（应用数学专业论文）含偏心裂纹粘结功能梯度材料的接触问题.pdf

宁夏大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 大量工程系统，例如传动齿轮、滑动和滚动轴承、密封螺纹、火车轮轨等，它们的力学特性依 赖于接触体之间的相互作用在接触过程中，接触区内会产生应力集中现象，从而大大地降低机械 结构部件的使用安全性及寿命而近年发展起来的功能梯度材料作为一种先进的复合材料，则能够 综合地利用多种材料的物理性能，可以承受机械载荷以保持结构的刚度，也可以缓解热应力，从而 提高连接强度及断裂韧性在此材料的力学分析中，平衡方程、几何方程和均质弹性力学中的相应 方程相同，但由于功能梯度材料是一种不均匀材料，所以此材料的本构方程不同于均质弹性材料中 的相应方程由于这个特点，有关问题的求解要困难得多，尤其是对含偏心裂纹梯度材料接触问题 的研究本论文的目的就在于试图丰富这一方面的工作 本文共分四章第一章简要介绍了功能梯度材料和接触问题的发展和研究现状，第二章研究含 偏心裂纹半无限大功能梯度材料的接触问题，第三章研究了含偏心裂纹半无限大功能梯度材料与 均匀弹性长条粘结的接触问题，第四章利用叠加原理和积分变换方法求解了均匀弹性长条和半无 限大均匀弹性材料夹杂含偏心裂纹功能梯度长条的接触问题通过引入位错密度函数，将所研究的 问题转化为第一类带c a u c h y 核的奇异积分方程利用数值方法求解了奇异积分方程，得到了裂纹 尖端的应力强度因子探讨了材料参数、摩擦系数、裂纹尺寸和结构几何尺寸等对应力强度因子 的影响 关键诃：功能梯度材料，裂纹，接触问题，奇异积分方程，应力强度因子 一i 一 宁夏大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t t h em e c h a n i c a lb e h a v i o ro fav a r i e t yo fe n g i n e e r i n gs y s t e m ss u c ha st r a n s m i t t i n gg e a r s ，s f i d i n ga n d r o i l i n gb e a r i n g ss c r e wt h r e a d s ，t r a i nw h e e l sa n dr a i ld e p e n d so nt h ei n t e r a c t i o no fc o n t a c t i n gb o d i e s i n t h ec o u r s eo ft h ec o n t a c t , t h ec o n t a c ta r e aw i l lg i v eb i r t ht oh i g hr e s i d u a l t h ec o n s e q u e n c eo ft h i sb r i n g t h es e c u r i t ya n ds e r v i c el i f eo ft h em e c h a n i s mt or e d u c eg r e a t l y b u tt h ef u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a la s an e wk i n do fa d v a n c e dc o m p o s i t e s ，i tc o m b i n e sv a r i o u sp r o p e r t i e so fi t sc o n s t i t u e n t sa n dm a i n t a i nt h e s t r u c t u r a lr i g i d i t y ，r e d u c et h et h e r m a ls t r e s sa n dr e s i s tt h es e v e r et h e r m a ll o a d i n gf r o mt h eh i g ht e m p e r a t u r e e n v i r o n m e n t i na n a l y s eo ft h i sm a t e r i a l ，t h ee q u i l i b r i u me q u a t i o n 、g e o m e t r ye q u a t i o nc o r r e s p o n dw i t h t h ee q u a t i o ni nh o m o g e n e o u se l a s t i c i t ym e c h a n i c s b u tf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a li sas o r to fn o n - h o m o g e n e o u sm a t e r i a l ，t h ec o n s t i t u t i v ee q u a t i o ni se x c e p t i o n d u et ot h i sc h a r a c