（机械设计及理论专业论文）渐开线变位齿轮参数化精确造型与齿根应力分析的研究.pdf

独创性庄明 本人声明，所呈交的学位( 毕业) 论文，是本人在指导教师的指导下独立完 成的研究成果，并且是自己撰写的。尽我所知，除了文中作了标注和致谢中已作 了答谢的地方外，论文中不包含其他人发表或撰写过的研究成果。与我一同对本 研究做出贡献的同志，都在论文中作了明确的说明并表示了谢意，如被查有侵犯 他人知识产权的行为，由本人承担应有的责任。 学位c 毕业，论文作者亲笔躲钡移嗍矿7 。 论文使用授权的说明 本人完全了解福建农林大学有关保留、使用学位( 毕业) 论文的规定，即学 校有权送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 保密，在年后解密可适用本授权书。口 不保密，本论文属于不保密。 口 学位( 毕业) 论文作者亲笔签名j 秘艾尹钐 指剥币亲笔躲狠 只期：炒7 汐多 隅7 ，6 6 祸矬农林人学瑚i 学位论文 摘要 本文应用计算机辅助设计份析方法，在实现变位齿轮参数化精确造型的基础 上，进行了齿根应力分析。出于充分发挥了数字化技术数据成本低、高效、高精 度的优点，较明显地提高了变位齿轮齿根应力分析的精确度。本论文主要分为两 大部分： 1 ) 变位齿轮参数化精确造型。根据范成加工原理，在变位的情况下，分别 建立了渐丌线及过渡曲线的参数方程。基于这两个方程建立起的三维参数化模 型，经过几何造型误差检验表明具有较高的精确性。 2 ) 确定变位量与齿根最大应力的内在关系。在应用有限元技术对精确模型 进行静力分析的基础上，依据相似理论，对变位量与相应的齿根最大应力回归得 到计算式。在己知标准齿轮齿根应力值的前提下，通过该计算式便可算出任一变 位下的齿根最大应力。 有限元静力分析的结果与光弹试验结果比较后表明：本文精确模型的有限元 分析结果与光弹试验结果接近，比用简化处理模型的有限元计算结果精确。经回 归分析得到的计算式计算结果也与光弹试验结果接近，比折截面法和“i s o ”公 式的结果具有更高的精确度。 关键词：变位齿轮，参数化精确造型，过渡曲线，齿根应力，有限元 i 一 塑墅丝壅竺塑丝兰塾些堕些堕里：! 堕堡! 墨尘坌堑塑竺塑 a b s t r a c t u s i n gt h ec o m p u t e ra i d e dd e s i g na n dc o m p u t e ra i d e da n a l y s i s ，ap a r a m e t r i cm o d e l o fi n v o l u t e c y l i n d r i c a ls p u rg e a r w i t ha d d e n d u mm o d i f i c a t i o nw a sg e n e r a t e d a c c u r a t e l y , t h e nt h eb e n d i n gs t r e n g t ho fg e a rt o o t hw a sa n a l y z e d b e c a u s eo ft a k i n g a d v a n t a g eo fl o wc o s t ，h i g he f f i c i e n c y , h i g hp r e c i s i o no fn u m e r i ct e c h n o l o g y , t h e a c c u r a c yo fb e n d i n gs t r e n g t ha n a l y s i sw a se n h a n c e dg r e a t l y t h i st h e s i sc o n t a i n st w o p a r t s - 1 ) g e n e r a t et h ep r e c i s i o np a r a m e t r i cm o d e lo fx - g e a r a c c o r d i n gt ot h ep r i n c i p l eo f g e n e r a t i n gp r o c e s s ，t h