（电气工程专业论文）基于数字化仪的有限元网格自动生成系统和可视化研究.pdf

中文摘要 摘要 有限元法作为一种强有力的工程分析方法被广泛的应用于各种工程领域，对 于电气工程领域，有限元法同样是用于各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与 优化设计的最主要的数值计算方法。而制约有限元分析的瓶颈问题是模型的建立 和数据的输入，其核心内容是区域的离散网格的生成，即有限元法的第一步 就是生成分析区域的一个恰当的有限元网格，由于网格划分质量的好坏直接影响 到数值分析的精度，因此寻求合适的网格生成算法以实现有限元网格自动生成是 进行有限元分析的关键问题，目前各种网格自动生成算法( 特别是在二维的分析域 中) 已经相当成熟，并在实际工程领域得到广泛应用。 本文在阐述有限元分析方法的基本原理的基础上，详细讨论了有限元分析在 工程电磁场中的具体应用。并从有限元分析系统结构这个角度分析了作为有限元 分析前处理部分的有限元网格自动生成系统在工程应用中的理论和实际意义。 进行网格剖分首先要建立分析对象的几何模型，鉴于本文的分析对象是医学 脑c t 扫描图像，为此采用数字化仪从脑c t 扫描图像中提取边界特征点，以此形 成分析模型的边界轮廓，从而建立分析模型的几何模型。文中在阐述串口通讯的 基本原理的基础上详细论述了如何实现数字化仪与计算机之间的串口通讯，最终 实现了几何建模的功能。 本文重点讨论了网格自动生成算法，通过分析和研究d e l a u n a y 三角化方法和 t h e a d v a n c i n g f r o n t 前沿推进法，设计了结合这两种网格生成算法优点的网格自 动生成算法，对加权平分设置场域内部节点的方法进行了改进，并提出了利用三 角形质量因子判据迸行网格修正和采用四倍加密法实现网格加密的网格优化措 施。采用面向对象的程序设计思想和c + + 语言开发了基于v i s u a lc 十+ 6 0 平台的有 限元网格自动生成系统，并结合具体实例验证了本算法的可行性、通用性、可靠 性、和全自动性。 本文最后讨论了科学计算可视化的含义和在工程实际应用中的重要意义，结 合本有限元网格自动生成系统设计了一个友好的交互式图形用户界面( g u i ) ，利 用o p e n g l 图形标准对生成的网格图形进行各种图形变换以实现可视化图形处理 功能。 关键词：有限元分析，三角网格，d e l a u n a y 三角化，前沿推进法，串口通讯，科 学计算可视化。 英文摘要 a b s t r a c t t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) h a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n ye n g i n e e r i n g r e s e a r c hf i e l d sa sas t r o n gt o o lo fa n a l y z i n gp r o j e c t s f o rt h ef i e l do fe l e c t r i c a l e n g i n e e r i n g ，f e mi s a l s oav e r yi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o d ，w h i c hi su s e di nt h e q u a n t i t a t i v ea n a l y s i s a n d o p t i m u md e s i g n o f e n g i n e e r i n gp r o b l e m s ，s u c h a s e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sa n de l e c t r o m a g n e t i cw a v e s t h ef o u n d a t i o no f m o d e l sa n dt h e d a t ai n p u ta r et h em a i nb o t t l e n e c kd i f f i c u l t i e sw h i c hr e s t r i c tt h ed e v e l o p m e n ta n d a p p l i c a t i o no ff e m a n d t h ek e r n e lo ft h e mi st h ed i v i d i n go fr e g i o n sa n a l y z e d ，e g t h ep r o c e s so f d i v i d i n gr e g i o n si st h ep r o c e s so fg e n e r a t i n gm e s h e s ，s ot h eg e n e r a t i o n o ff i tm e s h e si nt h ea n a l y z e dr e g i o i l si st h ef i r s ts t e po f f e m t h e q u a l i t yo f t h em e s h e s d i r e c t l yi n f l u e n c e st h ep r e c i s i o no f t h en u m e r i c