（应用数学专业论文）cookiecutter集的量纲.pdf

摘要 本文主要研究开集条件下的自相似集及c o o k i e - c u t t e r 集的h a u s d o r f f 量纲和 填充量纲问题对满足开集条件的自相似集，本文主要描述了其一类正则量 纲，证明了如下结论t 设e 为相似比为【c l ，c ，1 ) 的i f s f l ，。，a ) 生成的 自相似集，且满足开集条件，g 为量纲函数且满足条件： ( i ) 9 心) = l ；( i i ) 对于由数字 1 ，2 ，n ) 生成的任意一个奄项序列仃= i l i 七，有9 ( c 。) = 夕( c 。) 夕( ) ，则e 具有正有限g - h a u s d o r i f 测度及g 一预填充测度对c o o k i e - c u t t e r 集，本文主要刻画了其量纲，证明了如下两个结论。( 1 ) 设ec 酞为 c o o k i e - c u t t e r 集，d i m 日( e ) = 5 ，g 为量纲函数，则有0 h g ( e ) 兮0 l i m i n f h o 警 c o ；( 2 ) 设ecr 为c o o k i e - c u t t e r 集，d i m p ( e ) = s ，g 为量纲函 数且为加倍的，则有0 p g ( e ) o o 营0 l i m s u p t o 警 0 0 全文共分为四个部分：在第一部分，给定本文研究的背景及已有结论和本 文的主要结论；在第二部分，作为预备知识，我们将从量纲函数，自相似集及 c o o k i e - c u t t e r 集的定义出发，讨论一些必要的性质，给出本文需要用到的引理 及其证明；在第三部分，我们分别证明三个主要结论；在第四部分，提出在本 文基础上可以拟考虑的问题 关键词：开集条件；量纲函数；c o o k i 手c u t t e r 集；h a u s d o r f f 量纲；填充 量纲 a b s tr a c t w es t u d yt h eh a u s d o r gg a u g e sa n dp a c k i n g g a u g e so fs e l f - s i m i l a rs e t ss a t i s f y i n g o s ca n dc o o k i e - c u t t e rs e t s f o rt h es e l f - s i m i l a rs e t s ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nt o t h eg a u g ef u n c t i o ns u c ht h a ti ti st h er e g u l a rg a u g eo ft h es e l f - s i m i l a rs e t s w ep r o v e ： l e teb et h es e l f - s i m i l a rs e tg e n e r a t e db ya ni f s ( 1 ， ) w i t hc o n t r a c t i n gr a t i o s t c l ，c ，1 ) ，w h i c hs a t i s f i e so s c ，l e tgb eag a u g ef u n c t i o ns a t i s f i n gt h ec o n d i t i o n s ： ( i ) 9 ( q ) = 1 ；( i i ) 夕( c l q i ) = 9 ( q 1 ) g ( q 。) f o re v e r yk - t e r ms e q u e n c ei t i 七 o fd i g i t s1 ，2 ，n t h e neh a sf i n i t i ea n dp o s i t i v eg - h a n s d o r f fa n dg - p r e p a c k i n g m e a s u r e f o rt h ec o o k i e - c u t t e rs e t s ，w od e s c r i b et h e i rg a u g e sa n dp r o v e ：( 1 ) l e tec rb eac o o k i e - c u t t e rs e t ，d i m h ( e ) = 8 ，l e tga g a u g ef u n c t i o n ，t h e n0 h s ( e ) 营0 t h n i 吐+ o 警 o o ；( 2 ) l e te crb eac o o k i e - c u t t e rs e t ，d i m ( e ) = 3 ， l e tgad o u b l i n gg a u g ef u n c t i o n ，t h e n0 p g ( e ) 0 l i m s u p t + o 业t o i tc o n t a i n sf o u rp a r t s i np a r to n e ，w eg i v et h es e t t i n go ft h ep r o b l e ma n dt h e k n o w nc o n c l u s i o n sa n do u rc o n c l u s i o n s i np a r tt w o ，w ed i s c u s st h ed e f i n i t i o n sa n d p r o p o s i t i o n so fg a u g ef u n c t i o n ，s e l f - s i m i l a rs e ta n dc o o k i e - c u t t e rs e t i np a r tt h r e e ， w ep r o v et h et h r e ec o n c l u s i o n so ft h i sp a p e r i nf o u rp a r t ，w eg i v es o m eq u e s t i o n s w h i c hc a nb ed i s c u s s e do nt h eb a s eo ft h i sp a p e r k e yw o r d s ：g a u g ef u n c t i o n ；d o u l i n gg a u g e ；c o o k i e - c u t t e rs e t ；h a u s d o r f f g a u g e ；p a c k i n gg a u g e 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明；所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名： 代玉镟 签名日期： 留年岁月尹日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即。按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名。 吠玉位 签名日期： 口g 年乡月孕日 导师签名。乒j | 犯庋 签名日期：。譬年r 月日 第一章引言及本文的主要结论 1 1引言 第一章引言及本文的主要结论 测度是将集合数值化的一种简单而又直观的方法自从1 8 9 5 年b o r e l 1 将 测度作为描述集合大小的一个工具介绍给人们，人们就尝试着在不同的集合 与空间上构造各式各样的测度，尤其在度量空间上，人们利用度量性质定义了 许多测度以c a r a t h e o d o r y 2 】构造为基础建立的h a u s d o r i f 测度【3 】对任何集合 都有定义，特别对不规则的分形集的研究有重要的作用 维数是数学申独立参数的数目，是几何对象的一个重要特征量，它是几何 对象中一个点的位置所需的独立坐标数目在欧氏空间中，人们习惯把空间 看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维也可以稍加推 广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对于更抽象或更复杂的对象，只 要每个局部可以和欧氏空间对应，也容易确定维数但通常人们习惯于整数的 维数分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引 子等理论时需要引入的重要概念维数是刻画分形集的主要参量，反映了复杂 形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的一种度量一般可以用不同 的近似方法予以计算或适当的方法予以测定 维数和测度有着密切的关系，一般借助集合的维数来定义其对应的测度， 如l e b e s g u e 测度，h a u s d o r f f 测度，填充测度等在研究一般的规则集合及不 规则的分形集，我们需要取合适的尺子( 即维数) 来度量其测度在对分形的 研究中一般对那些在维数点处其对应测度正有限的分形集，即8 集感兴趣，但 是很多分形集的h a u s d o r i f 测度及填充测度在其维数点处不是正有限的，即不 为8 集于是为了找更合适的尺子来准确地定义h a u s d o r f f 测度和填充测度， 在定义h a u s d o r i f 测度和填充测度时用一个函数取代了t 。