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东北大学硕士学位论文 局部对称空间中具有常平均曲率的超曲面 摘要 本文主要研究了局部对称空间中可定向的具有常平均曲率的超曲面，得到了两 个关于截面曲率的拼挤定理。 若m n 是局部对称空间n + 1 中的具有常平均曲率紧致超曲面，假定_ v n + l 是6 一 p i n c h i n g 的当m n 的主曲率九和“+ 1 的截面曲率在每一点上满足 九+ “n + l i = n h i 时， 扩的截面曲率 r j i j 1 一j 蕴涵着要么m n 是t m 的全脐超曲面，要z , n n + l 是n + 1 维的单位球面，并且这 时m n 是平坦的， 若6 一p i n c h i n g 的环绕空间n + 1 在每一点上的主曲率 非负，则当m “的截而曲 直 l a q j i j ( 口一礼h 2 ) ( 1 6 ) 口 时，n + 1 只能是n + l 维的单位球面 另外，本文还讨论了全脐子流形与迷向子流形的关系，证明了m “是n + p 中全脐 子流形当且仅当m n 是n + p 中a = 孑万的迷向子流形 关键词：局部对称；平均曲率；主曲率；截面曲率；全脐；超曲面 u 东北大学硕士学位论文a b s t r a c t h y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r ei nl o c a l l ys y m m e t r i cs p a c e a b s t r a c t i nt h i sp a p e ro r i e n t a b l eh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e ( c m c ) i nl o c a l l y s y m m e t r i cs p a c ea r ec o n c e r n e d a s s u m e dt h a tac o m p a c tc m ch y p e r s u r f a c em ”i ss u b m e r g e di na5 一p i n c h i n g a m b i e n ts p a c en “a n ds a t i s f i e s k 州n + l i = 槲 i e v e r y w h e r ei nm ”t h e n 幻1 一j m e a n st h a tm “m u s tb eat o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l do fn 叶1 m e a n w h i l en n + l = 酽+ 1 ( 1 ) ，o rt h es e c t i o n a lc u r v a t u r ep k j i jo fm ”v a r n i s he v e r y w h e r e i na n o t h e rr e s u l ts h o w st h a ti fac o m p a c tc m ch y p e r s u r f a c es a t i s f i e s r 玎甜( 口一n h 2 ) ( 1 6 ) 口 w h e n 丸i sn o n n e g a t i v ee v e r y w h e r ew h e r e 知d e n o t et h ep r i n c i p a lc u r v a t u r e so fm ”，t h e n n n + lm u s tb eand i m e n s i o n a lu n i ts p h e r i c a ls p a c e ，t h a ti sn “+ 1 = s n + 1 ( 1 ) i na d d i t i o n ，an o t ea b o u tt h er e l a t i o no ft o t a l l yu m b i l i c a ls u b m a n i f o l d sa n di s o t r o p i c s u b m a n i f o l d si sf i g l l r e do u t i ts a y st h a tas u b m a n i f o l di