（基础数学专业论文）顺从群上的c代数.pdf

摘要 设g 是一个局部紧群，c ( g ) 为g 的约化c 一代数。本文首先介绍了顺从群的定义 及其简单性质。其次对顺从群的c 代数的性质进行了归纳总结，论述了g 的顺从性与 c ( g ) 之间的联系，重点证明了g 是顺从的m a p 群当且仅当c ( g ) 是r f d 的。最后给 出一个离散的局部紧群为顺从群的具体例子。 关键词：顺从群，约化c 代数，m a p 群，r f d 代数 a b s t r a c t l e tgb eal o c a l l yc o m p a c tg r o u pw i t hc ( g ) i t sr e d u c e dc a l g e b r a f i r s t l y ，t h i s a r t i c l ei n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e so f l o c a l l yc o m p a c ta m e n a b l eg r o u p s e c o n d l y ， w es u m m a r yt h ep r o p e r t i e so f c a l g e b r a s o na m e n a b l eg r o u pg ，a n dw ed i s c u s st h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ea m e n a b l eg r o u pga n dc ( g ) ，t h e nw em a i n l ys h o wt h a tq ( g ) i sr e s i d u a l l yf i n i t ed i m e n s i o n a li fa n do n l yi fg i sb o t ha m e n a b l ea n dm a x i m a l l ya l m o s t p e r i o d i c a tl a s t ，w eg i v ea ne x a m p l et h a tt h ed i s c r e t eg r o u pi sa m e n a b l e k e yw o r d ：a m e n a b l eg r o u p ；r e d u c e dc - a l g e b r a ，m a x i m a l l ya l m o s tp e r i o d i c ， r e s i d u a l l yf i n i t ed i m e n s i o n a l u 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名：圣杰癣日期：圣翌乒：童：呈圣 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盥 指导教师签名：丑幺垒盘 日 期：伍峰) l q期：伊归b 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 纯粹数学是1 9 世纪的遗产，在2 0 世纪得到了巨大的发展，并且表现出更高的抽 象性。从观念上讲，泛函分析的建立体现了2 0 世纪在集合论影响下空间和函数这两个 基本概念的进一步变革，抽象空间理论和泛函分析在2 0 世纪上半叶有了巨大的发展。 泛函分析这门较新的数学分支，它把具体的分析问题抽象到更加纯粹的代数、拓扑结 构的形式中进行研究，因此逐渐形成了综合运用代数、几何( 拓扑) 手段处理分析问 题的新方法。 c 。代数是泛函分析研究领域中一个重要的分支，群上的c 代数研究结合了抽象调 和分析与c 代数的理论知识，综合运用群、表示理论、c 代数等知识。关于群上的c + 代数已经有了一些很多好的结论。 本文所研究的问题始终以局部紧群为背景，令g 是一个局部紧群，c ( g ) 是群g 上 的群c 代数，c ：( g ) 是群g 上的约化c 代数。第一部分是本文的基础部分，详细介 绍了群表示理论、z ( g ) 空间及其表示理论以及本文的重点内容：顺从群、m a p 群、 r d f 代数；第二部分是本文的重点，介绍顺从群上的c 代数的性质，并且给出了大量 的在交换群、离散群上的c 代数性质的结论；最后一部分是应用，我们希望第二部分 得到的结论可以应用到具体的学习实践中去，因此给出了一个具体的例子。 