（基础数学专业论文）一类退化二阶椭圆型方程边值问题的适定性及解的高阶正则性.pdf

一类退化二阶椭圆型方程边值问题 的适定性及解的高阶正则性 摘要 本文第一章研究一类二阶退化椭圆型方程边值问题的适 定性该类问题与几何中无穷小等距形变刚性问题的研究密 切相关，而这类方程的特征形式在所研究的区域上是变号的， 即在有的子区域上非负，而在其余的子区域上非正其适定 性是值得深入讨论的我们得到这类问题的日1 弱解的存在 性和唯一性 第二章致力于在有界周期区域上讨论一类退化椭圆型方 程d i r i c h l e t 问题的解的高阶正则性这类问题与双曲空间 中极小图的d i r i c h l e t 问题，以及曲面的无穷小等距形变刚性 问题都密切相关，其解的正则性在几何问题的研究中尤为重 要因此，解的正则性值得作进一步的讨论最后，我们得到 一个涉及解的高阶正则性的充分必要条件 到目前为止，人们还没有标准的方法来处理此类问题 因此，本文所使用的方法或许有助于更一般的退化二阶椭圆 型方程的研究 w e l l p o s e d n e s sa n dh i g ho r d e r r e g u l a r i t yo fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rac l a s so f d e g e n e r a t ee l l i p t i ce q ua t i o n s a b s t r a c t i nc h a p t e r ，w es t u d yt h ew e l i - p o s e d n e s so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ras p e c i a lc l a s so fd e g e n e r a t ee l l 咖t i ce q u a t i o n sc o m i n g f r o mg e o m e t r y s u c hp r o b l e m si si n t i m a t e l yt i e dt or i g i d i t yp r o b l e ma r i s i n gi ni n f i n i t e s i m a li s o m e t r i cd e f o r m a t i o n ，t h ec h a r a c t e r i s t i cf o mo ft h i sc l a s so fe q u a t i o n si sc h a n g i n gi t ss i g n si nt h ed o m a i n t h e r e f o r et h ew e l l p o s e d n e s so ft h e s ea b o v ep r o b l e m sd e s e r v e t om a k ea f u r t h e rd i s c u s s i o n n e x tw eg e tt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fh 1s o l u t i o nf o rs u c hb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e r 乏w ed e v o t et od i s c u s st h eh i g ho r d e rr e g u l a r i t yo f s o l u t i o n st ot h ed i r i c h l e tp r o b l e mf o rt h ed e g e n e r a t ee l l 咖t i ce q u a t i o n sy ( w u 。+ u + c u ) + a u z m u = fi nab o u n d e dp e r i o d i c d o m a i nq s u c hp r o b l e m sa r ev e r yc l o s e l yr e l a t e dt ot h ed i r i c h l e t p r o b l e mf o rm i n i m a lg r a p h si nh y p e r b o l i cs p a c ea n dt h er i g i d i t yp r o b l e ma r i s i n gf r o mi n f i n i t e s i m a li s o m e t r i cd e f o r m a t i o no fs u r f a c e s b e c a u s eo ft h er e g u l a r i t yo fs o l u t i o n sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h e s t u d yo fg e o m e t r yp r o b l e m s t h e yt h e r e f o r ed e s e r v et om a k ea 咐一 t h e rd i s c u s s i o n f i n a l l y ，w eg e ta s u 疗i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n ， w h i c hc o n c e r n sw i t ht h eh i g ho r d e rr e g u l a r i t yo fs o l u t i o n sf 0 7 s u c h p r o b l e m s t on o wt h e r eh a sb e e nn os t a n d a r dw a yt od e a lw i t hs u c h k i n do f p r o b l e m s ，a n ds o m ec r u c i a lp r o b l e m sr e m a i nu n s o l v e d t h e r e f o r e m a y b eo u rm e 冼o d sa r eh e l p f u li ns t u d y i n gt h eg e n e r a ld e g e n e r a t ee l l 咖t i ce q u a t i o n s 关键词：蓝面的无穷小等距形变刚性问题，退化椭圆型 和抛物型方程，先验估计，适定性，有界周期区域，d i r i c h l e t 问题，双曲空间中极小图，解的高阶正则性 k e yw o r d sa n dp h r a s e s r i g i d i t yp r o b l e ma r i s i n gi ni n f i n i t e s i m a li s o m e t r i cd e f o r m a t i o no fs u r f a c e ，d e g e n e r a t ee l l i p t i ca n d p a r a b o l i ce q u a t i o n s ，p r i o re s t i m a t e ，w e l l p o s e d n e s s ，b o u n d e dp e r i o d i cd o m a i n ，d i r i c h l e tp r o b l e m ，m i n i m a lg r a p h si nh y p e r b o l