（应用数学专业论文）几类相依风险模型的研究.pdf

摘要 风险理论是金融学和精算学的基础，面其核心闻题是破产理论的研 究。现代风险理论主要是借助随机过程等数学工具发展起来的，它为各金 融风险部门的经营管理提供了理论依据和实际操作指导。本论文即应用经 典鞅论和随机点过程等理论研究分析了三类具有相依性结构的风险模型 得到了与破产相关的些变量的表达式或性质。 本文主要由五部分组成。 在第一章中，我们简单的介绍了风险理论的历史、现状与主要成果， 其中重点阐述的是有关古典风险模型的问题并且给出了本文研究的主要 内容和主要结果。 在第二章中，我们简单的分绍了复合p o i s s o n - 岱o m e t r i c 分布及过 程、期望、点过程、鞅等- 些基本的知识。这些知识是本文的理论基础。 在第三章中，我们分绍一种特殊相依的风险模型：索赔间隔分布与索 赔额大小相羌并将其推广至双险种风险模型，用l a p l a c e 变换的方法求 出某特定条件下生存概率的表达式。 在第四章中，我们研究了c o m ns h o c k 风险模型并对这个模型进行分 析和讨论。最终得到破产概率的主界，并将独立与相依情形下的l u n d b e r g 指数做了比较，从而看出相依性对破产概率的影响。 在第五章中，我们研究了索赔次数为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的 相依风险模型，得出该模型的一些基本性质及破产概率的上冕并对此模 型相依性对破产概率的影响作了相应的分析。 关键词经典风险模型，l a p l a c e 变换，相依，破产概率l u n d b e r g 系数 a b s t r a c t 硼舱r i s kt h e o r yi st h eb a s i cd i s c i p l i n eo fl e a m i n gf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s a n dt h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c so f i n s u m n c ea n di t sc o r ei st h es t u d yo ft h er u i n t h e o r y m o d e mr i s kt h e o r yh a sb e e nd e v e l o p e dm a i n l yv i as t o c h a s t i cp r o c e s so f m a t h e m a t i c a lt o o l s , w h i c hp r o v i d e sam a n a g e rw h oi ss e r v i n gi nf i n a n c er i s k d e p a r t m e n tw i t ht h e o r yb a s i sa n dp r a c t i c a lg u i d a n c e i nt h i st e x t , t h et h e o r yo f c l a s s i c a lm a r t i a g a l ea n ds t o c h a s t i cp o i n tp r o c e s sa r ca p p l i e di ns t u d y i n gt h r e e k i n d so f n e wr i s km o d e l sw i t hd e p e n d e n c e 1 冒i n a i l yw eo b t a i ns o m ee x p r e s s i o n s o rc h a r a e t e 侣o f t h ev a r i a b l e sa b o u tr u i n f i v ec h a p t e r sc o n s t i t u t et h i st e x t i nt h ef i r s td 嗽w e s i m p l yi n t r o d u c et h eh i s t o r y , t h ep r e s e n tc o n d i t i o n s a n dt h em a i nr e s u l t so ft h er i s kt h e o r y , a n dw ee s p e c i a l l yp a ym o r ea t t e n t i o no n t h ec l a s s i c a lr i s km o d e l f i n a l l yw e p r e s e n tt h em a i n c o n t e n to f t h i st e x ta n dt h e m a i nr e s u l to f m yr e s e a r c h i nt h es e c o n de h a p 衄, w eo u t l i n et h ek n o w l e d g ea b o u tc o m p o u n d p o i s s o n - g e o m e t r i ed i s t r i b u t i o na n dp