（应用数学专业论文）充分非线性发展方程的新型孤立波解.pdf

江苏人学硕十学位论文 摘要 本文研究的主要内容：引进非线性强度的概念，研究一些充分非 线性发展方程的精确解( c o m p a c t o n 解，p e a k o n 解，k i n k 解，钟形孤 立波解) 以及b a c k l u n d 变换，并且考虑它们的h a m i l t o n 结构，守恒 量以及线性稳定性。 第三章研究了充分非线性k d v 方程：分别用拟设法和逆算符方 法得到了c o m p a c t o n 解，特别得n t 多重c o m p a c t o n 解，并且推广到 高维k d v 方程；利用h b 方法得到了b a c k l u n d 变换和一些新解；利 用l a g r a n g i a n 得到一类新的充分非线性k d v 方程，研究了它的 h a m i l t o n 结构以及守恒量，最后考虑c o m p a c t o n 解的线性稳定性。 第四章研究了充分非线性c a m a s s a h o l m 方程：利用拟设法得到 了充分非线性方程的c o m p a c t o n 解等；利用c k 直接约化法得到了充 分菲线性c a m a s s a h o l m 方程的所有对称性约化，约化的结果得到了 丰富的解：c o m p a c t o n 解，p e a k o n 解，k i n k 解，光滑的钟形孤立波解 竺 寸。 第五章研究了非线性s c h r o d i n g e r 方程：i u ，+ a l l 。+ 卢盯p 甜= 0 ( p 为 任意实数) ，得到了丰富的孤立波解，特别是在p 要 z 为( 3 1 1 ) 式的行波解并代入方程( 3 1 1 ) 中得到 ( 3 。1 2 ) a b d f ic o s 扣1b 毒一p i a ”b n f ic o s 肺1 曰 一p 2 彳”b 3 n f ( n 8 一1 ) ( ，7 6 2 ) c o s ”6 3 刀 + 卢2 a ”b 3 刀3 6 3 c o s 丽一b 眚一p 3 ab 5 6 5c o s 艿一b 考= 0 其中要求6 为1 和2 ，然后令c o s 砸一b 项和c o s 扣。b 考项的系数分别为零后得到 = 上f 1 2 r 1 2 蚕! 川= 痧耘 这里6 = l ，2 ，门= 吾+ 1 = 2 ，3 6 江苏人学硕十学位论文 具体来说有下面两种形式的方程( 取卢i = p 2 = p 3 = 1 ) 具有c o m p a c t o n 解 k ( 2 ，2 ，1 ) 方程：i i t + 2 ) ，+ ( 纠2 ) 3 ，+ i t ，= 0 ，它的解为 f 警c o s 2 扣训i x - d t 站 甜5 t 。k 一。，i 2 死 0 8 弘0二4j ( a ) f = 0 ( b ) ，= 1 图( 3 - 1 ) k ( 2 ，2 ，1 ) 方程的e o m p a c t o n 解 k ( 3 ，3 ，1 ) 方程：u ，+ ( 甜3 ) ，+ ( “3 ) 3 ，+ “5 ，= 0 ，它的解为 以州，= 孕c o s 扣叫 u ( x ，f ) = 0 l 工一d t l 差尢 i x - d t 三丌 它的平面图见图( 3 - 2 ) ( 取d = 1 ) ( a ) f = 0 ( b ) t = 1 ( a ) ，= 0 镌 - 224 ( b ) f = 1 图( 3 - 2 ) k ( 3 ，3 ，1 ) 方程的c o m p a c t o n 解 我们把这类具有c o m p a c t o n 解的广义k d v 方程写成更一般的形式为 材，+ 卢i ( “) ，+ 卢。( z ，) 渤- 1 ) 。+ 虬“m + l ，= 0 我们还是用前面的方法拟设( 3 1 3 ) 式有下面形式的c o m p a c t o n 解 7 ( 3 1 3 ) 江苏人! ! ；乏硕十学位论文 朦7 考 d + ( 一1 ) ”( k a b ) 知3 。+ l + 卢。 碟? 