ep a r a m e t e re q u a t i o n so fi n v o l u t ec u r v ea n dt r a n s i e n tc u r v e w e r ee s t a b l i s h e d ，c o n s i d e r i n gt h ep o s s i b i l i t yo fa d d e n d u mm o d i f i c a t i o n t h e3 d p a r a m e t r i cm o d e lo fx - g e a rb a s e do nt h e s et w oe q u a t i o n si sc o m p e t i t i v ea c c u r a t e ， t h r o u g ht h ee r r o rt e s t i n go fg e o m e t r ym o d e l 2 ) f i xo nt h ei n n e rc o n n e c t i o no fa d d e n d u mm o d i f i c a t i o nc o e f f i c i e n ta n db e n d i n g s t r e n g t h w i t ht h ea p p l i c a t i o no ff e m ( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，t h es t a t i ca n a l y s i s o f p r e c i s i o nm o d e lw a sm a d e ，a n dap r a c t i c a lc a l c u l a t i n gf o r m u l aw a sf o l l o w e dt o b er e g r e s s e df r o mt h em o d i f i c a t i o nc o e f f i c i e n ta n dt h eb e n d i n gs t r e n g t ha c c o r d i n g t ot h es i m i l a r i t yt h e o r y o nt h ec o n d i t i o no fk n o w i n gt h er o o ts t r e s sv a l u eo f x - z e r og e a r , t h eb e n d i n gs t r e n g t ho fx g e a r sw i t ht h es 咖et e e t hc a l lb ec a l c u l a t e d t h r o u g ht h ef o r m u l a o nc o n t r a s to ft h er e s u l to fp h o t o e l a s t i e i t yt e s t , t h ev a l u eo b m i n e df r o mf e m i n d i c a t e dt h a t ：t h eo u t c o m eo fp r e c i s i o nm o d e l ，w h i c hi sc l o s et ot h er e s u l to f p h o t o e l a s t i c i t yt e s t ，i sm o r ea c c u r a t et h a nt h eo u t c o m eo ft h em o d e lw i t ha r ci n s t e a d o ft r a n s i e n tc b r v e a l s ot h ev a l u ec a l c u l a t e df r o mt h ef o r m u l ai sc l o s et ot h er e s u l to f p h o t o e l a s t i c i t yt e s t ，a n dm o r ea c c u r a t et h a nt h