第二类曲线积分ppt课件.ppt

第十章,第二节,机动目录上页下页返回结束,第二类曲线积分,二、第二类曲线积分的概念与性质,一、向量场,三、第二类曲线积分的计算,1,一、向量场,机动目录上页下页返回结束,2,机动目录上页下页返回结束,3,机动目录上页下页返回结束,画向量场,4,机动目录上页下页返回结束,5,机动目录上页下页返回结束,梯度场和保守场,6,机动目录上页下页返回结束,解:,7,二、对坐标的曲线积分,定向曲线与切向量：,定向曲线：带有确定走向的一条曲线。,机动目录上页下页返回结束,则L的切向量为：,8,分割,解:,机动目录上页下页返回结束,“分割,近似,求和,取极限”,求变力沿曲线所作的功，利用,近似,例：求变力F沿曲线L所作的功。,9,求和:,取极限:,机动目录上页下页返回结束,向量形式,坐标形式,则,10,对坐标的曲线积分的定义：,机动目录上页下页返回结束,11,上式也称为第二类曲线积分的向量形式。,机动目录上页下页返回结束,第二类曲线积分也称为向量场的线积分。,12,说明：,机动目录上页下页返回结束,13,基本性质,机动目录上页下页返回结束,性质1：,性质2：,性质3：,14,第二类曲线积分的坐标表示,设,则,机动目录上页下页返回结束,令,若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在,记为,上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。,15,（2）若,机动目录上页下页返回结束,上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。,16,则,机动目录上页下页返回结束,三、两类曲线积分之间的关系,17,证明：,于是有,机动目录上页下页返回结束,18,即,机动目录上页下页返回结束,平面曲线的情况完全类似推导。,故,19,解1：,机动目录上页下页返回结束,20,解2：,机动目录上页下页返回结束,21,解：,机动目录上页下页返回结束,于是,22,四、对坐标的曲线积分的计算,定理（平面曲线的情形）,机动目录上页下页返回结束,23,机动目录上页下页返回结束,证明：,24,机动目录上页下页返回结束,25,机动目录上页下页返回结束,26,机动目录上页下页返回结束,注意：a未必小于b。,27,特殊情形,机动目录上页下页返回结束,28,(4)若曲线L的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。,29,定理（空间曲线的情形）,机动目录上页下页返回结束,30,注意：两类曲线积分之间区别,（1）第一类曲线积分是数量函数对弧长的积分；第二类曲线积分是向量函数的各分量函数对坐标的积分。,（2）第一类曲线积分与路径的方向无关，化成定积分时，下限总小于上限；第二类曲线积分与路径的方向有关（方向改变，积分值变号），化成定积分时，下限未必小于上限。,机动目录上页下页返回结束,31,机动目录上页下页返回结束,（2）对于第二类曲线积分，当积分弧L是垂直于某坐标轴的直线段AB时，对该坐标的积分为零，即,空间曲线上的第二类曲线积分也有类似的性质。,说明：,（1）在第二类曲线积分中，由于涉及积分曲线的方向问题，因此要慎用对称性。一般情况下，应在曲线积分化为定积分后再考虑能否利用对称性来化简计算。,32,例3:,解:,原式,机动目录上页下页返回结束,33,例4：,解：,机动目录上页下页返回结束,34,机动目录上页下页返回结束,35,一般情况下，第二类曲线积分的值，不仅与积分路径的起点或终点有关，而且与积分路经本身有关。即被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同。,例3说明：,机动目录上页下页返回结束,在有些情况下，第二类曲线积分的值，仅与积分路径的起点或终点有关，而与积分路经本身无关。即被积函数相同，起点和终点也相同，路径不同积分但结果相同。,例4说明：,36,例5.求,其中L是双纽线的右半支,逆时针方向。,解:L的极坐标方程是：,L的参数方程是：,机动目录上页下页返回结束,奇函数,37,例6.求,其中,从z轴正向看为顺时针方向.,解:取的参数方程,机动目录上页下页返回结束,38,例7.,解:,动到,向坐标原点，,其大小与作用点到xoy面的距离成反比。,沿直线移,机动目录上页下页返回结束,39,例8：,解：,机动目录上页下页返回结束,如图,则,40,例9：,解：,机动目录上页下页返回结束,则在t时刻：,单位时间流出的油漆为：,41,1.定义,2.性质,(1)L可分成k条有向光滑曲线弧,(2)L表示L的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,机动目录上页下页返回结束,42,3.计算,对有向光滑弧,机动目录上页下页返回结束,若曲线L的方程为极坐标方程：,先化成参数方程：,然后用公式计算。,43,对空间有向光滑弧:,机动目录上页下页返回结束,44,区别：,第一类曲线积分与路径的方向无关，化成定积分时，下限总小于上限；,机动目录上页下页返回结束,第二类曲线积分与路径的方向有关（方向改变，积分值变号），化成定积分时，下限未必小于上限。,4.两类曲线积分的联系与区别,联系：,45,作业,习题9-2(P250)1(3)(6)(7)(8)；2(2)(4);3;5；7,第三节目录上页下页返回结束,46,1、,解,机动目录上页下页返回结束,备用题,47,解：,机动目录上页下页返回结束,48,3.已知,为折线ABCOA(如图),计算,提示:,机动目录上页下页返回结束,49,原点O的距离成正比,4、设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,逆时针移动到,提示:,机动目录上页下页返回结束,50,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解1：,其中L沿上半圆周,机动目录上页下页返回结束,51,5.,将积分,化为对弧长的积,分,解2：,其中L沿上半圆周,机动目录上页下页返回结束,52,6：设在力场,作用下,质点由,沿移动到,解:(1),(2)的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其