（应用数学专业论文）几类向量场上非线性次椭圆方程的研究.pdf

摘要 摘要 具有非负特征形式微分方程的研究是偏微分方程理论的重要课题， 与h 矗l a n d e r 平方和算子相关的二阶退化椭圆方程是其中最为重要的类型 之一。由于该算子具有与经典l a p l a c e 算子类似的次椭圆性质，人们习惯 上把由向量场构成的二阶线性及非线性算子通称为次椭圆算子，相应的方 程称为次椭圆方程。到目前为止，对线性次椭圆方程的研究已经取得了大 量的成果，而关于非线性次椭圆方程的结论还不多见。 本文以极大值原理和解的驴估计为主线，涉及到三类最具有代表性 并且也是密切相关的向量场，研究了与之相关的非线性次椭圆方程。全文 组织如下： 第一章介绍了次椭圆方程的研究意义及现状，并给出全文将要用到 的基础知识和本文的主要研究内容。 第二章研究与h 6 r m a n d e r 向量场相关的非线性次椭圆方程。首先改进 经典的m o s e r 迭代方法，证明了非齐次次椭圆p l a p l a c e 方程的极大值原理 和齐次h a r n a c k 不等式，并利用1 0 9 i l o g i 方法给出了不等式右端指数m 的 最佳上界估计。其次，利用c a r u o t c a r a t h 6 0 d o r y ( c c ) 空间上的s o b o l e v 不等式证明了一个f e 船r m a n p h o n g 型引理，并用比较统一的方法证明了 三类非线性次椭圆抛物方程解的不存在性判定定理。 第三章研究可极化c a r n o t 群上的非线性次椭圆方程。首先引入 可极化c a r n o t 群的概念，给出了可极化c a r n o t 群上齐次模的若干性 质，然后构造了一类非散度型次椭圆方程及其非平凡解，由此证明此 类方程d i r i c h l e t 问题的解在函数空问c q 一( q ) 中不唯一，进而证明相 应的a l e x a n d r a v b a k e l m a n - p u c c i ( a b p ) 型估计不成立。其次，注意到 h e i s e n b e r g 群上o c 距离满足短时距方程的性质，建立了一类新的带余项 的h a r d y 型不等式。进一步对区域作某种凸性假设后，得到了与e u c l i d 空 间中形式非常接近的h a r d y 型不等式。在此基础上，研究了h e i s e n b e r g 群 上具有齐次边界条件的次椭圆p l a p l a c e 方程d i r i c h l e t 问题解的边界行为， 西北工业大学博士学位论文几类向量场上非线性次椭圆方程的研究 得到了解及其次椭圆梯度和h a r d y 位势的边界估计。 第四章研究与广义b a o u e n d i - g r u s h i n ( b g ) 向量场相关的非线性次 椭圆方程。首先利用该向量场及其诱导的拟度量关于伸缩变换的拟齐性 质，证明了与可极化c a r n o t 群上非散度型方程相应的结果。其次，应用 d a i n b r o s i o 证明的h a r d y 型不等式，给出了与广义b g 向量场相关的次椭 圆p l a p l a c e 方程的解及其广义梯度和h a r d y 位势在原点附近的增长估计， 所得结果表明解在原点附近有限阶趋于零。 关键词：次椭圆，最大值原理，h a r n a c k 不等式，h a r d y 型不等式， 边界估计 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fe q u a t i o n sw i t hn o n n e g a t i v ec h 盯a c t e r i s t i cf o r mm a k e su pa n i m p o r t a n 乞s u b j e c ti 耳t h et h e o r yo fp d e s i nw h i c ht h es e c o n do r d e rd e g e n e r a t e e q u a t i o i l sa s s o c i a t e dw i t hs q u a r es 啪o p e r a t o r so fh 6 r m a n d e rv e c t o r 丘e l d sa r e t h em o s “m p o r t a mc l a s s e s p e o p ka r e1 1 s e dt oc a l l i n gt h e ms u b e l l i p t i co p e r a t o r 8 b e c a u s et h e yh a ep r o p e r t i e s8 i m i l a rt ot h a