（基础数学专业论文）几何变分理论在图像处理中的应用.pdf

p h d d i s s e r t a t i o no f2 010 s c h o o lc o d e ：1 0 2 6 9 a c a d e m i cn u m b e r ：5 2 0 7 0 6 010 0 5 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y t h ea p p l i c a t i o n so fg e o m e t r i c v - a r i a t i o n a lt h e o r yi ni m a g e p r o c e ss i n g d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s u b j e c t ： s u p e r v i s o r ： m a t h e m a t i c s ba s i cm a t h e m a t i c s d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y p r o f c h u n l is h e n p h d c a n d i d a t e ：w e iw a n g 2 0 1 0 4 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的 是在华东师范大学攻读硕士 及取得的研究成果。除文中 茎易硝眺在俜像娃瞧串x 左用， 位期间，在导师的指导下进行的研究工作 容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 至：雏 i i l i i ：锄d 年6 月zi i 学位期间 师范大学 华东师范大学学位论文著作权使用声明 部门和相关机构如国家图书馆、巾信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查i j 6 j 、借阅：同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文宰， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 、沈不保密，适用上述授权。 导师签名浊饨一姐。本人签名。亟互罄 跏i o 年 月岁日 “涉密”学位论文应是已经华东师范人学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范人学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏 i 填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 一 ，巴， ，； ： ， ，、 i ， p 争 - ， 1 量 、 ? ! -t ， 王伟博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 灰丧林 敬旋苏习坷大謦 主席 杂确昕 表j 磋蚀太尝 狼挂戌毅放 舜磊卿蹦 募f 密爱铎杂师淤 活生花袤爰 同晰大登 本文的研究基于几何变分理论和偏微分方程理论，主要讨论了图像处理中的几 个常见问题，如图像去噪，图像分割，图像去模糊，图像增强等。基本的思路是根据 不同的背景提出相应的能量泛函，并通过求解e u l e r l a g r a n g e 方程极小化能量泛 函。对于求解e u l e r l a g r a n g e 方程的方法，本文也给出了一些快速算法，使得数 值计算更加稳定。具体地，本文的研究结果包括下面几个方面： 1 基于对n o n l o c a l b v 函数的分析，以r o f 模型为例，讨论了包含n o n l o c a l 一 丁y 正则项的泛函极小解的存在唯一性及其相应的热扩散方程解的存在唯一性。 应用方面，我们将量子集b v 函数推广至u n o n l o c a l 的情形，从而提高了图像分割 的效果。 2 讨论了基于f r a m e 的图像去模糊问题，通过分析未知函数在空间域和频率域上 正则项的不同选取，提出了三种不同的盲去模糊模型进行对比研究，并引进快 速算法，详细介绍了模型的数值实现过程。 3 在经典的图像去噪模型一r o f 模型和图像分割模型一测地活动环路模型的基础 上，引进张量投票技术，分别对平衡参数和停止函数作了修改，使得它们在保 留纹理的去噪和对比度较低的图像分割方面更加有效。 4 基于r e t i n e x 理论，我们提出了一种分解光照函数和反射函数的新模型，使用快 速算法求解达到了很好的图像增强效果，并讨论了模型解的存在唯一性，算法 的收敛性等理论。 