（基础数学专业论文）非线性反应扩散方程的广义条件对称.pdf

中文摘要 非线性现象广泛的存在于自然界及人类社会等领域，对它的研究大部分可 归结为求解非线性方程，因此研究非线性方程的精确解成为人们普遍关注的问 题与对称群相关的方法是求解非线性偏微分方程的最为有效和普遍的方法， 基于挪威数学家s o p h i sl i e 提出的李点对称法产生了各种对称群法，如条件对 称、l i e - b 托l d u n d 对称、广义条件对称等方法，它们可用于研究方程的对称约 化和精确解 由于大多数模型没有l i e - b i c k l u n d 对称，所以z h d a n o v 和f o k a s 及l i u 提出了广义条件对称法，这种方法能构造出方程具有重要物理意义的精确解， 它在研究非线性偏微分方程的精确解和对称约化中被证明是非常有效的方法 本文主要应用广义条件对称法研究非线性反应扩散方程u t = 【a ( u ) u 1 z + p ( x ，钍) 札z + q ( z ，让) ，其中扩散项a ( u ) = 缸m 分别利用形如? 7 = $ + 日( 乱) 2 + c ( x ，让) + p ( x ，“) 和叼= 卫+ 日( 铭) 让：+ c ( x ，“) ( “z ) 2 哪+ f ( x ，乱) ( ) 1 _ n 的 二阶广义条件对称对该方程进行对称约化和分类，进而根据广义条件对称和所 得方程的相容性给出一些相应方程的精确解，这些精确解对一些物理现象的解 释提供了帮助 关键词 广义条件对称，精确解，非线性反应扩散方程，对称群 a b s t r a c t ( 英文摘要) d u et ot h ef a c tt h a tn o n l i n e a rp h e n o m e n aw i d e l ye x i s ti nn a t u r a la n ds o c i a l w o r l d ，a n dt h er e s e a r c hf o rt h e mm o s t l yc a l lb er e d u c e dt os o l v i n gt h en o n l i n - e a re q u a t i o n s ，t h e r e f o r et h es t u d yo fe x a c ts o l u t i o n st on o n l i n e a re q u a t i o n sh a s b e c o m eaw i d e s p r e a dc o n c e r n a m o n gn u m e r o u sm e t h o d s ，t h eo n e sr e l a t i n gt o s y m m e t r yg r o u p s 缸em o s te f f e c t i v ea n du n i v e r s a lt os o l v en o n l i n e a rp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n s b a s e do nl i ep o i n ts y m m e t r ym e t h o dp u tf o r w a r db ys o p h i s l i e ，an o r w a ym a t h e m a t i c i a n ，m a n ys y m m e t r yg r o u p sm e t h o d sc a l y l eo u ta n d a p p l i e dt os t u d y i n ge x a c ts o l u t i o n sa n ds y m m e t r yr e d u c t i o no fe q u a t i o n s ，t h e s e m e t h o d si n c l u d i n gc o n d i t i o n a ls y m m e t r y , l i e - b i c l d u n ds y m m e t r y , g e n e r a l i z e d c o n d i t i o n a ls y m m e t r ya n ds oo n b e c a u s eo fm o s tm o d e l s l a c k i n gl i e - b 乱k l u n ds y m m e t r y , z h d a n o v ，f o k a s a n dl i up r o p o s e dt h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r y , w h i c hc o n s t r u c t se q u a - t i o n s e x a c ts o l u t i o n so fi m p o r t a n tp h y s i c a lv