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基于小波分析的数字图像清晰化方法研究 摘要 小波分析是处理数字图像的种很好的变换域方法，对去除数字图像噪声也 有一定的效果。但是通常影响数字图像的视觉效果，除了噪声以外，还存在其它 的因素，如图像对比度、图像亮度、图像清晰度等等。所以对数字图像仅仅进行 去噪是不够的，需要将多种方法联合起来进行综合研究。 本文首先对小波分析的理论部分进行整理，对部分公式进行修正，同时给出 了部分定理和公式详细的推导和证明，并且给出无穷区间积分的一个反例和悖 论。然后通过对数字图像处理的多种方法进行研究，重点选取小波图像去噪、小 波图像增强、灰度直方图调整、中值滤波图像平滑四种方法，在此基础上，将其 联合起来进行综合研究，给出了一种基于小波分析的数字图像清晰化综合处理方 法。这种方法按照以下步骤和流程：原始含噪模糊图像一小波图像去噪一直方图 调整一小波图像增强一中值滤波图像平滑一清晰化综合处理图像。通过对含噪模 糊图像处理，可以看出，这种方法对提高含噪模糊图像的清晰化具有一定的效果。 另外，本文中的原始含噪模糊图像灰度直方图具有近似正态分布的特点，处理后 的图像则具有偏态的特点。 通过以上研究，可以看出，本文给出的这种基于小波分析的数字图像清晰化 综合处理方法对处理含噪模糊图像具有较好的效果。 关键词：小波分析小波图像去噪小波图像增强直方图调整中值滤波平滑 清晰化 t h es t u d yo fd i g i t a li m a g es h a r p n e s sb a s e do i lw a v e l e t a n a l y s i s a b s l l r a c r w a v e l e ta n a l y s i sh a sac e r t a i ne f f e c to nd i g i t a li m a g ed e n o i s i n ga sab e h e r m e t h o do ft r a n s f o r md o m a i n b u tb e s i d e sn o i s e s ，t h e r ea r es o m eo t h e ri n t e r f e r e n c e f a c t o r sw h i c hw e a k e nt h ev i s i o ne f f e c to fd i g i t a li m a g eg r e a t l y , l i k ei m a g ec o n t r a s t i m a g eb r i g h t n e s sa n di m a g es h a r p n e s s ，c t c s ot h ev i s i o ne f f e c to fd i g i t a li m a g ec a l l t b ei m p r o v e dw e l lj u s tb yi m a g ed e n o i s i n g ，a n dw en e e da l li n t e g r a t e dm e t h o dw h i c h c o m b i n e sm a n yd i g i t a li m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d s i nt h et h e s i s ，t h ea u t h o rf i r s t l yc l e a r su ps o m eb a s i ct h e o r i e so fw a v e l e ta n a l y s i s , r e v i s e ss o m ef o r m u l a ea n dp m v e sa n dd e d u c e ss o m et h e o r e m sa n df o r m u l a ei nd e t a i l a n dg i v e sac o u n t e re x a m p l ea n dp a r a d o x a n dt h e nt h r o u g ht h es t u d yo fm a n yd i g i t a l i m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d s ，眦s e l e c ti m a g ed e n o i s i n ga n de n h a n c e m e n tb a s e do n w a v e l e ta n a l y s i s ，g r a yi m a g eh i s t o g r a mm o d i f i c a t i o na n di m a g es m o o t h n e s sb a s e do n m e d i a nf d t e r m o r e o v e r , w ed e v e l o pa ni n t e g r a t e dm e t h o do fd i g i t a li m a g es h a r p n e s s o nt h eb a s i so ft h ea b