（基础数学专业论文）ω超可微函数空间及其运算.pdf

摘要 上世纪五十年代以来，由于广义函数的出现，使偏微分方程的理论有 了突飞猛进的发展从六十年代起，出于不同问题的需要，人们对广义函数 的概念进行了各种形式的扩张r m e i s e ，b a t a y l o r ，d v o g t ，j b o n e r 等 通过适当地改变由b e u r l i n g ，r e t z s c h e 和v o g t 引入的超可微函数条件， 给出了b e u r l i n g 型超可微函数( 试验函数) 空间白u ) p p ) ) 和r o u m i e u 型超可微函数( 试验函数) 空间& 。) ( 口扣) ) ，以及相应的超广义函数空间 0 ) ( d 。) ) 和 。) ( d 。) ) ，并对其上的f o u r i e r 变换，卷积算子和线性偏微 分算子理论进行了研究 本文利用f o u r i e r - l a p l a c e 变换对& 。) ( d ( 。) ) 和& 。) ( 口扣t ) 上的乘法 运算及卷积运算进行了讨论，得到如下结果： 定理1 设u 为一加权函数若f 2 ) ( r i v ) ，g d + ( r ) ，则有 f g d + ( r ，) 且艿( z ) = ( 2 丌) 一v 厂+ 参( 石) 定理2 设u 为一加权函数，若f 口( r ) ，g & ( r ) ，则，+ 9 & ( r ) 定理3 设u 为一加权函数，f ，夕口+ ( r ) ，那么乃口+ ( r ) ，芎 玖( r ) ，且 f | f g d x = | f 舀d z r nj r ” 其中d + 表示口( 。) ( 口扣 ) ，表示& 。) ( 扣) ) 关键词：加权函数；f o u r i e r l a p l a c e 变换；卷积；u 一超可微函数空 间；u 一试验函数空间 a b s t r a c t s i n c et h ef i f t i e so fl a s tc e n t u r y , t h et h e o r i e so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nh a v eg o tr e m a r k a b l ed e v e l o p m e n tb e c a u s eo ft h ea p p e a r a n c e o fd i s t r i b u t i o nt h e o r y f r o mt h es i x t i e s ，t h en o t i o no fd i s t r i b u t i o nh a s b e e ne x t e n d e di ns e v e r a lw a ya c c o r d i n gt ot h en e e d so fd i f f e r e n tp r o b l e m sa n dd i f f e r e n tf i e l d s i nt h ee i g h t i e so ft w e n t y sc e n t u r y ，b ym o d i f y i n gt h ec o n d i t i o no fu l t r a d i f f e r e n t i a lf u n c t i o n so fb e u r l i n g ，r e t z s c h e a n dv o 时，r m e i s eb a t a y l o r ，d v o g ta n dj b o n e te t c i n t r o d u c e dt h e u l t r a d i f f e r e n t i a lf u n c t i o n so fb e u r l i n gt y p e 量u ) ( q ) ( r e s po fr o u m i e ut y p e 钆，( q ) ) a n dt e s tf u c t i o n so fb e u r l i n gt y p e7 9 ( 。) ( q ) ( r e s p o fr o u m i e u t y p e 口f u ( n ) ) s i n c et h e n ，m a n yi m p o r t e n tr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d o nt h er e s e a r c ho ff o u r i e rt r a n s f o r m ，c o n v o l u t i o no p e r a t o ra n dl i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n