a la n a l y s i s ，s ow ec a ns a y , i ti st h ek e y p r o b l e mi nf e a ( f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) t h a t t h er e a l i z a t i o no fa u t o m a t i cm e s h g e n e r a t i o nt h r o u g haf i t m e s hg e n e r a t i o na l g o r i t h m s p r e s e n t l nm a n ya l g o r i t h m so f m e s hg e n e r a t i o n ( e s p e c i a l l yf o rt h et w o d i m e n s i o nr e g i o n ) h a v eb e e nc o m p l e t e l y d e v e l o p e d a n da r eb e i n g w i d e l ya p p l i e d t ot h e p r a c t i c a le n g i n e e r i n g ， t h i s p a p e r d i s c u s s e si n d e t a i l t h ef e as p e c i f i c a p p l i c a t i o n i n e n g i n e e r i n g e l e c t r o m a g n e t i cf i e l d sa f t e ri n t r o d u c i n gt h ef u n d a m e n t a l so ff e m a c c o r d i n gt ot h e v i e w p o i n to fc r e a t i n gf e as y s t e ms t r u c t u r e ，w ea n a l y z et h et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l s e n s eo ff e ma u t o m a t i cm e s h g e n e r a t i o ns y s t e m a st h e p r e - p r o c e s s o rm o d u l e o ff e a c o n s t r u c t i n gg e o m e t r i c m o d e lo fa n a l y z e do b j e c ti st h ef i r s t s t e p o fm e s h g e n e r a t i o n , i nt h i s r e s e a r c hs u b j e c t ，w em a i n l ya n a l y z et h em e d i c a le n c e p h a l o nc t p i c t u r e ，s o w es e l e c td i g i t a li n s t r u m e n tt oe x t r a c tb o r d e rc h a r a c t e r i s t i cp o i n t sf r o m e n e e p h a l o n c tp i c t u r ea n dc r e a t et h e a n a l y z e do b j e c tg e o m e t r i c m o d e l a f t e r d e s c r i b i n gt h ef u n d a m e n t a l so fs e r i a l c o m m a n i c a t i o n w ed i s c u s si n d e t a i lh o wt o r e a l i z et h es e r i a lc o m m u n i c a t i o nb e t w e e nt h ed i 【酉t a li n s t r u m e n ta n dt h ec o m p u t e r , f i n a l l yw e r e a l i z et h ef u n c t i o no f g e o m e t r i cm o d e lb u i l d i n g i nt h i s p a p e rw em a i n l y d i s c u s st h e t r i a n g l e m e s hg e n e r a t i o n a l g o r i t h m b y a n a l y z i n g a n dr e s e a r c h i n gd e l a u n a yt r i a n g u l a t i o na l g o r i t h ma n da d v a n c i n gf r o n t a l g o r i t h m ，w ed e s i g nan e wa l g o r i t h mc o m b i n i n g t h ea d v a n t a g e so fb o t hm e t h o d s a t t h es a m et i m e ，w ei m