t e r i s t i c ，t h eq u e s t i o n a b o u tf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a li sv e r yd i f f i c u l t e s p e c i a l l yt h ec o n t a c tp r o b l e mo ff g mw i t hc r a c k t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st oe n r i c ht h ej o ba b o u tt h i s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r si nt h ep r e s e n tp a p e r t h ed e v e l o p m e n to ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a la n d e l a s t i cc o n t a c tp r o b l e ma l ei n t r o d u c e di nt h ef i r s tc h a p t e r , i nt h es e c o n dc h a p t e rt h ec o n t a c tp r o b l e mo fa h a l f - p l a n ef u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a lw i t hc r a c ku n d e rd g i dp u n c ha c t i o ni ss t u d i e d ，c o n t a c tp r o b l e m o faf u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a lw i t hc r a c kb o n d e dt oae l a s t i cs t r i pu n d e rr i g i dp u n c ha c t i o ni ss t u d i e d i nt h et h i r dc h a p t e r , c o n t a c tp r o b l e mo ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l ss t r i pw i t hc r a c kb o n d e dt oo n e h o m o g e n e o u ss t r i pa n dh a l fh o m o g e n e o u sm a t e r i a li ss t u d i e di nt h ef o u r t hc h a p t e r i nt h i sp a p e f b y u s i n gf o u r i e rt r a n s f o r m st h ep r o b l e mw a sf o r m u l a t e di nt e r m so fas i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n i tw a s n u m e r i c a l l ys o l v e db yr e p r e s e n t i n gt h eu n k n o w nd i s l o c a t i o nd e n s i t yb yat r u n c a t e ds e r i e so fc h e b y s b e v p o l y n o m i a l sl e a d i n gt oal i n e a rs y s t e mo fe q u a t i o n s t h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r ( s i f ) r e s u l t sw e r ed i s c u s s e d w i t hr e s p e c tt ot h ei n f l u e n c e so ft h es e n g t ho ft h en o n h o m o g e n e i t y , t h ef r i c t i o nb e t w e e np u n c ha n d m a t e r i a l d i m e n s i o no ft h ec o n f i g u r a t i o na n d 血ed i m e n s i o no fc r a c k k e yw o r d s ：f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l c r a c k , c o n t a c tp r o b l e m ，s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o n , s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r n 一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得宁夏大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：辚 时 间：纱孑年j 月加 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解宁夏大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复 制手段保存、汇编学位论文。