st o t a l l yu m b i l i c a li fa n do n l yi f i ti saa = 撕而i s o t r o p i cs u b m a n i f o l d k e yw o r d s ：l o c a l l ys y m m e t r i c ；m e a nc u r v a t u r e ；p r i n c i p a lc u r v a t u r e ；s e c t i o n a lc u r v a - t u r e ；t o t a l l yu m b i l i c a l ；h y p e r s u r f a c e i i i 独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的论文中取得的 研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的 研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 1 学位论文作者签名：仫绽 日期：多一钽二间矿- a 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅本人同意东北大学可以将学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索、交流 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期： 签字日期： 东北大学硕士学位论文 第一章引言 第一章引言弟一早jii 1 1子流形几何的拼挤问题 拼挤问题是当今子流形几何研究中的“时髦”之一，自从j s i m o n s 以来，人们 得到了许多针对各个几何量的拼挤定理当环绕空间n n + p 是个单位球时，j s i m o n s 在 1 中证明了当它里面的紧致极小子流形m “的第二基本形式模长的平方 fsi _ 丁 p 时，要么m ”是全测地的( 一= 0 ) ，要么处处有盯= n ( 2 一( 1 p ) ) 后来陈省身在【2 】中 证明了如果不是全测地的，那么就是s ”+ 1 ( 1 ) 中的c l i f f o r d 极小超曲面或s 4 ( 1 ) 中 的v e r o n s e 曲面，并且确定了满足 一碍 所有极小子流形1 9 7 5 年丘成桐把s i m o n s 的结论推广到具有平行平均曲率向量的予 流形的情形证明当 4 3 + n j 1 3 了 时的子流形必定在一个全测地子流形中，参见【3 】另一方面，a l e n c a r ，d oc a r m o 和s a a t o s 分别在f 4 】f 5 】中推广了球面中紧致的常平均曲率超曲面，球面中具有平行平 均曲率向量的子流形情形中的s i m o n s 结论 通过拼挤问题的研究，人们发现了子流形的各种性质例如著名的j s i m o n s 公 式：设m “是单位球面s ”+ p ( 1 ) 中的紧致极小子流形，则有 厶一陋；) k 。 人们不断寻找并发现各种特殊的球面子流形的性质同时，也注意在不同环绕空 间里的各种特殊子流形的性质1 9 9 3 年s h i n e v a 和e b e l c h e r 在 6 】中讨论了关于局部 对称的极小超曲面的拼挤问题，后来水乃翔等人在 7 】中把他们的条件进行弱化并对 结论进行了改进类似的还有宋卫东在【8 】中关于局部对称空间中极小子流形的讨论 东北大学硕士学位论文 第一章引言 沈一兵和y c l e u n g 分别在【9 和【l o 】中研究了双曲空间中的关于数量曲率的拼挤问 题在这几年来，拼挤理论中的还有l e u n g - f uc h e n g 等j k 在 1 1 1 中对沈一兵的结论的改 进和发展，以及近几年纪永强等人在1 2 1 中对s i m o n s 和y a u 的结论的推广 在拼挤理论中，有种被称为b r o c h n e r 的技巧对拼挤问题研究起了非常关键的 作用通过考查子流形的各种几何量例如数量曲率，p d c c i 曲率，第二基本形式模长的 平方暑n f i n i t et o t a lc u r v a t u r e 等的l a p l a c i a n ，得到子流形成为环绕空间中的特殊子流形 的条件，或者说用l a p l a c