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超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解摘要 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解 摘要 碰撞振子是非光滑动力系统中一类重要模型，本文讨论弹性碰撞振子的动态行 为，主要考虑带权位势超线性碰撞振子的碰撞解文章分两部分：带定号权位势超线 性碰撞振予的周期碰撞解的存在性；带变号权位势超线性碰撞振子的周期碰撞解的存 在性 对于周期解的存在性证明，我们引进新的坐标变换把右半平面上的碰撞问题转化 到整个平面上，且将碰撞系统转化为与之等价的新的系统，通过证明新的系统周期解 的存在性来得出原问题周期解的存在性 在定号位势碰撞解的讨论中，通过对新的系统的解在新的相平面上的定性分析， 可以证明系统的p o i n c a r 6 映射具有边界扭转性质，再利用p o i n c a r 6 - b i r k h o f f 扭转定理 得到了带定号权位势超线性碰撞振子的无穷多个u 一周期碰撞解的存在性 在变号位势碰撞解的讨论中，通过对某类特定的解的初始点集在平面上的拓扑性 质的分析，将周期解的存在性问题转化为某种“不动点”的存在性问题来解决在证明 存在不动点的过程中，一个拓扑引理的应用起了很大的作用通过这种方法，我们可 以得到碰撞振子的无穷多个u 一周期碰撞解的存在性 关键词：碰撞振子，超线性，带权位势函数，碰撞解，时i 司映射，p o i n c a r d 映射 作者：王超 指导教师：钱定边 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解a b s t r a c t w一 p e r i o d i cs o l u t i o n so fe l a s t i ci m p a c to s c i l l a t o r s o fs u p e r l i n e a rt i m e w e i g h te q u a t i o n s a b s t r a c t h n p a c to s c i l l a t o ri so n eo ft h ei m p o r t a n tm o d e l so fn o n s m o o t hd y n a m i c a ls y s t e m i n t h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h ed y n a m i c so fe l a s t i ci m p a c to s c i l l a t o r s w ew i l lc o n s i d e rt h es u p e r l i n e a ro s c i l l a t o rh a v i n gap o t e n t i a lw i t hw e i g h ta n ds t u d yi ti nt w op a r t s ：t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cb o u n c i n gs o l u t i o n so fo s c i l l a t o rh a v i n gap o t e n t i a lw i t hd e f i n i t es i g n ；t h ee x i s t e n c e o fp e r i o d i cb o u n c i n gs o l u t i o n so fo s c i l l a t o rh a v i n gap o t e n t i a lw i t hi n d e f i n i t es i g n i no r d e rt op r o v et h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cb o u c i n gs o l u t i o n s ，f i r s t l yw ew i l li n t r o d u c e an e wc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n ，t r a n s f o r mt h es y s t e mf r o mr i g h th a l fp l a n et ot h ew h o l e p l a n e a n dw et r a