（控制科学与工程专业论文）考虑参数不确定性和外界扰动的acrobot鲁棒控制设计.pdf

摘要 a c r o b o t 是一类具有二阶非完整约束的欠驱动机械系统，它是一 个在垂直平面上运动的两杆机器人，有两个自由度但只有一个驱动装 置，它的控制目标是从垂直向下的稳定平衡点摇起到垂直向上的不稳 定平衡点，并最终平衡在这个不稳定平衡点上。 由于a c r o b o t 具有高度的非线性特性，在实际控制设计中存在参 数不确定性和外界扰动的影响，使得传统的控制方法难以满足实际控 制的需要，因此，需要提出能有效克服这种不确定性影响的a c r o b o t 鲁棒控制方法。本论文针对a c r o b o t 实际控制中的鲁棒控制问题，提 出不仅考虑模型参数不确定性，而且能有效抑制外界扰动的鲁棒控制 方法。 首先，基于拉格朗日方程建立a c r o b o t 自, 0 动学力模型，通过分析 a c r o b o t e l o 结构特性，确定参数不确定性和外界扰动的摄动形式和范 围，在此基础上提出不确定性情况下的a c r o b o t 模型。 其次，将a c r o b o t 的整个运动空间重新进行定义为摇起区和平衡 区。通过把摇起区分成能量储存阶段和自由运动阶段两个子区间，来 设计对模型参数摄动具有鲁棒性的摇起控制器，完成能量的递增过 程；当系统能量达到进入平衡区时的能量条件时，控制输入为零，使 a c r o b o t 作自由运动；在平衡区，确定参数不确定性条件下的线性化 模型，依据h 。控制方法，基于线性矩阵不等式得至1 a c r o b o t 可实现鲁 棒镇定的充分条件，通过求解相应的线性矩阵不等式来设计平衡镇定 控制器。 最后，针对a c r o b o t 同时存在参数不确定性幂n # l - 界扰动的情形， 提出具有鲁棒镇定和干扰抑制的鲁棒控制设计方法。在摇起区，基于 能量递增的思想，通过干扰补偿控制设计，提出对参数摄动和外界扰 动均具有鲁棒性的摇起控制器设计方法；平衡区，通过定义性能评价 信号，将平衡控制问题转换成h 。控制问题，基于线性矩阵不等式得 到系统满足鲁棒镇定和干扰抑制的充分条件，通过求解相应的线性矩 阵不等式得到鲁棒状态反馈控制律，实现鲁棒镇定与干扰抑制。 关键词a c r o b o t ，欠驱动机械系统，鲁棒控制，不确定性，线性 矩阵不等式 a bs t r a c t t h eu n d e r a c t u a t e dt w o l i n km a n i n u p u l a t o ra c r o b o to p e r a t i n gi na v e r t i c a l p l a n e i sa t y p i c a l u n d e r a c t u a e dm e c h a n i c a ls y s t e mw i t h n o n h o l o n o m i cc o n s t r a i n t s i tc o n s i s t so fo n ej o i n te a c ha tt h es h o u l d e r a n de l b o ww i t has i n g l ea c t u a t o ra tt h ee l b o w t h ec o n t r o lo b j e c t i v ei st o s w i n gi tu pf r o mas t a b l ed o w n w a r de q u i l i b r i u mp o s i t i o nt ot h eu n s t a b l e s t r a i g h t - u pe q u i l i b r i u mp o s i t i o na n db a l a n c ei tt h e r e i nt h ep r a c t i c a lc o n t r o ld e s i g nf o ra c r o b o t ，t h e r em a ye x i s tl o t so f u n c e r t a i n t i e ss u c ha st h e p a r a m e t e r u n c e r t a i n t i e sa n d e x o g e n o u s d i s t u r b a n c eb e c a u s ea c r o b o ti sac l a s so fh i g h - n o n l i n e a ru n d e r a t u c a t e d s y s t e m i no r d e rt od e r i v eap r a c t i c a lc o n t r o lm e t h o d ，i ti si m p o r t a n t t o i n v e s t i g a t e t h er o b u s t s t a b i l i t y i s s u eu n d e rt h ee x i s t e n c eo ft h e u n c e r t a i n t i e so fp a r a m e t e