i a n 等算予来得到成为人们感兴趣的特殊子流形的条件关 于b r o c h n e r 技巧的详细介绍可以参见1 3 1 在这些拼挤理论中，子流形何时是全测地或全脐的这个问题更能吸引人们的注 意，因为全测地子流形和全脐子流形的性质最为简单丰富特别是子流形与全脐子流 形接近程度( 在 1 4 d p 被定义为有限总曲率( f i n i t et o t a lc u r v a t u r e ) ) 已经吸引了不少数学 家的注意，现在证实了这个几何量与子流形的拓扑性质有很大关系，在 1 4 1 5 1 中可以 看出这一点，而这些研究，与拼挤理论是密不可分的 1 2 本文的主要结论 本文研究了局部对称黎曼流形中具有常平均曲率的超曲面的一些关于截面曲率 的拼挤问题，类似文献【1 6 】的主曲率带有某种性质的超曲面，证明了下面两个定理： 定理a 设m n 是局部对称d p i n c h i n g 黎曼流形“+ 1 中的紧致超曲面，且具有常 平均曲率，若 护的主曲率九满足条件 则当m n 的截面曲率 + “卅1 t = n h , v x 护 i 时，m “必定为下列情况之一 1 m n 是n n + l 的全脐超曲面 p q j l j 1 一d 2 u = 0 ，m “是s “+ 1 ( 1 ) 中的平坦空间，这时计1 = s n + l ( 1 ) 一2 一 东北大学硕士学位论文第一章引言 定理b 设m n 是局部对称6 一p i n c h i n g 黎曼流形“+ 1 中的主曲率非负的具有常平 均曲率的紧致超曲面，则当m n 的截面曲率 t j ( 口一n h 2 ) ( 1 6 ) 盯 时，此时的“+ 1 = s n + l ( 1 ) ，m ”的截面曲率忍埘0 另外，本文第三章还讨论了全脐子流形与迷向子流形的关系，得到如下结论： 定理cm n 是黎曼流形n + p 的全脐子流形当且仅当m “是v “+ p 的a = 俘的 迷向子流形+ + 文献f 1 7 】于1 6 8 页略自表述，可惜h ：是很完整 东北大学硕士学位论文 第= 章预备知识 第二章预备知识 帚一早 丁贝亩大u 职 本章介绍黎曼子流形的概念，黎曼子流形的基本方程和基本公式，和一些特殊子 流形的概念和性质，为本文结论的证明提供一些准备 2 一拓扑流形与微分流形 设m 是一个拓扑空间，若对于m 的任意两点z ，y ，总存在。的邻域和的邻域u y ， 使 n g 其中a 是空集，则称m 为一个h a u s d o r f f 空间 假定舀是拓扑空间m 的一个基，若b 是可数的，则称m 为一个满足第二可数公理的 拓扑空间 设m 是一个满足第二可数公理4 的h a u s d o r f f 空间，若m 的每一个开邻域u 在 映射圣u 下均同胚于r ”的一个开集，则称m 为一个n 维拓扑流形c v ) 称为拓扑流 形m 的一个坐标卡 设( u 西矿) 和( u 皿y ) 是拓扑流形m 的两个坐标卡，j t u nv a ，如果映射 v 。西孑1 ：西u ( v n 矿) q 皿y ( u ny ) 垂矿。皿孑1 ：皿v ( 矿ny ) q 壬厂( 矿n y ) 均为g ”类的，则称( 玩o r ) 与皿v ) 为伊一相容的，如图2 1 所示 如果n 维拓扑流形m 的一个坐标卡集 a = ( 巩，奶) h = 1 ，竹，) 满足： 1 u 巩= m ； 0 2 ，v i ，j ，若巩n 。，则巩与是g ”一相容的； 第一可数公理这一条件对于定义拓扑流形并非必要的，这里是为了方便后义定义微分结构而加的 - 5 - 查兰垄堂堡主兰堡垒圭 苎三主要查堑堡 图2 1 ：微分结构示意图 f i g 2 1 ：t h es k e t c hm a po fd i f f e r e n t i a ls t r u c t u r e 3 对于m 的另外一个坐标卡( 暇t ) ，若它与4 的每一个坐标卡g ”一相容，则( 彤t ) a ， 由此称坐标卡集a 为拓扑流形m 的一个a r 一微分结构 若札维拓扑流形m 具有一个伊一微分结构，则称m 为一个n 维微分流形当r = 。