i cs p a c e ， h i g ho r d e rr e g u l a r i t yo fs o l u t i o n s m r ( 2 0 0 0 ) 主题分类3 5 j 7 0 3 5 8 6 53 5 j 6 03 5 j 2 5 2 0 0 0m a t h e m a t i c ss u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n p r i m a r y3 5 j 7 0 s e c o n d a r y3 5 8 6 5 ，3 5 j 6 0 ，3 5 j 2 5 第一章一类退化二阶椭圆型方程边值问题的适定性 c h a p t e r1w 色u p o s e d n e s so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o ra c l a s so fd e g e n e r a t ee l l i p t i c e q u a t i o n s 1 1 i n t r o d u c t i o n i nt h i ss e c t i o n ，w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h eh i s t o r yo ft h er e s e a r c h t od e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n sa n ds o m eg e o m e t r i cb a c k g r o u n d st o ac l a s so fd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n sw h i c hw ea r ec o n c e r n e dw i t h n e x tw ew i l lp u tf o r w a r dt h em a i nq u e s t i o no ft h i sp a p e r i nt h e l a s tp a r to ft h i ss e c t i o n ，w ew i l ls u m m a r i z et h em a i nr e s u l ta n di t s t r i v i a lg e n e r a l i z a t i o na b o u te x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sf o rs o l u t i o nt o s u c hac l a s so fe q u a t i o n s 1 1 1 h i s t o r i c a lr e m a r k sa n db a c k g r o u n d s i nt h i ss u b s e c t i o n ，w ew i l li n t r o d u c et h eb r i e fh i s t o r ya n dt h e c u r r e n ts t a t u so fi n v e s t i g a t i o na b o u tt h ed e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a - t i o n s w eo b s e r v et h ee q u a t i o n l u 三。叼乱z ，z ，+ b k u + c u = ， i nq ， w h e r eu z k = o u o x k ，乱z 坷，= 0 2 u o x i o x je t c a n dt h ei n d e xi ，j ，k r u n sf r o m1t o 礼a n dr e p e a t e di n d i c e si m p l ys u m m a t i o n ( f r o m n o wo nw ew i l lu s es u c hs u m m a t i o nc o n v e n t i o nt h r o u g h o u tt h i s p a p e r ) i ff o ra n yv e c t o r = ( i x ，矗) 碾”，a z 3 ( z ) 6 6 0f o r a l lz = ( x l ，x n ) q 础t h e nl u = fi sc a l l e ds e c o n do r d e r p d ew i t hn o n n e g a t i v ec h a r a c t e r i s t i cf o r m ，a n da l s oc a l l e ds e c o n d o r d e rd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n ，o rs e c o n do r d e re l l i p t i c - p a r a b o l i c e q u a t i o ni nd o m a i nq t h e yc o n t a i ne l l i p t i ce q u a t i o n p a r a b o l i c 1 2 第一章w e l l - p o s e d n e s so fb v p sf o rac l a s so fd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n s e q u a t i o n ，o n eo r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b r o w nm o t i o ne q u a t i o n a n ds o m di m p o r t a n te q u a t i o n si n t r o d u c e dl a t e r t h es t u d yo fd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n sc a nb et r a c e db a c k t o1 9 1 0 s ，f i r s ta p p e a r e di np i c o n e st h e s i s a f t e rt h a t ，t h et r i c o m i s r e s e a r c hr e p o r t 1 】a n dh i sr e s e a r c ho nt h em i x e d t y p ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n b e s i d e s ，m v k e l d y 2 1 ；f i c h e r a ；j k o h na n dl n i r e n b e r g 3 】；o a o l e i n i k 4 】， 5 ；e v r a d k e v i 6 7 e t c ，t h e ya l l d om a n yw o r k sf o rl a y i n gaf o u n d a t i o ni nt h i sf i e l d a f t e rh a l fc e n t u r y sd e v e l o p m e n ti nt h i sf i e l d ，o a o l e i n i