（电机与电器专业论文）永磁体涡流损耗的有限元分析及其对电机性能的影响研究.pdf

a b s t r a c t b e c a u s eo ft h em a g n e t i cf i e l dw h i c hi sb u i l tb yp e r m a n e n tm a g n e t , p e r m a n e n t m a g n e ts y n c h r o n o u sm o t o r ( p m s m ) h a ss i m p l i f i e ds t r u c t u r ea n dl o wc o s tf o ri t s m a c h i n i n ga n di n s t a l l a t i o n b e s i d e s ，t h eo p e r a t i o n a lr e l i a b i l i t yh a sa l s ob e e ni m p r o v e d b e n e f i t i n gf r o mt h ea b s e n c eo ft h ee x c i t i n gc u r r e n ta n dt h ee x c i t a t i o nl o s s ，t h e e f f i c i e n c ya n dt h ep o w e rd e n s i t yh a v ei n c r e a s e d m o s t l y ，t h ep e r m a n e n tm a g n e ti s n d f e bm a t e r i a l ，w h i c hh a sr e l a t i v e l yh i g ht e m p e r a t u r ec o e f f i c i e n t so fr e m a n e n o ea n d c o e r c i v i t y a n dam o d e r a t ee l e c t r i c a l c o n d u c t i v i t y t h ee d d yc u r r e n ti n d u c e di n p e r m a n e n tm a g n e to f t e nl e a dt oh e a tw h e nt h ee x t e r n a lm a g n e t i cf i e l di st i m e - v a r y i n g s oi ti sn e c e s s a r yt oc a l c u l a t ea n da n a l y s et h ee d d yc u r r e n ti nr o t o ra n dt of i n d s o l u t i o n s s e v e r a ls u b j e c t si nr e l a t i o nt ot h ee d d yc u r r e n tf i e l di nn d f e bm a g n e t so fp m s m a n di t si n f l u e n c e s0 1 1t h ep e r f o r m a n c eo ft h em o t o ra r ec o v e r e d t h ec o n t e n t sa l e s u m m a r i z e d 勰f o l l o w s ： t h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fp m s ma r eb r i e f l yr e v i e w e d t h eb a c k g r o u n d a sw e l la st h es t a t u so ft h er e s e a r c ho nt h ec a l c u l a t i o no fm a g n e t i cf i e l di np m s mi s h i g h l i g h t e d a c c o r d i n gt 0t h ec h a r a c t e r i s t i co ft h ee d d yc u r r e n t si nm a g n e t s ，t h eg o v e r n i n g e q u a t i o n so ft h et w o - d i m e n s i o n a le d d yc u r r e n tf i e l da n dt h et h r e e d i m e n s i o n a le d d y c u r r e n tf i e l da r er e s p e c t i v e l ye s t a b l i s h e d m a g n e t i cv e c t o rp o t e n t i a li sa d o p t e dt o c a l c u l a t et h em a g n e t i cf i e l da n d e d d y c u r r e n t sa su _ n k n