（基础数学专业论文）lukasiewicz逻辑系统中公式的真度理论和逻辑度量空间.pdf

l u k a s i e w i c z 逻辑系统中公式的真度理论与逻辑度量空间 李壁镜 摘要 近年来，模糊控制技术在应用方面取得了举世瞩目的成功然而，作 为其核心的模糊推理在数学基础上却并未无懈可击所以，以研究模糊推理的数 学基础为核心的模糊逻辑，作为一个全新的数学领域，引起了世界上许多著名学 者的关注，并且取得了一系列重要的研究成果模糊逻辑的应用范围十分广泛 一方面，它在机器自动证明理论，近似推理及模糊控制等领域有广泛的应用另一 方面，它也丰富和发展了纯粹数学理论的研究，例如，在证明理论的独立性和相容 性方面的研究，在特殊的代数结构( 如m v - 代数，b l 广代数，岛代数) 方面的研 究，都引起了人们的极大兴趣并取得了成功 模糊推理是模糊控制的理论基础，而各种各样的蕴涵算子又是模糊推理的数 学工具完备的逻辑系统的建立与蕴涵算子的选择密切相关，比如l u k n s i e w i c z 系 统选择的就是l u k a s i e w i c z 蕴涵算子，g s d e l 系统选择的就是g s d e 蕴涵算子，p 系统选择的是岛蕴涵算子等等而这些蕴涵算子的最大特点就是可以与某个特定 的三角模构成伴随对，我们将这类算子成为正则蕴涵算子现在已经有了很多的 研究工作都是关于蕴涵算子在模糊推理中的应用，然而却很少涉及其逻辑语义方 面的性质本文就主要从两个不同的角度研究蕴涵算子在语义方面的性质 第一章基础知识本章扩充了原来公式集的范围，定义了新的公式集以及 与之对应的赋值域正则蕴涵算子和积分语义学的基本概念和性质也有所介绍 这些内容都为后面关于语义方面的讨论打好基础 第二章在l u k a s i e w i c zn 值命题逻辑中引入了公式的真度理论，得到了一个 极限定理表明当n 趋于无穷时由公式的真度决定的真度函数收敛于积分真度 r ，从而架起了离散值l u k a s i e w i c z 逻辑与连续值l u k a s i e w i c z 逻辑之间的桥梁 第三章针对能建立逻辑度量空间的这类系统，进行了语义方面的统一研究 首先，证明了全体逻辑公式在赋值域上是可积的，从而借助程度化的思想在这类 系统中定义了统一形式的公式间的伪距离同时讨论了逻辑度量空间中孤立点分 布的部分情形，得到了在此类系统中，各种逻辑运算均连续，积分推理规则均成立 的重要结论，从而使得在此类系统中建立统一的近似推理成为可能 关键词：l u k a s i e w i c zn 值命题逻辑公式真度极限定理积分真度左连续 三角模l e b e s g u e 可测逻辑度量空间连续性 t h e o r yo ft r u t hd e g r e e so ff o r m u l a si n l u k a s i e w i c zp r o p o s i t i o n a ll o g i ca n dl o g i cm e t r i cs p a c e s l ib i j i n g a b s t r a c t ：i nr e c e n ty e a r s ，t h ea p p l i c a t i o n so ff u z z yc o n t r o lh a so b t a i n e dag r e a t s u c c e s s b u tf u z z yr e a s o n i n g ，t h ec o r eo ff u z z yc o n t r o li ss n s p e c t e db e c a u s eo fl a c k i n g f i r mm a t h e m a t i c sf o u n d a t i o n i no r d e rt os o l v et h i sp r o b l e m ，an e wr e s e a r c hf i e l dh a s b e e nb u i l tu pa n dm o r es c h o l a r sd e v o t e dt h e m s e l v e st ot h i sf i e l d a p p l i c a t i o n so ff u z z y 1 0 西cr a n g ef r o mt h ef i e l do fc o m p u t e rs c i e n c e ，i n c l u d i n ga u t o m a t e dt h e o r e mp r o v i n go r c o n s i s t e n c yp r o o f so rt h et h e o r yo fp a r t i c u l a r l ya l g e b r a i cs t r u c t u r e s ( e g m v a l g e b r a s ， b l - a l g e b r a sa n dr