（基础数学专业论文）数学金融的分数次blackscholes模型及应用.pdf

摘要 1 9 7 3 年，两位伟大的金融理论家与实务家f i s h c rb l a c k 和m y r o n s c h o l e s 发表了他们的著名论文“期权定价与公司债务”( t h ep r i c i n g o fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t y ) ，给出了欧式期权定价的显式表达式， 即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式这是现代金融数学的一项具有里程碑意 义的突破性成果从此，金融数学的研究得到了蓬勃的发展，取得 了非常丰硕的成果特别是b l a c k - s c h o l e s 模型，不仅在理论研究上出 现了一大批成果，而且应用于金融市场，受到广泛的欢迎2 0 世纪 9 0 年代，全世界金融衍生证券市场每年的交易量已达5 0 万亿美元 本文在分数次布朗运动的积分理论的基础上，对数学金融的具有 任意h u r s t 参数的分数次b l a c k - s c h o l e s 模型进行了全面系统的研究 在绪论中，介绍了金融数学的发展历史，特别对期权定价理论主 要研究内容、成果及目前研究热点进行了较为详尽的综述 第二章，我们首先介绍了分数次布朗运动的定义、性质及其积分 理论的主要成果然后，给出了拟一条件期望及拟一鞅的定义，并得 到了分数次布朗运动函数的拟一条件期望的计算公式 在第三章中，我们研究了分数次b l a c k - s c h o l e s 模型，提出了利用 拟一条件期望的分数次风险中性定价；得到了不同条件下欧式未定 权益在到期前任意时刻的一般定价公式；并在无风险利率和红利率 为时间的非随机函数的条件下，求出了欧式期权在到期前任意时刻 的定价公式 第四章，我们研究了几种常见的奇异期权，在无风险利率和红 利率分别为常数或为时间的非随机函数的条件下，得到欧式双向期 权、混合期权、上限型买权、抵付型买权、后定选择权在到期前任 意时刻的定价公式 在第五章中，我们研究了多维分数次b l a z & - s c h o l e s 模型，在单资 产多噪声、多资产单噪声和多资产多噪声三种情况下，得到欧式未 定权益在初始时刻的定价公式 第六章，我们讨论了分数次b l a c k - s c h o l e s 模型中的最优资产组合 和最优消费资产组合问题，得到在给定效应函数条件下的最优资产 组合和最优消费资产组合问题的显式解 第七章总结r 本文主要结果，并提出还需要进一步研究的一些 问题 关键词：分数次布朗运动，衍生证券，期权，奇异期权，w i c k 积，拟一条件期望，拟一鞅，分数次b l a c k s c h o l e s 模型，多维分数次 b l a c k - s c h o l c s 模型，最优资产组合，最优消费资产组合 中国图书资料分类号：0 2 1 1 ，f 8 3 09 a b s t r a c t i n1 9 7 3 ，t w og r e a tf i n a n c i a lt h e o r i s t c sa n dp r a c t i c e r sf i s h e rb l a c ka n dm y - r o ns c h o l e sp u b l i s h e dt h e i rf a m o u sp a p e r “t h ep r i c i n go fo p t i o t ma n dc o r p o - r a t el i a b i l i t y ”w h i c hg a v et h et h eb l a c k - s c h o l e sf o r m u l a ，a ne x p l i c i tf o r m u l a o ft h ep r i c i n go fe u r o p e a no p t i o n t h i si sa b r e a k t h r o u g ho fm o d e r n m a t h e - m a t i c a lf i n a n c e f r o mt h e no n ，t h er e s e a r c ho fm o d c r nm a t h e m a t i c a lf i n a n c e g a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n tw i t ht r e m e n d o u sa c h i e v e m e n t s m o s tr e m a r k e a b l e o f 8 j 1 t h eb l a c k - s c h o l e sm o d e lh a sn o to n l yb e e