时，称m 为光滑流形 2 2 黎曼流形及其截面曲率 设m 是一个光滑流形，t m 是m 的光滑切向量丛，若m 上存在一个二阶张量场9 ， 对于每一点z 和x ，y 死m ，有 1 m ( x ，y ) = 啦( y ，x ) ； 2 g x ( x ，x ) 0 ，当且仅当x = o 时取等号 则称张量场g 为光滑流形m 的一个黎曼度量 对于每一个光滑流形，黎曼度量总是存在的【18 1 若在n 维光滑流形m 上定义了黎 曼度量9 ，则该光滑流形称为n 维黎曼流形，记作( m ”，9 ) 或m “在找出与黎曼度量g 相 容的唯个黎曼联络v 后( 如何找及证明可以参见【1 9 ) ，定义黎曼流形m ”关于该 线性联络v 的曲率张量场 r ：t m o t m o t m q t m 忾 东北大学硕士学位论文第= 章预备知识 为 r ( x ，y ，z ) = v x v y z v y v x z v x y 1 z 设过黎曼流形m “的某一点p 的一个二维平面e 轫是由向量和口所张成的，定义流 形m “在平面翱上的截面曲率为 ( 曲= 丽拱滁 这里 r ( x ，y ，z ，w ) = g ( x ，r ( z ，w ，y ) ) 在点p 上的所有截面曲率反过来可以唯一决定该点的曲率张量，参见【1 7 18 2 3 黎曼子流形 设。维微分流形m 是黎曼流形n + 珀浸入子流形【20 1 ，浸入映射【2 0 】为，则在局部 上，是嵌入【2 0 】的，从而映射，在局部上是一一的假定微分流形m 和黎曼流形”+ p 的 局部坐标域分别用 u z ) ， v g b 表示且 y a = y a l ，x 2 ，- - - ，z n ) 其中对相关指标的取值范围约定如下： 15 ，j ，k ， 一，礼，n + l n ，卢1 ，n + p ， 1 a ，b ，c ，t ，sn + p 为了方便，人们将m 上的向量场x 与x 在切映射 下的像 ( x ) 看作同一个向量 场那么x 在m ，n + p 中分别可以局部地表示成 x = x 。瓦0 x 刊x ) = 蕃 两g ) y a 丽( 9 东北大学硕士学位论文第= 章预备知 只 需要说明的是： ( x ) 未必是n “+ p 上的向量场，因为，不一定是从m 到”+ p 的嵌入映 射，因而也不一定是满射 若n + 叫，有向量场又，满足当限制在m 的像，( m ) 上时，有 丙m = x 称又为向量场x 在n n + p 上的一个扩张很明显，m 上任意向量场的扩张总是存在的 由此自然地可以通过n n + p 的黎曼度量歹诱导出 上的黎曼度量 g = f + ( 可) ， 或 g ( x ，y ) = 虿( 又，丫) 其中，+ 是浸入映射，的拉回映射【2 1 1 这样m 也成为黎曼流形，称似为”+ p 的黎曼 子流形，简称为n 押的子流形，记作( m “，g ) 或m “，g 称为虿的诱导度量，p 称为子流 形m n 在n + p 里的余雏数 2 4 子流形的基本公式 2 4 1g a u s s 公式 子流形m n 的向量场x 在时p 中的扩张又具有如下一些性质 1 i x ，y 】：障，司i m 假定 又2 莩杀，y 5 等尹老； x 2 台e n i 面o y a 丽0 ，y 5 丢p 篝亳 则 叉4 i m = 莩面o y a ，尹i m = 莩y 7 两o y b m旦跏 日 一y 日 旦溉岳 a x a i | m yx 东北大学硕士学位论文第= 章预备知识 = 车障( _ b o 驯f amy b o 蜘x a 村) 去 = 车荨( x b 筹o x a 肋、0 j 2 障击，；护去j 年，y 一 2 ( 叩) i 埘= _ x y 其中可是叶p 上的黎曼联络 它可以这样得到， 瓣i m2 - 赤善f b 亳m = 丢尹甏i m + a r , b 咖眠硝a 到o y bm 2 毛x a 筹去+ 丢x a y b 可赤老= _ x y 对任意点z m n ，用碍m 表示切空间b m 在b 中的正交补，记 t 上m = u 世彤 z m “ 是m n 的法向量丛，这时可以把限制在 护上的切向量丛t i m 分解成 t n i m = t 上m o t m 其中。