即需要的维数不在 是数值而与一个函数相关，一般称之为维函数或量纲函数一个重要的例子为 r 3 中的布朗运动，其运动轨道的h a u s d o r i f 维数为2 ，但日2 测度为0 更精确 地计算表明这样的轨道有正有限的日9 测度，这里g ( t ) = t 2l o gl o g 对于量纲函数的研究已经有一些基本结论我们知道，对于给定的量纲函 数g ，d v o r e t z k y 在 4 】中证明了，存在一个度量空间x ，使g 为其h a u s d o r f f 量 】 湖北大学硕士学位论文 纲w e n 在 5 】5 中证明了，存在一个度量空间x ，使g 为其填充量纲反过来， 对于给定的度量空间x ，不一定可以找到一个量纲函数g 为其纲事实上， p e r e s 证得m c m u u e n 自仿集即没有h a u s d o r t f 量纲【6 】，又没有填充量纲【7 】而 对很多分形集，如开集条件下的自相似集，c o o k i e - c u t t e r 集等都有量纲而且 在一些特定条件下，它们的h a u s d o r f f 量纲也为填充量纲 在本文中，我们将量纲函数与分形几何理论紧密结合联系起来1 9 7 5 年， 法国科学家m a n d e l b r o t 8 】【9 】创造了。分形( f r a c t a l ) ”一词，正式引入分形几何 的概念他的开创著作【1 0 】【1 1 】大自然的分形几何学以散文的笔法描述了一 种新的几何学自上世纪八十年代后期以来，它已经迅速发展成为一门新心的 数学分支分形几何以。极不规则”的几何图形为研究对象，而大量不同类型 的极不规则的几何对象常常出现在自然科学的不同领域，因此，这一学科有极 强的应用价值尤其在近些年，分形几何与计算机紧密结合，在数学，物理， 化学，生物，工程，经济等领域都获得了巨大成功 本文用d i m h ，d i m p ，d i m s 分别表示h a u s d o r t f 维数，填充维数及盒维数，用 日s ，p 。，瑶分别表示s 维h a u s d o r f f 测度，填充测度及预填充测度，用日9 ，p 9 ，瑶 分别表示由维函数g 诱导的h a u s d o r t f 测度，填充测度及预填充测度将从自 相似集及c o o k i e - c u t t e r 集的定义及性质出发，结合量纲函数的性质及已有的相 关结论，进一步研究讨论自相似集及c o o k i e - c u t t e r 集的量纲问题 自相似集作为一种不规则集合，在局部结构上又有其相对规则性，它由与 整体以某种方式相似的部分组成这些自相似性不仅是这类分形的性质，实际 上也可以用来作为它们的定义( 文献 1 2 】) ，这类集合是分形几何研究一个重要 分支对自相似集e ，由f 1 3 ，【1 4 】， 1 5 1 我们已知道，如果8 = d i m h e = d i r n b e ， 则有 0 h 8 ( e ) p 。( e ) = 瑶( e ) o o p e r e s ，s i m o n ，s o l o m y a k 在 1 6 】中证明了存在h a u s d o r f f 测度为0 但填充测度正 有限的自相似集h u t c h i n s o n 在 17 】中证明了在开集条件下有，3 = d i r n h e = d i m e e = d i m s e ， 0 h 5 ( e ) sp 5 ( e ) 瑶( e ) o o 换言之，对满足开集条件的自相似集刀，m s e 为e 的正则纲在 1 8 】中w e n 证明了下面的结论t 设刀为满足开集条件的自相似集，其相似维数s = d i m s e ， g 为量纲函数，则有 ( 1 ) g 为e 的h a u s d o r t f 量纲0 l i m i n f t - + 0 警 o o ； 2 第一章引言及本文的主要结论 ( 2 ) 9 为e 的填充量纲营0 l i m s u p t - + o 掣 由此结论可知，对满足开集条件的自相似集e ，尽管e 的h a u s d o r f f 维数和填 充维数都等于s ，但e 的h a u s d o r f f 量纲和填充量纲可以不同，其中矿为e 的 正则纲，且与护等价的量纲函数也都为e 的正则纲本文定理1 描述了其中 一类量纲函数，推广了开集条件下的自相似集的维数公式( 文献【1 9 ) 。 c o o k i e - c u t t e r 集是一种非线性c a n t o r 集，具有“近似自相似性”，从而具有 自相似集的很多性质例如，它是维数正则的，即它的h a u s d o r f f 维数，填充 维数都等于它的盒维数它具有正有限的h a u s d o d f 测度与预填充测度，因此 0 日。