p r o v et h ew e i g h t e dm e t h o dw h i c hi su s e dt os e ti n t e r n a ln o d e si n a n a l y z e dr e g i o na n dt a k eo p t i m u mm e a s u r e st oo p t i m i z eg e n e r a t e dm e s hb yt r i a n g l e f a c t o ro fm e r i tm e t h o da n df o u r f o l dm e s he n e r y p tm e t h o d a tl a s t ，af e mm e s h i 儿 重庆大学硕士学位论文 a u t o m a t i cg e n e r a t i o ns y s t e mb a s e do nt h ev i s u a lc + + 6 0p l a t f o r mi s d e v e l o p e db y v i r t u eo fo b j e c t - o r i e n t e d p r o g r a m m i n g i d e aa n d c + + l a n g u a g e m e a n w h i l e ， c o r r e s p o n d i n g l y , c o m b i n i n gs p e c i f i ce x a m p l e ，t h i sa l g o r i t h mi sp r o v e dt ob ee f f e c t i v e ， c o m m o n l y , r e l i a b l e ，a u t o m a t i c l a s t l y , w ed i s c u s st h ei m p l i c a t i o no fs c i e n t i f i c v i s u a l i z a t i o na n di t s i m p o r t a n t s i g n i f i c a n c ef o rp r a c t i c a le n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n t h e nw ed e s i g nai n t e r a c t i v eg u i t o h e l pu s e rt oo p e r a t et h i ss y s t e mc o n v e n i e n t l y a c c o r d i n g t ot h es t a n d a r do f o p e n g l ， u s e rc a ne x e c u t i v ea l lk i n d so f o p e r a t i o no fg r a p h i ct r a n s f o r ma n d r e a l i z et h ef u n c t i o n o f v i s u a l i z a t i o np r o c e s s i n g k e y w o r d s ：f e a ( f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) ，t r i a n g l em e s h ，d e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n ， a d v a n c i n gf i o n t ，s e r i a lc o m m u n i c a t i o n ，s c i e n t i f i c v i s u a l i z a t i o n 【绪论 1 绪论 1 1 本课题的研究意义 有限单元法 1 2 1 ( 简称有限元) 的基本思想诞生于4 0 年代，最初的应用则是 始于j o 年代中期的航空结构工程学界，有限单元法从诞生之初就面向工程界，并 伴随着电子计算机技术的进步而逐步向前发展。今天，有限单元法已经无可辩驳 地成为是一种强有力的数值分析方法。就其应用领域而言，有限单元法从5 0 年代 至今，经过几十年的发展，不断开拓新的应用领域，在经典力学领域，扩展到了 弹性力学乃至塑性力学问题，由平面问题扩展到了空间问题，由静力学问题扩展 到动力学问题、稳定问题，由固体力学问题扩展到了流体力学、热力学、电磁学 等领域的问题域。 目前，有限单元法在各个领域中的具体实现算法程序已经有很多，具体使用 中的主要问题主要在于网格能否自动剖分，如果不能实现自动化，大量的网格剖 分是一项十分繁重而艰苦的工作，这将带来极大的不便，从而限制有限元的应用。 网格剖分是有限元分析前处理的核心，目的是将有限元分析的计算模型离散化， 即进行网格剖分，得到离散模型的有关数据，例如节点编码、节点坐标，以及单 元数，单元节点编码等数据。早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的高效 率求解方法和高精度的单元。随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速 度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越来越少，而数据准备和运算结 果的表现问题却日益突出。