ka n de v r a d k e v i 5 ， p u b l i s h e dt h e i rc l a s s i c a lm o n o g r a p h 6 i n1 9 7 1 t h e i rm o n o g r a p h s u m m a r i z e dt h et h e o r i e sd e v e l o p e db e f o r e1 9 7 0 s ，a n de s t a b l i s h e da g e n e r a lf r a m e w o r kf o rt h et h e o r i e st os e c o n do r d e rd e g e n e r a t el i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s t h e ys t a t e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fw e a ks o l u t i o nf o rt h eg e n e r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mt os u c h e q u a t i o n si nl ps p a c ea n ds o m eh i l b e r ts p a c e s ，a n dm a d eac e r t a i n f u r t h e rc o n t r i b u t i o nt ot h er e g u l a r i t yt h e o r i e so fw e a ks o l u t i o n sf o r t h eg e n e r a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m st os u c he q u a t i o n s d u r i n gt h e p a s tt h r e ed e c a d e s ，s e v e r a lp r o g r e s s e sh a v eb e e nm a d ei nt h er e s e a r c ho fs e c o n do r d e rd e g e n e r a t el i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s b u tw e o n l ye n u m e r a t et h ep a r t i a lw e l i k n o w na n dr e p r e s e n t a t i v ew o r ka t h e r e f o ri n s t a n c e l c a f f a r e l l i l n i r e n b e r ga n dj s p r u c k 8 h a d s t u d i e dt h ed e g e n e r a t em o n g e - a m p & e e q u a t i o n ；h b r e z i sa n dp l l i o n s 【1 0 】h a ds t u d i e dt h ey a n g - m i l l se q u a t i o n x 2 a u + 2 u = f ( u ) d e s c r i b i n gg a u g ef i e l d s ；e b f a b e s ，c e k e n i ga n dd j e r i s o n 【1 1 h a ds t u d i e dt h eg e n e r a ld e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o nw i t ht h ed i v e r - g e n c ef o r m 侥( 晓巧( z ) 岛乱) = f ( x ) a n ds oo n ag e o m e t r i cb a c k g r o u n d f a n g h u al i n 9 h a ds t u d i e dt h e 1 1 i n t r o d u c t i o n 3 f o l l o w i n gd i r i c h l e tp r o b l e mf o rm i n i m a lg r a p h si nh y p e r b o l i cs p a c e 比羔计吣u，0i 1 ， nf 2 ， 卜7 【，l a n = 0 o na q ， w h e r e qc r n ，n 兰2 ，i s a b o u n d e do p e n d o m a i n ；i d f l 2 = 翟l 坪，五 厶。f o r0 i n o b v i o u s l y , b yd i r e c tc o m p u t a t i o nw ek n o wt h a t t h ee q u a t i o n ( 1 1 1 ) i sj u s tt h ee u l e r l a g r a n g ee q u a t i o no ft h ev a r i - a t i o n a li n t e g r a l a ，k _ 厂“ 1 + i d f l 2 d x f o ra l lc o m p a c ts u b s e t sko fq s i n c eg r a p h ( f ) i sac i ，o l _ m a n i f o l d w i t hb o u n d a r yi n 融+ 1 a n ds i n c et h et a n g e n tp l a n e so f9 r a p h ( f ) a l o n gt h eb o u n d a r ya qa x ev e r t i c a l ，w ev i e wg r a p h ( f ) n e a ra p o i n t a ta qa sa g r a p ho v e rs u c ha v e r t i c a lp l a n e t h i si se q u i v a l e n tt o t h eh o d o g r a p ht r a n s f o r m a t i o no f ( 1 1 1 ) t h e nt h ec o r r e s p o n d i n g p d e f o rt h ef u n c t i o n 札w h i c hr e p r e s e n t st h eg r a p h ( f ) i s 舭一尚一u i n 耐( o ) ，( 1 1 2 ) iu ( 茁，0 ) = 妒( 茁) f o ri 茁i 1 ， w h e r eb 产( o ) = ( z ，y ) 哗：i x i 1 ，0 茎y 1 ) t h i si sa d e g e n e r a t eq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n f a n g h u al i ns h o w st h e s o l u t i o n s 钍o f ( 1 1 2 ) a r ea ss m o o t ha s 妒i nb 卉，( o ) ，a n du s et h i s f a c tt op r o v et h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m 可a qi s 巧c l a s sc 8 一，t h e ng r a p h ( ) i sac 。