关键词：变分法，e u l e r l a g r a n g e 方程，b y 函数，t i g h t f r a m e ，b r e g m a n 迭 代，正则项，张量投票，图像分解。 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sb a s e do nv a r i a t i o n a lm e t h o da n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w e f o c u so ns o m et o m n o np r o b l e m si ni m a g ep r o c e s s i n g ，s u c ha sd e n o i s i n g ，s e g m e n t a t i o n ， d e b l u r r i n ga n di m a g ee n h a n c e m e n t t h em e a n i d e ai st od e a lw i t ha l le n e r g ym i n i m i z a t i o n p r o b l e mb yl o o k i n gf o r t h es o l u t i o no ft h er e l a t e de u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n w ea l s og i v e s o m ef a s ta l g o r i t h m sw h i c ha r es t a b l ea n de f f i c i e n tt os o l v et h ee q u a t i o n s t h em e a n r e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 w es t u d yt h en o n l o c a l b vf u n c t i o ns p a c ea n dg i v es o m ep r o p e r t i e s t h e nt h en o n l o c a l r o fm o d e li sd i s c u s s e da b o u tt h ef o l l o w i n gt o p i c s ：e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e s o l u t i o ni nn o n l o c a l - b vs p a c e ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt ot h er e l a t e d h e a te q u a t i o n w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h en o n l o c a lq u a n t u mb vf u n c t i o n ，a n ds h o w t h ea p p l i c a t i o n si ni m a g es e g m e n t a t i o nn u m e r i c a l l y 2 w ed i s c u s st h ef r a m e b a s e di m a g ed e l u r r i n g ，i n c l u d i n gd i f f e r e n tc h o i c eo ft h er e g u l a r i z a t i o nt e r mf r o ms p a c ed o m a i na n df r e q u e n c yd o m a i n i no r d e rt oc o m p a r et h e c h o i c e ，w eg i v et h r e ed i f f e r e n tm o d e l s ，t h e nw ee x p l a i nt h e mi nd e t a i li n c l u d i n gt h e n u m e r i c a li m p l e m e n t 3 w ei n t r o d u c es o m ea p p l i c a t i o n so ft e n s o rv o t i n gm e t h o db yc o m