( e ) p 8 ( e ) = 瑶( e ) o o 进而，它的维数s 由方程 p ( 一s l o gi f ，i ) = 舰去1 0 9 例叫= o x e f i x ( ! ) 给出。其中f i x ( 七) 为，七的2 七个不动点( 参见文献【1 3 d c o o k i e - c u t t e r 系 统理论作为热力学理论的基础，对其研究主要着手于c o o k i e - c u t t e r 集而由 c o o k i e - c u t t e r 集的近似自相似性，我们可以类似开集条件下的自相似集来刻画 c o o k i e - c u t t e r 集的量纲，这就是本文定理2 和定理3 的结论从而可以更精确 计算c o o k i e - c u t t e r 集的驴测度，对其理论的丰富和实际的应用都有推动作用 1 2本文的主要结论 首先，本文讨论了自相似集的量纲函数的一个性质，证明了下面的结论 定理1设集ecr d 为由满足o s c 的i f s f i i = l 生成的自相似集，其中 的相似比为c ，0 c 4 1 ，i = 1 ，2 ，n g 为维函数满足 n 9 b ) = 1 且对任意盯= i l i k 厶有g ( c a ) = 夕( q 。) 9 ( 吼) ( 1 ) i = 1 则 0 h 9 ( e ) p 9 ( e ) 瑶( e ) o o 其次，本文的第二个大问题就是刻画c o o k i e - c u t t e r 集的量纲问题，证明了 下面的结论 定理2 设ecr 为c o o k i e - c u t t e r 集，d i m h ( e ) = s ，g 为量纲函数，则有 3 湖北大学硕士学位论文 ( 1 ) h g ( e ) 0 定理3设ecr 为c o o k i e - c u t t e r 集，d i m p ( e ) = 8 ，g 为量纲函数且为加 倍的，则有 ( 1 ) p g ( e ) 0 4 第二章预备知识 第二章预备知识 本文用厶表示数字 1 ，2 ，n ) 或 1 ，2 ) 生成的k 项序列全体，k 表示生成的 无限序列全体对序列盯= i i i k 厶，盯i 歹表取矿的前j 项所得的序列，口表去掉 d r 的最后一项所得序列，仃幸i 表在仃的末尾添一项i 所得的序列对集ec 倒，记 吲为e 的直径 2 , 1量纲函数及集合的量纲 1 量纲函数 定义2 1 1 称单调不减函数g ：【0 ，) - 【0 ，o o ) 为量纲函数，如果g 在原点右连 续且g ( t ) = 0 当且仅当t = 0 定义2 1 2 称量纲函数g 为加倍的，如果存在常数c 0 ，使得g ( 2 t ) 凹( t ) 由 此知，对任意的常数q 0 ，存在常数c 0 ，使得9 ( 耐) 凹( t ) 性质2 1 1 满足条件( 1 ) 的维函数g 为加倍的，即存在常数口 1 使得g ( 2 t ) 哪( t ) 证明：取正整数k o 使得c p 1 2 ，其中c 1 为，1 的相似比对任意的t ( 0 ，1 ) ， 取正整数k 满足砖 t 砖，由( 1 ) 式得 9 ( t 2 ) 29 、r c k l + k o ) = 9 ( c i + k o ) 夕( c f 一1 ) 夕( c ；+ k o ) 9 ( t ) ， 从而g 为加倍的 2 集合的h a u s d o r f f 量纲 定义2 1 3 设集ecr a ，g 为量纲函数，刀的g - h a u s d o r f f 测度定义为 日9 ( e ) 2 i m 。h 7 ( e ) ，o u 其中 霹( e ) = i n f g ( i u d l ， 下确界取遍e 的所有j 覆盖( 称 阢) 为e 的一个6 覆盖，如果u 阢) e 且对任意 i 有l 阢i 6 ) 5 湖北大学硕士学位论文 特别9 ( t ) = 矿，h g 对应为h a u s d o r i fs - 测度日5 定义2 1 4 设ecr d ，g 为一个量纲函数，称g 为e 的一个h a u s d o f f 量纲，如 果0 h g ( e ) 0 ，使得任何集 ucr d ，i u i 6 ，有p ( u ) 凹( i u i ) ，则h g ( e ) p ( 曰) c 证明：设 阢) 为e 的一个6 覆盖，则 z ( e ) p ( u 阢) p ( 阢) c g ( i u , i ) 从而 霹( e ) i z ( e ) c ， 令6 0 得。 