o a l g e b r a s ) t h et h e o r e t i cf o u n d a t i o no ff u z z yc o n t r o li sf u z z yr e a s o n i n g t h ev a r i e t yo fi m p l i c a - t i o no p e r a t o r si so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm a t h e m a t i c a lt o o l sf o rf u z z yr e a s o n i n g i ti s w e l lk n o w nt h a tt h ec h o i c eo fi m p l i c a t i o ni sv e r yi m p o r t a n tt ot h ef u z z yl o 舀c a ls y s t e m s ， f o re x a m p l et h el u k a s i e w i c zs y s t e mu s et h el u k a s i e w i c zi m p l i c a t i o n ，g s d e ls y s t e mi l s e t h eg s d e li m p l i c a t i o na n dc + s y s t 蟊nu s e t oi m p l i c a t i o ne t c t h eg r e a tc h a r a c t e ro ft h i s i m p l i c a t i o ni st h a tt h e ya r ea d j o i n e dw i t hs o m ed e f i n i t i o no ft r i a n g u l a rn o r m s w ec a l l t h e mr e g u l a ri m p l i c a t i o n m u c ho ft h er e s e a r c hh a sb e e nd o n eo nt h ei m p l i c a t i o n s a p p l i c a t i o n s h o w e v e r ，a m o n gt h er e s s e r c ho n l yal i t t l ei sr e l a t e dt os e m a n t i cp r o p e r t i e s t h e p r e s e n tp a p e rt r i e st of i n ds o m es e m a n t i cp r o p e r t i e so ft h el o 西cs y s t e m sc o r r e s p o n d i n g t or e g u l a ri m p l i c a t i o nf r o mt w od i f f e r e n ta s p e c t s t h ea r r a n g e m e n to ft h i sp a p e ri sa s f o l l o w s ： c h a p t e ro n e ：b a s i ck n o w l e d g e i nt h i sc h a p t e r ，t h ec o n c e p to ft h es e to fa l lf o r m e d f o r m u l a si se n l a r g e d ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n gc o n c e p to fv a l u a t i o n a li e g i o ni sa l s or e d e f i n e d m o r e o v e r ，s o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h er e g u l a ri m p l i c a t i o n sa n di n t e g r a ls e m a n t i c 8 x ei n t r o d u c e d a l la b o v ei st h eb a s i so ft h el a t e rc h a p t e r s c h a p t e rt w o ：t h ec o n c e p to ft r u t hd e g r e e so ff o r m l l l a si nl u k a s i e w i c zn - v a l u e d p r o p o s i t i o n a ll o # ci sp r o p o s e d al i m i tt h e o r e mi so b t a i n e d ，w h