te q u a t i o n si nt h e s es p a c e s i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s ss o m em u l t i p l i c a t i o na n dc o n v o l u t i o no p e r - a t i o n si n ( u ) ( m ) a n d7 9 ( “j ) ( 口如) ) b yf o u r i e r l a p l a c et r a n s f o r m ) a n d o b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m1l e tub eaw e i g h tf u n c t i o n ，7 9 ( r ) ， t h e nw eh a v e ： f g b ( r ) a n d 艿一( 2 丌) 一芦+ 爹 t h e o r e m2l e tub ea w e i g h tf u n c t i o n ，v ( r n ) t h e n w eh a v e ， g g ( r n ) t h e o r e m3 i f g 玩( r ，) ，t h e nw eh a v e 上。乃出= f w , 亨d z g 口+ ( r n ) g e , ( r n ) w h e r e 口；d e n o t ed ( ) ( 口) a n d & d e n o t e ( 。) ( & 。 ) k e y w o r d s ：w e i g h tf n c t i o n ；f o u r i e r - l a p l a c et r a n s f o r m ；c o n v o l u - t i o n ；u u l t r a d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o ns p a c e s ；u t e s tf u n c t i o ns p a c e s 引言 o 1 引言 二十世纪五十年代初广义函数论的出现为偏微分算子的研究提供了一个极好的 框架借助于广义函数这一工具，偏微分方程的理论在上世纪六十年代后取得了许多 重大的进展，并产生了许多新的分支理论，如拟微分算子理论，f o u r i e r 积分算子 理论，微局部分析，超函数等超可微函数和超广义函数亦是其中一个重要的部份 出于各种问题不同的需要，人们对广义函数的概念在不同的拓扑结构下进行了扩 展( 1 6 】) ，r m e i s e 等在上世纪九十年代初利用p b r a g m d n l i n d e l s f 条件刻划 了常系数线性偏微分算子右逆存在的条件f 1 3 1 后，又把这一问题引申到超可微函数 和超广义函数空问在传统上，非伪解析函数类( t h ec a l s so fn o n - q u a s i a n a l y t i c f u n c t i o n s ) 是通过施加在函数的导数上的增长条件来定义分类的b e u r l i n g 1 指出，具有紧支集函数的f o u r i e r 变换衰减特性可被很好地用于这一目的，并由此 引入了一类超可微函数 r m e i s e ，j b o n e t ，b a t a y l o r 等适当的改变了由 b e u r l i n g 1 ，r e t z s c h e 和v o g t 2 】给出的超可微函数条件，对其中的加权函数的次 可加性代之以更弱的条件( a ) ( 见加权函数u 的定义) 而引入了b e u r l i n g 型超可微 函数( 试验函数) ) ( 口( 。) 和r o u m i e u 型超可微函数( 试验函数) 。) ( d ) 随 后r m e i s e ，b o n e r ，b a t a y l o r 等适当的改变了由b e u r l i n g 1 ，r e t z s c h e 和v o g t 2 】给出的超可微函数条件，对其中的加权函数的次可加性代之以更弱的条件 ( q ) ( 见加权函数u 的定义) 而引入了b e u r l i n g 型超可微函数( 试验函数) 占( 。) ( d ( 。) 和r o u m i e u 型超可微函数( 试验函数) 如) ( 口扣) ) 随后，许多学者对这些空间 的结构特性和其上的f o u r i e r 变换，卷积算子以及线性偏微分算子的理论进行了探 讨，得到了许多重要的成果【7 1 2 ，1 4 1 7 】 本文利用f o u r i e r l a p l a c e 变换对b e u r l i n g 型超可微函数( 试验函数) ( 。) ( d ( 。) ) 和r o u m i e u 型超可微函数( 试验函数) & 。 ( d 扣 ) 上的一些乘积和卷积运算进行 了讨论，得到如下结果； 2 u 一超可微函数空间及其运算 定理1 设u 为一加权函数若f 口( r ) ，9 口+ ( r ) ，则有 f g d + ( r ) 且艿( z ) = ( 2 丌) 一芦+ 虿( z ) 定理2 设u 为一加权函数，若，口( r ) ，g ( r ) ，则，4g ( r ) 定理3 设u 为一加权函数，9 7 9 + ( r ) 那么，疗7 9 + ( r ，) ，蚕 d + ( r ) ，且 l 斜 g 如= l 叫珀泌 其中口。表示7 9 ( 。) ( 口扣 ) ，表示& 。) ( ( 。) ) 预奋知识 o 2 预备知识 在本节中，我们给出一些定义，这些对于本文的主要定理的证明是至关重要的 定义1 1 设m 为r 中的非空子集，记h m ( v ) = s u p 。m ， 砌( 可) 称为m 的支撑函数，其中 = 墨1 x i y i 定义1 2 设q 为r g 中开集 ( 1 ) q 上任意次连续可微函数全体，在半范数 | | ，| i ，。= s u ps u pi f ( 。( z ) i ， k 2q 中任意紧集，m n 搿， ：“ 0 4 0 ，定义b a n a c h 空问 口a ( k ) = ，c ”( r ) ls u p p ，ck 川f i i a = 上。i 氕t ) le x p ( a u ( t ) ) 出 o 。 ( 2 ) 定义 口 。) ( k ) = i n d a o v a ( k ) ， 口( 。) ( k ) = p r o j x 。d a ( k ) ， 其上拓扑分别为归纳极限拓扑和投影极限拓扑 ( 3 ) 对r 中开集q ，定义 d ( q ) = i n d k g 。) ( k ) ，d ( 。) ( q ) = i n d k 9 ( u ) ( k ) 其中归纳极限取遍r n 中所有的紧子集k 口如) ( n ) ( 或d ( 。) ( q ) ) 中元分别称为 r o u m i e u 型( 或b e u r l i n g 型) u 一试验函数。 利用加权函数条件( d ) 和妒的y o u n g 共轭可以定义； ( 4 ) & 。l ( q ) = ，c o 。( q ) i 对q 中所有的紧子集k ，存在某个m n ， 使得 s u p 。 四s u p 。k l ，( 。) ( 。) ie x p ( 一击妒+ ( m l d l ) ) ) ， 1 ) = ，c o 。( q ) i 对q 中所有的紧子集k 和所有的m n ， 有p k 。( ，) = s u p 。n o ns u p 。ki ，幢( 。) ie x p ( 一m 妒+ ( 桀) ) ) ， 其中o = ( a 1 ，a 2 ，口) ，j n o ，歹= 1 ，2 ，n ，i 口l = 善1 0 j ( w l ( q ) ( 或山1 ( n ) ) 中元分别称为r o u m i e u 型( 或b e u r l i n g 型) u 一超可微函数 当命题对 。) 和( 。) ( 或口如) 和口( 。) ) 都成立时，简记其为( 或口a 例下面的函数都是加权函数： ( 1 ) u ( t ) = t 。，0 1 5 6 竺：些兰丝垂鳖窒望垦叁兰墨一： o 3 主要的结果及其证明 首先我们给出一些技术上的引理和命题( 参见 8 ，1 0 ，1 4 1 ) 引理2 1 设u ：【0 ，0 0 】，【0 ，0 0 为连续的单增函数，且满足定义1 3 中的 ( o l ) ，则对任意的z ，y c ，有 u ( 。+ y ) l ( i + w ( x ) + u ( 可) ) 引理2 2 设妒和如定义1 4 中所设，设对某个l 1 有妒 + 1 ) l ( 1 + 妒 ) ) ，z 0 ，。) 那么存在y o 0 使得 矿( 可) 一可l 妒4 ( 兰) 一l ， 可可。 引理2 3 设“，： 0 ，。) 一【0 ，o 。) 如1 3 中所设，且满足1 3 中的( 。) 一n ) 那么，对每个n n 和每个 0 ，存在h c o 。( r ) ，h 0 有； s u p p ( h ) c 一e ，e ， l h i t ) ie x p ( 删( t ) ) 班 0 t i n 注由引理2 3 可知，& 和口+ 都是非平凡的 引理2 4 设u 为一加权函数，f d ( r ) 那么， ( 1 ) 若存在b 0 ，使bl 氕t ) 旧b u ( ) 出= c 0 ，以及仅依赖 于u ，n 的l 0 ，使对所有的z c 有 灭z ) l m ( k ，( 2 c 丌d ) e x p ( h k ( i m z ) 一罢u ( 。) ) 其中k = s u p pf ，m n ( k ) 为它的测度 主要的结果及其证明 证( 1 ) 由f o u r i e r 逆变换， ) = 面和丘。