h y p e r s u r f a c ew i t hb o u n d a r y f o r e i t h e rp j1 k n 一1a n d 0 a 1 o rf 矽n k 。a n d0 o l 0 ，t h e n ( 1 1 9 ) i so fn o n n e g a t i v ec h a r a c t e r i s t i cf o r ma s0 0 三，a n di s o fn o n p o s i t i v ec h a r a c t e r i s t i cf o r ma s 吾0 0 i nt h es a m ew a y , o n em a yc o n s i d e ra n o t h e ri n f i n i t e s i m a li s o - m e t r i cd e f o r m a t i o no fs u r f a c e 尹i nt h ef o l l o w i n g 疋= 产+ e 五十e 2 而+ _ 一d e n o t e 矗= ( l ，叩1 ，( 1 ) ，雹= ( 1 ，r 2 ，已) ，a n ds oo n w er e s p e c t i v e l yc a l l 元，而t h ef i r s to r d e rd e f o r m a t i o nv e c t o r ，t h es e c o n do r d e r d e f o r m a t i o nv e c t o r ，e t c o b v i o u s l y ， g e = ( d 疋，d 最) = ( d td 刁+ 2 e ( d 最口匾) + e 2 2 ( d 最d 骨2 ) + ( d t l ，d 丁1 ) h d ( e 3 ) i f 吼= ( d cd 刁+ 0 ( e 3 ) ，t h e n 五a n d 卮s h o u l ds a t i s f yt h ef o l l o w i n g s y s t e m s ， i ( 妃d 矗) = 0 ， 【( 珉蜗) = 一 ( d 丁1 ，d n ) w em a ya n a l o g o u s l yd e f i n i t ea n dd i s c u s st h er i g i d i t yo ft h es e c o n d o r d e r ，e v e nh i g h e ro r d e ri n f i n i t e s i m a li s o m e t r i cd e f o r m a t i o no fs l l r - f a c e 矿b u ti nh e r ew eo n l ys h o wt h a tg eg i v e sr i s et oas e c o n d o r d e ri n f i n i t e s i m a li s o m e t r i cd e f o r m a t i o no fgi fg ei se q u a lt ogu p t os e c o n do r d e r ，i e ， c o n s e q u e n t l y , ( a g j d 41 = 0 = ( d 2 9 。d c 2 ) b = 0 掣b 型d e 2 “i 酬：d k ( e ) 矿万d 2 ( ( e ) b 。 a n dt h e n ，t h e nt w oo r d e rd e r i v a t i v eo f t h ed a r b o u x e q u a t i o n ( 1 1 5 ) f o rz + e ew i t hr e s p e c tt oe ，l e t t i n ge = 0 ，g i v e s ( 元两d i jv i i 已+ 2 ( v z , v 白) = 一号凳蕞凳誊孚一j v 臼j 2 ) ( ，。) w h e r e ( 1a n d 白r e s p e c t i v e l yi st h et h i r dc o m p o n e n to f 元a n d 曷 8 第一章w e l l - p o s e d n e s so fb v p sf o rac l a s so fd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n s r e m a r k1 1 1 ( 1 1 8 ) i st h el i n e a r i z a t e de q u a t i o no f ( 1 1 5 ) i n a d d i t i o n ，( 1 1 8 ) ，( 1 1 1 0 ) a n dt h el i n e a r i z a t e de q u a t i o no f ( 1 1 2 ) a l la r eb e l o n gt ot h es a m ec l a s so fd e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n t h ed e g e n e r a t ee l l i p t i ce q u a t i o n sw es h a l ls t u d yi sv e r yc l o s e l y r e l a t e dt or i g i d i t yp r o b l e m sa r i s i n gf r o mi n f i n i t e s i m a li s o m e t r i cd e - f o r m a t i o n ，a sw e l la so t h e rg e o m e t r yp r o b l e m ，s u c ha sm i n i m a ls u r f a c ei nh y p e r b o l i cs p a c e ，e t c i np a r t i c u l a r ，t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sw i t hh i g ho r d e rr e g u l a r i t yi s v e r yi m p o r t a n tt oi n v e s t i g a t e m a n yg e o m e t r yp r o b l e m s o n ew o u l dl i k et ok n o wu n d e rw h a tc o n - d i t i o n st h es o l u t i o no fs u c he q u a t i o n sa r ea ss m o o t ha st h eg i v e n d a t a t h et h e o r yo nw e l l p o s e d n e s sa n dr e g u l a r i t yo fs o l u t i o n st o s u c he q u a t i o n s ，p l a y sac r u c i a lr o l ei nt h ea b o v ef i e l d s a n y w a y ， s u c he q u a t i o n sa r ed e s e r v e dt ob