东北师范大学硕士学位论文 1 预备知识 为了研究后面的问题，我们将涉及一些定义与性质，便于查阅在此我们将一一给出。 1 1 局部紧群的酉表示论 定义1 1 1 令g 是一个局部紧群，日是一个h i l b c r t 空间。u 片是日上的酉算子全 体。如果存在一个同态万：g 专依强拓扑连续，即 ( 多万( s 一1 ) = 万( j ) 一1 = 万( s ) ，v s g ； v 孝日，映射5h 万( s ) 孝是连续的 其中日称为表示空间，一般的与表示万相对应的表示空间写为珥；称h 的维数为 t 表示万的维数，即d e g a = d i m 以。 例1 1 2 g 的表示砧：g 专u ( r ( g ) ) ，定义为 阢( s ) 如) = 六( f ) = f ( s 。1 f ) ，姚，t g 易证，砧是一个酉表示，称砧为g 的左正规表示。 例1 1 3 连续的h c i s e n b e r g 群h 是由形如 c x ，y ，z ，= 妻三； v x , y , z er x ，y ，z 2 l 三 三 ；l 的矩阵全体。h 上的拓扑定义为通常的尺3 上的拓扑，故h 是局部紧群。 对每个实数s r ，定义r ( r ) 上的酉算子蚝为 虬( x ，y ，z ) 厂( f ) = p 缸脚f ( t - y ) 由此生成一个h 的酉表示。 证明越( x ，y ，z ) - - u s ( 一x ，- y ，- z ) ，则可i g ( r ) ，有 2 东北师范大学硕士学位论文 以虬( x ，y ，z ) 厂( f ) = u ；e 船对+ “f ( t y ) = e l , ( a z ) e 打一盯一“f ( t y + y ) = f ( t ) = p 缸一一2 p 扭矗+ 2 o + 少一y ) = 虬越( x ，y ，z ) f ( t ) 故，虬是r ( 尺) 上的酉算子，虬是日的一个酉表示。 注释1 1 4 日上的酉算子全体上的强拓扑与弱拓扑等价。 证明设 ) 是中的基本列，且依弱拓扑收敛于材。即 v 孝，刁日，! i 。m ( u n o o ( 善) i 矽) = ( 甜( 善) i 刁) 。 刀_ 。 于是 0 ( 孝) 一甜( 善) 8 2 = 0 ( f ) 0 2 一( ( 孝) i 甜( 孝) ) 一亿( 孝) i 善) + 陋( 善) 0 2 - 2 i h l 2 一( ( 善) l “( 孝) ) 一( 甜( 孝) i 孝) 专2 2 2 ( z ，( 孝) i 甜( 善) ) = 2 2 一：1 1 f 1 1 2 = 0 ，( n - - - q o ) 故! 鳃甜。( 孝) = “( 孝) ，依弱拓扑收敛于甜。证毕。 定义1 1 5 令p 是群g 的幺元，如果k e r u = ) ，那么称“是忠实的；如果k e r u = g ， 那么称u 是平凡；如果在z ，( g ) 作用下，日的闭不变子空间只有0 或日，那么称z ，是不 可约的。 定义1 1 6 令u ，v 是g 的连续的酉表示，u ， ，的张量积定义如下： “o ，：g j u ( 吼。风) uo v ( s ) ( 手，刁) = 甜( s ) ov ( s ) ( 六7 7 ) = ( “( s ) 孝) 圆( 1 ，( s ) 刁) ， 其中v s g ，孝厶乙，r 乙。 定义1 1 7 令u 是g 在日上的连续的酉表示，u 的共轭万定义为： 订( s ) = 丽，v s g 。 g 的连续酉表示全体记为。在中定义等价关系为： 东北师范大学硕士学位论文 乃万2 j 酉算子仍- h 而寸h 以，j j 刀2 ( s ) = 筋l ( s ) 盯，v s g 以后，我们将看成其在等价关系下的等价类的集合。 设s ，t c ，称丁从属于s 是指n 石e r k e r ，r 3 n 槲k e r z r 。在中定义一个弱包含 序关系 ：确 乃营k e r n 1 ) k e r 7 r 2 。 1 2 f ( g ) 空间 设为g 的左不变h a a r 测度，即 j u ( s e ) = ( e ) ，v s g ，ec g ( 1 ) 当g 是紧群时，这个测度是有限的，此时规定( g ) = 1 ； ( 2 ) 当g 是无限的离散群时，规定( p ) ) = i 。 一般的，在不混淆的情况下，用凼代替d 。