（基础数学专业论文）几类算子在乘积空间上的有界性.pdf

摘要 自二十世纪五十年代，c a l d e r 6 n 和z y g u m u n d 7 】开创奇异积分算子理 论( c - z 算子) 以来，对于奇异积分算子在各个函数空间上有界性的研究一直是 经典调和分析的中心问题之一。本学位论文也将围绕这一问题，主要致力于研 究一些奇异积分算子在各种乘积空间上的有界性。全文共分五章。 本文的第一章作为全文的准备工作，分为两个小节。第一节首先简要 回顾一下m u c k e n h o u p t 权和d u o a n d i k o e t x e a 径向权的定义及性质，然后介绍 m u c k e n h o u p t 权在乘积空间r n r m 上的几个等价定义和性质，最后在空间 r n r m 上引入一类径向权，并进一步讨论它的性质。第二节主要阐述下文中需 要的一些基本函数空间及其性质。 第二章主要讨论粗糙的强奇异积分t a ，n ，芦( 口，0 ) ，分数次积分算子和 l i t t l e w o o d - p a l e y 函数在乘积t r i e b e l - l i z o r k i n 空间上的有界性。 首先设s n - 1 ( = n 或者m ) 是r ( 2 ) 中的单位球面，其上测度为 d a = 如( ) 。对于任意非零的z r ，我们定义= 音。粗糙的强奇异积分算 子死，a 及其极大算子q 定义为 ， t n ，a f ( x ) = p t ，b ( 1 y 1 ) n ( y 7 ) l y i n q ，( z y ) d y ， ( 0 0 1 ) ，舻 ， z 蒜a ，( z ) = s u pi b ( m ) 1 2 ( y 7 ) l ! ，l n a ，( z y ) d y l ，( 0 0 2 ) e o j l y l 对于所有的，s ( r n ) ( 速降函数空间) 。其中b 是一径向的l o 。函数，q l 1 ( s n o ) 是零次齐次函数，且满足消失性条件 ， q ( 秒7 ) k ( 可，d o ( 7 ) = 0 ，( 0 0 3 ) ，s “一1 其中k 是次数k b 】的球面调和多项式。 1 9 6 9 年，w h e e d e n 【9 0 首先研究得到0 o 0 的情 形，证明了下述定理： 2 几类算予在乘积窄问上的有界性 定理0 0 1 设1 0 ，使得 f f 死，a ( 删l p ( 舭) c i i i i i l 。( r n ) ，0 强，f ( ，) f f p ( r n ) c l l f l l l g ( r n ) 随后，文献【1 1 ，2 5 1 的作者都去掉了q = z 的限制，并减弱了定理0 0 1 中 q 的消失性，只要求q 的消失性满足条件( 0 0 3 ) 。【2 4 】中进一步讨论了此算子 的加权有界性。与此同时在文献【1 8 】中，c h e n ，f a n 和y i n g 还研究了算子死。口 在齐次t r i e b e l - l i z o r k i n 空间上的有界性，得到如下定理： 定理o o 2 设1 o 面则存在与厂无关的常数c 0 ，使得 i i t q , o ( 剧b a ( r n ) c l l f f 审讹。( r - ) ，p r 粗糙的强奇异积分算子死，a ，p ( a ，卢0 ) 在乘积空间p r m 上定义为 7 b 4 ，p ( ，) ( z ，可) = p 口上。r 。皇g i 鲁帮f ( x - u , y - v ) d u d v ，( 。4 ) 对于所有的，s ( r n r m ) ，其巾b 是一径向的l 函数，q l 1 ( 酽以s m 一1 ) 且满足 g t ( s x ，t y ) = n ( x ，爹) ，v8 ，t 0 ， q ( z 7 ，可7 ) z m d 莎( z 7 ) = 0 ，v1 7 1 i k ，vy 7 s m 一1 ，( 0 0 5 ) q ( z 7 ，y ) y 7 2 d a ( y 7 ) = 0 ，vi 他i zvz 7 s n 一1 ， 这里，y 1 ，能是多重指标，k 和j 是某个整数。特别地，当口= 0 = 0 ) 时，k = 0 ( ，= o ) 。 当q = p = 0 时，我们把t n “口简记为，即为通常乘积空间上的 奇异积分算子。1 9 8 2 年，f e f f e r m a n 和s t e i n 5 1 1 用平方函数的方法证明当 b 三1 ，核q 满足一定光滑性和消失性时，在扩( r n 瓞m ) 上有界，其中 1 p 1 的条件下上述结论成立。2 0 0 2 年，c h e nf 1 3 】用旋转法将核条件减 弱为q l ( 1 0 9 + l ) 2 ( 酽_ 1 s m - 1 ) 。2 0 0 6 年，a 1 s a l m a n 等在f 4 】中用不同的方法 得到此结果。期间，许多作者都深入研究了这一问题，改进推广了核的条件，可 以参考文献【2 2 ，3 4 ，3 5 ，9 2 ，9 7 ，9 9 】等。w a n g 8 6 则将c h e n 的结果推广到齐次 的乘积t r i e b e l - l i z o r k i n 空间尉执j 口。