（基础数学专业论文）具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究成果，均在文中以明 确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任。 声明人( 签名) ：细密 羽年旷月叼日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。厦门大 学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电 子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学 校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适 用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密() ( 请在以上相应括号内打“ ) 作者签名：牛丽誊 翮签名：凯 日期：谚年明抽 日期：年月日 具有素数个非线性不可约特征示且维数相等的有限群 摘要 群表示论是近代数学的个重要分支，而特征标的理论是研究有限群 常表示的最主要工具之一，它与有限群的结构有着密切的联系事实上， 有限群的非线性不可约特征标个数和次数如何影响群的结构已成为有限 群常表示论的一个重要研究课题本学位论文正是以这一热点问题展开 工作的 本学位论文主要在复数域上探讨，对非线性不可约特征标个数ii r r l ( g ) 为素数，非线性不可约特征标次数集合i c d ( c ) l = 2 的群g ，我们给出了非 2 一群的幂零群和导群极小正规的非幂零群结构本学位论文共分三章 第一章：我们对与论文有关的研究方向及发展动态进行介绍，并概述 了本学位论文的主要工作 第二章：我们给出一些与论文有关的基本概念与重要结论，包括特殊 矿群，超特殊p - 群，半超特殊p 群，f r o b e n i u s 群等以及重要的基本定 理，如著名的c l i 肪r d 对应定理等等，为第三章奠定必要的理论基础 第三章：运用群的幂零与非幂零性质解决本学位论文探讨的问题本 章分成两节； 第一节，对具有素数个非线性不可约特征标且其次数都一样的非2 群的幂零群给出分类，证明了这种群可分解为超特殊2 群与素数阶群的 直积 第二节，首先证明了恰有三个非线性不可约特征标且其次数一样的 有限非幂零群其导群极小正规其次我们考虑更一般的情况对导群极小 正规，具有素数个非线性不可约特征标且其次数都一样的非幂零群给出分 类我们证明了这样的群有三类第一类群g 为f 一群，第二类群g 可分 解为f 一群与初等交换群的直积，第三类群g 的商群c z ( g ) 为f 一群 2 关键词：非线性不可约特征标，特征标次数，f r o b e n i u s 群，超特 殊矿群，半超特殊p 群 具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群 a bs t r a c t t h er e p r e s e n t a t i o no ff i n i t eg r o u p si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o r d e r n m a t h e m a t i c s c h a r a c t e rt h e o r yi so n eo ft h em a i nt o o l so ft h er e p r e s e n t a - t i o no ff i n i t eg r o u p so v e rt h ec o m p l e xf i e l d ，i th a sc l o s er e l a t i o n s h i pw i t h t h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s i nf a c t ，h o wt h en u m b e ra n dt h ed e g r e eo f n o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r so ff i n i t eg r o u p si n f l u n c et h es t r u c t u r eo f g r o u p si sa ni m p o r t a n ti s s u eo fc a t e g o r yt h e o r y t h i sa c a d e m i cd i s s e r t a - t i o nf o c u s e so nt h e s ep r o b l e m s i nt h i sa c a d e m i cd i s s e r t a t i o n ，w es t u d yt h eg r o u p sw h i c hh a v eap r i m e n u m b e ra n ds