氕t ) 巩知 产k ) = 南上。衲) 0 e 渤p 拙 于是可得 i f ( “( z ) i f j 而1 丘。i f ( t ) l e b w ( 。) e x p ( 一b u ( t ) + 拦l q jl o gi 岛1 ) d t 西知s u p t e r e x p ( 1 乜ll o gi t l b u ) ) 住景8 u p y oe x p ( i o f l y b 妒( ) ) = 南e x p ( bs u p 9 o ( 譬可一妒( 可) ) ) = 南e x p ( b t , + ( 学) ) ( 2 ) 由1 3 ( a ) ，对所有的r 0 存在l 0 ，使 w ( n r ) 芸( r ) + 1 ) ， 又由1 3 n ) ，对所有的r 1 存在d 7 0 ，使 孚u ( r ) 一l o g r 了b u ( r ) 一d ， 山 山 对给定的彳c ，设f 为使l 魂j = m a x 各1l z j l 成立的指标，且设1 2 1 1 1 那 么，对所有的j n o 由分部积分可知： 氕z ) = fa s ( t 丽1 e 嘲： 出 从而 l 氕名) i & l 嘉，。) 一7 e c k ( i m z ) d t = e x p ( 一jl o gl 翻l + h ( ( i m z ) + b 妒4 ( 专) ) 厶1 器，( t ) le x p ( 一b 妒+ ( 舌) ) ( f t 于是对所有的j n o 由( 1 ) 可得 i f ( z ) l 瓦景面m ( k ) ( b 妒+ ( 丢) 一j l 。gi 铆i + 鲰( i m z ) ) ( s ) u 一超可微函数空间厦其运算 又由 s u p ( j l o gi z l l 一口妒+ ( 鲁) = bs u ! c ) j 。u o ( 等l o g i z l l 一妒+ ( 告) ) 一l o g i z l l bs u p 。 o ( x l o gi 铆i 一妒4 ( z ) ) 一l o gl 魂i = b 妒”( 1 0 9i 魂1 ) 一l o gl 魂l = b 妒( 1 0 9 l z l l ) 一l o g i z l l = b u ( 魂) 一l o g i 劫i b u ( 寿) 一l o g i 魂1 警( z ) l b l o g l 嗣j 譬u ( 。) 一d 7 从而，对所有的z c u 当m a x 整ll z i i 1 时有 l 氕z ) i m ( k 研c e x p ( 蜥( i m z ) 一笔u ( z ) + 。，) 取d = e x p ( d 7 ) 即得结论对m a x 搀1l 勺l 1 ，在( 术) 中令j = 0 ，取 d = e x p ( d + ( b l ) w ( n ) ) 即可 由引理2 4 可得： 命题2 5 设u 为一加权函数，k 为r 中一凸紧集，l 1 ( r ) ，那么， ( 1 ) 对r o u m i e u 型试验函数，下面条件等价： ( a ) f 7 9 。) ( k ) ； ( b ) ，口( k ) ，且对某个k n ，有 器s 墨i f ( - ) ) le x p ( 一汐( k t d | ) ) 0 ，使得对所有的z c ，有 l f i z ) l ce x p ( h k ( i m z ) 一u ( z ) ) ( 2 ) 对b e u r l i n g 型试验函数，下面条件等价： ( a ) f 1 3 ( 。) ( k ) ； 主要的结果及其证明 ( b ) f 口( ) ，且对任意的惫n ，有 v ( 掣) 0 ，对所有的七n 使得对所有的。c ，有 f ( z ) l ce x p ( h k ( i m z ) 一七u ( z ) ) 易见( 2 ) 中的条件( c ) 等价于下面条件( c ) ： ( c ) 存在c 0 ，使对任意的m 0 和z c 有 l ( z ) l ce x p ( h k ( i m z ) 一m u ( z ) ) 对于d + 和有如下结果： 命题2 6 设u 和盯为加权函数， ( 1 ) 包含映射d + ( n ) 。_ & ( q ) 为连续嵌入，且口。( q ) 在幺( q ) 中稠密 ( 2 ) 若盯= o ) ，则下列各包含映射 口( 。) ( q ) 一口扣) ( q ) 一口( ，) ( n ) 一v ( n ) 为连续的，且每个的值域依次稠密 ( 3 ) 若盯= o ) ，则下列各包含映射 ) ( q ) 。+ 。 ( q ) 。