表示直和 下面由黎曼流形n n + p 的黎曼联络诱导出子流形的与度量g 相容的无挠线性联 络v 对胃k y 作直和分解，记为 v x y = v x y + h ( x ，y ) ( 2 1 ) 其中v x y t m ，h ( x ，y ) t 上m 对于m “上的光滑函数，g 有 可f x g y = v i x g y + h ( f x g y ) 9 查苎苎曼兰堕：兰堡垒圭 苎三主至查堑望 由于可是n ”+ p 的线性联络，又有 v i x g y = f g v x y + f x ( g ) r = ，9 v x y + g h ( x ，y ) + f x ( g ) y 比较上述两式的切部和法部得到 v s x g y = f x ( g ) y + f g v x y h ( i x ，g y ) = f g h ( x ，y ) 用同样的方法可以得到 v x + y z = v x z + v y z ， h ( x + y ，z ) = h ( x ，z ) + h ( y ，z ) ； v x ( y + z ) = v x y + v x z ， h ( x ，y + z ) = h ( x ，y ) + h ( x ，z ) 由此可见，v 是m ”上的线性联络，h 是从t m t m 到t 上m 的线性映射 其次，由于可是无挠的，所以 可_ _ 一可誉= 匿，司 把它限$ , j 至j j m n 上有 v x y v y x = i x ，y 】 利用( 2 1 ) 式得到 v x y v y x + h ( x ，y ) 一h ( y ，z ) = i x ，y 】， 即 v x y v y x = x ，y 】，h ( x ，y ) = h ( y ，x ) 可见，v 也是 p 上的无挠联络，且 是对称的 另外，( 2 1 ) 式表明可枣是v x y 的一个扩张，根据度量9 的定义及v 与度量虿的 相容性有 x g ( y ，z ) = 勋( v ，z ) m 一1 n 一 东北大学硕士学位论文 第= 章预备知识 = 茸( 鼹y ，乏) i m + 可( z ，- _ z ) i m = g ( v x y ，z ) + 9 ( y ，v x z ) 即v 也是与度量g 相容的 由以上讨论知道，v 是子流形m “上黎曼联络， 是从t mxt m 至_ i j t j 。m 的对称 的线性映射，把h 称为子流形m ”上的第二基本形式，它是m ”上的( 1 ，2 ) 型张量场 把( 2 1 ) 式称为予流形m ”n c a u s s & k ，正是通过g a u s s 公式才诱导出子流形的黎曼联 络 2 4 2 w e i n g a r t e n 公式 设，q t 上m ，对向量场可x 作直和分解 _ x = 一a f x + v 妊( 2 2 ) 其中a e x t m ，v 支f t 上m 设f ，g 是m “上的光滑函数，于是有 审，x ( 9 ) = 一a g e ( ，x ) + v 奴( 必) 另一方面 v x ( 必) = i x ( g ) + ，g v 支f f g a f x 比较上面两式有 a 贰( f x ) = f g a ( x ， v 按( 必) = y x ( 9 ) f + f g v 上x 用同样的方法可以得到 a f ( x 十y ) = a c x + a f y ， v 支+ y f = v 卷+ v 七； a f + q x = a c x + a n x ， v 支( + 叩) = v 支+ v 支叩 东北大学硕士学位论文 第= 章预备知诏 这些说明v 上足t j 。m 上的线性联络，注意到a x ，a q x 分别与和q 正交，有 x 可( ，w ) = 可( v x ，q ) + 可( ，可x r j ) 酉( v 支f ，叩) + 虿( ，v 支q ) 可见，v 上是从t m t 上m 至u t 上m 与度量虿相容的线性联络，把v 上称为子流形m “的法 联络，( 2 2 ) 式称为子流形的w e i n g a r t e n 冬式，并且把变换 a ：t mq t m 称为子流形的w e i n g a _ r t e n 变换 2 5子流形的第二基本形式和子流形的平均曲率 选取”却的单位正交标架场 e a ，使得当限制在子流形m “上时， e 1 ) 是m “上的 切标架场， e o t ) 是m “的法标架场 记 he ：，e j ) = 嚼e 。 定义子流形的第二基本形式模长的平方 a = i h ( e i , e j ) i = ( 嚣) 2 ( 2 3 ) t , y d 0 ，j 定义子流形m n 的平均曲率向量 h = ：砾。， 定义子流形m n 的平均曲率 h = i h j = ； e 。) = ：螺e 。 一；( 驯2 ( 24 ) 平均曲率日是一个与单位正交标架场 。 ) 选取无关的量令 勤) 是v 时p 的另一组单 位正交标架场，则 酞= a a z e ；? ， 口 一1 2 东北大学硕士学位论文 第= 章预备知识 黾= 叼 其中( 。