o w l lf u n c t i o ni n t w o d i m e n s i o n a l a n da ，西- am e t h o di su s e di nt h et h r e e d i m e n s i o n a l i nt h e a n a l y s i s ，t h em o t i o ne f f e c ti sc o n s i d e r e d b a s e do nt h ea c t u a ls t r u c t u r eo fd i s ct y p ep e r m a n e n tm a g n e ts y n c h r o n o u sm a c h i n e s ， t h em a g n e tf i e l do ft h em a c h i n ea n dt h ee d d yc u r r e n ti nt h er o t o ra r es o l v e db y t w o - d i m e n s i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) t h ec a l c u l a t i o ni sc a r r i e do u tu n d e r t h ec o n d i t i o no f l o a da n dn o l o a d ，r e s p e c t i v e l y i ti n c l u d e st h ee d d yc u r r e n tc a u s e db y t h et e e t ho ft h es t a t o ra n dt h ed i f f e r e n te d d yc u r r e n t su n d e rd i f f e r e n tr u n n i n gs p e e d c o n d i t i o n s a f t e rs o l u t i o n , t h em a g n e t i cv e c t o rp o t e n t i a lw a v e f o r m sa n dt h ee d d y c u r r e n tw a v e f o r m sa r ed r a w na c c o r d i n gt ot h er e s u l td a t a , a n dd i s t r i b u t i o nf i g u r e so f t h ee d d yc u r r e n tl o s s e sa r ea l s oo b t a i n e d s o m ei n f l u e n c i n gf a c t o r so nt h ee d d y c u r r f f t l ti nt h ep e n n a n e n tm a g n e ta r ec o n c l u d e d s o m ee f f e c t i v em e a s u r e sa r ct a k e n a c c o r d i n gt ot h ea n a l y s i so f t h ew a v e f o r m s af o r m u l ai sp r o p o s e dt oc a l c u l a t ee d d yc u r r e n tl o s s e sd e n s i t yd i s t r i b u t i o ni nt h e p e r m a n e n tm a g n e to f p m s m t h em a g n e t i cf i e l do f m o t o ri ss o l v e db yf e ma n de d d y c u r r e n tl o s s e si np ma r ec a l c u l a t e dt ov e e r yt h ef o r m u l a t h i sp a p e rp r e s e n t st h es i m u l a t i o na n dc a l c u l a t i o no ft h em a g n e t i cf i e l dw i t hf e m b yk e e p i n gt h et e r m i n a lv o l t a g ec o n s t a n t , t h en o n - s i n u s o i d a lc h a n g eo ft h ec u r r e n ti n a r m a t u r ew i n d i n g sc a u s e db yt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h em a g n e t i cf i e l do ft h ee d d y c u r r e n ti np e r m a n e n tm a g n e ta n dt h et i m ev a r y i n gm a g n e t i