一卜2 ”+ 2 = 0 n i ( - d 尸( k a b ) 2 节川= 0 陕 三 引 2 吲 要 z 月一l 卢3 m ；“胪4 ( 礅- 4 ) z ( 一1 ) pb 2 一卢川m ；扣峥4 = 0 p = 3 n - ! m 柚6 ( k 廿2 ”4 一( - 2 n + 4 ) 3 。b 2 m 墨p 2 4 = 0 这里要求6 = l ，2 ，七= 丁2 n - 2 + 1 2 n m ”毛”= 兀( s k - i ) ，= l m 一卜撕= ( 融一2 m ) 2 m o p 屯”+ ( s k 一2 m + 2 ) ( 赫一2 m + 1 ) m p r ”2 ( m = 2 , 3 ，2 2 ) m ：卜1 一= ( 毅一2 ) 2m g ( k h + ( 一1 ) ( 激) 2 “2 规定懈一卜2 = 0 ，m j “ = ( 5 k 一1 ) ，m ? 似卅= k s 这样就可以解出这个方程的解。我们再来看看增加非线性项的个数对方程接的个 一纠， 数的影响。由于要求6 = l ，2 ，七= 筝+ 1 ，所以菲线性项的个数的增加对有 6 c o m p a c t o n 解的方程的个数没有影响，也就是说不论刀为何值，此种情况下只有 两类方程具有c o m p a c t o n 解，如，7 为2 时，k 为2 和3 ，具有c o m p a c t o n 解的方 程为k ( 2 ，2 ，1 ) ，k ( 3 ，3 ，1 ) 。当月为3 时，k 为3 和5 ，也就是七阶的广义 k d v 方程z f ，+ 卢l ( 2 f ) ，+ p 2 ) h + 尾( 甜。) 5 ，+ p 4 甜7 。= 0 ，具有c o m p a c t o n 解的方 0 = ， 卜 一，* 西p m + 矿 p 2一 p 2 艿 一 p 、， t 一 k 川川 “ h 卜 “， 以p 膳 、， 4+聆2一涨 1 j+玎2一融 ，l + 磅 一赫 她n 州 、， ，i+2一融 l l 也孙 卜 卜 烈。 m 江苏人学硕十学位论文 程为k ( 3 ，3 ，3 ，1 ) ，k ( 5 ，5 ，5 ，1 ) 。可以看出刀增加，不能增加具有c o m p a c t o n 解的方程的个数，但是却增加了k 的大小，也就是说使非线性增强。 3 2 逆算符方法求解孤立波模型解和c o m p a c t o n 解 考虑广义k d v 方程k ( m ，n ，1 ) 方程的初值问题 “，+ 卢i ( u m ) ，+ p 2 ( u n ) 3 ，+ 卢3 u 5 ，= 0 ( m ，刀 1 ) ，u ( x ，0 ) = f ( x ) ( 3 2 1 ) 这罩u ( x ，) 是未知函数 根据逆算符方法的基本腮令厶= 昙，l x = 昙，k = 导，k = ；o f锨a x g x 则方程可以改写成：三，( “) = 一卢。l ，( “”) 一卢2 l 3 ， ”) 一卢3 l 5 ，( “) ( 3 2 2 ) 逆算符方法可以对线性算符求解，于是方程( 2 ) 两边作用逆算符l i l ( 即f ( ) a t ) 6 得到 “= u o f l , 三i 1 ，( 甜”) 一p 2 j 1 l 3 ，( “”) 一p 3 三j 1 5 ，( z ，) ( 3 2 3 ) 其中u 。满足，( 梯。) = 0 和初值条件 再根据逆算符方法令 “= “。， ”) ，= t ( “”) = 4 ，( “”) ，= l 3 x ( “”) = 统 ( 3 2 4 ) n = 0 n = 0n = 0 + - b o o+ q - a o 则( 3 2 3 ) 式可以写成：“。= 掰。- 3 ，- 1 a 。一f 1 2 l 7 1 统- f l ，i 1 ；，( ”。) 利用回归关系可以得到 材o ( x ，) = 厂( x ) ，“女+ l = 一p 1 l - , 。( 4 ) 一p 2 i 1 ( b ) 一f 1 3 彳1 l 5 ，( “) ，k 0 即“o ( x ，) = f ( x ) 砧( 五，) = 一卢彳1 ( 彳。) 一p ：三- l ( 玩) - p ，0 1 5 。