r sa sw e l la sd i s t u r b a n c e s t h i st h e s i sf o c u s e so nt h er o b u s tc o n t r 0 1p r o b l e mo ft h ea c r o b o t ，a n d ar o b u s tc o n t r o ls t r a t e g yi sp r o p o s e d ，w h i c hn o to n l yh a st h er o b u s t n e s st o t h ep a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s ，b u ta l s oc a ns u p p r e s st h ei n f l u e n c eo ft h e d i s t u r b a n c e s f i r s t ，t h ed y n a m i cm o d e lo ft h e a c r o b o ti so b t a i n e db a s e do n l a g r a n g ee q u a t i o n ，a n ds o m ei n h e r e n c es t r u c t u r ec h a r a c t e r i s t i c s o ft h e a c r o b o ta r ea n a l y z e d m o r e o v e r , t w ok i n d so fu n c e r t a i n t i e si n c l u d i n gt h e p a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e sa n dt h ee x o g e n o u sd i s t u r b a n c ea r ea s c e r t a i n e d ， w h i c hi sn e c e s s a r yf o rt h ef o l l o w i n gr o b u s tc o n t r o l l e rd e s i g n s e c o n d ，t h ew h o l em o t i o ns p a c ei sr e d e f i n e da st h es w i n g - u pa r e a a n dt h eb a l a n c ea r e a t h es w i n g - u pa r e ai sa g a i nd i v i d e di n t ot w o s u b s p a c e s ：t h es t a g eo fe n e r g yp u m p i n ga n df r e er o t a t i o n t h es w i n g u p c o n t r o l l e rm a i n l yf o rt h ee n e r g yp u m p i n g ，w h i c hh a st h er o b u s t n e s st ot h e p a r a m e t e r s i sd e s i g n e db a s e do nt h ei d e a lo fi n c r e a s i n g t h es y s t e m e n e r g yw i t he a c hs w i n gu n t i li tr e a c h e st ot h em a xp o t e n t i a le n e r g ya tt h e u p r i g h tp o s i t i o n t h e n ，i nt h eb a l a n c ea r e a ，as u m c i e n tc o n d i t i o no f e x i s t e n c eo fah 。r o b u s ts t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri sd e d u c e db a s e do n l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，a n dac o n t r o l l e ri sd e s i g n e db ys o l v i n ga i i t e r mo fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s f i n a l l y ，a c o n t r o l d e s i g n m e t h o do fr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n d d i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o nf o rt h ea c r o b o t ，i nw h i c hu n c e r t a i n t