n s l a t et h ei m p a c ts y s t e mi n t oan e we q u a ls y s t e m s ow ec a no b t a i nt h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fi m p a c ts y s t e mi fw eh a v et h e mi nt h en e ws y s t e m ， i nt h es t u d yo ft h ei m p a c ts o l u t i o n so fo s c i l l a t o rh a v i n gd e f i n i t es i g np o t e n t i a l ，w em a k e a na n a l y s i so ft h es o l u t i o n so nt h en e wp h a s ep l a n e w ec a np r o v et h a tt h ep o i n c a r 自m a ph a s t h ep r o p e r t yo fb o u n d r yt w i s t a n dw eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t ew p e r i o d i cs o l u t i o n s b yu s i n gt h ep o i n c a r 6 - b i r k h o f ft h e o r m i nt h es t u d yo f t h ei m p a c ts o l u t i o n so f o s c i l l a t o rh a v i n gi n d e f i n i t es i g np o t e n t i a l ，w eh a v e at o p o l o g ya n a l y s i so nc e r t a i ns o l u t i o n ss e ti nt h es p a c eo fs o l u t i o n s ，t h e nw ec a nt r a n c e f o r m t h ep r o p l e mo ft h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n st ot h ep r o b l e mo fe x i s t e n c eo fc e r t a i nf i x e d p o i n t s f i n a l l y , t h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t ew - p e r i o d i cs o l u t i o n si sp r o v e db ya na p p l i c a t i o no f at o p o l o g i c a ll e m m a k e y w o r d s ：i m p a c to s c i l l a t o r ，s u p e r - l i n e a r ，ap o t e n t i a lw i t hw e i g h t ，p e r i o d i cb o u n c i n g s o l u t i o n ，t i m e - m a p ，p o i n c a r d - ：n a p w r i t t e nb yw a n g - c h a o s u p e r v i s e db yp r o f q i a n - d i n g b i a n i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文足本人在导师的指导下，独立进行研究 ：作所 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或集体已经发表或 撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承 担本声明的法律责任。 研究生签名：至整日期：! ：坐：! 竺 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作部、中国 社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一 致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论 文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名 导师签名 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解 一引言 1 。