同意宁夏大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传 播学位论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生签名： 导师签名： 时 间：沙础年j 月馏日 时间：肿多月彩日吞寺 龌屿 篮红 宁夏大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 功能梯度材料 第一章引言 1 1 1 功能梯度材料研究的背景及意义 随着航天航空等高新技术领域的发展，对材料的性能要求也越来越高传统复合材料是在基材 中均匀掺入相异的材料，外观上材料维持原材料的基本属性，来满足材料制造基本要求而由力学 性能的观点，由于相异材料的不同材料特性，提供整体复合材料在强度上，抗破坏性或是抗氧化性 等的特殊功能，扩大了材料使用的空间及耐用度但在许多超高温、超低温、具腐蚀、磨损的使用 环境下，需要复合材料的性能随位置不同而发生变化，来满足材料使用上不同部位的不同需要由 于传统复合材料结合了两种彼此力学性能有差异的不同材料，在结合部位性质不连续，因此这种强 行匹配将成为材料被破坏的潜在原因为了能充分衔接不同材料，两相或多相材料间界面问题已经 成为材料学界、力学界急需解决的问题为此，功能梯度材料的概念应用而生由于功能梯度材料 多方面性能较均匀材料具有不可比拟的优势，因而在工程中有着十分广阔的应用前景功能梯度材 料最主要的设计目的是使用连续变化属性的材料来降低几种普通均匀材料界面间的残余应力，尤 其是断裂力学行为对于功能梯度材料的设计、制造及工程应用有着十分广泛的应用 梯度材料f 1 - 2 】是指一类在结构和组成要素上连续或准连续变化，从而获得性能相应于结构与 组成渐变的非均质复合材料f g m 的正式概念是在1 9 8 4 年前后由日本学者平井敏雄、新野正 之、渡边龙三等率先提出来得当时的背景是美国的n a s p ( n a t i o n a la e r o - s p a c ep l a n e ) 计划出台， 其中具有代表性的一项就是研制出新一代的航天飞机( 亦称宇宙往返机) 该计划要求该航天飞机 能够载人往返于地球、宇宙之间并且能够反复使用但由于航天飞机在高空飞行时，机体表面与空 气摩擦产生高温，同时，发动机燃烧室内壁暴露在极高温的燃烧气体下，必须靠液体燃料进行冷却 这样材料就处在极高温度和极大温度落差的严酷环境中，对使用材料的耐热性能、隔热性能、耐 久性能提出了极其苛刻的要求，于是由两种或两种以上的不同均匀材料结合在一起而存在明显界 面的复合材料不能再满足需要因此，迫切需要创制出一种新材料以满足上述要求，于是f g m 的 概念应运而生1 9 8 7 年，日本科技厅以应用于航天航空领域的超高温结构材料的开发作为目标，启 动了一项为期5 年的名为“用于应力缓和型的f g m 开发基础技术的研究”，取得了举世瞩目的 成果1 9 9 3 年日本科技厅再次设立了一个为期5 年的名为“梯度功能结构的能量转换材料的开发 研究项目”的大型研究项目，掀起了梯度功能材料研究的第二个高潮1 9 9 6 年，日本重新开始重视 对梯度材料物理与化学性能的研究，以期寻找结构的梯度化可能带来的新性能，并致力于梯度材料 数据库的建立 功能梯度材料的设想和概念，引起了国际上的广泛关注，除日本之外，中国、美国、德国、俄 罗斯、瑞士、英国等国也相继展开了研究工作我国在这一领域的研究起步稍落后于日本，袁澜 章从分子水平复合角度提出了梯度材料的思想和原理，并在金属陶瓷系复合刀具的研究中开始了 探索性的工作在国家高科技“8 6 3 ”计划和国家自然科学基金的资助下，我国的f g m 研究工作 取得了长足发展1 9 9 4 年和1 9 9 7 年国内将f g m 作为一个新领域列入c - m r s 会议的一个单独分 宁夏大学硕士学位论文第一章引言 会目前，我国已将发展功能梯度材料及其结构动静态理论列入力学关键性问题 陶瓷金属功能梯度材料能够充分发挥陶瓷耐高温、抗腐蚀、金属强度高和韧性好的特点，还 能很好地解决金属和陶瓷强行匹配而引起的粘结强度低和热膨胀系数不协调等问题因此这类材 料在工程技术中有广阔的应用前景和极高的使用价值随着功能梯度材料的研究和开发，其在光 学( 电光学、磁光学) 、生物医学、电子元件、化学工业和核能源等领域中都得到应用 1 1 - 2 功能梯度材料断裂力学行为的理论研究 