no b t a i n e dp l e n t i f u lr e s u l t si nt h e - o r e t i c a lr a s e a r c h ，b u ta l s ob e e na p p l i e di nf i n a n c i a lm a r k e tb r o a d l y i n1 9 9 0 s t h ea n n u a lt r a n s a c t i o nv o l u m ei ng l o b a ld e r i v a t i v es e c u r i t i e sm a r k e ta c h i e v e d 5 0 ，0 0 0b i l l i o nd o l l a r s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，o nt h eb a s i so ft h es t o c h a s t i ci n t e g r a lt h e o r yo ft h e f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n w es t u d i e df r a c t i o n a lb l a c k - s c h o l e sm o d e lo f m a t h - e m a t i c a lf i n a n c ew i t ha r b i t r a r yh u r s tp a r a m e t e ra r es t u d i e ds y s t e m a t i c a l l ya n d c o m p r e h e n s i v e l y i ni n t r o d u c t i o n ，w ei n t r o d u c e dt h et h eh i s t o r yo fm a t h e m a t i c a lf i n a n c e ， e s p i c a l l yi t si n a j nr e s e a r c hc o n t e n t ，r e s u l t sa n dh o tt o p i c so fo p t i o np r i c i n g t h e o r y i nc h a p t e r 2 ，t h ed e f i n i t i o n ，p r o p e r t i e sa n d i t si n t e r g a lt h e o r yo ff r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o na r ei n t r o d u c e df i r s t l y t h e nw c g a v et h ed e f t n i t i o no fq u 嬲i c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o na n dq u a s i - m a r t i n g a l ，a n dg o tt h ef o r m u l ao ft h eq u 8 8 i c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o nf o rt h ef u n c t i o no ff r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n i nc h a p t e r3 ，ms t u d i e df r a c t i o n a lb l a c k - s c h o l e sm o d e l ，p u tf o r w a r d t h ef r a c t i o n a lr i s kn e u t r a lp r i d n gf o r m u l ab yu s i n gq u a s i - c o d i t i o n a le x p e c - t i o n ，t h e no b t a i n e dg e n e r a lp r i c i n gf o r m u l a so fe u r o p e a nc o n t i g e n tc l a i ma t a r b i t r a r yt i m eb e f o r em a t u r i t yu n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n s ，a n da l s oo b t a i n e d p r i c i n gf o r m u l a so fe u r o p e a no p t i o n sa ta