b i n i n gi tw i t hc l a s s i c a lm o d e l s w em o d i f yg e o d e s i ca c t i v ec o n t o u rm o d e lb ya d d i n gi n f l u e n c eo f t e n s o rv o t i n gi nt h es t o p p i n gf u n c t i o nd u r i n gt h ed e t e c t i n gp r o c e d u r e ，a n dw ei m p r o v er o f m o d e lw i t ht h es a m ei d e a n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h ee f f e c t i v e n e s s 4 b a s e do nt h er e t i n e xt h e o r y , w eg i v ean e wm o d e lt od e c o m p o s et h ei m a g ei n t oi l l u m i n a t i o nf u n c t i o na n dr e f l e c t i o nf u n c t i o n w ea l s og i v es o m ee x i s t e n c ea n dc o n v e r - g e n c et h e o r ya b o u tt h en e wm o d e l s o m ef a s ta l g o r i t h m sh e l pu sg e tg o o dn u m e r i c a l r e s u l t s 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a lm e t h o d ，e u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o n ，b vf u n c t i o n ，t i g h tf r a m e ， b r e g m a ni t e r a t i o n ，r e g u l a r i z a t i o n ，t e n s o rv o t i n g ，i m a g ed e c o m p o s i t i o n 1 1 1 目录 第一章引言 1 1 研究背景 1 2 本文的主要内容 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 第四章 4 1 4 2 4 3 对n o n l o c a l r d f 模型的分析及应用 预备知识 b l ( q ) 空间 n o n l o c a l 一兄0 f 模型的理论分析 应用 基于f r a m e 的图像去模糊 t i g h t f r a m e b r e g m a n 迭代及其推广 基于f r a m e 的图像去模糊 实验结果 张量投票在图像处理中的应用 张量投票 张量投票和测地活动环路模型结合的图像分割 张量投票和r o f 模型结合的图像去噪。 第五章基于r e t i n e x 理论的彩色图像增强 5 1 图像分解。 5 2 模型分析 5 3 算法及收敛性分析 5 4 实验结果 1 l 1 4 4 8 1 9 3 3 8 3 2 4 4 6 1 8 8 b 1 4 l ， 4 4 8 凹 站 驺 强 钙 铊 弱 舛 铂 n 勰 醌 铝 饥 弭 的应用 论文目录 后记 v 7 9 8 5 8 6 第一章引言 1 1 研究背景 数字图像处理是将图像信号转化成数字信号并利用计算机进行处理的过程， 是2 0 世纪6 0 年代以来随着计算机技术的发展而产生，发展和不断成熟起来的一个 新兴技术领域。数字图像处理技术主要包括图像增强，图像复原，图像重建，图像 编码，图像识别，图像理解等内容，它的发展涉及信息科学，计算机科学，数学，物 理学以及生物学等学科，近年来，数理学科对于图像处理的发展有越来越大的影响。 随着数字图像处理技术的不断完善，它广泛应用于空间探测，遥感，生物医学，人 工智能及工业检测等许多领域，并促进了这些学科的发展。 基于变分法和偏微分方程理论的图像处理是数字图像处理的一个重要分支。许 多工作都已经取得了令人鼓舞的效果，例如用于图像分割的m o n f o r d s h a h 模型， 活动环路模型及c y 模型，用于图像去噪的r o f 模型等。