cf i e l do ft h ea r m a t u r e c u r r e n ta r ea n a l y z e d f u r t h e r m o r et h ew a v ed e f o r m i t yo ft h ec u r r e n ti ss h o w n t h e r e s u l to fp r e s e n tc o m p u t a t i o ni st e s t i f i e db yt h ec u r r e n tv a l u eo b t a i n e dt h r o u g ha s i m p l ee x p e r i m e n t a lm e a s u r o m e n t t h ei n f l u e n c eo f t h ea r m a t u r ec u r r e n t sc h a n g eo n t h em a c h i n ep e r f o r m a n c ei sa l s oa n a l y z e d i no r d e rt od e c r e a s et h ee d d yc u r r e n tl o s s e si np e r m a n e n tm a g n e t so fp m s m ，t h e o p t i m i z i n gs c h e m e sa r ep r o p o s e df r o mt h et w op o s s i b l ed e s i g nr o u t e so ft h em a c h i n e m a g n e t i cc i r c u i ta n dt h er o t o rm a g n e ts t r u c t u r eb yt h es t u d y i n go fp m s m ss t n l c t u r e t h er e s u l t so f t h ec a l c u l a t i o nw i t hf e m p r e l i m i n a r i l yv e r i f yt h es c h e m e s k e yw o r d s ：p e r m a n e n tm a g n e ts y n c h r o n o u sm o t o r ；e d d yc u r r e n tf i e l d ；f i n i t e e l e m e n tm e t h o d ；t r a n s i e n ta n a l y s i s ；h a r m o n i c ；o p t i m i z e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得叁鲞盘茎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：夺娟 签字日期：2 p 口6 年月，9 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫盗盘量有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤凄盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：杏指 签字日期：2 口d 6 年f 月阳日 导师勰揪。 签字日期：钐年月矽日 第一章绪论 1 1 永磁电机的发展 1 1 。1 概述 第一章绪论 电机的气隙磁场( 或主磁通) 是能够产生感应电势和电磁力矩的不可缺少的 因素。为了建立所需的气隙磁场，电机磁路须有一定的磁势源来励磁。例如，一 般的直流电机和交流同步电机采用直流电流励磁，叫做电励磁。电励磁的电机称 为电磁式电机。永久磁铁在经过外界磁场的预先磁化以后，在没有外界磁场的作 用下，仍能保持很强的磁性，并且具有n 、s 两极性和建立外磁场的能力。因此， 可以用来取代发电机或电动机的电励磁。这种采用永久磁铁作为励磁的电机，称 为永磁电机。 永磁电机具有以下特点： ( 1 ) 永磁电机不需要直流励磁电源； ( 2 ) 永磁电机没有励磁绕组，因而永磁交流电机不需要电刷和滑环等接触 装置，这不但减少了机械和电气损耗，而且实现了无刷或无接触式的电机结构， 使得电机运行可靠，无须经常维修； ( 3 ) 在电磁式电机中，可以采用改变励磁电流的简单办法来调节气隙磁场， 但永磁电机却不同，当永磁材料和磁路的尺寸一定时，气隙磁场或主磁通是不能 任意调节和改变的； ( 4 ) 既然永磁电机用永磁材料来励磁，那么，永磁材料性能的高低、磁性 能的稳定性，永磁材料的机械性能、工艺性和经济性，就直接影响着永磁电机的 运行可靠性、使用范围、制造容量和经济价值。 目前，包括微特电机，大中小型电动机和大型发电机在内的各类电机都可以 采用高磁场永磁式转子电机。而永磁材料经历了铁氧体、铝镍钴、稀土钴、钕铁 硼等几个发展阶段，1 9 8 3 年钕铁硼永磁材料的出现是永磁材料领域划时代的革 命。由于钕铁硼磁铁的磁性和物理特性优于其它永磁磁铁，且成本较低和原材料 来源较有保证，故各主要工业发达国家对其开发及应用非常重视。