r o c e s s , e x p e c t a t i o n , p o i r i tp r o c e s s ， m a r t i n g a l ea n d s oo n 皿凼k n o w l e d g ei sa l s ot h ef o u n d a t i o no f t h et e x t i nt h et h i r dc h a p t e r , w ei n t r o d u c ear i s km o d e l w h e r et h ed i s t r i b u t i o no f t h el i m eb e t w e e nt w oc l a i mo c c u r r e n c e sd e p e n d so nt h ep l 删0 1 1 sc l a i ms i z e f u r t h e r m o r ew ed i s c u s st h et w ot y p e - i n s u r a n c er i s km o d e la n dd e r i v ea n a l y t i c a l e x p r e s s i o n sf o rt h el a p l a c et r a n s f o r mo f t h en o n - r l l i nf u n c t i o n i nl h ef o u r t hc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ec o m m o ns h o c kr i s km o d e la n d a n a l y z ea n dd i s c l , l 鹦t h en e wm o d e l f i n a l l yw ea t t a i nt h eu p p e rb o u n d so f t h e r u i np r o b a b i 姆a n dw ei n v e s t i g a t et h ei m p a c to fd e p e n d e n c es t r u c t u r eo nt h e r u i np r o b a b i l i t yt h r o u g hm a k e1 1c o m p a r i s o na b o u tl u n d b e r ge x p o n e n tb e t w e e n d e p e n d e n c ea n di n d e p e n d e n c e s t r u c t u r e i nt h ef i f t hc h a p t e r , w ec o n s i d e rt h ec o m p o u n dp o i s s o n - g e o m e t r i cp r o c e s s r i s km o d e lw i t hd e p e n d e n c e w ea t t a i ns o m eb a s i cp r o p e r t i e sa n du p p e rb o u n d s o ft h er u i np r o b a b i l i t y f i n a l l yw ea l s oi n v e s t i g a t et h ei m p a c to fd e p e n d e n c e s m l c t t 爬o nt h er u i np r o b a b i l i t y 1 yw o r d st h ec l a s s i c a lr i s km o d e l ，l a p l a c et r a n s f o r m , d e p e n d e n c e ，r u i n p r o b a b i l i t y , l u n d b e r ge x p o n e n t 缸 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其 他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的同志对本研究所作 的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 僦轻率施 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位论文的全部或部分 内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校可根据国家或 湖南省有关部门规定送交学位论文。 僦名：地：移隗灿 日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 风险理论的介绍 第一章绪论 今天人们习惯用“风险一这个词来表达各种可能发生的灾害和不利的事件。 因为我们确确实实生活在一个充满风险的自然环境和社会环境之中。风险已经 或多或少的成为现代生活无法回避的内容。