可以毫不夸张地说，工程师在分析计算一个工程问题时 有8 0 以上的精力都花在数据准备和结果分析上。因此目前几乎所有的商业化有 限元程序系统都有功能很强的前置建模和后置数据处理模块。世界各地的研究机 构和大学发展了一批规模较小使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件， 主要有德国的a s k - k 、英国的p a f e c 、法国的s y s t u s 、美国的a b q u s 、a d i n a 、 a n s y s 、c o s m o s 、e l a s 、m a r c 和s t a r d y n e 等公司的产品。但是这些有 限元分析软件基本上都是在大中型计算机( 主要是m a i n f r a m e ) 上开发和运行 的，它们的共同特点都是采用u n i x 操作系统。m i c r o s o rw i n d o w s 操作系统和3 2 位的i n t e lp e n t i u m 处理器的推出为将p c 机用于有限元分析提供了必需的软件和 硬件支撑平台。w i n d o w s 中提供了o p e n g l 图形标准，为在p c 机上应用可视化图 形技术开发g u i 提供了强有力的工具。o p e n g l 是当今国际上公认的高性能图形 和交互式视景处理标准，目前世界上占主导地位的计算机公司都采用了这一标准。 在国内开发比较成功的有限元分析系统有大连理工大学工程力学系的j i f e x 9 5 、 北京大学力学与科学工程系的s a p 8 4 和杭州自动化技术研究院的m f e p 4 0 等， 重庆大学硕上学位论文 但是这些分析软件都不是针对电磁场问题。目前将有限元分析方法应用于工程电 磁场的研究，尤其是应用于生物电磁场问题的研究正得到快速的发展。国内对有 限元分析系统的研究从一开始就比较落后，对生物电磁场的研究目前也只是刚刚 起步。本课题就是研究基于w i n d o w s 操作系统和p e n t i u m 处理器为软硬件开发平 台采用m i c r o s o f t 公司的可视化开发工具v i s u a lc + + 和o p e n g l ，通过数字化仪 与p c 机的串口通讯，获取脑部边界区域模型，利用有限元三角网格剖分方法以可 视图形方式直观快速地进行自动网格剖分，产生合理的有限单元数据并结合有限 元法和电磁场理论进行分析，对生物体病变部分作出初步正确的诊断。从而为开 发具有自主产权的适用与疾病诊断和生物医学图像处理的专用有限元分析系统奠 定坚实的基础”7 。 1 2 国内外研究现状 计算机软件技术和硬件技术的发展促使曾经在大中型计算机和工程工作站上 开发的基于u n i x 操作系统的有限元程序移植到基于w i n d o w s 操作系统的p c 机上；目前国内外有限元分析程序开发商热衷于p c 版的开发程序，采用o p e n g l 图形标准和相应的v i s u a lc + t 等编程工具，在p c 机上成功地开发了一套可视化有 限元程序包，直观地通过“菜单”、“窗口”、“对话框”和“图标”等可视图形画 面和符号的操作，自动建立有限元分析模型，并以交互方式实现计算结果的可视化 处理，因而可大大提高有限元分析的效率和精确性，也便于用户学习和掌握。有限 元方法是生物电磁场数值计算中最有效的方法之，而有限元方法的前处理的核 心就是网格自动剖分。网格自动剖分技术从有限元方法的开始应用到今天已经相 当成熟和完善，因此二维有限元网格剖分方面的文章在国际性的学术会议和刊物 上已很少再见到，取而代之的是三维自适应网格剖分技术。目前的研究主要集中 在如何有效的实现三维网格自动剖分，建立合适的网格数据，因此三维网格自动 剖分技术尚处于研究和开发的阶段，尚不成熟。随着生物医学工程的快速发展， 人类需要更深入的认识和研究人体这个生物电磁场，采集人体生物信息，作出判 断及时诊治体内疾病，因此三维有限元网格自动剖分技术是今后一段时期内国内 外研究的重点。国内在八，九十年代开始有限元方法的研究，目前在二维领域内 也己相当成熟，而在三维领域与国外相比还有一定的差距。网格剖分方法主要有 拓扑分解法、节点连元法、网格模板法、映射法和几何分解法五种。目前，国际 上被公认的有限元网格自动剖分理想算法是d e l a u n a y 【 陋1 方法，它满足最小角 最大准则和c i r c l e 准则，从而可以形成形状最佳的三角单元网格( 近似等边三角 形) ；但是具体问题必须具体分析，d e l a u n a y 方法并不满足所有的情况，现在的 剖分主要是上述方法的混合使用及现代技术的综合应用。目前将有限元分析方法 l 绪论 应用与生物电磁场领域开发和研究相关软件的机构主要集中在国内一些高校如清 华大学电机系，河北工业大学，天津大学，第四军医大学等。但都没有开发出一 种较好的专用分析软件，由于国外a n s y s 、e l a s 、m a r c 等有限元分析软件的 通用性和卓越性使得国内许多机构应用这些软件仿真计算和问题分析，但是我们 需要自主开发专用生物医疗设备，作为它的软件支撑就必须开发我们自己的生物 电磁场有限元分析软件，因此开发前置处理软件包实现网格自动剖分则是当务之 急的事情”。 1 3 本课题研究的主要内容 本课题做为有限元分析系统的前处理部分，有限元分析模型的建立和高效， 快速的三角网格割分算法在整个分析系统中占有决定性的作用。三角单元的形状 和网格疏密程度决定有限元分析方法求解的精度和准确度。