l课题的背景和意义 弹性碰撞振子的模型一般可表示为 i 茁”+ ，( ，。，z 7 ) = 0 ，2 3 ( t ) q ( t ) ； 2 3 ( t ) 2q ( ) ； ( 11 ) ix ( t o ) = q ( t o ) = 2 3 t ( o + ) = 一( t o 一) + 2 q ( t o ) 其中z ( t ) 表示t 时刻振子的位置，q ( ) 描述给定碰撞墙的运动，当z = q ( t o ) 时发生完 全弹性碰撞因此振子的运动速度是一个不连续的量 碰撞振子是物理、力学中一个非常重要的模型，它的行为与许多重要问题，如u l a m f e r m i 加速器问题卧对偶弹球问题 2 】，天体力学问题【3 相关连在k u n z e 的专著【4 】 和k i i p p e r 的综述报告【5 中，把其归为非光滑动力系统的两大模型之一，另一类是带 千摩擦的振子，正是由于碰撞振子与许多实际问题相关联，所以研究它具有广泛的实 际意义同时，也为检验一些数学方法提供一个很好的非光滑动力系统的模型对于 碰撞振子的数值、力学分析，已经有大量的结果，如可参见【6 】，【7 】， 8 】“9 】等及其相关参 考文献与此相比，数学理论的工作不是很多，主要的困难有两点：一个是由于系统 的非光滑性，研究的数学工具比较缺乏；另一个是由于碰撞解的全体并不封闭，从而 缺乏适当的泛函框架，由于这些原因，使问题变得复杂，即使对于二阶线性方程 z 7 + 3 2 3 = s i n t 我们仍然不知道它的碰撞问题是否存在周期解 然而，近几年来，在数学方面对于弹性碰撞振子的研究，有了一些不错的成绩， 对于碰撞周期解的研究，我们主要有下面的一些结果 考虑非线性二阶微分方程 z ”+ i ( t ，z ，z ) = 0 ( 1 2 ) 其中l ( t ，z ，一) 关于t 是2 7 r 一周期的首先给出在z = 0 处发生完全弹性碰撞的碰撞解 的定义 定义1 1 连续函数z ：r _ r + 称为方程( 1 2 ) 的碰撞解，如果存在一个双向无穷序列 t d i z 使得对所有的i z ，以下性质成立t i z ( t ，) = 0 j 2 一0 i + ) = 一一( 岛一) i 1 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解 3 ，c 2 ( ( 。t i + 1 ) ，r + ) 是( 1 2 ) 的通常意义下的解 关于一类带小阻尼的方程，l a z e r 和m c k e n n a 在 1 0 】中考虑线性碰撞振子 iz ”+ 如+ 6 2 = 1 + e p ( t ) ，。( f ) d ； z ( t ) 三o ； ( 13 ) iz ( t o ) = 0 辛一( t o + ) = 一z ( t o - ) ， 其中p 是一个2 ”一周期连续函数且d = o ( ) ，其中n 是一个连续函数满足o ( e ) _ 0 ，当 _ 0 他们证明了：如果； 0 ，使得 对每一个满足蚓 e o 的，系统( 1 3 ) 至少有一个2 ”一周期解且在【0 2 ”) 内有一次碰 撞 从动力学的观点来看，l a z e r 和m c k e n n a 的结果指出，一个可以同障碍物发生完 全弹性碰撞的线性振子，在受到一个小振幅周期外力和小的阻力的作用下，会有大振 幅2 7 r 一周期碰撞 在f i l j 中，钱定边推广了l a z e r 和m c k e n n a 的结果，他证明了；如果 0 ； $ ( q 0 ，； ( 1 5 ) 【。0 0 ) = 0 = 争2 7 ( t o + ) = 一z 7 ( t o 一) ， 存在一个2 ”一周期解$ o ( t ) ，且在【o ，2 ”) 上恰好有m 次碰撞而且，如果h 有一个非退 化盼零点咖，即 ( 咖) = 0 且( a o ) 0 ，则存在印 0 使得对0 o ； z ( ) o ； ( 1 7 ) ix ( t o ) = 0 = 。