a l u e s s oi tw a sp r o v e dv e r ye f f i c i e n t i nt h es t u d yo ft h ee x a c ts o l u t i o n sa n ds y m m e t r yr e d u c t i o n so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，t h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o di su s e dt or e - s e a r c ht h en o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n su t = 【4 ( 乱) u 2 k + p ( x ，u ) u z + q ( x ，乱) ，i n w h i c ht h ed i f f u s i o ni sp o w e rl a w ，i e a ( u ) = u m w eu t i l i z et h es e c o n d o r d e r g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r i e ss u c ha sr l = 心z z + h ( u ) u 2 x + c ( x ，u ) u 茁+ f ( x ，u ) a n d 叼= 乱z z + h ( u ) u 2 z + c ( x ，仳) ( 让z ) 2 一n + f ( x ，u ) ( ) 1 一nt oc l a s s i f ya n d r e d u c et h i se q u a t i o n a n da c c o r d i n gt ot h ec o m p a t i b i l i t yo ft h eg e n e r a l i z e dc o n - d i t i o n a ls y m m e t r ya n dt h ec o n s i d e r e de q u a t i o n s ，e x a c ts o l u t i o n so fs o m er e l a t i v e e q u a t i o n sa r eg i v e n t h e s es o l u t i o n sw i l lo f f e rs o u n dg r o u n dt ot h ee x p l a n a t i o n o fs o m ep h y s i c a lp h e n o m e n a k e y w o r d s t h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r y , e x a c ts o l u t i o n s ，t h en o n l i n e a rr e - a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，s y m m e t r yg r o u p n l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人 允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构 将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：! 丑垒指导教师签名 纠。年歹月l a - 日卢 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：) 习裳 伽9 年否月f 2 日 西北大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 非线性现象在物理，自然科学和应用科学等方面有着广泛的应用，特别是 在物理学中基本上所有的方程都是非线性的一般而言，很难给出这些非线性 方程的显式解，因此扰动、渐进、数值等方法被用于获得非线性方程的近似 解然而构造非线性偏微分方程的精确解仍然是现代数学物理学中一个备受 关注的问题，这主要是由于精确解包含了相关系统的精确信息，故而在分析各 种物理现象时发挥着至关重要的作用，同时精确解对数值解精确度的控制提供 了有用的信息众所周知，与对称群相关的方法是求解非线性偏微分方程的最 为有效和普遍的方法，它包括李点对称法f 卜3 】、非古典李群法( 也称作条件对称 法) 1 4 - 6 、c k 直接法【7 】、分离变量法【8 】、假设法【9 1 0 l 、符号不变量及不变子空 间法【1 l 1 3 】、广义条件对称法 1 4 - 2 5 等等特别的，具有某些性质的群不变解可以 用于研究非线性偏微分方程的各种性质 寻找偏微分方程( p d e ) 的对称约化和精确解的古典方法被称为无穷小变化 的李群法【l 。