对于含裂纹的功能梯度材料，应力强度因子对材料参数的变化十分敏感在研究功能梯度材料 的断裂问题时，通常分析两种类型的裂纹，即垂直于梯度方向的裂纹和平行于梯度方向的裂纹对 于垂直于梯度方向的裂纹，由于材料参数的不均匀性，裂纹尖端的应力强度因子为混合模式的，即 i 型、型、甚至i 型应力强度因子可以同时存在为了评价材料的特性，需要得到不同外载作用 下的应力强度因子由于材料参数为连续变化的，裂纹尖端应力奇异性以及裂纹尖端场的环向分布 规律与传统的均匀材料相同，因此通过将材料参数假设成空间坐标的一些特殊函数形式，已经求解 了大量的裂纹问题 e i s c h e n l 3 1 用特征函数展开法求得了对于具有任意连续可微材料参数的非均匀材料中裂纹尖 端附近应力场的精确描述结果表明，裂纹尖端渐进应力场的主项和均匀材料中的裂纹尖端应力场 一样，具有传统的平方根奇异性，材料参数非均匀性只影响尖端场的高阶项e r d o g a n 和w u l 4 1 针对 含有内部和边界裂纹的功能梯度平面在拉伸和弯曲载荷下断裂问题进行了研究，该文取杨氏模量 为指数形式程站起1 5 ) 等利用f o u r i e r 积分变换技术将混合边值问题转化成一对奇异积分方程，通 过数值求解奇异积分方程获得含裂纹功能梯度条分别在剪切和法向载荷作用下的应力强度因子 李春雨1 6 | 采用幂函数的材料梯度分布形式，应用对偶积分方程方法，研究了正交各向异性功能梯度 材料三型裂纹问题王宝林等r 7 l 对非均匀复合材料反平面裂纹问题进行了研究他们将非均匀材料 沿厚度方向划分为许多均匀的单层，利用l a p l a c e 变换和f o u r i e r 变换求解各单层的运动方程，再利 用刚度矩阵法表达界面应力与界面位错密度函数的关系，推出控制问题的奇异积分方程，最后用虚 位移原理得出裂纹尖端动应力强度因子果立成等1 8 1 利用奇异积分方程方法，求解了冲击载荷作用 下正交各向异性功能梯度材料无限长板内部的应力强度因子响应曲线o u 和a s a r o 9 1 计算出了正 交各向同性材料中半无限大裂纹的应力强度因子e r d o g a n 和o z t u r k ! 1 0 l 考虑了功能梯度板反平面 周期裂纹，并且功能梯度材料拼接于均匀的半平面弹性材料c h e n i “1 研究了非均匀材料与功能梯 度材料拼接的界面裂纹问题c h o i i l 2 1 研究了受反平面剪切载荷的功能梯度板中互相平行的周期裂 纹问题 以上都是针对功能梯度材料断裂行为的研究，但对含裂纹功能梯度材料接触问题的研究见诸 报端的不多 目前对功能梯度材料的研究主要集中在三个方面：一是f g m 的设计与优化，通过材料成分结 构的梯度化来提高性能和发现新的功能如将均质材料的不可能同时具有的两种相矛盾特性统一 起来以适应外界环境的要求通过形成梯度结构来寻求其可能潜在的新特性也日益引起人们的重 视二是开发或采用新的合成制备技术来实现材料组成，结构的梯度化，包括以构造技术为基础和 以质量传输技术为基础的多种梯度符合技术三是进行f g m 材料的特性评价梯度材料的特性评 价是检验材料设计与材料制备结果是否吻合的重要一环 一2 一 宁夏大学硕士学位论文 第一章引言 1 2 接触问题的发展及其研究现状 所谓接触问题，即求解两个或多个与接触条件耦合的n a v i e r 方程，在一般的提法中其结果只 限于存在定理和某些近似定理更完整的结果可在以下情况中得到：一个接触体是弹性半平面，而 另一个接触体为绝对刚体，它在给定力作用下压入此半平面接触问题广泛存在于工程实际中，接 触引起的局部应力、移动或滚动接触引起的疲劳等使接触成为影响机械结构零部件和使用安全性 与寿命的重要因素例如传动齿轮、滑动与滚动轴承、密封螺纹、火车轮轨等的接触问题都是设 计中必须考虑的问题当接触区附近存在微小孔洞或裂纹等缺陷时，对零部件的强度会有重要的影 响因此。接触问题以及含缺陷固体接触问题的研究具有重要的工程实际意义 对接触问题的研究，起初仅局限于刚性体或者规则弹性体之间1 7 7 9 年，法国数学家c o u l o m b ca 提出了著名的c o u l o m b 摩擦定理，揭开了接触力学研究的序幕 1 8 8 2 年德国人h e r t z 首先对弹性接触问题进行了研究并取得了重要的进展1 1 3 1 ，在他的经典 论文论弹性固体的接触问题中。h e r t z 研究了两个互相接触的在施加载荷后在接触面上产生的 局部压强分布以及由此引起的应力和应变 h e r t z 理论的基本假设： l 、接触物只产生弹性变形，并服从虎克定律； 2 、载荷垂直于裂纹表面，既接触表面完全光滑，不计接触物体之间的摩擦力： 3 、接触面的尺寸与接触物体表面的曲率半径相比是很小的： 4 、接触区域为椭球，表面压力符合半椭球分布 l o v e 所著“at r e a t i s eo nt h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo f e l a s t i c i t y ”i1 3 1 全面叙述了经典弹性理论中 的弹性半平面接触问题，它给出了一个详尽而具有丰富历史文献的介绍，这一著作成为西方许多 弹性著作的基础由k o