波动率，。且，、盯均是与时间t 无关的正常数 ( 在本文后续出现的这些符号均代表同样的含义) 。 这4 个假设条件使布莱克一斯科尔斯模型建立在与真实市场相差较大的“理想市场” 基础上，近2 0 多年来，经济学家们试图在“放松”这些假设条件情况下，寻求更贴切 实际市场的期权定价模型，取得了许多优秀成果，极大地丰富和发展了期权定价理论。 9 0 年代以来特别是近几年，很多经济学家对不完善市场、标的资产的价格存在异常 变动跳跃或者标的资产收益率的方差不为常数等情况下的期权定价问题进行了广泛研 究，取得了许多重要研究成果。其中最值得一提的就是极大地丰富了期权定价模型方面 的相关理论，在经典的b l a e k - s c h o l e s 模型的基础上，提出了许多新的模型。 下面将对其中一些期权定价模型给予介绍。首先对一些符号给出说明，在下述的模 型中，v 为期权价格，足为敲定价格，g 为红利率。这些模型有【4 】： ( 1 ) 经典b l a c k - s c h o l c s 期权定价模型 旦竺+ 三盯：s ：曼芝+ 心里一r y ：o 魂2a s z舔 = 器篙嬲 根据此模型中的边界条件不同，而有不同的模型，如巴黎期权、巴拉期权等。 ( 2 ) b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的推广之一支付红利 詈+ 竿s 2 而0 2 v 巾伊删s 豢川肛。 i 矿l = 形( s ，乃( 边界条件 其中，o ) 、盯( f ) 、g o ) 是与时间有关的函数( t g 包含为常数的情形) 。 ( 3 ) b l a c k s c h o l e s 期权定价模型的其它推广形式 詈+ 了0 - 2s 2 豢+ ( r g 沁詈一= o 【矿l ，= ( s ，r ) ( 边界条件) 根据边界条件的不同，可以分为两值期权、复合期权、选择期权、永久美式期权、移动 关卡期权、部分关卡期权等。 武汉科技大学硕士学位论文第5 页 ( 4 ) 路径有关期权 算术平均亚式期权的定价模型： 。 竺o t + 型t 孑+ 1 2 盯2 s 2 豢+ ( r 刊s 詈一= o a ，瓠2 、帮 【v ( s ，j ，d = ( s ，d ( 边界条件) 几何平均亚式期权的定价模型： 竺+j型罟i-!盯2s2萨02vott2+ ( r - g ) s 等一，矿= 。a s i 、1 。a s ir ( s ，j ，d = r ( s ，j ，d = w ( s ，d ( 边界条件) ( 5 ) 多维b l a c k s c h o l e s 期权定价模型 詈+ 主嘉嘞器+ 喜( r - q l - 争蕃一一o l 矿l = 矿( s ，鼠，d ( 边界条件) 其中，五= i n s i ( f = 1 ，n ) 同样，根据边界条件的不同，有彩虹期权、一篮子期权、双 币种期权等。 当然，除了上述模型之外，还有跳扩散模型、关卡期权、重置期权、回望期权等 等一些非常重要的期权定价模型。 不完善市场假设显然要比完善市场假设更接近真实的金融市场，但这时的期权定价 问题就复杂多了。在不完善市场情况下，通常难以得到布莱克一斯科尔斯模型那种期权 的公平价格，已有的定价方法也将失去其作用。关于不完善市场的期权定价问题”1 ，目 前经济学家采用的主要方法有方差最优套期保值( v a r i a n c e - o p t i m a lh e d g i n g ) ，均值方差 套期保值( m e a n - v a r i a n c eh e d g i n g ) ，超套期保值( s u p e r - h e d g i n g ) 和有限风险套期保值 ( 1 i m i t e d - r i s kh e d g i n g ) 等方法，在这方面做出过重要贡献的经济学家主要有 b a r r o