本论文在大量分析、 比较并在实践中多方求证的基础上综合d d a u n a y 方法和t h ea d v a n c i n g f r o n t l s l 方 法的优点提出a na d v a n c i n g f r o n td e l a u n a yt r i a n g u l a t i o n a l g o r i t h m 以实现二维有 限元网格割分论文的主要研究工作内容如下： 有限元分析模型的建立 利用a c t i v e x 通讯控件( m s c o m m 控件) 根据数字化仪数据传输协议编写数 字化仪与计算机之间的串口通讯程序，将采集到的脑c t 扫描图像的边界轮廓的特 征点以图形化的方式显示在个人计算机上。用户通过直观的方式来确定分析模型 的正确性，从而加速分析模型建立。 二维有限元三角网格剖分算法的研究和实现 结合d e l a u n a y 方法和t h ea d v a n c i n g f r o m 方法的优点设计了二维有限元网格 剖分算法，以实现网格自动剖分利用三角形质量因子判据和四倍加密法实现网 格优化处理。本论文的创新点在于以下几点： 1 ) 通过改进权函数的定义改进了场域内部节点的生成方法。 2 ) 吸收d e l a u n a y 三角化方法和t h ea d v a n c i n g f r o n t 方法的优点使算法效率 更高，更具有通用性。 3 ) 定义丁一个三角形质量因子作为判断三角形形状好坏的依据a 研究建立在w i n d o w s 基础上的可视化技术实现网格单元的可视化a 利用o p e n g l 图形标准进行图形变换，并建立一个交互式图形用户界面方便 用户进行可视化处理。 2 有限元分析溉述 2 有限元分析概述 随着现代科学技术的发展，人们正在不断建造更为快速的交通工具、更大规模 的建筑物、更大跨度的桥梁、更大功率的发电机组和更为精密的机械设备。这一 切都要求工程师在设计阶段就能精确地预测出产品和工程的技术性能，需要对结 构的静、动力强度以及温度场、流场、电磁场和渗流等技术参数进行分析计算。 例如分析计算高层建筑和大跨度桥梁在地震时所受到的影响，看看是否会发生破 坏性事故；分析计算核反应堆的温度场，确定传热和冷却系统是否合理；分析涡轮机 叶片内的流体动力学参数，以提高其运转效率。这些都可归结为求解物理问题的控 制偏微分方程式。由于实际问题的复杂性，要从理论上求解上述方程式往往是不可 能的。近年来在计算机技术和数值分析方法支持下发展起来的有限元分析 ( f e a ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) 方法则为解决这些复杂的工程分析计算问题提供了 有效的途径。 2 1 有限元基本概念和原理 9 1 有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代数值计算分 析方法，是解决工程实际问题的一种有力的计算工具。它是5 0 年代首先在连续体 力学领域飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后 很快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学，生物力学等连续性问题。有限 元法是根据变分原理来求解数学物理问题的一种数值计算方法。它不是直接求解 偏微分方程，而是通过网格剖分和单元插值，将连续媒质中的变分问题离散化为 有限个变量的多元函数极值问题，通过求解代数方程组得到该数学物理问题的近 似解。有限元分析( f e a ，f i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ) 的基本概念用较简单的问题代替 复杂问题后再求解，它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对 每一单元假定一个合适的( 较简嗥的) 近似解，然后推导求解这个域总的满足条件 ( 如结构的平衡条件) ，从而得至口问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实 际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不 仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的：【= 程分析手段。 传统的有限元方法以变分原理为基础，把所要求解的微分方程型数学问题 边值问题首先转化为相应的变分问题，即泛函求极值问题：然后利用剖分插值， 离散，化变分问题为普通多元函数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方 程组，解之即得到待求边值问题数值解。可以看出，有限元法的核心在于剖分插 重庆大学硕十学位论文 值，它将所研究的连续场分割为有限个单元，然后用比较简单的捅值函数来表示 每个单元的解，但它并不要求每个单元的试探解都满足边界条件，而是在全部单 元总体合成后再引入边界条件，这样就有可能对内部和边界单元采用相同的插值 函数，使得构造方法得到极大的简化。2 0 世纪6 0 年代初首次提出结构力学计算 有限元概念的克拉夫( c l o u g h ) 教授形象地将其描绘为：“有限元法= r a y l e i g l a - r i t z 法+ 分片函数”，即有限元法是r a y l e i g h r i t z 法的一种局部化情况。