( 。) u 2 = - p i i ( 彳i ) 一卢2 i 。( 曰1 ) 一卢3 三j 上5 ，( “。) l f 3 = 一p l i 1 ( 么2 ) 一多2 - 1 ( b 2 ) 一p 3 l - , 1 l 5 ，( “2 ) 9 江苏人学硕十学位论文 其中以，色为a d o m i a n 多项式 小i 1 万d 叭善地m 印孵= o ，l ，2 ，其中脚) - ( ， 玩= 去嘉叭朋脚舻0 l ，2 ，其帼炉k 进而可以得到 么o = f ( “o ) b o = f ( u o ) = ( z ，彳) j a l = ( u i ) ，f ( “o ) = ( m u l u o 。1 ) 彳：= 似：) ，f 。( 豁。) + 三( 掰) ，”( ) b ：= ( “：) ，f ( 材。) + 三( “；) ，f ”( “。) = ( m u ：u 彳一+ 三嘶叫甜? 矿2 ) ， = ( n u ：u g - i + 三甩( 刀一1 ) 甜? “；一2 ) ， 这样我们就可以进行计算得出方程的解 = ( 材；) 3 ， b i = ( “1 ) h f 。( “o ) 首先考虑卢p 2 0 ，以成= 卢i = 儿= 1 为例考虑k ( 2 ，2 ，1 ) 方程 “删j = 鼍i c o s 3 i 1 x 江苏人! 学硕十学位论文 方程两边作用逆算符( 即r ) 讲) 得到 0 甜= 1 1 6 d 厂- 1c 孵【百1x ) 一班，( “”) 一f u “) 一l 7 i l s 。( “) ， 根据( 3 2 4 ) 可以写成 ( 3 2 8 ) 艺“。：堑掣c o s ：( 1 x ) 一l 7 艺以一艺尾一1 厶，( 艺“。) ( 3 2 9 ) n = o 1 二 n = on = o n = o 利用相同的方法可以得到 如o ) = 1 1 6 d 广- 1c 。s 2 【1 ”l ( x ，) = 一彳1 ( 彳o + 玩) 一彳1 上5 ，( 甜o ) = 一 ( “；) ，+ ( “；) 3 ， - l 7 1 ( “。) ， = 雩1 6 孚3 ，s i n ( 1 2 卅糍2 43 2 ，s i n ( 三2 x ) z 、 。 。 ：( 1 6 d - 1 ) d ，s i n ( 一1x ) 4 8、2 甜2 = - l 7 1 ( 彳l + b i ) 一三i 1 l 5 ，( “i ) = e 1 ( 2 u l u o ) ，- ( 2 u l “o ) 3 ，一e 1 ( “i ) 5 ， = 黜，2 ( s i n 2 ( 丢工) 一c 。s 2 ( 丢x ) ) 一三鱼望三二二堡t 2cos(641 244 8 6 4 2 x ) 、 、4 7 、4 7 ：一d ( 1 6 d - 1 ) 2 2(!工1一16d2-dt c o st 2c o s ( ! 工) = 一一 ( 一工l 一一。 ( 一工) 6 4 1 2 4、2 7 4 8 6 4、2 ：一掣t zc o s ( - 导工) = 一一【- 1 9 2- i t 3 = - l 7 ( 彳2 + b 2 ) - l ；( 玎2 ) 5 。 1 1 = 彳1 【( 2 “2 ”o + 去“j ) ，+ ( 2 掰2 甜。+ i “；) 3 ，卜与1 ( ”2 ) 5 ， ：一掣t 3 s i n l l ( 力1 = 一一 ll 。t ， 1 5 2、2 1 3 江苏人学硕十! 学位论文 从酬圳= 警c o s 2c 沁号产，s i n c 等几似扣 一! ! 业1 1 5 2 f 3 s i n ( 1 2 x ) + 、， ( 3 2 1 0 ) 可以发现( 3 2 1 。) 即为函数堑笔兰c 。s 2i 1 如一d ，) 在，= o 处的泰勒展式，从而 得到了k ( 2 ，2 ，1 ) 方程的c o m p a c t o n 解。 u ，) _ 警c o s 2 历) l x d r ) l x d ，) 1 1 7 r 2 7 r 2 重新定义( 3 2 11 ) 可以得到多重c o m p a c t o n 解： r 垆挚知，) ( 3 2 1 1 ) 丢( x 一刎丁( 4 n + 1 ) z r 其中n ：一2 ，一1 ，0 ，1 ，2 ，容易发现上式的多重性依赖取值的个数： ( 3 2 1 2 ) 当n = 0 时，( 3 2 1 2 ) 即为( 3 2 11 ) 。