l o s o f f 构想出来，并由m u s k h e l i s h v i f i l l 4 1 及其合作者使之臻于成熟的复变函 数方法为解决经典弹性理论接触问题提供了重要的数学方法，它对解决无摩擦弹性接触问题非常 有效另外两本前苏联著作是s h a t e r m a n n 所著“c o n t a c t p r o b l e m o f t h et h e o r yo fe l a s t i c i t y ”1 1 3 1 与 g a l i n 的著作“弹性理论中的接触问题”1 1 5 1 ，在这两本书中解决了好多轴对称的平面接触问题后 来，r o s t o v t s e v 将s h t a e r m a n n 的结果推广到了解决非均匀各向同性物体的接触问题w i l l i s 则将其 推广到了解决均匀各向异性介质 1 9 8 0 年，英国加拿大的g m l g l a d w e l l 教授的著作“经典弹性理论中的接触问题”1 1 3 1 一 书是接触理论中一本优秀的权威性的专著他从应用数学的角度对经典弹性理论接触问题这一 领域作了全面系统的阐述，概括了1 9 8 0 年以前这一领域的最主要的研究成果到了8 0 年代，国 际上对接触力学的研究蓬勃发展其理论的研究主要集中于各向同性半平面上压头和垂直裂纹 上，a v e t i s i a n l l 6 1 等研究了有限区间裂纹情况，其方法都是基于对偶积分方程方法1 1 7 1 ，1 1 8 1 和保角 映射方法，最终都得到第二类f r e d h o l m 积分方程，用保角映射方法1 1 9 1 ，1 2 0 1 时。原问题都被转化为 r i e m a n n h i l l ) e n 问题的求解，最后给出封闭解或数值结果路见可1 2 1 1 ，1 3 1 1 及其学生们在周期接触问 题方面作了很有意义的工作。 以上所列文献研究对象都是针对均匀弹性材料的接触问题然而在工程实际之中，接触区内会 产生应力集中现象，若两构件问存在相对运动，还会造成接触面间的摩擦磨损这将促使疲劳裂纹 的早期形成，大大降低机械结构部件的使用安全性与寿命而近年来发展的功能梯度材料则能够有 3 一 宁夏大学硕士学位论文第一章引言 效地降低残余应力和热应力，从而提高连接强度和断裂韧性因此，对功能梯度材料接触问题的研 究则具有着重大的意义 d a g 和e r d o g a n l 3 2 l 利用叠加原理分析了含表面裂纹的功能梯度材料在刚性压头下的接触问 题，最终给出了裂纹尖端的应力强度因子g u l e r 和e r d o g a n l 3 4 1 分析了不含裂纹功能梯度涂层的接 触力学问题文献f 3 5 研究了由功能梯度层粘结的两弹性固体间的接触问题，文献f 3 6 又研究了抛 物形和圆柱形压头对功能梯度层的滑动摩擦接触问题文献f 3 7 分析了功能梯度涂层和均匀弹性 材料粘结的退化平面接触问题文献【3 8 】采用了功能梯度材料的分层模型，研究了同一问题 1 3 本文的主要工作 虽然接触问题已经取得了大量成果，但对内部含偏心裂纹粘结功能梯度材料的接触问题的研 究见诸报的不多 本文则具体分析了含偏心裂纹粘结功能梯度材料的接触闯题，包括五个部分： 第一章主要叙述了功能梯度材料研究进展及接触问题的发展和研究现状 第二章讨论了含偏心裂纹半无限大功能梯度材料的接触问题利用叠加原理，将这类问题视为 两个子问题的叠加( a ) 无裂纹存在的相同结构受压头的正压力和剪压力的作用( b ) 裂纹面上受自 平衡的表面外载荷的作用，然后通过引入位错密度函数将所研究的问题转化为第一类带c a u c h y 核 的奇异积分方程，并利用数值方法求解了奇异积分方程，得到了裂纹尖端的应力强度因子分析了 材料参数、摩擦系数及结构尺寸对裂纹尖端应力强度因子的影响 第三章讨论了含偏心裂纹半无限大功能梯度材料与均匀弹性长条粘结的接触问题利用叠加 原理，将这类问题视为两个子问题的叠加( a ) 无裂纹存在相同结构受压头正压力和剪压力作用的 接触问题( b ) 裂纹面上受自平衡的表面外载荷作用的裂纹问题，然后通过引入位错密度函数将所 研究的问题转化为第一类带c a u c h y 核的奇异积分方程，并利用数值方法求解了奇异积分方程，得 到了裂纹尖端的应力强度因子分析了材料参数、摩擦系数、裂纹尺寸及结构几何尺寸对裂纹尖 端应力强度因子的影响 第四章研究了均匀弹性长条和半无限大均匀弹性材料夹杂含偏心裂纹功能梯度长条的接触问 题利用叠加原理，将这类问题视为两个子问题的叠加( a ) 无裂纹存在的相同结构受压头的正压 力和剪压力的作用( b ) 裂纹面上受自平衡的表面外载荷的作用，然后通过引入位错密度函数将所 研究的问题转化为第一类带c a u c h y 核的奇异积分方程，并利用数值方法求解了奇异积分方程，得 到了裂纹尖端的应力强度因子，分析了材料参数、摩擦系数、裂纹尺寸及结构几何尺寸对裂纹尖 端应力强度因子的影响 4 一 宁夏大学硕士学位论文第二章含偏心裂纹功能梯度材料的接触问题 2 1 引言 第二章含偏心裂纹功能梯度材料的接触问题 近年来，由于功能梯度材料不仅能减少残余应力及热应力，而且能够增加连接强度及韧性，因 而广泛用于热元件及结构件的制备中从而，此材料的断裂力学分析得到许多研究者的重视功能 梯度材料是一种不均匀材料，在此材料的力学分析中，平衡方程、几何方程和均质弹性力学中的相 应方程相同然而，此材科的本构方程却不同于均质弹性力学中的相应方程由于这个特点，有关问 题的求解要困难得多除此之外，材料性质常数不会影响到裂纹端奇异性的性质，也不会影响到相 应的应力分布角度函数。