i c hs a y st h a tt h et r u t h f u n c t i o ni n d u c e db yt r u t hd e g r e e sc o n v e r g e st ot h ei n t e g r a t e dt r u t h f u n c t i o nw h e nn c o n v e r g e st oi n f i n i t e h e n c e t h i sl i m i tt h e o r e mb u i l d sab r i d g eb e t w e e nt h ed i s c r e t e v a l u e dl u k a s i e w i c zl o g i ca n dt h ec o n t i n u o u sv a l u e dl u k a s i e w i c zl c i g i c c h a p t e rt h r e e ：t o w a r d st ot h ec l a s so fl o g i cs y e t e m sw h i c hc o u l dc o n s t r u c tl o g i c p s e u d o - m e t r i cs p a c e s ，w ed os o m er e s e a r c ho nt h e i rs e m a n t i cp r o p e r t i e sw h o l e l y f i r s to f a l l ，w ep r o v et h a ta l lo ft h ef o r m e df o r m u l a sa r em e a s u r a b l eo nt h ev a l u a t i o n a lr e g i o n t h e r e f o r e i nt h e s el o g i c s w ec a nd e f i n eap s e u d o - m e t r i cb e t w e e ne v e r y t w of o r m u i a s c o n f o r m a b l yu s i n gt h eg r a d e di d e an a t u r a l l y t h e nw ed i s e n s so n l yp a r ts i t u a t i o no ft h e i i d l s t r m u t i o no fi s o l a t e dp o i n t si nt h es p a c e s a tl a s t ，w eo b t a i nt h ef a c tt h a ti nl o g i c m e 缸i c 印a c ea l lo ft h el o g i co p e r a t o r sa x ec o n t i n u o u sa n dt h er e g u l a t i o n s o fi n t e g r a l r e a s o n i gh o l d ，w h i c ha l - ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n s s o ，i t i sm a d ep o s s i b l et oc o n s t 。u 。ta n l l i 丘e df r a m e w o r ko fa p p r o x i m a t er e a s o n i n gi nt h e s el o g i cs y s t e m s k e y w o r d s ：l u k a s i e w i c zp r o p o s i t i o n a ll o g i c t r u t hd e g r e e so ff o r m u l a l i m i t t h e o p e mi n t e g r a t e dt r u t h l e f t c o n t i n u o u st r i a n g l e n o r ml e b e s g u em e a s u r a b l e l o g i c m e t r i cs p a c e c o n t i n u o u s 1 1 1 学位论文独创性声明 y9 0 0 7 2 2 奉入声裙癀至交携学诬浚文是我在导薅的攒器下送行鳆磅究工佟及取缮夔磅 究成果。尽我所知，除文中鼠缀注明弓 用的内容外，论文中不包含蕤他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教甯机构的学位 或证书藤镬震过的麓辩。对零文蕊磅究骰塞重要燹漱静个人秘集体，均e 在文孛 作了孵确说明并表示谢意。 作者签名；查盛磕 日期：皇塑垒! 