r b i t r a r yt i m eb e f o r em a t u r i t yu n d e r c o n d i t i o nt h a tr i s k - f r e ei n t e r e s tr a t ea n dd e v i d e n d sr a t ew e r et h en o n - r a n d o m f u n c t i o no ft i m e i nc h a p t e r4 7 w ei n t r o d u c e ds e v e r a lc o m m o ns i n g u l a ro p t i o n s ，u n d e r t h ec o n d i t i o nt h a tr i s k - f r e ei n t e r e s tr a t ea n dd e v i d e n d sr a t ew e r ec o n s t a n t o rt h en o n - r a n d o mf u n c t i o no ft i m e ，w eo b t a i n e dt h ep r i c i n gf o r m u l a so fb i - d i r e c t i o ne u r o p e a no p t i o n ，c o m p o u n do p t i o n ，c a p p c ) 1c a l l s ，d e d u c t i b l ec a l l s a n dc h o o s eo p t i o n sa ta r b i t r a r yt i m eb e f o r em a t u r i t y i nc h a p t e r5 w s t u d i e dm u l t i d i m e n s i o n a lf r a c t i o n a lb l a c k - s c h o l e sm o d e l i ns i n g l ea s s e ta n dm u l t i n o i s e ，m u l t i a s s e ta n ds i n g l en o i s e ，m u l t i - a s s e ta n d m u l t i - n o i s e ，w eo b t a i n e dt h ep i c i n gf o r m u l ao fe u r o p e a nc o n t i g e n tc l a i m a t i n i t i a lt i m e i nc h a p t e r6 w ed i s c u s s e dt h eo p t i m a lp o r t f o l i oa n do p t i m a lc o n s u m p t i o n a n d p o r t f o l i oo ff r a c t i o n a lb l a c k - s c h o l e sm o d e l ，t h e n o b t a i n e dt h ee x p l i c ts o l u t i o n so f t h eo p t i m a lp o r t f o l i oa n do p t i m a lc o n s u m p t i o na n dp o r t f o l i op r o b l e m s u n d e rt h eg i v e nt h eu t i l i t yf u n c t i o n s i nc h a p t e r7 ，w es u m m a r i z e dt h em a i nr e s u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o na n d p o i n t e do u ts o m ei s s u e sr e m a i n i n g u n s o l v e d k e y w o r d s ：f r a c t i o n a l b r o w n i a nm o t i o n ，d e r i v a t i v es e c u r i t i e s ，o p t i o n ，e x o t i c o p t i o n s ，w i c kp r o d u c t ，q u a s i - c o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n ，q u a s i - m a r t i n g a l e ，f r a c t i o n a l b l a c k - s c h o l e sm o d e l ，m u l t i - d i m e n s i o n