( t o + ) = 一一( t o 一) 其中n ( t ) ，p ( t ) 是2 7 r 一周期连续函数，p ( t ) 满足 p 0 时的碰撞问题 z ( t ) 是碰撞问题 i + 口( t ) z = 0 ， z ( t ) d ； 正( t ) d ； iz ( t o ) = d 辛一( t o + ) = 一一( t 0 - ) 的解当且仅当y ( t ) = z ( t ) 一d 是问题( 1 7 ) 在p ( t ) = 一n ( 咖f 时的解，在v ( lu ) 瓞r + ， 后继映射s 有定义的假设条件下，他们证明了对v m n ，n 【2 m ( _ 、，研：功+ 1 ，问题 ( 1 7 ) 至少存在1 个2 m t r 一周期解且在每个周期上恰好有n 次碰撞进一步，对v m n 满足2 m ( v 1 w i ) o ； z ( t ) o ； ( 1 8 ) iz ( t o ) = 0 = 一( t o + ) = 一一c t o 一) 3 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解 其中 厂1 m l i r a 十g ( x ) 2 + “。l i r a + 。g ( 。) 20 n 9 ( 8 ) 8 8 0 的情况下，对于超线性方程而言，后继映射虽有定义，但当q ( t ) = 0 并有强迫项p ( t ) 时很难处理，因而使用后继映射来处理我们的问题就有不便；同时， 由于解在给定区间上的可延拓性是否存在也不清楚，这使得问题变得困难在证明碰 撞问题解在给定区间上的可延拓性时，既要保证解的范数有界，又要保证解的范数不 趋于零而在 1 8 1 1 1 9 2 0 中解的可延拓性只须考虑范数的有界性即可这样一来，我 们在文章中花了很大的篇幅来证明这一点另外，在q ( z ) 变号的情况下，我们的系统 是一个无扭系统这使我们没有现成的方法可以使用 对于我们的模型，我们首先通过坐标变换把它转化到一个定义在全平面上的等价 系统通过寻找等价系统的周期解来得到碰撞振子的周期解通过这样的数学处理框 架，直接分析解的动态行为，可以对系统有更好的理解 在这篇论文中，针对g ( ) 不变号的情况，我们主要验证新系统的p o i n c a r 6 映射具 有边界扭转性这就要求对新系统的解的动态行为作出仔细的分析，在这里对时间的 相关估计起着关键的作用 4 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期懈 针对q ( ) 变号的情况，我们借鉴了b u t l e r 2 1 1 9 不带碰撞的周期解研究的有效思 想与方法，用一个拓扑的方法来寻找周期解的存在性，由此也带来了一系列新的拓扑 形式 1 2论文各部分的主要内容及相应的难点 我们先给出一些在文章中用到的条件记 ( g 。尘罕匕9 ( z ) = + 。； ( 9 1 )1 i i n ；尘2 = + 。； ( 9 亨) ，土哼( e ) = 0 ， 其中寸( e ) = 以z u + 了云杀幽，g ( z ) = z 。g 扣) d s 为位势函数寸：r + - + r + 通常称为右半轨的时间映射条件( 9 ) 意味着随着方程。”十9 ( 。) = 0 轨道能量的增 加，方程的解沿着。0 半平面上的轨道走所需时间趋向于零由超线性条件( 9 1 ) 可 推出( 9 ) ( q o ) 1 v t 【0 ，u 】，q ( t ) 0 ，且 t o ，u 】：q ( t ) o 0 ； 2 集合 t 【0 ，u ：q ( ) i0 ) 只有有限个连通区间； 3 若在( c ，d ) c 0 ，u 】上q 0 且q ( c ) = o ( 或q ( d ) = o ) ，则q 在c 的一个右邻 域内单调不减( 或相应地q 在d 的一个左邻域内单调不增) ； ( q 1 )1 q ( t ) 在( 0 ，“j ) 内有有限个孤立零点 t 4 f = l 满足0 = t o t l t 2 “ i o ，碰撞问 题( 1 9 ) 至少存在的一个周期解( t ；o ，p ( 。) 使得x i 在一个周期内恰好发生i 次碰撞 而且l i mk ( ) l + h ( ) i = + o o 对t i o ，w 】一致 第三章我们讨论当p ( t ) ；0 时方程( 1 9 ) 在条件( 9 1 ) 下的周期碰撞解的存在性具 体地说，考虑碰撞问题： l 。”+ g ( o ) 9 ( 。) = 0 ，x ( t ) o i x ( t ) o ； ( 1 1 0 ) 【x ( t o ) 202 一( 如+ ) = 一。( t o 一) 其中q ( t ) ：【o ，u 】_ + r 为u 一周期连续的有界变差函数，且满足( q i ) ，9 ( z ) ：r - 1 1 是局 部l i p s c h i t z 连续函数。