er e s u l to f o t h e r t r a d i t i o n a lm e t h o d k e yw o r d s ：a d d e n d u mm o d i f i c a t i o n , p r e c i s i o np a r a m e t r i cm o d e l i n g , t r a n s i e n t c n r v e , b e n d i n gs t r e n g t h f e m 福建农林人学硕i j 学位论立 第一章引言 齿轮传动是现代各类机械中应用最广的基本传动形式，经过两百多年的实 践，渐开线齿轮由于在制造和安装上的优越性，获得了广泛的应用和发展。 随着工业生产的不断发展以及各种机器使用条件的多样化，只采用标准齿轮 己不能完全满足有些机器部件的特殊使用要求了。所以在这些场合下，还必须采 用些非标准齿轮来满足它的特殊使用要求，变位齿轮就是非标准齿轮中的一 种。 变位齿轮具有一系列优点它在满足各项设计要求的同时，能提高齿轮的强 度，改善传动质量。它在无需增加齿轮制造成本和工艺难度的情况下，能最大限 度地获得技术经济效益。近年来，由于大量引进国外机械产品，特别在相当一批 重要产品的齿轮传动中，采用变位齿轮的越来越多，甚至为了改善传动质量，有 些设计还采用了大变位系数。 随着计算机的发展，充分利用计算机的快速计算和图形显示功能，更新并完 善有关变位齿轮的设计资料和设计方法，将会大大地加速变位齿轮的应用和推 广。 应用数字化技术对变位齿轮进行三维建模与应力分析，可克服变位齿轮理论 与试验研究的困难，以低成本、短周期的投入达到对变位齿轮高效、精准分析的 目的。为后续变位齿轮的数字化制造、管理、维修等做好了基础工作。 1 1 国内外研究现状 1 1 1 渐开线变位齿轮参数化精确建模的研究现状 为了准确地了解实际工况下齿轮的应力场和位移场的分靠，并进一步对轮齿 的承载能力与疲劳强度做出比较科学的判断，有必要给出精确的实际齿形。以往 的研究者在进行有限元齿轮应力与变形分析计算时，主要注重引进新的分析单 元，提出新的算法，关于建模过程本身对分析结果的影响考虑得相对较少，对模 型都采取了简化处理的方法。如用圆弧近似地替代齿根过渡曲线 1 4 1 ：不考虑过 渡曲线1 5 j ；文献1 对渐丌线曲线、齿根过渡曲线生成原理进行了阐述，但都只考 虑标准齿轮，参数化设计功能也没很好地体现。此外，未见有文献对模型的几何 造型误差进行检验，模型的精确性值得商榷。 实际上齿根过渡曲线是一段延长外摆线或延长渐丌线l 0 1 ，把它近似为圆弧的 模型，对于应力场或位移场的c a e 分析以及齿轮的c a m 研究务必会产生一 定的误差。光弹试验i h , j 2 1 以及文献 1 3 , 1 4 l 的研究均表明：齿根过渡曲线对轮齿的应 渐开线变位齿轮参数化精确造型，撕报成山分析的螂f 究 力和变形的影响是比较显著的。 对于齿轮的精确建模，有些研究者也采取了不同于参数化建模的方法，如周 长江利用m a t l a b 编程求解出齿廓曲线上一系列点准确的位置坐标值，并把 它们按纯文本格式保存为数据文件，再由a p d l 语言编程调用该数据文件，从而 在a n s y s 图形窗口中生成齿廓曲线。在完成了比较复杂的轮齿部分几何建模后， 通过复制等操作顺利地完成其他轮齿的构建。但此方法针对的是a n s y s 建模， 模型不能用于其它c a e 软件的分析，也不能应用于动力学仿真、运动干涉检查、 数字化制造等其它领域。此外，该文没有进行精确模型和简化模型对齿根应力有 限元分析结果精确性的影响作出比较。齿根应力有限元分析精确建模的必要性值 得探讨i i o l “。 1 1 2 变位齿轮齿根应力分析的研究现状 目前齿根应力的各类计算标准，大多基于l e w i s 公式。l e w i s 公式建立于材 料力学等强度悬臂梁假设，不能有效地处理齿根截面突变；由于不计纵向纤维j 下 应力( 其适用条件：h l 1 5 ) ，应用梁的初等弯曲理论计算齿根应力，结果出入 较大，忽略了轮齿径向载荷的影晌l j 埘。 变位齿轮，由于齿根过渡曲线曲率半径的改变，应力集中系数也发生改变， 因此，变位对齿根强度的影响很大。