（基础数学专业论文）teichmüller空间上纤维空间的同构.pdf

t e i c h m f i n e r 空问上纤维空问的同构摘要 摘要 设r 是作用在上半平面上的一个f u c h s 群，嚼是去掉r 中椭圆形元素不动 点后所成的集合，本文主要研究t e i c h m i i l l e r 空间t ( r ) 上一些重要的纤维空间的同构 这些纤维空间包括b e r s 纤维空间f ( r ) 、“穿孔”纤维空间局f r ) 、t e i c h m i i l l e r 曲线 v ( r ) 和“穿孔”t e i c h m i i l l e r 曲线k ( r ) 我们首先证明，对于任意的两个f u c h s 群r 1 和r 2 ，r ，r 1 与皿r 2 如之间的一个共 形映射诱导了( r 。) 与( r 2 ) 之间的一个双全纯同构这说明了当f 是有限生成第一 类p u e h s 群时，t e i c h m 讧l l e r 曲线k ( r ) 只与r 的型有关，而与其具体标记无关 我们还将讨论b e t s ( 或“穿孔”) 纤维空间之间的双全纯同构和( “穿孔”) t e i c h m f i l l e r 曲线之间的双全纯同构我们将证明当群r 不含椭圆型元素和抛物型元素 时，b e r s 纤维空间或t e i c h m i i l l e r 曲线之间的双全纯同构只能是可允许映射；而当群r 不含椭圆型元素且不是( o ，3 ) 型和( 1 ，1 ) 型时，b e r s 纤维空间或t e i c h m f i l l e r 曲线之间的 保纤维双全纯同构只能是可允许映射；对于任意的群r ，只要r 不是( o ，3 ) 型和( 1 ，1 ) 型，那 么“穿孔”纤维空间之间的保纤维双全纯同构只能是可允许映射特别地，在上述各种 情形下的双全纯自同构都是由延拓模群或模群中的元素所诱导 关键词t e i c h m i l l e r 空间；b e r s 纤维空问；“穿孔”纤维空间；t e i c h m i l l e r 曲 线：“穿孔”t e i c h m i i l l e r 曲线；双全纯同构 作者：胡胡 指导老师：沈玉良 坠! ! ! 翌! ! ! ! ! 至闷占堑鳖窒闷曲回塑叁曼! ! ! 塑! a b s t r a c t l e trb eaf u c h s i a ng r o u pa c t i n go nt h eu p p e rh a l fp l a n e 衄a n dh rb e w i t ha l l o ft h ef i x e dp o i n t so fe l l i p t i ce l e m e n t so frr e m o v e d w ew i l lb em a i n l yc o n c e r n e dw i t h t h ei s o m o r p h i s m sb e t w e e ns o m ei m p o r t a n tf i b e rs p a c e so v e rt h et e i c h m i i l l e rs p a c et ( r ) ， i n c l u d i n gt h eb e t sf i b e rs p a c ef ( r ) ，t h e “p u n c t u r e d ”f i b e rs p a c ef 0 ( r ) ，t h et e i c h m f i l l e r c u r v ev ( r ) a n dt h e “p u n c t u r e d ”t e i c h m f i l l e rc u r v ev 0 ( r ) w ef i r s tp r o v et h a tac o n f o r m a lm a p p i n gf r o m r l r lo n t o r 2 r 2i n d u c e sab i h o l o - m o r p h i ci s o m o r p h i s mf r o m ( r 1 ) o n t ok ( r 2 ) ，w h i c hi m p l i e st h a tt h es t r u c t u r eo fv 0 ( r ) d e p e n d so n l yo nt h et o p o l o g i c a lt y p eb u tn o to nt h es i g n a t u r eo frw h e nfi sf i n i t e l y g e n e r a t e da n do ft h ef i r s tk i n d w ew i l la l s od e t e r m i n et h eb i h o l o m o r p h i ci s o m o r p h i