i e so ft h e p a r a m e t e r sa n de x o g e n o u sd i s t u r b a n c ee x i s t ，i sp r e s e n t e d t h es w i n g u p c o n t r o i l e rc o n t a i n e dac o m p e n s a t o rt o s u p p r e s s t h ei n f l u e n c eo f d i s t u r b a n c ei so b t a i n e ds ot h a tt h es y s t e me n e r g yc a ns t i l li n c r e a s e m o n o t o n i c a l l v t h e n ，ar o b u s tc o n t r o l l e ri sd e s i g n e df o rt h eb a l a n c ea r e a t og u a r a n t e et h eq u a d r a t i cs t a b i l i t yo ft h ec o n t r o ls y s t e m i te m p l o y sa n u n c e r t a i nl i n e a rm o d e lo ft h em a n i p u l a t o r t h ed e s i g np r o b l e mi s t r a n s f o r m e di n t oas t a n d a r d h 。c o n t r o lp r o b l e m ，a n das u f f i c i e n t c o n d i t i o no fe x i s t e n c e o fah 。r o b u s ts t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e ri s d e d u c e du s i n gt h el m i a p p r o a c h k e y w o r d s ：a c r o b o t ，u n d e r a c t u a t e dm e c h a n i c a ls y s t e m ，r o b u s t c o n t r o l ，u n c e r t a i n t y , l m i i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：逡盘鳖 吼斗年月日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：遣坐 哗年月丛日 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 研究背景、目的及意义 第一章绪论 自从2 0 世纪中期，现代机器人问世以来，机器人技术经过几十年的发展己 取得了长足的进步，而“机器人 也成为现代社会中一个非常司空见惯的词汇。 从工程技术的角度说，机器人不外乎是一种可以通过编程来完成多种作业、并具 有一些自由度和一定操作功能的自动化机器，所不同的是这种机器具备一些与人 或生物相似的智能能力如感知能力、规划能力、动作能力和协同能力等，是一种 具有高度灵活性的自动化机器【l 砣】。 然而，在二十世纪九十年代中期以前，所研究的机器人都是全驱动的，即机 器人各关节是由各自的电机分别控制驱动的，这样在运动控制上非常简单，通过 位置反馈控制即可实现预定的运动轨道。这样的机器人的特点是：输入空间( 即 控制空间、) 维度等于构造空间维度，易于实现控制；缺点是：由于驱动装置多造 成耗费能源多、成本高、机器人沉重，尤其当机器人为串联结构时，后一个驱动 器的质量就成为前一个驱动器的负载，这样，相比机器人末端负载而言，基座驱 动装置将会非常庞大。但是，驱动电机目前还无法做得非常轻巧。从力学角度来 说，全驱动机器人是完全约束的，所谓完全约束是指约束条件能用一般坐标和时 间变量的代数方程表达的，除此以外的约束条件均为非完全约束条件。 为了达到轻质、低耗等要求，便出现了欠驱动状态下的机器人系统，称为欠 驱动机械系统【】。欠驱动状态是指驱动装置的减少使得系统的控制输入维数少 于系统的广义坐标维数，直观来讲，欠驱动系统就是用较少的控制量去实现较多 状态变量控制目的的一类机械系统。在现实生活中，这类系统是广泛存在的，如 杂技表演的杂耍运动、宇宙太空中宇航员利用肢体运动产生的旋转等。由于减少 了机器人部件，提高了机械臂的比刚度，因此这类机器人轻、能耗低，非常适合 能源紧张而需要尽量减少驱动的场合，如太空、深海、核工业等环境；另外，在 驱动关节夫效的情况下，将其作为被动关节处理而够满足应急使用，现实意义非 常大。以上诸多优点使这类机器人很有研究价值。由于欠驱动机器人运动方程中 广义坐标的速度或加速度受到约束，一般来说，这些约束都是完全不可积的，或 者说是非完整的，这种非完整约束存在于含有滚动接触的系统以及角动量守恒的 系统，如多指机器人手和轮式移动机器人等，是典型的非完整系统 5 q0 1 。