2 1 ，它最早是由挪威数学家s o p h i sl i e 提出的该方法要求无穷小变 化在所考虑的p d e 的解流形的集合上保持不变，这样可获得一个关于无穷小 的超定线性系统，求解这个超定系统的方法是完全代数化的，常常包括大量枯 燥的代数运算和辅助运算，因此出现了很多计算软件用于求解这个系统李点 对称法可以获得一些具有物理和几何意义的解，例如自相似解和行波解就是通 过李对称法得到的群不变解 李点对称法在研究方程的精确解和对称约化时有一个明显的局限性，即 它要求所研究的方程必须有非平凡的李对称在自然界中有些重要的方程具 有很弱的李对称，因此有必要修正对称约化的过程使得它可用于求解这些方 程，故而基于李点对称的各种对称群法逐渐的产生了由b l u m a n 和c o l e 提 出的非古典李群法就是李点对称法的直接推广，它被用于研究热方程的对称约 1 第一章绪论 化这种方法要求无穷小变化同时在解流形和不变曲面条件的联合下保持不 变，从而得到关于无穷小算子的超定的非线性系统非古典李对称的决定方程 的数量少于李点对称的决定方程的数量，因此非古典李对称的解集可能大于李 点对称法所得到的解集这里要注意非古典李对称的无穷小算子不能形成李代 数c l a r k s o n 和k r u s k a l 引入一种代数的、直接的方法即c k 直接法，用于研 究b o u s s i n e s q 方程的对称约化，获得一些以前未得到的对称约化与前面所提 到的方法相比较，c k 直接法最显著的特色是没有应用群理论的思想该方法先 假设方程解的形式代入p d e ，将其转化为一个常微分方程或常微分方程组，它 被用于研究很多具有重要物理意义的方程很多文章中 2 6 - 2 8 探讨了直接法和非 古典李群法的关系，证明了直接法包含在非古典李群法中 接着，e n o e t h e r 2 9 】通过在无穷小生成子中引入因变量的导数项，构 造p d e s 的精确解，通常称这种方法为l i e b i i c k l u n d 对称法( 或称为广义 对称) ，通过这种方法可以获得k d v ，m k d v ，s i n e - g o r d o n 等方程的多孤立 子解 3 0 | ，但是一些具有重要物理意义的方程没有l i e - b 氖c k l u n d 对称，因 此z h d a n o v 【1 5 】及f o k a s 和l i u 1 4 引入了条件l i e - b 筑c k l u n d 对称，也称广义条 件对称得到非线性p d e s 的新的解及对称约化这种方法可以看做是非古典李 对称法的推广，如同l i e - b l t c k l u n d 对称是李点对称法的推广一样，因此计算广 义条件对称的过程与求解条件对称是类似的目前，该方法被成功的用于获得 非线性p d e s 的各种精确解，特别是函数型分离变量解同时，广义条件对称法 也被用于研究非线性p d e s 的初始值问题【1 6 ，1 7 i ，该方法与不变子空间法有着 密切的关系 1 2 基本符号和定理 下面我们对广义条件对称的相关知识进行简单的介绍 假定佗阶的非线性演化方程具有如下形式： u t = f ( x ，t ，缸，u l ，i t 2 ，u n ) ， 2 ( 1 1 ) 西北大学硕士学位论文 其中u i = a i u o x ，1 i n ，它在非李点的无穷小变换群下不变，其表示为： 仳7 = u + c n ( t ，z ，u ，u 1 ，“2 ，u n ) + d ( e 2 ) ， 磁= u + e d t 7 7 ( 亡，z ，仳1 ，u 2 ，? - t n ) + o ( e 2 ) ， = 乱+ c d 正7 7 ( ，z ，u ，u l ，t 上2 ，u j ) + o ( e 2 ) ， 这个变换群是由下面的l i e - b 氨c k l u n d 向量场产生的， q 2 薹珑毫+ - 三叩嘉+ c 见叩，杀十c 彤2 叩，矗+ 上式中应用了下面的记号： 耻麦+ 薹帅毫，d k + l = d z c 瑚一0 “ 注记：如果，7 具有如下形式 7 7 = ，z ，u ) 一7 ( t ，z ，u ) u t f ( ，z ，让) ， 那么l i e - b 扯k l u n d 向量场等价于李向量场，它可以表示成下面的标准形式： ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) q 刮，u ) 妄州纰，仳) 差州和，乱) 嘉 ( 1 5 ) 定义1 如果条件 q ( u t f ) i l = 0 ( 1 6 ) 成立，则称方程( 1 1 ) 在l i e - b i c k l u n d 向量场( 1 3 ) 下是不变的，其中l 是方 程毗一f = 0 的所有微分序列的集合，即：磁d ；( 饥一f ) = 0 ，歹，k = 0 ，l ，2 定义2 如果条件 q ( u t f ) i l n 耽= 0 ( 1 7 ) 成立，则称方程( 1 1 ) 在l i e - - b i i c k l u n d 向量场( 1 3 ) 下是条件不变的，其中尥 是7 7 = 0 关于自变量z 的所有微分序列的集合，即：d ：叼= 0 ，k = 0 ，l ，2 3u 命题( f o k a s 和l i u 1 4 】及z h d a n o v1 1 5 1 ) 如果存在一个函数w ( t ，。