对比其他的图像处理技术， 基于变分法和偏微分方程的方法有许多优势，首先，由于变分法和偏微分方程有着 深厚的数理理论支撑，所以，在建立用于图像处理的模型之后，比较容易引进理论 分析来验证模型的合理性，这同时也为我们提出新模型，新方法提供了一个切入点。 其次，由于变分方法相对比较灵活，我们往往可以在此基础上引进其它的技术来提 高图像处理效果，例如统计分析，小波以及信息论的相关技术都可以适时地引入变 分模型。近年来，越来越多的人开始关注并应用变分法及偏微分方程理论进行图像 处理研究，实际上也推动了变分法和偏微分方程理论的发展。 由于偏微分方程理论往往是在连续性假设的条件下建立的，但是图像一般被认 为是一个有界变差函数，所以，在应用偏微分方程理论时需要一定程度的推广，这 也给我们的工作带来了挑战。 1 2 本文的主要内容 本文的研究主要基于变分法及偏微分方程理论，同时引进了其他学科的一些技 术，如张量投票技术，小波变换技术，r e t i n e x 理论等，希望提高图像处理的效果。 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 基本的思路是将图像处理问题转化成某个能量泛函的极小化问题，通过求解泛函 的e u l e r l a g r a n g e 方程达到极小化泛函，从而找到原始图像处理问题解的目的。 本文讨论了图像处理中的几个常见问题，如图像去噪，图像分割，图像去模糊， 图像增强等。通过建立模型，分析模型，数值求解等基本步骤，希望将每一个模型 都介绍清楚。 第二章主要基于n o n l o c a l - b v 函数空间，以n o n l o c a l - r o f 模型为例，分析了 带有n o n l o c a l 正则项的泛函极小解的存在唯一性理论及相应热扩散方程解的存在唯 一性理论。第一节首先给出了本章的研究需要用到的一些预备知识。第二节我们将 传统的b v 函数空间推广至u n o n l o c a l b v 函数空间并讨论了对应于b v 函数空间的 诸如下半连续性，紧性及可用光滑函数逼近等性质。第三节具体分析了n o n l o c a l r o f 模型的解的性质，通过引进逼近泛函，我们可以得到一个关于解的估计，即极 大值原理，用同样的方法考虑对应的热扩散方程，可以得到离散隐式格式迭代的收 敛性，最后综合利用上述结论，便得到了热扩散方程解的存在唯一性。第四节给出 了n o n l o c a l 正则项在图像去噪和图像分割方面的应用，主要工作是将量子集b v 函 数推广到了n o n l o c a l 的情形，用以提高分割效果。 第三章基于f r a m e 技术，提出了t y 正则项和稀疏正则项结合的三种去运动 模糊的模型，并给出了相应的快速算法。第一节介绍- f t i g h t f r a m e 理_ 论。第二节 基于b r e g m a n 算法，介绍了几个非常实用的快速算法。第三节根据正则项的不同取 法，提出了三种去模糊模型，分别是未知图像的丁y 正则项结合模糊核的稀疏正则 项，未知图像的稀疏正则项结合模糊核的t y 正则项及综合考虑的正则项，我们针 对上述模型，应用第二节给出的快速算法，详细分析讨论了求解的具体方法。第四 节给出数值实验结果。 第四章给出了几何变分理论与其他技术结合用于图像处理的一个例子，即张量 投票技术在图像分割和图像去噪方面的应用。第一节首先介绍了张量投票理论及实 现过程。第二节给出张量投票在图像分割方面的一个应用，测地活动环路模型是经 典的图像分割模型，但在分割一些对比度较低或者物体边缘较模糊的图像时，效果 不是很好。基于改进测地活动环路模型的初衷，我们在停止函数中引进张量投票技 术的影响，可以达到提高分割效果的目的。第三节为张量投票在图像去噪方面的应 用，经典的图像去噪模型一r o f 模型中，平衡参数的选取是一项较难的工作，太大 2 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 或者太小都会使正则项和保真项之间失去平衡，我们应用同样的思路，引进张量投 票技术，构造了一个新的更加合理的平衡参数，提高了图像去噪效果。 第五章基于r e t i n e z 理论，提出了一个分解光照函数和反射函数的新模型，在 新模型中，我们根据自然性质假设光照函数光滑而反射函数逐段光滑，从而选取不 同的正则项来描述这两个函数以达到分解的目的。第一节介绍了基于r e t i n e z 的图 像分解原理。第二节提出模型，并分析了模型的合理性及解的存在唯一性。第三节 介绍了求解新模型的算法及收敛性理论。第四节给出实验结果。 第六章总结全文，申明本文的创新点，并为未来的研究指出方向。 3 第二章对n o n l o c a 2 一r o f 模型的分析及应用 图像噪声是由图像的形成，获取，传输和处理等过程中的随机误差造成的。