因此， 对欠驱动机器人进行研究也必将促进非完整系统的不断发展。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 手术机器人是欠驱动机械系统的典型例子，它采用机械臂代替人的手腕，发 挥机器人高精度的特点，实现小开口的精确手术。为了实现灵巧高速的运动，不 可能在机械臂的每个关节上都装上驱动装置。例如，一个两杆的机械臂，按照手 术的需要，有的在头杆装上驱动装置，有的在尾杆装上驱动装置。这类手术机器 人的广义坐标的维数是2 ，而驱动装置的维数是1 ，因而是一类典型的欠驱动机 械系统。 在机器人的其它领域，存在关联运动约束的机器人、具有柔性操作臂或柔性 操作关节的机器人，也都是一类欠驱动机器人，是欠驱动机械系统例子。而在太 空, 乖t i j , b 星探索应用领域设计机械系统时，有时为了减少自身重量，或在某些紧急 情况下，机器人驱动电机失灵而又无法更换，为了使系统能长时间持续工作而减 少能量消耗，提高系统工作时的可靠性，一种有效的方法就是减少驱动装置，这 样构成的系统是一类欠驱动机械系统，可以用于太空机器人的设计【l l 1 2 】。 a c r o b o t 是一类具有二阶非完整约束的欠驱动机械系统【m 1 6 】，它实质上是一 个在垂直平面上运动的两杆机器人，有两个自由度但只有一个驱动装置，其中肘 部连杆有驱动装置，而肩部连杆没有驱动装置。a c r o b o t 具有两个平衡点，其中 垂直向下的平衡点为稳定平衡点，垂直向上的平衡点为不稳定平衡点。a c r o b o t 的控制目标是把它从垂直向下的稳定平衡点摇起到垂直向上的不稳定平衡点，并 平衡在这个不稳定平衡点上。 由于a c r o b o t 是一类具有高度非线性特性的机械系统，使得其在控制器设计 及系统整体设计等方面存在绪多难点。首先，在实际工程中要想得到机器人的精 确数学模型是一件非常困难的事情，因此在数学建模的过程中，往往会做一些近 似处理，而忽略一些不确定性因素，如参数误差、未建模动态等，特别是系统参 数值往往只能给出实验值或标称值，这种标称值与实际值之间不可能避免地会由 于测量技术、测量手段等的不同而存在较大的误差。其次，在机器人实际的工作 环境当中，往往还会受到各种不确定外界干扰因素的影响，如环境温度、系统噪 声等。随着欠驱动系统的不断发展，对a c r o b o t 工作性能要求的不断提高，基于 理想模型得到的控制方法就难以取得满足实际控制的需要，因此，对a c r o b o t 实 际控制设计中的鲁棒控制问题进行研究将极大地促进a c r o b o t 实际应用的发展。 本论文研究a c r o b o t 的鲁棒控制方法，目的旨在提出一种不仅充分考虑模型 参数不确定性的影响，而且能有效抑制外界干扰的欠驱动机械系统鲁棒控制设计 方法。通过研究将进一步促进欠驱动机械系统及非完整系统控制的发展，推动控 制方法实际应用的研究，有助于研究更一般的非线性系统控制问题，具有重要的 科学意义和广阔的应用前景。 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 2 国内外研究现状 近十几年来，a c r o b o t 的控制问题获得了国内外学者的广泛关注。鉴于其复 杂性，通常是把它的运动空间分为摇起区和吸引区，分别采用不同的控制策略进 行摇起控制和平衡控制，通过控制策略的切换实现由摇起区到吸引区的过渡。这 样构成的控制系统采用了切换控制，属于一类混杂控制系统【l7 1 。 早期，随着欠驱动机械系统的提出，人们以a c r o b o t 为研究对象进行了大量 的研究工作，并取得了丰富的研究成果。如t a k a s h i m a 和n a k a w a k i 在文献【18 ，1 9 】 中分别探讨了a c r o b o t 的数学建模问题，而且t a k a s h i m a 还进一步研究了a c r o b o t 在垂直向上不稳定平衡点周围的运动控制问题 2 0 】。针对摇起控制，文献【1 3 ，2 l 2 5 】 分别提出了部分反馈线性化、伪线性化、p d 控制、智能控制等方法，同时对平 衡区的近似线性化模型采用极点配置方法、l q r 方法和自适应控制等。 后来，为了提高控制效果及扩大吸引区的控制范围，人们逐步提出了基于能 量和姿态的摇起思想 洳2 8 1 ，实验证明这是一种非常有效的控制方法，它使得系 统进入到吸引区的成功率大大提高，也进一步扩大了吸引区的范围。但是，在控 制规律的设计中却容易出现奇异现象，针对这种情况，文献 2 9 3 l 】也都提出了 各种有效避免奇异现象的解决方法。而且文献 3 2 3 3 还提出了基于l y a p u n o v 函 数的全局混杂控制策略，并进行了全局稳定性分析。 可见，自从a c r o b o t 系统被提出以来，经过十几年的不断研究与探索，已取 得了丰硕的研究成果，且已将控制理论中各种控制方法应用于a c r o b o t 的控制当 中。但是，a c r o b o t 是一类具有高度非线性的欠驱动机械系统，在实际控制设计 中不可避免地存在参数不确定和外界扰动的影响，使得传统的控制方法难以满足 实际控制的需要。