，u ，? 7 ) 使得下 面的式子 窑= 刚+ w ( t ，训，叩) ，w ( t ，训，o ) = o ( m ) 成立，则称方程( 1 1 ) 允许广义条件对称( 1 3 ) ，其中【只叩】= f 7 叩一r f ，7 表 示g a t e a u x 导数，即 州垆宝+ 毫如+ 恚“一， 且w 是关于，z ，u ，u l 及刀，d z 7 7 ，d ：叩的解析函数 推论当7 7 与t 无关时，如果【e 圳叩：0 = 0 ，即7 7 7 f i 叩：o = 0 成立时，则方程( 1 1 ) 允许广义条件对称( 1 3 ) 根据定义很容易看出计算广义条件对称的过程与求解条件对称是类似的 首先，将l i e - b 酏k l u n d 向量场q 作用在式子毗一f 上，此表达式可看作是关 于独立变量t ，z ，i t ，u t ，i t l ，的函数接着，利用方程i t t f = 0 ，叩= 0 以 及它们的相应微分序列消除u 北，k = 0 ，1 ，2 ，和u n ，u n + 1 ，最后，令所得 的式子为零，从而得到一个非线性的偏微分方程组，称其为决定方程组，求解此 决定方程组得到广义条件对称的一般形式 利用广义条件对称求解偏微分方程解的思路是： 将非线性偏微分方程 叼( t ，z ，u ，z t l ，u n ) = 0 看做关于变量z 的阶常微分方程，它的一般解形式为 牡= y ( t ，z ，妒1 ( t ) ，妒2 ( t ) ，垆( ) ) ， 其中( 亡) ，歹= 1 ，是任意光滑函数，将上式代入方程u t f = 0 中从而 确定哟( 亡) 的表达式 广义条件对称法构造了方程具有重要物理意义的精确解，它在研究非线性 偏微分方程中的精确解和对称约化时取得了显著的效果，由该方法所获得的精 4 西北大学硕士学位论文 确解一般不能由李点对称或非古典李对称法得到，近几年屈长征教授在这方面 做了大量的研究 1 9 - 2 5 1 3 问题的提出 本文我们主要考虑带有热源项的反应扩散方程，其形式为 u t = a ( u ) 嵋】。+ p ( x ，u ) + q ( x ，札) ，( 1 9 ) 其中a ( u ) 是乱的任意光滑函数，表示扩散项，p ( z ，u ) ，q ( x ，u ) 是z ，让的任意 光滑函数，分别表示反应系数及热源项这种类型的方程在工程学、物理、生 物、化学反应理论等方面有着广泛的应用，其精确解在研究方程的近似、爆 破、熄灭及几何特性等方面扮演着重要的角色 对于方程( 1 9 ) ，当n = 1 ，且p ( z ，u ) 和q ( z ，u ) 不依赖于变量z 时， 大量与对称群相关的方法被成功地用于寻找此类方程的精确解，包括李 点对称法f 3 1 ，3 2 j ，条件对称法f 4 ，5 ，2 6 ，2 8 ，3 3 ，驯，直接法f 7 ，3 5 ，3 6 j ，广义条件对称 法【1 4 ，1 9 _ 2 1 ，3 7 】及符号不变量和不变子空间法【1 1 13 】等等当p ( x ，u ) 和q ( x ，饥) 依赖于变量z 时，屈长征等运用广义条件对称【2 3 】讨论了扩散项分别取幂函数和 指数形式时方程的精确解当反应项和热源项取幂函数型时，即方程表示成 毗= ( u n ) z z + ，( z ) 钍毒u x + 夕( z ) u m ， 在文献【3 8 ，3 9 】中用李点对称和非古典对称法研究方程的精确解和对称约化 当n 1 ，且p ( x ，u ) 和q ( x ，u ) 不依赖于变量z 时，在参考文献【4 0 - 4 2 】中， 运用与对称相关的方法研究具有幂函数型扩散项且无热源项的方程，并得到各 种形式的精确解文献 2 4 】中用广义条件对称法研究了具有幂函数型扩散项的 方程的精确解当p ( x ，u ) 和q ( x ，u ) 依赖于变量。时，这类方程的研究工作还 不是很多 本文主要运用广义条件对称的方法对方程( 1 9 ) 进行研究，分别考 虑方程允许二阶广义条件对称7 7 = “z z + 日( u ) “：十c ( x ，乱) + f ( x ，u ) 5 第章绪论 和刀= z + 日( u ) u ：+ g ( z ，u ) ( ) 2 哪+ f ( x ，札) ( 乱z ) 卜n 的情况下方程的形式， 从而根据广义条件对称和方程的相容性得出方程的精确解 6 西北大学硕士学位论文 第二章 非线性反应扩散方程的广义条件对称l 2 1 死取不同值时方程的广义条件对称 根据推论知，方程 饥= e ( u ) 三陋( u ) u ：k + p ( x ，乱) u z + q ( z ，u ) 允许广义条件对称( g c s ) 的充分条件是 7 7 = z + h ( u ) u ：+ g ( x ，u ) u z + f ( x ，t )( 2 1 ) v e i 叩：0 = 【a 肿一( 3 仃+ 1 ) a h 一3 n a 7 h 7 + n ( 3 n + 2 ) a 7 仃2 一n a h 一佗2 ( 铊+ 1 ) a h 3 + n ( 3 n + 1 ) 4 仃胃，】喀+ 3 + 【- 乳2 ( 3 礼+ 1 ) a h 2 g 一( 3 仃+ 2 ) a g + n ( 3 n + 1 ) a h 7 g 一3 h a g u + 3 n ( 2 n + 1 ) a 7 h g 一佗a g 伽+ n ( 3 n 一1 ) a h g u 】u ：+ 2 + 【一佗a 兄仳+ 2 n ( 3 n + 1 ) a 7 日f + 佗( 佗一2 3 n 2 ) a h 2 f 一3 h a 7 r 十n ( 3 n + 1 ) a h 7 f 一3 ( n + 1 ) a f + 3 n ( n 一1 ) a h f , , 一2 n a g x n + n ( 3 n 一1 ) a h g z 一( 3 n + 1 ) 4 7 q + n ( 3 n + 1 ) a 7 g 2 一n 2 ( 3 佗一1 ) a h g 2 + n ( 3 n 一1 ) a g g u 】u ：+ 1 + m ( 3 n 一1 ) a g u f + 2 n ( 3 n 一3 n 2 2 ) a h g f 一2 n a 疋t + 3 n ( n 一1 ) a g f , , 一( 3 n + 1 ) a 7 疋+ n ( 6 n + 1 ) a 7 g f + 3 n ( n i ) a h f x + n ( 3 n 一1 ) a g g 一挖2 ( 坨一j ) a g 3 一死么q 。】+ f n ( 5 n 一3 n 2 4 ) a h f 2 + n ( n 一1 ) ( 2 3 n ) a g 2 f + n ( 3 n i ) a g z f + 3 n 2 a 7 f 2 + 3 n ( n 一1 ) a f f 。, + 3 n ( n 一1 ) a g f x n a g z 】札2 1 + 【3 n ( n 一1 ) a f f 。： + n ( n 一1 ) ( 3 n 一4 ) a g f 2 】皖一2 + n ( n 一1 ) ( n 一2 ) a f 3 嵋3 + ( r 缸一日r ) 砧：+ ( 日7 q + 一2 r g + 吼+ 2 b u ) 7 第二章非线性反应扩散方稃的广义条件对称1 + ( g 缸q p g 善一3 r f + r z 一岛g + 2 q 。u + 2 h q 。) + r q + g 印z 一2 r f q u f p r + q 七z = 0 ，( 2 2 ) 其中月( u ) = 俨令各项系数为o ，则可以得到方程( 1 9 ) 和g c s ( 2 1 ) 中参数 函数的决定方程组在佗取某些固定值时，上式中某些项可以进行合并，下面 我们分两种情况对方程( 1 9 ) 的广义条件对称进行讨论 情形一：考虑礼为任意值时，得到关于p ( x ，u ) ，q ( z ，u ) ，日( ) ，g ( z ，钆) ， f ( x ，u ) 的决定方程组为： 茂”一心l n 1 ) a h 一3 h a lh | 七n ( 3 n 2 ) a | h 。一n a h m 一亿2 ( n + 1 ) a h 3 + n ( 3 n + 1 ) a h h 7 = 0 ， 一他2 ( 3 n + 1 ) a h 2 g 一( 3 n + 2 ) a g + n ( 3 n + 1 ) a h c 一3 h a 7 瓯 ( 2 3 ) + 3 n ( 2 n + 1 ) a 7 h g n a g 讹+ n ( 3 n 一1 ) a h g u = 0 ， ( 2 , 4 ) 一佗a e 化+ 2 n ( 3 n + 1 ) a 7 日f + 佗( 佗一2 3 n 2 ) a h 2 f 一3 h a 7 r + n ( 3 n + t ) a h | f 一3 ( n + 1 ) a | 1 f + 3 n ( n 一1 ) a h f , , 一2 n a g z u + n ( 3 n 一1 ) a h c 霉一( 3 n + 1 ) a 7 g z + n ( 3 n + 1 ) a 7 g 2 一t t 2 ( 3 n 一1 ) a h g 2 + n ( 3 n 1 ) a g 瓯= 0 ， n ( 3 n 一1 ) a g t f + 2 n ( 3 n 一3 n 2 2 ) a h g f 一2 n a f u n a g 矗 + 3 n ( n 一1 ) a c f “一( 3 礼+ 1 ) a 7 b + n ( 6 n + 1 ) a 7 g f + ( 2 5 ) 3 n ( n 一1 ) a 日r + n ( 3 n 一1 ) a a c z n 2 ( 佗一1 ) a g 3 = 0 ，( 2 , 6 ) n ( 5 n 一3 n 2 4 ) a h f 2 + 佗( n 一1 ) ( 2 3 n ) a a 2 f n a f = z + 3 n 2 a 7 f 2 + 3 n ( n t ) a f e u + 3 n ( n 1 ) a g r + n ( 3 n 一1 ) a g 。