a lb l a r k - s c h o l e sm o d e l ，o p t i m a lp o r t f o - h 0 0 p r i m a lc o n s u m p t i o na n d p o r t f o l i o 第一章绪论 11 金融数学研究的历史与现状 近年来，金融数学( 也称数学金融学或数理金融) 正在蓬勃发展 雍炯明、刘道百( 指出：数学金融学是运用数学工具来定量研究 金融问题的一门学科；其主要内容有：市场的描述以及一些基本性 质的讨论、资产( 包括各种金融衍生证券) 的定价、投资消费效益 的最优化等等 金融数学的历史最早可追溯到1 9 0 0 年法国学者l o u i sb a c h e l i e r 在这一年发表了他的博士论文投机理论，“这宣告了数学金融 学的诞生”( 1 】) 1 9 5 2 年，h m a r k o w i t z ( 2 ) 发表了题为“资产组合选择的均值方差 理论”( m e a n - v a r i a n c et h e o r y o f p o r t f o l i os e l e c t i o n ) 的论文他将投资组合 的价格看作是随机变量，以其均值衡量收益，以其方差衡量风险，其主 要思想是，给定风险水平使得期望收益最大，或者给定期望收益水平 使得风险最小，即为一个带约束的最优化问题w fs h a r p c ( 3 ) ( 1 9 6 4 ) 和j l i n t n e r ( 4 ) ( 1 9 6 5 ) 提出了著名的“资本资产定价模型”( c a p i t a l a s s e t p r i c i n gm o d e l ，简称为c a p m ) ，即所有风险资产的期望收益率是它们与 市场证券组合协方差的线性函数 1 9 7 3 年，两位伟大的金融理论家与实务家f i s h e rb l a c k 和m y r o n s c h o l e s ( 5 ) 发表了他们的著名论文“期权定价与公司债务”( t h ep r i c i n g o fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t y ) ，给出了欧式期权定价的显式表达式， 即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式这是现代金融数学的一项具有里程碑 意义的突破性成果不久，r m e r t o n ( 6 ) 减弱了该理论所依赖的条 件，使其更符合实际1 9 7 6 年，s r o s s ( j 7 ) 提出了比资本资产定 价模型更具一般性的套利定价理论( a r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ，简记为 a p t ) j c c o x 和s a r d s s ( 【8 】) 于1 9 7 6 年首先提出无套利定价的鞅方 法1 9 7 9 年，j c c o x ，s a r o s s 和mr u b i n s t e i n ( 9 ) 建立了二叉树模型 d m k r e p s ( 1 0 ) 提出无套利定价的均衡方法1 9 7 9 年，j m h a r r i s o n 和d m k r e p s ( 1 1 ) 证明了套利机会的缺失等价于风险中性概率分布 的存在性彭实戈和ep a r d o u x ( 1 2 1 ) 于1 9 9 0 年发现了一般非线性倒 向随机微分方程的研究方法，他们的理论在一般未定权益的定价理 论中有着非常重要的应用 对于远期、期货、期权、互换等金融工具，由于其交易价格衍生 于其标的资产的价格( 商品价格、利率、汇率、股票价格、股价指数 等) ，故统称为金融衍生证券金融衍生证券既可用来套期保值和避 免风险，也用来作高风险、高收益的投资，因此受到广泛的欢迎 2 0 世纪9 0 年代，全世界金融衍生证券市场每年的交易量已达5 0 万 亿美元 金融衍生证券是一种关于某种标的资产的双边合约，合约的价 值取决于这种标的资产的价格及其变化按照合约买方的权利与义 务的不同，衍生证券可分为远期类和期权类( 【1 3 ) 如果合约的买方 只有执行合约的义务，则为远期类，如远期合约、期货合约、互换； 如果合约的买方有执行合约的权利而无义务，则为期权类，如期权 合约、利率上限与下限、互换期权金融衍生证券及相关概念的详 细介绍可参见文献 1 4 一【18 】 期权是一类非常重要的金融衍生证券，期权的买方有权在将来 的某一约定时间或某一约定时间段内以约定的价格( 称为执行价格) 购买或出卖某种约定的标的资产如果是购买标的资产，则为看涨 期权；如果是出卖标的资产，则为看跌期权如果只能在期权到期时 执行期权，则为欧式期权；如果可以在到期时之前任意时刻执行， 则为美式期权 股票期权就是以股票为标的资产的期权，这是最早出现的期权 1 