满足9 ( z ) o ( x o ) ，g ( 0 ) = 0 ，( 9 1 ) 和 (g0)f“【1+g(硼1，10 ，( g o ) 【1 + g ( z ) 】一i d t ， ， j“、4 ， 其中g ( z ) ：= g ( s ) d s ，p ( t ) ：r _ + r 是连续的u 一周期函数同第二章样，我们是 在坐标变换后在新的系统下考虑问题 类似于f 2 1 】和 19 】证明的思想，我们用一个拓扑的方法来解决这个问题首先定 义一个开集唰由所有初始点p 构成，使得当t = 0 时从p 点出发的解在【o ，u 内可延 拓显然p o i n c a r 4 映射在谢上有定义可以证明唰非空且无界其次，对于任意给 定的j n ，我们可以构造一个圆环g ( r 1 ，r 2 ) ，它的边界分别为以原点为圆心钆r 2 为半 径的圆周，使得分别从内外边界上的点出发的解，只要在【0 ，叫上有定义，解绕原点旋 转的度数就可以相差2 i x ，从而p o i n c a r 6 映射在有定义的区域上具有边界扭转性 定义函数 币0 ) ：= r p ；0 ，一0 ) ，秽0 ) ) ) 一r 0 ) ， t f i ( p ) ：= 口；0 ，p ( p ) ，毋( p ) ) 一秽( p ) ， 则新系统有周期解当且仅当存在点p ，使咖( p ) = o ，妒扫) ；0 ( m o d 2 ：r ) ，即p o i n c a r 4 映射 在可定义区间上是否有不动点可以证明存在一个有界连续统fc ( n g f 3c ( r l ，r 2 ) ) ，使 得r 上的点满足币( p ) = 0 且r 与圆环内外边界都相交从而在r 存在j 个点满足 q i ( p ) = o ，妒( p ) 三0 ( m o d 2 ”) 随着圆环外边界的扩大，可以得到系统的无穷多个解我们 有下面的定理； 6 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解 定理1 2 假设g ：r + _ r 是局部l i p s c h i t z 连续函数，满足9 ( z ) o 【。 o ) ，9 ( o ) 2 0 t ( 9 1 ) 以及( g o ) ，口：【o ，u - + 豫为u 一周期连续的有界变差函数，且满足( q 1 ) 则问题 ( 11 0 ) 存在无穷个u 一周期解且存在一个自然数i o z ，使得对每一个i z 且i i o ， 碰撞问题( 3 1 ) 至少存在的一个周期连续解瓤( ；0 ，p ( ) ) 使得z t 在一个周期内恰好发生 i 次碰撞，而且解的范数可以任意大 7 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解 二 超线性定号位势的周期碰撞解 二 超线性定号位势的周期碰撞解 l 卫”+ g ( ) 9 ( z ) 二p ( ) ， z ( ) o ； z ( t ) o ， ( 21 ) 【2 ( o ) = o = z ( o + ) = 一z ( t o 一) fz = 2 c o s ( g + 三) ， g = 2 s i n ( 8 + 薏) ， ( 2 2 ) 【一；” o ( m 。d 4 ”) 蓦； fz = 2 c 。s ( g + 薏+ ”) ， g = 2 s i n ( 2 + 薏+ ”) ， ( 2 3 ) 【一 ” e ( m 。d 4 z r ) 一弘 ( r ，日( m o d 2 ) ) 是1 - 1 的同时，x ( r ，日) ，( r ，口) 关于口是2 1 r 一周期的事实上，不妨设 一 r 口( m o d 4 ”) 兰，贝。有茁( r ，日) = 2 c 。s ( 2 + ) 由于一 7 r ( 口+ 2 ”) ( r o o d 4 7 0 一”， 从而z ( n 口+ 2 ”) = 2 c 。8 ( 芝专产互+ 薏+ ”) = 2 c 。s ( 2 + 莓) = 。( r 口) 当一；” 0 ( 或v ( t ) _ 一v 哐f 0 经过碰撞后解从( 2 2 ) 、( 2 3 ) 的一个给定变换给出的( r ，0 ) 过渡到另 一个变换给出的( r ，口) ( 在过渡中( r ( t ) ，口( t ) ) 保持连续，碰撞前后变换的变化正好反映碰 撞前后y 符号的变化) 再发生碰撞时，解又回到源来变换给出的( r 1 日) 发生一次碰撞 相当于口( t ) 取到一次2 k l r 一警 z ) ，两个碰撞之间0 相差2 ”一次次的碰撞使解的 0 坐标在两个变换中过渡，且正好对应我们一开始取的o ( m o d 4 ”) 因此，碰撞问题( 2 1 ) 的连续解可以由( 2 5 ) 的连续解表示，且在t t o 时，( 2 5 ) 右端关于r 、0 是连续可微的当t _ t o 时，_ 十2 0 ，因此振子不会在零点停留 类似于 2 2 】引理2 1 中的方法可得： 引理2 1 若系统( 2 5 ) 在某一个时f - i 区间h 纠上存在连续解( r ( t ) ，p ( t ) ) 满足0 r ls r ( t ) r 2 + o 。