日9 ( 刀) l , ( e ) c 3 集合的填充量纲 定义2 1 5 设集ecr d ，g 为量纲函数，e 的矿预填充测度定义为 瑶( e ) 一i m up宇(e)o-+ ， u 其中 瑶( e ) = s u p 9 ( 吲) ) ， 上确界取遍e 的所有6 填充( 称不交球族【鼠) 为e 的一个占填充，如果对任意t 有戤e 及j b i i 6 ) 6 第二章预备知识 定义2 1 6 设集ec 彬，g 为量纲函数，e 的g 一填充测度定义为 p g ( e ) = i n f p 孑( e d ：e cu 最卜 特别g ( t ) = t 。，瑶，p g 分别对应为s - 预测度瑶，8 一测度p 。 定义2 1 7 设ecr d ，g 为一个量纲函数，称g 分别为e 的一个预填充量纲，填 充量纲，如果0 瑶( e ) ，0 p g ( e ) o o 特别g 既为e 的一个h a u s d o f f 量纲也为e 的一个填充量纲时，称g 的一个正则 量纲 在文献 2 0 】中作者说明了这样一个事实t 对紧集k 如果其预填充g 一测度有限， 则其填充夕- 测度和预填充酽测度可比较，其中g 为加倍量纲函数我们把它作为 一个性质列在这里，在定理3 的证明中将要用到 性质2 1 4 设x 为度量空间，g 为一个加倍量纲函数，则对任意满足瑶( k ) o o 的紧集k ，有 c p 孑( k ) p 9 ( k ) 瑶( k ) 其中c 为依赖于g 的常数 2 2自相似集的相关定义及性质 定义2 2 1 设 ，厶是相似族，即对每个 ：r d 一彬，存在0 c i 1 ，使得 对任意的z ，y 刑，有l ( z ) 一五( 可) i = q i z 一可1 称满足e = u 罂l 五( e ) 的紧集e 为 由 ，厶) 生成的不变集，也称为自相似集 定义2 2 2 ，厶) 为r d 中相似比依次为 c l ，c ，1 ) 的i f s ，e 为其生成 的自相似集，称 ，l ，厶) 满足开集条件( o s c ) ，如果存在非空开集vc 群，使得 u 警l ( y ) 是不交并且含于y 下面性质说明满足开集条件的自相似集是维数正则的，其维数由相似比确定( 文 献【1 2 】) 性质2 2 1 设e 为满足开集条件的i f s 生成的自相似集，则d i m m e ) = d i m m e ) = d i m s ( e ) = 3 ，其中s 为方程 = 1 i = 1 的唯一解， c 1 ，c ，l 的i f s 的相似比 在 1 8 】中w e n 证明了下面的一个结论，我们把它作为自相似集的一个性质列在 这里 7 湖北大学硕士学位论文 性质2 2 2 设e 为满足开集条件的自相似集，其相似维数s = d i m s e , ，则有： ( 1 ) 0 h g ( e ) 0 l i r a i n f t - + o 警 o o ； ( 2 ) 0 p g ( e ) 铮0 l i r a s u p t + o 警 1 定义2 3 2 设x 为非空有界闭区间，x l 和是x 的两个不交的闭子区间， 映射，为c o o k i e - c u t t e r 映射，称集 e = nl - k ( x ) = z x 1 u x 2 ：，七( z ) x 1ux 2 ) ( 2 ) 七之o 为c o o k i e - c u t t e r 集，其中，七是，的第k 次迭代 考虑，的反函数的两个可微分支，定义毋：x - 置，毋( z ) = i - 1 ( z ) n 五，易知毋 将x 双射到墨，且有 0 c m i nsf 爿( z ) i 戤 l ，i = 1 ，2 ， 这里 11 c a n 缸2 z 豳m l 蛹n 丽丽a x 2 z 嚣矿丽。 对上面定义的c o o k i e - c u t t e r 集e 有 e = i ( e ) = i - 1 ( e ) = f 1 ( e ) u f 2 ( e ) ， 从而e 可视为c o o k i e - c u t t e r 映射，生成的斥子或者迭代函数系统 只，易) 的不变 集 例1 设f 1 ( z ) = 1 j x 。，易( z ) = i x + ；，则三分康托集为 f 1 ；f 2 ) 生成的自相似集 对应有由，( z ) = 3 x ( m o l l ) 给出的映射，： 0 ， 】u ；，1 】- 【0 ，1 】即为c o o k i e - c u t t e r 映 射，三分康托集为，生成的斥子，从而为c o o k i e - c u t t e r 集 设j + = u 罂。矗表示有限序列全体设盯= i x i 2 i k ，7 - = j l j 2 如，盯奉丁为p 中 元，记仃 = i 1 i k j l 如对任意盯= i l i 2 i k j ，任意詹及盯厶，记 昂= 毋。o o 忍。和= 昂( x ) 8 第二章预备知识 映射，七：x 为一个定义好的连续可微双射，则集族 ：口k 包含2 七 个不交闭区间，称之为k 级基本区间由c o o k i e - c u t t e r 集的定义我们很容易看出 。