图 像噪声使图像的质量下降，也会对某些图像处理和分析带来不利的影响。如果假设 图像被加性噪声污染，则可以建立如下模型： ，= 乱+ 佗 这里，为观测到的图像即被噪声污染的图像，u 为理想的图像，n 为噪声。针对上述 问题，l r u d i n ，s o s h e r 和e f a t e m i 给出了以下模型即经典的r o f 模型【1 】： r a i n ， qi v 岫+ 害上( 舻d x 这里，a 为调节参数，q 为图像区域，v = 乱l 2 ( q ) ，v 札( l 1 ( q ) ) 2 ) ，泛函的前半 部分是正则部分，起到光滑图像的作用；后半部分是保真部分，保证处理图像不会 偏离原始图像。 许多人试图对上述r o f 模型作改进【2 ，3 ，4 ，5 】，并取得了一些效果。在【6 ，7 ，8 】中，作 者提出了n o n l o c a l 的方法，基本思想是在正则项中加入非局部的信息，对于纹理图 像的去噪效果会更好。本章将基于n o n l o c a l 的方法，首先给出n o n l o c a l r o f 模型 的定义，并给出一些相关的理论分析。 2 1 预备知识 2 1 1 泛函的一些性质 我们记x 为一个b a n a c h 空间，f 为定义在x 上的泛函。 x 的紧性性质 若x 是自反的，z 竹是x 中的有界序列，则存在子列( 仍记为z 。) 以及z x ， 满足在x 的弱拓扑下， z noz 4 注：关于各种拓扑的详细定义，参见 9 ，1 0 。 泛函的下半连续性 如果由序列_ 【z 。) 关于某种拓扑丁收敛到z ，可以推出 l i m i n ff ( x n ) f ( x ) 那么我们称泛函f 是关于这种拓扑下半连续的。 泛函的强制性 泛函关于某种拓扑7 - 是强制的，即满足下式： 1 i mf ( x ) = + 。 l i r - - + + o o 注：若7 取x 的弱拓扑，且f ( z ) 强制，下半连续，则问题i n f 。xf ( z ) 存在解。 泛函的凸性 。 对任意的z ，y x ? a 【0 ，1 】有， f ( a x - 4 - ( 1 一a ) 可) a f ( x ) + ( 1 一a ) f ( y ) 称泛函f 是凸的。 注：若考虑以下泛函： 即) = z m ，“，圳d x 其中，f ( x ，“，) 满足强制性条件，则有以下性质： 当且仅当厂关于 凸时，f ( 札) 在w 1 ，p ( q ) ( 1 p o 。) 中是弱下半连续的。从 而，由以上的讨论，我们知道问题i n lf ( “) 存在解，且当，关于f 和u 严格凸时， 解唯一。 5 华东9 币范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 次微分 泛函f 在z o 的次梯度是指，对任意z x ，满足下式的x 7 x 7 ， f ( x ) f ( x o ) + x t ( z x o ) 次微分记为a f ( z o ) ， o f ( x o ) = 如的次梯度) 5 2 1 2 b y 函数空间 本文的讨论中，我们假定q 是二维平面中有l i p s c h i t z 边界的有界开集。 定义 u l 1 ( q ) 时，定义 j ( u ) = s u p u ( x ) d i v ( 妒( x ) ) d x i c 铲( q ) 2 ，i i 妒j i l 。1 ) n 若j ( u ) _ li d u i b v w + 拓t l 若u ，u n b y ( q ) ，定义：e b v w 。拓扑下， 钆n 。钍甘u n 赢钍且d u 竹j d 钆 其中， 。u n d u 一上妒。u n 。上妒。u ，v 妒c o n ( q ， b v w 4 拓扑下的紧性 对于任意b y ( q ) 中一致有界的序列 让n ，存在子列( 仍记为( u n ) ) 以及扎 s v ( n ) ，满足：在b v w t 石t t , t ，t z 。ju 。且有以下的嵌入： 训q ，叫q ，位箬n ：- - - 其1 他 特别地，当= 2 时，b y ( q ) ql 2 ( q ) 。 光滑函数对b y ( q ) 的逼近 如果钍b v ( q ) ，那么存在_ ( u 几) cc o 。( q ) n b y ( q ) ，满足u n 五裔u ，并且， n l i r al i 。u 扣z 胁l 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 2 1 3 其他有用的性质 控制收敛定理 若 厶) cl 1 ( q ) ，存在厂满足以下条件： ( 1 ) 对任意z q ，l i - + + 厶( z ) = ，( z ) ； ( 2 ) 存在夕l 1 ( q ) ，对任意z q ，i 厶( z ) l 9 ( z ) 。 