9 7 3 年美国芝加哥创建了第一个用上市股票进行看涨期权交易的集 中市场，随后，美国股票交易所、太平洋股票交易所及费城股票交 易所纷纷效仿，1 9 7 7 年开始了看跌期权的交易，短短几年，期权市 场发展非常迅猛在b l a c k - s c h o l e s 期权定价公式发表后不久，b l a c k s c h o l c s 期权定价公式被编成了计算机程序，交易者只需键入标的资 产价格、标的资产价格的波动率、货币利率、期权到期日等几个变 量就可计算出期权的价格 在b l a c k - s c h o l e s 模型中，对市场的基本假设为：交易连续进行； 不存在套利机会；借贷利率相同为常数，且无借贷限制；所有证券无 限可分；市场无摩擦，也就是无交易费用和税收，且无卖空限制； 标的资产价格服从几何布朗运动要得到期权定价的显式解和期权 的套期保值策略，首先要利用i t 6 随机积分来构造无套利市场模型 ( 【1 9 - 【2 4 】) ，由此得到期权的无套利价格所满足的b l a c k s c h o l e s 偏微分 方程，解此偏微分方程即得期权定价的b l a c k s c h o l e s 公式( 【1 9 】一【2 4 】) 由此可见，随机分析理论在期权定价乃至金融数学中起着非常重要 的作用，正如rm e r t o n 的名著c o n t i n u o u s t i m ef i n a n c c ( 2 5 ) 序言中所 说“把默顿推向拜伦式显赫的杠杆就是维纳和伊藤的连续概率的数 学工具，曾是复杂的近似一下子变成了漂亮且简单的真理”( i l 】) 期权定价理论经过几十年的发展，在以下几方面取得了丰硬的 成果： 一、b l a c k - s c h o l e s 期权定价模型的修正及进一步研究 这一方面的研究主要表现在以下几个方面： 1 对b l a c k - s c h o l e a 模型作实证研究( 1 2 6 1 一【2 8 】) 与理论研究( 1 6 】 8 】，【2 9 卜 f 3 2 1 ) ，从理论与实际两方面取得了进一步的成果，并仍然被一些研究 者作深入的研究 2 对b l a c k - s c h o l e s 模型进行修正，有考虑红利支付的如文献【2 3 l ，【3 3 】 等；有考虑交易费用的如文献 3 4 1 一【4 3 】等；有考虑随机无风险利率r 或随机瞬时波动率a 的如文献【4 4 - 【5 2 1 ；有考虑标的资产为各种不同 类型的资产，如期货期权( 【53 】) 外汇期权( f 5 4 l 一【s s l ) ，实物期权( 【5 6 】) ， 利率未定权益( | 5 7 1 5 8 1 ) 等；甚至有以天气温度为标的的气象衍生期 权( w e a t h e r d e r i v a t i v eo p t i o n ) ( 5 9 一【6 3 】) 二、离散时间模型的研究 s h e r p e ( 【6 4 】) ( 1 9 7 8 ) 和r e n d l e m a n & b 砒t 盯( 1 6 5 】) ( 1 9 7 9 ) 独立地提出了 两状态期权定价模型1 9 7 9 年，c o x ，r o s s ，r u b i n s t e i n ( 9 ) 提出了二叉 树期权定价模型，文献【6 6 1 对此进行了推广随后，文献 6 7 1 一【6 9 】考 虑了含交易费用的二叉树期权定价模型文献【7 0 一【7 1 】考虑了三叉树 期权定价模型对于一般离散模型，有研究有限状态( 【7 2 】) 和无限状 态( 7 3 】一【7 5 】) 还有一批学者如h e ，a m i n ，w i l l i g e r & t a q q u ，d u f l i e & p r o t t e r 等研究了离散时间金融模型到连续时间模型的收敛问题( 【7 6 卜8 0 1 ) 三、美式期权及奇异期权定价理论的研究 由于美式期权可在到期时刻前的任意时刻执行，所以其价格必 然与最优执行时间联系在一起m e r t o n 于1 9 7 3 年提出并研究了美 3 式期权的基本特征( b e r n n a n ，b a r o n c u n i e l s e n ，k a r a t z a s ，b r o a d i e ，j o h n s o n 等对美式期权及其最优停时、美式期权价格的逼近等方面进行了深 入的研究( i s l 一【9 5 ) 对美式看涨期权，g e s k c 和r o l l 确定了其定价公 式( 9 6 1 ) ，并且我们可以证明：提前执行不付红利的美式看涨期权决 不是最佳选择( 1 7 p 1 6 0 ) ，即在标的资产不支付红利时美式看涨期权 与欧式看涨期权的价格相等 比欧式期权和美式期权盈亏状态更复杂的衍生证券称为奇异期 权( 1 4 ) ( e x o t i co p t i o n s ) 或新型期权( 1 