1u 嚣。2c 和e = n 墨1 u 盯“ 因此每个k 级基本区间包含两个k + 1 级基本区间，并且这两个下级区间的间距可 被不依赖于k 及区间的位置的常数控制，这意味着c o o k i e - c u t t e r 集是“近似”自相 似的而且由下面的有界畸变原理，进一步说明了，七可由相似变换一致地逼近 有界畸变原理【1 3 】存在常数b 0 ，b 1 ，对任意口= i l i 七厶， ( i ) 任意z ，有 b 0 1 i i i ( ，七) ( z ) i b o ( 3 ) ( i i ) 进一步对任意y ，z 托，有 6 f l l u 一名l i ，七( y ) 一，七( z ) l l x 盯i b l l y 一名l( 4 ) 2 c o o k i o - c 够t e r 集性质 结合c o o k i e - c u t t e r 定义的讨论及有界畸变原理，有下面的一个重要引理，引理主 要讨论了c o o k i e - c u t t e r 集在结构上的一些特殊性，有助于后面的引理的讨论首先 说明引理2 3 1 中将出现的记号，如果a 表示集合，则i a i 表示其直径；如果a 表 示一个数，则表示其绝对值如果a ，b 表示集合，则d i s t ( a ，b ) 表示a ，b 间距 离，其中d i s t ( a ，b ) = i n f d ( x ，y ) ：z a ，y b ) ；如果a ，b 表示数，则a b 表示 a ，b 在大小上可等价，即存在常数c 1 ，使得c - i a b c a ，其中c 为不依赖于 与a ，口的比例系数 引理2 3 1 设e 为由( 2 ) 式定义的c o o k i e - c u t t e r 集，则任意k n ，任意盯厶，任 意z 矿，任意z x ，有 i ixd i s t ( x 盯。1 ，托。2 ) xi 五。1ix1 。2 ixl ( ，七) ( z 口) i - 1xl 巧( z ) i( 5 ) 其中上式中各个隐藏的比例系数不依赖于k ，仃，z 口，z 的选取 证明： ( i ) 由c o o k i e - c u t t e r 映射的定义显然有i ( ，七) ( z 矿) i _ 1xi 巧( z ) i ； ( i i ) 由有界畸变原理中( 3 ) 式有i 嚣lxi ( f k ) 7 ( z 口) i _ 1 ； ( i i i ) 由有界畸变原理中( 3 ) 式有隧爿x 黜= 髟唔豢搿勰x 等等科x 1 ， 其中z 。1 ，y 丘。2 ，从而i 1 ixi 。2 1 i ； ( 而) 因为，七：一x 满足( 4 ) 式，取y 兄z 珐使得 ，七( ) x 1 ，七z ) x 2 和d i s t ( f 七( 可) ，f k ( z ) ) = d i s t ( x 1 ，x 2 ) 圭d ， 9 湖北大学硕士学位论文 则由( 4 ) 式有d i s t ( x , , 小+ 2 ) d 6 1 i i ， 又c 嚣。1u 。2 ，从而d i s t ( x o 。1 ，。2 ) i i ， 故得a i s t ( x 。1 ，。2 ) i i 综上述得( 5 ) 式得证 介绍引理2 3 2 之前我们先回顾下c o o k i - c u t t e r 系统理论里的一些基本概念和必 要的结论，首先引入一些本文中要用到的记号和定义 设：x 1ux 2 一r 为一个李卜希兹函数，对任意k ，任意口“，任意z x 矿，记 对任意o r ，取点z 盯，极限l i m k - + 1 l o g z 盯 e 吼妒( z ，) 存在而且不依赖于 z 口的选取，记极限为p ( ) ，称为咖的拓扑压力，由此极限式又可得： f e 鼠( 如) - k p ( ) x1 ， ( 6 ) - a e l k _ 从而存在支撑在c o o k i e - c u t t e r 集e 上的概率测度p 满足t p ( ) xe s ( z ，) - k e ( 妒) 称满足此式的p 为妒的g i b b s 测度 特别取( z ) = 一sl o gl ，7 ( z ) l ，其中s 为一个实数，由链式法则有 e s * ( 。) = i ( ，七) ( z ) i 一5 结合引理2 3 1 ，( 6 ) ，( 7 ) 式即为 1 i 。e 七p 刊o g | ，i ) 和u c x 盯) f x 盯l o e - p ( 一j 崦i ，i ) 盯i k 又函数p ( 一sl o gi ，7 i ) 关于s 连续单调递减，且 p ( o ) = l 0 9 2 ，。三p ( 一s l o g i f i ) = + o o ，且。