+ p ) ( q ) l _ + ( q ) 为连续的目每个的值域依次稠密 定理2 7 令u 为一加权函数，若，v ( r ) ，g 口扣) ( r ) ，则有 f g d “r ) 且艿( z ) = ( 2 丌) 一，+ 爹( z ) 若f 口( r ) ，g 口( 。) ( r ) ，则有 f g d ) ( f )且为( z ) = ( 2 丌) 一，* 爹( 2 ) 9 唧厂 器器 1 0 ： 竺：垄兰竺鱼丝窒塑垒叁兰量 一 证由于d 。) ( r ) c 口如 ( r ，) c 口( r ) 而在口( r ) 中成立 一f g ( z ) ：( 2 丌) 一，十爹( z ) ，故只需证，夕9 + ( r t n ) ，由此即得在口+ ( r ) 亦 有 为( z ) = ( 2 丌) - 芦* 亨( z ) 首先，设，d ( r ，) ，g 口扣) ( r ，) ，取a ，b 0 使s u p p f c 卜a ，捌，s u p p gc 【- - b ，b ，由p a l a y w i e n e r 定理和命题2 5 可知，存在 岛n ，c ，d 0 ，使对任意的n n ，z c 有 1 氕z ) l c o + 1 2 1 ) 一e x p ( a i i m z l ) ce x p ( a l i m z l ) ， i f ( z ) i de x p ( b l i m z 卜掣) 所以 i 万( 石) i ：( 2 丌) 一l 厂+ 亨( z ) i ( 2 丌) 一屉。l 冗掣) i l 虿( 彳- y ) i d y ( 2 7 r ) 一g d 正一( 斛b ) ，( + b ) l ”e x p ( a l i m y l + b l i m ( z 一可) i 一 u ( z y ) ) d y ( 2 7 r ) 一a d 一( + b ) ，( + b ) 1 we x p ( a l i m y + b ( i m z i + i i m y l ) 一；u ( z 一可) ) d 掣 由引理2 1 ，存在l 1 ，使得 u ( z ) l ( 1 + w ( z y ) + u ( g ) ) 故一u ( z y ) 一圭u ( 彳) 十1 + u ) 于是 l 艿( z ) l ( 2 丌) 一”c d e x p ( b l i m z i 一壶u ( z ) ) j i 一( a 十b ) ，( a + b ) pe x p ( ( a + b ) l i m y l + ( 1 + u ( 可) ) ) d 可 ( 2 丌) 一“c d e e x p ( b i m z l 一矗u ( z ) ) 由命题2 5 ( 1 ) ( c ) ，可知，9 d 仙) ( r ) 注意到命题( 2 ) ( c ) 等价于( c ) ，则类似可证明f g 口( 。) ( r ) 圭量竺竺至垒叁垒塑 ：一u = = = = = = = = = = = = = ；一 由上面证明日j 得： 推论2 8 口( r ) 为口+ ( r ) 的乘子空间 推论2 9 设q k n 中开集，若，& ( q ) ，9 口+ ( q ) ，则f g d ，( q ) 证，) ，对q 中任一紧集k 和给定的a 0 可设 c l ：s u ps u pi ，( a ( z ) le x p ( 一a 妒+ ( 等” n wx 6 k g 口；( q ) ，对给定的b 0 可设 c 2 ：s u ps u p 俨( 。) le x p ( 一b 钉。r p h i + ( 等) ) 胙州。i o 且设p a ，令c = m i n a ，b ，由矿的单调递增且凸可得 州訾) + 妒+ ( 堕) 妒+ ( 导) + 妒+ ( 堕笋) 妒+ ( 訾) 又由l e i b n i z 原理可知 ) ( a 1 1 ( a ) ) e x p ( 一a 矿( 兽) ) ( 9 ) a 一钟 ) e x p ( 一b 矿( 学) ) c l c 2 2 1 a e x p ( c c 】口+ ( 学) ) c 。c 2e x p ( 1 旺i + e 妒4 ( 学) ) 设d = 譬，由引理2 2 ，当o g 充分大时有 l q l + c 妒+ ( 学) = d ( j 学+ l 妒+ ( 拦) ) ：d ( l 妒+ ( 锐) 一l + 告+ l ) d ( 妒+ ( 喾) 一喾+ 碧+ l ) = d ( 妒( 罄) + l ) 从而f g ( q ) 注设q 为r n 中开集，) 为d + ( q ) 的乘子 定理2 1 0 设u 为一加权函数，若，d ( r ) ，g ( r ) ，则，十g ( r ) 1 2一超可微函数空间及其运算 证因f 口( r ) ，故存在r g 中紧集k 1 ，使得s u p p fc j q 从而 ( ，十9 ) 陋( x ) i i f 十9 ( 。( x ) l = i 止，( 可) 9 。) x y ) d y 厶，l f ( y ) l l g ( 。) ( 。