但变位齿轮齿根强度传统的分析方法也是基 于等强度悬臂梁假设，对标准齿轮的齿形系数公式和应力集中系数公式作一些改 动或进一步的研究，由于各种计算方法所考虑的齿根应力的影响因素和对各因素 处理方式的不同，其繁简程度和计算结果都不相同i l9 】。在苏联，把应力集中系数 的影响估计得相当大，同本则没有考虑应力集中系数的影响1 2 ”。在美国， b o o k m i l l e r _ f 2 3 】将等齿根强度的变位系数及进行这种变位的齿形系数和应力集中 系数表示在图上。结果表明，随着变位系数的增加，齿形系数和应力集中系数也 增加，但应力集中系数的增加比例没有齿形系数大。在中因，程友联1 2 4 j 讨论了采 用几何系数代替齿形系数和应力修j 下系数的必要性：并在前人理论研究的基础 上，找出了变位齿轮的几何系数的实用计算公式薛卫东，郑银玲脚j 对变位内齿 轮齿根危险截面上的弯矩及其齿厚进行了分析和计算，给出了内齿轮变位系数及 齿数与其齿形系数的关系线图。并得出结论：( 1 ) 内齿轮的变位系数对其齿根危 险截面处的齿厚、弯曲力臂以及载荷作用角等轮齿弯曲参数都有较大影响，因而 对其齿形系数也就要产生较大的影响。( 2 ) 内齿轮的齿形系数随其变位系数的增 大而减小，随其齿数的增多而增大。 关于齿轮强度计算方法的研究一直都是齿轮制造行业的重要课题之一。随着 计算技术的迅速发展与广泛应用，以有限元法为代表的数值计算方法为齿轮强度 分析提供了一种方便、可靠的研究方法。出于有限元法同传统的计算方法相比， 福建农林人学坝i ：学位论丈 能处理复杂的载荷工况和边界条件，较全面地反映齿轮体的应力场、齿根应力集 中与轮齿变形等情况，所以已被广泛应用于齿轮强度分析领域 2 6 1 。 有限元法应用于标准齿轮齿根强度计算的报导已有许多。文献f 2 7 】应用平面 有限元单齿模型，按集中力、分布力和模拟接触的三种情况，考虑模数、接触率、 齿根圆角半径、压力角及齿数对轮齿应力的影响，并提出了新的齿根应力计算公 式。文献 2 8 】建立了二维有限元单三齿模型，讨论了轮齿形状对内# b 齿轮的齿 根应力的影响。文献 2 9 1 初步定性研究了轮齿圆角半径、轮缘厚度及支承方式对 齿根应力的影响。文献【3 0 ，3 】根据有限元分析结果，通过优化过渡曲线降低了齿 根部分的弯曲应力。文献 3 2 1 根据齿轮啮合原理，建立了轮齿的精确齿形。系统 探讨了加载位置、轮缘厚度、周向齿数的确定方法，分析了滚刀顶部圆角对齿根 应力的影响。文献 3 3 1 对轮齿弯曲应力进行了分析，总结了名义压力角和齿形工 艺角对齿根应力的影响规律，并得出跑合i j i 最大齿根应力发生在齿腰处的结论， 为双圆弧齿轮的设计及使用提供理论依据。文献 3 4 1 利用有限元方法研究了一对 直齿圆柱齿轮在啮合过程中随着啮合位置的变化，其齿根应力变化的情况。文献 f 3 5 利用有限元法计算了标准直齿圆柱齿轮轮齿应力，得出其分布规律以及危险 截面应力最大值。 但有限元法应用于变位齿轮齿根强度计算的报导却是很少见。文献【3 6 】研究 了变位对齿轮动态载荷的影响情况，但未报导静力分析的情况。文献【3 7 j 研究了 内齿轮变位系数及齿数对其齿根过渡曲线曲率半径的影响，并依据有限元计算结 果，归纳出了变位内齿轮齿根应力修f 系数的计算公式，但由于内齿轮与外齿轮 齿根过渡曲线不相同，应力修f 系数也不同，因此得到的公式不适用于外齿轮。 1 2 本课题的研究意义 产品在其生命周期内的数字化建模是现代产品设计方法的关键技术之一p 卅。 它由早期的几何建模( 线框建模，曲面建模，实体建模) ，逐步发展到现在的基于 特征的建模和参数化造型。本文探讨变位齿轮轮齿精确建模的方法，所建立的精 确参数化模型，对轮齿应力与变形的分布特点和变化规律的分析、计算机仿真、 数字化制造都具有重大意义。 齿轮设计的主要内容之一是强度分析，实验表明齿轮的工作寿命与最大弯曲 应力值的六次方成反比【3 9 1 ，即最大弯曲应力略微减小，齿轮的工作寿命就会大大 提高。随着齿轮传动重载、高速、低噪，高可靠性方向的发展，现代齿轮设计对 齿轮传动系统的静动念特性提出了更高的要求。