（固体力学专业论文）压电智能板壳稳定分析的样条无网格法.pdf

压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 摘要 智能结构己在航空航天、船舶、汽车、土木工程及水利工程方面展现 出广阔的应用前景，它的研究是一门新兴的多学科交叉的综合科学。近年 来，关于压电智能结构的文献日益增多，已逐渐成为研究领域的热点。压 电材料由于其具有正、逆压电效应，可同时作为传感器和驱动器，成为了 智能结构中的研究重点。 本文首先对智能结构和稳定性问题做了基本介绍，阐述了压电智能结 构的研究方法及压电智能结构稳定性研究的现状，总结了各种研究方法的 优、缺点及研究中存在的问题。其次，从经典板理论出发，分别采用样条 有限点法和样条无网格法，建立了薄板结构稳定问题的计算新模型和新格 式；基于板的小挠度屈曲理论，采用智能样条无网格法，建立了压电智能 板结构稳定分析的计算新模型和新格式，讨论了临界电压、临界荷载，分析 了压电智能板在机械荷载和电压共同作用下的稳定性；分析了强电场作用 下机械和电之间的非线性压电本构关系对压电智能板结构的稳定性的影 响；考虑含功能梯度材料的压电薄板，对其进行了稳定分析。 对应新的计算格式，本文采用m a t l a b 语言编制了相应的分析程序，通 过大量算例与有限元分析结果及解析解进行比较，说明了本文方法的正确 性和高效性，并提出了一些有价值的结论。 关键词：样条无网格法压电智能板壳稳定分析非线性压电本构关系 功能梯度板 s p l i n em 匣s h l e s s 匝t h o df o rs t a b i l i t ya n a l y s i so ft h e p i e z o e l e c t r i cn 唧l l i g e 卜丁tp l a t e sa n ds h 正j l l s a b s t r a c t i n t e l l i g e n ts t r u c t u r e sh a v eb e e nw i d e l yu s e di ns p a c e f l i g h t ，s h i p b u i l d i n g ， a u t o c a r , c i v i le n g i n e e r i n g ，w a t e rc o n s e r v a n c y , e t c t h es t u d y o ni n t e l l i g e n t s t r u c t u r e sb e l o n g st oan e wc o m p r e h e n s i v es u b j e c tw h i c hc r o s s e dm a n ys u b j e c t s i nr e c e n ty e a r s ，l i t e r a t u r e sa b o u ti n t e l l i g e n ts t r u c t u r e si n c r e a s e da n di t h a s b e c o m ef lh o ts p o ti np r e s e n tr e s e a r c h b e c a u s et h ep i e z o e l e c t r i cm a t e r a i lh a s p o s i t i v ea n dn e g a t i v ep i e z o e l e c t r i c i t ya n di tc a nb em a d ei n t os e n s o ra n dd r i v e r , i tb e c o m e saf o c u so nt h er e s e a r c ho fi n t e l l i g e n ts t r u c t u r e s i nt h i sp a p e r , t h ea u t h o rf i r s tm a d eab a s i ci n t r o d u c eo ft h ep i e z o e l e c t r i c i n t e l l i g e n tp l a t e sa n ds h e l l ss t r u c t u r ea n ds t a b i l i t yp r o b l e m s ，a n de n u m e r a t e d a n a l y s i sm e t h o d sa n dc u r r e n ts t a b i l i t ya n a l y s i ss t a t eo fi n t e l l i g e n ts t r u c t u r e ，a n d s u m m e du pt h es t r o n g p o i n t sa n ds h o r t p o i n t so ft h em e t h o d sa n dt h ep r o b l e m si n t h e s t u d y an e wc a l c u l a t i o n f o r m a t eo