不同于求解( 往 往是困难的) 满足整个定义域边界条件的允许函数的r a y l e i g h r i t z 法，有限元法将 函数定义在简单几何形状( 如二维问题中的三角形或任意四边形) 的单元域上( 分 片函数) ，且不考虑整个定义域的复杂边界条件，这是有限元法优于其他近似方法 的原因之一。对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相 同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为： 1 ) 问题及求解域定义 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域，建立物理分析模型和 相应的数学模型。 2 ) 求解域离散化( 即网格剖分) 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离 散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小( 网络越细) 则离散域的近似程度 越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限 元法的核心技术之一。 3 ) 确定状态变量及控制方法 一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程 式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。 4 ) 单元推导 对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的 单元坐标系，建立单元试探函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从 而形成单元矩阵( 结构力学中称刚度阵或柔度阵) 。为保证问题求解的收敛性，单元 推导有许多原则要遵循。对工程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能 与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将 导致无法求解。 5 ) 总装求解 将单元总装形成离散域的总矩阵方程( 联合方程组) ，反映对近似求解域的离 散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元节点 进行，状态变量及其导数( 可能的话) 连续性建立在节点处。 6 ) 联立方程组求鳃和结果解释 2 有限元分析概述 有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随 机法。求解结果是单元节点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与 设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。 2 2 有限元分析在工程电磁场中的应用t m 】1 1 1 ：州”， 用于电磁场数值分析的数值计算方法，主要有：应用于微分方程数学模型的 有限差分法( 时域有限差分法) 、有限元法和应用于积分方程数学模型的边界元法、 模拟电荷法，矩量法等。1 9 6 5 年w i n s l o w 首先从力学界将有限元法引入电气工程 中，六十年代末期加拿大m e g i l i 大学p p _ s i l v e s t e r 运用有限元法成功地进行了波 导的计算；七十年代初，pps i l v e s t e r 和m vk c h a f f 合作将有限元法应用于二 维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场，此后有关 电磁场计算的有限元方法探讨的论文发表越来越多。有限元方法运用的范围由静 态场到涡流场到辐射场，由线性场到非线性场，由各向同性媒质到各向异性、要 考虑磁滞损耗，由工程电磁场到生物电磁场等等。有人认为有限元法是求解工程 电磁场的最有效、最成功的方法。应用有限元法求解工程电磁场变分问题主要步 骤如下： 1 ) 针对实际工程电磁场问题，建立物理模型。 2 ) 建立该物理问题的数学模型，建立边值问题，转化为相应的变分问题。 3 ) 将所求解的场域刮分成有限个网格( 即单元) 如图2 1 所示，设有z 。个单元， 得到许多离散点( 称为节点) ，设有f ，个， 节点可在单元的顶点，亦可在单元的边界 上取得。如图示二维场中，以三角形单元 剖分，节点设在三角单元的顶点处，每个 节点对应有唯的待求位函数值，于是， 全域上的泛函为各单元上泛函之和： f t u ) = j f 。l u ) 4 ) 在每个单元之内遂取基函数，设近似函 数在单元内各节点的待求函数值之问随坐 标按某种确定的函数关系变化。例如在某 单元中有n o 个节点，规定待求函数在单元节 点( 个) 上的值“，( ，= 1 、2 ，n 。) ，使 待求函数“在“之问随坐标按某种函数关 系变化，该近似函数又称为待求函数的 ( 内) 插值函数 图2 1 单元剖分 f i g 2 1e l e m e n t s u b d i v i s i o n 重庆人学硕士学位论文 u2u 2 己a i n f 以近似反映待求函数0 i 1 在单元中的分布情况。 