占p ( 一s l o g l i ) = 一， 从而方程p ( 一sl o gi ，i ) = 0 存在唯一一个正实根，记此实根为s ，带入( 8 ) 式得 ( 8 ) i 如1 5x1 和p ( ) i 卜 ( 9 ) 盯 综上述，c o o k i e - c u t t e r 集上支撑有一个概率测度p 满足( 9 ) 式，从而d i m he = 8 ，即有下面的引理： 1 0 z ， h ! 豆 = z 瓯 第二章预备知识 引理2 。3 。2 【文献1 3 】c o o k i e - c u t t e r 集e 的h a u s d o r f f 维数为方程e ( - sl o g ) = 0 的唯一实根 为证明定理2 ，定理3 ，需要用到下面的一个简单事实 引理2 3 3 设e 由( 2 ) 式定义的c o o k i e - c u t t e r 集，d i m he = 粤，则任意盯j 4 ，任 意m z + ，有 l 。f i 。xi 弱i 。， ( 1 0 ) 1 e l m 其中隐藏的比例系数不依赖于盯及m 的选取 证明：由引理2 3 1 及( 9 ) 式，对任意z x 有 即得证 i 。下i 。x i 彰。r ( z ) 1 8 = i 髟( b ( z ) ) 碍( z ) i 。 r i m r e i m下k x i 1 4 i f ( , o i 。xi i 。 1 - k 1 1 湖北大学硕士学位论文 3 1定理1 的证明 第三章主要结论的证明 为证明本文的定理1 ，我们先引入下面一个引理，这是一个基本的几何事实( 参 见文献 1 2 】) ，同时会用到上面的性质2 1 1 及2 1 3 引理3 1 1设 k 】是r d 的不交开子集族，每个k 包含一个半径为a l r 的球且 包含在一个半径为a 2 r 的球中，则任何半径为r 的球口至多与( 1 + 2 a 2 ) n 口f n 个k 的闭包胃相交 定理1 的证明：由于对集ecr d 总有t t g ( e ) p g ( e ) 瑶( e ) ，只需证明不 等式0 h g ( e ) 和瑶( e ) 0 0 即可，分两步进行第一步采用质量分布原理证明 0 h g ( e ) o o ；第二步在0 t t g ( e ) 0 0 的前提下，采用反证法证明瑶( e ) 0 0 第1 步，证明0 t t g ( e ) 0 0 ( _ f )估计下界设k 为 1 ，2 ，n ) 生成的无限序列的全体，对任意盯= i l i 七厶，用l 表由k 中那些以盯开头的序列形成的柱集在k 上分布质量 p ，使得 p ( l ) = 9 ( c 口) = 夕( g 。q 。) 这样定义的p 确实为k 上的一个质量分布，因为由( 1 ) 式有 nn 9 ( ) = 9 ( q ) 9 ( ) = 9 ( c i 。奉q ) ， i - - - - - 1i = 1 从而有 p ( l ) = p ( l d i = l 定义面= p 幸7 r ，其中丌：k e 为编码映射，即对任意ace ， 芦( a ) = p ( 【i 1 i 七i o o ：7 r o l i 七) a ) ) ， 则面为e 上的一个测度 下面证明面满足性质2 1 3 的条件对任意0 r j e l ，令 q ，= 盯i 七：盯i o o ，i i i e i r i 一。i e i ) ， 1 2 第三章主要结论的证明 由于e 满足o s c ，存在开集矿，使得对任意盯= i t i 七磊，不交并 u = u 厶( y ) c k a e 厶矿l k 从而 方( y ) ：盯聃) 互不相交此外，对于这个开集y 有历c 瓦= 厶( 矿) ，从而 如( 矿) ：盯g 为e 的一个覆盖 选取口l 和口2 使得y 包含一个半径为0 1 的球且包含在半径为a 2 的球中，即 b a 。cvc 玩：，则对任意盯= i l “g ，厶( y ) 包含一个半径为q 。口l 的球， 因此也包含一个半径为c m i n 口1 i e | - 1 r 的球；同时包含在半径为c i 。c 4 。口2 的球中， 因此也包含在半径为口2 1 e i - 1 r 的球中，即 日0 i n 口l 吲一l ，c 厶( y ) cb a ：i e i l r ， 其中c m l n = r a i ，n c 1 ，c ，1 ) 对任意一个半径为r 的球研，令 工；n q = 仃o r ：厶( 矿) n 研0 ， 由引理3 1 1 有 n q ( 1 + 2 a 2 ) n ( a l 白n i n ) 一n = 胍 从而 面( 研) p ( 厶) = 夕( ) g ( 1 e l _ 1 r ) m c g ( r ) ( 1 1 ) 叮qa e q盯q 其中c 为正常数，最后一个不等号由g 的加倍性质可得 对任意集ucr ，0 i u i 0 ( 功估计上界因为e 是自相似集，对任意k 有e = u 口“历，故 