u ( s ) 。 g 的模函数为作用在g 上的正的连续同态，由下式定义： ( e ，) = ( s ) ( e ) ，v s g ，ec g 若a 暑1 ，即既是左不变h a a r 测度又是右不变h a a r 测度，此时称g 是幺模的，例如紧 群和交换群都是幺模的。 z ( g ) 是作用在g 上的与左不变h a m 测度有关的绝对可积函数空间。 ( 1 ) z ( g ) 空间中定义函数普通的加法和数乘运算， ( 2 ) z ( g ) 上的乘法运算为卷积运算，即 厂g ( s ) = ，f ( t ) g ( t - s ) d t ，v f ，g _ ( g ) ( 3 ) _ ( g ) 上的范数1 1 1 | 。定义为i i 州，= j 1 厂( s ) i 凼。 易证z ( g ) 是一个b a n a c h 代数。 ( 4 ) 在( g ) 上定义对合运算为： 厂。( s ) = f ( s - 1 ) 0 _ 1 ) ，其中为g 的模函数。 综上，叠( g ) 是带对合的b a n a c h 代数。 4 东北师范大学硕士学位论文 注意：( g ) 在范数j j j j ，下不是c - 代数。 1 3 z ( g ) 空间上的非退化木表示 g 在月上的连续曲表不，- i 以诱导一个( g ) 上的映射，我们用万表不，兵足义如 下： r e ( f ) = l 万g ( s ) f ( s ) d s ，v f f ( g ) u 容易证明 i i 万( 州i = i i t o ( j ) 厂( s ) 幽l | 0 在人上存在一个自然的序关系，使得a 是一个有向集。v 口a ，只：hj 孵是日上 的有限秩投影算子，于是存在投影算子递增网( 记为 只) 枞) ，其依强算子拓扑趋近于 恒等算子，使得躲i i p 。a 一以= o ，v a a p ( 2 ) 。故p ( 甄) 是拟对角化的。 综上，户是观的忠实的拟对角化表示，即2 【是弱拟对角化的。证毕。 7 东北师范大学硕士学位论文 2 顺从群上的群f 代数 2 1 群c 一代数及约化c 一代数 在预备知识当中我们已经看到，一般的，l i ( g ) 在范数l | 1 l 。下不是一个c - 代数。于 是，我们重新给定一个范数，使得( g ) 扩展为一个c 代数。 令g 是一个局部紧群，为g 的连续酉表示等价类的全体。定义1 1 1 | z 为： i i ：i i z = s u p 防( 厂) 0 ，夥z ( g ) ，易证1 1 | l z 是一个范数。 在此范数下，叠( g ) 是满足如下公式： k 厂) i i = i 防( 州i ，万( 厂木f ) = l r ( f ) 万( 厂) ，帜厂毒厂) l i = i i 万( 厂) 1 1 2 所以刮厂掌：1 1 z = 1 1 ：1 1 2 2 。 定义2 1 1 ( g ) 在范数l | - | l 下的完备化空间用c ( g ) 表示，c + ( g ) 是一个c 一代数。 称c ( g ) 为群g 上的c 代数。 注释2 1 2 如果群g 是可分的，那么c ( g ) 也是可分的；如果g 是离散群，那么 c ( g ) 是有单位元的。 注释2 1 3 在范数i i 1 i 下，c ( g ) 是c a g ) 的完备化，其中e ( g ) 是由作用在g 上 的具有紧支集的连续函数组成的代数。 左正规表示是个极其特殊的表示，在代数表示理论中有着重要的地位，很多好的 性质定理都与它有关，我们所讨论的问题也同样离不开它。 砧：g u ( r ( g ) ) ，为g 的左正规表示。那么砧对应着一个z ( g ) 的非退化宰表示 五，我们将名扩展为c + ( g ) 的非退化表示，仍用力表示。 定义2 1 4 令c ( g ) = x ( c ( g ) ) ，称c ( g ) 为群g 的约化c 代数。 注意到若令1 1 11 1 ，= s u p i 厂掌gi i ：i g c 。( g ) ，峪l i ：= li ，v f c 。( g ) ，则 8 东北师范大学硕士学位论文 有i i i | ，是c c ( g ) 空间的一个范数，并且在此范数下c ( g ) 是c c ( g ) 的完备化。 我们看到，在不同的范数下c ( g ) 与c ( g ) 都可以是c a g ) 的完备化空间。但一般 的，群c + 代数c ( g ) 与约化c 一代数c ( g ) 是不同构的。