to fc l a s s i c 越l a p l a c i a n f b rl i n e a r s u b e u i p t i ce q u a t i 0 i l sm a n yw o r k sh a v eb e e nd o n e ，a sf o rn o n l i n e a rc a s em u c hl e s s i sk n o w ns o 加 c o n s i d e r i n gt h r e el 【i n d so fm o s ti m p o r t a n ta n dc l o s e l yr e l a t e d 、，e c t o rf i e l d s ， w ei n v 铬t 逗a t et h em a x i m u mp r i n c i p l e sa n dz 尹e s t i m a t e st o8 0 m en o n l i n e a rs u b e i - 1 i p t i ce q u a t i o l l s t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e rl ，w er e v i e wb r i e n yt h ed e v e l o p m e n to ft h es u b e l l i p t i ce q u a r t i o n s ，a n di n t r o d u c et h ec o n t e n to ft l l i sd i s s e r t a t i o nt o g e t h e rw i t hs o m ee k m e n t a r y k n o w l e d g ew h i c hi sn e e e s s a r yi nt h i sp a p e r i nc h a p t e i r2 ，w ei i l v e s t i g a t et h es u b e l l i p t i ce q u a t i o n sa s s o c i a t e dw i t h h 6 r m a n d e rv e c t o rf i e l d s f i r s t l y ，ah o m o g e n e o l l sh a r n a c ki n e q u a l i t ya sw e ua sa m 觚i m u mp r i n c i p i eo fn o n h o m o g e n e o u ss u b e l l i p t i cp l a p l a c ee q u a t i o i l si sp r o v e d b yi m p m “n gt h ec l a s s i c a lm o s e ri t e r a t i o nm e t h o d t h eo p t i m a le s t i m a t eo fm i 8 a l s oo b t 曲】e dt h r o u 幽l o g lb glm e t h o d s e c o n d l y b yu s i n gt h es o b o l i n e q u a l i t y o nt h ec cs p a c e sw ep r o v eaf e 腩r n l a n p l l o n gt y p el e m n l a ，b 8 s e do nw h i c hw e p r o v i d en o n e ) 【i s t e n c et t l e o r e 1 st ot h r e ek i n d so fn o n l i n e a rs u b e l l i p t i cp a r a b o l i c e q u a t i o 瑚t h r o u g har e i a t i v e l yu n i f i e dm e t h o d i nc h a p t e r3 ，w er e 8 e a r c ht h es u b e l l i p t i ce q u a t i o i l 8o np o l a r i z a b l ec a r n o t g r o u p f i r s t ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fp 0 1 a r i z a b l ec a r n o tg r o u pa n dg i v e s o m en e wp r o p e r t i e so fi t 8h o m o g e n e o u si l o r m t h e nw ec o 璐t r u c tac l a s so f n o n - d i v e r g e n c ee q u a t i o n sa sw e ua st h e i rn o n t r i v i a ls o l u t i o i l s t h ef a i l u r eo fc o r - r e s p o n d i n ga b pt y p ee s t i m a t ea n du n i q u e n e s st ot h ed i “c h l e tp r o b l e m si ns p a c e i 话 西北工业大学博士学位论文几类向量场上非线性次椭圆方程的研究 c 口一。