b ：仃厶 为e 的一个覆盖，其中岛= 疗( e ) 由g 的加倍性质及( 1 ) 式有 g ( i e 盯1 ) = 9 ( 白c 9 ( ) = c 夕( c f 。) g ( ) = c ， a e i ka e i ka e l k1“ 1 3 湖北大学硕士学位论文 其中c 为正常数令6 = ( m a z q ) 七i e i ，则有 霹( e ) 9 ( i 易i ) c a e i = 令七一0 0 得h g ( e ) 0 更有碟( e ) n ，从而存在e 的一个6 填充 鼠】翟l 使得 m g ( i b , 1 ) n i - - - - 1 取入( 0 ，1 ) 充分小使得 g ( i b , i ) i b , i a n ( 1 3 ) 对任意1 i m ，记以e 为鼠的中心，取盯k 使得7 r ( 盯) = 戤，则存在仃的 一个前缀仃( i ) i 使得 嘲i e i i b z , 嘲i e i 0 ，则 d ( i 。“( e ) ，h j 。o k ( e ) ) c 仃( t 1 ) ( “一1 ) d 任意玩unf 毋，l u i 0 又 枷l i r a 器= 舰击一 故h g ( e ) = 0 0 这与h g ( e ) 0 0 矛盾! 从而瑶( e ) n o o 这完成了第2 步的证明 综上述定理1 得证! 3 2 定理2 的证明 下面主要应用引理2 3 3 ，同时结合性质2 1 2 证明定理2 定理2 的证明：设ecr 为c o o k i e - c u t t e r 集，d i m h ( e ) = 8 ，g 为量纲函数，下 面分4 步证明定理1 第一步，证h g ( e ) 0 ，使得任意t ( 0 ，6 ) ，有 h g ( e ) m 日8 ( e ) 】5 湖北大学硕士学位论文 又因为日8 ( e ) 0 ，所以t t 9 ( e ) = 0 0 矛盾! 即第一步得证 第二步，证l i m i n f t - + o 掣 o o 号h g ( e ) o o 记入= l i r a i n f t _ + o 掣则存在单调递减于0 的序列 ) ，使得任意的m 有 夕( 如) ( a + 去) 碥 ( 1 7 ) 对每个仇，记 q m = 仃l 七：l 叉0 l 。i i 叉0 i 。一。i ，盯正， 其中盯i 七表示盯k 的前k 项显然u a e q 。) e 和对任意盯q m ，l 弱i 如，因 此 ：盯q m ) 为e 的一个覆盖 记川表示词仃i 的长度，且记 z ( m ) - 盯m q a x 。 盯t v “ 即z ( m ) 表q m 中序列的最大长度对每个口q m ，有引理2 2 3 有 i j 。x i 。下卜 r e t ( m ) 一i 口i 上式对所有盯q m 求和同时由( 1 0 ) 式得 i i 。i 1 8 x1 ( 1 8 ) a e q m a e l l ( m ) 因为 ：盯q m ) 为e 的一个覆盖，且满足对任意盯q m ，有i ix 如 从而结合( 1 7 ) ，( 1 8 ) 式得 日；m ( e ) g ( i x 盯1 ) 9 ( ) ( 入+ 去) 碥 口q m 口q m 。一 叮q m 0 由第二步有l i r a i n f , + o 辔= 0 时h g ( e ) = 0 从而第三步直接得证 】6 第三章主要结论的证明 第四步证，l i m 啦- + o 警 0 令h g ( e ) 0 记入= l i m i n f o 譬 0 则存在6 0 ，使得对任意t ( 0 ，6 ) ，有g ( t ) a 护2 从 而h g ( e ) 会日5 ( e ) 又因为日5 ( e ) 0 ，故h g ( e ) 0 即第四步得证 综上述定理2 得证! 3 3 定理3 的证明 为证明定理3 我们先证明下面的一个重要引理 引理3 3 1 设e 由( 2 ) 式定义的c o o k i e - c u t t e r 集，d i m ne = s ，g 为一个加倍量纲 函数，则有： ( 1 ) 瑶( e ) 0 甘l i m s u p t + o 铲 o ； ( 2 ) 瑶( e ) 0 假设l i m t - + o 掣= 0 ，则对任意 0 ，存在6 0 ，使得对任意t ( 0 ，j ) 有g ( t ) 护 从而对任意e 0 有瑶( e ) 昂( e ) 又因为豸( e ) 0 令瑶( e ) 0 记7 = l i m s u p t + o 警，则对任意口( o ，7 ) ，存在一个递减于0 的数列 如) ，使得 对任意的m ，有 9 ( 6 m ) 芝q 6 袅 ( 1 9 ) 因为ec o o k i e - c u t t e r 集，所以可取点zee 及数， 0 ，使得b = b ( z ，r ) ci n t