fs t a b i l i t ya n a l y s i so fp l a t e sw a s e s t a b l i s h e db a s e do nc l a s s i c a lp l a t et h e o r yb ys p l i n ef i n t em e t h o da n ds p l i n e m e s h l e s sm e t h o d an e wc a l c u l a t i o nf o r m a t eo fs t a b i l i t ya n a l y s i so fp i e z o e l e c t r i c i n t e l l i g e n tp l a t e s a n ds h e l l s s t r u c t u r ew a se s t a b l i s h e dw i t hi n t e l l i g e n t i l d o u b l e - s p l i n ef i x a t em e t h o db a s e do ns m a l ld e f l e c t i o nb u c k l i n gt h e o r ya n dm a d e a n a l y s i so fi t ss t a b i l i t y , a n di t sc r i t i c a lv o l t a g ea n dc r i t i c a ll o a dw e r ed i s c u s s e d ， i t s s t a b i l i t y w a s a n a l y z e db y c o a c t i o no fm e c h a n i c a lf o r c ea n d e l e c t r i c ；c o n s i d e r i n g n o n l i n e a r p i e z o e l e c t r i c c o n s t i t u t i v er e l a t i o nb e t w e e n m e c h a n i c a lf o r c ea n de l e c t r i cb ys t r o n ge l e c t r i cf i e l dt h ea n a l y s i so ft h ep l a t e s s t a b i l i t y w a sm a d e ；c o n s i d e r i n gp i e z o e l e c t r i c p l a t e s w i t hf u n c t i o n a l g r a d m a t r i a l s ，i t ss t a b i l i t ya n a l y s i sw a sm a d e t h ea u t o rc o m p i l e dam a t l a bp r o g r a mc o r r e s p o n d i n gt ot h en e w c a l c u l a t i o nf o r m a t ，a n ds e tl o t so fe x a m p l e st oc o m p a r ew i t ha n a l y t i cv a l u e sa n d f e mr e s u l t s t h er e s u l t ss h o wt h em e t h o d se m p l o y e di nt h i st h e s i sc o r r e c ta n d h i g hv a l i d ，a n dp r e s e n ts o m e v a l u a b l ec o n c l u s i o n k e yw o r d s ：；s p l i n em e s h l e s sm e t h o d ；p i e z o e l e c t r i ci n t e l l i g e n tp l a t e sa n d s h e l l s ；s t a b i l i t ya n a l y s i s ；n o n l i n e a rp i e z o e l e c t r i cc o n s t i t u t i v er e l a t i o n ： f g m p l a t e i i i 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除己注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 刘势 劲7 年7 月7 日 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照学校要求 提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供 目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在 不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间： 嘶口时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) 论文作者签名：复_ 勇 导师签名： 刀? 