7 】) ，主要有打包期权( p a c k a g e s ) 、 复合期权、任选期权( a sy o ul i k e ) 、障碍期权( b a r r i e ro p t i o n ) 、亚式期 权( a s i a no p t i o n ) 、俄式期权( r u s s i a no p t i o n ) 、以( 色列) 式期权( i s r a e l i o p t i o n ) 等( 【1 4 】j 1 97 】一【1 1 2 】) 四、标的资产服从非几何布朗运动时的期权定价理论研究 这一方面的研究主要有： 1 ) 考虑标的资产价格在服从几何布朗运动的基础上存在异常变 动跳跃，如文献f 1 1 3 1 2 0 i 2 ) 考虑标的资产价格服从0 u 过程、半鞅、适应随机过程、一 般过程等，如文献f 1 2 1 1 2 6 3 ) 考虑标的资产价格服从分数次布朗运动的期权定价，这正是 目前国际上研究的热点，也是本文研究的内容 五、各种衍生证券定价理论的研究 利用期权定价理论来研究各种衍生证券定价同题已有不少结果， 如债券、认股权证、可转换债券等的定价( 1 2 v l 一【1 删) 六、期权定价的数学理论和数学方法的研究 由彭实戈等提出的倒向随机微分方程理论( 1 1 2 1 ， 1 3 5 一 1 a s ) 是期权 定价中起非常重要作用的一种数学理论，为不完全市场定价理论奠 定了一定的基础而在最优资产组合和无套利定价中，随机最优控 制( 或动态随机规划) 是十分必要的工具( 1 删一 1 4 5 1 ) 另外，蒙特卡 罗模拟法( 1 4 6 1 4 s ) 及偏微分方程的有限差分法( f 1 4 9 1 一 1 s 0 1 ) 也是常 用的数学方法 4 1 2 选题依据 经典的b l a c k - s c h o l c s 模型及其大部分推广都是在假定标的资产的 价格满足一个简单的线性且受布朗运动扰动的随机微分方程： d s ( i ) = 肛s ( t ) d t - i - 口s ( ) d b ( t ) ，( 1 2 1 ) 其中b ( t ) 为标准布朗运动但由于布朗运动的性质( 马氏性，鞅性 等) 导致标的资产的价格也满足此类性质，如未来某时刻的标的资产 价格只与现在的价格有关，与过去的价格无关，这就与人们直觉上 感觉有点矛盾，并与统计数据的厚尾性矛盾 因此考虑用分数次布朗运动代替布朗运动，使之更符合实际 用分数次布朗运动而非其他随机过程的原因有以下几点： 1 分数次布朗运动既不是半鞅，也不是马氏过程，所以它能够 用来描述半鞅随机过程和马氏过程描述不了的现象这样，就决定 了分数次布朗运动在金融、水文、气象、交通、国际互联网中的重 要应用 2 分数次布朗运动是一类高斯过程，而高斯过程是大家非常熟 悉的过程 3 标准布朗运动是分数次布朗运动的特殊情形，它是h u r s t 参数 为 的分数次布朗运动 4 分数次布朗运动具有长程关联性，这与人们对金融市场的直 观感觉一致，即未来某时刻股票的价格不仅与其现在的价格有关， 还与过去相当一段时间的价格有关并且e e p e t e r 验证了从1 9 7 2 年 1 月到1 9 9 0 年1 2 月的美元与日元的日汇率服从h u r s t 参数h 的估 计值为疗= 0 6 4 2 的分数次布朗运动，而对s & pt i c k 数据其膏“0 6 ( 【1 5 1 】) ；i s i m o n s e n 和k s n e p p e n 验证了电费价格可用h u r s t 参数约为 0 4 的分数次布朗运动来建模( 1 1 5 2 ) 5 由于分数次布朗运动不是半鞅，极其丰富的半鞅随机积分理 论不能直接应用，而需要建立一套与之相符的随机积分理论目前， y a o z h o n gh u ( 胡耀忠) 、b e r n to k s e n d a l 、c h r i s t i a nb e n d e r 、r o b e r t j e l l i o t t 和j v a nd e rh o e k 建立了关于分数次布朗运动的新的随机积 分的一些基本理论( 1 5 s 1 6 0 1 ) ，如对应的i t 6 公式及g i r s a n o v 公式等 5 因此，利用关于分数次布朗运动的新的随机积分的一些基本理 论来研究数学金融的分数次b l a c k - s c h l o c s 模型既有理论意义，又有实 际意义 1 3 拟研究的主要内容 本文拟研究的主要内容有： 1 拟一条件期望及拟一鞅 2 分数次布朗运动环境中欧式未定权益的一般定价公式、各种 不同条件下的欧式期权定价 3 分数次布朗运动环境中各种奇异期权的定价公式 4 多维分数次b l a e k - s e h o l e s 模型及应用 5 分数次布朗运动环境中最优资产组合和最优消费资产组合 6 第二章分数次布朗运动及其随机积分 2 1 分数次布朗运动的定义及性质 分数次布朗运动最初是k