璺1 9 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发液本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 莛大学。举校褰投镖餐学整论文劳淘藿家主管郄瓣或萁它攒定撬鞠送交论文豹邀 子版和纸成版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允评论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 毒投褥学繇论文懿标题帮携鼗汇缓遗菠。 作者签名：硅鏖斑日期：垫! 篓：塑 前言 随着人类对客观世界认识的不断增长和深入，人们逐渐认识到经典的二值逻 辑虽然是处理确定性信息的有效工具，但它反映的仅是人类思维中很狭窄的一个 方面，而人类思想中所包含的不确定性的方面却没有得到反映特别是，它忽略了 对人们常识推理的研究当人们面对日益复杂的，非线性的，时变的系统而欲实施 精密控制时，经典二值逻辑的局限性就越发明显 在上个世纪三十年代，波兰数学家l u k a s i e w i c z 首先提出并发展了多值逻辑， 它是最早的非经典逻辑1 9 5 8 年c c c h a n g 为了解决l u k a s i e w e i c z 逻辑系统的完 备性问题提出了一种代数结构，即m y - 代数，它证明了l u k a s i e w i c z 系统的完备性 可归结为关于m v - 代数的一种完备性这样，就把逻辑系统和与之相应的代数 结构结合起来，从而可以利用代数的相关知识解决逻辑问题 美国控制论专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出了模糊集理论吼这一理论很快地 被应用于模糊控制的技术当中；而另一方面，l a z a d e h 模糊集合论的提出，也使 得人们马上意识到它对于非经典逻辑的研究具有重要的意义 1 9 6 8 年，g o g u e n 提出了模糊逻辑的一个形式系统鸭其真值域远远大于二值 的情形，g o g u e n 建议真值域l 应取做个完备的格序半群( 工，v ，a ，+ ) ，其中t 用 以刻画比 更强的”且”尽管它的真值域很广，但没有给出一个与给定的语义系 统相适应的完备的语法系统，这是g o g u e n 逻辑的一个缺陷p a v e l k a 在g o g u e n 提 出的真值域的基础上，利用伴随对的概念建立了一个丰富的剩余格结构，它包含 了其他逻辑系统中所具有的所有连接词在文献【4 | 中论述过的m v 代数等都可 纳入p a v e l k a 的理论之中 1 9 9 6 年，为了寻求模糊推理的可靠的逻辑基础以使其纳入严格的逻辑框架之 下，王国俊教授在全国第七届多值逻辑与模糊逻辑年会上，提出了一个新的形式 演绎系统和与之对应的逻辑代数砀一代数【5 】在量化系统的方面，王国俊 教授也取得了许多的成果【6 】n 如建立了广义重言式理论和积分语义学及相容度的 度! i i ：y 法，提出了逻辑中的测度理论1 9 9 9 年，王国俊教授还提出了模糊逻辑的 全蕴含三一i 算法，从逻辑理论上修正了z a d e h 的合成推理方法，将模糊推理重新 引入到逻辑语义的正轨上来卅 1 3 】 当代模糊逻辑中，长期占主导地位的是所谓的三角模基逻辑，三角模是由s c h w e i z e r 和s k l a r 在1 9 5 8 年为了在概率测度空间中准确地描述三角不等式而建立的由于三 角模可以很好的反映逻辑”与”的性质，人们使用它来作为合取连接词的解释， 并由此解释其它命题连接词这样定义的逻辑系统中有许多优良的性质，反映了人 类思维和推理中的许多逻辑特征最近十年的模糊逻辑研究中，备受关注的是连续 三角模基逻辑和左连续三角模基逻辑由ph , 4 j e k 提出的b l 逻辑就是基于连续三 角模建立的逻辑系统【1 3 】1 3 ，许多重要的逻辑系统，如l u k a s i e w i c z ，g s d e l 和p r o d u c t 逻辑系统都是b l 逻辑系统的模式扩张，基于剩余格理论，h a j e k 还提出了与b l 逻辑相匹配的b l r 代数等概念随后，f e s t e v a 等人为了推广b l 系统提出了m t l 系统，目的在于形式化基于左连续的三角模而建立的逻辑系统，且在文献 1 4 】中 提供了多个m t l 系统的重要的模式扩张，诸如1 m t l ，w n m ，n m 等系统，值得注意 的是n m 系统与系统是等价的 本论文主要作了以下两个问题的研究 数理逻辑的特点在于形式推演而不是数值计算，数理逻辑中的概念都是精确 的，不存在任何的模棱两可另一方面，在2 0 世纪5 0 年代，文献【15 】中用”指 派真值”( d e s i g n a t e dt r u t hv a l u e s ) 来反映逻辑公式或逻辑推理的真实度的做法已经 反映出了数理逻辑概念的程度化的思想，其中对一个逻辑公式a 引入的真值丁( a ) 