年7 月7 日 压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 第一章绪论弟一早三百v 匕 1 1 选题的背景和意义 2 1 世纪是智能结构的时代，智能飞机的机翼可以像鸟的翅膀一样灵活，能自动改变 形状，从而提高升力及减少阻力；建筑物具有强度和刚度自适应能力及通讯和报警自动 化功能；桥梁及电线杆在快要断裂时可以发出报告信号，并自动加固自身构造；空调可 以抑制振动而寂静工作等。智能材料及智能结构在军用航空航天、汽车、船舶、土木工 程及水利水电工程方面展现了广泛的应用前景，属于防灾、减灾的前沿课题，是对各类 工程结构的重大挑战，引起了世界各国的重视。 随着现代工业技术的发展，大量新型、高强度的轻型超薄结构广泛地应用于国防及 民用工业的各个领域。因而，像杆、板、壳等轻型元件在各类载荷作用下的稳定性问题 引起了研究者的极大关注，特别是随着航空、航天和原子能利用等的飞速发展，结构稳 定性问题的研究意义也愈来愈明显。近年来，压电材料由于其性能优良，可制成薄膜附 于任意形状的表面上，其机械强度和对应敏感性优于其它传感器，并且具有响应速度快、 频率高等特点，在工程中得到越来越广泛的应用，而具有压电材料结构的屈曲问题也 越来越受到研究者的重视。 压电智能板壳是以压电材料作为传感器和驱动器，粘贴或者埋入板壳结构中所构成 的压电智能系统。自上世纪八十年代以来，压电板壳结构已逐步应用于航天航空业、国 防业及船舶、压力容器、桥梁等民用工业。 样条有限点法晗1 是广西大学秦荣教授于1 9 7 8 年创立的。秦荣教授利用样条离散化 创立了一类变量、二类变量及三类变量样条有限点法。这种方法不仅计算简便，而且精 度也高，是解决稳定性问题的有效方法。板壳是工程中应用极其广泛的结构形式，稳定 问题是板壳结构的突出问题之一，如组合钢板梁的腹板和船舶结构的某些构件中，稳定 问题十分普遍。基于样条无网格法对压电智能板壳的稳定性展开探讨，将从力学模型的 建立及求解方法两方面丰富和发展压电智能板壳结构理论，为压电智能板壳结构的工程 设计提供理论依据，在工程中亦具有实际意义。 广西大学硕士掌位论j r 压电智鼻e 板壳稳定分析的样条无网格法 1 2 智能结构系统 1 2 1 智能结构的组成及工作机理 智能结构是由传感器、驱动器、控制器、主结构按照一定的控制规律和算法经过合 理的集成而形成的具有一定智能功能的稳定系统。传感器、驱动器、控制器及其结构集 成，是智能材料与结构的四大关键共性技术。目前国内外都把新型传感器和驱动器的研 究和开发作为高科技项目进行重点攻关。 智能结构的思想来源于仿生学，陶宝琪u 。指出，所谓智能结构就是将具有仿生命功 能的若干材料( 作为传感器、驱动器等) 埋置于结构的基体材料中，使制成的结构具有人 们所期望的可以自行调整结构有关参数以适应外界变化的智能功能。 秦荣教授h 。提出智能结构是集主结构、传感器、控制器及驱动器于一体的一种仿生 结构体系，其对应关系为骨骼一结构、肌肉驱动器、神经传感器、大脑一控制器，如图 1 1 所示。 反馈 骨骼- 1 - 结构 神经+ 传感器 肌肉_ 驱动器 大脑+ 控制器 层 图1 - 1 智能结构示意图 f i g 1 - 1s k e t c hm a po fi n t e l l i g e n ts t r u c t u r e 智能结构模型由三部分组成，上下有两层为智能材料，充当驱动器和传感器，中间 部分为主结构。它的工作机理为：当主结构因振动产生变形时，传感器将做响应，在表 面产生一定的电势( 或电压) 。在适当的控制规律作用下，传感器产生的电势( 或电压) 反馈到驱动器上，在外电压的作用下，驱动器会产生变形来消减原来的变形，达到自我 恢复。 智能结构稳定控制机理：主结构在因外界环境产生变形，偏离平衡位置。传感器感 受基体的变形，并将之转变为电信号，按一定的控制规律输送给驱动器。驱动器将电信 号转变为对结构的策动作用。在智能板壳中就是引起结构薄膜力的改变：n = n 户一n f ， 2 广西大学硕士掌位论文压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 其中为总薄膜力，尸是机械荷载引起的薄膜力，e 为电压引起的薄膜力，使结构 发生变形，这种变形会消减原来的变形，使结构恢复平衡状态。可见，通过调节外电压， 可以使结构稳定性得到有效的控制。 1 2 2 智能材料 智能结构中最核心的组成部分就是智能材料。2 0 世纪8 0 年代，人们提出了智能材料 的概念陆1 。智能材料是能够模仿生命系统，感知环境变化，并能实时地改变自身的一种 或多种性能参数，并作出所期望的动作，能与变化后的环境相适应的复合材料或材料的 复合。 智能材料根据其功能特点可划分为两大类1 ：一类为智能感知材料，是对外界或内 部的刺激强度具有感知功能的材料。