近十年来，钕 铁硼磁铁的应用几乎遍及所有机种，尤其在无刷直流电机和交流永磁式伺服电动 机的应用取得了突破性进展。 第一章绪论 1 1 2 永磁电机的种类 现有永磁电机的种类主要为： ( 1 ) 永磁同步发电机 永磁同步发电机不需要励磁绕组和直流励磁电源，也就取消了容易出问题的 集电环和电刷装置，成为无刷电机，因此，结构简单，运行更为可靠。 ( 2 ) 高效永磁同步电动机 永磁同步电动机与感应电动机相比，不需要无功励磁电流，可以显著提高功 率因数( 可达到1 、甚至容性) ，减少了定子电流和定子电阻损耗，而且在稳定 运行时没有转子电阻损耗，进而可以因总损耗降低而减小风扇( 小容量电机甚至 可以去掉风扇) 和相应的风摩损耗，从而使其效率比同规格感应电动机可提高2 8 个百分点。而且，永磁同步电动机在2 5 1 2 0 额定负载范围内均可保持较 高的效率和功率因数，使轻载运行时节能效果更为显著。这类电机一般都在转子 上设置起动绕组，具有在某一频率和电压下直接起动的能力，所以又称异步起动 永磁同步电动机。由于钕铁硼永磁同步电动机价格比同规格的感应电动机贵1 倍 左右，应用前需进行经济比较分析，目前主要应用于纺织化工业、陶瓷玻璃工业 和年运行时间长的风机、水泵等。 ( 3 ) 调速永磁同步电动机和无刷直流电动机 随着电力电子技术的迅猛发展和器件价格的不断降低，人们越来越多地用变 频电源和交流电动机组成交流调速系统来代替直流电动机调速系统。在交流电动 机中，永磁同步电动机的转速在稳定运行时与电源频率保持恒定的关系，这一固 有特性使得它可直接用于开环的变频调速系统，尤其适用于由同一变频电源供电 的多台电机要求准确同步的传动系统中，这可以简化控制系统，还可以实现无刷 运行，而且较高的效率和功率因数可以减小价格昂贵的配套变频电源的容量，因 而在各种调速系统中的应用越来越广泛。这类电机通常由变频器频率的逐步提高 来起动，在转子上可以不设置起动绕组。与过去使用的直流电动机相比，体积减 小6 0 左右，总损耗降低2 0 左右，而且省去了电刷和换向器，维护方便。 ( 4 ) 永磁直流电动机 直流电动机采用永磁励磁后，既保留了电励磁直流电动机良好的调速特性和 机械特性，还因省去了励磁绕组和励磁损耗而具有结构工艺简单、体积小、用铜 量少、效率高等特点。 ( 5 ) 永磁特种电机 由于稀土永磁具有高剩磁密度、高矫顽力和高磁能积的特点，可以容许所制 成的电机具有较大的气隙长度和气隙磁密，因而在永磁体安放和磁路结构设计上 2 第一章绪论 有很大灵活性，可以根据使用场合，特别是汽车、计算机和航天工程的需要，制 成与传统电机不同的结构形状和尺寸，例如盘式电机、无槽电机、无铁心电机等。 这既可以进一步减少电机的质量和转动惯量，提高电机的反应灵敏度；又可以减 少电机转矩的脉动，增加运行的平稳性；还可以简化电机的结构和工艺。因而在 计算机外围设备、办公设备和要求精确定位控制的场合得到广泛应用【”。 1 2 永磁电机电磁场计算国内外发展状况 永磁电机具有节能高效、结构简单等一系列优点，在能源短缺的当今世界， 备受国内外学者和业内人士的关注，成为电机行业发展的热点，其应用领域在不 断扩展。国内外研究人员在永磁电机的优化设计、性能分析方面作了许多研究工 作，在电机性能电磁场数值计算方面取得了大量的研究成果。 1 9 9 4 年，ez h o u 等人在文献 2 】中用有限元法计算了永磁同步电动机的参数 和性能，并指出由于永磁电机中永磁作用始终存在，以往不计永磁作用、不计交 直轴交叉耦合影响、单独计算交直轴电枢磁场求取电机参数的方法是不合理的。 同年，k u r i h a r a 等人在文献【3 】中应用场路耦合时步有限元法分析了永磁同步 电动机的稳态运行性能，探讨了由于谐波磁场存在而引起的电流谐波和转矩波动 问题，建立了永磁同步电动机新的研究方法。1 9 9 5 年，q c r a i u 等人在文献【4 】 中用有限元法计算了永磁直流电动机的性能。1 9 9 9 年，s e u n g - c h a np a r k 等人在 文献 5 1 9 采用场路耦合时步有限元法分析了永磁无刷直流电动机的运行性能， 计算了一台外转子无刷直流电动机电流的变化规律。2 0 0 1 年，s l h o 和w n f u 等人在文献 6 】中研究了计及永磁涡流损耗时无刷电动机的运行特性，借鉴异步 电机的分析方法，建立了计及永磁体存在涡流时等效电路模型，使分析更加精确。 国内学者对永磁电机也进行了大量研究。沈阳工业大学特种电机研究所的唐 任远编著的现代永磁电机理论与设计一书采用以等效磁路解析求解为主，结 合磁场数值计算的方法对多种永磁电机的原理、结构、设计进行了研究，总结了 近年来永磁电机的研究成果。茜北工业大学李钟明、刘卫国等编著的稀土永磁 电机一书阐述了稀土永磁电机的特殊性，全面介绍了各类永磁电机的理论和设 计技术。 总之，国内外对永磁电机电磁场性能计算的研究已经取得了一定的成果，但 是各种电机的分析模型还有待完善和改进，对电机电磁参数和运行性能的精确计 算也有待继续深入研究。随着应用领域的不断拓展，对永磁电机的性能会提出新 的要求，为满足新的需求将会出现新型的设计，所以关于永磁电机的研究也会不 断扩大和深入。