当然，所面临的具体问题不同，每个 人对风险这个概念的理解和描述也各不相同，同一个词汇可能用来表达不同的 意思，例如，一个社会心理学家可能用“追求风险刺激一来解释某种少年违法行 为，这时他对风险的理解与证券分析人员在讨论股票投资时用到的风险的概念 是有很大差异的，本文所研究的是保险学中的风险问题。 在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率 或“不确定后果之间的 差异程度一等等。风险理论是近代应用数学的一个重要分支，而破产理论( r u i n t h e o r y ) 是风险论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容。风险理论主要应用于金融、保险、 证券投资以及风险管理等方面，它借助概率论与随机过程理论来构造数学模型 描述各种风险业务。 现已公认，破产理论的研究溯源于瑞典精算师f l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发 表的博士论文嘲，至今已有一百多年的历史。风险理论中破产论的研究既有其实 际的应用背景，也有其概率论上的兴趣。事实上，一类最重要的随机过程，即 p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的。不过，l u n d b e r g 的工作 不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r l dc r a m e r 为首的瑞典学派完 成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上，与此同 时，c r a m e r 也发展了严格的随机过程理论。现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工 作为经典破产理论奠定了坚实的基础。 6 e r b e r 是c r a m e r 之后，当代研究破产理论的国际领先学者。随着随机过程， 随机点过程等理论的发展，g e r b e r 鲫，g r a n d e l l 腩1 以及a s m u s s e n 口3 等人系统的论 述了风险理论的思想。其后，波兰的t o m a s zr o l s k i 等人在其著作( 见参考文献 5 5 ) 中对这一理论进行总结推广完善。风险理论的研究已经进入了相对成熟的 阶段。 硕士学位论文 第一章绪论 1 2 经典风险模型 1 2 1l u n d b e r g - c r a m e r 经典破产模型 保险公司在r 时刻的盈余由下式给出： “1 u ( t ) - - 甜+ c t - 鼍，t o k f f i l 其中材为初始资本，c 是保险公司单位时间征收的保险费，五( 七1 ) 表示第 k 次索赔额，( r ) 则表示至时刻f 为止发生的总索赔次数。 上述模型的第一个基本假定为独立性假定： 假定1 1 ( 独立性假定) 设 五；七l 是恒正的、独立同分布的随机变量序列，记 f ( 功= p ( x i 功 v x 0 ， = 研五】= 【l f ( x ) 】趣 ( f ) ；r o 是以名( 五 o ) 为参数的p o i s s o n 过程； 五；七1 ) 与 ( r ) ；r o ) 相互独立。 盈余过程 u ( r ) ；r o ) 的一条样本轨道示于图1 - l 中 j u 乍 l ii 五y 7 以下恒记 图1 - 1 v ( t ) s o ) = 五 v t o , 它表示至时刻f 为止发生的索赔总额。由模型的独立性假定知 e 【s ( r ) 】= 研1 3 f ) 】e 【五】= l ：l t 保险公司为运作上的安全，要求 2 硕士学位论文第一章绪论 ， c t - e s ( t ) 】= ( c 一五y o ；t 0 即 c 缸 为此需要下述安全负载假定： 假定1 2 ( 相对安全负载假定) 设 c = 0 + 秒) 缸 其中口 0 ，称为相对安全负载。 由于p o i s s o n 过程具有齐次独立增量和模型的独立性假定，知 a - s ( t ) ；tz0 为齐次独立增量过程，这样，由强大数定律便知 r m ：1u ( t ) = - t o o ，口j 不过，这并不排除在某一瞬时，盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产一。 以下恒记r 为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ；u ( t ) o ，i n f = o o l u n d b e r g 和c r a m e r 研究的是保险公司最终的破产概率： 甲( 甜) = p ( t d ( 1 - 8 ) = 点x x ( r ) l t f 】p ( 丁，) + e ( ，) l t t p ( 丁 ，) 注意到，当t ，时，u ( f ) 0 ，从而 x ( t ) = p r u ( l 这样，在( 1 - 8 ) 式两端令r 专o o ，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理，即得 e 矗= 研x ( r ) l r 】p ( r ) + 研x ( o o ) l r = 】p ( r = ) 再因h i i l u ( t ) = 佃，伽故知z ( ) = o 黜从而有 e 一翩= 皿x ( r ) lr q o p ( t o 从而l u n d b e r g 不等式( 卜5 ) 式得证。 