f = 0 ， 3 n ( n 一1 ) a f f + n ( n 一1 ) ( 3 几一4 ) a a f 2 = 0 ， 佗( 佗一1 ) ( 佗一2 ) a f 3 = 0 ， r 缸一日r = 0 ， 日7 q 十q 也一2 尸u g + q “h + 2 p u = 0 ， 8 ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 西北大学硕士学位论文 吼q 一尸q 一3 r f + 尼z 一岛g + 2 q z u + 2 h q 。= 0 ， r q + g q z 一2 b f q u f 尸r + q 正z = 0 ， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 其中a ( u 1 = u m 根据方程( 2 9 ) ，显然有f ( 。，) = 0 将a ( u ) = 俨代入式( 2 3 ) 中，则有 l t ? 2 3 h + 【3 n m u 2 一( 3 n 2 + 扎) “3 h h 7 + 7 , 2 ( n + 1 ) u 3 日3 一n ( 3 n + 2 ) m u 2 h 2 + m ( 3 礼+ 1 ) ( m 一1 ) u h 一仇( m 一1 ) ( m 一2 ) = 0 ( 2 1 4 ) 显然很难给出上式的所有显式解，因此在这里我们假定日( u ) = 罢，其中g 为 待定常数，将其代入( 2 1 4 ) 有 门 m u = 一 n m 一2 钆( 佗十1 ) u 下面分三种情况讨论方程及相应的广义条件对称 情形1 ：日( 仳) = 而m 情形1 1m 一n ，仇0 方程 容许g c s t 此= ( 乱m u ：) 霉+ 【c 3 x + c 4 7 n + 仃 死 c s x 2 + ( c t x + q ) u 卫# 】 + ( g 仳+ 侥u 一署) z + 岛u 一鲁+ c u 一亲笔u 等+ 2 情形1 2m = 一佗 方程 叩5 铭z 2 + n ? 2 “z 2 9 。 m u t = ( t 上一n u 2 ) z + 【一c s z 2 + 岛z + a + ( c t z + g ) i nu u z + ( 侥+ c 6 i n u ) u x + u ( c li n u + 岛一c t ( 1 n u ) 2 ) 9 第二章非线性反应扩散方程的广义条件对称1 容许g c s 1 。 叩2 u 一五u 情形1 3m = 0 令c ( x ，u ) = 9 ( z ) ，代入决定方程组，可得g ( z ) 满足常微分方程 丽d 2 刺+ ( 1 - 3 n ) 夕( z ) 五d 刺+ 佗( 礼一1 ) 夕( z ) 3 = 。 由于很难给出9 ( z ) 的通解，在这里假定夕( z ) 具有形如耋的特解，其中。为待 定常数，代入上式得 1 q = 一一 佗 2 佗一l 将9 ( z ) = 一毳，一忑2 x 分别代入到决定方程组，可得以下结果 ( a ) n - 1 方程 乱t = ( “2 ) z + 【( 侥u + o ) z 一击一善缶z 吉+ 2 + g z 一可南c i z u 】u z + 互1u l u 2 + q 牡+ g + ( q u + g ) z 半 容许g c s 方程 1 叩2 。一面 z 毗卸轨+ 【( g u 倒z 一击一端让。+ 瓯z 一帮商地 + 互iu l u 2 + 岛让+ 岛+ ( q 让+ 锯) z 岩 容许g c s 2 7 72 z 一而乱z 西北大学硕十学位论文 ( b ) n = - 1 方程 毗= ( 1 ) 。+ p ( 岛+ c 1 i nx 一( i nx ) 2 g ) + z u ( c 7 + c sl nx ) u z 容许g c s 一侥仳2 + c j u + c 4 + ( c s u + 瓯) i nx 情形2 ：脚) = 寻 情形2 1 仇1 一n ( a ) n - 1 方程 1 叼2 z + ； u t = ( 乱2 ) + 【c s z + 6 4 + 容许g c s 方程 l ! 尘竺既z 2 + ( 岛z + g ) u 巫乎】 凡 + ( 锯让+ 瓯u 与产) z + q 乱与产+ c t u 一 刀一z + 等u z 2 仍佗! 翌窒垒= 王 饥= ( t 正：) 2 + ( 岛乱等净+ 岛) z j 一等( g z 乱掣+ c 4 z 掣) + 侥z 】+ 岛u 半+ ( q + g z 等) 仳宰+ ( a + 劬c 4 zn ) 乱 容许g c s ( b ) n = - 1 方程 仇一1 ，1 叩= 仳+ 矿吒一磊札z 毗= ( 俨乱；1 ) z + x ( c 3i n x + q + ( 1 n x ) 2 魄( m 一2 ) ) + u 2 一m z ( 劬+ c sl n x ) u 。 