5 ) 将插值函数代入各单元泛函中，使单元上的泛函近似地被以单元各节点待求函 数值为自变量的能量函数所代替，称为连续泛函离散化，从而使全域上总的能量 泛函近似由所有节点待求函数值为自变量的能量多元函数所代替 f ( u ) 圭f ( 厅) = f ( u ，)( - l ，2 ，_ 一，0 ) 6 ) 按多元函数的极值原理，将能量函数对自变量求极值，得到一系列的代数方程 挚：0o ：1 m ，o ) 联立以上n 个代数方程j 代数方程组j 有限元方程。求解该方程组，获得 求解场域中各节点处待求函数值的近似解( 它又称离散解) 。由以上有限元法的实 施步骤，可以认为：有限元法是根据变分原理来求解数学物理问题的一种数值计 算方法。它彳i 是直接求解偏微分方程，而是通过网格剖分和单元插值，将连续媒 质中的变分问题离散化为有限个变量的多元函数极值问题，通过求解代数方程组 得到该数学物理问题的近似解。在此过程中网格剖分产生的单元的密度和形状决 定数值分析近似解的精度。 2 3 有限元网格生成方法的研究概况m - 有限元网格生成技术发展到今天，已经出现了大量的不同实现方法，而且随 着时间的推移，还可能不断地有一些新方法的出现，而一些老方法也可能会得到 进一步的完善和发展。按照剖分的节点和单元生成的先后顺序可以划分为四个大 的类型：网格先剖分( m e s h t o p o l o g y f i r s t ) ，节点先生成( n o d e sf i r s t ) ，节点单元同时 生成( n o d e sa n de l e m e n t ss i m u l t a n e o u s l y ) ，网格模板适应( a d a p t e dm e s ht e m p l a t e ) ， 其分类图谱如图2 2 所示。 1 ) 映射法 映射法又分为映射单元法( m a p p e de l e m e n ta p p r o a c h ) 和保角映射法 ( c o n f o r m a lm a p p i n ga p p r o a c h ) 。早期的映射单元法要求将目标区域手工分成许多 有利于映射操作的简单子域。现在通常采用所谓超映射技术来获得过渡比较平滑 的网格。保角映射法能直接处理单连域问题，但时因为该方法难于控制单元形状 和单元密度，所以很少采用。映射法的优点在于在每一个子区域内网格生成可以 得到相当好地控制，能够用于曲面网格的生成，但是其最大的弊端在于要求事先 根据所要产生的网格类型将目标区域分割成一系列可映射的子区域，而这一工作 通常需要人工完成，因而自动化程度较低。 2 自。限元分析概述 2 ) d e l a u a n y 三角化方法【”】 d e l a u a n y 三角化方法是目前最流行的全自动网格生成方法之一，先在区域内 布点然后按照d e l a u a n y 三角化标准满足即最大一最小角特性和空外接圆特性进 行三角化。d e l a u a n y 三角化方法在2 d 平面区域剖分问题中获的相当大的成功， 但在3 d 情况下，基于最大一最小角判獬的对角线交换规则不再成立，面基于外接 圆判据的d e l a u a n y 三角化一般也不能保证生成的网格质量，同时，d e l a u a n y 判据 本身并不能知道怎样在空间布置节点，因此需要寻找一种较好的生成节点的方法， 既要点的分布满足密度控制的要求，又要求三龟形形状尽可能的好。 3 ) 拓扑分解法 拓扑分解法较其他方法发展较晚，它首先是由w o r d e n w a b e r 提出来的，该方 法假设最后网格顶点全部由目标边界顶点组成，那么可以用一种三角化算法将目 标用尽量少的三角形完全分割覆盖，这些三角形主要是由目标的拓扑结构决定， 这样目标的复杂拓扑结构被分解成简单的三角形拓扑结构。该方法生成的网格一 般相当粗糙，必须与其他方法相结合，通过网格加密等过程，才能生成合适的网 格。 图2 2 网格剖分分类图( 根据kh o l e1 9 8 8 ) f i g 2 2c l a s s i f i c a t i o nc h a r to f m e s hg e n e r a t i o n ( b a s e do n kh o - l e19 8 s ) 9 重庆大学硕士学位论文 4 ) 几何分解法 在这种方法中，节点与单元同步生成，与拓扑分解法完全不同的是在实体分 解过程巾，考虑了所生成的单元形状和大小，确保生成的单元质量尽量的好( 在拓 扑分解法中并不考虑生成的单元的形状，而且除边界顶点外，一般不增加新的顶 点) 。几何分解法可以进一步分成区域递归细分法、单元迭代移去法和子域移去法， 其中作为最成功的全自动网格生成方法之一的前沿推进法就属于单元迭代移去 法，其思想就是从带剖分目标区域的边界开始，一次生成一个单元，并从目标区 域中移去这个单元区域，得到新的待剖分目标区域及其边界。 5 ) 基于栅格法 这类方法可以细分为基于正则栅格的正则空间分解法和基于四( 八) 叉树结构 的空间分解法( 亦称空间编码法) 。正则栅格法首先将一完全包含目标区域的正则 栅格放氍在目标区域上面，除去落在目标区域之外的栅格堆元，并对与物体边界 相交的栅格单元进行调整或裁减以便更准确的逼近目标区域。再将这些栅格单元 按照一定的样式分成一定数量的网格单元后，通过光滑处理即可得到最后的网格。 栅格越密，网格质量越好。而四( 八) 叉树空间分解方法中，首先将目标区域用一 尽可能小的正方形方圈定，然后将这个证方形分解成四( 八) 个子区域，对每一个 子区域测试其是否完全在目标区域外面或是否满足密度控制的要求，若满足所给 定的条件则停止埘此子区域的细分，否则将之细分，该过程迭代执行下去直到达 到预定的离散要求。