a m ed e g r e eo fn o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r so v e rt h ec o m p l e xf i e l d ，i nt h e s ec o n d i t i o n s ，w ec l a s s i f yt h ef i n i t eg r o u p sw h e nt h e y a r en i l p o t e n tb u tn o t2 - g r o u p ，a l s ow ec l a s s i f yt h eg r o u p sw h e nt h e ya r e n o n - n i l p o t e n ta n dt h ec o m m u t a t o rs u b g r o u pi sm i n i m a l t h ew h o l ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e st h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eg r o u n d w o r ko ft h i st e x t ，a l s o t h er e s e a r c hd i r e c t i o na n dt h et r e n d so ft h ed e v e l o p m e n t i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w el i s ts o m ef u n d a m e n t a lc o n c e p t sa n df a c t s ， i n c l u d i n gs p e c i a lp - g r o u p ，e x t r a s p e c i a lp - g r o u p ，s e m i e x t r a s p e c i a lp - g r o u p a n df r o b e n i u sg r o u p ，a l s os o m ei m p o r t a n tl e m m a ss u c ha st h ef a m o u s c l i f f o r d sc o r r e s p o n d e n c et h e o r e m t h e yg i v ean e c e s s a r yp r e p a r a t i o nf o r t h et h i r dc h a p t e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es o l v et h ep r o b l e m sw h i c ht h i sa c a d e m i cd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nb ym e a n so ft h ep r o p e r t i e so fn i l p o t e n ta n dn o n n i l p o t e n tg r o u p s t h ec h a p t e r3i sd i v i d e di nt w os e c t i o n s ： 3 4 i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w ep r o v et h a tt h en i l p o t e n tg r o u pb u tn o t2 - g r o u p s a t i s f y i n go u rc o n d i t i o n si sad i r e c tp r o d u c to fa ne x t r a s p e c i a l 一2g r o u p w i t hap r i m eo r e d e rg r o u p i nt h es e c o n ds e c t i o n ，f i r s tw ep r o v et h a tt h ec o m m u t a t o rs u b g r o u p o fan o n n i l p o t e n tg r o u pw h i c hh a st h r e en o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r s a n dt h e i rd e g r e e sa r es a m ei sm i n i m a ln o r m a l t h e nw ec o n s i d e rm o r e g e n e r a lc a s e w ep r o v et h a tt h eg r o u p sw h i c hs a t i s f y i n go u rc o n d i t i o