，且解与射线0 = 一萼 ( m d d 2 7 r ) 相交j 次，则问题( 2 1 ) 在同一时间区间 9 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期擗 二 超线性定号位势的周期碰撞解 上存在连续碰撞解z ( t ) ，且在这个时间区间内恰好有j 次碰撞 证明：若在t o 时刻发生碰撞，p ( t o + o ) = p ( t o o ) 为某一定值，口( o o ) ，o ( t o + 0 ) 存 在且o ( t o o ) 一e ( t o + 0 ) = 2 h g ，对某一个k z z _ 0 时，0 o 一2 0 设 p ( ) ，o ( t ) 是满足初始条件p ( a ) = p o ，o ( a ) = o o 的( 2 5 ) 的 a ，b 】上的连续解，且在 。，b 与射线0 = 一g ”( m o d 2 ”) 有j 次相交下证：z ( ) = 2 v 序c o s ( g + 0 ) 即为( 2 1 ) 的陋，6 上的连续碰撞解，且在k ，6 j 内恰好有j 次碰撞 不失一般性，不妨设一4 口 i o ，( 2 5 ) 至少存在连续解( q ( t ) ，氓( ) ) ，其与射线口= 一g ( m o d 2 v ) 相交i 次而且 l i h l n ( t ) = + 。对【0 ，u 】一致 容易证明碰撞闯题( 2 1 ) 的初值问题的解是唯一存在的，因而可如1 2 3 l 第l 3 节那 样证明其解对初值及参数的连续性所以( 2 5 ) 的连续解关于初值及参数也是连续的， 即我们有下面的连续依赖性引理 引理2 2 设，( t ，z ， ) 对( t ， ) r r j 连续，对z 满足局部l i p s h i t z 条件，则初 值问题 iz ”+ ，( t ，z ，a ) = 0 ，z ( t ) 0 ， j 邢) o ， lz ( t o ) = 0 = z 7 ( t o + ) = 一( t o 一) ， ix ( t o ；t o ，x o ，茹6 ，a o ) = x o ，z ( t o ；t o ，x o ，z 6 ，a o ) = z ； 的解。( ；t o ，z o ，硝，a o ) 在定义域内是( t o ，x o ，瑶，2 0 ) 的多元连续函数，其中连续性在 ( z ，z ) 碰撞相平面上理解，即把( 0 ，y ) 与( 0 ，一y ) 视为同一点向o j 2 1 解的可延拓性和相平面分析 由于不知道新的系统的解在给定的区间上是否有定义，我们首先要讨论解的可延 拓性同时为了证明定理2 1 ，我们必须讨论初值问题解在相平面上的一些动态行为， 事实上，对于系统( 2 5 ) 在q ( t ) 0 的区间上的解，我们可以得到了下面两个结论； 1 对于任意给定的有限区间，都存在一个正数风，只要r 0 ) r 。，则从p 出发的 解在该区间内都是可延拓的； 2 大振幅解具有振荡行为，即如果解的范数越大，则解在相平面上的旋转就越 快，在固定区间上的旋转圈数就越多 我们首先有下面的引理2 3 引理2 3 设9 ( z ) ：r + _ + r 是局部l 咖s c h i t z 连续函数，满足( 9 0 ) ，q ( t ) ：陋，b j 。r + 为连 续有界变差函数且满足 ( q o )1 n t 陋，纠，q ( t ) 0 ，且 t 【a ，6 】：q ( t ) 0 ) o j 2 集合 k ，6 】：q ( t ) eo ) 只有有限个连通区间； 3 若在( c ，d ) c 【a ，b 】上q 0 且口( c ) = o ( 或q ( d ) = o ) ，则q 在c 的一个右 邻域内单调不减( 或相应地口在d 的一个左邻域内单调不增) ； p ( t ) ：i o ，6 _ + r 是一个连续函数，则存在一个正数几，使得对v t oe 【o ，b 1 ，v ( r o ，o o ) e r + 1 1 超线性时变位势弹性碰撞振子的周期解 三 变号位势的周期碰撞解 三 超线性变号位势的周期碰撞解 本章我们考虑在p ( t ) ；o 时方程( 2 1 ) 所对应的系统 iz ”+ 口( z ) 9 ( z ) = 0 ，x ( t ) 0 ， 。