o l m o g o r o v 于1 9 4 1 年在h i l b e r t 空间框 架中定义和研究的，并命名为w i e n e r 螺线( h e l i x ) m a n d e l b r o t 和v a n n e s s ( 1 6 1 ) 于1 9 6 8 年首次提出“分数次布朗运动”这一名字，并给出 了分数次布期运动的构造 定义2 1 1 设( n ，p ) 为一概率空间，h ( 0 ：1 ) 为一常数具 有h u r s t 参数h 的( 1 维) 分数次布朗运动( f b m ) 是一g a u s s i a n 过程 鼬( t ) ) 锄+ = b h ( t ，u ) ；t 肘u q ) ，且满足： ( 1 ) 粕( o ) = e 【岛= 0 ，对所有t r + ； ( 2 ) e b n ( t ) b h ( s ) 】= i t l 2 世+ i s l 2 日一j t sj 2 日) ；s ，t 肘 这里e 表示关于概率测度p 的期望，其中r + = s ：s o 如果日= ，则b n ( t ) 为标准布朗运动，用b ( t ) 表示 如果日 ，则b h ( t ) 是持久的( p e r s i s t e n t ) 或有长程关联性( 1 0 n g - r a x l gd e p e n d e n c e ) ，即 r ( n ) 一e b 片0 ) b n ( n + 1 ) 一口h ( n ) 1 0 ，对所有n = 1 ，2 ， 且 + o o r ( n ) = o o r i = 1 如果h 的 情形，e a l b s ，o m a z e t ，d n u a l a r t ( 2 0 0 0 ) 1 6 8 讨论了h ；1 的情形，并 且更一般地，e a l b s ，o m a z e t ，d n u a l a r t ，( 2 0 0 1 ) 1 6 9 1 对具有适当性质的 g a u s s i a n 过程进行了讨论 本章主要介绍h u 和o k s e n d a l ，c h r i s t i a nb e n d e r ，r e l l i o t t 和j v a nd e r h o e k 在关于分数次布朗运动的随机积分的工作 2 2 关于分数次布朗运动的随机积分 设s ( r ) 表示r 上的速减函数的s c h w a r t z 空间，q ：= ( r ) 为其 对偶空间，通常称之为缓增广义函数空间，由b o c h n e r - m i n l o s 定理， 对，s ( r ) 且1 2 = 厶，2 ( z 胁，存在( ( r ) ，) 上的概率测度p 使得 e 陋c p ( t ) 】= 上，f 鳓e x p ( i ) d p = e 一判州2 ( 2 2 1 ) 其中一 j ， 表示对u ( r ) 其值为 的随机变量 称( s ( r ) ，p ) 为白噪声概率空间，称p 为白噪声概率测度 由( 2 2 1 ) 可证得 e 睁中 】= 0 ，s ( r ) ，( 2 2 2 ) 进一步，有等距性 e e x p 2 】_ l i 1 2 ，5 ( r ) ( 2 2 3 ) 8 对任意f l 2 ( r ) = ，：1 2 o 。) ，可定义 为 = 一l i m ( 上2 ( p ) ) ( 224 ) 其中 s ( r ) 收敛与f 考虑示性函数 邶叭轳麓魏。 显然，( o ，t ) ( s ) l 2 ( r ) ，我们考虑过程 亩( ) ( u ) = ( 2 2 5 ) ( 226 ) 对任意t ，亩( t ) ( u ) 为期望值是0 、方差是t 的g a u s s i a n 随机变量我们 令b 为宜的连续形式，则b 为标准布朗运动对f l z ( r ) ，由阶梯 函数的逼近， = f d b( 22 7 ) 对f s ( r ) 和0 日 1 ，定义基本算子m h 为 一r(2一n+)l。)si(nin(hh一)2p(h斯如血i i 三笋出一) c o s ( i ( h 一) ) j 8m h ，( z ) ， 删等端精dt2f(h j ri t - x l ， 一女) c ( 詈( h 一) )i 一日 并定义 玮( r ) = ，：m h f ( x ) l 2 ( r ) ) ( 2 2 9 ) 记m h ( o ，t ) ( z ) = m h i ( o ，t ) ( 。) ，并对h ( 0 1 ) 定义豆( t ) ( “) = 则豆h ( t ) 为一g a u s s i a n 随机变量，且e 亩片( t ) = 0 ，e 直h ( t ) 直_ ：r ( s ) 】= i 1 制2 “+ i s l ”一i t s 1 2 圩) 记过程 亩打( t ) ，t r 的连续形式为b h = b h ( ) ，t 埘则在概率测度p 下，过程是h u r s t 参数为h 的分 数次布朗运动 如果f 瑶( r ) ，由( 2 2 4 ) 和( 2 27 ) 知可定义 厶邝) d ( t ) ：= 2j r m h f ( 。) d b ( ) ( 22 加) 9 822 1 l ” 日 h j = 百 o h 引翅：_ h e r m i t e 多项式 拈( - 1 ) 雩券e ，一o l ，2 ， ( 221 1 ) h e r m i t e 函数定义为 。