齿轮应力和变形的精细分析是 轮齿承载能力的重要技术保障之一，同时也是轮齿修形优化、回转误差分析、齿 根裂纹扩张以及系统减振降噪等研究的基础。但由于一方面齿根形状和啮合状态 渐开线变位齿轮参数化精确造型o j 齿根麻力分析的研究 的复杂性【柏l ，另一方面齿根应力传统分析模型的简单化、理想化，使精细分析存 在很大的困难。随着计算机技术的发展和大型通用有限元软件的出现，建立在数 值模拟技术基础上的有限元分析同趋活跃起来。有限元法是确定最大齿根应力较 理想的方法之一。目前已有许多研究者对有限元法应用于标准齿轮齿根强度分 析进行了大量的研究，但在有限元建模时。关于模型的精确性对分析结果的影响 考虑得相对较少，对于模型都采取了简化的方法。因此，本课题从精确建模对齿 根强度有限元分析的影响方面进行研究，探讨齿根强度有限元分析精确建模的必 要性。 变位齿轮进行齿根强度分析时，沿用标准齿轮的计算公式，只是计算式中的 齿形系数及应力校正系数发生改变。因此，其精细分析也受到了限制1 4 “。本课题 利用有限元技术能更真实地模拟系统的复杂工况和复杂结构，以及强大的后处理 系统展现生动直观的数值结果的特点，探讨变位齿轮齿根应力精确性分析的方 法揭示变位量与齿根最大应力的内在关系，给设计工作带来方便。同时也提高 了变位齿轮齿根应力的计算精度。 本课题试图将数字化技术应用到变位齿轮设计、分析中，探讨提高机械零件 设计精准性的方法。 1 3 本课题研究的内容 本课题拟解决的主要内容包含两个部分，一是建立渐开线变位齿轮特征参数 化模型，实现齿轮的三维精确造型；二是基于所建立的精确模型的有限元应力分 析，确定变位量与齿根最大应力的内在关系。围绕这两个中心，本课题需要完成 的工作： 一 建立变位齿轮的三维模型，达到齿轮在变位情况下精确、参数化造型的 目标，从而实现通过改变刀具与齿轮的齿形参数自动生成三维模型。 二 确定本课题分析对象从三维c a d 模型到有限元分析模型转换的一个较 优方案。 三基于变位齿轮精确的三维模型，进行有限元齿根强度的静力分析，并且 讨论有限元齿根强度分析中齿形精确建模的必要性。 四基于有限元分析结果，对变位量与相应的齿根最大应力所组成的数据表 进行曲线回归，探求变位量与齿根最大应力的内在关系。 福建农林人学坝i 学位论文 第二章变位齿轮的参数化精确造型 2 1p r o e 软件简介 参数化设计是指在设计中，通过修改尺寸来实现对模型修改的设计方法。设 计人员除输入必要的设计参数外，对设计过程不需要任何干涉，系统自动对设计 参数的约束条件进行分解和计算并完成设计过程1 4 3 1 。 p r o e 软件的长处及独特的地方表现在两个方面 4 4 j ：一是它的参数化特征化 定义实体造型的功能，从而给工程师们提供设计上的简便和灵活性；另一方面是 其独特的数据结构提供在工程上的完全相关性，即在产品开发过程中任何一个地 方的更改都会得到其他相关地方的相应自动修改。p r o e 共有2 6 个模块提供给用 户选择，这些模块可让用户自行选择它的模块配置以适合其应用上的需要；p r o 甩 软件的另一特点是硬件独立性，它可以在包括d e c 、h p 、i b m 、s u n 和s g i 等 几十种不同的工作站上运行。 2 2 变位齿轮的参数化精确造型 2 2 1 渐开线曲线方程 yx,。=：rb c 。o ；n s ，t 一+ ，t ， r b 。s 。i n 。t ， 上式中以表示渐丌线上k 点的x 轴坐标， ( 2 1 ) 儿表示渐丌线上k 点的y 轴坐标， ，6 为基圆直径，t 为k 点的展角b 与压力角之和，为t 的弧度值。 2 2 2 齿根过渡曲线生成原理 齿条型刀具齿廓顶部有双圆弧和单圆弧两情况，刀具齿廓如图2 2 所示，所 加工出来的过渡曲线不同，其某些参数问具有以下关系： a = f m + c m r 口 对于第一种过渡曲线：6 = 等生+ 加f g 口+ c o s 口 一s m 口 7 - 渐开线变位齿轮参数化精确造型1 i 齿根戍力分析的研究 对于第二种过渡曲线： j 。 o 5 丁 r ：y r m - 4 f m t g a 9 4 c o s 口 删= ，口0 一s j n 口) 在以上刀具参数的关系式中：4 一一刀具圆角圆心c 。