口) p p ( a q ) 。都是正交矩阵这里的正交矩阵 ( a a b ) ： a n l 0 n + m + l 。a n + p n + p 是从 e ) 到 南) 的过渡矩阵 e a ) 决定的平均曲率向量 自= i 九( 黾 ：莩 ( 莩。巧勺，莩e * ) = ；莩莩吗九c q ，勺， = ：h ( 勺，唧) = h j 可见平均曲率是与单位正交标架场选取无关的量 下面再看看子流形的第二基本形式是与w e i n g 粗t e n 变换a f 的关系考虑到m ”的 切向量场x ，y 及法向量场f ，有 据卅p 的联络可的度量相容性，有 而注意到 于是就有 成立 可( ，y ) = 0 v x y ( ，y ) = 歹陬f ，y ) + 可( ，_ x y ) = 0 可( _ ) ，y ) = - g ( a x ，y ) 可( ，铽y ) = 可 ，h ( x ，y ) ) g ( x ，y ) = 可( ，h ( x ，y ) ) 东北大学硕士学位论文 第= 章预备知识 2 6 子流形的基本方程 设m “是黎曼流形“+ p 的黎曼子流形，用( u a 表示单位标架场 e j 4 ) 的对偶标 架场，即 w a ( e b ) = 5 a b 在m ”上，由于( e i ) = 0 ，可见u 。= 0 从而 0 = 幽n = u 。i a w i + p 叼= t tdi 其中u 丑表示叶p 的联络形式9 = 是据c a r t a n 引理f 1 8 】可以设 对e n 取绝对微分【1 7 】有 严o 嚣，喝；喂 j d e a = “唧。e j + 口 e p ， j0 因此就有 如。e i = 一_ e e 0 上= - ( d e 。) ( e t ) 产= 一。嚣唧 ， 另一方面，由于 如。e i = 嚣勺， j 可见 喝= 一九嚣，= 一嗨出 ( 2 5 ) j 由于子流形m ”是由微分流形m 通过嵌入到黎曼流形外p 定义的，并且 7 h g a u s s 公式可以定义m “的黎曼联络，自然地可以由这个无挠联络定义子流形m n 的联络形式如下： n 孑= 一；翰删a w l = 也嘞一w i k aa ) k j 一k , l k 其中匾埘是m “上的曲率张量兄的分量黎曼流形“+ p 上的结构方程 岫= 呐k a w k j + a w a s k d ；k i j a b w a a w b ， ( 2 6 ) “a b 东北大学硕士学位论文第= 章预备知识 d w i 。= 蝴a w k 。+ 叼a 咄，一；髓。a b a j aa w b ， ( 27 ) 南w a b d w 。p = 唧+ u 。1 “佃一；1 ，4 b w aa w b ， ( 28 ) i1a ，b 其中地b g d 是n “+ p 的黎曼曲率张量的分量 把它们限制到m n 上有g a u s s 方程，c o d a z z i 方程：和r i c c i 方程，计算如下，把( 26 ) 式 限制到m ”上，可以写成 一；g i j k l 0 2 ka w l 一；p h j k l w k a w l = 呦， 。k fk , l n 利用( 2 5 ) 式，右边化简 左边化简为 岫。a w 。j = h j w k h 鼽= 咏峭u k a w i = 喂蝴岘a w l + h j h t l w k a w i = ( 啄娟一九孟喙) u t a 一；( 确“一r 州) w k a = ；( 翰州一m 一心m + 嘞拙) u t “ k , 1 k l = ( k i j k l l h j k z ) w ka 咄z k 0 ) 是局部对称的，通 过计算，可以得到其黎曼曲率张量 1 k a b c d2 素( g a c g b d 一_ a d 虿日g ) ， 都是常数，由此可以得到( 。) 是局部对称的并且可以把这个结论推广到常曲率黎 曼流形，即常曲率黎曼流形都是局部对称的，详细证明可以参见 1 7 1 下面假定m n 是局部对称黎曼流形时1 的超曲面，考察+ l 玎的在8 j 方向上 的协变导数j 毛+ 1 玎k ，z 【2 l 删，f 呻= d 删k + 啪九m f 咄 fm 。f ( 州”_ - i k h j l + 圳n + l h k l 0 2 1 ) f 其中d + l 啦= z + 1 甜埘由于“+ 1 是局部对称的，于是从上式可以得到 k k + 1 j 州= b 1 f 乇+ 1 i 。