s m sb e t w e e nb e r s ( o r “p u n c t u r e d ”) f i b e rs p a c e sa n dt h o s eb e t w e e n ( “p u n c t u r e d ”) t e i c h m i i l l e rc u r v e s w ef i r s ts h o w t h a tab i h o l o m o r p h i ci s o m o r p h i s mb e t w e e nb e t sf i b e rs p a c e s ( o rt e i c h m i i l l e rc u r v e s ) i s a na l l o w a b l em a p p i n gw h e naf u c h s i a ng r o u pfc o n t a i n sn oe l l i p t i ce l e m e n t sa n dp a r a b o l i c e l e m e n t s ：t h e nw es h o wt h a taf i b e r - p r e s e r v i n gb i h o l o m o r p h i ci s o m o r p h i s mb e t w e e nb e r s f i b e rs p a c e s ( o rt e i c h m f i l l e rc u r v e s ) i sa na l l o w a b l em a p p i n gw h i l erc o n t a i n sn oe l l i p t i c e l e m e n t sa n di sn o to f t y p e ( 0 , 3 ) a n d ( 1 ，1 ) ；f i n a l l yw es h o wt h a taf i b e r - p r e s e r v i n gb i h o l o - m o r p h i ci s o m o r p h i s mb e t w e e n “p u n c t u r e d ”f i b e rs p a c e si sa na l l o w a b l em a p p i n gf o ra n y f u c h s i a ng r o u ppn o to ft y p e ( 0 , 3 ) a n d ( 1 ，1 ) i np a r t i c u l a r ，ab i h o l o m o r p h i ca u t o m o r - p h i s mi sa l w a y si n d u c e db ya ne l e m e n to ft h ee x t e n d e dm o d u l a rg r o u p o ro ft h em o d u l a r g r o u pi n a l lc a s e s k e y w o r d s t e i c h m i i l l e rs p a c e ；b e r sf i b e rs p a c e ；“p u n c t u r e d f i b e rs p a c e ；t e i c h m i i l l e rc u r v e ：“p u n c t u r e d ”t e i c h m i i t l e rc u r v e ；b i h o l o m o r p h i ci s o m o r p h i s m i i w r i t t e nb yh u y u n s u p e r v i s e db ys h e n y u l i a n g y 7 8 1 8 1 7 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：翊煎日期 学位论文使用授权声明 o ) d d r 眵 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：翻趣 导师签钆蚴 日期：童! ! ! ：竺 日期：生! 丛兰 壁；! 啦堂! ! ! 