( q ) f o l l o w n o t i n gt h a tt h ec cd i s t a n c eo nh e i s e n b e r gg r o u ps a t i s 移i n gt h e e i k o n a le q u a t i o l l s ，w ep r o v ea e wl 【i n do fh a r d yt y p ei n e q u a l i t i e sw i t hr e d u n - d a n tt e r m s u n d e rs o m ee x c e s sc o n v e xa s s u m p t i o n so n 戗屺b o u n d a r y lw eg e ta h a r d yt y p ei n e q u a l i t ys i m i l a rt ot h a ti ne u c l i d e a ns p a c e f i n a l l y ，w ei n v e s t 追a t e t h eb o u n d a r yb e h a v i o ro fs o l u t i o 瑚t os u b e u i p t i cp l 印l a c ed i r i c h l e tp r o b l e ma n d g e tt h e 上尸一e s t i m a t e so fs o l u t i o n s 鹊w e ua st h e i rg e n e r 甜i z e dg r a d i e n t sa n dh a r d y p o t e n t i 幽 i n c h a p t e r4 ，w es 纽d _ r n o n n n e a rs u b e l l i p t i ce q u a t i o n so ng e n e r 8 l i z e d b a o u e n d i g m s h i nv e c t o r 缸l d s u s i n gt h eq u a 8 i h o m o g e n e o u sp r o p e r t i 镪o ft h e s e 、，e c t o rf i e l d sa n dt h e i ri n d u c e dm e t r i c ，w eg e ts o m er e s u l 七so na b pt y p ee s t i m a t e a n a l o g o u st ot h a to fp o l a r i z a b l ec a r n o tg r o u p s a sf o rs u b e l n p t i cp l a p l a c i a n ，w e o b t a i nt h eg r o w t he s t i m a t e so fi t s8 0 l u t i o n sa sw e ua st h e i rg e n e r a l i z e dg r a d i e n t s a n dh a r d yp o t e n t i a kb y1 l s i n ga nh a r d yt y p ei n e q u a l i t yp r o v e db yd a m b r o s i o o u rr e s u l ts h o w st h a tt h es o l u t i o ni s 矗n i t ev a n i s h i n ga tt h eo r i g i n k e y 、棚r 出：s u b e l l i p t i c ，m a 撕m u mp r i n c i p l e ，h 舭n a c ki n e q u a l i t y ih a r d yt y p e i n e q u a l i b - b o u n d a r ye 8 t i m a t e 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工业大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查 阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者笋名：三蚣 加衫年矿月：；口吉 指导教师签名：钮0 稿辛i p - 年甲月f 日 西北工业大学 学位论文原创陛声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郑重声明：所呈交的 学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果。