下面就是二者不同构的例子。 例2 1 5 设g = e 表示由两个元素生成的自由群，群c - 代数c ( e ) 是拟对角化 的，而约化c - 代数c ：( e ) 不是拟对角化的( 证明详见【7 ，7 6 节】) 。二者不是同构的。 那么，要满足什么条件才能使群c 代数与约化c 代数同构呢? 下面的定理给出 了这个答案。 定理2 1 6 【7 ，定理7 2 5 】令g 是一个局部紧群，那么c ( g ) 兰q ( g ) 营g 是顺从的。 由此定理，c ( g ) 与c ( g ) 的同构问题可以转化为研究群g 的顺从性上来。这就是 我们强调顺从性的原因。 2 2 顺从群上的群c 代数及约化c 一代数的性质 设仃为( g ) 的非退化木表示。v s g ，v f c a g ) ，有 ( a ( s ) f x t ) = z ( r ) = f ( s 一1 f ) 于是， 盯( 正) = g ( f ) ，( ，) 者= i o g ( t ) f ( s - t ) d t gg = a r g ( s ) p g ( f ) f ( f ) 衍 = o g ( s 炒( 厂) 。 首先，我们在一般的顺从群上讨论c 代数的性质。 引理2 21 令g 是一个局部紧群，如果c ( g ) 是r f d 的，那么g 是m a p 群。 证明设f 是一族c ( g ) 的彼此分离的有限维非退化木表示。那么尼分离g 。事实 上，如果s n 。f k e r z a ，那么对夥e ( g ) ，v 万f 有 因此 万( z 一) = 万( z ) - x ( f ) = z o ( s ) z ( f ) 一万( 厂) = 万( 厂) 一z ( f ) = 0 ， z 一厂n 脚k e r z 9 东北师范大学硕士学位论文 于是z f = 0 。因为c ( g ) 是e ( g ) 的完备化，因此夥c ( g ) ，z f = 0 仍然成立。 因此s = e 。证毕。 令0 表示中的全体不可约表示的集合，0 ，定义为0 中有限维表示的全体，即 g ，= p ：万是g 的有限维的不可约表示) 。 引理2 2 2 令g 是一个局部紧群，下列情况等价： ( 1 ) g 是m a p 的， ( 2 ) 丸 句， ( 3 ) 表示旯：c ( g ) 专c ( g ) 可以经由一个r f d 的c 代数分解。 证明( 1 ) ( 2 ) 句= 7 ：万是g 的有限维的不可约表示) ，如果g 是m a p 的， 那么句分离g 中的点，所以我们有砧 句。 ( 2 ) j ( 3 ) 令戊= o 。6 ，刀g ，q ( g ) = p ( c ( g ) ) ，以及映射盯：q ( g ) _ c ( g ) 由公 式口( p ( 口) ) = 五( 口) ，v 口c ( g ) 定义。由砧- 句得，砧 如，对应的得到名_ p ；又盯是 q ( g ) 的一个表示，事实上，v b c ；( g ) ，可设6 = p 0 ) ，口c ( g ) ，则 仃( 6 ) = 吠p ( 口) + ) = 仃( p ( 口) ) = 旯( 口) = 五( 口) = 仃( p ( 口) ) = 仃( 6 ) 。 于是下面图表可交换 即a = 盯。p 。 c ；( g ) ( 3 ) j ( 1 ) 设p ：c ( g ) - 曰( 日) 是名的一个表示因子，满足p ( c + ( g ) ) 是r f d 的，令f 是p ( c ( g ) ) 的一族彼此分离的有限维表示。对任意的s k e r 氏，v f e ( g ) ，有 p ( 六一门= p ( 以) 一p ( f ) = 几( j ) p ( 厂) 一p ( f ) = p ( f ) 一p ( f ) = 0 l o 东北师范大学硕士学位论文 故。一厂k e r pck e r 2 ，又名b ( g ) 是单射，故s = p ，即k e r p g = p ，于是，尼分离g 中的点，故g 是m a p 的。证毕。 引理2 2 3 令g 是一个局部紧群，如果g 是m a p 群并且是顺从的，那么 c ( g ) 兰c ( g ) 兰c ；( g ) 。 证明见 1 6 ，定理4 2 l 】 引理2 24 【1 3 ，定理3 】令g 是一个局部紧群，u 是g 的一个表示，如果u 弱包含g 的某个有限维的不可约表示，那么u 弱包含g 的所有的连续酉表示。 