n & j e n s e l l ( 1 9 9 0 ) ，f o l l m e r & s e h w e i z e r ( 1 9 8 9 ，1 9 9 1 ，1 9 9 3 ) ，s c h w e i z e r ( 1 9 9 0 ， 1 9 9 1 ，1 9 9 2 ) ，h o f m a n n 等( 1 9 9 2 ) ，d a v i s ( 1 9 9 3 ) ，k a r a t z a s & k o u ( 1 9 9 8 ) ，k a r a t z a s ( 1 9 8 7 ， 1 9 9 1 ) ，e 1 k a r o u i & q u e n e z ( 1 9 9 5 ) 【6 h 1 ”。 对基础资产收益率的方差不是常数情况的期权定价问题进行研究的主要学者有： h u l l & w h i t e ( 1 9 8 7 ) ，m e l i n o & t u m b u l l ( 1 9 9 0 ) ，a mi n & n g ( 1 9 9 3 ) ，h o s t o n ( 1 9 9 3 ) ， n a n d i ( 1 9 9 8 ) ，k a l l i a n p u r & x i o n g ( 1 9 9 9 ) 2 0 】。 b s 模型诞生后，许多学者由此得到启发，相继推出了许多期权定价模型并发展了 许多期权定价的方法，我们大致了解一下如今比较流行的定价方法： 1 、偏微分方程：构造期权定价模型，使得期权价格满足某个偏微分方程，通过求 解方程导出其解析定价公式。但是有些期权定价模型不定存在显式解析定价公式。 第6 页 硕士学位论文武汉科技大学 2 、，解析近似方法：对一些不存在显式解析定价公式的期权如美式标准期权，算术 平均期权等，采用偏微分方程技术或概率方法以及阶矩等方法求得其近似解析定价公 式。当然，其所能求解的只是极其有限的一部分定价模型。 3 、二叉树方法：这是b s 模型的一个离散版本。不过，这只是一种离散情形，对 于某些连续情形( 如连续支付红利) ，只能看作是它的一个近似。其次，二叉树方法的 精度也不高。 4 、有限差分方法：这是偏微分方程数值解的一种常用技术，它利用差分逼近将b s 模型转化为一组差分方程来求解。在当今计算机相当普及的情形下，人们还是乐于使用 数值方法，特别对于一些复杂的期权定价问题，其显示出很多优越性。但是，其一，差 分方程的解是否收敛到偏微分方程定解问题的解? 即收敛性问题。其二，应用计算机进 行差分方程的求解时，难免在每次运行中弓 入舍入误差，这些舍入误差能否得到控制， 有没有可能由于微小的舍入误差而引起解的完全失真? 即所谓的稳定性问题。 5 、m o n t e - c a r l o 模拟：该方法利用计算机模拟标的资产价格的随机运动和对应的期 权收益，并将这一收益按无风险利率进行贴现，由大量的随机样本得到的贴现后收益的 算术平均值就是这一期权的估计值。但这种方法速度较慢，而且不能处理具有提前执行 特征的期权。 本文将采用一种新的方法积分变换法( 梅林变换和拉普拉斯变换) 来求解b s 模型，在后续几章中将有详细介绍。此种方法以梅林变换和拉普拉斯变换的相关知识为 基础，巧妙地利用它们的特殊性质来进行求解。它同时克服了以上几种方法的缺点。 美式期权的定价问题要复杂得多，美式看跌期权问题的解析解的求解问题还没有取 得实际性突破。布伦南和施瓦兹( s c h w a r t z ，1 9 9 7 ) ，帕金森( p a r k i n s o n ，1 9 9 7 ) ，以及 其他一些人已经描述了这些问题和其他一些没有解析解合约的数值解法。 期权定价方法具有广泛的应用价值，已被应用于包括股票，公司债券，期货，可变 利率抵押，保险和投资在内的金融证券和合约的广阔领域。期权定价理论已经成为我们 理解金融合约的重要因素和普及应用的使用工具。 