就说明了这一点这种程度化的思想在p a v e l k a 的系列文章【4 】【1 6 】 1 1 中得到了全面 的发展，其中几乎所有概念都已经数值化了将逻辑概念程度化的类似研究已经有 了很多成果【1 8 2 “例如有基于引入逻辑公式中的n 一重言式概念在修正的k l e e n e 系统中建立了区分逻辑公式真实程度的类类互异定理【2 3 l ，并引发了一系列相关的 研究( 参看，比如文献【2 4 1 3 0 1 ) 值得注意的是，文献【1 5 - 3 0 中是通过估计一组可 能数据的界来给出公式的真度概念的比如，称一个公式a 为a 一重言式是指对 每个赋值”均有v ( a ) n ，这里n 是a 的一切赋值的一个下界其实，这时完全 可以存在赋值“，使得u ( a ) a + s ，这里s 是某个小的正数，可见o l 并未确切地 反映a 的真度有趣的是精确刻画逻辑公式真度的方法首先是在经典二值命题逻 辑而不是在多值逻辑中给出的1 3 “此后文献【3 2 又给出了当赋值格由t o ，1 ) 跃升 为0 ，1 1 时逻辑概念公式的积分真度理论一个自然的问题就是：如何去和谐地填 补0 ，1 一值与1 0 ，1 卜值之间的公式真度理论? 换句话说，怎样在n 值逻辑系统中计 算逻辑公式的真度，使得当1 3 趋于无穷时它可以逼近积分真度，而当n = 2 时它就 转换为已有的经典二值逻辑系统中公式的真度? 文献 3 3 】尝试了回答这一问题， 作者们在从n = 2 到n = 1 7 的l u k a s i w e i c zn 值系统l 。中建立了一种逻辑公式的真 度理论，并给出了全体真度之集的结构但这似乎并未成功地回答上述问题，因为 即使不考虑2 n 1 7 这一限制，当n 趋于无穷时这种真度与文献【3 3 中的积分 真度也挂不上钩这是因为文献【3 3 】中在计算公式的真度时仅仅考虑了k 中的最 大值1 ，而将其余的n 一1 个值皆弃之不用而导致的结果本文的第二章给出上述 问题的比较理想的解答首先，我们重新定义了“中的逻辑公式的真度，把逻辑 公式所有可能的非零赋值按加权求和而引入公式的真度概念其次，我们证明当n 趋于无穷时本文引入的真度函数v n ( a ) 收敛于积分真度函数r 的极限定理，从而 建立起了离散值l u k a s i w e i c z 逻辑与连续值l u k a s i w e i c z 逻辑之间的桥梁最后，我 们指出了此处的真度理论是文献 3 1 】中二值命题逻辑中公式真度的自然推广 模糊推理是模糊控制的理论基础，丽各种各样的蕴涵算子则是模糊推理的数 学工具，有众多的学者从不同的应用背景出发提出了各种不同的正则蕴涵算子，一 2 些专著也都用了相当多的篇幅讨论这些蕴涵算子的性质值得一提的是，以上关 于蕴涵算子的讨论重点大都放在了他们在模糊推理中的应用方面，而较少涉及语 义方面的性质的研究本文第三章主要从逻辑语义的方面研究蕴涵算子的性质 如所周知，在建立多值逻辑语义时，其中一类比较重要，即可与【0 ，1 】上的左连续 三角模构成伴随对的蕴涵算子类一二- 正则蕴涵算子类由此也反映了左连续三角 模的重要性有很多文章都研究了左连续三角模的构造及其性质 3 5 , 3 6 , 3 t 1 ，相应逻 辑系统在语构方面的性质及系统的完备性等 3 8 , 3 9 关于语义方面的性质，近些年 来，这方面已经有了大量的工作【6 ，3 2 驯我们在第三章仍借助于基于语义的程度化 的思想，对于所有正则逻辑系统，通过积分的形式定义公式的真度，公式间的相似 度等概念，证明了全体公式的可测性，得到了在逻辑度量空间上各种逻辑运算均连 续的良好睦质，从而统一地研究左连续三角模所对应的系统的语义方面的性质 3 第一章基础知识 1 1正则蕴涵算子 定义1 1 1 【q 设o ：【0 1 2 1 0 , 1 1 是二元函数，如果当n ，b ，c 【0 ，1 1 时 ( i ) a ob = b o 口； ( i i ) ( 口ob ) o c = o o ( b c ) ； ( i i i ) o 圆1 = o ； ( i v ) 若b c ，则a ob a c 则称。为1 0 ，1 】上的三角模，简称t 一模 定义1 1 2 1 5 三角模。叫左连续的，如果对于每个a 1 0 ，l 】，有 厶( v 氏) = v 厶( 饥) i e ii e i 这里 厶( 。) = a 圆z 定义1 1 3 1 5 设。是1 0 ，1 上的t 一模，r ：【0 1 1 】2 一1 0 ，1 是【0 ，1 上的二元函 数若 a b c 当且仅当a r ( b ，c ) ，a ，b ，c 【0 ，1 则称r 为与。相伴随的蕴涵算子，称( 圆，r ) 为伴随对 命题1 1 4 1 5 】设。是 0 ，1 上的左连续的三角模，在【0 ，1 】上定义二元运算一 如下： b + c = v 。l 。 b sc ) ，z ，b ，ce o ，l 】 则 ( i ) 一是与。相伴随的蕴涵算子，即 n ob c 当且仅当n r ( b ，c ) j ( i i ) b c = 1 当且仅当b sc ； ( i i i ) a 茎b c 当且仅当6 。