c r a m e r 之后破产论研究中最令人瞩目的是方法论的改进。f e l l e r 和g e r b e r 引入的更新论证技巧和鞅证明技巧已成为研究经典破产论的主要数学工具。近 7 硕士学位论文第一章绪论 期大量研究文献所研究的模型虽较经典的破产模型有不同程度的推广，但所使 的方法却基本上不外乎本节介绍的两种。 1 3 论文的主要内容和结果 由于保险公司风险经营规模的不断扩大，考虑到用单一险种的经典风险模 型来描述风险的局限性，不少学者将其推广至双险种甚至更多的险种。但其中大 多数文章均假定各险种之间是相互独立的，而在实际中却有不具备这种假设的 情况存在。考虑到此，本文推广了经典的风险模型，主要将各种相依性考虑到 模型中去了。 本文的主要内容为第三章、第四章、第五章： 在第三章中，我们介绍一种特殊相依的风险模型：索赔间隔分布与索赔额大 小相关，并将其推广至双险种风险模型，用l a p l a c e 变换的方法求出其生存概率 的表达式，并且在特定情况下即得到经典风险模型中著名的零初值时的破产概 率的表达式。 在第四章中，我们研究了c o m m o ns h o c k 风险模型：两险种的索赔计数过程 中因含有一个公共的因子而相关，我们称这种模型为c o n l n o ns h o c k 风险模型， 同时为了更接近实际情况而将经典风险模型中常数率的保费收取推广为一复合 p o i s s o n 过程。在对这个模型分析和讨论之后，最终得到破产概率的上界，并将 独立与相依情形下的l u n d b e r g 指数做了比较，从而看出相依性对破产概率的影 响。 在古典的风险模型中总是假定索赔次数服从p o i s s o n 分布，我们知 道，p o i s s o n 分布的一个重要性质是方差等于均值，但是实际上由于受自然环境 及各种客观条件的影响，使得个体保单实际上出事故的次数偏离p o i s s o n 分布， 索赔次数并不完全遵循p o i s s o n 分布规律，方差往往大于均值，这种现象相对于 p o i s s o n 分布来说称为散度偏大。这样，索赔次数小于事故发生次数。从而考虑 用复合p o i s s o n - ( ；e o m e t r i c 过程描述索赔次数。在第五章中，我们就研究了索赔 次数为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的相依风险模型，最终得出该模型的一些 基本性质及破产概率的上界，并通过对l u n d b e r g 系数的比较分析了此模型的相 依性对破产概率的影响。 硕士学位论文 第二章预备知识 第二章预备知识 我们首先把本文中将要用到的基础知识做一简单的介绍。 2 1 随机和 设置，置，以是独立同分布的随机变量，记置的分布函数为 f g ) o = l ，2 ，刀) ，令x = 五+ 五+ + 五，设石的分布函数为f x ( x ) ，则有一 b g ) = 互g ) e g ) c g ) 。特别地，若五，五，以有相同的分布函数 ，( ) ，则凡g ) = f ”( ) 。 设是一个仅取非负整数值的随机变量，其概率分布为 仇= p 【= 七l 七= o ，l ，2 ，；五，置，x s 是独立同分布的随机变量序列，令 s = 五+ x 2 + + x ，我们约定= 0 时，s = 0 ，且假定诸置与n 相互独立， 则以下称s 为随机和，n 为求和次数。那么我们有： ( 1 ) e 陋】= e 【】e x 】 ( 2 一1 ) ( 2 ) v a r s = v a r 【】仁2 + e 【】陆防】。 证明( 1 ) 设随机变量的矩母函数为聊( ，) ，则所( ，) = 矿p k ： 五，五，耳独立同分布，故它们有相同的矩母函数，i a 为m ( r ) ， m ( ，) = e p 珂 = 弘搿a r ( x ) ： 设随机和s 的矩母函数为m s ( ，) ， m s ( ，) = e p = e m = e i ( m ( ，) ) i = m ( 1 0 9 m ( ，) ) ( 2 - 2 ) 对上式两边求导，得雎( ，) = 历，( 1 0 9 m ( ，) ) 笔箦， 令，= o ，则m ；( o ) = m ( 0 ) m ( 0 ) ，即e $ 】= e 【】e x 】 ( 2 ) 对( 2 - 2 ) 式两次求导，得 珊m 。g 圳懈邯g 删必铲 9 硕士学位论文第二章预备知识 令，= 0 ，m ；( o ) = m 。( o ) 阻( 0 汗+ 加( o ) 江。( 0 ) 一阻( o ) 】2 j ，即 e b z 】e 【2 】( e x d 2 + e n i v a r x 】( 2 - 3 ) 又v a r s l = e b 2 】一仁p d 2 ，由( 2 3 ) 及( 2 一1 ) ，得 v a r s l = v a r 【】g 【d 2 + e 【】哳】 证毕。 此外，随机和s 的分布函数计算如下： b g ) ：p 陋s 】- e 【p g s l ) 】：主尸p j i = 七】p 。= f 。t g ) p 。 