这类材料主要有压电陶瓷、光导纤维、压电高分子 材料、形状记忆合金等。另一类为智能驱动材料，是能对外界环境条件或内部状态发生 变化时做出响应或驱动的材料。如压电材料、电致伸缩材料、磁致伸缩材料、磁流变体、 电流变体和功能凝胶等。 压电材料是目前发展较为成熟的一种智能材料。根据晶体几何外形的有限对称图 像，可以把所有的晶体分为3 2 种点群，并用以描述晶体客观对称性。在3 2 种点群中属于 晶体电解质的点群有2 1 种是不具有中心对称的，其中除立方体的3 2 种点群外，其余具有 这类结构的2 0 种点群都具有压电性，属于压电材料。比较常见的压电材料有压电陶瓷 p z t 、压电高分子材料p v d f 等。 压电材料具有压电效应，包括正压电效应和逆压电效应。当对压电元件施加机械力 时，会引起其内部正负电荷中心发生相对位移，导致压电元件的两个表面上出现数量相 等、符号相反的束缚电荷，电荷密度和外力成正比，这种现象称为正压电效应；在压电 元件上施加电压，会引起元件内部正负电荷中心产生相对位移，从而造成压电元件变形， 该变形也与电压成正比，这种现象称为逆压电效应。利用正压电效应，可以制成各种传 感元件；利用逆压电效应，则可以制成驱动元件。 压电智能结构不仅具有智能结构共同的自感知、自适应、自诊断和自修复的优点， 而且还具有集传感和驱动一体化的优越性，因此在土木工程领域里比其他类型智能结构 有着更为广泛的发展前景。 1 2 3 智能结构在土木工程中的应用 智能结构和智能技术是2 1 世纪最激动人心的技术之一。智能结构的应用范围很广， 目自仃主要在航空、航天领域及土木工程领域应用较多。在土木工程领域内，智能结构的 广西大掌硕士掌位论文压电智能板壳稳冀：= 分析的样条无网格法 应用研究主要集中在以下三个方面钔： ( 1 ) 结构健康的实时检测与监控。这主要是指利用集成在传统的土木结构中的传感 元件和驱动元件构成的网络对结构的损伤、裂缝、缺陷、疲劳、冲击、腐蚀等状态进行 实时监测和控制，处理突发事故和自我调节，使整个结构处于安全状态。 ( 2 ) 结构灾害控制与智能自修复系统。智能结构是结构灾害控制的重要途径，是防 灾减灾的前沿。智能结构可对结构中的裂缝和损伤进行自我修复，做到裂缝自愈合和损 伤自修复。 ( 3 ) 形状自适应材料与结构。智能材料的研究与出现使建筑自适应的工程结构成为 可能。自适应结构既具有承受荷载和传递运动的能力，同时还具有改变结构特性( 结构 阻尼、固有频率、光学特性、周围电磁场分布) 以及检测( 应力、应变、裂缝、损伤、温 度等) 、动作( 改变结构内部应力应变分布和结构外形及位置等) 诸多智能功能，因而其 应用前景非常广阔。 智能结构发展至今，其应用研究主要在以下几个方面：( 1 ) 结构主动控制；( 2 ) 结 构静变形控制；( 3 ) 结构损伤故障监测和诊断；( 4 ) 反问题研究。 1 3 稳定问题研究 1 3 1 稳定的基本概念 稳定问题是力学中的一个重要分支。稳定，实质上可分为三类 7 ：第一类是结构 体内的几何稳定；第二类是结构受外部约束后的稳定，即约束的充分性；第三类是外部 约束充分的结构的弹性或弹塑性稳定。稳定分析是研究构件或结构的平衡状态是否稳定 的问题。在微小外力作用下，处于平衡位置的结构将偏离平衡位置，当外力撤除后，若 该结构仍能恢复到平衡位置，则初始平衡为稳定平衡状态；相反，如果结构不能回到平 衡位置，则初始平衡为不稳定平衡状态。结构由稳定平衡状态转变为不稳定平衡状态， 称之为失稳。文献 8 卜 1 1 中也给出了的几种稳定定义，但随着结构体系日趋复杂和结 构外荷载的复杂性，这些定义已不能完整的解释结构的稳定。结构的稳定性可以从非线 性的荷载一位移关系曲线中得到完整的概念，因此目前对结构稳定的研究都基于对结构 进行时程分析，根据荷载位移关系曲线来判断结构的稳定。 1 3 2 失稳的类别 多年来人们一直把失稳问题分成两类随3 ：第一类失稳问题具有平衡分岔失稳的特性， 也称为分支点失稳；第二类失稳问题属于无平衡分岔的失稳问题，也称为极值点失稳。 4 广西大学硕士学位论文 压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 可把弹性稳定分成一下三类钔： p 、 e 亡 擘二 f ： ：j f 一一一 p 4 c ia 。 、丫。 4 图1 2 平衡分岔失稳图1 3 极值点失稳图1 4 跳跃失稳 f i g 1 - 2b a l a n c ed i v e r g e n td e s t a b i l i z a t i o nf i g 1 - 3e x t r e m ep o i n td e s t a b i l i z a t i o nf i g 1 - 4l e a pd e s t a b i l i z a t i o n ( 1 ) 平衡分岔失稳 这种失稳是当结构或构件的荷载达到极限值时，荷载挠度曲线呈现了两个可能的平 衡路径，如图i - 2 所示，么b 、4 c 为可能出现的平衡路径。平衡路径在么点发生分枝， 该点的荷载值称为分枝点荷载，用己表示。平衡分岔失稳还分为稳定对称分岔失稳、 不稳定对称分岔失稳和不对称分岔失稳。 a 稳定对称分岔失稳。