o v ef o a xn 托t h o d s t h ei n t e g r a t e dm e t h o da c c o r d st ot h e f o l l o w i n gs t e p s ：b l u r r e dn o i s yi m a g e i m a g ed e n o i s i n gb a s e do nw a v e l e ta n a l y s i s i m a g eh i s t o g r a mm o d i f i c s t i o n i m a g ee n h a n c e m e n tb a s e do nw a v e l e ta n a l y s i s i m a g es m o o t h n e s sb a s e do nm e d i a nf i l t e r - 。s h a r p n e s si m a g e t h er e s u l to fb l u r r e d n o i s yi m a g ep r o c e s s i n gp r o v e st h a tt h ei n t e g r a t e dm e t h o dh a sag o o di m a g ev i s i o n e f f e c ta n ds h a r p n e s s s ot h ec o n c l u s i o nw ec a l lc o m et of r o ma b o v ea l li st h a tt h e i n t e g r a t e dm e t h o di sa ne f f e c t i v ea n df e a s i b l em e t h o dt oi m p r o v et h es h a r p n e s so f b l u r r e dn o i s yi m a g e i nt h et h e s i s , t h eg r a yh i s t o g r a mo fb l u r r e dn o i s yi m a g eh a s c h a r a c t e r i s t i c so fa b o u tn o r m a ld i s t r i b u t i o n , w h i l et h eg r a yh i s t o g r a mo fs h a r p n e s s i m a g e h a sc h a r a c t e r i s t i c so fs k e w e dd i s t r i b u t i o n f r o mt h es t u d yo fa b o v ed i g i t a li m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d s ，w ec a nc o m et ot h e c o n c l u s i o nt h a tt h ei n t e g r a t e dm e t h o do fd i g i t a li m a g es h a r p n e s sb a s e do nw a v e l e t a n a l y s i sg i v e ni nt h et h e s i si sa ne f f e c t i v ea n df e a s i b l em e t h o dt oi m p r o v es h a r p n e s s o f b l u r r e dn o i s yi m a g e k e yw o r d s ：w a v e l e ta n a l y s i s ，i m a g ed e n o i s n gb a s e do nw a v e l e ta n a l y s i s ，i m a g ee n h a n c e m e n t b a s e d0 1 1w a v e l e ta n a l y s i s ，h i s t o g r a mm o d i f i c a t i o n ，m e d i a nf i l t e rs m o o t h n so fi m a g e ， s h a r p n e s s 第1 章引言 第1 章引言 1 8 2 2 年法国伟大的业余数学家f o u r i e r 发表“热传导解析理论，并提出f o u r i e r 变换，此后，f o u r i e r 变换成为信号处理领域中应用最广泛也是最基本的一种分 析手段。f o u r i e r 变换是一种纯频域的分析方法，它的基函数是固定的，因此在 频域里的定位是完全准确的( 即频域分辨率最高) ，而在时域无任何定位性( 即 时域无分辨能力) ，因此很适合处理平稳信号。然而现实当中，大多数信号为非 平稳信号，它们的频域特性都随时间而变化。对于这一类时变信号进行分析时， 通常需要提取某一时间段( 或瞬间) 的频域信息或某一频率段所对应的时间信息。 因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。 