定理2 2 5 令g 是一个局部紧群，那么g 是m a p 群并且是顺从的c ( g ) 是r f d 的。 证明( 必要性) 由引理2 2 2 知，如果g 是m a p 群那么c ；( g ) 是r f d 的。又由引理 2 2 3 得c ：( g ) 兰c ；( g ) ，故c ( g ) 也是r f d 的； ( 充分性) 如果c ( g ) 是r f d 的，设 死) 。人是c ( g ) 的一族彼此分离的有限维宰表示， v 口人，：q ( g ) 一b ( ) ，。a ：c + ( g ) 一b ( ) 是c ( g ) 的有限维表示，且 一k e r3 k e r ( z 。, 。五) ，故。a _ a ，相应的有( 。名) g 砧，于是由引理2 2 4 得g 是顺 从的，由定理2 1 6 知c ( g ) 兰e ( g ) 是r f d 的，引理2 1 1 知，g 是m a p 群。证毕。 令e ( g ) = 画 砧( s ) ：s g ) 。 定理2 2 6 令g 是一个局部紧群，如果( g ) 是弱拟对角化的，那么g 是顺从的。 证明见【3 ，定理2 3 】 令g 是一个局部紧群，用q 表示给群g 赋予离散拓扑而成的离散群。 引理2 2 7 令g 是一个局部紧群。下列情况等价： ( 1 ) 他弱包含砧； ( 2 ) 屯弱包含g 的某个连续的酉表示，( 此表示看成是q 的表示) ； ( 3 ) g 包含一个开子群日，使得也是顺从的。 证明见【3 ，定理2 】。 引理2 2 8 令局部紧群g 是顺从的。如果他弱包含某个g 的连续酉表示万，那么嘭 是顺从的。 证明令另为石的共轭，那么张量积万。另弱包含在o 石之中；又如。石是 东北师范大学硕士学位论文 缸的倍数，所以万圆另也包含在缸中，另一方面，因为g 是顺从的，那么平凡表示1 g 弱包含在万。另中。综上所述，l a 弱包含在屯中。因此，q 是顺从的。证毕。 推论2 2 9 设g 是一个局部紧群，g 包含一个开子群日，吼是顺从的，并且( g ) 是弱拟对角化的，那么q 是顺从的。 证明g 是一个局部紧群，当e ( g ) 是弱拟对角化的时，由定理2 2 6 我们可知g 是 顺从的；由引理2 2 7 得g 包含一个开子群日，吼是顺从的当且仅当屯弱包含某个g 的连续酉表示；综合这两点由引理2 2 8 我们得q 是顺从的。 定理2 2 1 0 设g 是一个局部紧群，g 包含一个开的正规紧子群k ，并且c ( g ) 是弱 拟对角化的，那么g 是顺从的。 证明见 3 ，定理2 6 】 下面我们讨论特殊群上的c 代数的性质 m a r k o v - k a k u t a n i 定理：设x 是一个拓扑向量空间，t 是一族彼此可交换的从x 到 其自身的连续线性映射，k 是x 的紧的凸子集，且满足t kck ，v t t 。那么存在一 个固定的点x k ，使得t x = x ，v r t 。 证明见【7 ，定理7 2 1 】 定理2 2 1 1 每个交换的局部紧群g 是顺从的。 证明考虑p ( g ) 的态空间s ，赋予其弱母拓扑，s 是一个紧凸集。协g ，考虑 r ( g ) 上的左变换算子疋( 厂) = z ，夥r ( g ) 。那么，对偶算子c 作用在r ( g ) 的对偶 空间上是弱奉连续的。进一步的，我们看到：如果矿是一个态，那么c 缈仍然是态。事 实上，c 矽是正的，因为 t ? q o ( f ) = 缈( 瓦( 厂) ) = 9 ( z ) o ，v f 鬈( g ) 所以 k 缈l i = i i c 缈( 1 ) l i ：i | 缈( 1 ) i i = 1 。 因此算子巧将s 映为它自身。g 是交换群，故 r ：s g 是交换的。又由 m a r k o v k a k u t a n i 定理得存在一个公共点m s ，使巧所= m ，于是 1 2 东北师范大学硕士学位论文 册( t ( 厂) ) = c m ( 厂) = 聊( 厂) ，v f r ( g ) 所以m 是r ( g ) 的左不变态，于是g 是顺从的。证毕。 定理2 2 1 2 如果g 是交换群，那么c ( g ) = c ( g ) = c 0 ( 6 ) 证明对于交换群g ，z ( g ) 是一个交换的b a n a c h 代数。所以由g e l f a n d 定理，z ( g ) 的不可约表示相当于乘法线性泛函，是一维表示，这些泛函相当于g 的一维酉表示，也 就是。的元素。