同时，随着计算机计算能力的不断增强，有限元数值计算技术的 第一章绪论 日益进步，对永磁电机的计算分析研究将会达到更高的水平。 1 3 本课题研究的目的和意义 本课题是国家8 6 3 计划项目新型稀土永磁电机设计及集成技术 2 0 0 2 a a 3 2 4 0 2 0 中的一部分，主要研究内容是进行钕铁硼永磁电机转子永磁体内 涡流损耗的计算，通过分析永磁体涡流损耗的影响因素，可进一步改善永磁体的 形状，使得电机工作更加稳定和高效。 通过查阅国内外文献，发现关于利用有限元分析永磁电机永磁体内涡流场的 研究和论文还非常少，基本还是一项空白。近年来虽然有一些关于铁磁材料的计 算方案和相应的研究论文出现，但是由于永磁电机的形状结构以及电枢绕组端部 电流分布十分复杂，大多数方案都是简化计算，在永磁电机永磁体内，真正意义 上的涡流场有限元计算的相关报道还不多见。所以，如何更真实地反映永磁体内 涡流场分布以及更精确的计算，就成为一个很具有现实意义的课题。 本项目的完成将推动我国稀土永磁材料产业的发展，扩展钕铁硼永磁材料的 应用领域和市场容量，充分发挥我国稀土资源丰富的优势，其经济效益和社会效 益是十分巨大的。 1 4 本课题研究的内容及主要工作 目前，永磁电机的永磁体多为钕铁硼等高能量稀土类磁体，这是由其良好的 性能所决定的。但与铁氧体相比，它的电导率较高，所以当外磁场变化时，永磁 体内会产生涡流，导致发热。钕铁硼作为采用最多的永磁体材料，虽然性能令人 满意，但耐热性差，为此，精确地分析和计算永磁体内的涡流损耗，具有很现实 的意义。而且通过分析永磁体涡流损耗的影响因素，可进一步改善永磁体的形状， 使得电机工作更加稳定和高效。因此拟将“永磁电机永磁体的涡流损耗有限元分 析及其对电机性能的影响”作为研究课题，并采用目前较成熟的a ，一a 法， 将真正意义上的有限元分析法引入到永磁电机永磁体内涡流场分析中，以提高涡 流损耗及其相关参数的计算精度。 具体内容包括： ( 1 ) 建立永磁体内涡流场的有限元数学模型： ( 2 ) 对永磁体内涡流损耗进行有限元分析； ( 3 ) 在涡流场有限元分析的基础上，进一步研究永磁电机的涡流损耗，并 提出了适合的涡流损耗经验公式； 4 第一章绪论 ( 4 ) 分析涡流损耗对电机性能的影响，提出了关于改善永磁电机性能的电 机结构优化方案。 通过以上研究能够提出了新的永磁体结构，提高系统整体性能，为迸一步研 究提出一些理论和实践基础。 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 2 1 电机电磁场的基本理论依据 求解电机电磁场问题的目的是在给定激励源和求解区域结构的条件下求出 其电磁场的空间分布和时间变化，为此需要计算有关的偏微分方程定解问题，这 一定解问题的数学表述包括： ( 1 ) 在求解区域内建立的电磁场控制方程； ( 2 ) 在区域边界上恰当给定的边界条件； ( 3 ) 对于瞬态问题，还应包括区域内各点待求场量的初始值。 2 1 1 电机电磁场的数理基础 电机中一切电磁场分析的理论基础都是麦克斯韦方程组，它适用于稳定电 场、稳定磁场、似稳电磁场和高频交变电磁场等各种情况。 为了研究在任一点上电磁场中各个量的关系，必须应用微分形式的麦克斯韦 方程组。其微分形式是 v 日= 以+ 詈 v e ：一譬( 2 - 1 ) 击 v d = d v b = 0 在各向同性的媒质中，又有如下的电磁关系 i d = s e 以= o e( 2 2 ) l 口= 日 其中，占为介电常数，盯为电导率，为磁导率。对于线性介质，它们是常 数；而对于非线性介质，它们则随场强的变化而变化。 在电磁场理论中，位移电流可以略去不计的场称为似稳电磁场 7 1 ，于是，式 ( 2 一1 ) 所描述的麦克斯韦方程组在似稳电磁场中可以描述为 6 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 ( 2 - 3 ) 对方程( 2 1 h 2 3 ) ，求解的目的是求出场量( e 、b 等物理量) 与场源( p 和一等) 之间的关系。但如果直接用这一方程组作为控制方程，由于其中的矢 量方程组中含有不同的场矢量，从而需要联立求解，因此在数值计算中将会造成 未知量过多，代数方程组过于庞大的状况。为了减少未知量的数目、简化计算规 模，通常引入辅助的位函数( 电位或磁位) 作为辅助量。在分析和求解电机电磁 场问题时，通常用到两种位函数，即标量磁位妒和矢量磁位a 。 对于这两种位函数来说，标量磁位仅适用于场区内无电流的无旋场，而 对场区内存在电流的有旋场，只能应用矢量磁位函数4 来求解。二者可以在不 同的需求下用来完成电机电磁场的计算。 2 1 2 求解麦克斯韦方程的辅助位函数及其方程 在所求解的区域内，场矢量口、，、层是客观存在的可测物理量，它们应 有唯一的解答。所引入的位函数是辅助计算的工具，它们的引入应当保证场矢量 解答的唯一性，这可以称为物理上的唯一性；此外，在构建位函数定解问题时， 还应保证对一个具体的数学模型，位函数本身的解答是唯一的，这可称为数学上 的唯一性。对于同一问题，即使选用同样的电磁位，也可建立不同形式的数学模 型，它们对应的电磁位的解答是不同的，但这些不同的电磁位的解答应当对应唯 一的场矢量的解，即位函数具有多值性的特征【8 】。 ( 1 ) 标量磁位及其拉普拉斯方程 静电场、电源以外区域的恒定电流场以及电流密度为零的空间范围内的磁 场，都属于无旋场。由于任何标量函数的梯度的旋度恒等于零，故标量磁位是 恒满足无旋场的条件的，可以引入标量磁位来求解该磁场。它与磁场强度日 的关系是 式中，负号表示磁位的梯度与磁场的方向相反。 对式( 2 q 两边取散度，有 d i v ( g r a d 缈, , j ：- d i v h ：一d 如b ( 2 - 5 ) 7 “却日 日8 扎 = v v 口 ，fi【 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 对于磁场，因为d i v b = 0 ，故式( 2 - 5 ) 可以化为 v 2 = 0 ( 2 6 ) 式( 2 6 ) 即标量磁位的拉普拉斯方程，它把空间没有电流的区域表达成标 量磁位的边值问题。求解过程中，可以先求出标量磁位，从而进一步求出 磁场强度等场量1 9 1 。 ( 2 ) 矢量磁位么及其微分方程的应用 矢量磁位4 是时间和空间坐标的函数，包含三个分量，其单位是w b m 。 在存在电流的区域，因 v x h = j c 故存在电流的区域属于有旋场，标量磁位已经不能满足求解条件，因此必须 引入矢量磁位a 来完成磁场计算。 利用矢量磁位a 与磁通密度丑的关系 b = v a 代入似稳电磁场的麦克斯韦方程式( 2 - 3 ) ，可以得到 v x v x a = 恤jc 取库仑规范，即规定 v a = 0 则上式可以化为 v x v x a = v ( v 4 ) 一v 2 a = a j 。 即 v 2 a = - a 以 式( 2 - 9 ) 1 1 1 1 为矢量磁位a 的泊松方程。由此可见，恒定磁场问题可以归结为 矢量磁位彳的泊松方程的边值问题。 对于不存在电流的区域，同样可以得到 v 2 a = 0 ( 2 - 1 0 ) 式( 2 1 0 ) 1 p 矢量磁位4 的拉普拉斯方程。 由此可见，矢量磁位4 不仅适用于区域内存在电流的磁场求解，对于不存 在电流的区域，矢量磁位4 同样适用。求解具体磁场问题时，根据电流分布决 8 忉 却 口 g p 第二章永磋电机转子永碰体内的涡流场及其分析方 圭 定矢量磁位 ，再根据式( 2 7 ) 求出磁场强度口，即可以得到解。 虽然矢量磁位a 也可以用于无旋场的求解，但应用标量磁位纯对于无旋场 的求解更加简便。因此对与无旋场的求解，通常选择标量磁位来进行。矢量 碰位一在磁场的计算中不仅是一个过渡函数，它还有如下的实用意义。 a ) 计算磁通咖 由斯托克斯定理可得 毋= i b d a = i v x a d a = 0 d l ( 2 - 1 1 ) 这就是说，通过曲面口的磁通等于矢量磁位a 沿这个面的边界线的闭合线 积分。这比采用磁密b 计算容易得多。对于平行平面场，两点之间的矢量磁位 差之绝对值就是在z 轴单位长度范围内两点之问的磁通量。 m 计算感应电动势 感应电动势 一警= 一昙弘批4 挚，( 2 - 1 2 )趣 e 哥 ，魂 由于娑代表由磁场交变引起的感应电场强度，所以它的线性积分代表感应电动 研 势。其实质上就是麦克斯韦第二方程的积分形式。 c 1 画二维磁场 二维磁场的磁场强度置只有两个分量，如嚣，和风，而矢量磁位_ 仅有一个 分量 ，简写为a 。在平面场中，磁力线的方程是 所以 取d l = 0 b 地兰i 一篆j d i = d x i + 咖j 取a ，= ( 爹；一罢0 陋“咖，) = 考咖+ 罢司t = 。c z 邯， 等a 线的全微分是 出：塑疵+ 塑咖：0 盘却。 f 2 1 4 ) 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 式( 2 1 4 ) 与式( 2 1 3 ) 所反映的磁力线完全相同，故等彳线就是磁力线。因此， 矢量磁位a 可以用来画二维磁场，对于二维场有很好的应用。 标量磁位p 。和矢量磁位a 各有各的用途，如果需要得到电磁场中等磁位线 的分布及各点之间的磁压降，则应该用标量磁位；如果需要得到电磁场中磁 力线的分布以及各点之间的磁通量，则应该选用矢量磁位4 来进行计算。另外， 在二维分析中，通常选用矢量磁位4 作为未知函数来计算，列出的方程形式比 较简单。而三维计算时着用矢量磁位求解，则标量电位一般不能消去。因此，三 维计算数学模型的表述相当重要。为了减少计算规模，研究者们选用了不同的矢 量位与标量位，组成各种电磁位对作为待求函数，使三维场控制方程的表述呈现 多样性【1 0 1 。 2 1 3 边界条件的类型及处理方法 求解一个具体的电磁场问题，在构造相应定解问题的数学模型时，除了确定 求解场域v 、选择未知函数、列出场方程以外，为了求得问题的唯一解答，还需 要给出v 的外边界s 上的适当的边界条件 1 m 3 】；此外，通常场域内包含着多种 媒质，在媒质分解面上电磁参数发生突然变化，这将引起场矢量的突变，仅用微 分方程来描述场的分布将产生困难：因而需要在不同媒质区域中分别列写微分方 程，并将不同媒质分解面上的边界条件作为每种媒质区域的边界条件引入数学模 型。对于时变问题，还要给出t = 0 时未知函数所满足的初始条件。下面说明边 界条件的确定方法。 