见图( 3 4 ) ( a ) ( 取d = 1 ) ，平面图见图( b ) 当= o ，1 时( 3 2 1 2 ) 为2 重c o m p a c t o n 解。见图( 3 5 ) ( a ) ( 取d = 1 ) ，平面图 见图( b ) 当n = 0 ，l ，2 时，( 3 。2 。1 2 ) 为3 重c o m p a c t o n 解。见图( 3 5 ) ( a ) ( 取d = 1 ) ，平面 图见图( b ) 当j v 取k 个整数时，( 3 2 1 2 ) 为k 重c o m p a c t o n 解。 同样的方法可以得到k ( 3 ，3 ，1 ) 方程的c o m p a c t o n 解及其多重c o m p a c t o n 解 1 4 丌一d 一 一一2 7 i i 竺2 它 一 其 i l l 苏人学硕l 学位论文 吣川= j 旦茅c o s 。， 及其多重c o m p a c t o n 解 扁万二tl “( ”卜j 可。5 j d r ) x d ，j1 32 i 三二些，! 。 32 兰竽_ x - d t _ ( 4 n + 1 ) r c 其它 c o m p a c t o n 解 ( b ) 平面图 二重c o m p a c l o f l 解 ( b ) 平面图 驯 ：剖u 日( 3 - 6 ) f a ) k ( 221 ) 万程的三重c o m p a c t o n 解 ( b ) 平面圈 0 融 一 声s 8 l 卜酗 卜j 一钒s 2l _ - - _ _ - _ _ ，一 u - 图( 3 7 ) k ( 2 ，2 ，1 ) 方程的孤立渡解 图( 3 - 8 ) k ( 2 ，2 ，1 ) 方程的孤立波解 3 3k ( 2 ，2 ，1 ) 方程的b a c k iu n d 变换 考虑k ( 2 ，2 ，1 ) 方程掰，+ 3 l ( “2 ) ，+ 3 z ( 甜2 ) 3 ，+ p 3 甜k = 0 ( 3 3 1 ) 根据齐次平衡法，令方程( 3 3 1 ) 的b a c k l u n d 变换为 ”：厂”以+ 厂。+ v ( 3 3 2 ) 其中表示，f = f ( w ) ，、v = w ( x ，t ) ，v = v ( x ，t ) 是方程( 3 3 1 ) 的一个特解。 利用m a t h e m a t i c a ，把( 3 3 2 ) 代入( 3 3 1 ) 得到( 式子很长只写出一部分) ( 6 卢2 f + 2 1 3 2 f 叫f5 + p 3 f 7 ) h 7 + = 0 ( 3 3 3 ) 令以的系数为0 得到 6 卢2 厂厂( 4 + 2 3 ：厂5 + 卢，f = 0 ( 3 3 4 ) 容易发现( 3 3 4 ) 有如下形式的解厂= a l n w ( 3 3 5 ) 其中a = 6 卢，p 2 由( 3 3 5 ) 式可以得到一列等式 广y 钔= 一杀厂厂= 一嘉厂，( 广) ) 2 = 一嘉哺 ( 3 3 6 ) “舭= 一面aj - ( 6 ) ，孓= 一a e ， 把( 3 3 6 ) 代入( 3 3 3 ) ，可以把( 3 3 3 ) 化简为f 。，f ”，f ”，厂引，厂u ，伯线 性多项式，我们发现厂6 的系数恰好为0 ，4 f ，f ”，f ”，f ，f ”的系数分别 为0 得到 一华以+ 2 , 3 2 暇5 3 玖峨3 2 + 4 j 3 w ：w 。= o 正) ， 1 6 江苏人学硕十学t c 7 ：论文 6 卢：叱w ：一警e + 2 。卢z ；一9 助。w 二“风嵋2 k + 1 3 p ，w 3 _ 0 2 p l 们嵋3 + 6 p 2 v 。w ：+ 3 6 , 8 2 1 ，以w 。一 1 8 3 p 3 筘2 蟛2 + 3 f 1 2 彬2 一 一9 卢3 记一2 3 3 嵋2 + 2 1 3 3 w ，w 。