( t ) o ，( 3 1 ) ix ( t o ) = 0 = 一( t o + ) = 一一( o 一) 的周期解的存在性问题，其中我们假设g ： o ，t o 】- r 为u 一周期连续的有界变差函 数，且满足( 9 1 ) ，9 ：r _ r 是局部l i p s c h i t z 连续函数，满足9 ( 。) 0 ( x o ) ，9 ( o ) = 0 ， ( 9 1 ) 以及( a o ) 由于。i0 是方程+ g ( ) 9 ( z ) = 0 唯一的零解，所以任何一个从非原点出发的解 在有限时间内不会通过或趋向于原点对于系统( 3 1 ) 来说，这显然意味着一个从非原 点出发的解只要在某一个有限时间内发生有限次碰撞，则该解在这个有限时间上不会 趋向于原点 3 1坐标变换与可延拓性 同第二部分一样，我们作坐标变换( 2 2 ) 和( 2 3 ) 将碰撞问题( 31 ) 转化到全平面上 的系统来考虑即考虑系统 p = 2 r 。s 甜i n ( 2 - t - 0 , 小) c o s ( 攀二粼! 。， ir o ，口一”( m o d 2 7 r ) ， 的连续周期解问题 易证，方程+ 口( t ) 9 ( z ) = 0 在右半平面的每一段连续非零解，都对应( 3 2 ) 的相 应区间上的一段连续解这样，当r o 0 ，从( r 0 ，0 0 ) 出发的连续解，只要在某一个有 限时间内可以有限次通过半直线日；一；”( m o d 2 ”) ，则该解在这个有限时间上不会趋向 于原点 在p ( t ) ；0 时在区问h t ，u 】上q ( t ) 0 ，根据引理2 3 知，存在r + 0 ，只要r ( h ) r 。， 则从( r ( t 1 ) ，口( t 1 ) ) 出发的解在【t l ，t o 】上可延拓由于9 ( 。) 满足局部l i p s h i t z 连续性，可 知存在一个厶 0 ，使得对于z = 0 附近的点z 满足 i g ( 茹) i 工吲 从而易证当0 o ( x 0 ) ，9 ( 0 ) = 0 ( 9 1 ) 以及( c o ) q ：【o ，u 叶r 为u 一周期连续函数，且满足( q 1 ) 则问题( 3 2 ) 有无穷 多个u 一周期连续解，并且存在一个自然敦o z ，使得对每一个i z 且i i o ，系统 ( 3 2 ) 至少存在的一个周期连续解( n ( ；o ，p ( i ) ) ，巩( ；0 ，p ( ) ) ) 满足r o t o , w 1 ( p ( 2 ) ) = 2 i ，且解 的范数可以任意大 注3 1 一j 由本文第二部分的论述知，有关q 的正则性假设( 见( q 1 ) ) 保证了( 3 2 ) 的 解在口0 的区间上可以延拓 r 纠假设( 9 1 ) 和( g o ) 表示了函数g 在无穷大处的超线性行为这样的函数是存在 的，例如9 ( 。) = x p l o g q 扫+ 2 ) ，其中p 1 ，q r 或者p = 1 ，q 2 条件( 9 1 ) 可以推 出p 纠的大范数解在q 0 的区间上具有震荡行为，即解的范数越大则解与半直线 0i 一萼7 r ( m o d 2 ) 相交的次数越多；同时，假设( g o ) 可以用来描述在q 0 的区间上 的可延拓解集( 可参见【j 明，【别) 在下文中定义连续映射 秽：畸爬- 4 - ( 一墨7 r ，叫，, 9 ( p d ；口( m o d 2 ) ， 一：耐r 2 7 r z _ ( 一量”，女丌】，1 ，( 力；口) ( m o d 2 ) 为了证明系统( 3 2 ) 存在u 一周期连续解，我们的思路是这样的：首先我们希望找 到一个无界连通开集nc 酣r 2 ”e ，使得在= 0 时刻从q 内的点出发的解在 0 ，u 】 上可延拓并且n 包含了原点的一个去心邻域我们可以在q 上定义连续映射z 毋( p ) ：= r ；0 ，( r ( v ) ，秽( p ) ) ) 一r ( p ) ，妒( p ) ：= 日；0 ，p ( p ) ，毋) ) 一毋( p ) 其次，我们希望找到一些点p q ，满足曲( p ) = 0 ，妒( p ) 2 ”z 这显然等价于系统( 3 2 ) 存在u 一周期连续解 为了做到这一点，我们定义集合z ：= p n ：曲0 ) = o ) ，希望在z 上存在一些点满 足妒( p ) 2 ”z 如果能在集合z 中找到一个连续统fcz 当p 在r 上变化时，妒可以 张成一个充分大的区间，根据币的连续性可知，在r 上一定存在点p 满足妒( p ) 2 ”z 这样问题就划归为这样的r 是否存在为此，我们在r + r 2 , r z 上构造了一个 圆环g ( r 1 ，r 2 ) ，这个圆环以圆周 ( r ，0 ) ：r = r l 和 ( n 0 ) ：r = r 2 ) ( r l r 2 ) 为内外边界， 使得分别从