因此，要将a c r o b o t 应用到实际中，还必须对系统中存在的各 种不确定性因素进行分析与研究。 目前，关于欠驱动机械系统的鲁棒控制研究，国内外的研究还很少。而在机 器人技术领域的鲁棒控制研究大致可分为三大类，即自适应控制、变结构控制以 及现代鲁棒控制。 首先，自适应控制假设机器人的不确定性可以用其数学模型中的未知参数来 描述，通过在线估计未知参数，并根据其估计值随时修正控制策略，使得实际的 闭环控制系统满足性能要求。在文献 3 4 3 6 中，作者针对欠驱动机械系统同时 存在参数不确定性及外界扰动影响的情况下，提出了自适应鲁棒控制策略，这种 控制方法的实现是通过在被动关节上安装一个离合器用来克服不确定性影响的， 3 中南大学硕士学位论文第一章绪论 一方面，增加的这个离合器使系统的复杂度增加；另一方面，在一定程度上给被 动关节施加了外力作用，从而破坏了系统的欠驱动特性。文献 3 7 1 还提出了基于 模型参考的自适应控制方法，但是自适应控制策略在很大程度上取决于对未知参 数的准确估计，这在实际工程中往往是难以实现的。 其次，变结构控制，其基本思想是在误差系统的状态空间中，找到一个合适 的超平面，它能够保证超平面内的所有状态轨迹都收敛于零，而一旦系统状态进 入到这种超平面，它就具有对参数变化的不敏感性，使得控制器具有一定的鲁棒 性。基于这种思想，文献 3 8 3 9 将滑模控制应用到a c r o b o t 的控制当中，在一定 程度上增强了系统的鲁棒性能，但是作者只是针对平衡区的线性化模型设计了滑 模型控制器，而并未考虑摇起区的鲁棒控制问题。文献 4 0 】针对欠驱动机械系统 也提出了基于无源性的变结构控制方法，文献 4 1 1 还进一步提出了分层滑模控制 的方法，然而它们都只是针对参数不确定设计了鲁棒控制器。可见，将变结构控 制应用于欠驱动系统的控制当中仍未有效地解决欠驱动机器人全局控制中出现 的参数不确定性和外界干扰的鲁棒控制问题，而且变结构控制的缺陷在于控制器 频繁切换动作有可能造成跟踪误差在零点附近产生抖动现象，而不能收敛于零。 近年来，鲁棒控制理论迅猛发展，已成为控制理论的一个热点研究领域，而 且在机器人控制应用中取得了丰硕的成果【4 2 】。它在设计控制器时不仅考虑数学 模型的不确定性，而且能够考虑外界扰动不确定性带来的影响，使得所设计的控 制器能够克服不确定性对系统性能的最坏影响而保持系统的鲁棒稳定和鲁棒性 能。h 。控制是鲁棒控制理论发展的突出的标志之一，它为解决系统的不确定性 提供了一种有效的工具，在实际应用当中，多种控制问题均可变换为日。鲁棒控 制理论的标准问题，具有一般性【4 3 1 。 机器人的鲁棒控制的一般结构如图1 1 所示。不确定性分为两大类：不确定 的外部干扰d 和模型误差。机器人系统的各种参数误差、种降价处理以及建模 时忽略的动态特性等，都可以用来描述。但是在设计鲁棒控制器时，一般假设 属于一个可描述集，比如增益有界，且上界已知等等。对于不确定的干扰信号 也是如此，d 可以是不可检测的信号，但必须属于可描述集。鲁棒控制器就是基 于这些不确定性的描述参数和标称系统的数学模型设计的。应用这种思想，文献 4 4 】针对欠驱动机器人，提出了基于线性矩阵不等式的保性能鲁棒控制方法，文 献【4 5 】为了加快a c r o b o t 的稳定速度把不稳定平衡点附近抖动的连杆角速度作为 一种不确定性来处理，设计了鲁棒镇定控制器。文献 4 6 还针对a c r o b o t 使用分 析方法来确定状态反馈中导致系统不稳定的结构不确定性范围，从而提出了一种 鲁棒镇定的控制方法。虽然这些文献提出的鲁棒控制方法都取得了较好的实验效 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 果，但是它们的设计都是基于平衡区的参数不确定模型而设计的，并没有考虑摇 起区的鲁棒控制问题。 图1 1 机器人鲁棒控制系统结构图 综上所述，虽然欠驱动机械系统的研究已取得了较大的成果，但是，要推动 欠驱动系统应用的发展，还有不少问题需要解决。 首先，目前关于a c r o b o t 所研究的大多控制方法都是基于系统理想化模型而 设计的，对于实际系统，这些控制方法的鲁棒性非常有限。 其次，关于欠驱动机械系统鲁棒控制问题的研究，或是单一考虑了参数问题， 或是只研究了外界存在的扰动量，而且大多还只是针对吸引区设计了相应的鲁棒 控制器，并没有提出一种有效解决欠驱动机器人全局控制中存在参数不确定性和 外界扰动的鲁棒性分析和设计方法。 1 3 论文基本控制思想 针对欠驱动机器人应用控制中存在的问题以及现代鲁棒控制理论所取的成 果，本论文研究a c r o b o t 的鲁棒控制方法，不仅能克服模型参数摄动的影响，而 且能有效地抑制外界扰动。具体地，主要考虑以下几个方面： 1 ) 对a c r o b o t 的运动空间重新进行定义，在摇起区和平衡区的基础上，进 一步将摇起区划分为能量储存过程和自由运动两个阶段，在不同的部分 运用不同的控制策略； 2 ) 基于系统能量，推导摇起区的控制规律，在确保摇起过程中能量递增的 同时，保证摇起控制器对参数不确定性具有鲁棒性； 3 ) 确定参数不确定性条件下的平衡区线性化模型，通过模型转换，依据日。 