w 一+ 1 5 3 3 以+ 以 6 , 8 卢。 以w 。+ 2 0 3 2 w ，2 v 咄 2 p l v ；w ：+ 6 p l v w ，w 。+ 1 8 3 2 v 。w x w x x + 1 8 , 8 2 1 ，三+ 2 , 8 2 y x v 。w ：+ 2 4 , 8 2 v ：w ；一 1 2 , 8 。卢， 卢2 吆。 + 2 0 3 2 + 1 0 f 1 2 v i w x w x x r , x - 3 3 + 9 卢3 y 。w k 。+ 7 卢3 心w + 2 w ，w 鲋+ y 。嵋 2 , 8 lv w ：+ 6 芦2 1 ，。k 3 + 3 6 , 8 2 v ，w ；w 搿一 1 8 , 8 卢3 卢2叱小3 聃：2 一警w k 2 + 2 0 p ：川w 。= ( 2 p l v ，w 。+ 2 j i b 2 y x , r x w 。+ 2 f l l l ，w 。+ 6 卢z v 工r w 船+ 6 卢2 v ，w ；。+ 2 卢2 v w 删+ w ，u f = 0 ( 3 3 7 ) 从而得到了方程( 3 3 1 ) 的b a c k l u n d 变换为 例刚皮 l n 其中w 满足( 3 3 7 ) 式。 ( 3 3 8 ) 现在利用b a c k l u n d 变换找出新解，我们假设v = v 0 ( 常数) 是( 3 3 1 ) 的特解， 那么代入( 3 3 7 ) 中得到 卢。卢， p 2 u 5 + 2 p 2 v o 以一3 色以畦+ 4 卢3 w ，4 = 0 6 p ：w ，4 一等争矿1 + 2 。卢z v 。以一9 卢，u 记+ 6 p ，w j 2 w 艘+ 1 3 卢，以比一= 。 2 筘l v o w ：一 1 8 , 8 。卢， 卢2 w x w 2 【3 c + 3 3 ，o w ：2 9 一 6 , 8 卢， w ，2 w ：。+ 2 0 , 6 2 v o w ；w 。“ 一9 3 3 w 三一2 p 3 w ，w 。2 + 2 1 3 ，w ，w 。w 一+ 15 , 8 3 k 2 w 。+ w ：w = 0 6 , 8 i 、，o w xw r , x 1 2 黟，多， w 。，r 手2 0 , 6 2 w ，r 蟛，r 十l o , 8 l 彬雕一层 1 4 ，f ，r ：。 + 9 p ，w 。w 。+ 7 3 3 w ，。+ 2 w 。w 川+ w 。，+ 2 卢1 1 l ，o w ：+ 2 3 i v o w ；一 1 7 艮o 2 即；一警w h 卢2 v o w x w 三一百6 f l , f 1 3 咖“峨 2 琳= 。 2 卢i v o + 2 卢2 1 ，o w 肛。+ v 删= 0 假设w ( x ，) 具有如下形式的解 ( 3 3 9 ) w = c o + qe x p 。舢 ( 3 3 1 0 ) 把( 3 。3 1 0 ) 代入( 3 3 。9 ) 中，只要满足下列条件，( 3 3 1 0 ) 就能满足( 3 3 9 ) k = ( 3 3 1 1 ) 由( 3 3 8 ) ，( 3 3 9 ) ，( 3 3 1 0 ) ，( 3 3 1 1 ) 得到方程( 3 3 1 ) 的新的孤立波解为 叩。( 鲁一2 万f 1 2 v 加2 x p ( ( c o + c le x p ( + 当c o = c l 时( 3 3 1 2 ) 为 ”鲁纠2 + v o ( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 2 ) 见图( 3 7 ) ( r c o = 1 , c l = 2 ，卢l = p 2 = 卢z = l ，v o = 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) 见图( 3 - 8 ) ( 取卢1 = 卢2 = 卢2 = l ，v o = 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) 3 4h a m i l t o n 结构和守恒量 r o s e n a u 和h y m a n 等人在研究的k ( m ，n ) 方程和d e y 等人在研究的k ( m ， n ，p ) 方程过程中他们都指出了这两类方程除了质量外不具备其它的守恒量，也 就是说它们为不可积系统【l ，2 。 