如此，g a l f a n d 映射r ：z ( g ) 寸c o ( o ) 定义如下： 1 1 ( 厂) = 夕( z ) = 厂( f ) z ( ，) 砒v z o 。 这个值域是自共轭且分离点的，由s t o n e w e i e r s r r a s s 定理知这个值域在c 0 ( 0 ) 中稠密。 这个f o u r i e r 变换1 1 扩展为一个酉算子“：r ( g ) 一r ( 6 ) 。左正规表示现在被理解 为： u 2 ( f ) u 窖= u 2 ( f ) g = i ( 厂枣g ) = 蠢= m ，雪，v 厂l i ( g ) ，g u ( g ) ml 2 ( g ) 因此夕c 0 ( g ) 对应于m ，这个映射是等距的，因此 i i x ( s ) l l = 陬厂) 甜小i i m , i i = = ， 则五是一个等距同构。因此c 。( g ) = c ( g ) 。证毕。 引理2 2 1 3 如果g 是离散群，那么e ( g ) 兰c ( g ) 由定理2 2 6 及引理2 2 1 3 我们得到下面的推论： 推论2 2 1 4 令g 是离散群，如果c ( g ) 是弱拟对角化的，那么g 是顺从的。 定理2 2 1 5 令g 是可数的离散群，如果c ( g ) 是拟对角化的，那么g 是顺从的。 证明因为c ( g ) 是拟对角化的，所以在b ( r ( g ) ) 中存在一族有限秩投影算子递增 序列识 蒯依强算子拓扑趋近于恒等算子，且满足 l i m 恢力( j ) 一x ( o p i i = o ，v s g 打- - h a ，” 。 令，。( g ) 作用在，2 ( g ) 上的映射为 m r x ( j ) = f ( s ) x ( s ) ，b 歹，。( g ) ，x ，2 ( g ) ，s g 注意到，对v t g 有， 1 3 东北师范大学硕士学位论文 2 ( t ) m ，名o ) z ( s ) 兰m ，( 五o ) + x ) o 一1s ) = f ( t 一1 s ) ( 名( f ) x ) ( f 一1 s ) = f ( t 。1 s ) z ( j ) = 蚝石( s ) 所以兄( r ) 吩2 ( 0 = 蚝。 令吨= 厂口础( 只) ，并且令乃是有限秩算子上的一般的迹。并且定义一个尸( g ) 的态 m ： 掰( 厂) = l i m 1 t r ( p , m p ) 坩- - - 1 , n z _ , ，i m ( f t ) 一m ( 厂) i = 。l i m 1i t r ( p x ( t ) m _ , ( t ) 只) 一r ，( p m j ) i = l i 巴1i t r ( p , a , ( t ) m s k ( t ) 只) - t r ( a ( t ) p m f p a ( t ) ) 1 月- - = l i m 酊1l 乃( 【只五p ) 一a ( t ) p i m f 旯o ) 只) + t r ( 2 ( t ) p m f 【只五o ) 一a o ) 】) i n 一 l- - ! i + m2 1 1 p x ( t ) 一x ( t ) al l i u 。= o 。 所以所( z ) = 聊( 厂) ，可，。( g ) ，所以g 是顺从的。证毕。 定理2 2 1 6 如果g 是离散的顺从群，那么c ( g ) = c ( g ) 。 证明见f 7 ，定理7 2 8 1 。 1 4 东北师范大学硕士学位论文 通过上面的讨论，对于局部紧群g ，我们用下图将群上的c + 代数得到相关结论表 示出来 此表清晰直观地再现了本文中顺从群上的c 代数各种性质彼此之间的关系，便于 我们继续学习使用。 1 5 东北9 币范大学硕士学位论文 3 应用 在这部分，我们给出一个具体的局部紧群，并且应用第二部分的结果研究这个群 上的c 代数的性质。 定义3 1 1 离散的h e i s e n b e r g 群是由形如 壹 三 手 口，6 ，c z 的矩阵组成的乘法群皿。 命题3 1 2 也是顺从的。 证明离散的h e i s e n b e r g 群只可以由 于是 生成。注意到 r 1 4 0 ) = l0 l o “= 墨三； 与 v = 壹三三 国= z 甜一l v l = 三 ， 科卜 同理，国= 0 v ，故缈与”，v 是可交换的，于是国生成马的中心z ( 马) ，则z ( 马) 兰z ， 于是也是由z 2 对z 的扩展。