因而对此材料用通常的方法来定义裂纹尖端应力强度因子1 9 1 功能梯度材料的断裂力学分析得到了众多研究者的重视，e r d o g a n 及他的同事们1 2 4 1 1 2 7 1 对具有 此种过渡界面性质的连接介质进行了相关的断裂力学分析，得到了特定裂纹问题的解文献f 2 8 i f f 论了弹性功能梯度材料板条中裂纹的反平面问题，文献【2 9 1 、f 3 0 1 研究了处在功能梯度材料涂层 与基底间的界面裂纹或分层处裂纹的相似断裂问题但众所周知，接触问题广泛存在于工程实际之 中，在接触过程中，接触区内会产生应力集中现象若两构件间存在相对运动，还会造成接触面间 的摩擦磨损，这将促使疲劳裂纹的早期形成，大大降低机械结构部件的使用安全性与寿命而功能 梯度材料在接触问题中的广泛应用，则能够有效地降低残余应力和熟应力，从而提高连接强度和断 裂韧性，因此对功能梯度材料接触问题的研究具有十分重要的意义 文献【3 1 1 用带h i l b e r t 核的奇异积分方程研究了无裂纹带垫圈周期接触问题d a g 和 e r d o g a n l 3 2 l 利用叠加原理分析了含表面裂纹的功能梯度材料在刚性压头下的接触问题g u l e r 和e r d o g a n i _ u i 分析了功能梯度长条和半无陬大均匀弹性材料粘结的接触力学问题文献f 3 5 1 研究 了由功能梯度层粘结的两弹性固体间的接触问题，紧接着文献【3 6 又研究了抛物形和圆柱形压头 对功能梯度层的滑动摩擦接触问题文献【3 7 1 分析了功能梯度涂层和均匀弹性材料粘结的退化平 面接触问题文献【3 8 1 采用了功能梯度材料的分层模型，研究了同_ _ 问题事实上，实际工程中功 能梯度材料和弹性材料一样，裂纹问题会经常遇到，而以上所列文献要么是针对均匀弹性材料含裂 纹的接触问题，要么就是不含裂纹功能梯度材料接触问题和含表面裂纹的功能梯度材料的接触问 题，但对功能梯度材料内部含偏心裂纹接触问题的研究见诸报道的不多本文利用叠加原理和积分 变换方法，求解了含偏心裂纹半无限大功能梯度材料在刚性压头下的接触问题通过引入位错密度 函数将所研究的问题转化为第一类带c a u c h y 核的奇异积分方程，并利用数值方法求解了奇异积分 方程，得到了裂纹尖端的应力强度因子，分析了材料参数、摩擦系数及裂纹尺寸等对应力强度因子 的影响 2 2 问题的描述和控制方程 如图2 1 所示，假设半无限大功能梯度材料中含有一长度为2 口且平行于边界的裂纹，该裂纹 与材料上表面的距离为h 一刚性压头从区间一e c z e + e 上压入此半平面为了数学上 的求解方便，假定材料参数以指数形式分布1 3 3 | ，即p = p o e p u ，其中p 是剪切模量，肛。和p 是两个 常数研究表明：泊松比的变化对裂纹尖端应力强度因子影响不大f 2 4 2 6 l ，因而可以取为常数，即假 一5 一 宁夏大学硕士学位论文第二章含偏心裂纹功能梯度材料的接触问题 定其为常数 j i v ( j ) 图2 1 含裂纹半无限大功能梯度材料在压头作用下的结构示意图 刚性压头对梯度材料的正压力和剪切力为已知函数，其具体形式可由鼽o ) = 舶、l 一( 等) 2 给出，剪切力和正压力有如下关系：p t ( x ) = p n ( z ) ，其中p o 为压力的最大值，e 为裂纹中心距接触 中心的水平距离，为压头和材料间的摩擦系数，2 c 为接触区总长度 功能梯度材料的本构方程为 嘣舢) = 告卜) 赛+ ( 3 叫卦 ( 2 ，) “舢) = 告 ( 3 _ 咒) 爱小+ 1 ) 卦 ( 2 2 ) 砒加p 隆卦 亿3 ， 式中t | 、口分别代表沿z 轴和y 轴方向位移分量，。、| ，和| ，分别表示应力分量平面应变状 态时，c = 3 4 1 ：，平面应力状态时咒= ( 3 一) ( 1 + ) 平衡方程为 誓+ 等一o ，鲁+ 鲁- o c 2 挪 ( 神 图2 2 ( a ) 无裂纹存在的相同结构的接触问题，m ) 裂纹面上受自平衡表面外载荷的裂纹问题 一6 一 宁夏大学硕士学位论文第二章含偏心裂纹功能梯度材料的接触问题 将方程( 2 1 ) 一( 2 3 ) 代入平衡方程( 2 4 ) 得梯度材料的控制方程为 ( 川卷小叫象+ 2 丽0 2 v + f l ( ) 丝o y 州川) 笔- 0 ( 2 - 5 ) ( j 面1 9 2 v 小+ 1 ) 雾+ 2 盎+ f l ( 3 叫是+ f l ( 川甾瓠 ( 2 6 ) 根据线形叠加原理，这类问题可视为如图2 2 所示的两个问题的叠加 ( a ) 无裂纹存在地相同结构受压头正压力和剪压力作用的接触问题 ( b ) 裂纹表面受自平衡的表面外载荷u 1 ( z ) 和w 2 ( x ) 的作用的裂纹问题，其中w l ( x ) 和w 2 ( x ) 可由问题( a ) 求解得到 2 3 边界条件的提出 在边界上正应力、剪应力、位移是连续的，所研究问题的混合边界条件如下 盯( z ， ) = 一孙( z ) ，i f 。