方程( 3 。1 ) 可以写成如下形式 望+ 型：o ( 3 4 1 ) 岔苏 这里q ：玑x = 卢。“”+ p ：似”) ：。+ b “。，可见9 是守恒的，但我们找不到其它常 见的守恒量，容易知道方程( 3 1 ) 不能由l a g r a n g i a n 导出【4 】，鉴于这个原因首 先写出l a g r a n g i a n 为 = 肛= 出( 扣a 箬坝饥) 2 叫】 ( 3 4 2 ) 江苏人学硕十学位论文 经过变分求导后得到 u ，一c t a u 8 一u ，+ f l b ( b 一1 ) u 6 2 ( “，) 3 + 4 f l b u 6 1 以，u 2 ，+ 2 f l u 6 “3 ，- 2 7 u 5 ，= 0 ( 3 4 3 ) 这里多，= u ，我们可以发现( 3 ，4 。3 ) 式是类新的发展方程k ( a ，b ，1 ) ，它的 项和( 3 1 ) 式的项是完全一样的，但项前面的系数不同( 我们也可以命名( 3 4 3 ) 式为k ( a ，b ，1 ) ，也就是( 3 4 3 ) 式可以l a g r a n g i a n 导出而( 3 1 ) 式则不可 以l a g r a n g i a n 导出，这也验证了( 3 1 ) 式没有常见的守恒量，研究( 3 4 3 ) 式 的主要原因是它可以求出常见的守恒量：质量，动量，能量。再把( 3 1 ) 式和 ( 3 4 3 ) 式具体的比较一下得到a = m ，b + l = 刀，( 3 1 ) 式得到c o m p a c t o n 解的条 件为m = 刀，相应的( 3 4 3 ) 式也应该为口= b + 1 。 我们先算出( 3 4 3 ) 式的两个守恒量 q l = u x l = a 掰4 + 胎群6 一( 材，) 2 + 2 f l u 6 蹦2 ，一2 4 ， 另一个为 q ，：u z 2 x 2 =a 材口+ 。+ 芦( 6 一1 ) 材 ( “工) 2 + 2 触1 材2 膏一r ( u 2 r ) 2 2 y u u 4 j + 2 y u 并豁3 工 口+ j 第三个守恒量q 3 可以由h a m i l t o n 量h 得到 h = 胁- z l d x 趸= 斋= 1 2 妒， 趸2 一= 一砂， a 西 一 = j i a 筹+ 肌2 州) 2 】出 我们相对应的给出( 3 4 3 ) 式的守恒量即 质量：材( x ，) = p ( x , t ) d x 动量：m ：寻l z ( _ ，) 出 能量：e = h = 要a 筹舢) 2 + y 门出 江苏人学硕十学位论文 除此之外还没有找出其它守恒量，可以看出( 3 4 3 ) 式可能也不是可积系统。 用相同的方法拟设( 3 4 3 ) 式有如下的解 陇ls 至 。 2 吲 要 么 这里考= x d t ，代入( 3 4 三) 式中得到( 令a = b + l = k ) b 2 ：j 姿_ 4 f l ( k 1 ) a2 + 2 卢6 2 d + 2 徊4 6 4 3 ( k 1 ) ( 七一2 ) b 2 62 + 4 f 1 6 ( 6 1 ) ( 七一1 ) + 2 p b 2 ( 5 1 ) ( 6 2 ) ， 其中要求6 = 1 , 2 ，k = + 1 ，k 为2 和1 。( 3 4 3 ) 式有c o m p a c t o n 解的形式也 d 可命名为k ( 2 ，2 ，1 ) ，k ( 3 ，3 ，1 ) ，下面以具体的例子分别计算出k ( 2 ，2 ， 1 ) 和k ( 3 ，3 ，1 ) 的守恒量，c o m p a c t o n 解。 k ( 2 ，2 ，1 ) 方程：砧，一2 a u u ，+ “卢“，u 2 。+ 2 p “3 ，一2 弦5 ，= 0 取口= 1 2 ，p = 1 ，y = 1 ，利用拟设法可以得到它的c o m p a c t o n 解为 r 譬 1 6 d 8 + 1c o s 2 百1 考84 。 