在充分剖析f o u r i e r 变换上述不足后，为了研究信号在局部时间范围的频域 特征，因发明全息照相技术而获得诺贝尔奖的d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年提出了加 窗f o u r i e r 变换( 又称g a b o r 变换，短时f o u r i e r 变换) 。其基本思路是给信号加 一个小窗，然后对小窗内的信号进行f o u r i e r 变换，因此可以反映出信号的局部 特征。但是s t f t 的窗函数是固定的，这对于分析时变信号来说是很不利的。一 般高频信号持续时间很短，而低频信号持续时间较长，因此，我们期望对于高频 信号采用小时间窗，对于低频信号则采用大时间窗进行分析。在进行信号分析时， 这种变时间窗的要求同s t f t 的固定时窗的特性是相矛盾的。此外，g a b o r 基无 论怎样离散，都不能构成一组正交基，因而给数值计算带来不便。 基于上述g a b o r 变换的不足之处，小波变换因此诞生。它不但继承和发展了 s t f t 的思想，而且克服了s t f t 时窗固定、缺乏离散正交基的缺点，是一种比 较理想的信号处理方法。小波变换的思想来源于伸缩与平移方法，它的起源可以 追溯到非常遥远的时代。早在1 9 1 0 年h a a r 就提出了最早的小波规范正交基，但 当时并没有出现“小波”这个词。真正起锤炼作用的是法国地球物理学家j e a n m o r l e t 。1 9 8 1 年，m o r l e t 首次提出了“小波分析”概念，建立了以他名字命名的 m o d e t 小波。但作为工程师出身的m o r l e t 自感数学理论修养不够，后来数学家 m e y e r 凭借自己深厚的数学功底对m o r l e t 方法进行系统性的、高屋建瓴的研究， 为小波分析学科的诞生和发展作出了最重要的贡献。随后，m a l l a t 、d a u b e c h i e s 、 c h u i 等人的工作联合奠定了小波分析的基础。 f o u r i e r 分析适合处理非常平稳的信号，而小波分析适合处理急剧变化的高 度不稳定信号。多分辨分析( m r a ) 是小波分析的中心内容之一，其系统和过 程符合人类视觉和思维方式，故称为“数学显微镜”。正因为具有以上种种优点， 小波分析成为近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，它给许多相关领域带 来了崭新的思想，提供了强有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重 成都理工大学硕士学位论文 视。尤其在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、 量子物理、地震勘探、流体力学、电磁场、c t 成像、机器视觉、机械状态监控 与故障诊断、分形、数值计算等领域被认为是近年来在工具和方法上的重大突破。 众所周知，图像信息是人类视觉传递的主要媒介之一。据统计，在人类获取 的信息当中，视觉信息大约占6 0 7 0 ，由此可见，图像信息对于人类具有 重要的意义，对图像进行处理也显得非常必要。图像处理大致可分为模拟图像处 理和数字图像处理，数字图像处理技术随着计算机技术的不断提高得到快速发 展。但是，采取何种方法来提高数字图像的视觉效果、增强图像清晰度就显得相 当重要。数字图像处理的方法大致有空域法和变换域法。小波变换属于变换域法， 由于它的多分辨分析和人类的视觉原理很相似，素有“数学显微镜”之称。所以 采用小波变换对数字图像进行处理非常合适。 现实当中，通常存在很多干扰因素影响数字图像的视觉效果，我们可以称之 为噪声。当然噪声是相对的，没有绝对的噪声。对于有用的信号而言，其它的都 可以认为是噪声。在自然界中，最广泛和最常见的应该是随机噪声。除了噪声干 扰外，还有其它的干扰因素，如图像对比度，图像亮度、图像清晰度，图像平滑 度等等，这些因素也对数字图像的视觉效果造成很大的影响。因此，对数字图像 仅仅进行去噪还是不够的，需要结合其它的数字图像处理方法对数字图像进行联 合处理，才能达到很好的效果。 本文首先对小波分析的理论部分进行了简洁地整理，并对部分定理和公式给 出了自己详细的推导和证明，同时对部分公式进行了校正。然后利用在小波分析 进行图像去噪的同时，结合小波图像增强、直方图调整、图像平滑等方法，给出 了基于小波分析的数字图像清晰化综合处理方法。这种方法是按照以下步骤和流 程：原始含噪模糊图像一小波图像去噪一直方图调整一小波图像增强一中值滤波 图像平滑一清晰化综合处理图像。经过实际资料处理结果可以看出，本文给出的 这种综合处理方法对处理含噪模糊图像具有较好的效果。 第2 章小波分析的数学基础 2 1 距离空间 2 1 1 距离空间 第2 章小波分析的数学基础 定义2 1 1设z 表示一个非空集合，若其中任意两元素x ，j ，都按一定 的规则与一个实p ( x ，y ) 相对应，且p ( x ，y ) 满足以下三公理( 称为距离公理) ( 1 ) p ( x ，y ) 0 当且仅当z = y 时等号成立；( 非负性) ( 2 ) p ( x ，y ) = p ( y ，石) ：( 对称性) ( 3 ) 对x 中任意三元素x ，y ，z ，有p ( 并，z ) p ( x ，+ p ( y ，z ) ( 三角不等式) 。 ( 2 一1 ) 则称p ( x ，y ) 为x 与y 间的距离，称为距离空间，记为( z ，力，有时也简记为一。 2 1 2 连续函数空间c 础 定义2 1 2 令c f 州= x o ) ：x ( f ) 是【4 ，6 】上的连续函数) ，则称c 【如 为 口，6 】上 的连续函数空间。在q 叩】上定义 p ( x ，y ) = m a x l x ( t ) 一y ( f ) ，t 【d ，6 】，x ，y c t 。6 ( 2 2 ) 可以证明p ( x ，y ) 满足距离三条件， c t 础】按照距离p ( x ，y ) 是一个距离空间。 2 1 3 平方可积函数空间r 1 b 定义2 - 1 3 令r h 胡= 扛( f ) ：1 x ( f ) 2 a r t 0 ，使得对任意q ， 有q c 手蚓2 ) 1 2 。，b o 和一个m = 【口】阶的多项式a ( f ) ，使得 v t r ，有i 厂o ) 一p ，( f ) l k i t - v l 。，则称函数，( x ) 在v 点处具有l i p s c h i t z 指数 口0 。如果对所有的v 【q6 ，l 厂( f ) 一p ，( f ) i k i , 一v 广都成立，其中k 与v 无关 第2 章小波分析的数学基础 则，( x ) 在区间 口，6 】上是一致l i p s c h i t z 指数口的，并称f ( x ) 具有l i p s c h i t z 正则 性，其正则性阶数定义为口的上确界。 2 1 2 消失矩 定义2 1 2 1 对于小波函数( x ) r ( r ) ，如果它满足x 妒 ) a x = o ， p = 0 , 1 ，r ) ，则称( x ) 具有r 阶消失矩。 2 1 3 紧支性 定义2 1 3 1 若函数妒( f ) 在区间f 口，6 】外恒为0 ，则称该函数在这个区间上紧 支，称 口，b 】为妒的支集， 口，明越小，支集越小，具有该性质的小波称为紧支撑 小波。 2 1 4 对称性 定义2 1 4 1 设妒( r ) r ( 月) ，若 q j ( a + t ) = 妒一t ) ，称q o ( t ) 具对称性： 妒( 口+ f ) = 一妒0 一f ) ，称妒( r ) 具反对称性。 对称或反对称的尺度函数和小波函数是非常重要的，可以构造紧支的小波 基，使其具有线性相位，可以避免在信号的分解与重构中失真。 但是d a u b e c h i e s 已证明，除h a a r 小波基外，不存在对称的紧支正交小波基。 所以，人们为了得到小波基的对称性，就要放弃小波基的一些其它特性，或保持 小波基的紧支性、正交性就只能得到近似对称性。 2 1 5 卷积 定义2 1 5 1 若已知函数石( z ) ，五( z ) ，则积分石) 五。一f ) 斫称为函数 石( z ) 与正( z ) 的卷积，记为石( z ) + 五( z ) 。 成都理工大学硕士学位论文 第3 章小波分析的基本理论 3 1 小波的基本概念 3 1 1 小波( w a v e i e t ) 小波，又称子波，即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为0 的波形。 特点： ( i ) 小，即在时域具有紧支集或近似紧支集； ( 2 ) 正负交替的“波动性”，也即直流分量为0 。 3 1 2 母小波函数 户l 满足郊f 允许条件： q = 亡嵴m c s 州 的函数y ( f ) 称为母小波，或称允许小波，基本小波。其中，矿( ) = e y ( f ) p ”西。 q ：e 嗡牛 0 。 证明：令f ( f ) = 厂( ) 则有町，6 ) 一( ，协，( f ) ) = i 口一，o ) 妒( t - 口b ) d t = 一厂咖( t - 口b ) 府 再令t = ，于是f = 2 t 7 ，d t = a d t 刚有 成都理工大学硕士学位论文 町( 吼6 ) = 肾! i t ) 妒了t - b 妙= 忏i 厂y y ( a t 口- b ) ( 旯西) ， ，一旦 l 一； ，一旦 。 ( 3 1 2 ) 刊一；旷( 字舻州j 肿妒( 争肚励( 为” ( 4 ) 内积足理( m o y a l 定理) 设石( f ) ，正( ，) e r ( 月) ，它们的连续小波变换分别为阿z ( 口，6 ) ， 有m o y a l 定理： ( 嘲( 啪) ，w l ( 咖) ) = 他贬( 咖) 霞( 口，6 ) 睾曲= q ( 鼻( 啦五o ) ) 证明：这里需用到巴塞瓦一能量守恒定理： ( 石( r ) ，五o ) ) 2 去( e ( ) ，e ( ) ) 其中f ( 国) = i r f ( t ) e - j 。 d t 为f ( t ) f o u r i e r 3 礅。 先证明巴塞瓦一能量守恒定理： 由f o u r i e r 正反变换有： 墨( 国) = z ( f ) e 一埘出 e ( 棚) = 五( r 沁一”7 出= 丘( 国) = 五( f ) e 7 “出 聃) 2 去e ( e 埘砌 邸) 5 击e ( 咖“如 w l ( a ，b ) ，则 ( z ( f ) ，正( f ) ) = z o ) 元( r ) 硪= 缸，去互( m ) e 倒d 元( f ) 出 2 击e ( ) 元( 啦脚如嬷2 去巧( 回 元( 咖“a r i a 2 去巧 ) 厉( 奶如。