n s a n dw h o s ec o m m u t a t o rs u b g r o u pi sm i n i m a ln o r m a la r ed i v i d e di n t ot h r e e d i s t i n c tc l a s s e s t h ef i r s ta r ef r o b e n i u sg r o u p s t h es e c o n da r ed i r e c t p r o d u c t so faf r o b e n i u sg r o u pw i t ha ne l e m e n t a r ya b e l i a ng r o u p t h e t h i r dh a v et h e i rf a c t o rg r o u pc z ( c 1a saf r o b e n i u sg r o u p k e y w o r d s ：n o n l i n e a ri r r e d u c i b l ec h a r a c t e r ；t h ed e g r e eo fi r r e d u c i b l e c h a r a c t e r ；f r o b e n iu sg r o u p ；e x t r a s p e c i a lp - g r o u p ；s e m i e x t r a s p e c i a lp - g r o u p 具有素数个非线性不可约特征示且维数相等的有限群 5 第一章引言 有限群常表示论最重要的研究内容是特征标理论，特征标理论有很 强的技巧有限群表示论在发展的初期就是特征标理论在群结构中的应 用w b u r n s i d e 于1 9 0 4 年用特征标理论证明的关于p o 口b 阶群的可解性 定理直到1 9 7 2 年才有纯群论的证明；更令人惊奇的是，f r o b e n i u s 关于 真正规子群存在的一个充分条件至今尚无纯群论的证明总之，特征标理 论与群结构的研究有着密切的联系事实上，有限群的非线性不可约特征 标个数和次数如何影响群的结构已成为有限群常表示论的一个重要研究 课题本学位论文正是围绕这一课题展开，对恰有素数个非线性不可约特 征标且维数一样的群g ，我们探讨了非2 一群的幂零群和导群极小正规的 非幂零群结构 本章，我们对于有关研究方向的发展动态以及文章的框架作简明的 阐述。 我们所考虑的群均为有限群，特征标均为复特征标 i r r ( g ) 代表群 g 的不可约特征标集合，i r r l ( g ) 代表群g 的非线性不可约特征标集合 c d ( g ) 代表群g 的不可约特征标次数集合根据c d ( g ) 来研究群已经有很 多结论比如p a s s m a n ，i s a a c s 和g a r r i s o n 对i c d ( g ) l 3 的群进行深入探 讨和研究，得到系列结果，如【7 】【8 】【9 】【1 1 1 而对一给定集合s = 1 ，a ，6 ) ， a ，b 为自然数，当o ，b 满足一定条件时，t h o m a sn o r i t z s c h 1 0 】给出了满足 c d ( g ) = s 的这类群的一些性质而根据i r r l ( g ) 以及 r r l ( g ) 与c d ( g ) 的关系来研究群的结构，b e r k o v i c h 得到了许多重要结果1 9 9 2 年，他刻 划出所有非线性不可约特征标次数都不一样( 即l l r r l ( g ) l = l c d ( g ) i 一1 ) 的有限群【1 】1 9 9 4 年，他对i l r r l ( g ) i 一8 的有限群给出了分类【3 1 而1 9 9 6 6 年他又对非线性不可约特征标次数恰有两个一样( 即l i r r l ( g ) l = i c d ( c ) i ) 的有限群给出了分类【4 】【5 】 第二章t 我们给出一些与论文有关的基本概念与重要结论，包括特殊 p 群，超特殊p 群，半超特殊矿群，f r o b e n i u s 群等以及重要的基本定 理比如著名的c l i f f o r d 对应定理等等，为第三章奠定必要的理论基础 第三章：运用群的幂零与非幂零性质解决本学位论文探讨的问题本 章分成两节： 第一节，利用已知的恰有一个非线性不可约特征标的有限群分类，对 具有素数个非线性不可约特征标且其次数都一样的非2 一群的幂零群给出 分类，证明了这种群可分解为超特殊2 群与素数阶群的直积 第二节，首先利用已知的恰有一个和两个非线性不可约特征标的有 限群分类，证明了恰有三个非线性不可约特征标且其次数一样的有限非 幂零群其导群极小正规其次我们考虑更一般的情况对导群极小正规，具 有素数个非线性不可约特征标且其次数都一样的非幂零群给出分类我们 证明了这样的群有三类第一类群g 为f - 群，第二类群g 可分解为f 一 群与初等交换群的直积，第三类群g 的商群g z ( g ) 为f 一群 需要说明的是，本文所使用的符号和术语都是标准的，可参考文献 1 6 】设n 塑g ，0 为的一特征标，令坛( p ) 为0 在g 中的稳定子群， 即坛( 口) = 夕g i o g = 口) 若坛( p ) = g ，则称0 是g 一不变再令 i r r ( g l o ) 表示g 的那些在0 上方的不可约复特征标集合，即i r r ( g o ) = ) ( i r r ( g ) l i x n ，0 1 o ) l i n ( g ) 表示群g 的线性特征标集合 另外我们用g 7 表示群g 的导群， z ( g ) 表示群g 的中心f ( g ) 和m ( g ) 分别表示群g 的f i t t i n g 子群和f r a t t i n i 子群p 代表一个素 数 具有素数个非线性不可约特征毋且维数相等的有限群 7 第二章基本概念和主要引理 在这一章里，我们首先介绍一些有关定义和引理，这些结果对于本文 以后主要定理的证明是重要的 另外，本章中给出证明的引理均来自文献1 6 】中的习题 2 1p 群 接下来给出三个跟少群有关的概念，可参考文献【1 5 】和【1 6 】中的定 定义2 1 1 1 1 5 , 1 6 j 群g 为p 群，称群g 为特殊p 群，如果它满足下 列两个条件之一； ( i )群g 为初等交换矿群 ( i i ) z ( a ) = g 7 = m ( g ) 是初等交换的 定义2 1 2 1 1 5 , 1 6 】群g 为非交换的特殊矿群，且i z ( g ) i = p ，则称群 g 为超特殊p 群 我们知道g m ( g ) 是初等交换群，则超特殊少群满足下面引理的条 件该引理阐明了超特殊p 群的构造 引理2 1 1 f 1 5 】令g 为非交换p 群，c z ( a ) 为初等交换群，z ( c ) 循环则 ( i )l g i = p ( i i ) i c z ( c ) i 为一个甲方数 8 定义2 1 3 f 1o l 群g 为非交换少群，若对z ( g ) 的任一极大子群 满足g i n 为超特殊矿群，则称群g 为半超特殊矿群 关于半超特殊矿群有许多等价的刻划，可参考文献【1 0 1 4 1 本文只 选择文献1 1 0 】中等价的特征标刻划 引理2 1 2 【l o 】g 为非交换矿群，则以下两个结论等价： ( 1 ) g 为半超特殊少群 ( 2 ) z ( g ) = g 7 且c d ( g ) 一 l ，l g ：z ( g ) i ；) 2 2f r o b e n i u 8 群 f r o b e n i u s 群无论在群的结构上还是群表示理论中都占据十分重要 的地位下面先给出f r o b e n i u s 群的概念，可参看文献1 1 6 】中的定义 定义2 2 1 【1 6 】设g 是有限群，1 h g 如果nh g = l ，的 g 一日，则称g 为关于子群日的f r o b e n i u s 群( 简称f 一群) ，并称日为 g 的f r o b e n i u s 补( 简称p 补) 而n = g u g c ( h 夕一1 ) 叫做g 的 f 一核 注tf r o b e n i u s 有一个深刻的定理，即如果g 为关于子群h 的f 群，则3 n 翼g ，有g = h ，nh = 1 ( 实际上该正规子群即为f - 核，是由日唯一确定的) 引理2 2 1 【6 】设n 里g ，若c c ( x ) n 对v 1 z n ，则以下两结 论成立： ( i ) v 妒i r r ( n ) ，妒i n ，有坛( 妒) = n 和妒g i r r ( g ) ( i i ) v x l r r ( g ) 且gk e r ( x ) ，那么j 妒ei r r ( n ) 有妒g = x 具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群 注：引理2 2 1 中结论( i ) 实际上是g 为p 群的充要条件，即是 f 一群的等价特征标刻划，可参考文献1 1 7 】 下面给出f _ 群的等价纯群论刻划 引理2 2 2 1 6 l 设n 塑g ，g = h ，j 7 、rnh = 1 ，则群g 是以日为f 一 补的f 一群的充要条件是c o ( z ) n 对v l x n 我们不依赖特征标只运用f 一群的基本群性质来证明该引理 证明充分性：只须对任意的g g 一日，证明日nh g = 1 设 g = y x ，其中y h ，z n 由g 隹h 有x 1 假定有1 y l 日n 日g = h nh z ，于是存在1 y 2 h 使y l = y i = y 2 y 2 ，z 1 因 n 塑g 有【y 2 ，x 】n ，于是y 2 1 y l n ，又酊1 y 1 h ，而nh 一1 ，故 蛎1 y a = 1 ，即y 2 = y 1 由此就有瞻= 1 1 2 ，即y 2 c o ( z ) 这与c a ( x ) n 矛盾充分性得证 必要性：反证，设存在x n ，有c c ( z ) n 则存在y c c ( x ) 满足 y g n 因g 是f 一群，根据定义2 2 1 设y = h 9 ，其中h h ，geg 则g - 1 h g x = x g h g ，即h = g x g 一1 h g x 一1 9 ，则h g x g 。