尽我所 知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或他人已 申请学位或其它用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责任。 学位论文作者签名：剃渔生务 五回厂年汐月孑。日 第一章绪论与预备知识 第一章绪论与预备知识 在微分几何、流体动力学以及控制理论中出现的退化椭圆方程，其中有许 多可以写成向量场平方和算子的形式”1 。1 9 6 7 年，h 6 r m a n d e r8 证明若光滑向 量场族满足有限秩条件，则由其构成的平方和算子是亚椭圆的；而二阶亚椭圆 方程在每一个点处都具有非负特征形式。1 9 8 4 年，r d t h s c h i l d 和s t e i n “证明了 任意h 6 r m a n d e r 算子可以由自由分层l i e 群上的次一l a p l a c e 算子局部逼近。从 此，对非交换向量场构成的线性及非线性次椭圆方程的研究引起了国际数学界 的广泛关注，并取得了较大进展。对分层幂零l i e 群上微分算子的研究逐渐成为 偏微分方程研究的重要分支之一。特别地，对h e i s e n b e r g 群上算子的讨论，为 非交换向量场的研究提供了典型模型。但是，人们发现并不是所有的向量场均 以分层幂零l i e 群作为其底空间，例如：g r e i n e r 算子，b a o u e n d i g r u s h i n ( b g ) 算子等。罗学波教授在其多年研究的基础上，提出了拟齐性分析方法。仅 仅利用向量场的伸缩小变性，建立了此类向量场的结构与其在原点附近性质的 关系，证明了此类算子的l i o u v i l l e 型定理”1 。该结果被国际偏微分领域的专 家( l 锄c o n e l l i 等) 誉为x u e b o 定理。拟齐性分析方法突破了算子对群结构 的依赖，所用的数学工具较初等，并且与现代偏微分方程理论的各分支有着十 分密切的联系。 若m 阶算子工满足以下的次椭圆估计： 0 札l i m 一。q0 l 乱0 0 + c b i | u l l o ，乱1 0 矿( n ) ，g g 1 ，( 1 1 ) 即解的光滑性发生损失，则称它为次椭圆算子。h 6 r m a n d e r 的经典结果表 明，满足有限秩条件的光滑向量场构成的平方和算子是次椭圆的”。特 别地，e u c u d 空间的l 印l a c e 算子是次椭圆算子。鉴于平方和算子与经典的 l a p l a c e 算子有诸多类似的性质，近年来有许多数学家( 如e l a n c o n e l l i ，n _ g a r o 蹦o ，l ug u o z h e n 等) 着力于把e u c l i d 空间中的重要结果推广至由向量场 构成的线性及非线性算子上去，并把这些算子通称为次椭圆算子。我们这里所 说的次椭圆，就是指这个意义下的。因此，我们有必要对向量场的有关知识作 一简要回顾。 1 1 向量场的有关概念 1 1 1 l i p s c h i t z 向量场及o c 空间 考虑p 上具有实值、局部l i p s c h i t z 系数的向量场族芏= x l ，) ， 1 西北工业大学博士学位论文几类向量场上非线性次椭圆方程的研究 称碍= 一：，最( ) 为砖的形式共轭算子，一般说来它是形为碍= 一码+ 厶的算子，其中厶为适当光滑的函数。任给函数仳c 铲( q ) ，其广义梯 度为d c u = ( x ，u ) 记l d c 让l = j 墨。( 玛u ) 2 l2 ，称之为广义梯度的模 或长度。这里沿向量场的导数 应理解为分布意义下的，即v 札，口c 铲( q ) ， z ( 碍材) 哲d z = _ z 珏妫出，歹= z ，| 若e = ( 日，既) 为向量值函数，那么简记d c e = 墨1 玛马，并称该表 示为e 的广义散度。 对1 p 。o 及qc 础，我们令 s 1 ) = 扛汐( q ) i 冯珏( q ) ，；= l ， 空间s 1 9 ( q ) 赋予范数 i l u i i c - ，一u 2 ) = ( i u r + i 。