窒囹土塑丝窒回的回塑! i i 宣 1引言 现代t e i c h m f i l l e r 空间的研究起始与二十世纪三十年代t e i c h m i i l l e r 对极值拟共形 映射的研究在1 8 5 7 年，r i e m a n n 曾经未加证明地指出，亏格为g ( g 1 1 的闭r i e m a n n 曲面的菇形等价类的全体即r i e m a n n 模空间r 可以用3 口一3 个复参数描述这个问 题后来被称为r i e m a n n 曲面的模问题o t e i c h m u l l e r 对这个问题作出了突破性贡献 他把模问题与拟共形映射的极值问题联系起来，并给出了模问题的一个解答( 见 t e 】) 从二十世纪五十年代起，在a h l f o r s 和b e r s 的影响下，w e l c h m i i l l e r 空间被广泛深入 地进行了研究，很快成为了单复变函数论中一个十分活跃的分支t e i c h m i l l e r 空间的研 究不仅影响到经典函数论中其它许多重要问题的研究，如k l e i n 群和单值化问题，而且 与其它数学分支有着密切的联系，包括t h u r s t o n 在三维流形的几何与拓扑中的研究( 见 【t h i ) ，s u l l i v a n 与m c m u l l e n 在复动力系统中的研究( 见l m s ，【s u l ，【s u 2 ) ，t r o m b a 与 w o l f ( 见【f t l ，【f t 2 ，阳1 ) 在微分几何中的研究等t e i c h m f i l l e r 理论在理论物理的超 弦理论中同样有着重要的应用 a h l f o m 和b e t s 最初对t e i c h m f i l l e r 的工作进行了重新的诠释，并证明了经典的 t e i c h m f i l l e r 空间是一个复解析流形随后b e t s 将经典的t e i c h m i i l l e r 空间推广到一般 的r i e m a n n 曲面及一般的f u c h s 群上设r 是作用在上半平面上的一个f u c h s 群，硅r 是噩噩去掉r 中椭圆形元素不动点后所成的集合m ( r 1 是上半平面上所有与r 相容的 b e l t r a m i 系数p 的集合t e i c h m f i l l e r 空间t ( r ) 是m ( r ) 中所有元素p 的等价类 的全体a h l f o r s 和b e t s 证明了对于这样一般的f u c h s 群r ，t ( f ) 上存在唯一的复流形 结构使得m ( r ) 到t ( f ) 的自然投影是全纯的，并且有局部全纯截面，因而m ( r ) 是t ( r ) 上的一个全纯纤维空间 对于任何f u c h s 群r ，在t ( r ) 上还有一些其它的全纯纤维空间。b a i l yf b 8 】证明了 r i e m a n n 模空间兄上存在一个纤维空间，使得r i e m a n n 曲面s 所代表的共形等价类 墅i 垒里! ! ! ! ! 窒闷土堑丝至间的回塑 ! ! ! 壹 的纤维同构与s a u t ( s ) 为了将这个结果推广到一般的有限型曲面，b e t sf b e l 0 1 引入了t e i c h m i i l l e r 空间上的一个纤维空间事实上，对于任何f u c h s 群r ，b e t s 在 t e i c h m i i l l e r 空间t ( r ) 上引入了一个纤维空间f ( r ) ，称为b e t s 纤维空间，并且证鹗了， 当r 不含椭圆型元素时，f ( r ) 同构与一个t e i c h m i l l e r 空间 e a r l e 和k a r ( 见【e k l ， e k 2 ) 等数学家对b e r s 纤维空间进行了深入的研究他们 还考虑了t e i c h m i i l l e r 空间t ( f ) 上其它一些重要的纤维空间，包括“穿孔”纤维空间 f o ( r ) 以及f ( r ) 和f o ( r ) 在群r 作用下的商空间t e i c h m f i l l e r 曲线v ( r ) 和“穿孔” t e i c h m f i l l e r 曲线k ( r ) ，并得到了许多重要的结果这些纤维空间在b e r s 对r i e m a n n 曲面模空间的纤维空间研究中起着重要的作用我们知道，( “穿孔”) t e i c h m f i l l e r 曲 线作为一个特殊的r i e m a n n 曲面全纯族有着重要的万有性( 见【e f ，【g r 】) 所以，对于这 些纤维空间的进一步深入的研究，无论是本身的兴趣，还是对于r i e m a n n 曲面全纯族的 进一步研究，都有着重要的意义 在本文中我们将进一步研究这些纤维空问大家知道，多复变理论中一个基本而又 重要的问题是确定两个复流形之间的双全纯同构群，特别是确定一个复流形的双全纯 自同构群对于t e i c h m f i l l e r 空间，这个问题已经得到完全的解决( 见【e g ，【e k l ，【a a ， 【m a r 】，【r 0 】) 本文将对上述纤维空间考虑这个问题我们将给出“穿孔”t e i c h m f i l l e r 曲 线的一个同构定理，并讨论这些纤维空间的双全纯同构 我们首先证明( 见定理1 ) ，对于任意的两个f u c h s 群r t 和r 2 ，r 。r 1 与h r 。