特别地，当求和次数服从参数为2 的p o i s s o n 分布时，有 ( 1 ) e p 】= 肛防】，v a r s = 舾k 2 j ； ( 2 ) b g ) = f 咕g ) 告矿 ( 2 4 ) ( 2 4 ) 式便是著名的复合p o i s s o n 分布。 2 2 条件期望 概率空间记为q f ，p ) ，g 是f 的某一子仃一代数，善0 ) 是满足e 阁 0 0 的 随机变量。 定义2 1 具有下列性质的随机变量e 留i g 】称为f 0 ) 关于g 的条件数学期 望，简称条件期望。如果 ( 1 ) e k i g j 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意的彳g ，有e 陟l g p ( 丸) = 工孝尸( 丸) 定义2 2 设c f 为任一事件，则它的示性函数厶( ) 为一随机变量，示性 函数l ( ) 关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为p ( c i g ) c 关于g 的条件概率尸( c l g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) 尸( c l g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意的彳g ，有工p ( q g ) p p ) = 尸0 c ) 注在本文中，如无特殊说明，l ( ) 均表示事件c 的示性函数，即 l 阱器e 彩o e c 条件期望的性质： 磊，孝，7 都是随机变量，且e 蚓 o o ，e 例 ， 1 0 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 1 ) 若f 刁，伽，则e 善i g 五 玎l g ，口 ( 2 ) 若f 为g 一可测，则e 眵i g = 善，口 ( 3 ) i e 善i g i e 1 孝l l g ， 口j ( 4 ) 砸e 善i g - 蟛，口最 ( 5 ) 若参与g 独立，则e 陟i g = 蟛，弛 ( 6 ) e l 勿i ，e k i ，且，7 为g 一可测，则e 勿l g = ，7 e 纠g ，口矗 ( 7 ) 对任意的q ，e 2er ，有e q 磊+ 吃磊i g = q e 磊l g + c 2 e 乞i g ，口文 ( 8 ) ( 平滑性) 设g lcg 2c f ，则 e p 孝l g l i g 2 = e 纠g 2 i g i = e 孝l g l ，觚 在上述诸性质中，取随机变量为事件的示性函数，相应地得到条件概率的诸 性质。 2 3l a p l a c e - s t i e i t j e s 变换、卷积 定义2 3 设f ( x ) 是定义在【o r a 0 ) 上的任意函数，我们把由 7 0 ) = f ，厂( f ) 毋定义的函数称为它的拉普拉斯变换。 性质2 1 ( 1 ) 刀个相互独立的非负随机变量五，五，五之和j r = 五+ 五+ + 以的 三一s 交换等于这刀变量的三一s 变换o ) ，：o ) ，o 。o ) 的乘积即： r ( s ) = 。( s ) ：( s ) 0 - - - 。( s ) ( 2 ) 设五，五，是一列相互独立的同分布的非负随机变量序列，它们共同 的l - s 变换是( s ) ，又设n 是一个独立于 五，i = i ，2 ，- 的非负随机变量，它 的概率母函数是g o ) ，则随机变量z = 五的三一s 变换：( s ) 是： 。：( s ) = e ( s ) = g ( ( s ) ) 我们令甲声 ) 表示破产概率，则矾 ) = l l 壬，占( ”) 为生存概率。令丕占( s ) 代 表孓j0 ) 的l a p l a c e - s t i e l t j e s 变换，则我们利用其定义以及分步积分公式，我 们可以得到： ( 1 ) - _ 吼( 材) 幽= 一昙f 只( “) d ( 寥叫) = 妄溉( o ) + 丢丕一( s ) ( 2 ) j c o 寥咽d ( 孓j ( 材) ) = 妄吼( o ) + 丕j ( s ) 一矽j o ) ( 3 ) r 船。一孓j ( 甜) 出= ( 妄矾( o ) + 妄丕占( s ) ) 一矽j ( 鼍) 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 4 ) p d ( 材2 矾( s ) ) = 丕一j ( j ) + 三s f k ! s 氓( 。) + 瓤s ) ) 号矾( s ) ( 5 ) p d ( 材i | 矾( v ) 咖) = 詈( 翔o ) + 却s ) h 1 5 d ( j ) ( 6 ) f p 哪，( 甜) 如= ( s ) ( 7 ) p d ( r 矾( 州) ) 砂) = 刮 玩( o ) + 三面小) l 定义2 4 设x ，y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 f ( x ) ，g ( x ) 则z - x + y 的分布函数是 ( z ) = 尸( z z ) = d f ( x ) 粥( y ) = e g ( z z 矽( x ) = f g 称为f ( x ) ，g ( x ) 的卷积 性质2 2 设五，五，是以个相互独立的随机变量，并且设它们的边际分 布分别为巧“) ，i = 1 ，2 ，3 ，刀，则s = 五+ 五+ + 瓦的分布函数一町( z ) 可以 表示为 一“( z ) = e 一) 其中一( z ) = 正( z ) 2 4 复合p o i s s o n - g e o m e t ri c 分布及过程 设随机变量z 为个体保单在单位时间内发生事故的次数，且 p ( x = o ) = i - a ，p ( x 1 ) = 口，又设随机变量y 为保单在单位时间内实际索赔 次数，一般来说，尸( 】，= o ) 要比p ( x = o ) 来得大，当然尸( y 1 ) 比p ( x 1 ) 要 小。