贝, l j f 三1 ( q ) ，且 l i 粤l 厶一f l d x = 0 5 2 2b 三( q ) 空间 本节我们将介绍b ( q ) 空间的定义及一些性质，首先对于u w 1 , 2 ( q ) ，定 义n o n l o c a l 梯度如下： v l u ：q q - - + r 2 ( z ，剪) 卜( v u ( y ) 一v u ( x ) ) x 5 5 t 这里u ( z ，y ) 为权函数，满足有界性及对称性，即存在常数c ， 0 c w ( x ，y ) 1 ，u ( z ，y ) = u ( 可，z ) 对于任意的p ，p 1 ，p 2 ：qxq _ r 2 ，定义点乘如下： ( ”p 2 ) ( 小= z “删) p 2 ( 删) d y x , yeq 这里等式右端的点乘为r 2 中的点乘。基于这样的点乘，我们可以继续给出以下定 义： ：= 上( p - p ：) ( z ) d ) 【= z x n p ，( z ，可) p z ( z ，) d y d x p l ( x ) ：= 历= 若p ，u 可微，则可以定义： ( d i v l p ) ( z ) ：= ( d i v z ( p ( ，z ) 、而) 一d i v z ( p ( z ，可) 、而) ) d y ，n 8 = 一 l 2 l 2 = l 2 z ( d i v 川出) 如= 。 证明：这里我们只证明第一式，其他各式可以通过第一式推出， = 、乞玎；历( ( v u ( 可) 一v u ( z ) ) p ( z ，y ) d y d x ，n x f t = v u ( y ) ( p ( x ，y ) u ( z ，y ) ) d y d x 一 v u ( x ) ( p ( z ，秒) 、u ( z ，y ) ) d x d y j q q ，2 n u u 乱( y ) d i v y ( p ( 础) 厕) d y d x + 厂fu ( z ) d i v z ( p ( 删) u g z , y ) ) d x a y ，q 一3 u ( x ) d i v z ( p ( 秒，z ) 以石丽) d ) 【d y +上上u ( z ) d i v z ( p ( z ，y ) 而) d x d y = u ( x ) ( d i v z ( p ( z ，y ) 、u ( z ，! ，) ) 一d i v z ( p ( 可，z ) 、u ( z ，y ) ) ) d y d x ，q q = 一fu ( 州上( 州吣俪而) - d i v e ( 出川镢而) ) d y ) d x = 一 l 2 接下来，我们将上述n o n l o c a l 梯度推广，若“l 1 ( q ) ，定义： 丁l ( u ) = zf 。刊：= 卵m 删s u p ：川圳。 相应的b 垤l ( q ) 空间定义如下： u ( x ) d i v y l ( x ) d x b 垤l ( q ) = u l i ( q ) ，t v n l ( n t ) 。) 类似于b v ( q ) ，我们可以得到一些性质，详见【6 】，这里我们可以给出简单的证明。 9 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 性质2 22 ( 下半连续性) ：如果序列 钍 ) 在l 1 ( q ) 中强收敛到u ，则有： l i r a 一。i n f d l l j d n l u 证明：对于任意固定的妒曙( q q ) 2 ，i f 咖l l 1 ， z f lu d i v n l a x = 。l i r a u 础v c d x u mi n f 上陬l 对左边一项中的西取上确界即得结论。 性质2 23 ( 逼近定理) ：对于任意u b v n l ( n ) ，存在序列 u 0cb v n l ( a ) n c ( q ) ， 满足： 熙上i u t u i d ) 【= 0 - h l i m ni d n l u i l = 二l i 。洲 证明：容易找到序列u 。b v n l ( n ) nc ( q ) ，见 1 2 】，满足， u 。一乱i d x 斗0 ，e - - + 0 仍然对于任意固定的g 铲( q q ) 2 ，忪i i 1 ， 所以， zu d i v n l 妒a x = 酬l i r a q u e d i v n l 砂a x l i m 9 f nu , d i v n l c d x _ 0 ，当e e o 时， 因此，对于这部分e ， 注意到下半连续性，于是， z u 础v l c d x f l 。