r 2 之间 的一个共形映射诱导了( r - ) 与碥( r 2 ) 之间的一个双全纯同构、这说明了经典的“穿 孔”t e i c h m f i l l e r 曲线k ( r ) 只与i 、的型有关，而与其具体标记无关 我们还将讨论b e r s ( 或“穿孔”) 纤维空间之间的双全纯同构和( “穿孔”) t e i c h m f i l l e r 曲线之问的双全纯同构，我们将证明当群r 不含椭圆型元素和抛物型元 素时，b e r s 纤维空间或t e i c h m i i l l e r 曲线之间的双全纯同构只能是可允许映射f 见定 理4 及推论4 ) ；而当群r 1 不含椭圆型元素且不是( o ，3 ) 型和( 1 ，1 ) 型时，b e t s 纤维空间或 t e i c h m f i l l e r 曲线之间的保纤维双全纯同构只能是可允许映射( 见定理5 及推论7 ) ；对于任 意的群r ，只要r 不是( 0 ，3 ) 型和( 1 ，1 ) 型，“穿孔”纤维空间之间的保纤维双全纯同构只能 2 t e i c h m f i l l e r 空间上纤维空问的同构1 引言 是可允许映射( 见定理6 ) 特别地，在上述各种情形下的双全纯自同构都是由延拓模群或 模群中的元素所诱导( 见推论3 、5 、6 、8 、9 ) 3 里i ! h 翌i ! ! ! ! 至囹占堑丝至回曲旦塑! 墅i 尘翌! ! 堕窒趔壁堑堡窑囹 2t e i c h m i i l l e r 空间及纤维空间 在这一节中，我们将回顾t e i c h m i i l l e r 空间、b e r s ( 或“穿孔”) 纤维空间以及( “穿 孔”) t e i c h m i i l l e r 曲线的一些基本概念和结论( 参见【b e 9 ， b e l 0 ， b e l 2 ， e k l ， e k 2 】 以及 g a l l ，【l e l ，【n a l ) 2 1t e i c h m f i l l e r 空间 设f 是作用在上半平面噩也作用在下半平面l 上的一个 f u c h s 群，r 是去掉f 中椭圆形元素不动点后所成的集合工。( r ) 表示与r 相容的 b e l t r a m i 微分的全体，即 l 。( r ) = p l 。( ) ：p ( ，y ) 7 r = p ，v ，y r ) ( 2 1 ) m ( r ) 是l 。( f ) 中的单位球 对于任意p m ( r ) ，叫n 表示复平面c 上保持0 ，1 不动的拟共形自映射，它在上半平 面h 上以弘为b e l t r a m i 系数，在下半平面l 上共形m ( r ) 中两个元素弘和l ，等价是 指叫p 与 ”在实轴r 上取值相同肛的等价类就记为 川用m o ( r ) 表示m ( f ) 中与0 等价的元素的全体：e o ( r ) 表示上以m o ( r ) 中的元紊为b e l t r a m i 系数并保0 ，1 ，o o 不 动的拟共形自映射的集合由定义可知，“等价于当且仅当存在w o ( r ) ，使得在研 上满足加p = w ”0 w t e i c h m t i l l e r 空间t ( r ) 就定义为m ( f ) 中全体元素肛的等价类陋】的集合我们用 西来标记m ( r ) 到t ( r ) 的自然投影，那么圣( 口) 就是“所在的等价类由于中依赖于 群r ，所以为了避免混淆我们有时又将它记做西r 由于m ( f ) 为复b a n a c h 空问l 。( r ) 内的一个开子集，从而它是一个复流形a h l f o r s 和b e r s 证明了t ( r ) 也是一个复流形，而 且还存在唯一的复流形结构使得自然投影圣：m ( r ) _ t ( r ) 是全纯的且有局部全纯截 面 4 堡! ! 堡! ! ! 塑窒翅占堑箜窒囹数旦塑 ! 堡虫! 些! 坦! 窒回垦丝鳖窒塑 2 2b e r s 纤维空间和t e i c h m i i l l e r 曲线 对任意p m ( r ) ，w u ( l ) 以及叫“( 珏) 都只 依赖于圣( 肛) 于是可以构造b e t s 纤维空间如下： f ( r ) = ( 西( p ) ， ) t ( r ) c ：芦 彳( r ) ，e t u “( ) ) 作为t ( r ) c 中的一个开子集，f ( f ) 也是一个复流形，并且自然投影7 r r ：f ( r ) _ t ( 1 1 ) ， 7 r r ( 西( p ) ，z ) = 西( p ) 是全纯的且有局部全纯截面 任意1 f 可以诱导f ( f ) 上的一个双全纯自同构： 叮( 西( p ) ， ) = ( 西( p ) ，1 “( ( ) ) ( 2 2 ) 其中p m ( r ) ，e 叫“( ) ，7 r ， 矿o w “= w “o ，y ( 2 , 3 ) 我们记这个双全纯自同构为p ( m ) 显然 j 9 ( m ) ：，y r 构成了f ( f ) 的一个双全纯 