( 1 y ) ( 、x ， ) = 一，陬( z ) ，i x e l c ； 盯劣( z ，i 1 ) = 盯黠( z ，1 ) = 0 ，l z e l c ； 西( z ，3 ) = 捌( z ，) = 0 ，y _ 一o o ，陋 n ； “：2 ( z ，o + ) = 豇孑( z ，0 一) ，z ，i 2 ( z ，0 + ) = 毋k0 ) ，川 口， ( 2 7 a ) ( 2 7 b ) ( 2 7 c ) ( 2 7 d ) ( 2 7 e ) ( 2 7 f ) ( 2 7 9 ) ( 2 7 h ) ( 2 7 i ) 其中上标i ( i = l ，2 ) 分别代表) 问题和( 6 ) 问题对于问题( a ) ，边界条件( 2 7 a ) 一( 2 7 c ) 成立对于问 题( b ) ，边界条件( 2 7 d ) 一( 2 7 i ) 成立 2 4 问题的求解 先对问题( a ) 进行求解 对方程( 2 5 ) 和方程( 2 6 ) 中的变量z 进行f o u r i e r 变换，通过求解偏微分方程组，最终可求得如 下形式的位移函数d 4 1 ，+ o o 2 u ( x ，可) = 匹a ( q ) 少叫e - - i o a v 如， ，一o o k ；1 ，+ o o 2 t ，( 啪) = 匹鲰( a ) a ( n ) e 哪旷衄如， ，一k = l 一7 一 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 宁夏大学硕士学位论文第二章含偏心裂纹功能梯度材料的接触问题 其中a ( q ) ( 七= 1 ，2 ) 是由其边界条件来确定的未知函数，n k ( k = 1 ，4 ) 为以下特征方程的根 2 f i n 3 4 - ( 弘2 。2 ) n 2 - 2 f l o l 2 n + ( ( 2 44 - ( 2 2 2 篙) 扎 ( 2 1 0 a ) 其中 n - = 三( 一卢一 m 2 互l 叫一 n 2 = 主( 一卢一 n 22 互i 一一 竹3 = 圭( 一p + 佗32 互i 叫+ 礼a = 丢( 一p + 啦2 互i _ + 一生嘎嚣蒜掣小”一一 由边界条件( 2 7 a ) 得下面的方程组 p q ，l e e 。n ；l h 尹q 1 2 2 e e n ，k 2 h 】 a a 2 1 ( ( q a ) 】= n f ， m = 丽k - 万1 ( 2 1 0 b ) ( 2 1 0 c ) ( 2 1 0 d ) ( 2 1 0 e ) ( 2 1 0 0 ( 2 1 1 ) 一m(t)e妇。出，=上27uzoe#h上。一。一瓶(2)e妇。出，(21za)1 - - c，一c p k = n k a k ( k + 1 ) 一i a ( 3 一k ) ，卿= 佗k i a a k ，k = 1 ，2 ( 2 1 2 b ) 求出a l ( a ) 和a 2 ( q ) 后，代入方程( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，并由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 可求得问题( a ) 在x 轴上的剪 应力和正应力为 吲硼，= 吡。，= 嘉仁二。e ( 一吼告+ q 鲁) 肿，e t a ( t - x ) 如班 + 嘉 二。e ( g - 鲁吨告) ，础卜吡q 砒， c 2 ， 吲印，= 屹c z ，= 嘉仁二。e ( 呦百d l l + 仡害) 础，e i a ( t - z ) 如班 + 葡赤面 二。e ( p t 鲁一舰百d 2 2 、慨e i a ( t - z ) d a 疵，t 2 “， 其中d 为方程组( 2 11 ) 的系数矩阵行列式，d o ( t ，j = 1 ，2 ) 为系数矩阵第i 行j 列代数余子式 问题( b ) 的求解如下 为了求解的方便，记裂纹上面区域的位移场为u l ( x ，可) 和v l ( x ，可) ，裂纹下面区域的位移场为 一8 一 宁夏大学硕士学位论文第二章含偏心裂纹功能梯度材料的接触问题 2 ( z ，y ) 和口2 ( z ，g ) ，于是得到如下的位移场 ，+ o o q u l ( x ，! ，) = f 夙( n ) 沙1 e - i a x d n ， o 一k = l ，+ 4 v l ( x ，可) = 【n k ( a ) b k ( o o e 毗掣矿蚴d n ， o 一k = l ，十o o u 2 ( x ，可) = f b k + 4 ( o o e n k y e 砘， 。一o o k = l 也( z ，可) = 2 f a k ( o t ) b k + 4 ( o z ) e 9e - i 。