n h 1 ，从而 g x g _ 1 = 1 ，即x = 1 矛盾必要性得证 注：( i ) 由引理2 2 1 及其注记可知引理2 2 2 中大前提g = n h ，n m h = 1 是多余的 注：( i i ) f 一群的等价纯群论刻划实际上有5 种，可参考文献【6 1 下面的引理对本文证明至关重要，可参考文献1 1 0 】或1 13 】 引理2 2 3 1 1 0 , 1 3 】群g 非幂零，设c d ( g ) = 1 ，m ) ，则有 9 1 0 ( i )f ( g ) 为唯一的一个交换子群满足l g ：f ( g ) i = m ( i i )若有p s y l p ( g ) 非交换，其中p 为i g l 的某一素因子则l g ： f ( g ) i = p ( i i i )若g 的所有s y l o w 子群都交换，则f ( g ) = g 7 z ( g ) ，c z ( g ) 为f 群，f 一核为f ( g ) z ( g ) 2 3主要引理 引理2 3 州若l g l 为奇数且x i r r ( g ) 为非主特征标，则有x 叉( 其中又表示x 的共轭特征标) 证明 反证若x = 叉，则f x ，剜= 1 即9 gx ( 9 ) 2 = i g | 因 x 如，由第一正交关系得9 gx ( 9 ) = 0 两边甲方得9 gx ( 夕) 2 十 2 z c h ) ( ( 夕) x ( 危) = i g i + 2 a 一0 ，其中o l = g x ( 夕) x ( 危) 显然口为代 数整数由此表明l _ q 2 _ l 是有理代数整数，即是整数这与i g i 为奇数相矛 盾引理得证 弓i 理2 3 2 【6 l群g = h k ，贝0i r r ( g ) = px 口l 口i r r ( h ) ，o j ”( k ) ) 引理2 3 3 1 6 若i c d ( g ) i 一2 ，则g 7 交换 引理2 3 4 f 6 ( g a l l a g h e r 对应)设n 里g ，x i r r ( g ) 且x = 秽 i r r ( n ) 则以下结论成立： ( i )对任意的p i r r ( g n ) ，p x 不可约 ( i i ) 若l 侥，贝0p l x 仍x ( i i i ) 萨= 胀伽( g n ) f l ( 1 ) p x 具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群 引理2 3 5 1 6 1 设n 璺g ，c n 为交换群c 为c g 的线性特征标 群，则c 按乘法可作用在l r r ( g ) 上令妒i r r ( n ) ，则妒g = a ：1 始， 其中a 为整数，而 x 1 ，x 2 ，始) 恰为c 在l r r ( g ) 上作用的一个轨道 证明 任取x i r r ( 1 ，o g ) ，则【妒，x r 1 一【妒g ，x l 0 即妒l r r ( x n ) 表明妒g 为( x ) g 的分量设p 为c n 的正则特征标，因c n 交换， 则p = 挺g a 从而p x = a g a x 根据诱导特征标的定义，对任意的 g g ，我们有 ( x n ) g ( 9 ) = ( x i n ) g ( 9 ) = 上。# g ( ) ( h ) o ( x g x i n ) - 1 ) 一 厶z g 、 v 1 v ， ， = 南 (x)o(xgx_1)(，一)o(xgxxeg n - 1 ) 一l l 厶 、 ， 八1 ， = 丽1 x ( x g x _ 1 ) ( ，) o ( x g x x e g _ 1 ) 一l l 厶 八1 v ， ， = 南x(9)(凡)o(xgxxeg _ 1 ) 一l i 厶 、八1 v ， = x ( 风) g 即( ) ( ) g = x ( ，) g 因c g 交换，由g a l l a g h e r 对应引理2 3 4 得( 风) g = 妒m ( g n ) 矽( 1 ) 妒= c e c 妒：p 所以( x ) g = x p = a ga x 由妒g 为( x ) g 的分量可知妒g 的任一不可约分量形式都为某 一入x ，其中a c 即i r r ( 1 ，o g ) c x = a x i a c ) = ) ( 1 ，x a ，x 。) 另一方面，对任一个a x c x ，有【妒g ，a x 】= 【妒，a h x n 】= i 妒，x 】0 即每个a x c x 均为妒g 的不可约分量且相应的重数都相等从而可令 妒g = a a c 入x = o ：1x i 其中a = i 妒，a x | i v 】 引理2 3 6 1 6 l 设n 里g ，c n 为循环群若p j 7 r ( j v ) 是g 不变 的，则口可扩张到g 1 2 c l i f f o r d 于1 9 3 7 年提出了下述在正规子群上特征标理论研究中起着 本质性作用的c l i f f o r d 对应定理可参考文献【2 】2 引理2 3 7 1 6 l ( c l i f f o r d 对应定理)设g 是有限群，j 7 v 里g ，0 j 7 7 ( ) ， 记t = 1 g ( 口) 则特征标的诱导为一个双射： ( ) g ：l r r ( t l o ) _ l r r ( g l o ) 妒hq o g 特别地，若记a = i r r ( t o ) ，b = i r r ( g o ) ，如果妒a 满足妒g = x 1 3 ， 那么妒是属于么中的x ? 