武汉科技大学硕士学位论文第7 页 第二章预备知识 2 1 期权理论的早期发展 2 1 1 期权定价模型的起源 最早的期权定价模型的提出应归功于法国的巴舍利耶( b a c h e l i e r ) | 4 j 。早在1 9 0 0 年，l o u i sb a c h e l i e r 发表了他的学位论文 t h e o r i ed el as p e c u l a t i o n ) ( 投机交易理论) ， 它被公认为是现代金融学的里程碑。他基于对当时西欧、主要是法国的证券交易所的资 产或证券的交易行情的观察，利用它的数学知识，思考如股票、期权、期货等所谓“投 机”性很强的证券交易的价格遵循的规律。他的观点完全不同于从证券的历史价格的曲 线中进行经验总结，再去预测未来价格变动方向和大小的经验性理论，如与他所处时间 差不多的d o w 理论、波浪理论等，而是从观察得来的感性经验中，概括出一些前提性 假设，然后用数学工具进行推导，构造一个关于实际运行的理论模型，从该模型中得出 对未来的预测，然后再用经验数据对其进行检验。他在文中第一次给予布朗运动严格的 数学描述，它假设股票价格过程是一个没有漂移和每单位时间具有方差盯2 的绝对布朗 运动( 又称算术布朗运动) ，他得出到期看涨期权的预期价格是： p ( s ，f ) ：s n ( s - - - 警f ) 一心芒华) + 盯掀量竿) c r 、t c r 、l t g q t 其中p ( s ，t ) 表示t 时刻股票价格为s 时期权的价值，s 表示股价，x 表示期权的执 行价格，( ) 表示累积正态分布函数，妒表示标准正态分布密度函数。 虽然巴舍利耶定价模型有它的缺点，但是它的重要意义在于首次引入随机过程描述 股票价格，给出了第一个描述期权价格运动的数学模型，把数学方法带进了金融经济学， 为期权定价的研究奠定了数学基础。按照默顿的说法，巴舍利耶的工作标志着连续时间 随机过程的数学和连续时间为衍生证券定价的经济学的同时诞生。 2 1 2 期权定价模型的继续发展 在巴舍利耶以后，期权定价模型的最新发展，当属斯普里克尔的定价模型i l 】。他假 设了一个股票价格服从具有固定平均值和方差的对数正态分布，且该分布允许股票价格 有正向漂移。他的这一模型部分的消除了巴舍利耶公式的两个缺陷：其一，股价是正态 分布，这样就直接排除了证券是非正价格的可能性以及与之相联系的期权的无穷价格问 题。其二，允许有随机游走漂移，这样，就允许有正的利率和风险厌恶。不过，该模型 同样也没有考虑资金的时间价值。 博恩斯同样假设股票价格收益服从对数正态分布。他认识到投资者对风险态度的重 第8 页 4 硕士学位论文武汉科技大学 要性，因此他另外加入一个假设：投资者对风险的态度是无差异。他考虑了货币的时间 价值，从而避免了斯普里克尔的错误，然而，他的前提性假设忽略了股票和期权有着不 同的预期收益率，他给定的期权的期望收益是一个较高的常数。他假定股票价格遵循带 有正的成长率p 的几何布朗运动，因而允许有正利率和风险收益。 上述模型称为“不完全模型”，因为上述模型或者假设不合理，或者在运用上受到 限制，巴舍利耶模型的主要缺陷在于股票价格为负的可能性与公司责任的有限性相违 背；斯普里克尔模型含有两个主观的变量在运用上受到限制；博恩斯模型假设投资者对 风险的态度是无差异的，这与现实生活不相符。 2 2 布朗运动及伊藤( n 6 ) 过程 2 2 ，股价变动过程及伊藤( i t 6 ) 过程 随机过程论是研究随即现象的数量规律性的数学理论分支，是构成随机模型的基础 理论之一。自从人们发现实际中许多现象都具有随机性以后，随机过程的方法已经广泛 地应用于各个领域了。随机过程的理论和随机分析的方法已越来受到人们的重视。其中 的一些内容，如m a r k o v 链、随机微分方程、布朗运动等在金融工程中得到广泛的应用瞄”。 