删 上陬以i 上| d l 让 上陬刊鲫m 刚i n f zi 巩删驯m 刚s u p ai d n l u 。i o ，在w 1 , 2 ( q ) 中疋( 让) 存在唯一极小解饥 证明：由命题2 3 1 ，e ( u ) 关于1 , 2 ( q ) 的强制性，易得结论，参见2 1 。 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 命题2 33 如果u 。w 1 , 2 ( q ) 是问题( 2 2 ) 的解，则： 砌v 州尚) 一妒- c u e = 。 ( 2 3 ) 即：满足欧拉拉格朗日方程。乱，在a q 上满足e 乱僦佗礼边界条件，即：丝o n = 0 ，其 中，为法向。 证明：这里只需要验证丁l ( u ) 的一阶变分即可，取叩孵2 ( q ) 为测试函数， 对任意q 0 ， 未( r 嗡l ( u + a t ) ) | 口：。= 五dz = 上蝉v 警舢l ( x a x - n) ：厂娑v 脚d y d x v n qn l u i “吖。 = 一z 啦) d i v 以丽v n 习l u ) d ) 【 令上式为0 ，由7 7 的任意性即得到， 其他部分的证明见【1 3 】。 - d i v 州揣剐 引理2 3 1 设厂l o 。( q ) ，u 。是问题( 2 2 ) 的解，则有以下的估计： i n f ，仇 s u n p f d xi 。：0 甜 注：这里及以后的讨论中，我们把s u p qf i n f q ，当作，的本性上确界和本性下确界。 证明：首先我们在命题2 3 3 中的等式( 2 3 ) 两端乘以口w 1 ，2 ( q ) ，然后积分得到： 上- - d i v n l 1 v v n l l u u 。e i ) u d x x 1 上( ，一u 加d ) 【一e 上u 。d ) c = 。 分部积分得到： 上尚v n l v d x + 加训 a x + e v u , v v a x = 。 1 3 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 这里，我们记 ( u ) = 去( u 一，) 2 ，接着引入一个函数g c 1 ( q ) ，满足：当 ( - - 0 0 ，o 】时，g ( t ) = o ；当t 【0 ，+ o 。) 时，g ( f ) 严格单调递增。且存在常数m ，g 讹) m 。令 = c ( u 。一七) ，其中，k i i f i l l * 。则注意到：v n l v = g 7u 。一k ) v n l u 。， 1 4 满足： 所以，u 。在b l ( q ) 中是一致有界的，同理可得在l 2 ( q ) 中是一致有界的，我们取序 列e 。，使其满足：当n 一+ o 。时，e n _ 0 。则考虑子列，存在u 。b v n l ( q ) ， u 。_ u 。，i n l l ( q ) ，u 。一饥，i n l 2 ( q ) 因此， i n f ，“如u q p f 又由札。的定义，我们知道，对任意的u w 1 , 2 ( q ) ， e 。( u 。) se 。( 可) 由于e ( 札) e ( u ) ，且l i m 。- + 0e ( u ) = e ( u ) ，所以， e ( u 。) e 。( 地。) 最。( ) 由于b l ( q ) 的下半连续性及l 2 范数的弱下半连续性， l i r ai n fe ( 乱。) e ( u + ) 竹十 1 5 华东师范大学博士论文几何变分理论在图像处理中的应用 所以， e ( u 。) l i r a i n f e 。( v ) = e ( v ) = e ( v ) n 十 由b 瞩l ( q ) 的逼近理论，我们已在5 2 2 给出。对任意u b v n l ( q ) ，我们可以构造一 列函数v k w 1 , 2 ( q ) ，满足： 耐钉 且 嵝m 斟i n fe ( ) = e ( ) 详见 1 4 ，1 5 ，1 6 。所以，对任意 b v n l ( n ) ，都有： e ( u 。) e ( v ) 即毗为问题( 2 1 ) 的解，唯一性由严格凸性得到。 2 3 2 时| 司离散隐式迭代格式的收敛性 求解问题( 2 1 ) 的常用方法是热扩散的方法，即考虑下面的热方程： o 窑+ o j ( u ) 州( 乱) ( 2 4 ) 这里记j ( 乱) = 丁l ( “) ，我们将上述方程离散化，考虑如下的隐式格式： 06 半+ a j ( u n + 1 ) + 7 ( u n + 1 ) ( 2 5 ) 这里6 为时间步长，本节的主要内容就是证明上式确定的一个序列【u n ) 是收敛的。 