自同构子群，因而1 1 可以作为一个双全纯自同构群作用在f ( r ) 上，并且这个作用是间 断的由c a r t a n ( 参见【c a 】) 的一个重要结果，我们知道v ( r ) = f ( r ) r 是一个复空 间，称为r 的t e i c h m i i l l e r 曲线它只是在r 作用下不动点的象处可能为奇点自然投影 7 1 p ：f ( r ) _ + t ( r ) 和7 1 1 r ：f ( r ) 一v ( r ) 诱导了投影丌2 r ：v c r ) _ t ( r ) 如果r 是无挠的，那么r 在f ( r ) 上的作用是没有不动点的，于是v ( r ) 是一个复流 形在这种情形下，7 y l f ：f ( r ) - v ( r ) 是一个全纯的万有覆盖，而7 r 2 r ：v ( r ) _ t ( r ) 是 全纯的且有局部全纯截面 现在我们考虑r 为任意的f u c h s 群( 可以包含椭圆型元素) e a r l e 和k r a ( 参见【e k 2 】) 证明了当r 为有限生成第一类群时，v ( r ) 是没有奇点的，从而是一个复流形最近蔡永 茂【c 证明了对任意的f u c h s 群f ，当n r 是双曲形r i e m a n n 曲面时，v ( r ) 有唯一的复 流形结构使得自然投影”，r ：f ( r ) - v ( r ) 是全纯的且有局部全纯截面在该结构下， 7 ( 2 f ：v ( r ) _ t ( r ) 也是全纯的且有局部全纯截面 在本文中，我们也将研究“穿孔”纤维空间 娲( r ) = ( 虫( 肛) ，( ) t ( f ) c ：p f ( r ) ，( 叫”( r ) 5 坠；! 坠垫亟! 绝! 窒翊占红丝窒闷盟回塑兰垂迦亟! 堡! 窒回壁堑丝窒囹 此时群r 同样诱导了f o ( r ) 上的一族双全纯自同构映射，且其作用是没有不动点的， c a r t a n 的结果保证了商空间( r ) = f o ( r ) t r 是一个复流形，称为“穿孔”t e i c h m i i l l e r 曲线而自然投影7 r r ：f 0 ( r ) _ + t ( r ) ，t - i f ：f o ( r ) _ k ( r ) ，7 r 2 r ：( r ) _ t ( f ) ，均为全 纯的且有局部全纯截面事实上，”- r ：p o ( r ) _ ( r ) 为一个覆盖映射 6 坠! 垡翌i ! ! 望至卿土堑缝窒回笪回塑 i = 尘旦塑廛型 3 一个同构定理 b e r s 和g r e e n b e r g ( 参见 b c 或 e k i ，【e m ，【g a 2 ，【m a ) 证明了当r l r 1 与 n r ：r 2 共形等价时，t ( f 1 ) 与t ( f 2 ) 双全纯同构，这说明当r 是有限生成第一类群时， t ( r ) 只与1 1 ( 或者说h r r ) 的型有关，而与r 的具体标记无关e a r l e 和k r a ( 参见 e k 2 ) 在研究丌2 r ：v ( r ) - - 4t ( r ) 的全纯截面时证明了在h r 是紧双曲r i e m a n n 曲面的情况 下，v ( r ) 也只与r ( 或者说皿r r ) 的型有关，而不依赖于r 的标记最近，蔡永茂 c 】将这 个结果推广到了一般的f u c h s 群，证明了当h r 1 和a r 2 为共形等价的双曲r i e m a n n 曲 面时，若h r ，r 1 与h r 。r 2 共形等价，那么v ( r 1 ) 与v ( r 2 ) 双全纯同构在这一章节，我 们将对“穿孔”t e c h m i i l l e r 曲线给出一个类似的结论我们将证明下面的定理，在证明 过程中我们将对任意的f u c h s 群r 分别给出f 0 ( r ) 与( r ) 的万有覆盖 定理1 若r 。r 1 与b r ：r 2 共形等价，则k ( r 1 ) 与y o ( r 2 ) 双全纯同构 设r 是任意一个f u c h s 群，r 是一个无挠的f u c h s 群，满足s r = h r r = x 设 7 r ：h r - x 与丌，：- 4x 分别为关于群r 和r ，的投影那么存在全纯的万有覆盖 h ：h - - y r 使得 丌= 7 r 。h ( 3 1 ) 从而存在同胚8 ：r ，_ r 满足 h 。彳= p ( ) oh ，v 彳r 由( 3 2 ) 知k e r 目正好是万有覆盖h ：_ 狂丑r 的覆盖变换群，记为聪 ( 3 2 ) 引理1 口：f 7 _ + r 是满的 证明由于任意7 r 均保持r 不动，从而7 r r 可以提升为一个m s b i u s 变换 ：h _ ，满足 o = 7 0h 因此我们得到1 = 口( 彳) 7 墅堕坐! ! 堡! 窒圃土堑丝窒塑垫圈塑 ! 