u l ) d z ； 后构成一b & n a c h 空间。定义1 ，9 ( q ) 为空间 札l i p o ( n ) | | l i i c - ，( n ) o 。 关于上述范数”| | 肛一( n ) 的完备化空间。 给定逐段e 1 的曲线7 ：【o ，卅一p ，若对任意r ”和t ( o ，t ) ，有 ( ，y 协) ) 2 恐( 7 ( ) ) 汛 = 1 则称它关于向量场族笺是次酉的。定义1 的次酉长度f s ( 7 ) = t 任给z ，可 r n ，设s ( z ，可) 为所有连接z ，两点的次酉曲线构成的集合。若s ( z ，可) 毋，那 么 d ( z ，! ) = i n f f s ( 7 ) f 7 s ( z ，可) 定义了一个度量，称为由王诱导的控制度量或c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r y ( g c ) 度 量。赋严了向量场族芏以及c c 度量的空间r ”称为c a r n o t c a r a t h 6 0 d o r y 度量 空间，简称g c 空间。 2 l= 旦溉 b 。斟 i i 砀 中其 第一章绪论与预备知识 1 1 2 度量球及二重不等性质 记b b ( z ，兄) = 曲r “i d ( 。，! ，) 0 使得对z q 及 0 咒 风，有 i b ，2 兄) i 口i b ，r ) i ( 1 2 ) 令q = 1 0 9 2g ，我们称之为q 的与向量场相关的齐次维数。 当笼= 蠢) 为舻上的标准基向量场时，g = 2 “，q = n ， ( 1 2 ) 式对 岛= o o 成立。此外，满足h 6 r m a n d e r 有限秩条件的光滑向量场、构成c a r n o t 群l i e 代数第一层上的左不变向量场以及广义b a o u e n d i g r u s l i i n ( b g ) 向量场 皆具备上述性质。 1 2 向量场上次椭圆方程的研究进展 1 2 1h 6 r m a n d e r 向量场上次椭圆方程的研究进展 令qc 舻， 玛 搀l 是定义在孬某邻域上的具有c o o 光滑系数的向量场。 长度为七= i nj 的交换子 l 硷。，【置。，【五。，五。】 记为k 若存在正整数s ，使得在q 的每个点处 i 。豳张成舻，即 r a n kl i e 【x l ，】三n ， ( 1 3 ) 则称该向量场满足h 6 r m a i l d e r 有限秩条件，并称芏= x l ，h ) 为 h 6 r m a n d e r 向量场族。 3 西北工业大学博士学位论文几类向量场上非线性次椭圆方程的研究 对1 o ，那么 峨( e ) i = 胛| e | c 雏n o t 群更详细的性质见第3 1 节。 c a r n o t 群包括e u c l i d 空间、h e i s e n b e r g 群、h e i s e n b e r g 型群等。u g l l z z o n i 和l a n c o n e m 研究了h e i s e n b e r g 群有界区域上k o h n - l a p l a c e 算子的g r e e n 函 数和p o i 韶o n 核的表示，给出了h 忭一调和函数的表示。对于h e i s e n b e r g 群 上的次椭圆p - l a p l a c e 方程，c a p o g n a9 在梯度有界的条件下证明了c 1 ，。正则 性。 g a r o 蹦。和v 豳i l e v 研究了c a r n o t 群上半线性次l a p l a c e 算子的共形 几何及y a m a b e 问题”“，建立了h e i s e n b e r g 型群上c ry h m a b e 问题的正解 忙捌。c a p o g n a ，g 村o f a l o 和n h i e u 2 叫在边值为驴( 1 p o o ) 函数的条件下 建立了h e i s e n b e r g 型群上次椭圆方程d i r i c h l e t 问题的可解性。此外，c a p o g n a 2 1 证明了若是c 盯n o t 群上次椭圆p l a p l a c e 方程 m 码( 1 v 6 u p 玛) = o j = 1 的解，且存在实数m 使得o m 一1 l v g 让l o 使得a - b 。p 型估计成立，即 8 u p 8 婴札+ + 刚刑l 。 ( 1 7 ) na l 该类型估计对完全非线性次椭圆方程的研究非常重要，然而既便对最简单 的非交换c a r n o t 群，该猜想也远未得到证实。 在第三章，我们通过研究可极化c a r n o t 群的拟度量所具有的性质，建立 了一类非散度型次椭圆方程及其非平凡解。