在金融工程的研究中，人们发现股价、利率、汇率等受到诸多因素的影响，如国民 收入、通货膨胀率、利率水平、能源价格等等。因而，它们的波动呈现出一种随机的态 势。随机过程理论成为一种有力的分析工具。 由实际结论可知，股价、利率及汇率等变动过程呈现随机行为而无法预测。它的变 动过程可以某一种随机过程来代表。其中之一是维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 或布朗运动 ( b r o w n i a nm o t i o n ) ，它是马尔可夫随机过程( m a r k o vs t o c h a s t i cp r o o 骼s ) 的一种。 一个随机变量是布朗运动必须具备下列两个条件： ( 1 ) 在某一小时段a f 内，它的变动是与时段a ，及纯随机变动占相关的，且可用公式表 示为：a 形= 占0 。其中占n ( 0 ，1 ) ，即服从期望为0 ，方差为1 的正态分布，且为白 噪声。 ( 2 ) 在两个不重叠的时段“及a s ，w 的增量a 形和a 形是独立的( 即相关系数 为o ) ：c o v ( a 彬，a 形) = 0 ，a 形= 形一形。，形= 形一形。， 形 形一i = p s ，j ，f ) = 椰 2 2 2 伊藤( i t 6 ) 定理 在大量的工程技术应用中，当系统又随即干扰影响时，系统的微分方程需要增加随 机因素的影响。这是常微分方程的推广，其微分方程的形式为： f d r ( f ) = f ( t ，x ( f ) ) 出+ g o ，x ( t ) ) d w ( t ) 【z 瓴) = 局 或用其积分的形式： x ( f ) = 蜀+ 厂( f ，石o ) ) 疵+ ( g ( f ，x ( f ) ) d 矿( f ) ( 2 6 ) ( 2 6 ) 式右边第一个积分为均方积分，第二个积分既不是一般均方( 黎曼) 积 分，也不是均方黎曼斯蒂吉斯积分，而是伊藤随机积分。 股票期权的价格是股票价格和时间的函数，更一般地，我们可以说任何一种衍生证 券的价格都是这些标的衍生证券随机变量和时间的函数，因此必须对随机变量函数的行 为有所了解，一个重要的结论就是n 6 定理。 定理2 1 ( i t 6 定理) 2 q 假设某随机变量z 的变动过程可由i t & p r o c e 豁表示如下： 凹= a ( x ，f ) 毋+ 6 ( x ，t ) d w 令f ( x ，t ) 为随机变量x 及时间t 的函数，亦即f ( x ，f ) 代表标的资产x 的某一种衍 生性商品价格，诸如买全、卖权、期货价格等等。则该衍生性商品的价格变动过程可表 示如下： ：犀+ 翌口+ 三翼b ：渺+ 笪姗 。 、融馘2o x l 。a x 其中，f = f ( x ，t ) ，a = 口( x ，t ) ，b = 6 ( x ，f ) 上述即是伊藤定理的表述。它的证明过程可由泰勒展式得到，此处我们不再详述。 武汉科技大学硕士学位论文第1 1 页 2 3 积分变换 2 3 1 拉普拉斯变换 大家都知道，傅里叶变换和拉普拉斯变换有很多良好的性质，它们被广泛应用于数 学物理等学科中，在图数字信号处理等方面也起着不可忽视的作用阱。拉普拉斯变换 的实质仍然是积分运算，但它对像原函数的要求比傅里叶变换要弱得多，因此它的适用 面更广。本小节将介绍拉普拉斯变换的定义和一些性质。 1 拉普拉斯变换的定义 定义2 1 设厂( f ) 为定义在 0 , 4 - 0 0 ) 上的实值( 或复值) 函数，其拉普拉斯积分收敛。 称积分 耶) = i _ f ( t ) e - 。d t 耶) 2 上 ( 其中s 为复参量，记j = 口+ 泐，口、g o 均为实数) 为函数f ( t ) 的拉普拉斯变换( 简称拉 氏变换) 。