二全旦塑星型 通过h ，我们来定义一个保范数同构h 4 ：m ( r 7 ) _ + m ( f ) ，其中 ( h + 卢) oh = p 雨，v 肚m ( r ) ( 3 3 ) b e r s 和g r e e n b e r g ( 参见 b g ，或 e k l ) 【e m ，【g a 2 ，【m a 】) 证明了h + 可以投影为t ( r ) 到t ( r 1 的一个保距同构我们需要更多的细节， 通过简单运算可得： 引理2设肛m ( r ) ，盯m ( r ) 则口= 舻( 肛) 当且仅当存在某个全纯万有覆 盖五：”( h ) _ w 。( r ) 使得叫4oh = h o 叫p 对任意肛m ( r ) ，若盯= 扩( p ) ，记胪= w 。oh o “) 由引理2 知，砂是叫“( h ) 到w 4 ( 珏r ) 的全纯万有覆盖，它的覆盖变换群是w “碥( 叫“) _ 。为了以后证明需要，我们叙 述下面的引理3 ，证明可以从( e k 2 】中找到： 引理3 对任意固定的肛o m ( r ) 以及e 叫p o ( ) ，胪( ( ) 在脚的邻域内全纯依赖于卢 引理4 对任意 0 j e o ( r ，) 存在唯一的。e o ( r ) 使得叫+ oh = h o t t j 证明对任意f u c h s 群r ，a ( f ) 表示f 的极限集，d ( r ) = 莨一a ( r ) 因为埘e o ( f ，) i 所以它可以通过万有覆盖h ：_ + 皿r 投影为一个拟共形映射 。：r 寸蛳，甜+ 模理 想边界0 h r = d ( r ) 同伦于i d 若在一r 上令叫+ 为i d i 则删。可以延拓为珏上的映 射，仍记为w + ：_ 缸，则w 。oh = h ow ，u 。i d ( r ) = i d 接下来我们只需证明对任意 7 r ，w + o ，y = 7 ow 。那么这就说明w 。在a ( r ) 上也取值i d ，从而证得w + o ( r ) 由于w e o ( r ) ，所以对任意彳r ，有 o 彳= 彳。讥因而 。o 口( 亍) o h = w + o ho = h 。伽o 亏= ho 。w = 8 ( 亏) 。h 。w = 口( 亏) o l 0 + o h 由于日：r 一f 是满的，因而对任意，y r ， + o ，y = 7o w + 推论1 如果p 和在m ( r ) 中等价，那么盯= ( 肛) 和7 = ( ) 在m ( r ) 中等价 进一步地，胪= h v 8 塾! 也墨塑堕窒塑土堡丝至回笪回塑 = 全固翅霆堡 证明因为“和在m ( r 7 ) 中等价，所以存在1 1 ) e o ( r ) 使得 ”= po 由引理4 知，存在某个叫。r o ( r ) 使得叫+ oh = h 。训于是在h 上我们有 胪o 叫”= h uo 训“o 叫= 叫。0ho 叫= 训40 叫。0 h 由引理2 我们知 u 7 = 叫4o 。，所以盯= ( p ) 和r = 胪( ) 在u ( r ) 中等价另外 h ”= 训7oho ( 叫”) 一1 = 4o 叫+ 。h 。州一1o ( 训“) 一1 = u 。oho ( 叫“) 一1 = h “ 引理5 对任意 t o + o ( r ) ，存在唯一的e o ( r f ) 使得叫+ oh = h 。 证明 e a r l e 和m c m u l l e n ( 参见f e m 】) 证明了对任意叫。o ( r ) ，存在叫1 = 伽。和 删。o = i d 间的模o ( r ) 同痕t j “：ud ( r ) 【0 ，1 】_ ud ( r ) ，使得对任意7 f ， 叫“o7 = 7o 伽c 叫“可以限制在rud ( r ) 【0 ，1 】并通过7 r ：珏r _ + x 投影成为 和i d 之间模o x 的一个同痕 ，即对任意0 t 1 ，7 ro w “= o 丌而同痕 可以通过 丌提升为叫1 和i d 之间模d ( r ) 的一个同痕叫f ，即对任意0 t 1 ，丌o 毗= o 丌显 然， 和训t 均为拟共形映射且对任意0 ts1 ，叫在d ( r ) 上恒等于i d 由( 3 1 ) ，对 任意0 t 兰1 ， 7 ro 叫“oh = o ，roh = o 7 r 7 = 7 r 。o 叫t = 7 ro ho 叫t 因此，存在7 t f 使得m oh o 叫t = 叫。toh 显然，m 连续依赖于t ，但是r 是离散 的，因而对任意0 墨1 ，m = 3 o = i d ，从而推得伽“oh = h 。叫。现在我们来证明 t o t r o ( r ) 若我们能证明对任意的彳n 有 to 彳= o 叫t 这就说明叫在a ( r ) 也 恒等于i d t 那么结论自然成立 对任意r ，因为对任意7 1 2 有枷“o7 = 7o 伽m 那么 ho 叫0 彳= 叫“0 h0 = t o + 。日( 彳) oh = p ( ) o 训。0 h = p ( 彳) 0 ho = h0 彳。叫 因而存在讯r 使得讯。叫t 。