从而证明了非散度型次椭圆方程在 该函数类中解的升i 难一性。因此，在该函数空问巾a b p 型估计小可能成立。 作为最简单的非交换c a r n o t 群，h e i s e n b e r g 群也是可极化的。它在表示 理论，调和分析，多复变函数，偏微分方程以及量子力学中起着重要的作用。 利用h e i s e n b e r g 群比较好的性质，我们建立了一类新型h a r d y 不等式，它与区 域内部的点到边界的距离有关。利用e u c l i d 空间中的分析技巧，我们得到了 h e i s e n b e r g 群上次椭圆矿l a p l a c e 方程及带非平凡位势项的次椭圆p _ l a p l a c e 方 程解及其次椭圆梯度和h a r d y 位势的边界驴一估计，并给出了一类发展方程解随 时间的增长估计。 3 广义b g 向量场上非散度型次搠圆方程的a b p 型估计及次椭圆p l a p l a c e 方程解在原点附近的增长估计 在第四章，我们首先研究了由广义b g 向量场诱导的拟度量的若干 性质，然后通过构造一类非散度型方程及其d i r i c h l e t 问题的非平凡解矿 c 2 ，o 一( q ) nc ( 孬) ，证明了此类方程在函数空间c 2 ，q - c ( q ) 中解的1 i 唯一性，从 而证明了相应缸b p 型估计不可能成立，其中q 为单位度鼍球而q 是其与广义 b g 向量场相关的齐次维数。 此外，采用第三章中研究次椭圆矿l a p l a c e 方程解的边界行为的思想方 法，我们利用与拟度量相关的h a r d y 型不等式给出了广义b g 向量场上次椭圆 p l a p l a c e 方程的解及其广义梯度和h a r d y 位势的增长估计。从而证明了解在原 点附近有限阶趋于零，并给出了增长阶。 8 第二章h 6 m a n d e r 向量场上的次椭圆p l a p l a c e 方程及非线性次椭圆抛物方程 第二章h 6 r m a n d e r 向量场上次椭圆p l a p l a c e 方程的极大值原理及非线性次椭圆抛 物方程解的不存在性 若函数在区域d 中满足一个微分不等式，并因此而在d 的边界上达到其 最大值，我们就说这种函数具有极大值原理。在偏微分方程的研究中最常用到 的工具之一就是极大值原理”。1 9 6 9 年，b o n y 建立了h 6 r m a n d e r 平方和算子 的强极大值原理删，为许多问题( 如解的唯一性，正则性等) 的研究提供了有 力的工具。与此同时，许多重要的几何问题，例如c r 流形上的y a m a b e 问题 ( 见【5 l ，5 2 】) 以及对次椭圆s o b o l e v 能量泛函的研究要求建立相应的非线性理 论。 本章研究非齐次次椭圆方程 岛= 一巧( 忱“p u ) = ，( z ) ( 2 1 ) j = 1 在r n 有界开集上的极大值原理。内容组织如下：在第2 1 节我们给出有关 h 6 r m a n d e r 向量场上s o b o l e v 不等式的基本结果，在第2 2 节，通过选择合适的 测试函数，利用改进的m o s e r 迭代方法，证明定理2 5 第2 3 节证明定理2 8 ， 并给出一个l i o u v i l l e 型定理。在第2 4 节，证明f e f f e r m a n p h o n g 型引理并给出 了三类非线性次椭圆抛物方程解的不存在判定定理。 本章自始至终设置= 蜀，x ) 为qc 础上的一族h i j r m a l l d e r 向量 场。如不特别说明，文中各处的积分均指在l e b 船g u e 意义下的。l q i 表示可测 集q c 舯的测度，g 为广义常数。 2 1s o b o l e v 不等式及次椭圆截断函数的存在性 由性质1 2 可以推出： 引理2 1 令qc p 为有界开集。那么对任意o q ， 岛，使得当r 凰和0 0 以及函数妒c 矿( b ( z ，t ) ) ，使得日( z ，t ) c cq 0 岛，o s o 为不依赖于s 和的常 数。 最近，n a n c h i ，s e r a p i o n i 和s e r r ac a s s a n o | 5 5 l 以及g a r o f a l o 和n h i e u 州分 别独立地证明了l i p s c h i t z 函数在给定向量场上的弱可微性，因此可以由距离函 数直接构造截断函数。 令s 1 ，9 ( q ) 为函数类 让g o 。( n ) ：“，玛u ( q ) ，1 j 在模 r 厂 ； 舢一( 2 ) = lm 仳l p + i d c u i ”) 出l ( 2 3 ) u i 2 j 下的完备化空间。记雪1 t ，( q ) 为空间锑( q ) 在模( 2 3 ) 下的完备化空 间。