对于a ，卢0 的情况，c h e n 在其博士 论文f 2 4 】中研究得到了如下定理： 定理0 0 3 设1 p 面则存在与，无关的常数c 0 ，使得 i i 死，q ，卢( 列i p r m ) c i i f l l s _ , ：口( 1 l n r m ) 本章还将研究两类算子。设0 q 仡，0 p 仇，粗糙的分数次积分算 子隅p 在乘积空间酞“r m 上定义为 f b ，a ，p ( ，) ( z ，可) = 上。r 。鱼g i ! 帮f ( x - u , y - v r ) d u d v ，( 。6 ) 对于所有的，s ( r n p ) ，其中b l ( r 1 1 r ) ，q l 1 ( s n 一1 s m _ 1 ) 。 设盯l 1 ( p ) ，可以定义u s ，t ( 。，可) = 2 一肌一饥盯( 芳芳) 。u s ，t 的f o u r i e r 变换表示为以，t ( ，r ) = 参( 2 8 f ，2 t 叩) 。l i t t l e w o o d p a l e yg 函数g ( f ) 在乘积空间上 定义为 ， 夕( ，) ( z ，y ) = ( 1 只，t ( ，) ( z ，y ) 1 2 d s d t ) 吾， ( 0 0 7 ) ，r 2 对于所有的，s ( r n r m ) ，其中只，t ( 厂) ( 。，y ) = u s ，t 木f ( x ，y ) 。对于任意实数 o t ，口，我们定义 聪p ( 川z ，y ) = 2 - a s - z t a s ，水f ( x ，剪) ( 0 0 8 ) 文献【1 8 】证明了酞n 中上述两类算子( 单变量情形) 在齐次的t r i e b e l - l i z o r k i n 空间上的有界性。利用f o u r i e r 估计与l i t t l e w o o d - p a l e y 分解理论 的相结合的方法，本章将把奇异积分算子邓n 卢的有界性推广到齐次的乘积 t r i e b e l - l i z o r k i n 空间中。利用文献【1 2 ，9 6 】中的思想，我们同时减弱了【2 4 】中q 4 几类算了在乘积窄问上的有界性 的消失性条件。使用同样的方法，也得到上述两类算子在此空间的有界性。主 要结果可以概括为 定理0 0 4 设1 0 时，f t l ( 1 0 9 + 己) ( s n 一1 s - , - 1 ) 则存在与，无关的常数c 0 ，使得 1 1 ，a ，口( 删l 妒，。( r n ) sc l l f l l 露- , 。( r 。r m ) 定理0 0 5 设1 口，p 1 。若 0 a ，p 0 ，使得 ，n , a ( f ) l l f 尹。( r n x ) c h f i i f 罗, 。( r n r m ) 定理0 0 6 设1 g ，p o 。，歹= m a x p ，p ( p - - 1 ) ) ，彳= m a x q ，q ( q 一1 ) ) ，亨= ( 口，p ) r r 。若o l ( 一p 2 ，p 1 ) ，p ( 一地，) 且满足一等 q 等，一智 p 酱，其中盯满足条件： ( i ) i is u pi 盯。，t i 牛fjj l ，( r n r m ) c i i f l l l p m r m ) ，vf s ( r n x r m ) ，1 0 ，使得 聪p ( ) il l a ( r r ) 怯( p r 仇) c i i f l l 露- - m r 仇) 给出定理0 0 6 的一个应用。设b ( u ，u ) 支集在【0 ，1 】2 上且满足 。s u px r ：i b ( 孑u ，舻d 珏如 1 且满足( o 0 5 ) 。若口，p ( 一南，丽2 ，) ，则有 i ii i f ；, 囊p ( ，) l h r r ) 慨 r m ) c i i f l t 磅, 。( r 。r 。) ， 其中c 0 是与函数f 无关的常数。 特别地，令b ( u ，u ) = 6 ( 2 。仳，2 。钉) x ，( 乱，钉) ，其中，= 【0 ，1 】2 。令必，。( ，) ( z ，y ) = o s ，t 木f ( x ，可) ，则 g ( ，) = p q ( 厂) = ( i 舰，。宰厂( z ，v ) 1 2 d s d t ) 吾， j r 2 就是我们所熟知的乘积空间上的m 盯c i 幽e w i c z 积分算子。对于任意实数q ，口， 我们定义 嵋p ( 似z ，箩) = 2 - a s - p t a s ，t 木( x ，y ) ( o 0 1 0 ) 推论0 0 2 设函数b 满足( 0 0 9 ) ，其它条件同推论0 0 1 ，则有 | i | | a 秽( 删h r r ) 慨r n r m ) c l l y l l e ：, 。( 陬r m ) ， 其中c 0 是与函数f 无关的常数。 第三章主要研究粗糙的极大强奇异积分算子蜀幽p ( n ，p o ) 在乘积空间 上的有界性。首先给出它的定义： 7 磊，q ，矽( ，) ( z ，秒) - - - 旬s ，u p l z。