控制理论，基于线性矩阵不等式得到a c r o b o t 鲁棒镇定的充分条件，通 5 中南大学硕士学位论文第一章绪论 过求解相应线性矩阵不等式的可行性问题来进行平衡控制器设计； 4 ) 当a c r o b o t 同时存在参数不确定性和外界扰动时，进行摇起区补偿控制 器设计，以对外界干扰进行补偿，确保系统能量能向递增的方向变化； 5 ) 针对平衡区的鲁棒镇定和干扰抑制问题，通过引入性能评价信号，对不 确定模型进行转换，研究平衡区不确定模型的h 。控制问题，基于线性 矩阵不等式得到a c r o b o t 存在日。状太反馈控制律的充分条件，通过求 解相应的线性矩阵不等式提出鲁棒状态反馈控制器设计的方法。 1 4 论文结构 依据上述的基本控制思想，本论文的组织结构如下： 第二章提出建立a c r o b o t 动力学模型的基本方法，分析a c r o b o t 固有的结构 特性，探讨并确定系统中存在的两种不确定性因素。其中，动力学模型的建立依 据的是拉格朗日力学方程，仅需计算a c r o b o t 的动能和势能，不仅描述方法简单， 而且还能够充分反映a c r o b o t 的特征；a c r o b o t 的结构特性是运动空间划分及控 制策略选择的重要依据；不确定性分析及模型描述是鲁棒控制器设计的必要前 提。 第三章提出具有参数不确定性的a c r o b o t 鲁棒控制方法。首先，描述系统设 计的控制目标并对a c r o b o t 的运动区间进行划分；其次，对系统能量进行分析， 依据能量递增的思想设计了摇起控制器，并确保摇起控制器对参数不确定性具有 鲁棒性；然后，确定平衡区的参数不确定性模型，基于h 。控制方法，推导a c r o b o t 鲁棒镇定的充分条件，通过求解相应线性矩阵不等式的可行性问题提出平衡镇定 控制器的设计方法。 第四章提出同时具有参数不确定性和外界干扰情况下的a c r o b o t 鲁棒控制设 计方法。摇起区，基于能量递增的思想，设计出干扰补偿控制器，以确保摇起控 制器对参数不确定性和外界扰动起均具有鲁棒性同时，完成摇起操作。平衡区， 通过定义性能评价信号，将控制问题转换成日。标准控制问题，基于性矩阵不等 式得到使系统满足鲁棒镇定和干扰抑制的充分条件，应用l m i 处理方法提出鲁 棒状态反馈控制器的设计方法。 第五章结论与展望。对论文做出总结，并提出对后续研究的展望。 6 中南大学硕士学位论文第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 欠驱动机器入a c r o b o t 是一个在垂直平面上运动的两杆机器人，在讨论它的 控制策略之前，首先需要建立其动力学模型。在建立机器人动力学模型时，可以 把机器人看作是由一个个关节连接起来的刚体。建立机器人的动力学模型主要采 用下述两种理论： ( 1 ) 动力学基本理论，如牛顿一欧拉方程； ( 2 ) 拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程。 上述第一种方法即为力的动态平衡法，采用此方法需要从动力学出发求得加 速度，并消去各内作用力。对于复杂的系统，此种分析方法十分复杂与麻烦。而 对于第二种方法即拉格朗日能量平衡法，只需速度而不必求内力，因此采用这种 方法来建立欠驱动系统的动力学模型则相对简便，而且还能够充分反映a c r o b o t 的动力学结构特征。本文也正是采用了这一方法。 本章建立a c r o b o t 的动力学模型，并对系统呈现的结构特性进行分析，这些 特性的存在是运动空间划分及控制策略选取的重要依据；然后对a c r o b o t 系统中 存在的两类不确定性因素进行分析，确定其摄动形式和范围，并给出不确定性条 件下的模型方程，为后面鲁棒控制器的设计打下基础。 2 1a c r o b o t 模型结构 a c r o b o t 的物理模型结构如图2 1 所示。这个在垂直平面上运动的两杆机器 人，有两个自由度但只有一个驱动装置，其中驱动装置安装在第二关节上。图中 所示的相关参数定义如下( = l ，2 ) ： q ，：第杆的角度； m ：第，杆的质量； l ：第歹杆相对于质心的惯性； 彳2 ：控制输入。 2 2a c r o b o t 动力学描述 0 ：第杆的长度； ：从关节至l j j 杆质心的距离； g ：为重力加速度； x v j - t - a c r o b o t 而言，q 。和q ：唯一地确定了a c r o b o t 运动的位置。在基于拉格朗 7 中南大学硕士学位论文第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 日方程来建立a c r o b o t 的动力学模型时，首先要给出相应的拉格朗日函数，并由 此得到相应的拉格朗日方程。 图2 1a c r o b o t 的模型结构 2 2 1 拉格朗日方程 将a c r o b o t 的动能和势能之差定义为拉格朗日函数，即 l ( q ，毒) = t ( q ，口) 一y ( g ) ( 2 - i ) 其中，t ( q ，亩) 和y ( g ) 分别是a c r o b o t 的动能和势能，j l 百 t q - - 【g 。q 2 r 。下面的 引理给出了相应的拉格朗日方程。 