完善的在中面受压的平板以及完善的轴心受压构件的失稳都 属于这一类。 b 不稳定对称分岔失稳。承受轴向荷载的圆柱壳、承受均匀外压力的全球壳、矢跨 比较高的拱、拉线塔的整体失稳属于这一类。薄壁型钢方管压杆在一定条件下也表现出 类似特性。 c 。不对称分岔失稳。r 型框架和平面桁架的整体失稳属于这一类型。 ( 2 ) 极值点失稳 这种失稳是构件的挠度一开始就随着荷载而增加，当件截面边缘纤维开始屈服时， 荷载达到极值，如图i - 3 所示。极值点失稳的现象十分普遍，如偏心受压构件、双向受 弯构件和双向弯曲压弯构件发生弹塑性扭转失稳都属于这一类失稳。 ( 3 ) 跳跃失稳 跳跃失稳是不同于以上两种失稳的另一种类型，它是结构达到极限荷载时结构丧 失稳定平衡，突然跳跃，经过较大的变形后跳跃到另一个稳定状态，如图卜4 所示。扁 壳、拱、空间桁架和扁平网壳有可能发生这一类失稳。 综上所述，区分结构失稳类型的性质十分重要，这样才能正确估量结构的稳定承载 力。 5 广西大学硕士学位论文 匪电智能板壳稳定分析的样条无网格法 1 。3 3 稳定问题的判别准则 从以上几种失稳类别可以看到，并非处于平衡状态的结构都是稳定的，通常采用三 种方法判断平衡是否稳定n h 羽。 ( 1 ) 静力准则 图1 - 2 中，在分枝点4 上挠度有两种解答，即a = 0 或0 。当= 0 时结构处于 直线平衡状态：当0 时，则结构处于压弯平衡状态。在同一荷载，作用下，可能存 在两种以上的平衡状态，称之为平衡状态的二重性。静力准则认为，当工程结构体系或 构件出现平衡状态的二重性时，结构或构件即失去了稳定性。 ( 2 ) 能量准则 结构体系的平衡稳定性可用体系的总势能兀来判定，1 1 = u + 矿。其中u 为结构体 系内的应变能，矿为外荷载势能。如果体系受到微小的扰动使其偏离原来的平衡位置， 体系的总势能兀是增加的，即兀 0 ，则原来的平衡状态是稳定的；如果总势能n 是 减少的，即n 0 ，则原来的平衡状态是不稳定的：如果总势能兀保持不变，即y i = 0 ， 则为中性平衡，体系处于临界状态。也就是说，体系最初的总势能n 是极小值时，为稳 定平衡，是极大值时，为不稳定平衡。 ( 3 ) 动力准则 动力准则实质是研究初始扰动对结构稳定性的影响。对处于平衡状态的结构体系施 以微小扰动，则体系发生自由振动。若体系的运动是有界的，那么初始平衡是稳定的， 否则是不稳定的。若体系发生自由振动时，频率趋于零，则初始平衡状态为临界状态， 这时的荷载为临界荷载。 1 3 4 稳定问题的计算方法 ( 1 ) 平衡法 平衡法是根据已产生了微小变形后结构的受力条件建立平衡方程而后求解，如果得 到的符合方程的解不止一个，那么其中最小的值才是该结构的分岔屈曲荷载。平衡法只 能求解屈曲荷载，但不能判断平衡状态的稳定性。尽管如此，由于经常需要得到结构的 屈曲荷载，所以经常采用平衡法，采用平衡法可以获得精确解。 在求解平衡微分方程时常用的方法：有限差分法、渐进法。 ( 2 ) 能量法 6 广西大掌硕士掌位论文 压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 如果结构处在平衡状态，那么总势能必有驻值。根据最小势能原理，由总势能一阶 变分为零，可得到平衡方程，求解平衡方程可得到屈曲荷载。按照小变形理论，能量法 一般只能获得屈曲荷载的近似解，但是，如果事先了解了屈曲后的变形形式，依据此变 形形式作计算，可以得到精确解。 在能量法中比较常用的方法1 ：铁摩辛柯法、瑞利一里兹法( r i t z t i m o s h e n k o ) 、 迦辽金法( g a l e r k i n ) 。 ( 3 ) 动力法 对处于平衡状态的结构施加微小的扰动使其发生振动，这时结构的变形和振动加速 度都和作用在结构上的荷载有关。当荷载小于稳定的极限值时，干扰力撤掉以后结构的 振动是收敛的，则平衡状态是稳定的；当荷载大于极限荷载时，撤掉干扰力后运动是发 散的，则结构的平衡状态是不稳定的，由结构振动频率为零的条件可得临界状态的荷载， 即结构屈曲荷载。 在运用上述方法求解时对于有些结构很难得到解析解，因此常用一些数值方法进行 求解。常用的数值方法有n 2 1 钔：有限元法、有限条法、样条有限点法、样条子域法、q r 法等。 1 3 5 板壳稳定问题的研究 ( 1 ) 板壳失稳机理 薄板、薄壳稳定性问题十分突出，因为板壳构件的法向刚度最低，容易发生法向的 挠曲失稳。这在物理本质上是因为一切物理现象都按照最容易的路线发生，这是自然规 律。以简支矩形板为例，在矩形板的两端面作用压力下，当矩形板面临变弯还是变短的 选择时，在荷载相对较小时缩短比较容易，当荷载相对较大时，变弯比较容易，即沿弯 曲的路线来降低荷载位置比用缩短的路线更为容易。 ( 2 ) 板壳结构的屈曲和后屈曲性能 在板壳稳定性问题中，有两种基本类型的失稳形态：分支点失稳和极值点失稳。如 图( 卜2 ) 、( 卜3 ) 所示。分支点和极值点都称为临界点，临界点对应的荷载称为屈曲临 界荷载，临界荷载对应的结构状态称为临界状态。在到达临界状态之前的平衡状态称为 前屈曲平衡状态，超过临界状态之后的平衡状态称为后屈曲平衡状态。 板的屈曲特性与柱子失稳有着重要区别。