注意到，如果把( 2 5 ) 式看成e l 方程，它对应的能量泛函如下： f u , u n ) = 上萼a x zu n u d x + 职j ( 钍) + 上 ( u ) a x ) 我们考虑极小解问题： r a i n 、f ( u ，u n ) ( 2 6 ) u 6 b v n l ( n ) 希望通过上述泛函来定义隐式格式中的乱。+ 】如下： u n + l = a r gm i n t l b l ( m f ( u ，u n ) 下面我们引进逼近泛函e ( u ，u 毛) ，用来逼近f ( u ，u n ) ，如下： e ( u ，) = z 萼d ) 【一z 吒钆d ) 【+ 呶j ( u ) + 上 ( u ) d ) 【+ 2f ni v u j 2 d x ) 1 6 证明：设_ 仇) 为上述问题的极小化序列，则只( ，札毳) 是有界的。而， 引= 上掣a x z 譬a x 砌c 圳+ 上m 汕+ 主上 所以，存在常数c ， 上掣a x c 厂| v 仇1 2 d x c ，q i v v 七1 2 d x ) 即： v k ) 是w 1 , 2 ( q ) 中一致有界的序列。因此，存在子列仍记为 ) 及u 毛+ 1 w 1 2 ( q ) ， 满足：在w 1 , 2 ( q ) 弱拓扑下， 仇u ：+ l 由于1 , 2 ( q ) 紧嵌入l 2 ( q ) ，所以考虑子列，有 仇赢乱：+ 又注意到b l ( q ) 的下半连续性，因此， 由于， 因此， 命题得证。 矩m i n f e ( 呲，乱：) e ( u ：+ l ，札毳) z - - + 。 u 嬲q ) e ( u ，乱二) = l m i mi n ff e ( 仳：) 只( u 乱：) 0 ，g ，m 。设后i n f ( i n f n f ，i n f a u o ) ，定义 r ( s ) = o c ( t ) d t t r 定义： 咖) = 上鼢：) d x 注意到：r ( s ) 0 ，且妒( 扎) 0 ，特别地，因为七i n f nu o 们) = 上冗( k - u o ) d x = 。 下面我们证明：对任意的n n ，k 7 2 n 。我们用数学归纳法：n = 0 时，根据我们刚 才的准备工作，已经成立。设结论对n 是成立的，我们讨论亿+ 1 的情况，考虑下式： 鱼尘掣= 瓦1 上( 冗( 尼一峨+ 。) 一冗( 七一钍：) ) d x = 击ze + 1 g 她 由于假设：一u 毳0 ，所以，r ( 七一钍乏) = 0 ，所以， 鱼!兰型05t 。 将( 2 8 ) 的结果代入： o 监型 所以， 上g ( 尼以+ 1 ) ( - - d i v n l v 舢n l u 施( n + il ，一妄( ，吨+ 1 ) 一池知) d x f g ( 七一+ - ) ( d i v l ( j 墼)+山dxvn l u e n + 1 i 川一1 计 = 一g 7 ( 七一u n + 1 ) ( j v 工t 正乏+ 1 l + e l v t 三+ 11 2 ) d x 0 t ，n o 坐型一天1z g ( 七一钍知) ( ，一“知) d x = 一天1 上g ( 七一u 鼻。) ( ，一七) d x x 1z g ( 七一乱：+ 1 ) ( 后一乱：+ ，) d x 注意到g ( t ) t 0 ，k i n f ( i n f nf ，i n f nu o ) ，所以上式0 。所以 即： 咖( 佗+ 1 ) = 妒( 佗) = 0 r ( k u ：+ 1 ) = 0 k u i + 1 0 因此，对所有的七i n f ( i n f af ：i n f nu o ) ，均有：u n k ，故， 同样的方法，我们可以证明： 结论得证。 u n i n f ( i 器ff ，i n fu o ) u n s u p ( s u pf ，s u pu o ) 华东师范大学博士论文 几何变分理论在图像处理中的应用 命题2 36 设，l o o ( q ) ，u o l ( q ) n w l ，2 ( q ) 。如果 仳毳) 为问题( 2 7 ) 确定。则有： 上i v l 乱鼻，i d x li v n l 7 i , 0 i d x + 甄1 上i ，一u 铲d ) 【+ 三上i v u 。1 2 d ) 【 从而，存在常数c ， 上i v 删知i d x c 证明：由以上讨论我们知道： 展开整理： ( u 1 一u 毳) 2 所以， 2 d x + 氓i e ( 牡0 1 ，u n ) e ( 牡：，u n ) v n l u 毳+ l i d ) 【+ 甄1zi ，一“4 。1