+ l 七+ 肼k k + l 甜礼+ l 一乏二 l m k 翻k ( 2 1 3 ) m 其中+ 1 l = e l ( + 1 巧) ，这就是关于 p 第二基本形式与黎曼曲率张量场的一个 重要关系式 2 1 0 黎曼流形上光滑函数的l a p l a c i a n 本节介绍黎曼流形上光滑函数的l a p l i a n 的定义及部分性质和h o p f 引理，更详 细的介绍可以参考【17 】 一1 9 东北大学硕士学位论文第= 章预备知识 2 1 0 1af 的定义及局部表示 设，是黎曼流形m ”上的光滑函数，x 是m ”的切向量场，记 x = 膏杀 x i 沿百。五的协变导数为 x 名= 篆+ p r 称i 碣为向量场x 的散度，记作 d i v x = x j 函数，的梯度g r a d f 是一向量场，它满足 g ( g r a d f ，y ) = y f 其中y 是m n 任一个切向量场 设g r a d f = ，嘉，由上式可以得到 ，( g r a d f ，刍) = ，蜘= 两o f 硝 从而得，= ，2 = 舭，g k j 9 3 + = 舀若，因此有 鲫d ，2 等萨两o f 丽o 光滑函数，的梯度的散废d i v g r a d ，称为，的l a p l a c i a n ，= d i vg r a d f = 蜉 。莩差+ 等加。 = 莩差( 莩茜) + 募扩瓦o f 略 c z t a ， 东北大学硕士学位论文 第_ 二章预备知识 记g = ( g i j ) ，l g i = d e t ( g 。j ) ，g1 = ( g i j ) ，贝4 一o l c l ： a z 鲁 9 1 1 g l n 啦舡 g n l g r m o g i j ，g 。 t j 其中g 玎是g = ( ) 元素趵的代数余子式，又 = 高g 小 所以 瓦ol n f g l = 高筹= 等g i j o g i j ga z 七1 。 a z k 。： 口茁七 另外。 ；5 、o 慨g k l + 瓯o g l i 一面o g i k ) ；去l n i g | _ ( 2 1 5 ) 由( 2 1 4 ) ，( 21 5 ) o j 以得到 ，2 而1 莩蕞1 厢莩若l c 21 6 ， 或者写成 ，= 善器+ 荨 磐+ 秒1 ，篱掣 苗 当诜取标准诈交标架场e 1 ，e ，e n 时，由于产：e ；f ) 及g o = 也，可得 a f = 撵= 如= e z ( e t ，) i ti 本文计算函数l a p l a c i a n 时就使用这个算式 2 1 0 2 l a p l a c i a n 算子运算法则 梯度和散度有下列运算法则： 2 1 东北大学硕士学位沦文 第二章预备知识 1 d i v ( f ( x ) ) = ：= = f x + x f 2 d i v ( x + y ) = d i v x + d i v y 3g r a d f 2 = 2 f g r a d f 下面简要证明一下 i g x = 。x 。两o ，y = 。y i 蠢，则 a i v 慨卜莩降+ 驴媚 = ，莩筹+ 莩差f + ，等r i = f d i v x + x 丢则l 成豆 由于x + y = ( + y 。) 杀，得 叭( x + y ) = 篙掣+ ( 肌泖易 = 面o x * + r 毛十年z o 弛o , + y 骨毛 ：d ；v x od ；、，v 法则2 成立 n n g r a d f = e ”g 灯籍矗，所以 s 训，。- 驴筹去叫耐 法则3 成立 l a p l a c i a n 算子的运算法则有： a ( f h ) = h a f + h a f + 2 ( g r a d f ，g r a d h ) 可以这样证明： 东北大学硕士学位论文 第j 章预备知识 删= 壳i 旦o x li 俩p 掣l = 。高莩去l 洞莩( ，两o h 考) i = ， + n ，+ - 丽1 莩差厢莩户两8 h + 。丽1 莩差洞莩萨两o f = ，h + h ，+ 。