设p ( y = o ) = i - o t + u p ，则有尸( 1 ，1 ) = 口( 1 一p ) ，户e ( o ，1 ) ，称户为偏离参 数。由于 p ( 】，1 ) = 口( 1 一p ) = 口( 1 一p ) 2 矿4 若设p ( 】，= 七) = 口( 1 一p ) 2 矿- 1 ，万= 口( 1 一p ) ，则】，的分布为 尸( 】，= o ) = l 一万，p ( y - - k ) = x ( 1 - p ) 矿q ，k = l ，2 ， ( 2 - 5 ) 易计算】，的母函数为 gr(f)=加k()1-等-o- 。，邝 设随机变量五( 七= 1 ，2 ，刀) 相互独立，服从( 2 - 5 ) 式给定的分布，) l us = 五的 k = l 1 2 硕士学位论文 第二章预备知识 母函数为啪) = t 一掣卜由于御( ) 反映个体风险的姗，根菇 保险原则，保单数越多集体风险越小，即行增大时万下降。所以，当保单足够 多且具有相对同质性时，可取疗一，万一o ，n , + - 一五，得到 毗= 唧( 掣) 定义2 5 称母函数g ( f ) 所对应的分布为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 分布，记 p 6 ( 纠脚g = 唧( 等卜哪川 以下引理2 1 是p g 分布的性质。 一 引理2 1 若随机变量s 的母函数为g ( f ) ，则 ( 1 ) 当0 p o ，o p 0 ，0 p l ，则存在随机过程 ( ，) ；，o ) 满足： ( 1 ) ( o ) = o ； ( 2 ) ( ，) ；f o 具有独立平稳增量； ( 3 ) 帕。，有( ，) 邢( 枷) ；而且删= 啬，叫删= 掣 引理2 2 ，引理2 3 的证明见参考文献 5 0 。 2 5 鞅 定义2 7 设在概率空间( o f ，p ) 上有一个非降仃代数族 正；f t 以及 实随机过程 磊；，e 丁 ，若随机过程 磊；f r ) 对( q f ，p ) 适应，则称 专；r z 为 鞅，如果满足e i 丢l ，而且对于任意墨f ，有e ( 参l c ) = 成立。 定义2 8 设在概率空间( q ，f p ) 上有一个非降仃代数族 c ；f t ，一个 取值于t u o o l 的随机变量r ( o ) 称为一个相对于它的停时，如果对于v t t ，有 国，r ( 缈) f ) e 成立。 引理2 4 如果膨( ，) 为一个鞅，f 是一个停时，那么过程 m ( t r ) 是一个 鞅，尤其是对于任何的，我们有e m ( t r 1 = e m ( 0 1 。 1 4 硕士学位论文第二章预备知识 引理2 5 若m ( f ) ，o f r 是一个平方可积鞅，那么存在一个可料过程 日( f ) 满足：e f 日2 ( s ) 凼 ，m ( f ) = m ( o ) + f 日( s ) 凼 引理2 6 若日( f ) 为一个可料过程，满足e 工h 2 ( s ) 办 ，则 r ( t ) = s f 日2o ) 扣( s ) ( o ，丁) 是一个平方可积鞅。 引理2 7 若m ( f ) 为一个鞅，则 ( 1 ) 若f k o ) ：l ( 3 - 2 ) l11j 定义，( ”) ( 江1 ，2 ) 表示首次发生索赔时五是以强度丑( i = l ，2 ) 到达时的生 存概率，则我们有 1 6 硕士学位论文 第三章索赔间隔分布与索赔额大小相关风险模型 。( u ) - - o - a , a t ) m ( ”+ 础) + 五刃r 磁 尸p x ) 。( “+ c d t 一工) + p ( t x ) 西：( 材+ c d t x ) ，b ( 力 泰勒展开并化简整理得 c o 。( 扰) 一五。( ”) + a r p ( r x ) 一x ) + p ( r x ) 。：( 材一x ) ，峨o ) = o ( 3 - 3 ) 同理得 c 1 2 ( “) 一五：( “) + 五f p ( 丁x ) 。( 一z ) + 尸( 丁 工) 西：( 材一x ) c 播i ( 力= o ( 3 - 4 ) 对( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 式两边分别取l a p l a c e 变换得 ，面- ( s ) ( 岱一五+ 丑石( s ) ) + 五筋( j ) 丕：( 5 ) = 椰。