彳= o 一j t 由彳l 关于t 的连续性及k 的离散性知， 讯= 彳0 = i d 因此，叫to 彳= o 毗，特别地，取t = 1 则= 1 0 1 满足脚o = 亏o ”从而 由上面的讨论知叫o ( r ) ，且础+ oh = h o w 9 里丛墨! ! 坦! 窒塑土堑堡塞囹塑旦塑 ! 二尘旦塑窒堡 推论2 对任意p 和m ( r ) ，令口= 舻( p ) ，r = 护( p ) 如果口和r 在m ( r ) 中等价， 那么p 和p 在m ( r ) 中等价 证明因为盯和r 在m ( r ) 中等价，那么存在某个+ ( r ) 使得镏7 = w 4 。敏由 引理5 知，存在某个w o ( r ，) 使得叫。oh = h ow 于是在上我们有 h ”o 叫”= 训7oh = w 4o 叫+ oh = w 。oho w = o w po 比较左右两边的b e l 虹a m i 系数我们知w ”= w “ow ，因而p 和2 在m ( f ) 中等价 定理2 设映射f ：t ( r 7 ) 一t ( r ) 和g ：f ( r ) _ f o ( r ) ，分别定义为f ( o r ，( p ) ) = o r ( h + p ) ，g ( 垂r ，( p ) ，( ) = ( o r ( h + p ) ，胪( e ) ) 则f 是t ( r ) 到t ( r ) 的一个双全纯同构，g 是f ( r ) 到f o ( r ) 的全纯万有覆盖映射，其覆盖变换群为 p ( 【彳】) ：) 并且满足 i r fo g = f o7 r r ， 证明引理1 、2 保证了f 是良定义的而且还是一对一的由于h + 是满的，f o 圣r ，= 虾oh 是全纯的，那么f 是满的、全纯的因为h + ：m ( r ) _ + m ( r ) 是双全纯 同构，c r ，垂r ，都是全纯的且有局部全纯截面的，所以f 也有局部全纯截面，从而 f ：t ( r ) - + t ( r ) 是双全纯同构 由引理1 可知g 是良定义的并满足丌ro g = f o 丌r t 我们已经知道f 是全纯的，再 由引理2 、3 可知g 是全纯的由于f ：t ( r ) _ t ( r ) 是双全纯同构，而胪是叫”( h ) 到”矿”( h r ) 的一个全纯万有覆盖并以叫“咒( 删”) _ 1 为其覆盖变换群，再由( 2 2 ) n ( 2 3 ) 知g ：f ( r ) _ f o ( r ) 是一个全纯万有覆盖且有覆盖变换群 p ( 【】) ：彳r ) 定理3g ：f ( r 7 ) _ f o ( r ) 可投影为一个双全纯同构9 ：v ( r ) - + v o ( r ) 满足 7 r l r 。g = g o7 r l n7 r 2 r 。g = fo7 r 2r ，而且7 r l rog = g o7 1 - i p ：f ( r ) _ v o ( r ) 是一个万 有覆盖并有覆盖变换群 p ( 彳】) ：彳r ，) 证明设 r ，( p ) ，( ) f ( r 气彳p 与前面一样仍令盯= h + p 那么 p ( ) ( g ( 圣p ( p ) ， ) ) = 8 ( 亏) ( 圣r ( 仃) ，氕“( ) ) = ( 圣r ( 口) ，秽( 彳y ( ( ( ) ) ) ， g ( 彳( 垂r ，( 卢) ，e ) ) = g ( ( 垂r ，( 上) ，彳“( ( ) ) ) = ( 垂r ( 盯) ，o “( e ) ) 1 0 t e i c h m f i l l e r 空问上纤维空间的同构 3 一个同构定理 凼为 口( 彳) 。o = 叫”op ( 彳) o ( “) 一1o h “= w 40 口( 彳) 0ho ( 叫”) 一1 = w 4 oh o ，o ( 叫“) 一1 = p 。叫“o 彳o ( 叫弘) 一1 = 7 o p ， 我们得到口( 彳) ( g ( 圣r ，( 肛) ，( ) ) = g ( 归r ，( p ) ，( ) ) 所以g ：f ( r ) _ f o ( r ) 可以投影为 g ：v ( r ) - - + v o ( r ) 很显然9 是全纯的、满的，满足7 1 l fo g = 9 0 7 1 1 1 - , ，7 r 2 ro g = f 。7 r 2 r 同时很容易就能发现g ：v ( r ) - v o ( r ) 是局部双全纯的，因此我们只需要去证明g 是 一对一的 首先我们来证明g 把每个纤维7 齐( 垂r ，( p ) ) 共形映射到噍 ( f ( 垂r ，( p ) ) ) 这只需证 明胪：叫“( 皿) _ w ”( h r ) 诱导了 扎= 叫脚( 丑) 叫p r ( p ) 一1 蛰j r i e m a n n 曲面 墨= w 4 ( r ) 叫4 r ( w 4 ) 的一个共形映射 事实上，( w 一) - 1 诱导了j 0 到x = r ，的一个拟共形映射，h 诱导了x = h r 到x = 皿r r 的恒同映射，w 9 诱导了x = r r 到墨一个拟共形映射这些映射的复 合正好是映射驴所诱导的映射，为共形映射 设雪( 1 ) = 雪( t 2 ) 因为丌2 ro g = f o 霄2 p ，f 是双全纯的，从而7 r 2 r ，( t 1 ) = 7 r 2 r ( t 2 ) ，这 就意味着t 。