f l j 7 ，命题7 2 3 】得马是顺从的。证毕。 由定理2 2 1 6 得，c ( 也) = c ( 也) 。 1 6 0 1 o l 0 0 _。l = 1j 1 0 l l l o 1 0 o 。l = 1j 1 o 1 o 1 o 1 0 0 l 1j o 0 1 1 1 0 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 1 n i c os p r o n ka n dp e t e rw o o d d i a g o n a lt y p ec o n d i t i o n so ng r o u pc * - a l g e b r a s a m e r m a t h s o c ， 【2 】e b e d o s o nt h ec * - a l g e b r ag e n e r a t e db yt h el e f tr e g u l a rr e p r e s e n t a t i o no fal o c a l l yc o m p a c tg r o u p p r o c a m e r m a t h s o e ，1 2 0 ( 2 ) ：6 0 3 6 0 8 ，1 9 9 4 m r9 4 d ：2 2 0 0 4 【3 】m e b b e k k a ，e k a n i u t h ，a t l a ua n dg s c h l i c h t i n g o nc * - a l g e b r aa s s o c i a t e dw i t hl o c a l l y c o m p a c tg r o u p s p r o c a m e r m a t h s o c ，1 2 4 ( 1 0 ) ：3 1 5 1 - 3 1 5 8 ，1 9 9 6 m r9 6 m ：2 2 0 1 0 【4 】m e b b e k k a ，a t l a ua n dg s c h l i c h t i n g o ni n v a r i a n ts u b a l g e b r a so f t h ef o u r i e r - s t i e l t j e sa l g e b r a o f al o c a l l yc o m p a c tg r o u p m a t h a n n ，2 9 4 ：5 1 3 - 5 2 2 ，1 9 9 2 m r 9 3 k ：4 3 0 0 6 【5 】m d c h o i t h ef u l lc * - a l g e b r ao f t h ef r e eg r o u po nt w og e n e r a t o r s p a c i f i cj m a t h ，8 7 ：4 1 - 4 8 ， 1 9 8 0 m r8 2 b ：4 6 0 6 9 【6 】m d a d a r l m o nt h ea p p r o x i m a t i o no f q u a s i d i a g o n a lc + a l g e b r a s j f u n c t a n a l 1 6 7 ：6 9 7 8 ，1 9 9 9 c m 【p2 0 0 0 ：0 1 【7 】k r d a v i d s o n c a l g e b r a sb ye x a m p l e a m e r m a t h s o e ，1 9 9 6 m r9 7 i ：4 6 0 9 5 【8 p d el ah a r p e o p e r a t o ra l g e b r a s ，f r e eg r o u p sa n do t h e rg r o u p s a s t e r i s q u e2 3 2 ：1 2 1 - 1 5 3 ，1 9 9 5 m r 9 7 m ：4 6 0 9 2 【9 】p d el ah a r p e ，a g r o b e r t s o n ，a n da v a l e t t e o ne x a c t n e s so f g r o u pc - a l g e b r a q u a r t j m a t h o x f o r d ( 