c a p o g n a ，d a n i e l l i 和g a r o f a l o 【5 7 l 证明了如下与h 6 r m a n d e r 向胃= 场有关 的s o b o l e v 嵌入定理： 定理2 3 ( s o b o l e v 嵌入定理) 令q c r ”为有界开集，q 为q 的齐次维数 且1 o 使得若z q ，b r = b ( 正，r ) ，其 中r 风，则对地雪1 9 ( b r ) 有 ( 南小) 去鲫( 南z 。俐) ； 这里1 圪苦 ( 2 4 ) 该定理说明r 若1 p 0 使得 ( 南小阳z ) ：鲫( 南上。俐) ； 陋s ， ：篁三塞! 型壁筌堡兰：塞丝圭竺奎堡里丝! ：鐾壅堡垒冀垒堡圣丝里丝竺垄堡：= ：= ! 由( 暑5 ) 以及单位分解的思想推知对任意qc c 尼，雪1 ，9 ( q ) 一驴( q ) 成立。 即， k ( n ) sg o d c | i ( n ) ( 2 6 ) 由引理2 1 和s o b o l e v 嵌入定理2 3 我们取k = 岳即可得到 引理2 4 令1 0 使得对任意的。q ，日r = b ( z ，r ) ，其中r 曼凰，对任意的u s 1 伊( b 兄) ， ( 正。鹃妇) 智g ( z 。l d c u 阳z ) ；， c 二7 ， 并且常数e 与r 以及z 无关。 2 2 非齐次次椭圆矿l a p l a c e 方程的极大值原理 如果对任意的妒雪1 ，9 ( q ) ，有 上善l d c t t r 2 u 玛妒如5 ! ：，妒如 ( 2 - 8 ) 则称u s l t 9 ( q ) 是非齐次方程( 2 一1 ) 的弱解。如果对任意的0 妒伊，( q ) ， 有 。善i d 肚r 2 u 玛硼z 上加出， 协9 ) 则称函数乱s - 一( q ) 是方程( 2 - 1 ) 的弱下解。类似地，我们可以定义方程的弱 上解。 记让+ = m a x ( u ，0 ) ，“一= m i n ( “，o ) 则u = 矿+ _ u 一本节的主要结果是 定理2 5 ( 极大值原理) 若“是方程( 2 - 1 ) 在q 上的弱下解，那么有 s u p u + s u p u + + c i l ，i i 参五n 、， ( 2 - l o ) 其中c o 仅依赖于戈，q ，p 器以及m 善 2 2 1 弱下解的上界估计 为了证明定理2 5 ，我们首先证明 引理2 6 令乱s 1 ，p ( q ) 为非齐次方程( 2 1 ) 的弱下解，且在a q 上，牡 0 那么存在常数g o 使得 s u p “+ g ( i i 让+ l i l ，( n ) + l l 川蔷n ) ) ， ( 2 1 1 ) 其中m 1 。 要韭三些奎兰丝圭耋尘丝坌二坠耋皇兰耋生! 窒鍪垒奎塑堡坚窒墅丝垩查：。：一 证明定义函数 酢，= 茄皂m 肛以篆篇盹 其中k o 为待定常数，尤并且p 1 + 容易验证日( z ) c 1 ( 陋，+ 。) ) 且 日，( z ) l 。( k ，+ o 。) ) 定义函数 盼 黑裟：，凳筹； 和 叫( z ) = + ( z ) + k 以及 ，。 妒 ) = g ( 叫 ) ) = ( 日( s ) ) 9 d s ( 2 1 2 ) 那么g ，) 0 ，妒0 且倒o 由于在锄上珏0 ，从而得到在p q 上 妒( z ) ；o ，所以妒1 ，9 ( q ) 注意到 玛妒= g 扣( 。) ) 局岔= g ，( 。) ) 玛“+ 以及 俐：f 妻卜时la e 一， j = l 将硝入式( 参9 ) 的左端得 上善l d r 吨玛州z = “d c r 2 玛仳g ( z ) ) 玛矿妇 ：d c 钍1 9 - 2 d c 矿 2 g ，( 埘) d z l d c u + 严g 7 ( 叫) d z ：l d c 伽i ，( 口( 钮) ) 9 d 矗 ( 2 1 3 ) 由函数h ，( 2 ) 的单调性以及g ( t ) 的定义可得g ( t ) t g ，( t ) 所以由( 2 - 1 3 ) 以及 h 6 i d e r 不等式得到 | d c ( 日( 叫) ) l 血 = | d c 硼1 9 1 日( 叫) i ，妇 j n ，g ) 妇s ，i 伽g 7 ( 加) 如 ( 弱下解的定义) 嘉z ：俐彬日铷) i 血 击( 加”) 去( 小州p 出) 赤， 协 其中m 和m 为一对共轭数，即击+ 嘉= 1 取厅 o 使得片p 一1 = j j 州。( o ) ，由 s o b o l e v 不等式( 2 6 ) 以及式( 2 1 4 ) ，得到 1 1 日( 叫) i i l 。