和t 2 在7 r ：一的同一个纤维上前面我们已经证明了9 在每个纤维上是一对 一的，因而t 1 = 2 2 所以g 是单的，从而是双全纯的 最后，因为7 r l p ：f ( r 7 ) _ v ( r ) 是万有覆盖且有覆盖变换群 p ( 吲) ：彳r ，) ， 所以我们知7 r l rog=9 o7 r l r ：f ( r ) - - + v o ( r ) 是一个万有覆盖且有覆盖变换群 p ( f 卞 ) ：r ) 定理1 的证明设r 1 、r 2 删 f u c h s 群，r 。r l 共形等价于h r 。r 2 取两个无挠 i 拘f u c h s 群q 、咒使得丑h = r ，r l ，r = h r 。r 2 定理3 证明了v ( r 9 双全 1 1 t e i c h m i i l l e r 空间上纤维空间的同构 3 一个同构定理 纯等价于( r ) ，y ( 聪) 双全纯等价于( r 2 ) 因为h r i 共形等价于h r ，自然地 y ( h ) 双全纯等价于y ( r ) 从而，v o ( r z ) 双全纯等价于k ( r z ) 注我们从上述证明中发现由r 1 r 到h r 。r 2 的共形映射所诱导的v o ( r ) 到( r 2 ) 的双全纯同构映是保纤维的，也就是说，它把q l - 2 f 。的每一个纤维都映到7 r 2 r 。相应的纤维 上但是相类似的结论对于“穿孔”纤维空间却不成立事实上，若r 是任意一个f u c h s 群，至少包含一个椭圆形元素，而r ，是一个无挠的f u c h s 群使得一r = r ，= h r r 定理1 告诉我们g ：f o ( r ) = f ( r ) _ + 蜀( r ) 是一个非单的万有覆盖 1 2 1 勘c h m l i l l e r 空间上纤维空问的同构4 可允许映射、模群和b e r s 同构 4 可允许映射、模群和b e r s 同构 在这章节中，我们按照 b e 9 来回顾可允许映射和模群的基本定义、记号和一些基 本的结论 4 1 可允许映射和模群对任意的f u c h s 群r ，若上拟共形自映射 t o 使得w f w _ 1 仍 然是一个f u c h s 群，则称w 与群r 相容记q ( r ) 就是上所有与群r 相容的拟共形自 映射的集合对于q ( r ) 中任意两元素叫1 ，w z ，如果在腿上取值相同，那么就称它们等价 叫的等价类记为f 叫 对任意m ( r ) ，嘶表示上的拟共形自映射，保0 、1 、o o 不变，j j b e l t r a m i 系 数为弘显然= 纠当且仅当埘p 和嘶等价以后我们可以将等价类记为卜叫 对任意p m ( r ) ，我们记f 。= w p r ( w p ) ，p = 训 r ( 埘”) 一，自然l 仍是一个f u c h 8 群，而p 是一个拟f u c h s 群 给定w q ( r ) 我们考虑映射 w 。( 雌) = d 。雌。叫，( 4 1 ) 其中z m ( r ) ，a 是到自身的m s b i u s 交换使得ao w 。o 伽一1 保o ，1 ，o o 不变因为 【叫。) 】只依赖于【w 1 和【w 。1 ，因此叫+ 可以看成是t ( r ) 到t ( w r w _ 1 ) 的一个双全纯同 构“f 业】) 而x ( 叫】) 还可以被延拓成纤维空间f ( r ) 到f ( w r w - 1 ) 的双全纯映射： 其中 m ( w r w “) ，叫+ ( 让o ) = 叫。 2 = o w o ( u “) - 1 ( 。) 。 1 3 ( 4 3 ) ( 4 , 4 ) 堡丛! 堕! ! 竺窒回土堑丝窒塑盟回塑! 曩叁进壁盟：塑登塑旦! 望凰塑 注意到p ( i 叫】) ：f ( r ) _ f ( w r w - 1 ) 满足x ( 【训】) o7 1 - r = ”。r 。op ( 【叫】) ，因而是保纤维 的，也就是说它把7 r r 的每一个纤维共形映到w 。r 。一- 相应的纤维上p ( w 】) ：f ( r ) _ + f ( w r w _ 1 ) 可以投影为双全纯映射a ( 叫) ：v ( r ) - - yv ( w r w - 1 ) ，满足x ( ”】) o7 r 2 r = 丌2 。r 。一，oa ( f 训 ) ，因而它也是保纤维的，即它把7 ( 2 f 的每一个纤维共形地映到7 r 2 。r 。一- 的相应纤维上映射x ( 【伽】) ：t ( r ) _ t ( w r w _ 1 ) ，a ( 【伽 ) ：v ( r ) _ v ( w r w