一) 坳 对任意给定的r g 中的紧集k ，取= k k 1 ，k 2 依然是r n 中紧集由 g & ( r ) ，对k 2 和任意给定的a o ( 或某个a o ) ，有 一s u p s u pi g ( 口) ( 圳e x p ( 一( 导) 0 ，使得s u p p ，c 一a ，捌n , s u p pgc 一b ，研 首先证口和) ( r ，) 的情况由g 9 。) ( r ) ，存在尼n 和c 0 ，使 得 l 虿( 。) 1 c e x p ( b l i m z l 一玄u ( z ) ) 扶向 i f ( f g ) ( z ) l = ( 2 丌) 一i f ( 西+ f ( 9 ) ( z ) l = l ，* 亨( z ) 1 丘“i ，( 一y ) l l 蚕( z y ) i d y g 上一 、a i 。l f ( - y ) ie x p ( b i i m ( z 一可) i 一 u ( z y ) ) d y ce x p ( b i i m z l 一矗u ( z ) ) f e a a 1 wi ，( 一可) ie x p ( b i m y i 十( 1 + w ( y ) ) d y d e x p ( b l i m z l 一壶u ( 名) ) 其中一u ( z y ) 一u ( z ) + 1 + “( 可) ，d = g 一a ，a 1 ”i ，( 一可) ie x p ( b l l m y + ( 1 - t - u ( 可) ) 咖 由命题2 5 ( 1 ) , - - f 知元d 如 ( r ) 同理证d ( 。) ( r ) 中的情况 1 4 u 一超可微函数空间及其运算 结论 本文利用f o u r i e r - l a p l a c e 变换对两类超可微函数口+ 和的乘积和卷积运 算进行了讨论，得到了一些相关结果这些结果可被用于超可微函数和超广义函数空间 上线性偏微分算子理论的研究 对于相应的超广义函数空间中的运算，由于其构造的 复杂性，其中运算的许多问题还没有解决近来，j b o n e t ，r ，m e i s e ，r w b r a u n 和b a t a y l o r 等在这方面屡有新的成果出现我们也打算在这方面做进一步的探 讨，特别是其上的卷积理论，对于线性偏微分方程解的存在性讨论非常重要此外， 给出超广义函数的一些相对简单判别条件也是一个值得研究的问题这将作为我们下 一步的课题，希望能有所突破 ：叁童圭竺 1 5 参考文献 1 1 a b e n r l i n gq u a s i a 1 1 8 l y t i c i t ya n dg e n e r a ld i s t r i b u t i o n s j l e c t u r e s4a n d5 a m ss m n m e rl u s t i h u t c ，s t a n d f o r d1 9 6 1 2 hj ，p e t z s c h e ，dv o g l a l m o s ta n a l y t i co fu l t r a d i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o n sa n dt h e b o u n d a r yv a l u e so fh o l o m o r p h i cf u n c t i o n si j m a t h a n n ，1 9 8 4 ，2 6 7 ：1 7 - 3 5 3 】gb j 执1 k l i n e , a rv 1 ，r t i a ld i f f e m n t i a lo p e r a t l , o r sa n dg e n e r a l i z e dd i s t r i b u t i o n s j a r km a t h1 9 6 5 ，6 ：3 5 1 4 0 7 t 4 1 ic i o r g n c s c u ，lz s i d 6u u l t r a d i s t r i b u t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n sb oo p o r t h c o r y 【m | l n m3 2 5 ，s p r n g e r ，b e r l i n h e i d d b e r g - n e wy o r k ，1 9 7 3 【5 h a k o m t l t s uu l t r a ( d i s t r i b u y i o n si s t r a c t u r et h e o r e m sa n d ac h a r a c t e r i z a t i o n j jf a cs c it o k y os 。