( n ) g ( q ) | | 叫日) l i l m ( n ) 将日) = 础p 一和 ) = 肋口一1 代入式( 2 1 5 ) ，得 ( 丘i 叫一一i ! d z ) 5 g c q ，口( 上l 叫一i m ，) 南 注意到j 叫9 i j 扩一i 十，再由m i n k o w s l ( i 不等式，即得 ( 参1 5 ) ( 2 1 6 ) ( z i 训一i 。d 。) ；( 上i 叫一一k i a d z ) ；+ ( z l 仡一i a 出) ； 鲫啪( 肛忡z ) 南伸i ；( 胪f 嘶出) 南 c 7 ( q ) p ( 上i 叫9 i ”，p 出) 南 = 即“一d z ) 赤， ( m ) 其中r = e 7 ( q ) 为仅依赖于q 的常数。上面的运算结果可写为 l l 叫l | l 助( n ) r ；p ；i i 加l | “，( o ) ( 二1 8 ) 令p2 南 1 ，卢= 伊式( 2 1 8 ) 变成 l i 训i l l ，m ，一t + - ( n ) 兄毒p 毒l l 叫i l p 。，栌( f 2 ) 对r 而的不等式挟代。冶。得到 加i i l ，”+ t ( n ) r 1 + + 斗赤日1 + ；+ 斗毋i l 叫l i l ，( 2 ) = r ：= 。赤6 ：= 。毒| | | l ，( n ) ：! ：堑! 坚些奎兰壁圭兰堡垒奎：垒耋皇兰丝圭童丝坠垒丝墼至堡：竺丝室= = ：= = ! ： 上式两端同时令礼一o 。，就得到 i i 叫0 l 。( ”r 嚣。古p 嫠。舞l l 叫i i l ，。，( n ) = r 4 l i 叫l i l ，( n ) ， ( 2 1 9 ) 其中盯= 1 ( p 一1 ) ，t = p ( 口一1 ) 2 在插值不等式( 见文献【5 8 】，( 7 1 0 ) 式) f 雀f f l 。( n ) “珏f f l r ( n ) + f p f f 缸8 l p ( n ) ( 其中p = ( ；一；) ( ；一；) ) 中取参数q = 叫，p = p 和r = o o ，得到，对 任意e 0 ， j l 叫| l 二，一m ) i i l l l * ( n ) + 1 一一j | | i l p ( n ) 从而 1 l 叫l l l 。( n ) j 矿口7 ( e l l 叫l l l 。( n ) + e 1 一m i l 叫i l p ( 【2 ) ) ( 2 2 0 ) 对不等式( 2 2 0 ) 右端关于g 取极小化，得到当 占= ( m 7 一1 ) 寿i j 叫| j ：品”j | 叫j 夏研 时右端最小。将其代回至( 2 2 0 ) 式，立即得到 l | 叫l i l 。( 哪曼彤矿f ( m ，一1 ) 寿+ ( 一1 ) 寿一1 1l | 叫| f 豪) l i i f 赢卿 由此即得 i l l i l 。( n ) 彤m p r m f ( m ，一1 ) 嘉+ ( m ，一1 ) 簪1 “1 l 叫1 i p ( n ) 记：彤m ，日，f ( m ，一1 ) 寿+ ( m ，一1 ) 簪1 “注意到伽：u + + m 如前所设 1 l j k = i i ，l l 赫，得 s u p 髓+ s u p “+ + 埒= | | 似j | 二“2 sc ，j j ”驴f q ) 7 ( 1 i + l i p ( n ) 十斤) = c ”( 1 i t + l i 驴( n ) + i l 川蜀哟) 1、 这就证明了不等式( 2 一1 1 ) 。 2 2 2 极大值原理的证明 记2 = s u p 砌u + 若f ；。o ，那么定理2 5 显然成立。因此只需要考虑 f 0 如前所定义若u + = o ，则有妒= 0 由u + s 1 9 ( q ) 得知 妒1 9 ( q ) 注意到 为妒= 面a e z q ，j = ”一， 将其代入不等式( 2 - 9 ) 的左端，得到 z 喜例卿玛u 玛妒出= z 嬲出 z 蹁缸 由于m u + ，代入不等式( 2 - 9 ) 右端，得 z | ，i 妒d 茹z j i ，i 丽万南血 古z 器d z 眇n 上器妇寿上器也 仁z ， 令伽= 1 n 砑笔，那么伽o 注意到玛训= 茄a t e rq ，1 js ，由( 2 - 2 1 ) 得到 z 俐9 出击z 船d z 击击( d z ) 寿( 肌) 击 = 南h 嘉， 最末一式是因为k ：l i 川翕n ) 从而 l i d c 叫l | p ( n ) c ， ( 2 2 2 ) 其中c 是仅依赖于口q 和m 1 的常数注意到函数钟是方程 一妻酬脚r 。驯：黔，一巧( 慨叫p 玛叫) = 黔， j = i ( 2 2 3 ) 的弱下解。事实上，设函数叼雪1 巾( q ) 在q 上满足7 7 o 和叩叫o 的；或等价 地，满足s u p p 町c8 u p p 矿令妒= 两石暑可讲因为 x 汴=丽警帝+ 。叫蒜， 要韭三些墼竖塑垒坠堡塑墅垡丝些垡型堡丝丝一 其中坳：