( z ) = 7 f - - ( ( n 一1 ) d 一 。一l ( 至z ) e 一譬，n ：1 ，2 f 2 21 2 ) 则 i 。n = 1 ，2 ) 为l 2 ( r ) 的一正交基且 l f 暑，i 引fi z 。1 l 善麓， 皿z 其中c 和7 为独立于n 的常数 定义 e 。( z ) ：= 临1 毛( z ) ，i = 1 ，2 ，( 2 21 4 ) 则k ，i = 1 ，2 ，) 为l 2 h ( r ) 的一正交基 设c 2 ( s ( r ) ，f ，p ) 为8 ( r ) 上平方可积随机变量空间，0 = 0 ，1 ，2 ，) 为非负整数集，z 表示所有有限维指标o = ( a 。，a 。) ( n 1n 。 0 ) 的集合 记l 位i = n l + d 2 + + n 。，n ! = n l ! 口21 膻。! 对a z ，记 h ，= 。( ) 特别，记勺= ( 0 。，0 ，1 ，0 ，) ( 第j 个元素为1 ，其余为o ) ，则 皿，= 1 ( ) = 。k h j d b 但是，砖= 伯e j ，故 垃，( “) = 厶勺d b h 定理2 2 1 w i e n e r - i t 5 混沌分解定理( w i e n e r i t 6c h a o se x p a n s i o n t h e o r e m ) 1 1 0 设f l 2 ( p ) ，则存在唯一的一族常数 ) 。! 使得 ，( u ) = c 。h = ( w ) ( c o n v e , g e t t c ez l 2 ( p ) ) n z 进一步，我们有等距性 e l f 2 】= n ! e e 7 定义2 2 1a ) 定义分数次h i d a 检验泛函空间( t h ef r a c t i 。a lh i d a t e s tf u n c t i o n a ls p a c e s ) 为 ( s ) = f ) ：f ) = 风) a n d ，”a 1 1 = 1 ，2 3 o “! 吃( 2 ) h 0 ， i i f l ? _ 。= d ( 2 ) 一* 。) ， 其中对7 = ( 1 1 ，) z ，( 2 p ：行( 巧) 并分别赋予( s ) 、( s ) 以射影拓扑及归纳拓扑，则( s ) 是( s ) 的 对偶其对偶性给定如下： 对f 2 ；以( s ) 和g 2 暑如吼( s ) ， = 。o d c a d a 注意到e h o h = a ! ，所以如果f = ；c 口风，则气= 击e 【f 凰1 对，g l 备( r ) ，记 f , g ) h 2 j 善m h | m n g ) d x = ， 州备= j = r 分数次白噪声w _ ( t ) 是b 打( t ) 在( s ) 中的导数，故 w 名( ) ( u ) = 蛳孙) ( 2 2 1 5 ) 由 1 6 0 引理4 2 ，对所有t ，有1 怕( t ) ( s ) 4 定义2 2 2 假设z ：r 一( s ) + ，并对所有f ( s ) 使得 l 1 ( 兄) ，则定义如z ( ) m 为( s ) + 中唯一的元素使得对所有f ( s ) 有 = 凡 d t ， ( 2 2 1 6 ) 并称z ( t ) 在( s ) + 中可积 定义2 2 3 ( 1 6 0 1 定义4 3 ) 假设f ( u ) = ea 。风( u ) ，g ( w ) = b t 日h z ( w ) 均属于( s ) + ，则w i c k 积 fo g ( u ) ：= n 。b # h a + 口( u ) = ( n 。如) 以( u ) ， ( 2 2 ，a 7 ) 1口+ 口= 1 并且f g ( s ) + 辛f o g ( s ) ，f g ( s ) = f o g ( s ) 假设x ( s ) ， 则x “= x o x o o x ( n 个) ，c x p 。x = 萎击x “( 如果级数收敛于( s ) ) 例如，假设， g 瑶( r ) ，则 ( r f d b h ) 。( 上9 i i ) = ( 厶，d 晶) ( 五9 d ) 一 s ， e x p 。( j 扭汀) = e x p ( rl a b 一i i l f l l 备) 定义2 2 4 假设f ：s 7 ( r ) 一r ，7 ( 冗) 称f 在方向，y 有一方向 型导数，如果 硝，o ) ：= 舰业鼍；立塑 在( s ) 中存在此时，我们称