i)。，旧b。皇三92：；：铲，(x-u,y-v)e2o d 让d 口l ， f l ， - ，i t i 1 ，i 幻i e 2i t 正i l l l 秽i 一 ( 0 0 1 1 ) 6 几类算了在乘积窄间上的有界性 对于所有的，s i r ”x r m ) ，其中b 1 ，6 2 是径向的l 函数，q l 1 ( 酽- 1 s m _ 1 ) 且满足条件( 0 0 5 ) 。 当q = 卢= 0 时，我们把玮豳目简记为，即为通常乘积空间上的极大 奇异积分算子。我们简单回顾下其研究历史。1 9 8 2 年，f e f f e r m a n 和s t e i n 5 1 1 用平方函数的方法证明当b 1 兰6 2 兰1 ，核q 满足一定光滑性和消失性时，瑶 在l p ( r ) 上有界，其中1 0 时，对于 p ( 辫精，帮) ，玮是2 有界的。2 0 0 6 生i z ，a 1 一s a l m a n ，a 1 - q a s s e m 和 p a n 4 1 将核条件减弱为q l ( 1 0 9 + l ) 2 ( 酽q s “- 1 ) 。 本章进一步推广了上述结果，得到下述主要定理： 定理0 0 7 设1 0 时，q l ( 1 0 9 + l ) ( s n 一1 s m 一1 ) 则有 j i a b ( f ) i 2 ( r - 肛pv i i f i l l ：，卢( r n r m ) ， 其中c 0 是与函数，无关的常数。 其中 第四章考虑一类广义的m a r c i n k i e w i c z 积分在乘积空间上的加权有界性。 1 9 5 8 年，s t e i n 【7 6 】首先在高维空间卜定义m a r c i n k i e w i c z 税) 算+ 了p n 为 训垆, o 嘲删2 觏 ( 0 0 1 2 ) 屁，t ( z ) = 五 9 丛f 兰萼驽掣，( z 一缸) 如，6 l ( r ) ， 摘要 7 q l 1 ( 酽一1 ) 是零次齐次函数且满足消失性条件 l - 1 q ( z 7 ) 如7 = 。( 。1 3 ) 他同时讨论了此算子的p 有界性的。而后许多作者深入研究了这一问 题。1 9 9 0 年，t o r c h i n s k y 和w a n g 【8 1 】证明如果q l i p ，0 7 1 ，b 兰1 ， 则对于1 p 1 ，且满足下列任一条件：对于r p 。，叫如；对于1 p ，u 1 叫知：对于1 p 1 的条件下证明了脚的l p ( 1 p o 。) 有界性。2 0 0 1 年， c h e n 等 1 7 j 将核条件减弱为q l ( 1 0 9 + l ) 2 ( 酽_ 1 s 仇- 1 ) 。2 0 0 2 年，他们在 1 8 j 中又改进了核条件。2 0 0 5 年，a i - s a l m a n 等【3 】3 ，w a n g 等 8 7 和l i 【6 5 】都证明 q l ( 1 0 9 + l ) ( s 护1 s 仇_ 1 ) n ( 0 0 5 ) 时，结论成立。还有一些不同于上述核空 间的研究结果。可以参看文献f 1 ，6 4 ，1 0 0 。 关于单变量算子p q a ( q 0 ) 在齐次s o b o l e v 空间上的有界性可以参考文 献【9 1 ，5 8 。2 0 0 5 年，j i a n g 【5 6 】继续研究p q ，口，伊( o l ，p 0 ) 的有界性，结果如下： 8 几类算了在乘移 窄问卜的有界性 定理0 0 8 设1 【譬一1 】。则存在与，无关的常数 c 0 ，使得 i i p q ，a ，f l i l p ( r n r m ) c i i f l l l ：。( r 。肛) 本章仍采用f o u r i e r 估计与l i t t l e w o o d - p a l e y 分解理论相结合的方法，应 用乘积空间上权气( 瓞n r m ) 的性质，研究了p q a 卢的加权有界性。同时根据 文献 1 2 ，9 6 】中的思想，减弱了【5 6 】中q 的消失性条件。主要结果可以概括如为： 定理0 0 9 设1 0 时； q l ( 1 0 9 + l ) 2 ( s n 一1 $ m - 1 ) ，当q = p = 0 时 则有 0 p q ，q ，z ，f l l l ( , o ) ( r n r m ) c i i f l i l x 口( u ) ( r n r m ) ， 其中c 0 是与函数，无关的常数。 最后一章我们主要讨论变量核参数型m a r c i n k i e w i c z 积分的有界性。先给出 一些定义。我们称定义在r nx r n 一卜的函数q ( z ，y ) 属于三( 豫他) xl 7 ( 酽一1 ) ，7 1 ，如果q 满足下列条件： 1 q ( z ，入耖) = q ( z ，秒) ，vz ，y r n ，a 0 ， 2 1 i q | | l 一( r n ) r ( 酽一z ) = s u p x r 。( 以。一。jq ( z ，y 7 ) f d 盯( y 7 ) ) 吾 兰塑，p q 是己2 有界的，在l 1 - d i n i 条件下是日1 ( 取佗) 到l 1 ( r “) 有界的，在某类d i n i 条件下是弱( 1 ，1 ) 的，并且通过插值得到了p q 的驴 ( 1 p 2 ) 的有界性。