( o ) 同理可得 面：o ) ( 四一如+ 如筋( s ) ) + 五石( s ) 丕- o ) = 砷：( o ) 从而 硐= 商剖赢考黠糕襟 伊5 ， 面小，= 高制硫考钱箍筹b 伊6 ， 其中对墨0 ，定义 石o ) = e p 一硝x 圳 = j c o 口噜r o ) d f x ( x ) 筋( s ) = e e - 蟥z 刎 = j c d p 4 【l r o ) k ( 力( 3 - 7 ) z o ) = 石( j ) + 筋o ) = j c o p 4 d f x ( x ) ，面o ) = j c o p 哺唾( “胁o = l ，2 ) 由( 3 5 ) ( 3 - 6 ) 可知要想得到面- 8 ) 与面z ( s ) 的表达式，只需求出西。( o ) 与 o ：( o ) 即可。 首先， 引理3 1 ( 儒歇定理) 设c 是一条围线，函数八z ) 及g ( z ) 满足条件： ( 1 ) 它们在c 的内部均解析，且连续到c ； ( 2 ) 在c 上，i 厂( 力l l g ( 别 则函数厂( z ) 与厂亿) + 2 0 ) 在c 的内部有同样多( 刀级算刀个) 的零点。 1 7 硕士学位论文 第三章索赔间隔分布与索赔额大小相关风险模型 定理3 1 对p e c r 0 ，l 【0 ) 与2 【0 ) 满足f 回的夫系式： ：( 。) = ：磊端，( 。) = 兰兰掣( 。) ( 3 8 ) 其次，由1 l i 8 - m 。0 - ( “) = l 易得l ，i 卅m j 面- ( s ) = 1 ，从而由( 3 5 ) 式得： l = l i m s 啪) ：l i i i l ；一型隧竺笙垫剑型丛塑l 5 卅 7 。枷 ( 铅一丑+ a 石( s ) 嚣一五+ 五筋( j ) 一五五石( s ) 筋( s ) ) 吐。( o ) i 筋( o ) - q 一嵋筋( o ) ：( o ) = - _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - i _ - _ 。- _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ - _ _ _ _ - - _ _ - - - _ i = _ _ _ _ _ _ _ l _ _ _ - _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ 一 t i ，卅m - ( c 2 s 2 + c s 一五+ 五石( s ) 一五+ 五筋( s ) + a 五( 石( s ) 一1 ) ( 筋( s ) 一1 ) 一 五石( s ) = 面斋踹器精一 p 9 ， 嵋 石( o ) 一1 + c 五 筋( o ) 一1 + a 五( ( o ) 一筋( o ) ) v 叫 而由定义( 3 7 ) 知。 磊( o ) = e 【k 川j 2 e ( x r ) 筋( o ) = e 【t 刎j = 尸( x r ) 石( o ) + 筋( o ) = p ( x r ) + 尸( x r ) = 1 z 。( o ) + z ：( o ) = 一f x 【l 一丁 ) k o ) 一f x 丁( x b ( 力= 川 从而( 3 - 9 ) 式可化简为： 吖五尸( x f ) l ( o ) 一嵋v ( x r ) 0 2 ( 0 ) i = - _ _ - _ - - 。t 。 _ c a p ( x5 丁) 一p ( 彳 丁) + 如口 即 ( 1 邮) ) 竿+ ( 1 吨( 。) ) 华= 詈 ( 3 - 1 0 ) 将( 3 8 ) 和( 3 1 0 ) 式联立解得，( o ) ，：( 0 ) ，代入( 3 5 ) 与( 3 6 ) 式即得- ( s ) 与 面：( s ) ，再利用逆l a p l a c e 变换可得( 材) 与：( “) 的表达式。 3 2 推广至双险种模型 3 2 1 模型介绍 设保险公司的盈余过程为： 1 8 硕士学位论文第三章索赔间隔分布与索赔额大小相关风险模型 u ( t ) = u + c t - 五一 ( 3 1 1 ) i = 1i = i 其中材为保险公司的初始资金，c 为单位时间收取的保费，五，髟分别表示第 l ，2 险种的第f 次索赔额。 五，f = l ，2 ， ， z ，f = l ，2 ， 均为独立同分布的随机变 量序列，共同的分布分别为以( 功，毋( 力，均值分别为口，。 m ( f ) ，t 0 是强度 为名的p o i s s o n 过程。 定义边界条件霉， 霉，f = l ，2 ， 是独立同分布的随机变量序列，其分布为 z ( x ) ，类似于模型( 3 1 ) ，定义模型( 3 - 1 1 ) 有这样的相依性：一种险种的索赔时 间间隔依赖于另一险种前一时刻索赔额的大小。不妨设 o ) ，t 0 ) 是具有强度 变化( 这里只限于取却阳五) 的p o i s s o n 过程：当发生在z 之前第一类险种的最 后一次的索赔额x 霉时，直到下一次索赔发生为止，z 以原来的强度到达；否 则直到下一次索赔发生为止，l ：到达的强度发生改变。 3 2 2 主要结果 本节推导类似于3 1 2 节。 定义3 1 设，( “) = p 【u o ) o ，v f o l u ( o ) = “】( f = l ，2 ) 分别表示首次索赔 发生时k 是以强度丑到达时的生存概率。 定义3 2 对j 0 。定义 石( s ) = e e - t x i x ，明- f