一c ； ( i v ) a 一( b c ) = b 一( a c ) ： ( v ) 1 _ c = c ； ( v i ) b 一八q = ( b q ) ，( v6 t ) 一c = ( b i c ) ； i e l jt ， ( v i i ) b c 关于c 单调递增，关于b 单调递减 定义1 1 5 【5 | 设一是【o ，1 】上的二元运算，如果一满足上述命题中的性质 ( i i ) 一( v i i ) ，则称一为【0 ，1 上的正则蕴涵算子 注1 1 6 和左连续的三角模相伴随的蕴含算子是正则蕴涵算子特别是l u k a s i e w i c z 蕴涵算子r l ，g s d e l 蕴涵算子r g ，乘积蕴涵算子岛和蕴涵算子r d 都是正则蕴涵 算子 命题1 1 7 【5 】设一是1 0 ，1 】上的正则蕴涵算子，在【0 ，1 】上定义二元运算 如 下： o ob = 八 z i sb z ) ，z ，a ，b 【o ，1 】， 则 ( i ) a o bs c 当且仅当a n ( b ，c ) ； ( i j ) o 是f 0 ，1 上的三角模； ( i i i ) o 是左连续的 1 2全体公式集f ( s ) 定义1 2 1 由原子公式集s 和真值常元d 生成的( o ，一，a ) 型自由代数为全体 公式集，记为f ( s ) 其中( 蛾一) 为伴随对 注1 2 2 此篇论文的第二章研究的是l u k a s l e w i c zn 值命题逻辑系统，在 l u k a s i e w i c z 系统中，逻辑运算的具体形式是： 0 0 lb = ( a + b 一1 ) v0 a - - - + lb = ( 1 一a + b ) a 1 显然以上运算在l 。= o ，元与，：葙n - 2 ，1 ) 中仍是封闭的m n ) 第三章研究的是 赋值格为 0 ，1 】日寸所有正则蕴涵算子所对应的逻辑系统，显然各种逻辑运算 ，一，a 在【0 ：l l 中也都是封闭的从而此处对于公式集的定义相对于本文中逻辑语义方面 的研究是合理的 注1 2 3 伴随对( o ，一) 中，若。是连续的三角模，则在h ；i j e k 的著作【1 2 中 已经证明了此时有a a b = a o ( a b ) ，v a ，b f ( s ) 成立，又由于b l 系统完 备性的成立，其相应的语义部分可以写为v a ，b h 1 1 ，有o a 6 = 。o 一b ) 成立 但是如果。仅为左连续的三角模，那么情形就变成了v a ，b 【0 ，1 1 有oab ao ( a b ) 特别地，我们可以在王国俊教授提出的岛算子所对应的系统中找 出上式中” ”成立的情形： 取o = 7 1 0 ，b = 2 1 0 那么左边7 1 0a 2 1 0 = 2 i 0 ，而右边却是7 1 0o ( 7 1 0 2 1 0 ) = 7 1 0 03 1 0 = 0 由此也可以知道并不是所有的逻辑系统中a 可以由”o ”与”一”表示 注1 2 4 在一些特殊的逻辑系统中 可由一与和石来表示比如我们熟知 的系统+ 和l u k ，其具体的关系为a o b = _ 7 一一口) 然而在g s d e l 系统中 情况就有所不同，比如，f z f f 可以令n = i ，6 = ，则可知；o = a = ，而 _ 7 ( ；一一；) = _ 7 ( i 一一o ) = 一0 = 1 此时有n 6 _ 7 ( n 一一b ) 故。不能用一 及石来表示 注1 2 5 由以上注1 1 3 与1 1 4 的分析，可知o ，一，a 这三个逻辑运算，它们 当中任何一个都不能被其他两个表示或代替也就是说，对于生成公式来说，这三 个运算缺一不可 注1 2 6 有了 ，一，a 这三个基本的逻辑运算，我们就可以定义另外两个常见 的逻辑运算【4 l _ 7 a = a _ 石 a v b = ( ( a b ) 一b ) a ( ( b a ) 一a ) 由此处的，定义也可知，”非运算”不再限于常见的标准形式一a = 1 一n 1 3赋值域q ( ) 定义1 3 1 我们把基于由左连续的三角模所建立的逻辑系统称之为正则逻辑 系统 定义1 3 2 正则逻辑系统的赋值格为有界剩余格l ) = ( l ，a ，v ，o ，一，0 ，1 ) ， 其中( o ，一) 为相应逻辑系统中的伴随对特别地，在论文的第二章中l = l 。