v d a ， 七= 1 其中仇( q ) ( k = 1 ，4 ) 为待求常数 引进位错密度函数妒l ( z ) 和仍( z ) 为 砂l ( z ) = i z e l 口； 协一e i a ， 一 x - e l c ； o c u 扩1 一，h 妄) = 盯( z ，h 2 ) ，盯i 笔( z ， 孝) = 口( z ，h 2 ) ， + ； 牡鼽z ， 孝) = 心! 1 ) ( z ，h i ) ，t ，i 1 扛， 手) = “；1 ) ( 毛h i ) ，例 + o 。； 盯5 笔( 茁，掣) = 矿! 岂( z ，) = o ，_ 一o o ，i x l + o 。； ( 3 6 b ) ( 3 6 c ) ( 3 6 d ) ( 3 6 e ) 哆o ，0 + ) = 西笔扛，0 一) = u l 扛) ，哆扛，0 + ) = 巧( z ，0 一) = 忱( z ) i z i 。；( 3 6 f ) 盯；琵( z ，h l + h 2 ) = 盯i 笔( z ，h l + h 2 ) = 0 ，i x l + ； 盯( 卫，0 + ) = 以笏( z ，0 + ) ，喝( z ，0 + ) = a 3 2 ) 扩r , ，0 + ) i x ls 。； 让乎( z ，o + ) = 乱孑( z ，0 一) ，t ，乒( z ，0 + ) = 钉孑( z ，0 一) i x l 口； 盯i 笏p ， ；) = a 。( 2 列) r 、x ，h i ) ，d 笔扛， 手) = 正笔扛，h i ) ，i x l o 由式( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) 和边界条件( 3 6 f ) 一( 3 6 k ) 得到如下方程组 一4 i a e i 。i ( h i _ + h 2 ) b 1 ( 口) + f 一4 i a ( h l + h 2 ) 一a 5 ( 1 一七2 ) 】e l 。i ( l + h a ) b 2 ( q ) f 3 2 2 b ) ( 3 2 2 c ) ( 3 2 2 d ) ( 3 2 2 0 ( 3 2 2 f ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 一4 i c z e 一陋 ( h i4 - h 2 ) 岛( o ) + f 一4 i a ( h l + h 2 ) + a s ( 1 一后2 ) e i 口i ( l + j 1 2 鼠( o ) = 0 ，( 3 2 6 ) e l a l ( h l + 2 ) 岛( 口) + e - i 。i ( h l + 2 ) 甄( n ) = 0 ， 4 ( 3 2 7 ) 2 f ( 3 一k ) ( - i q ) + + 1 ) 佗奄日k l b k + 4 ( a ) = f ( 3 - - 七) ( 一施) + ( 七+ 1 ) n k a k b k + 8 ( o ) ， ( 3 2 8 ) k = l ( 咒七一i o a k ) 口七+ 2 ( q ) = 2 ( n 知一i a a k ) b k + 4 ( a ) ， ( 3 2 9 ) 七；l七= 1 4 i c t e i 。m 2 岛( n ) + f 一4 i c t h 2 一a 5 ( 1 一七2 ) j e i 。i h 。b 2 ( a ) 一4 i a e i 。i k b 3 ( o t ) - 4 - 卜4 i c t h 2 4 + a s ( 1 - k 2 ) 一。b 4 ( a ) = f ( 3 一k ) f - i a ) + 佧+ 1 ) 船七钆】瞰+ 4 ( n ) e “- 如， ( 3 3 0 ) k = l 4 ( 1 + 七) e 。k 玩( 口) + ( 1 + k ) e - i q i h 2 风( n ) = ( 佗量一缸k ) b k + 4 ( a ) e n b ， k = l 1 8 一 ( 3 3 1 ) 趔饿 舞 m_l-ihl_jq- 磁警e 宁夏大学硕士学位论文第三章含偏心裂纹半无限大功能梯度材料与均匀弹性长条粘结的接触问题 4 e i q i 2 岛( o ) + h 2 e i a i b 岛( 倥) + e j q i b 岛( o ) + e l “i 2 风( n ) = e n k h 2 b k 十4 ( n ) ， ( 3 3 2 ) 奄= l 一0 5 e i 。i h 2 b l ( q ) + ( n 6 a s h 2 ) e i 。i 幻b 2 ( o ) + a 5 e i 。i h 2 8 3 ( a ) 4 4 + ( n 6 + a s h 2 ) e i 龇i 风( n ) = d 七e n k h 2 + 4 ( o ) ， 矗= 1 242 ( 3 3 3 ) b k + 4 ( q ) 一风+ 8 ( n ) = f 1 ( q ) ，a k b k + 4 ( a ) 一n 风+ 8 ( q ) = 最( n ) ， ( 3 3 4 ) k - - - - 1血= 1k = lk = l 其中 乃( q ) =熹仁蜊产。，例，2 由边界条件( 3 6 0 可以得到以吻u = 1 ，2 ) 为未知函数的如下奇异积分方程组 ( 击州州州岫舡朋蜊卜丌学制， 仁b 州+ ( 击+ 咖) 蜊 出= 丌学喇