文献【9 5 】中得到熊的l 2 有界性，在0 p 型岩的条件下。d i n g 和l i 4 1 】同样获得p ( 0 p 差) 的l 2 ( p ) 有界性。2 0 0 7 年，l i 在【6 6 】中研究得到p ( 0 p n ) 是驴( 1 p 2 ) 有界的，在q l ( r n ) l o o ( 酽。) 且满足( 0 0 1 5 ) 和 舞i i t ( x , y ，) _ 吣，z ，) i 南，v 7 姐，y 拶- ( n m l 8 ) 本章将采用文献27 1 的思想，获得向量值算子的混合模范数估计，从而得 到熊的p 有界性，其中q 关于第二个变量是奇函数。此外，也进一步推广和 改进了文献【4 0 】中的一些结果。主要结果如下： 定理0 0 1 0 设0 p 垃弘且满足 条件( o 0 1 5 ) 。如果q ( z ，y ，) 关于第二个变量! ，是奇函数，则对于1 0 ，使得 l i 比f i ( f ) 0 p ( 即) ci l ，0 p ( 舻) 定理0 0 1 1 设0 o j l v l b ( 1 y 1 ) c 2 ( y 7 ) l v l n 一口f ( x y ) 匆l ， ( 0 0 1 ) ( 0 0 2 ) f o ra l lf u n c t i o n s ，s ( r n ) ，w h e r eb l ( 跫芏) ，o l 0 ，q l 1 ( s n 一1 ) i sa h o m o g e n e o u sf u n c t i o no fd e g r e ez e r oa n ds a t i s f i e s n ( v 7 ) y k ( 秒7 ) d a ( y 7 ) = 0 ， ，s n 一1 o na l ls p h e r i c a lp o l y n o m i a l sk ( 矿) w i t hd e g r e e sk 【q 】 ( 0 0 3 ) 1 2 几类算子在乘积空间上的有界性 i n1 9 6 9 ，w h e e d e n 9 0 f i r s to b t m n e dt h a ti f0 q 2 ，b 兰1 ，q l 1 ( s n - 1 ) n ( 0 0 3 ) ，死，qi st h eb o u n d e d n e s so f ( 醒，汐) a n dw e a k ( 磋，l 1 ) ，w h e r e 醒i st h e h o m o g e n e o u ss o b o l e vs p a c e i n2 0 0 3 ，c h e n ，f a na n dy i n g 【1 9 】c o n s i d e r e d m 玮。z ( 1i sa ni n t e g e r ) f o ra 0a n dp r o v e dt h a t t h e o r e m0 0 1l e t1 0 i n d e p e n d e n to ffs u c h t h 只t t n ，a ( ，) i i p ( 舭) v i i i l l 墨o r n ) ，0 写，z ( f ) i l ，( r n ) c i i i i l = ( r 。) l a t e ro n ，i n 【11 ，2 5 ，t h e ya l ld r o p p e dt h er e s t r i c t i o nt h a to l = zf o r 玮。口a n d i m p r o v e dt h ec a n c e l l a t i o no nq i nt h e o r e m0 0 1 t h e yp r o v e dt h a ti nt h e o r e m 0 0 1 ，o n eo n l yn e e d st oa s s u m et h a tqs a t i s f i e st h ec a n c e l l a t i o nc o n d i t i o n ( 0 0 3 ) f o ra l lk f q l i n 【2 4 ，t h ea u t h o ra l s op r o v e dt h ew e i g h t e db o u n d e d n e s s a tt h e s a n l et i m e ，i n 【1 8 ，c h e n ，f a na n dy i n gf u r t h e rs t u d i e dt h eb o u n d e d n e s sp r o p e r - t i e so f ，q ( q 0 ) o nt r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e sa n de s t a b l i s h e dt h e f o l l o w i n g ： t h e o r e m0 0 2l e t1 呖藓t h e nt h e r ee x i s t sa c o n s t a n tc 0 i n d e p e n d e n to ffs u c ht h a t 死，口( f ) l l f f l e ( 舻) c l l fj 带+ 声，。