【。i a ，1 9 7 3 ，2 0 ：2 5 - 1 0 5 6 3 6 h e o m a t s u u l t r a d i s t r i h u y i o n si i t h ek e r n e lt h e o r e m sa n du k r a d i s t r i b u y i o n s w i t hs u p p o r tm 。as u h m a n i f o l d j j f a c s c i t o k y os e e i a ，1 9 7 7 ，2 4 1 6 0 7 - 6 2 8 f 7 】j b o n t ，rw b r a u n ，r m e i s c ，ba t a y l o rw h i t n e y se x t e n s i o nt h e o r e mf o rn o n - q u a s i a n a l y t i ec l a s s e so fu t t r a d i t t e r e n t i a b l ef u n c t i o n s l j 【_ s t u d i am a t h1 9 9 1 ，9 9 ( 2 ) ： 1 5 51 8 4 _ 【8 】j b o n t , c f e r n d n d e z ，rm e i s e c h a r a c t e r i z a t i o no f t h eu h y p o e l l i p t i cc o n v o l u t i o n o p e r a l l o l , , so nu l t r a , d i s t r i b u t i o n s j 1a n n a c a ds c i f e n n m a t h ，2 0 0 0 ，2 5 ：2 6 1 2 8 4 9 】j b o u t ，r m o i s t u l h 1 d i s t r ：i b u t i o n so f b c u r l i n gt y p ea n dp r o j e c t i v ed e s c r i p t i o n s j jm a t ha l l a la n da p p l ，2 0 0 1 2 5 5 ：1 2 2 1 3 6 【1o j - b o n t ，r m e i s e q l m s i a n a l y t i cf u n c t i o n a la n dp r o j e c t i v ed e s c r i p t i o n s j m a t h s c m l d ，2 0 0 4 ，9 4 ：2 4 9 - 2 6 6 【1 l 】rw b r m m ，r m d , a u bat 嫂v l o r u i t r ；a _ d i f f e r e n t , i a b f i ef u n c t i o n sa n d f o u r i e ra n a l y s 训j l 。r e s u l t em a t l l1 9 9 0 ，1 7 ：2 0 6 2 3 7 【1 2 rwb r a u n ，rm e i s e ba t a y l o r o p t i m a lg e v r e yc l a s s e sf o rt h ee x i s t e n c e o fs o l u t i o no p e r a s , o r sf o rl i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t o r si nt h r e ev a r i - a s m j j m a t h a n a d a n da p p l ，2 0 0 4 ，2 9 7 ：8 5 2 8 6 8 呈：堡三丝量墼竺望圣叁兰兰：= = = = 1 3 1rm c i s c ，ba t a y l o l ，dv o g 七c h a m c t e r i ：e a t i o no ft h e1 h 比a l p 孤“出d i 8 b r e l 止i “ 眦a t u 南w i t l lc 0 1 l s t m l tc o e f f i c i e n t st h a t ，a d i n i d tat i n u o u , s1 i n c a rr i g h 七i n v 盯8 e 【j 】 a m lh l s t f o u r i 【! = r ( a r e n o b l e ) ，1 9 9 0 ，l 0 ：6 1 0 6 5 5 f 14 1r m e i , 。抛，bat a y h nw l i t 姒净se x t e n s i o ut h e o