等瓦o f 两o h 2 1 0 3h o p f - b l 理 设，是m n 上的光滑函数，如果，= 0 ，称，为m “上的调和函数；如果，0 ， 称，为m n 上的下调和函数；如果，s0 ，称，为m “上的上调和函数， 设，是n 维紧致连通的黎曼流形m “上的调和函数，则 ，= c o d s t 这就是h o p l o i n 把上面的条件分别改为上调和函数，下调和函数时，结论也成 立，详细证明可以参考【2 1 或【1 7 人们把这两结论分别称为h o p 极大原理和t t o p f l z j 小原理 末北大学硕士学位论文第三章主要结论厦证明 第三章主要结论及证明 3 1关于全脐子流形与迷向子流形关系的一个结论 在文献 1 7 】中，从全脐子流形的性质出发得到全脐子流形是一种a = h 的迷向子 流形的结论，本文从另一个角度一迷向子流形的定义出发，给出全脐子流形与迷向 子流形的关系 先考察a = 碍的迷向子流形的一些性质设子流形m ”是黎曼流形”+ 9 的a = 、，偿的迷向子流形，据迷向子流形的定义有 a = l ( q ，e t ) l = l 螺e n 即 痧2 候 ( 2 = i ，v i ( 3 1 ) 另外，据式( 2 3 ) 和( 3 1 ) ，子流形m “的第二基本形式模长的平方 一= ( 蟛) 2 + ( 哟) 2 = 盯+ ( 惕) 2 ( 3 2 ) ni n 辞吁n 睁寸 于是有 蜴= 0 ，i j ，v a 因此可以得到如下结论： 定理1 设m n 是黎曼流形时p 的子流形，e l ，+ p 是“却的任意一组标准正 交标架场，则m ”是a = 、，信的迷向子流形的充要条件是对于”却的标准正交标架 场 e a ) 有 九为= 0 ，i j ，v a ( 3 3 ) 证明：必要性上面已经得到证明了，以下证明充分性取卅p 的标准正交标架 场 e a ) ，且满足条件( 3 3 ) ，则 ( e j ) = 咯e 。= 0 ，i j 一2 5 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论及证明 显然( e t e j ) 、，互，( e t + e ) 以也是某组标准正交标架场的两个切向量场，因此也 有 n ( 专，e i 以+ e j _ | = ；丢( 鹾一场) e 0 = 。， 对于任意a ，i j 都成立，于是有 一方面，由式( 3 3 ) 和式( 3 4 ) 得 螺= 吩 盯= n ( 2 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 另一方面，由式( 3 4 ) 和式( 3 1 ) 得 忡神i ) 1 = i 螺e 。i = i 吩e 0 = i h ( e j ，酬， ( 3 6 ) aa h ( e i ，e t ) i = = 因此，对于m “的任意单位切向量场石= j 呵，其中( ) 2 = 1 ，据式( 3 6 ) 有 崛司j = l a i h ( e j 圳= ( 奶2 i h ( e j 矧l = 据 l jj 可见，m ”是a = 僵的迷向子流形口 由上述定理，又可以得到如下结论： 定理2m ”是黎曼流形”却的全脐予流形当且仅当m ”是“+ p 的a = 、，倍的迷向 子流形 证明：充分性设m “是“却的a = 吾的迷向子流形，对于任意一个切向量场q ， 有 h ( e l ，e i ) = 镌e 。 o 由式( 24 ) 和式( 3 4 ) 得 h = ； 鲁e 。= 鹾e 。= 危( e 柏) ， ( 37 ) dzd 东北大学硕士学位论文 第三章主要结论及证明 设荟是m “的任意单位切向量场，记爸= ja j e j ，其中，( n ) 2 = l ，据式( 37 ) 有 ( 爸，爸) = a j a k ( e ，：e 女) 一h ( e j ，e j ) 一h j , k 因此，m n 是n + p 的全脐子流形 必要性i r m ”是n 叶p 的全脐子流形，选取“+ p 的标准正交标架场 e a ) ，由全 脐子流形定义易得 螺= 务，i j ( 3 8 ) 同时( e 。+ e j ) 以( i j ) 也是m ”的单位切向量场，有 ( 等，警) = n 而 n ( 等，等) = 扣( e ) + 2 h ( e i ，e j ) + h ( e j ，e j ) h + h ( e i ，e j ) 可得h ( e i ，e j ) = 0 ，i j ，这时 一= n ( 螺) 2 于是对m “的任意单位切向量场爸= j a j e j ，其中j ( 2 = 1 ，有 ( 石，石) | 所以m “是叶p 的a = 僵的迷向子流形口 h ( e j ，e j ) 3 2 局部对称空间中具有常平均曲率的超曲面 用n + l 表示截而曲率确v 满足条