用字母三表示，即 ，( j ) = q 厂( f ) 】 拉氏变换的逆变换由下式给出 f ( t ) = 去：耶) e j t d s 2 拉普拉斯变换的性质 以下我们来讨论拉氏变换的性质。拉氏变换有很多常用的性质，本节我们只介绍在 本文中将会用到的部分性质。 ( 1 ) 线性性质 对任意的常数a 、b ，有 a f , ( f ) + 皈( f ) 】ia z f , ( x ) + b 1 4 l ( x ) 】， 工- t m ( f ) + 皈( f ) 】- a l - 1 f , ( x ) l + b l - l 五】 ( 2 ) 微分性质 若厂( f ) 】_ f ( s ) ，则有 l f 7 ( f ) 】= s f ( s ) - f ( o ) ， ( 2 7 ) l f 。( f ) 】- 5 2 f ( j ) 一s t ( o ) 一厂( 0 ) ( 2 8 ) 由傅利叶变换和拉普拉斯变换的相关知识知，二者有如下关系： 【厂( 力】= f = f i f ( x ) u ( x ) e 一“】 ( 2 9 ) 塑! ! 里 。：堡主兰垡堡壅壅圣塑垫垄兰 其中，户( ) 表示傅里叶变换。 2 3 2 梅林( m e l l i n ) 变换 我们将介绍一种由拉普拉斯变换导出的常用积分变换梅林变换。梅林变换对像 原函数的要求同拉普拉斯变换中的要求一样。 1 梅林变换的定义 文章 2 3 中给出的梅林变换的定义如下。 定义2 2 若q ，c 2 为实数且c i c 2 实函数，( 力m ( q ，c 2 ) 当且仅当， ( 1 ) 如果工 o ) 可积 ( 3 ) 当并- - 0 + 时，( 功= o ( x 1 ) ( 4 ) 当工- - 佃时，( 曲= o ( x 一气) 若厂m 如，c e ) ，则，的梅林变换定义为： ( z ) 皇厂( 力= r 厂( 。1 d x 其中，z 为复数，g z = a + i c o ( 口，国为实数，c l o ) a 昂 x w ( 砷】( z ) = 一z f u 形( 力】( z ) ( 2 1 0 ) 昂 z 2 。( 矽】( z ) = ( z 2 + z ) f m 【矿( z ) 】( z ) ( 2 1 1 ) 下面只给出( 2 1 0 ) 的证明，( 2 1 1 ) 的证明过程类似。 证明日【工矿渊( 力= 研矿。w ( e - 。e - “】 ) = f - e 1 ( 矿( p 。) ) ee “】( 珊) = 一f 【( 形( e “) e 一“) + w ( e - 。) p 1 4 口】( 国) = 一， ( 矿( p 。) e - a x ) 】+ f w ( e 。) 矿“口】( ) = 一( i ( n f w ( e 。) 矿“】+ 口研w ( e 。) 矿“】) = 一z f m 【形( 力】( z ) 我们已经知道，若函数g ( x ) 满足傅氏积分定理中的条件，则g ( x ) 的傅利叶变换为： f i g ( x ) 皇e g o e - “a xg g ( o j ) 且g ( o j ) 的傅利叶逆变换为： f - i 【g ( 硼( 班去e g ( 国弦“d c o = g ( x ) 而且傅利叶变换还有这样的性质： 若a ( 缈) ，b ( ) 分别为n ( j ) ，6 ( 工) 的傅利叶变换，则有： e 8 柳a ( a o b ( o g ) d o 。= 2 万e d ( 曲6 ( y 一批 ( 2 1 2 ) 从而由梅林变换和傅利叶变换的相关知识知，三种变换之间有如下关系： 匕【，( 工) 】( z ) 皇f z ) = f e - “f ( e 。) 】( ) e - f ( e ) = f 。i f + ( z ) ( 石) ( 2 1 3 ) 第1 4 页硕士学位论文武汉：科技大学 其中，( ) 、f “( ) 分别为傅里叶变换和傅里叶逆变换? 