0 这里 = x d t ，它的守恒量为 毒l 2 r e 考f 2 石 + 2 质量：“( x ，f ) = p ( 丘t ) d x = p ( x ，o ) d x = p ( x ，o ) d x - - a o一 丌 2 。半c o s 2 砒= 警石 动量：膨= - 三! f u2 ( x , t ) d x = 圭： r 2 c x 期出2 芝1 一 2 c 曩。，玉 芦j 、 尽 d s 0c 么 0 = = 、，、l，声j 、芦j 、，k，k “ r，、 江苏人学硕+ 学位论文 3 ( d + 1 6 1 2 = 一，r 5 1 2 能量：e = 胃 = 尊口凳叫) 2 + 7 门出 = 4 u 3 ( 刈) + 9 2 x ( 蹦) + 甜2 z ，( x ，t ) d x 2 1 ( d + 1 6 ) 3 + 4 8 ( d + 1 6 ) 2 5 1 2 k ( 3 ，3 ，1 ) 方程：“f 一9 u 2 虬+ 2 u 3 ，+ 8 u u ，u 2 ，+ 2 u 2 材3 ，- 2 u 5 ，= 0 我们取a = 3 ，卢= 1 0 ，) ，= 1 可以得到它的c o m p a c t o n 解为 “( 考) = “( 考) = 0 这里毒= x d f 。 它的守恒量为 1 。 c o s 一亡 3 。 质量：“( 石，f ) = p ( 薯t ) d x = ff。112。+。6。d。 = = 一 3 ( 0 ) d x 三 动量：m = 吉：萝r 2c x 出2 芝i 一 2 c x 出 2 l 出oxx”+ox“甜+ox酣 三2p三2卫：f_2： 万 万 3 2 3 2 三：lr三： + 一 江苏人学硕十学位论文 2 + 口 = 一万 2 4 能量：e = h = 重a 等叫) 2 + y 朋出 z 坠型塑兰望丌 1 9 2 3 5c o m p a o t o n 解的线性稳定性 由于( 3 1 ) 没有l a g r a n g i a n ，所以考虑方程( 3 4 3 ) 的c o m p a c t o n 解的稳定 性。设材= 甜。+ v ，这里掰。为( 3 4 3 ) 式的解，v 为小扰动，要求jv 0 ( 3 5 6 ) 即( 3 5 6 ) 式为u c 稳定的充分条件。下面验证一下具有c o m p a c t o n 解的方程是否 满足( 3 5 6 ) 式。 由于p c “，= 圭j “2 出，其中“= ：c 。s 6 b 髻 代入( 3 5 6 ) 式得到 鲨：1 + 阵出： 一= 一f 7 r = c 3 d2 三a d 吲要 二 陕f 三 叫 2 c o s 2 占曰髻一a 2 b c o s 2 6 - 1b 考s i nb 毒】砖 + 二!+ 三 2 兰一羔彳善吕c 。s ”b 必+ j 1 一蔓a 2 c o s 2 - ib 善d c o s b 专 。三 ：三2 彳丝c 。b 磁 0 21a d 77 一五 从而所有的c o m p a c t o n 解都是稳定的。 我们还可以利用h a m i l t o n 量达到最小值来判断c o m p a c t o n 解的稳定性。 容易验证，( 3 4 3 ) 式可以由c s ( h + d p ) = 0 导出 引进一些新的式子 = ，甜”d r，：= p ( “，) 2 d x 厶= ( 叱，) 2 d r ( 3 5 7 5 ) h a m i l t o n 量h 和动量p 可以表示为 h = 熹k 、+ p 2 + y j 4 利用度量变换法令x 一班，则 删：彳“一 ：-一f矿(戗)dvx(vx)dr 1 ：立 厶( v ) 2p 5 ，一矿( 戗2 等 同理j 2 ( v ) = 订2 ， j 4 ( v ) = v 3 厶 2 3 p ：三，、 ( 3 5 8 ) ( 3 5 9 ) ( 3 5 1 0 ) 丝 4 ，。l 三扭，三抬 + 一 一2 江苏人学硕十学位论文 那幼。高。，+ 剐z 了。 