柱子的屈曲标志着构件丧失承载能力。而 薄板到达临界荷载后还能继续抵抗压力的增加，并且荷载可大大超过板的临界荷载，这 就是板的后屈曲性能n 射。板的后屈曲是由于大挠度变形所致，大挠度屈曲使板弯曲成不 7 j - 西大掌硕士掌位论文 压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 可展曲面，因而产生薄膜应变，相应的薄膜内力参加承受荷载从而提高了板继续承载的 能力。 p+ p 仁丁p 一 8 广西大掌硕士掌位论文 压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 性振动及分叉，考虑初挠度、初始缺陷及横向荷载的影响，变厚度板及粘弹性板的屈曲 等引起了研究者的兴趣，成为研究的热点。可以预见，随着现代工业技术的发展，特别 是航空、航天和原子能的飞速发展，大量轻型超薄的结构将应用于工业与民用工业的各 个领域，大量的稳定问题将涌现出来。 1 4 压电智能结构的国内外研究现状 在理论研究方面，w a n g 等口4 3 给出了横观各向同性压电介质平衡方程的通解。王晓 明等心5 3 讨论了热释电介质的变分原理，并导出了各向异性压电板的控制方程及边界条 件。d i n g 等心司也给出了横观各向同性压电介质运动方程的通解。陈常青等啦刀从连续介质 力学的基本理论出发，导出了压电介质几种非线性率型变分方程，在定义了各种增量之 后，得到了四种增量变分方程。 在压电智能结构的解析求解方面，尚福林等乜町给出了压电层合板热屈曲问题的一般 解法。章建国等乜町采用经典板壳理论求出了四边简支层合板电势和挠度的解析表达式。 丁皓江等口们介绍了近年来压电板壳三维分析方面的研究情况。伍晓红等船妇基于三维弹性 理论和压电理论，得到了压电功能梯度板的动力学方程及相应边界条件。m i t c h e l l 等口鄹 用h a m i i t o n 原理建立了一种混合压电层合板理论，用幂级数展开法求解，获得满意的 结果。d a v i d 等。玛3 提出了一种多层压电板的二维理论模型来解决三维问题，与三维精确 解吻合较好。 在压电结构的振动控制方面，高坚新m 3 、丁皓江啪3 、伍晓红u 分别对压电板壳结 构的自由振动问题进行了精确求解。每纲等口司采用光纤作传感器，压电材料作为驱动器， 对薄板结构进行了振动控制分析。r a y 汹1 运用双傅立叶级数获得了压电板振动控制的封 闭解。古渊利、曹宗杰口副、邱志成。删研究了压电智能结构的传感器与驱动器在振动控 制中的优化问题。石银明等h 、李俊宝等m 3 分别介绍了一种阻抗建模方法。姚军h 朝，陈 伟民分别用实验的方法分析了压电结构的振动控制问题。另外，更多的是采用有限元 方法研究压电板结构的振动主动控制问题h h 捌。 在压电结构的耦合研究方面，m i t c h e l l 等口2 1 首先考虑了机电双向耦合问题。吕胜利 m 3 用有限元的方法建立了压电梁、板结构的热一机一电耦合运动方程。w a n g h 刀用解析法对 压电板结构遭受热、机、电载荷作用时的情况进行了分析。k a p u r i a h 胡等采用一阶剪切 变形理论分析了受热、机、电载荷作用的压电层合板。z h o u 等h 钔对热一机一电完全耦合层 合板的动力响应特性进行了分析。田晓耕等嘞1 采用有限元方法研究了含压电材料智能结 9 压电智j 板壳穗定分析的样枭元罔格法 构在热载荷作用下变形与热传导之间的耦合特性。 近几年来，国内研究主要集中在新型驱动器的设计，驱动器的形状和尺寸的优化 研究以及考虑热效应的分析模型的建立等方面“州3 ，如图卜6 、卜7 所示。 图1 6 压电智能力矩控制器 f i g1 - 6p i e z o e l z o e l e c t r i c i n t e l l i g e n t n l o m e n t 图1 7 压电智能主动驱动杆件 f i gl - 7p i e z o c l z o e l e c t r l ci n l e l l i g e m a c t i v e o f f o r c ec o n 口o l l e r d r i v i n g m e m b e r b a t 在压电结构的稳定分析方面，王子昆等。”就压电板的柱形屈曲问题，赵国忠等m 就压电板的屈曲问题，尚福林就压电板的熟屈曲问题进行了研究。孙东昌旧3 从能量角 度导出了反映智能扳能量变化与外加控制电压之间关系的功率流的表达，在此基础上得 到了受控智能板的一些稳定性质，讨论了压电制动层的分块对板可控性的改进作用。姚 林泉”。根据压电材料的逆压电效应，得出了压电板在大挠度小变形情况下的稳定性有限 元特征方程和稳定性特征值，通过调节作用于执行元件上的电压，使结构的稳定性得到 有效的控制。闭晓耕等采用板的一阶剪切理论，建立了在弱非线性耦合假设下压电智 能结构的有限元控制方程，分析了不同边界条件下压电板的屈曲和后屈曲。郑玉芳”1 基于损伤理论和压电理论，建立了压电层台板在参数激励下的非线性运动控制方程，通 过算例分析了损伤参数和压电效应对压电智能层合板非线性动力稳定性的影响，揭示了 力电耦合效应的内在特征。闰敏1 研究了压电材料对动力临界荷载的影响。