( r n ) ，炒r t h er o u g hh y p e rs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r st n a ，p ( o ，p 0 ) o np r o d u c t s p a c e so r ed e f i n e db y 2 b ，口，卢( ，) ( z ，y ) = p 钉上。r 。鱼g i ：鬻f ( x - - u , y - - v ) d u d 秒，( 。4 ) fa r et e s tf u n c t i o n si ns ( r n r “) ，b l ( 已 已，) a n dq l 1 ( s ”一1 s m 一1 ) s a t i s f i e s f 2 ( s x ，t y ) = q ( z ，夕) ，v8 ，t 0 ， q ( z 7 ，可7 ) z 竹1 d a ( x 7 ) = 0 ，v1 7 1i k ，vy 7 s 一1 ，( 0 0 5 ) j s - 一l a b s t r a c t1 3 q ( ，y 7 ) y 7 2 d a ( y 7 ) = 0 ，vi 2 i z vz 7 s ”一1 ， w h e r e7 1 ，他a r em u l t i p l ei n d i c e s ，a n dka n dja x es o m ei n t e g e r s e s p e c i a l l y , k = 0 ( j = 0 ) w h e nq = 0 = 0 ) w ed e n o t e a 口b y i fa = p = 0 i n1 9 8 2 ，b yu s i n gt h es q u a r ef u n c t i o nm e t h o d ，f e f f e r m a na n ds t e i n 【5 1 】p r o v e dt h a ti fb 三1 ，qs a t i s f i e sc e r t a i n s m o o t h n e s sa n dc a n c e l l a t i o nc o n d i t i o n s ，i sb o u n d e do n 护( 职xr m ) ，w h e r e 1 p 1 i n 2 0 0 2 ，b yu s i n gr o t a t i o nm e t h o d ，c h e n 【1 3 w e a k e n e dt h ec o n d i t i o no nq ，t h a t i sq l ( 1 0 9 + l ) 2 ( 酽- 1 s m 。) i n2 0 0 6 ，a 1 一s a l m a ne t a l 【4 】4a l s op r o v e dt h e c o n c l u s i o nw i t hd i f f e r e n tm e t h o d w a n g 8 6 】i m p r o v e dt h er e s u l ti n 1 3 】t ot h e h o m o g e n e o u sp r o d u c tt r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e s 尉锄 风) w f o rt h ec a s e 口，p 0 ， c h e n ，i nh e rd i s s e r t a t i o n 【2 4 ，o b t a i n e dt h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m0 0 3l e t1 p 面t h e nt h e r ee x i s t sac o n s t a n tc 0i n d e p e n d e n to ffs u c h t h a t i i ，n ，p ( 川i p ( 舭r m ) c i i i i l ：口( a - p ) i nt h i sc h a p t e r w ea l s os t u d yt h eo t h e rt w oc l a s s e so p e r a t o r s l e t0 a 7 , ，0 p m ，q l 1 ( s - 一1 s m 一1 ) t h er o u g hf r a c t i o n a li n t e g r a lo p e r a t o r r ，a ，卢o np r o d u c ts p a c e si sd e f i n e d o i la l l ，s ( r 竹r m ) b y ，h ，a ，卢( ，) ( z ，可) = 上。r 。鱼g ；兰带f ( x - - u , y - - v ) d u d v ( 。