引理2 1 t 4 7 1 对于欠驱动机器人a c r o b o t ，其拉格朗日运动方程为 丢砉地埘一砉地埘唧 ，2 ( 2 2 ) 其中t 是作用在第i 杆的外力，但是气= 0 。根据( 2 - 1 ) 式，拉格朗日方程可以进 一步表达为 丢去m 埘一去m + 砉m ，= t ，2 c 2 叫 基于( 2 3 ) 式建立a c r o b o t 的动力学模型时，由于假设两杆都是刚体，所以 a c r o b o t 的动能和势能可以根据每一杆的总质量和关于质心的惯量来确定。 中南大学硕士学位论文 第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 2 2 2 动力学模型 根据引理2 1 所述的拉格朗日方程，可得a c r o b o t 的动力学方程为 m ( g ) 茸+ h ( q ，尊) + g ( q ) = f ( 2 - 4 ) 其中z = k 乃】r = 【o 乃】r ，m ( g ) 是惯性矩阵，h ( q ，口) 是利里奥利力和离心 力的结合，g ( 9 ) 是重力项，它们分别为 m ( q ) = i l m n m 2 2 2 j 嚣嚣”2 仁5 a ， 日c g ，口，= 急 = 一岛( 口0 ；3 0 + 2 2 s 口i n l 曹q 2 2 ) s i n9 2 c 2 - 5 b ， g c g ，= 耋： = 一幺s i n 见q i s - ；n 0 。9 5 。s i + n ( g q ：, ，+ 9 2 c 2 5 c ， 其中，佛( i = l ，5 ) 为系统的结构参数， 取值如下 9 l = m l 三2 9 l + ，”2 三；+ ，l 0 2 = m2l 2 92 + ，2 0 3 = m2 l l l 9 2( 2 - 6 ) 0 4 = ml 班g l + m2g ll 0 5 = m2 班g 2 式中，l 和尼为转动惯量，可由下式确定 护丢胧。e 。，：= m ：t ： 对于运动方程( 2 - 4 ) 具有以下的特征： ( 1 ) m ( q ) 是对称矩阵且正定； ( 2 ) 竹( g ) 一2 h ( q ，亩) 是反对称矩阵 1 3 】。 令x = b 。x ：x ，x 4 f = k 。q ：香。香：】r ，则方程( 2 - 4 ) 可改写为 戈l = x 3 x 22 7 ，、，、 ( 2 7 ) 2 3 = ( x ) + 6 i ( x ) 吒 j 4 = 厶( z ) - i - b 2 ( x ) 吃 9 中南大学硕士学位论文第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 将上式写成仿射非线性系统的形式 戈= 厂( x ) + b ( x ) v 2 其中 ( x ) = b ，x 。 ( x ) 厶( 石) r ，6 ( x ) = o 0b l ( x ) b 2 ( x ) r - f l ( x ) 1 ：( x ) _ h ( x ) - ) l l ( x ) j 一。 一1 嘲训堋 ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) 定义系统的动能为t ( q ，香) 、势能为v ( q ) ，则 t ( q ，香) = 0 5 口1m ( q ) q( 2 1 2 ) v ( q ) = 0 4c o s q l + 0 5c o s ( q l + q 2 )( 2 - 1 3 ) 总机械台邑e ( g ，口) 为： e ( q ，口) = t ( q ，宣) + y ( g )( 2 - 1 4 ) 2 3 a c r o b o t 的结构特性 欠驱动机器人a c r o b o t 呈_ 现如下几个重要的特性 4 7 】： ( 1 ) 具有二阶非完整性； ( 2 ) 动力学模型不能在时域内严密线性化； ( 3 ) 在不稳定平衡点附近可以实现镇定。 2 3 1 二阶非完整性 如果约束方程将系统的运动限制在一个光滑超曲面上，则系统的约束称为完 整约束。事实上，在现实生活中，具有非完整性的系统出现的频率比较频繁，不 象完整性系统的运动被约束在一定的位形空间，非完整系统的运动只是对速度或 加速度具有约束关系，系统的可达位形是不受限制的。非完整约束主要表现为一 阶非完整约束或二阶非完整约束，分别对应着具有速度不可积和加速度不可积的 情况，而具有二阶非完整约束的欠驱动机械系统，它的控制要比一阶非完整约束 的情况更难于实现。 l o 中南大学硕士学位论文第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 o r i o l o 等人在文献 4 8 】中深入研究了约束方程的可积性问题，给出了其物理 解释，并得出了约束方程可积性判定定理。根据其判定定理可知，a c r o b o t 的非 完整约束不仅是速度约束不可积，而且具有加速度约束不可积，即a c r o b o t 是一 个具有二阶非完整约束的欠驱动机械系统【4 7 】。 2 3 2 不可严密线性化特性 a e r o b o t 具有复杂的非线性特性，并且在整个运动空间，动力学模型是不能 严密线性化的。 