= o ，由，一，舞：1 ) ( n 2 ：ne n ) ，而在第三章中赋值格为常见的情形单位闭区间 【0 1 6 定义1 , 3 3 ( o ，一， ) 型同态映射口：f ( s ) 一工( 圆) 称为f ( s ) 到三( o ) 中的赋 值，或称为f ( s ) 的工( o ) 赋值设a f ( s ) ，那么v ( a ) 为a 的l 旧) 赋值，f ( s ) 的工( o ) 赋值的全体记为q ( o ) 注1 3 4 由赋值的定义可知，对于任意的公式，有如下的式子成立： v ( a b ) = v ( a ) 圆 ( b ) ； v ( a b ) = v ( a ) 一u ) ； v ( a a b ) = v ( a ) a ( b ) ； 叫( avb ) = ( 扣( a ) + ”( b ) ) ”( b ) ) a ( ( ”( b ) ，廿( 4 ) ) ，口( a ) ) = 钉( a ) v 钉( b ) ； 口( _ 7 a ) = o ( a ) 一0 因为f ( s ) 是由s 生成的自由代数，所以赋值”：f ( s ) 一工( ) 由它在s 上的 限制”ls 唯一决定，即在每个正则逻辑系统中，每个赋值映射v 0 ：s 一工( o ) 都 可唯一地扩张成为一个赋值口，那么这时映射v 0 就变成了任意映射而与三( o ) 上的 运算o ，一，一等无关了换句话说，无论正则蕴涵算子是什么形式，对于一个给定 的蕴涵算子所对应的逻辑系统而言，一个映射”o ：s 一工( ) 就决定了q ( ) 的一 个赋值，并且a ( e ) 中的每个赋值均可由这样的一个映射如生成，这时就存在着 陋( ) p 与q ( o ) 之间的一一对应所以在赋值域a ( e ) 上建立测度也可以仅仅在 【工( o ) 】8 上建立，且这种测度普遍适用于所有的正则逻辑系统对应的赋值域q ( ) 由于各章节中所用到的工及。均有不同，此处不便于统一书写，那么关于建 立l e b e s g u e 测度的内容将在各掌中进行具体说明 1 4积分语义学中的基本概念 在文献【5 】中，曾针对l u k a s i e w i c z 系统，提出了积分语义学的思想和一些基本 概念此处，我们做以简单的回顾那么，以下出现的r 均代表l u k a s i e w i c z 的蕴 涵算子r l 。 设，( z 1 ，x 。) 是从【0 ，1 “到【0 ，1 】的t t 元函数，以记维方体【0 ，1 n 以山。 记如1 d x 。，则，( z 。，。) 在【o ，1 ”上的定积分詹i o ，( z l ，z 。) 出1 d x 。 可简单的记为 ，( ，) 凼。 j ” 或更简单些，厶。，幽n ，( ，z n ) 也可看作是从【0 1 “+ 1 到【o ，1 的函数，只需 定义 ，( 。1 ，z n ，x n + 1 ) = f ( z l ，- - ，z 。) ，v ( x a ，一，x 。， z ”+ 1 ) 【o ，1 “+ 1 即可一般地，我们有如下定义： 定义1 4 1 5 l 设f ：【0 ，1 】n 一【o ，1 ，则，的k 次扩张定义为 ，( ) ( 。1 ，x n + k ) = f ( x l ，z 。) ，v ( x l ，- ，。，- ，x n + k ) 【0 ，l p + 2 这里k = 0 ，1 ，2 ，当k = 0 时，( o ) = f 定理1 4 2 n ( 积分不变定理) 任一n 元函数f ：【0 ，1 】n 一【o ，1 】和它的k 次扩张 ，( 2 ) 在各自定义域上的积分相等即 ，妣。= ，( 。) 幽叶，k = o ，1 ，2 ， j m j n + 设a = f ( p i ，p i 。) f ( s ) ，r 是正则蕴涵算子，口：f ( s ) 一【0 ，1 】是关于r 而言的赋值，则 ( a ) = f ( v 1 ) ，( p t ) ) 由于”慨) ( 1 i t ) 可以取【o 1 中的任意值，所以当”在n ( o ) 中变化时就有一 个与a 对应的t 元函数了：【0 ，1 】。一【0 ，1 】如前所述，它的积分可记作( r ) ，7 山 为简化符号起见，以下也经常以疆代替了 定义1 4 3 【6 1 设a f ( s ) ，对于任一给定的正则蕴涵算子，则a 唯一地确定一 个q ( 0 ) 上的单变元函数，仍记为才：n ) 一【0 ，1 ，其定义为 a 扣) = 可( a ) ( v v n ( o ) ) 定义1 4 4 【q 设a f ( s ) ，则称 佃( 4 ) = ( r ) a 山 j 为a 的兄一真度 定义1 4 5 1 5 】设a ，b f ( s ) ，则称 f r ( j 4 ，b ) = n ( a ，百) ar ( 百，_ ) d u 8 为a 与b 之间的r 积分相似度当妇( a ，b ) = 1 时称a 与b 是r 积分相似的 记作4 一兄日 gi j 哩1 4 6 【5 1 设，( z ，g ) = r l 。( z ，) r l 。