1 不同媒质分界面上的边界条件 在涡流场中，场矢量在不同媒质分界面上所满足的边界条件在形式上分别与 恒定电场、恒定磁场、恒定电流场相同。下面写出用各场矢量及其分量表示的分 界面边界条件。 ( 1 ) 电场强度 露陋：一蜀) = 0 或 式中矗为边界法向，下标f 表示切向分量。 ( 2 ) 磁感应强度和磁场强度 职陋：一置) = 0 或 j l x ( 1 t ：一h ，) = 如 或 岛，一日，= 0 垦。一b i 。= 0 h 2 f h 1 f = j f ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) r 2 1 7 ) 式( 2 1 7 ) 中的厶为电流面密度，其中第二式各量的正方向见图2 1 实际上电流 是以体密度的形式存在的。如果电流层的厚度比较薄，或者感兴趣的场域不在电 1 0 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 流区，有时可将体电流简化成沿导体与非导体交界处的无限薄的电流片，用面电 流密度来描述。除了这种情况以外。即使分解面上存在着体电流( 其电流密度为 有限值) ，式( 2 - 1 7 ) 两个表示式的右端也均等于零。 图2 - 1 面电流存在时分解面上的边界条件 ( 3 ) 电流密度 露( j j 。一 i 。) = o 或 以。一以。= o ( 2 1 8 ) 与表示电流连续性的式( 2 1 8 ) 相对应，对于_ ，矿一4 法，矢量磁位和标量 电位应满足的分界面条件为 得到 小等怕v 押：警吨v 丸 = 。 将上式展开，并注意到有限单元表面处有4 = 4 = 4 ，办= 办= 矿，则可 0 - i a 讲a n 一吒( 期：q 。 对于，妒一缈法，矢量电位满足如下的分界面条件 ( v 疋l = ( v x r , ) o ( 2 2 1 ) 如果两种媒质中有一种电导率为零，例如吒= 0 ，则式( 2 - 2 0 ) 、式( 2 - 2 1 ) 成为 吨陪+ ( 制= 。 疋l = o 与式( 2 1 6 ) 、式( 2 1 7 ) 相对应，矢量磁位满足的分界面边界条件为 ( 2 - 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) f 2 2 5 ) 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 2 场域边界条件 在许多实际工程问题中，场矢量在场域边界上并不能严格满足适当的边界条 件。在确定场域边界条件时，需要小心处理，合理简化。与单纯的电场、磁场相 比较，三维涡流场的场域边界条件比较复杂。现以三维涡流场为例，说明场域边 界条件的确定。通常有以下几种情况： ( 1 ) 无穷远边界 对于开域问题，当求解区取得足够大时，可以认为在边界上电磁场已衰减到 零，这样的边界可看作无穷远边界。如果求解区域具有铁磁外壳，那么由于铁磁 物质的透入深度只有1 3 m m ，在外边界处实际上场量已经很小，因而也可按无 穷远边界处理。在无穷远边界处，有 b = 0 ， a = 0 ， 矿= 0( 2 - 2 6 ) ( 2 ) 满足a = 。o ，盯= 0 条件的边界 在这类边界上，由于盯= 0 ，故不存在涡流；由于边界外面= a o ，所以磁 场应垂直地进入边界面，即磁场强度的切向分量为零，可表示成 ，l h = 0 r 2 - 2 7 ) 用矢量磁位表示时，有 警一娑- o ，娑一娑：0 ( 2 - 2 8 ) a f 锄锄 a f 式中，露为边界面法向，f 和t 为切向，如图2 1 所示。当铁磁材料在计算场域 外面，且不计其中的涡流时，就可按这类边界处理。 由于唯一性的要求，在这类边界上可以给定 矗a = 0 ( 2 2 9 ) 即在边界面上以处处为零，从而彳。沿边界面的切向变化率也处处为零，即 丝：堕：0 研 刁f 综合式( 2 - 2 8 ) 和式( 2 3 0 ) 可得 丝：丝；0 锄砌 所以在这类边界上4 的边界条件可以表示为 1 2 ( 2 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 挣_ ：o ， 挚：oo ：f ，r ) ( 2 - 3 2 ) o n ( 3 ) 满足盯= 0 0 条件的边界 这类边界相当于超导边界，当有任何法向时变磁场进入此面时，边界面内即 会感应涡流，把进入的法向磁场排挤出去，结果使边界面上只存在磁场的切向分 量，不存在法向分量，即 挣曰= 0 ( 2 - 3 3 ) 根据 i b d s = 弘埘 其中，s 是定义在该边界上任意位置的表面，其面积可以取得任意小，c 为包围 该表面的封闭曲线，由曲面s 的任意性，可以推出在边界面上彳的切向分量处 处为零，考虑到采用库仑规范，即v a = 0 ，因此矢量磁位在这类边界上满足 ，l a = 0 ，坠：o 册 ( 2 3 4 ) ( 4 ) 对称面边界 在有些三维涡流问题中，存在着几何对称面。若在对称面上有目的法向分 量为零，则可按照情况( 2 ) 给出边界条件。若对称面上届的法向分量为零，则 可按情况( 3 ) 处理。 2 2 永磁电机转子永磁体内涡流场分析的特点及其数学模型 电磁场理论有两个分支。