尸 尸= 一 v 利用由6 ( 日+ d 尸) = 0 ，可以得到【日( v ) + 肿( v ) 】，；l = 0 ，b 口 口v 一志i o “+ 目一和t d p - q ( 3 4 3 ) 式积分两次后得到 c d 。+ l + 卢( 6 + 2 ) ，2 + 2 4 2 d p = 0 由( 3 5 11 ) 式和( 3 5 。1 2 ) 式可以解出以和l + l 叱。一是 4 d p + ( 3 b + 4 ) 舢 儿一罴 ( 1 刊。州口+ 6 + 3 ) 鹪】 ：黑( 2 口- 4 6 2 ) + 墨( 口一9 ) 3 口+ 5 、 7 3 口+ 5 、 7 l 我们再进行更广义的度量变换令“寸p 三u ( a z ) ( 3 5 1 1 ) ( 3 5 1 2 ) ( 3 5 1 3 ) ( 3 5 1 4 ) ( 3 5 1 5 ) 妒( 九，) = h ( z ，1 t ) + d p ( 2 ，) ) 结合前面的结论得到 ( 九，) ：熹p 丁a + l l + ，+ 多舢了b + 2 f 1 2 + 。 ，p ：互i tp( 3 5 1 6 ) 硼2 赤p 2 k 埘p 2 。一2 i p。置1 6 ) 痧( a ，) = h ( 2 ，p ) + d 旷( a ，卢) = 志一a + lk m 九等小y 札+ 扣 再令娑：_ 0 4 , ：o 得到 a aa “ ( 3 5 1 7 ) 等= 一熹确气卿丁b + 2 小3 以2 4 - d 矿肛。 ( 3 5 1 8 ) 等= 轰掣乙+ 字脚v h + 以3 j , - - d 妻= 。 ( 3 。5 1 9 ) 江苏人学硕士学位论文 发现当亢= 川州1 ，l 脚为( 3 4 3 ) 式，而孰。，嚣k 恰好为( 3 5 1 1 ) 式和( 3 5 1 2 ) 式的左边，所以a = j “= 1 是( 3 5 1 8 ) 式和( 3 5 1 9 ) 式的解，这 也是我们希望的。 孙矾舭) ；南乒a - ! k ，+ 小加4 + 卿5 加， 在a = 1 处泰勒展开，利用嚣l 糊= o 得到 跏( 栌6 2 阳) 华【熹( 州) ( 口3 ) _ + ( 6 + 2 ) ( 6 + 4 ) 2 + 1 4 蚓 ( 3 5 2 1 ) ( 当a = 时，尸( a ) = 拿尸= 尸，p 不改变，所以62 咖( 兄) = 82 h ( a ) ) 有( 3 5 2 1 ) 式可以看出，62 ( a ) 的符号是固定的。具体来说6z 日以) 取正( 或 负) 时， 嬲) = 硼础矿志n a - i 州+ 旷b + 4 1 小舢。在捌处取最j 、 值( 或最大值) 给出与( 3 5 5 ) 式等价条件 6 2 ( h + 钟) 匕= 净姒 。 ( 3 5 2 2 ) 也就是说当矿( 日十钟) k 吣ph 锄i t 。n 量取最小值时，此时三虿v ，z y ) 鹰 。， 从而c o m p a c t o n 解是稳定的。我们来验证( 3 5 2 2 ) 式也就是要求 熹( 日一i x 口- 3 ) 乞+ 1 + ( 6 + 2 ) ( 多+ 4 ) 鹪+ 1 4 炽 o ( 3 4 2 3 ) 我们把( 3 5 1 3 ) 式和( 3 5 1 4 ) 式代入上式，并利用c o m p a c t o n 解的条件 2 k = 劈= b + 1s3 得至u f ( 七+ 1 ) ( 七+ 3 ) ( 3 七+ 5 ) 一( 七+ 1 ) ( 七一1 ) ( 七- 3 ) ( 3 k + 1 ) - 2 8 ( k + 1 ) 】2 + 1 4 ( k 一1 ) - 4 ( k + d ( k - d ( k - 3 ) d p k = 2 时( 3 5 2 4 ) 式为l0 2 二+ 2 6 d p k = 3 时( 3 5 2 4 ) 式为1 6 4 f l j 二+ 2 8 d p ( 3 5 2 4 ) 江苏人学硕士学位论文 由于j ，和p 是为正的，所以当p o ，d o 时( 3 5 2 3 ) 式大于零，也就是说 c o m p a c t o n 解是稳定的。 2 6 江苏人学硕+ 学位论文 第四章广义c a m a s s a - h o im