2 ) ，4 5 ：4 9 9 - 5 1 3 ，1 9 9 4 m r9 6 9 ：4 6 0 4 9 1 0 c f d u n k la n dd e r a m i r e z c * - a l g e b r a sg e n e r a t e db yf o u r i e r - s t i e l j e st r a n s f o r m s t r a n s a m e r m a t h s o e ，1 6 4 ：4 3 5 - 4 4 l ，1 9 7 2 m r4 6 ：9 6 4 6 11 r e x e la n dt a l o r i n g f i n i t e - d i m e n s i o n a lr e p r e s e n t a t i o n so f f r e ep r o d u c tc * - a l g e b r a s i n t e m a t j m a t h ，3 ( 4 ) ：4 6 9 - 4 7 6 ，1 9 9 2 m r9 3 f 4 6 0 9 1 【1 2 】p e y m a r d l a l g e b r ed ef o u r i e rd a ng r o u p el o c a l e m e n tc o m p a c tb u l l d el as o c m a t h f r a n c e ， 9 2 ：1 8 1 - 2 3 6 ，1 9 6 4 m r3 7 ：4 2 0 8 。 【1 3 j m g f e l l w e a kc o n t a i n m e n ta n dk r o n e c k e rp r o d u c t so f g r o u pr e p e r s e n t a t i o n s p a c i f i cj m a t h ， 1 3 ：5 0 3 - 5 1 0 ，1 9 6 9 m r2 7 ：5 8 6 5 1 4 d h a d w i n s t r o n g l yq u a s i d i a g o n a ic * - a l g e b r a s j o p e r a t o rt h e o r y ，1 8 ：3 1 5 ，1 9 8 7 m r8 9 d ：4 6 0 6 0 1 7 东北师范大学硕士学位论文 【1 5 t w p a l m e r c l a s s e so f n o n a b e l i a n ，n o n c o m p a c t ，l o c a l l yc o m p a c tg r o u p s r o c k ym o u n t a i nj m m h 8 ( 4 ) ：6 8 3 7 4 1 ，1 9 7 8 m r8 1 j ：2 2 0 0 3 【1 6 a t p a t e r s o n a m e n a b i l i t y ，v o l u m e2 9o f m a t h e m a t i c a ls u r v e y sa n dm o n o g r a p h s a m e r m a t h s o e 1 9 8 8 m r9 0 e ：4 3 0 0 1 ： 1 7 m a r i e 航1 i n d u c e dr e p r e s e n t a t i o n so fc * - a l g e b r a s a d v a n m a t h ，1 3 ：1 7 6 - 2 5 7 ，1 9 7 4 m r 5 0 ：5 4 8 9 【1 8 j r o s e n b e r g q u a s i d i a g o n a l i t ya n dn u c l e a r i t y j o p e r a t o rt h e o r y ，1 8 ：1 5 - 1 8 ，1 9 8 7 a p p e n d i xt o s t r o n g l yq u a s i d i a g o n a lc - a l g e b r a sb yd h a d w i n m r8 9 d ：4 6 0 6 0 1 9 d v o i c u l e s c u an o n - c o m m u t a t i v ew e y i - v o nn e u m