6 ) f o r 仃l 1 ( r “xr m ) ，w ed e f i n e 吼，t ，y ) = 2 - 肌- t m 盯( 芳芳) t h ef o u r i e r t r a n s f o r m so f 口5 td e n o t e s 以，t ( ，叩) = a ( 2 8 ，2 t 7 7 ) t h el i t t l e w o o d - p a l e ygf u n c - t i o ng ( f ) o n 妒r 仇i sd e f i n e do nf s ( r n 酞m ) b y 夕( ，) ( z ，y ) = ( 1 只，。( ，) ( z ，y ) 1 2 d s 出) i 1 ，( 0 0 7 ) j r 2 w h e r ee ，t ( ，) ( z ，y ) = o s ，牛f ( z ，可) f o ra n yr e a ln u m b e r sa ，p ，w ed e f i n e j 盈p ( ，) ( z ，y ) = 2 - a s - p t c r 8 ，t 木f ( x ，可) ( 0 0 8 ) i n 1 8 1 ，t h ea u t h o r sa l s os t u d i e dt h eb o u n d e d n e s so ft h ea b o v et w oc l a s s e s o p e r a t o r s ( o n e v a r i a b l e ) o nt h eh o m o g e n e o u st r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e s i nt h i s c h a p t e r ，b yf o u r i e re s t i m a t e sa n dl i t t l e w o o d - p a l e yt h e o r y , w ee x t e n dt h eb o u n d - e d n e s so fs i n g u l a ri n t e g r a lo p e r a t o r a 卢t ot r i e b e l l i z o r k i ns p a c e s a l s o ，u s i n g i d e a si n 1 2 ，9 6 ，w ew e a k e nt h ec a n c e l l a t i o nc o n d i t i o n so nqi n 【2 4 w es u m - m a r i z eo u rr e s u l tb e l o w t h e o r e m0 0 4l e t1 o ； q l ( 1 0 9 + l ) ( s n 一1 s m 一1 ) i nt h ec a s ea p = 0a n do + p 0 t h e nt h e r ee x i s t sac o n s t a n tc 0i n d e p e n d e n to f ，s u c ht h a t 死，。，p ( 剧l 舻，一( 即r m ) c i 醪。( 舭r m ) t h e o r e m0 0 5f o r1 g ，p 1 i f 0 o t ，p 0i n d e p e n d e n t d s u c h t h a t i i 玮，q ，z ( f ) l l f 尹。r 。) c i i f l l f 手, a ( 舻r m ) t h e o r e m0 0 6f o r1 q ，p o 。l e t i o = m a x p ，p ( p 一1 ) 】，虿= m a x q ，q ( q 一 1 ) ) ，l e t 亨= ( q ，p ) r 酞i fo t ( - 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a s - a t c r 8 ，t 木f ( x ，可) ( 0 0 1 0 ) c o r o l l a r y0 0 2w i t ht h es a m ec o n d i t i o n so fc o r o l l a r y0 0 1 ，b ya s s u m i n gt h a t bs a t i s f i e s ( 0 0 9 ) ，w eh a v e 蟛( 删h r r ) 怯r m ) c i i f l i f ：, q ( r n x r m l ， w h e r ec 0i sac o n s t a n ti n d e p e n d e n to ff 1 6几类算了在乘移 空间一卜的有界性 c h a p t e rt h r e ei nt h i st h e s i si sd e v o t e dt ot h eb o u n d e d n e s so f t h er o u g h m a x i m a lh y p e rs i n g u l a ri n t e g r a l s 蜀“卢( a ，p 0 ) o np r o d u c ts p a c e s w ed e f i n e 蜀4 ，口(