的唯一的不可约分量，且有【妒，0 j = 【x n ，0 1 引理2 3 8 f 1 2 l 群g 仅有一个非线性不可约特征标当且仅当下列条 件之一成立： ( i ) g 是个超特殊2 一群 ( i i ) g 为f 一群，f 核初等交换，f - 补日交换， i h l = l n l 一1 引理2 3 9 【2 】群g 恰有两个非线性不可约特征标且次数一样，当且 仅当以下条件之一成立t ( i ) g 为超特殊3 一群 ( i i )l g i = 2 2 m + 2 ，i z ( g ) i = 4 ，i g 7 i 一2 ( i i i ) g 为f 一群，f 一核为初等交换，f 一补交换，且2 1 h i = i n l _ 1 ( i v ) c z ( c ) 为f 一群，f 一核n z ( g ) 初等交换，p 补h z ( g ) 交换 阶为i n z ( g ) i 一1 ，i z ( g ) l = 2 ，z ( g ) 基g 7 具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群 第三章具有素数个非线性不可约特 征标且维数相等的有限群 本章为本文的主要结果，分成幂零与非幂零讨论首先我们来看幂零的情 况 3 1幂零群情形 定理3 1 ( i )若g 为矿群，i i r r l ( g ) i = t ( t 是不为2 的素数) ， i c d ( g ) i = 2 ，则p = 2 ， ( i i ) 若g 幂零且不是2 - 群，则l i r r l ( g ) l = t ( t 是不为 2 的素数) ，i c d ( g ) i 一2 ，当且仅当g p a ，其中p 为超特殊2 一群， i a l = t ( t 是不为2 的素数) 证明( i ) 设g 为p 群，因g 的任一复特征标与其共轭复特征标次 数一样，由引理2 3 1 ( b u r n s i d e 定理) 得，若i g i 为奇数则其非线性不可 约特征标中次数一样的必然是偶数个，这与t 是不为2 的素数矛盾所以 p = 2 ( i i ) 显然若群g p a ，p 为超特殊2 - 群，i a l = t ( t 为某一素 数) ，由引理2 3 8 和引理2 3 2 得群g 满足i i r r x ( g ) i = t ，l c d ( g ) i = 2 反之，若群g 幂零，g 不为2 一群，则存在p s y l o w p ( g ) ，p 非 交换，其中p 为i g i 的某一个素因子设g = p a i a l 1 由引理 2 3 2 ，i r r ( g ) = p 口i 口i r r ( p ) ，口i r r ( a ) ，贝0i i r r l ( g ) i = t = i p ： p 7 1 r r l ( a ) i + i a oa 1 r r l ( p ) i + i ，r 7 1 ( 4 ) | i ，r r l ( p ) i ，因为i c d ( g ) l = 2 ，尸 非交换，则i c d ( p ) i 一2 ，l c d ( a ) j 一1 从而t = | a l l l r r l ( p ) ，则i a i = t ， 1 3 具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群 零矛盾 ( 2 ) g i n 为f 一群，p 核k i n 为初等交换g - 群，f 补h n 交 换，且l h i n i = i k n i 一1 设i k n i = q ”，则由引理2 2 1 得c d ( g ) = 1 ，l h n i = 1 ，q m 一1 ) ， i g n i = q m ( 口m 一1 ) ，由i g i i g n i = 2 x ( 1 ) 2 得g m ( 口m 一1 ) ( 矿一1 ) = 2 ( q ”一1 ) 2 ，则q m2 ，从而p n = q m = 2 ，则i g l = 4 ，矛盾 第二种情形t l i r r l ( g n ) i = 2 由引理2 3 9 我们考虑以下四种情况 ( 1 ) 若g i n 为引理2 3 9 中群( i ) 设l g n i 一3 2 m + 1 ，则3 2 m + 1 = 3 2 m + 2 x ( 1 ) 2 ，即x ( 1 ) 2 = 3 2 m ，又 n ，i g i n l = 虿1 口m ( q m - 1 ) ，由i g i - i g n i = x ( 1 ) 2 得j l q ( 扩一1 ) ( 矿一1 ) = j ( q m 1 ) 2 ，显然不成立 ( 4 ) 若a g 为引理2 3 9 中群( i v ) 令虿= v g ，则一g z ( 一g ) 为f 群，i z ( 虿) l = 2 设f 核阶为q m ， 则f 一补阶为q m 一1 从而有i c g i = 2 q ”( 口m 一1 ) 且c d ( g ) = c d ( 劢= 1 ，( q 一1 ) ) 由l g i i v g l = x ( 1 ) 2 得2 口m ( 口m 一1 ) ( 矿一1 ) = ( q 一1 ) 2 ， 显然不成立 1 5 1 6 第三种情形：l i r r l ( g n ) i = 3 则i r r l ( g n ) = l r r l ( g ) ，又( c n ) 7 ：g 7 u ，从而n = l ，矛盾 综上得g 7 为g 的极小正规子群 接下来我们考虑一般情况：对i l r r l ( g ) i t ( t 为一素数) ，i c d ( g ) i = 2 ， 且导群极小正规的非幂零群给出刻划 定理3 3 2 g 非幂零，g 7 为极小正规子群，则l l r r l ( g ) i = t ( t 为一 素数) ，i c d ( c ) l = 2 ，当且仅当下列条件之一成立： ( i ) g = g 7 a ，c 为初等交换群，a 循环 1 a i = t ( i c 7 i 一1 ) ( z 为 一素数) c z ( c ) 为f - 群，f - 核n z ( g ) 型c 7 ，f 一补h z ( c ) 循环， l h z ( g ) l = l n z ( g ) l 一1 ( i i )g = n 1x 2 ，n 1 为f - 群，f 一核为初等交换群，f 补日 交换，i h i = i n l 一1 ，i 2 i = t ( t 为一素数) ( i i i ) g 为f - 群， f 一核为初等交换群，f - 补日交换，且t l h l = | j l ( t 为一素数) 证明 若群g 满足条件( i ) ，因l g l = l g i i a = l c z ( c ) l l z ( c ) l ，即 t ( i c 7 i 一1 ) l c 7 l = ( i c 7 l 一1 ) 1 c 7 i i z ( c ) l ，则i z ( g ) i = t 设i g 7 i = 矿，) ( l r r x ( c z ( c ) ) ，则x ( 1 ) = 矿一1 令【x g ，刈0 ，其中a i r r ( g ，) 因 ( b ) g = 雪l 伽( g ) ，则有入如c c 7 竺a 循环 先证a g = 釜lx i ，i r r l ( g ) ，地有相同的次数，i = 1 ，2 ，s 由引理2 3 5 ，设a g = ，2 l 始，f 为某一自然数，始i r r l ( g ) ，您( 1 ) = p n 一1 ，i = 1 ，2 ，s 令t = ( a ) 若t = g ，则由引理2 3 6 ，a 可扩张到 g ，则，一1 若t g ，对i c l 归纳则可没a 丁= ：1 以，妒i l r r l ( t ) ， 以有相同的次数，i = l ，2 ，s 由引理2 3 7 ，可得入g = 羔。诈= 具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群 ：1x i ，x i = 蜉l r r a ( g ) ，x i ( 1 ) = 矿一1 ，i 一1 ，2 ，8 由a g = ：l 憋计算次数得i g ：g 7 i = s ( 矿一1 ) ，则s = t ，即 i r r l ( g ) 至少有t 个次数为矿一1 的非线性不可约特征标根据i g i = i g ：g ，i + x m ，( g ) x ( 1 ) 2 得i i r r l ( g ) i = t ，c d ( g ) = 1 ，矿一1 ) 若群g 满足条件( i i ) ，由引理2 3 8 得1 只有个非线性不可约特 征标，又i 2 i = t ，得i i r r l ( g ) i = t ，i c d ( v ) i = 2 若群g 满足条件( i i i ) ，因a l n 竺h 交换，由引理2 3 4 ，则( n ) g = 皿l i 。( g ) 皿对取i r r l ( g ) ，有n 基k e r x 由引理2 2 1 可知映射 入一入g 是一个从，r r ( ) 一 n ) 到i r r l ( g ) 的满射对v a ，肛i r r ( n ) ， a g = 肛g 当且仅当a = ，t g 则l i r r l ( g ) i 是g 在j r r ( ) 一 n ) 上共轭作用的轨道数，且每个轨道长为l g ：l a ( a ) l = i g ：n i = i h i n 是交换，则以( g ) = l ，l g ：n i 一( 1 ，i h i 又t l h l = i n i 一1 ，则g 在 ，r 7 ( ) 一 h ) 上共轭作用恰有t 个轨道，因此i i r r a ( g ) l = t 反之若g 非幂零，g 7 为g 极小正规子群 1 i r r l ( g ) i = t ( t 为一素 数，i c d ( g ) i = 2 g 可解，则设i g 7 i = p n ，g 7 为初等交换 g 非幂零， 则g 7 幺虫( g ) 因此存在极大子群a ，有g 7 区a ，则g = g 7 a 又由g 7 交 换，则g 7na 塑g 7 a = g ，由g 7 的极小性得g 7na = 1 则a 竺a a 7 交 换由g 非幂零及g 7 的极小性得g 7nz ( c ) = 1 对任意的g z ( g ) ， 设g = g x a ，其中g l g 7 ，a a ，则g l = g a 一，因g 7 和a 都交换，我们 有g l g 7nz ( c ) = 1 ，即夕a ，也就是z ( g ) a 若存在qii g l ，有q s y l o w q ( g ) ，q 非交换，则由引理2 2 3 得 c d ( g ) 一 1 ，口) a 交换，则q = p 否则因a 的s y l o w q 子群亦是g 的 s y l o w 。子群，从i 面q 交换，矛盾且pil a l ，否则q = g 7 ，交换，矛盾设 i a i = 矿- 露2 p ；。，其中p ，p 2 ，p 。为i a l 的所有不同素因子，且o z l 1 7 1 8 l ，s 2 ，0 1 2 1 因i g i i c c 7 l = t p 2 ，即p q - 一1 p ；2 醒。( p “一1 ) = t p ， 则矿= 2 ，否则由pfp n 一1 ，则ti 矿一1 从而t p 2 ，所以p = p 2 ，矛 盾则i g ：a i = 2 ，从而agg ，即g = g 7 a ，则g 交换，矛盾 则由引理2 2 3 得f ( g ) = g z ( g ) ，且g = g z ( g ) 为p 群， p 核为( g ) 7 = f ( a ) z ( a ) 竺g 7 ，则p 补为a = a z ( g ) 循环因 此c d ( g ) = c d ( g ) = 1 ，i a i ，i i r r l ( g ) i = i ，i = 1 , 2 ，t 考虑g 在 l r r ( ( g ) 7 ) 一 厶g ) ，) 上的共轭作用，同上讨论可得g 在i r r ( ( g ) 7 ) 一 五o y ) 上 的共轭作用恰有i 个轨道，且每个轨道长为i g ：坫( 口) l = l g ：( g ) 7 i7 - - i a | 所以i l a i i ( g ) 7 i l = p n 一1 ( 1 ) l l r r l ( g ) i = 1 贝0 c d ( g ) = 1 ，p n 1 ) ，由i g i = i g ：g 7 l + x j ，。( g ) x ( 1 ) 2 ，贝4 i g ：g i ( i g i 一1 ) = t ( p n 一1 ) 2 ，即i a l ( p n 一1 ) = t ( p n 一1 ) 2 ，又l a i = l z ( g ) i i a l i z ( g ) i ( p n 一1 ) ，则l z ( g ) j = t 若a 循环，即为群( i ) 若a 非循环，由a 循环，设a = ，若 nz ( c ) 1 ， 因i z ( g ) | = t ，t 为素数，则z ( c ) ，则a 循环矛盾所以 a = x z ( g ) 考虑n 1 = g 7 ，对v h 珊，( 夕) ，g ，g 1 贝0h z ( g ) c c z ( c ) ( g z ( c ) ) = ( g 7 z ( g ) ) z ( g ) ，即h g 7 z ( g ) 设 h = g l a l = 9 2 a 2 ，其中夕1 ，9 2 g 7 ，a l z ( g ) ，a 2 则夕i l g l a 2 a - i _ 1 g 7f la = 1 ，贝la l = a 2 z ( c ) n = 1 ，所以h g 7 由弓i 理 2 2 2 得1 为f 一群，g 为p 核， 为f 一补即为群( i i ) ( 2 ) 当t 为大于2 的素数时，考虑：f i r r l ( g ) i = j ( j 一2 ，3 ，o oo ，t 一1 ) 则c d ( g ) = 1 ，芷尹) ，由l g i = l g ：g ，| + x j ，州g ) x ( 1 ) 2 ，则i g ： g 7 i ( i g 7 i _ 1 ) = t ( 孚) 2 ，即i a l ( p ”一1 ) = t ( 竿) 2 ，又l a i = i z ( g ) i i a i = 具有素数个非线性不可约特征标且维数相等的有限群 z ( g ) i ( 学) ，求得i z ( g ) l = 了t ，因t 是素数，显然不可能 ( 3 ) l l r r l ( g ) i = t 则e d ( g ) = 1 ，学) ，从而i g ：g i ( 1 0 7 | - 1 ) = ( 竿) 2 由i a i = z ( a ) l l a i = i z ( g ) i ( 竿) ，求得i z ( u ) l = 1 ，即为群( i i i ) 1 9 参考文献 【1jy b