栅格法所生成的网格与所选择的初始栅格及其取向有关，网 格边界单元质量差，程序实现相当复杂，所需内存比较大，不利于实现并行处理。 一个算法能否在具体应用中发挥作用要由算法本身的性能和相应的计算机程 序质量两个方面共同决定。程序的好环在很大程度上依赖算法的原理，因此对算 法本身进行理论上分析论证，寻求收敛快、精度高、适用面广的算法是非常重要 的然而理论分析仅仅是一个方面理论上先进的算法还必须通过一个高质量的软 件彳能褥以实现。 2 4 有限元分析系统 2 4 1 有限元分析程序结构 一般通用有限元软件的程序结构如框图2 3 所示。有限元程序总体可分为三 个组成部分：前处理；有限元计算；后处理。前处理程序提供离散模型的数据： 离散模型的节点数、节点自由度及节点坐标；单元数及单元节点编码；节点规格 数：初始位移和载荷信息等。有限元计算程序是有限元分析程序的核心，它根据 离散模型的数据进行有限元分析：单元矩阵和载荷的计算；约束处理；总体矩阵 2 有限元分析概述 和载荷的形成；代数方程组的求解等。后处理程序输出计算结果及可视化功能。 以上三部分中前、后处理占用了软件包语句的9 0 以上，编程的主要工程作量在 此，而有限元计算部分仅占软件语句的1 0 p 以内，但它却是占用计算机内存量和 消耗c p u 时间的主要部分。 图2 3 一般有限元程序框图 f i g 2 3p r o g r a ms c h e m a t i co f n o m a lf e a 2 4 2 有限元系统分析软件的发展趋势 有限元分析方法在工程实际中的广泛应用促进世界各国开发出各种通用或专 用的功能强大的有限元系统分析软件，具有代表性的如国外的p a t r a n ，m a r c ， a n s y s 分析软件和国内北京飞箭软件有限公司自主开发的f e p g ( f i n i t ee l e m e n t p r o g r a mg e n e r a t o r ) 的等，体现了3 0 年来有限元分析的理论方法和软件实践的完 美结合。当今国际上f e a 方法和软件发展呈现以下一些趋势特征： 1 ) 与c a d c a m 软件系统问的无缝集成 有限元分析模型可从c a d 几何模型上快速地直接生成，用精确表现真实产品 设计取代以往的近似描述，进而省去了在分析软件系统中重新构造几何模型的传 统过程，今天，工程师可以在集成的c a d 和f e a 软件环境中快捷地解决一个在以 自口无法应付的复杂工程分析问题。 2 ) 可视化、智能化的前置建模和后置数据处理功能 早期有限元分析软件的研究重点在于推导新的商效率求解方法和高精度的单 元。随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速度的飞速发展，整个计算 重庆人学硕士学位论文 系统用于求解运算的时问越来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突 出。在现在的： 程工作站上，求解一个包含1 0 万个方程的有限元模型只需要用几 十分钟。但是如果用手工方式来建立这个模型然后再处理大量的计算结果则需用 几周的时j 瑚。可以毫不夸张地说，工程师在分析计算一个工程问题时有8 0 以上的 精力都花在数据准备和结果分析上。因此目前几乎所有的商业化有限元程序系统 都有功能很强的莳置建模和后置数据处理模块。通过与在强调”可视化”的今天， 很多程序都建立了对_ j 户非常友好的g u i ( g r a p h i c su s e ri n t e r f a c e ) ，使用能以可视 图形方式直观快速地进行二维三角形和四边形、三维四面体和六面体网格自动划 分，生成有限元分析所需数据，并按要求将大量的计算结果整理成变形图、等值分 布云图，便于极值搜索和所需数据的列表输出。 3 ) 在w i n d o w s 平台上的发展 早期的有限元分析软件基本上都是在大中型计算机上开发和运行的，后来又 发展到以工程工作站( e w s ，e n g i n e e r i n gw o r k s t a t i o n ) 为平台，它们的共同特点都是 采用u n 操作系统。p c 机的出现使计算机的应用发生了根本性的变化，工程师 渴望在办公桌上完成复杂工程分析的梦想成为现实。但是早期的p c 机采用1 6 位 c p u 和d o s 操作系统，内存中的公共数据块受到限制，因此当时计算模型的规模 不能超过i 万阶方程。m i c r o s o f tw i n d o w s 操作系统和3 2 位的i n t e lp e n t i u m 处理 器的推出为将p c 机用于有限元分析提供了必需的软件和硬件支撑平台。因此当前 国际上著名的有限元程序研究和发展机构都纷纷将他们的软件移植到w i n d o w s 平台上。 2 5 有限元网格自动生成系统 有限元分析软件在工程实际中的广泛应用极大地促进工程技术的发展，但同 时国内在这方面的研究却相对落后，而是很大程度上依赖国外先进的分析软件。 因此仅仅是从价格和技术发展的角度来讲我们都有必要开发具有自主产权的属于 我们自己的分析软件。同时我们现在正在使用和了解的有限元分析软件大都是通 用分析软件，适用于结构分析( 可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析) 、 流体动力学分析、电磁场分析、声场分析等各种工程领域的分析