( ，。) ，贝0 ，( n jc ) ，( o ，b ) + f ( b ，c ) 一1 证明设a c ，则 ，( o ，c ) = 1 一c + a i ) 设b 毛则 ，( 口，b ) = 1 一a + b ，f ( b ，c ) = 1 一c + b 注意2 b a a 得 ，( o ，b ) + f ( b ，c ) = 2 一c + ( 2 b a ) 2 一c + a 从而由上式可知结论成立i i ) 设a b c ，则 ，如，b ) = 1 一b + ，f ( b ，c ) = l c + b 所以 ，扣，b ) + f ( b ，c ) = 2 一c + a 由上式仍可得结论成立i i i ) 设c b ，则 ，( o ，b ) = 1 一b + a ，f ( b ，c ) = 1 一b + c 这时 ，( o ，b ) + f ( b ，c ) = 2 2 b + a + c 2 c + a 一2 ( 8 一c 1 c 时类似可证结论成立 定理1 4 7 【5 1 设a ，b ，c f ( s ) ，若缸( a ，b ) ，妇，g ) 卢，则 r ( a ，c ) 2o 十卢一1 证明由引理1 4 6 即可得 。 妇( a , c ) = ，( 五，虿) 山厶 ，( 五，百) + ，( 百：百) 一1 】扎j 一，凸 g = ff ( a ，百) 山+ f , f ( b ，百) 凼一f a d w = 妇( a ，b ) + f 冗( b ，c ) 一1 。+ p 一1 利用积分相似度可以在f ( s ) 上引入伪距离如下： 定义1 4 8 【5 】设a ，b f ( s ) ，规定 p r ( a ，b ) = 1 一妇( a ，b ) 定义1 4 9 【5 】p r ：f ( s ) f ( s ) 一【0 ，1 是f ( s ) 上的伪距离 证明设a ，b ，c f ( s ) 则由定义易知 i ) p r ( a ，a ) = 1 一r ( a ，a ) = 1 1 = 0 i i ) p r ( a ，b ) = 1 一e r ( a ，b ) = 1 一缸( b ，a ) = p r ( b ，a ) 又，由定理1 4 7 ，有 r ( a ，c ) 缸( a ，b ) + 缸( b ，c ) 一1 从而有 i i i ) p r ( a ，c ) = 1 - 缸( a ，c ) s 1 一缸( 且，b ) 】+ 【1 - - f r ( b ，e ) 】= p r ( a ，b ) + p r ( b ，c ) 结论得证 1 0 第二章l u k a s i e w i c zn 值系统的公式真度理论 本章在l u k a s i e w i c zn 值命题逻辑中引入了公式的真度概念，得到了一个极限 定理表明当n 趋于无穷大时，由公式的真度决定的真度函数收敛于积分真度函 数，从而架起了离散l u k a s i e w i c z 逻辑与连续l u k a s i e w i c z 逻辑之间的桥梁 2 1 公式的n 值真度 定义2 1 1 设( 诋，a ，m ) ( 女= l ，2 ，) 是概率测度空间，x = 矗蕺，则在 x 上生成一个一代数这时x 上存在满足下述条件的测度弘： ( 1 ) 由全体肛可测集组成； ( 2 ) 对矗x k 中的可测集e ，e 嚣x k 是p 可测集且 k = lk ：m + l p ( e i i ) = l 。p m ) ( e ) ，m = 1 ，2 ，一 ( 1 ) = t + 1 称卢为p l ，p 2 ，的无穷乘积，称( x ，a ，p ) 为 ( 凰， ，m ) ) 趁1 的无穷乘积 当不致混淆时噬，a ，p ) 常被简写为x 定义2 1 2 设n 是固定的自然数，n 2 ，8 ，7 7 ) 是均匀分布的概率测度空 间，这里y = y l ，y 2 ，蜘 ，即1 ( d ) = 0 ，q ( y ) = 1 且q 慨) = 1 加“= 1 ，他) 令 ( ，a k ，p ) = m 8 ，q ) ( k = 1 ，2 ，) ，且( x ，a ，p ) 是 ( x k ，a ，纵) ) 茫1 的无穷乘积， 称( x ，肛) 为n 值逻辑测度空间 以下将】，写成y = k = 0 ，由，而n - 2 ，1 ) ，则 = l 。= o ，击，籍 1 ) ，k = 1 ，2 ， ( 2 ) 以下将x = ( x ，一4 ，p ) 简写为三霁 在k 中规定 n b = ( 1 一n + 6 ) a l = m i n 1 一o + 6 ，1 ) ，o vb = f f l a x a ，b ) ，一n = 1 一o ，贝4l 。 就是l u l 【a s i e w i c zn 值系统称( ，v ，一) 型同态”：f ( s ) 一k 为f ( s ) 的赋值，在 此处，我们将其全体记为q 。 由前面的注1 2 3 和注1 2 4 可知，对于l u k a s i e w i c z 逻辑系统来说，赋值是 ( 、，v ，一) 型同态和( ，一，a ) 型同态是一致的即就是定义1 13 的定义形式 设。是q 。中的赋值，则因f ( s ) 是s 生成的自由代数，”由它在s 上的 限制v l s 完全确定设口) = ( k = 1 ，2 ，) ，则得工茅中一无穷维向量才= ( 。l ，观，) 反过来，设- f f = ( ”i ，地，) 是三斧中的任一元，则存在唯一的”， 使得 慨) = v k ( k = 1 ，2 ，) 所以由1 p ( ”) = 才决定一个双射 p ：q 。一