令u = 季2 ，由a c r o b o t 动力学方程( 2 - 4 ) n - f f 丁得 牙i = 一m l ( 厅l + 9 1 ) - m o lm 1 2 u ( 2 - 1 5 a ) 口2 = u ( 2 - 1 5 b ) 根据式( 2 4 ) 和( 2 1 5 a ) ，u 与f ：存在如下关系 u = m l l ( 拧j 2 2 m l i m 2 l m l 2 ) - 1 ( 乞一办2 一9 2 + m 2 l m 0 ( 办l + 9 1 ) )( 2 1 6 ) 其中 m i i 0 ，m 2 2 m l l m 2 l m l 2 0( 2 1 7 ) 进一步将式( 2 1 5 ) 写成仿射非线性系统的形式 爻= f ( 工) + 烈工) “( 2 - 1 8 ) 其中 x 2 i q tq 2q lq 2j r 1 r f ( x ) = b 炙岛“r = b 。口：一m | 1 ( ，+ g 。) o 】r 烈x ) ：【纪仍仍红r = 【o0 一脚矗晰，：1 】r 以下讨论a c r o b o t 动力学模型的严密线性化问题。在文献 4 9 - 5 0 1 q b ，i s i d o r i 和k h a l i l 等人提出了以下定理用于判断仿射非线性系统可严密线性化的充分必 要条件。 定理2 1 仿射非线性系统( 2 18 ) 可以严密线性化的充分必要条件为 1 ) 矩阵甲= k d ? 妒口d ；妒口d ；缈口d ；纠线性独立； 1 1 中南大学硕士学位论文 第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 2 ) 分布( x ) = s p a n k d ；缈谢；缈口d ；力是对合的。 其中，a d ； o ( i = l ，2 ，3 ) 表示f ( 工) 对烈x ) 的李括号。 依据定理2 1 及式( 2 18 ) ，可求得矩阵甲 4 7 】： 甲= k d ；伊口d ；缈口d ；缈口d ；纠= 0 一纪 01 仍a d ；r p 3 10 a d e g l o a d ；( a 3 0 a d 3 9 l 0 a d ；t p 3 0 ( 2 - 1 9 ) 显然，r a n k ( w ) = 4 ，、玉，是满秩的，因此，a c r o b o t 的动力学模型满足严密线 性化第一条件。 另一方面，分布o ) = s p a n a d 。t p 耐；缈口d ；卉的维数d i m ( ( x ) ) = 3 ，而 蒯：缈对蒯；缈的李括号 黟0 冽；纠：如蚺挲缈一警口d ；驴 0 o o a d t f t p 3g 一堕冽! 够 丁一言删f 矿d x卿 0 萑( 功( 2 2 0 ) 显然，9 a 幂a ( x ) = s p a n a d 。t p 谢；妒口d ；缈) 是非对合的，因此，a c r o b 。t 的动力 学模型不满足严密线性化的第二个条件，系统在整个运动空间是不能严密线性化 的。 2 3 3 不稳定平衡点处可镇定性 对式( 2 1 8 ) 在不稳定平衡点x = 0 处近似线性化，由雅可比矩阵可得： 么= 妻差蔷乳= 孤；孤4l o010 o a 芗3 赢1 0 0 a 炙 孤 o 01 i 00 0 o j 。：o b = 烈x ) ，卸= 【0 0 b 1 r 1 2 0o l0 0o0 l a l a 2 00 000 0 ( 2 2 t ) ( 2 2 2 ) 中南大学硕士学位论文第二章a c r o b o t 动力学模型与不确定性分析 其中 铲面m l g 再l g i + 瓦m 2 瓦g l l 而+ m 2 9 l 9 2，口：= 面石瓦m _ 瓦g l g 丽2 k m 2 l l 己9 2 + j 2， l x d = = _ = - 一 掰2 ：+ 2 m 2 l l l 9 2 + ，l + ，2 由矩阵4 和曰，可得能控制性矩阵为 垂= l 么曰a 2 b 彳，曰】： 0b0 0 l 0 b0 a l b + a 2 100 a l b - i - 口2 0 0 o ( 2 2 3 ) 其中，a l b + 口：0 。显然，是满秩的，即( 4 ，曰) 是可控的。而由仿射非线性系 统( 2 - 1 8 ) 在不稳定平衡点x = 0 是可以渐近稳定的充分条件是其能控制矩阵( 么，b ) 是 可控的 4 弘5 0 】可知，a c r o b o t 在不稳定平衡点处可实现镇定。 2 4a c r o b o t 不确定性与模型描述 上节建立了欠驱动机器人a c r o b o t 的动力学模型并对系统的结构特性进行了 分析，基于这些成果便可开展对a c r o b o t 的控制方法研究。然而，要对a c r o b o t 进行鲁棒控制方法的研究还必须对系统中存在的不确定性进行分析。 2 4 1 不确定性分析 众多周知，现实中各种控制系统都是在不断变化的环境中运行的，各种因素 ( 如温度、原料、设备、材料特性等) 都在随时间变化，且这种变化常常难以精确 掌握。对于实际工程中的控制系统来说，通常主要考虑两类不确定性 5 2 5 3 】：一是 系统内部的不确定性，如量测误差、参数估计误差及被控制对象的未建模误差等； 二是外部的不确定