1 1 第二章非线性反应扩散方程的广义条件对称1 + q “+ 岛仳m 一1 + 是翌；+ ( g 乱+ 醌u n - 1 ) 1 n z m z 容许g c s 情形2 2m = l 一佗 ( a ) n - 1 方程 容许g c s 方程 叩= z z + 1 - 厂m 2 十z 1 - - u x 叩2 z z + 十 u z 毗= ( u 1 一n u 2 ) + 一g z 2 + 劬z + c 4 + ( z + c 8 ) i nu u z + ( 既+ 醌i n u ) u x 十u ( qi n u + c 2 一c - i ( 1 n u ) 2 ) 叩= z 一五1 2 u t = ( u 1 一n ) z + 【q ( c 一竹z ) + q ( c 一仃z ) 一言 g ( c 一亿z ) 2 ，佗z c 、石订广l 下 一( 既( c 一仃z ) 一g 佗( z 一等) 一! n j n - 1l n 叫“z + a 乱+ “( 岛 + c s l 叫( z 一等) 警一 容许g c s ( b ) n = - 1 方程 ( 一c 3 n i n u + ( i n u ) 2 c s ( n + 1 ) ) u 叩= 一乏1u z 2 + n c 一佗z u 茁 饥= ( u 2 仳；1 ) 2 + x ( c 3 i n x + c 4 一( i n x ) 2 g ) u z + u ( c l + c 2 i nu ) + u ( c 5 + c 6i nu ) i nz 1 2 西北大学硕士学位论文 容许g c s 情腿脚) = 踹 方程 叩2 z 一乏u z 2 1 + ；1 u z 一 u z u t = ( 钆m 仳：) 。+ g z + a + 等既x 2 + ( 岛z + g ) u 宁】u z + ( g u + g u 帮) z + q 仳籍+ 研乱一黜“普 容许g c s 7 72 “船+ 而u z 2 2 m 一 一 v r d - - ：考虑n = 2 时，式( 2 2 ) 中嵋+ 1 与记，咤与札：，仳2 1 与，嵋_ 2 与u ：的系数可以进行合并，得到关于p ( x ，u ) ，q ( x ，u ) ，日( u ) ，g ( z ，u ) ，f ( x ，u ) 的决定方程组为： a “一7 a “h 一6 a l h | 一1 2 a h 3l1 4 a h h l + 1 6 a 7 h 2 2 a h = 0 ，( 2 1 5 ) 一2 8 a h 2 g 一8 a g + 1 4 ah 7 g 一6 a 7 g u 一2 a g u u + 3 0 a 7 h g + i o a h g u = 0 ， 一2 a f , , u + 2 8 a 7 日f 一2 4 a h 2 f 一6 a 7 凡+ 1 4 a h 7 f 一9 a f + 6 a h f , , 一4 a g z + i o a h g z 一7 a 7 g 王 ( 2 1 6 ) + 1 4 a 7 g 2 2 0 a h g 2 + i o a g g u + 只一日r = 0 ，( 2 1 7 ) i o a g u f 一3 2 a h g f 一4 a r “+ 6 a g r 一7 a 7 疋 + 2 6 a 7 g f + 6 a h f x + i o a g g z 一4 a g 3 2 a g z 。 + 日q + q 讹一2 r g + q u h + 2 r 札= 0 ，( 2 1 8 ) 一1 2 a h f 2 一s a g 2 f + i o a g z f + 1 2 a 7 f 2 + 6 a f f , , 第二章非线性反应扩散方程的广义条件对称1 + 6 a g r 2 a 疋茹+ g u q j p g z 一3 r f + b 一b g + 2 q z + 2 h q z = o ，( 2 1 9 ) 6 a f f x + 4 a g f 2 + 凡q + g q z 一2 r f q u f p r + q 互七= 0 ，( 2 2 0 ) 其中a ( “) = 俨下面分别考虑日( 让) = 三，百m - 1 时方程及其相应的广义条 件对称 情形1 ：日( 让) = 瓦m 方程 容许g c s 方程 容许g c s 方程 容许g c s u t - ( 州 面+ 掣c 1 ( c 2 x + k ? i t ) 4 u - * 叼2 钍+ 瓦“；+ ( c 2 z + c 3 ) 2 毗= ( 札m u ：) z + 2 a ( x ) u z 叩： +罢仳：+a(x)uuxx 一 叩。 + 瓦仳；+ u t = ( u 一2 札：) z + ( 互1 国z + c 1 ) u z + 岛札 叩= z 一拓2 + q u 2 情形2 日( u ) = 等 方程 乱。