一个是高频电磁场，研究从无线电频率到光频的电 磁波传播问题，相应于这一分支的场方程就是麦克斯韦方程组的微分形式和积分 形式。另一分支是似稳电磁场。似稳电磁场研究频率较低、满足似稳条件的问题。 在似稳场中，场源随时间的变化足够慢，使相应电磁波的波长大大地大于所研究 区域的几何尺寸，因而场点( 亦即观察点) 的场强几乎瞬时地跟随场源地变化而 变化，不像高频电磁场中场点场强地变化滞后于场源的变化。电工设备中的电磁 场多属于似稳电磁场。对于似稳电磁场，麦克斯韦方程组中的位移电流密度与传 导电流密度相比较可以忽略不计。换句话说，在研究似稳电磁场问题时，只考虑 磁场变化所产生的电场，不考虑电场变化所产生的磁场。求解区域中含有导电材 料的似稳电磁场又称为涡流场。此外，静电场、恒定电流场和静磁场可看作变化 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 频率为零的似稳场，都是一般时变电磁场的特例，这些特例对应的方程可以很容 易地从麦克斯韦方程组推出。通过引入不同的电磁位，建立以电位和( 或) 磁位 为未知函数的偏微分方程。 本文在求解电机永磁体内的涡流场时引入以下假设： ( 1 ) 忽略位移电流密度的影响； ( 2 ) 忽略磁滞效应； ( 3 ) 忽略非线性。 2 2 1 二维涡流场分析的特点及其数学模型的建立 当所研究区域内的源电流方向是沿某一固定方向( 一般取为直角坐标的z 轴 方向) ，且区域内的几何、物理参数沿该方向均无变化时，问题就可简化为平行 平面场，此时选用矢量磁位作为未知函数计算磁场与涡流问题最为方便。设矢量 磁位和电流密度只有z 轴方向分量，即 a = a ：量 ( 2 3 5 ) ，= 以七 ( 2 3 6 ) 将式v x a = b 代入麦克斯韦第一方程，并考虑式( 2 3 5 ) 和式( 2 - 3 6 ) ，在直角 坐标系中可以得到 去( y 刳+ 专( y 刳= t 乃 苏l 苏j 砂k 砂j 、。 其中，y 为磁阻率，y = 1 加，以为传导电流密度。对于涡流场，电流密度可以 看作两部分之和 j ：= j 。+ j 。q - 3 8 厶为导电材料中所感应的涡流密度是未知的，它可以用矢量磁位来表达，将 v x a = 卫代入麦克斯韦第二方程，同时考虑到时间导数和旋度的运算顺序可以 交换，可得出： v ( e + 期= 。 弘s 上式括号中的二项之和构成一个无旋的矢量场。可以表示成关于标量电位函数的 梯度，因此可推出 e=0a一v西(2-40) o t 1 4 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 在二维场中，v = 以，因为沿z 向无变化，因而珐= g 黝- = o ，标量 磁位可以消去悼阍。对于定子与转子两个坐标系有相对运动的电机，涡流密度的 矢量表达式可表示为： 厶t = 盯r x 班一盯滢撤v 甸 ) 式中，y 一运动媒质相对速度， 盯掣一磁场变化时导电媒质中的涡流密度， 讲 一o ，五) 一导电介质与磁场相对运动时的涡流密度。 在二维平面场中可以运用对流导数公式，用全微分项代替微分项从而消除运 动涡流项i 切，即： 于是有 掣：娑一v b ( 2 - - 4 2 ) 出a 护叼等 在许多工程问题中，源电流区可以不计涡流引起的集肤效应( 例如源区由多 匝线圈组成的情况) 而只存在源电流密度，涡流区则不存在源电流而只有涡流密 度，此时场方程可看作下面两式的联立： 也可统一写成： ( 源电流区) ( 2 - 4 3 ) ( 涡流区) ( 2 - 4 4 ) 丢( y 铡+ 针刳吐+ 盯警 在有限元计算中，盯和以通常按分区常数给出。方程式( 2 - 4 1 ) 加上适当的边 界条件和初始条件，即构成二维平行平面涡流场定解问题。本文所研究的永磁 电机磁场分布沿电机圆周方向呈周期性变化，取一个极范围为计算区域，在考虑 定、转子之问存在相对运动时，可采用气隙滑动面法的有限元剖分技术，此时， 二维电机瞬态电磁场的边值问题可表述如下： 厶 厶 一 一 = = 、，、， 鸭一砂弘一砂a一砂a一钞 + + 、j、， 堕缸丝苏 a一缸a一缸 第二章永磁电机转子永磁体内的涡流场及其分析方法 爿：i 。，= 0 4 i 。，= o 彳：i 。= - a ：i 。 4 i 。，= 一：i 。， 4 y ，t 。) = 4 。 ( 2 4 6 ) 其中s 表示电机定子的边界面，r 则电机转子的边界面【1 9 1 。求得其解答后，可方 便地计算丑和，： b = v x a = v 0 ：k ) - - 皿i + b , j ，= 以竹取班一盯滢一取v 甸 ( 2 - 4 7 ) ( 2 - 4 8 ) 综上所述，二维涡流场分析的特点是： ( 1 ) a 和，只存在一个分量，嚣只含两个分量。 ( 2 ) i t 和丑的耦合关系仅用一个标量函数( 在本文所分析的二维平面场中 为a ：) 就可以联系起来。 2 2 2 三维涡流场分析的特点及其数学模型的建立 与二维分析相比较，三维涡流分析具有不同的特点。 ( 1 ) 控制方程的表述呈现多样性 对于三维涡流分析，口和_ ，都各有三个分量。直接用丑、_ ，求解，需要6 个 未知函数。若用矢量磁位求解，则标量电位一般不能消去。因此，三维涡流计算 数学模型的表述相当重要。为了缩小计算规模，选用不同的