2 3 3 梅林变换的扩展 在本节中，我们将定义2 2 中的条件( 2 ) 改为：，在任意有限区间几乎处处可积。 则得到新的函数类砑如，乞) 。下面证明：当，e 暂时，l e f c x ) x “出的收敛性其中，磊 是厂在( o ，+ m ) 上的不可积点构成的集合，故有：埘岛= o 记e = ( o ，+ ) 磊。 下面对厂0 ) = f 。厂( 功r 。1 出收敛简单地加以证明。 由于函数( 力在扇上不可积，我们做函数g ( 力： f ， 工e 删2 k 啦掣而毛 q j 4 其中，瓴o ) 为简单函数列，满足觋纯( 力= 厂( 力( 在可测集e 上) ( i ) 当“曲0 时 ( 2 ) 一般情形 因为有 f 【2 8 幻 = 丁 b f = r 一f 一 同( 2 1 4 ) ，分别对厂+ ( 力与厂一( 力作出相应的非负简单函数列 纯+ ( 力) 与 纸一( 力， 即可。故g ( x ) m ( q ，c 2 ) ，即有 g ( z ) = 肘【g ( 功】( z ) = f g ( 功r 。1 西r 收敛。 则有 f g ( 工) r 。1 出= ( d f 。厂( x ) 广1 由+ ( 研k g ( 班“d r 下面考察( 上r ) 式 l g ( x 弦“出i i k g ( x ) 出| - 0 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ) 2 l = 斥 ， 雄 v l f f v i 一 o 武汉科技大学硕士学位论文第1 5 页 上式最后一个等号成立见 2 4 ，p l l 7 j 。 从而 岛g ( 工) x ”d x = o 由( 2 1 5 ) 一( 2 1 8 ) 可知： 厂( z ) = f e f ( x ) x - d x 收敛。 从而，我们得到l e b e s g u e 积分意义下的m e l l i n 变换的定义： 定义2 3 若厂m ( q ，乞) ，则厂的梅林变换为： 厂( z ) = 蔚l 厂 ) 】( z ) 或厂( z ) = m 。【，( j ) 】( z ) 广协= l 。f 击c 并且其收敛。 相应地，梅林变换的反演( 梅林逆变换) 公式为： 似) = 2 疥i _ lc ：( z ) x 一。出 记为： ，( x ) = 面。1 i f + ( z ) 】 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 下面讨论m e l l i n 变换的一些性质。 在 2 3 第三节中，我们已经知道，对于弱函数集m ( c l ，c 2 ) ，若r r ( x ) m ( q ，e 2 ) ， 则有w ( e 。) m ( c l ，c 2 ) ，且 ( w ( e - 。) ) = 一( ( p 。) ) e 。 定理2 2 若矿( 力m ：( c l ，c 2 ) ，则x w ( 力m e ( q ，c 2 ) ，且有 m e x w ( 力】( z ) = 一z m “( j ) 】( z ) ( q r e ( z ) c 2 ) ( 导数均取左导数) 证明由定义易知w ( 工) 肘：( q + l ，c 2 + 1 ) ，进而x w ( 工) 畦( q ，c 2 ) 同( 2 1 4 ) ， 作函数 f 矿( 力 x e y ( x ) 2 l i m _ w ( z ) r l j - , - x o f l | 2 3 ，( 3 2 0 ) 有： m x w ( x ) 】( z ) = - z m w ( x ) ( z ) ( 2 2 0 ) 第1 6 页硕士学位论文武汉科技大学 ( 2 2 0 ) 式左边：m x w ( 膏) 】( z ) = m e x w 7 ( 功】( z ) + 肘岛 x w ( 硼( z ) ， ( 2 2 0 ) 式右边：- z m w ( x ) l ( z