去( 正( 砒最( 国) ) 由此巴塞瓦一能量守恒定理得证。 由维小波变换定义有； 嘲( 咖) = ( z ( 吐虬脚) 2 去( e ( 砒甲。( m ) ) 2 去e ( 归砌( 甜) d 功 w a ( d ，6 ) = ( 以( 吐，a ( f ) ) 2 去( e ( 国) ，甲。，( ) ) = 去最( 国) 予时 矽缈 其中，e 沏) = e 石( f ) e - j 4 t d t ，e ( ) = e ( r ) e - ，“d r ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 第3 章小波分析的基本理论 下面求甲a 一( 国) = i r g s b ( t ) e - j d d t ：丽1 矿( t - 口b 衍 令y ：t - b ，则有r ：掣+ 6 ，讲：d ( 掣) 于是( 2 南脚”砷( 吵) 。赢8 叫“拟咖一咖 这里需要讨论： 口 o 时，r 4 与置一致，即= 上= e 。m mh 则有 甲时( 回2 忑a e - pc a b 伊( 力e 一7 痧= 盈一脚甲( 口 口 0 口 o 时，胄+ 与r 相反，即。= 一= 一e = e 。 则有 ( 等) e ) o b 如= ( 一口) e ”。( y ) p _ j ”方= a e j “上 c ，( y ) e 1 ”咖= 础脚1 壬，( 口彩) 口 o 时，r + 与r 一致，即j f r 。= = e 。 mh l 彳 成都理工大学硕士学位论文 则有 上y ( 等) e j , ”b 肋= ( 一口) p 埘y ( y ) 9 1 ”咖= ( 一e p 甲( d ) 将以上综合起来有： y ( 等) e 脚动= ( y 弦州r _ d ( 一c r y ) = ( 一口) p 删。( y ) e 1 ”咖 ： a e s ”t t 。( ，a a oo(3-16) l ( - a ) e 倒、壬，( 口国) a 0 为正整数) 分解后有 一，3 f ( x ，y ) = a o f = 山厂+ 巧， ，= 一1e = l 相应的重构算法为 q 。= 巧z q + z q 谚+ q e 巧+ 谚巧 ( 3 3 5 ) ( j = 一j ，一j + l ，一1 ) ( 3 - - 3 6 ) 其中f 和g 分别是h 和g 的对偶算子( 在f 2 中) ，或被分别理解为日和g 的共轭转置矩阵。 c j = 日，h 。c j + l 谚d ；：= i g ，4 , 皿q c q 。x 和q + 。= h * h * c 2 + 巧巧+ q 研巧+ q q 巧( 3 - - 3 7 ) 巧= 6 , g o c j + 。 就是二维m a l l a t 算法( 2 一dm a l l a ta l g o r i t h m ) 。 成都理工大学硕士学位论文 3 9 三维小波变换 三维小波分析在小波理论体系中属于难度较大的部分，实际应用中有时也用 到三维工具，如运动弱目标识别、三维动态图像处理等。 假定信号函数f ( x ，y ，= ) l 2 ( r 3 ) ，( 工，y ，z ) 与妒( z ，y ，z ) 为相互对偶的母小波 溅t f f a , b , c , d 舻卅i j 3y 譬，等，孚) ， 驴础 。o ，n z ) = l 口一l 用；兰，竖，三二竺) ，6 ，c ，d r ，口r - o ) 。 口a口 厂( 白，乞，k 3 ) u ( z 3 ) ，白z ，岛z ，岛z 。 ( 1 ) 三维连续小波变换( 3 - dc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m ) 降丁( ，b ，c ，d ) = c w t ( a ，b ，c ，d ) 耶m 弛舻职等，等，孚) a x a y a z q ( 2 ) 三维离散参数小波变换( 3 一dd i s c r e t ep a r a m e t e rw a v e l e tt r a n s f o r m ) 令三维连续小波变换中的参数a = 町，b = 畸b o a ；，c = 如c o a o ，d = k 3 a o a ；， a o ，b o ，c o ，d o 为常数，_ ，岛，岛，岛z ，则有离散参数小波变换 d p w t ( j ，k l ，如，吒) = 口矿m ，( w ，z ) 妒( a 担一诋, a g y 一，；z k 3 d o ) d x d y d z ( 3 - - 3 9 ) ( 3 ) 三维离散空间小波变换( 3 一d d i s c r e t es p a c e w a v e l e t t r a n s f o r m ) 将三维离散参数小波变换中的空间变量x ，y ，z 离散化可以得到离散空间小波 变换 d s w t ( j ，毛，屯，岛) = 露，( ，毛，与) 妒( 耐一是，之一屯吒，口；厶一k ；a o ) ，f 2 ，厶z ( 3 - - 4 0 ) ( 4 ) 三维离散小波变换( 3 - d d i s c r e t e w a v e l e t t r a n s f o r m ) 令三维离散空间小波变换中常数参数a o = 2 ，b o