并施加电压 对结构的动力稳定性进行丁控制。朱军强“”等分析了简支边界有限长含压电层的对称层 合圆柱壳及壳块在谐变电场及双向周期荷载作用下的动力稳定性问题，并用模态展开的 方法得出一阶动力不稳定区。此外，毛耀武“讨论了无初始缺陷压电杆的屈曲问题。通 过能量变分法以及虚功原理导出压电材料梁的屈曲控制方程，然后利用摄动法求解非线 性控制方程得到电场和l 自界载荷、屈曲模态之间的关系式。赵国忠，顾元宪4 ”推导了含 压电材蚪的桁架结构稳定性的有限元方程。通过算例分析表明，机电耦台效应对桁架结 广西大掌硕士掌位论文压电智能板壳稳定分析的样条无网格法 构的稳定性影响较大，而电压对结构稳定性的影响相对较小。苗晗旧3 对由压电主动杆单 元组成的桁架结构，建立了稳定特征方程和动力分析有限元模型。在稳定可靠性分析中 给出了由荷载系数构成的安全余量表达形式。安伟光阳司以杆元的物理参数和外荷载系数 为随机变量，给出了压电桁架结构失稳的安全余量的表达形式和临界荷载系数对变量求 导的方法。在此基础引入随机有限元法，对压电桁架结构进行结构稳定可靠性分析。在 压电功能梯度板的研究方面，代锋睇1 建立了用于f g m 薄板、薄曲壳分析的固体壳单元， 并针对温度梯度作用下功能梯度材料结构的振动主动控制进行了数值仿真；丁丽霞旧1 考虑逆压电效应，基于经典板理论，导出功能梯度弹性薄板小挠度屈曲平衡微分方程， 分析在机械载荷和电压共同作用下弹性板的稳定性。 对压电智能结构以往的研究中，多注重于结构的变形控制、振动控制等方面，而对 结构的稳定性研究很少。从已有的文献来看，关于压电结构稳定性问题的研究大多集中 在元件上，没有推广到结构系统上来。对于智能结构动力屈曲问题，由于理论上的困难， 其研究还很不充分。 从建模方法来看，目前对压电智能结构的建模常采用解析法、有限单元法，并利用 实验法来验证解析模型和有限元模型的合理性。解析法只能求解简单边界条件及其形状 规则的结构。有限元法求解这类问题时，智能结构必须建立包含智能材料本构关系的有 限元模型，未知量多，公式复杂，对计算机要求也高。实验法由于材料、仪器、经费等 限制，只能以简单的几何形体作为研究对象。 1 5 本文研究的主要内容 综上所述，当前，众多学者对智能结构进行了研究，取得了很多的成果。鉴于样条 无网格法在结构分析中具有建模简单、计算精确的优越性，本文采用样条无网格法对压 电智能板进行稳定性分析。 主要工作包括如下内容： ( 1 ) 从经典板理论出发，基于板的小挠度屈曲理论，分别采用样条有限点法和样 条无网格法，建立了薄板结构稳定分析的计算新模型和新格式，讨论了薄板在不同边界 约束、受力情况下的稳定问题。 ( 2 ) 从经典板理论出发，基于板的小挠度屈曲理论，采用智能样条无网格法，建 立了压电智能板结构稳定分析的计算新模型和新格式。对压电智能板结构分别受机械荷 载、电荷载作用下的屈曲特性进行了研究，对机械荷载和电压共同作用下压电板的稳定 广西大掌硕士掌位论文压电智能板壳稳定分析的样条元网格法 性进行了控制。 ( 3 ) 考虑强电场作用下机械和电之间的非线性压电本构关系，即电致弹性和电致 伸缩效应，对压电智能板结构的稳定性进行了分析。 ( 4 ) 考虑含功能梯度材料的压电薄板，建立了其稳定分析的计算新模型和新格式。 分析在机械载荷和电压共同作用下弹性板的稳定性，并进一步讨论板的几何尺寸、材料 梯度指数的变化对临界电压和临界载荷的影响。 ( 5 ) 用m a t l a b 语言编制了相应的程序，通过大量算例与有限元分析结果及解析 解进行比较，说明本文方法的正确性和高效性，并提出了一些有价值的结论。 1 2 广西大掌硕士掌位论文 压电智能板壳稳定分析的样条元网格法 第二章薄板稳定分析的样条有限点法 2 1 样条有限点法简介 广西大学秦荣教授首先提出了样条有限点法的概念。样条有限点法是以b 样条函数、 正交函数及最小势能原理为基础建立的。位移函数由b 样条函数与正交函数乘积的线性 组合构成，其中一个方向采用b 样条函数，另一个方向采用正交函数，利用最小势能原 理建立刚度方程。样条有限点法可以用作工程结构的静力分析、振动分析和稳定分析。 利用样条有限点法进行稳定分析的建模步骤如下：( 1 ) 对结构进行样条离散；( 2 ) 选择满足边界条件的位移函数；( 3 ) 利用最小势能原理建立刚度方程；( 4 ) 建立稳定特 征方程；( 5 ) 求解临界荷载。本章将采用此方法进行分析。 2 2 薄板稳定性基本方程 薄板在中面受压力见( 岛、) 作用发生中面位移，薄膜力也( 以、，) 平 衡了外力作用。当p x ( p y 、) 达到临界值，则平衡位移的特征是出现侧向挠度w ， 这就是板的屈曲。由于板屈曲是以挠度位移为主，因此小挠度屈曲的物理方程及几何方 程与小挠度弯曲理论相同。 2 2 1 基本假设 根据薄板的小挠度屈曲理论，可以得到： ( 1 ) 变形前垂直于板中面的直法线，变形后仍为直线，而且仍垂直于变形后的中 曲面，且长度保持不变，即y 坦= 比= 乞= 0 。 ( 2 ) 板中平行于中面的各截面上的正应力与其它应力相比很小，对变形和应力状 态影响可忽略不计，即吒= = r 坦= 0 。 ( 3 ) 屈曲过程中中面无应变，即t = s ，= = 0 。 ( 4 ) 考虑屈曲平衡状态下中面力引起的附加弯矩。 ( 5 ) 只考虑中面荷载形成的内力，忽略弯曲变形引起的薄膜内力。 2 2 2 几何方程 板中面内任意一点的应变分量为： 里苎苎墨主兰堡笙奎 压电智能板壳稳定分析的棒条无网格法 = 二= = = = ：竺= 兰1 2 竺= = 二= 兰竺竺垒竺竺! 锄】，锄、2 q 2 瓦+ j l 瓦j 知1 ，锄，、2 旷万+ j l 万j ( 2 ，= 一4 - 一+ 7 矽 苏0 3 , 。o xc 3 , 其中、勺、表示截面上的正应变和剪应变。 设以为平行于甬馏坐标平面的挠曲线改变量，以为平行于咒) z 坐标平面的挠曲线 改变量，如为板对x 与y 轴的扭率( 沿彳轴单位长度内切线旋转角的该变量) ，表达式 如下： 得 a 2 w 乞一万 a 2 w 乃一矿 a 2 w ，= 一 码 敏卸 板内距中面为z 的任一点的应变为 锄1f ，辄、2 a 2 w 瓦+ j 【、瓦q 两 苏 2 苏一叙2 卸1f ，翻，1 2 a 2 w q 2 万+ j l 刮q 矿 ，抛咖跏锄， 匀2 w 2 万+ 瓦+ 瓦万一2 z 丽w w ( 2 - 2 a ) ( 2 - 2 b ) 板失稳发生微小弯曲变形，属于小挠度问题，中面内纤维长度不变，根据( 2 1 ) 铲挈+ 三俘、2 ：o 铲瓦+ 互l 瓦j = 0 氐：宴+ 三俘 2 ：o 旷万- 互【、万j 0 k ：呈+ 空+ 堂塑：oy = 一+ 一+ = f ) 铆咖。o x 。缸a y 1 4 ( 2 - 2 c ) 广西大学硕士掌位论文 压电a m , 能板壳稳定分析的样条无网格法 此时，板内非中面上任意一点的应变分量为 a 2 w ，一z 哥。2 z l 氐：一z 窑：张， ( 2 3 ) 勺一z 丽2 z 乃 z 一3 y , , y = - 2 z 瓜0 2 哕w = 2 z 2 2 3 物理方程 q 、q 、表示截面上的正应力和剪应力，对于线弹性各向同性体，可应用二维 广义胡克定理 q = 南( q + 以) = 可e z ( 以+ z y q 2 而q + 以) 2 可( 以+ q = 南( q + 版) = 而e z ( 乃+ 肱 q 2 f 万( q + 版) 2 而( 乃+ 肱 ee z g x y2 丽丽2 丽丽如 其中e 为弹性模量，为泊松比。 将( 2 - 3 ) 带入( 2 - 4 ) 得 吒一f e 万z ( 丽+ 可) ，a 2 wa 2 w 、 q f e 了z 【萨+ 丽) ，wa 2 w 、 e za 2 w 勺2 ( 1 + ) o x o y 令m ，、m y 、为截面上的弯矩和扭矩，表达式如下： 将( 2 - 5 ) 带入( 2 6 ) 得 坂= 咧丽c a 2 w + 雾)鸭一。( 害+ 窘) 其中。= 五而e p ，f 为板厚。 1 5 一d ( 1 刊等 ( 2 - 4 ) ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 )如沈 盯 一2rj一2 = m 曼查兰墨主兰竺望查 一 压电智能板壳稳定分析的样条元网格法 _ 二= 二= ：= = = = 竺竺! ：! ：兰：= ! 三! 竺竺! 令 m ) = 以m y 7 写为矩阵形式 m = 【d 】 z 热【。】= 南 令。 盯 = q 1 k t 1 oo o p 1 一 2 = 一窘 i v 一宴乞塑l r o y 2 。却j ( 2 - 7 a ) ( 2 - 7 b ) n = 虬以) 7 ( 2 7 e ) 其中：m 、弘、为截面上的轴力和剪力( 它们由作用在板边上的纵向荷载引起的 中面薄膜力，与纵向荷载值相等) ，表达式如下： m2 吒办 以= c r y h= 勺h ( 2 8 ) 2 3 样条离散化 在板中面上沿x 方向作样条离散，如图2 - 1 所示： 丁 i ； ! i o 12 3 4 i n 3 i 卜_ 卜_ 卜i 卜二叫 x ； 上i iy 图2 - 1 板的单样条离散化 f i g 2 - 1s i n g l e s p l i n ed i s p e r s i n eo fp l a t e 0 = x o x 1 x 2 1 时，( - ) = 0 ，且 办( ) = o ( i - 1 ) ，( 秭) = 0 ( i - 1 ，0 ) 痧( x ) = o ( i + 1 ) ，( ) = 0 ( i n ，n + i ) 因此，它能满足x 方向上的位移边界条件。 【q 】_ d i a g ( g 】【卅【乃】) 【q 】可采用不同的方法确定，本文采用广义参数法，即 z m 为满足y 方向上位移边界条件的函数。z 脚的类型有： ( 1 ) 振型函数 四边简支时，z 。“n ( 孚) 其满足y = 0 时，乙= 0 ，乙= 0 ：y = b 时，乙= 0 ，z = 0 的边界条件； 四边固支时，乙：s i n 耸显一幽耸z dd 1 7 ( 2 - 1 2 ) 1llliii_ o o 1o ，41 忽l，啦。 。l = 办 rj o 0 l o 1 o 1 o o 。l = ， r_j 1 坦1，啦。o o 1 o o p。l i l g 压电智皂板壳稳定分析的