= ( 扩u ：) z + ( 一去q 仇z 一岛z + q ) u z + q 乱 1 4 西北大学硕+ 学位论文 容许g c s 方程 容许g c s 方程 容许g c s 方程 叼：z + 掣2 + 岛u 嗍一 叼。z + 互石一u z + u 3 u “t = ( u m u ：) 2 + 互1 u 3 2 2 2 ( m + 3 ) 一 +一4 c 2 u x ( m + 3 ) + q ( m + 三q z ( m + 1 ) + c 1 u x 1 1 u m + l 7 7 ：仳骝+ 旱u ：+ 岛u 字 7 72 仳霉z + 互i u ；十【3 u 2 。 毗= ( u r n u ：) z + 【一兰诺z 2 ( m + 3 ) + 仍z + q 】乱z + 【_ c 言z 3 ( 7 2 + 3 ) + 侥岛z 2 + c t x + 倪】u 字 叼：+ 旱2 + c 一 5 u 字 叼2 乱船+ 1 f 十u 2。 u 广( 乱一1 遽) z + ( c 2 x 2 - 互1 c 2 z + q ) u z + ( 一4 碍z + q ) u l n u 容许g c s 2 2 方程的精确解 刀= 。一石1 2 + 岛口 下面根据广义条件对称及相应方程的相容性，给出一些方程的精确解 ( 1 ) 方程 u ：= ( u m 札2 ) z + 胁z + 瓯一旦# 岛z 2 + ( 研z + g ) u 警】 1 5 第二章非线件反应扩散方程的广义条件对称1 容许g c s + ( 侥乱+ q u 一罟) 。+ q “一署+ c x u 一砉毪u 罟+ 2 7 75t t x x + 而u 刍 m ， 根据g c s ( 2 2 1 ) ，方程的精确解的形式为： “( z ，t ) = 【宰( 洲z + 洲) 赤， 代入方程可得妒l ( ) ，1 0 2 ( t ) 满足下面的常微分方程组 ( 2 ) 方程 容许g c s 精确解为： 舰= ( u - - f i r , ? i t ) z + 一醌z 2 + c 3 x + c 4 + ( c t z + c s ) 1 1 1u l t z + ( g + c 6 i n u ) u x + u ( qi n u + q c 7 ( 1 n u ) 2 ) 其中妒l ( t ) ，q 0 2 ( t ) 满足： ( 3 ) 方程 叩l t x x - - 知2 u ( x ，t ) = e 印( 妒l ( 亡) z + 妒2 ( 亡) ) ， 毗= ( 砭) 互+ 【( 岛乱+ 岛) z 一击一善等z 去+ 2 + g z 一 1 6 2 ( n + 1 ) ( 2 2 1 ) q z 仳】 竺 程犁邬 2卜一l n 一， 0 百 妒 c 吖耐嘞 鼍 卜等坛 汁 岛 印 坳 妻仃 伤旦 + h 一礼聋 等孙 浮以 魄 + 2 2 仇 岛 魄 + + 班 1 4 组 q 倪 一 q q n = ， 卜 斗 匕 r 妒 妒 乱 咿 吼 妒 1 嵋嘶崛一0 乞 2 r 叩 妒 1 吖酬喝 、l，、， ，l ，2 妒 西北大学硕士学位论文 容许g c s 精确解为： + 互iu l u 2 + 岛u + 伤+ ( 吼让+ 岛) z 警 其中妒1 ( 亡) ，妒2 ( t ) 满足： ( 4 ) 方程 1 叩2 z 一鬲 u ( z ，t ) = 妒1 ( t ) + 妒2 ( ) z 警， 毗却轨+ ( 魄u 蚓z 一击一黼一g z 一等孚南乱z + 互1u l u 2 + 岛u + c 3 + ( c 4 让+ g ) 。岩 容许g c s 精确解为： 其中妒l ( 芒) ，q 0 2 ( t ) 满足： ( 5 ) 方程 2 叩2 地墨一而u z 札( z ，亡) = 妒1 ( t ) + 妒2 ( ) z 岩， “( t ) = i n + j l 妒2 ( 魄妒l + 伤) + 1 2 c l 妒i + q 妒1 + 国， 删= 警岿卅而n + l 似倒+ 三嘶妒2 + ( q + c 4 ) l 1 0 4 + 锯 t 圮= ( 啄1 ) z + p ( 岛+ c 1l n z 一( i n ：c ) 2 岛) + z u ( c 7 + c s l n x ) l u z + 量 h 岛 妒 一 嘶 忖 “ 缈 2 1 ，l 讲帕 g 匕 1 2 妒 纠 卅 “ 妒 1 吃 倒扬z 2 上 忱 h毪n 等 孔+ 一竹舻半 笫二章非线件反应扩散方程的广义条件对称l 容许g c s 精确解为： 一c s u 2 + 既u + c 4 + ( c s u + c j ) i n x 其中妒l ( 亡) ，q 0 2 ( t ) 满足： ( 6 ) 方程 1 叩2 札+ ； u ( z ，t ) = 妒1 ) + 妒2 ) i n z ， t 上t = ( 乱m 乱至) z + 岛z + c 4 + 容许g c s 精确解为： 1 m ng z 2 + ( 岛z + 魄) u 世乎】u z + ( 魄钍+ g 钆宰) z + q 札宰+ c 1 u 一熹u 华 叼2 茁+ 、矿1 u 三9 m u ( x ，t ) = 其中妒1 ( t ) ，妒2 (