距中心线的距离； b _ 一刀顶圆角圆心巳距刀具齿槽中心线的距离； 一刀顶圆角半径： f - 齿高系数： c 径向自j 隙系数。 羧 形未 图2 - 2 齿条型齿轮刀具图2 - 3 过渡曲线生成原理 用齿条型刀具加工齿轮，是刀具的加工节线与齿轮的加工节圆( 分圆) 相切 纯滚。图2 - 3 所示，p 是节点，眦是刀具圆角与过渡曲线接触点的公法线，口是 肌与刀具加工节线白j 的央角。若选取d 以坐标系如图示，则可写出过渡曲线的 参数方程式： f 惮咖扯( 击+ 。j c o s c 口。枷，。：之， 1 五= ，伽。一( 击+ 。卜瑾删 方程式中，m 与口1 的关系式为： 中= 告( 口呕口+ 6 ) 其中，q2 口一删：x 为变位系数 在参数方程式中，a 角是变参数，口在a 9 0 。范围内变化。对应于不同的a s 新开线垒位齿轮参致化柚确造型一，齿根城力分析的研究 2 2 4 在p r o e 中生成渐开线、过渡曲线 p r 0 厄是特征参数化设计软件，设计人员只要在p r 0 忸环境中添加必要的 参数和关系，便可实现模型的参数化设计。关系( 也被称为参数关系) 是用户定 义符号尺寸和参数之间的数学表达式( 4 5 l 。关系捕捉特征之间、参数之自j 或装配元 件之间的设计联系，它是捕捉设计意图的一种方式。用户可用它驱动模型改 变关系也即改变了模型。渐丌线变位齿轮模型输入的参数包括齿轮齿形参数和刀 具几何参数，见图2 - 4 。 貅 3 ，o o o o o o 卑霸诠 援敦 其中带有“完全”的参数表示设计：4 0 ( x x x 】o o 龟席全 齿教 人员可更改的，一旦参数表中参数被更站 l oo 咖卑f # 硷齿厚 改p r o e 将自动生成新的模型，而“锁j i 3 。 9 镀霉齿骟 定”表示该参数由“关系”或“方程” 惯37 5 f a 3 0 0 9 镀毫 齿根高 确定。图中齿顶高、齿根高等数值是 【 j c1 嗍稚 齿顶高系数 p r o e 根据下列关系式计算得到： c ： o2 5 0 0 0 0 卑蛳全 齿根高系毅 h a = h a x + m n n 1 2 3i 4 0 鲈定 分度圉直径 h f = ( h a x + c x ) m n船 1 1 57 1 7 s 僻0 镑麓 基圈直径 d = m n z c o s ( b e t a ) + 2 + x x + m r戤1 2 91 4 4 0 c h 3 国镄是齿项目直径 对于变位齿轮，d 表示加工节圆直径。那1 1 58 4 嘲0 钱齿根髓径 d a = d + 2 + h a勰o5 2 4 0 0 0 6 i 滓全 变使系 段 d b = d + c o s ( a l p h a ) d f = d 2 * h f图2 - 4 变位齿轮模型输入的参数 根据前面推导的渐开线及过渡曲线笛卡尔坐标系参数方程，利用p r o e 由方 程生成曲线的功能生成渐丌线及过渡曲线。两段曲线所建立的坐标不一致，通过 矢量回转式( 2 3 ) 使其坐标一致。生成的齿廓曲线见图2 - 5 。 生成曲线的方程如下： 渐开线曲线： r = d b 2 t h e t a - - - t * 4 5 严t 是p r o 厄内部变量，从o 变到l x l - - r e o s ( t h e t a ) + r s i n ( t h e m ) + t h e t a + p i 1 8 0 y l = r + s i n ( t h e t a ) 一r c o s ( t h e m ) t h e m p i 18 0 z l = 0 t h t a = g a m a * g a m a 是渐开线回转到过渡曲线的角度 x = x l + e o s ( t h t a ) 一y i + s i n ( t h t a ) 一x 0 + x p 0 图2 - 5 齿廓曲线 锅址农林人学坝i 浮位论义 y = x 1 s i n ( t h t a ) + y l c o s c t h t a ) 一y o + y p o z - - o 过渡曲线： x o = r + s i n ( f i n e ) 一( a l s i n ( a r f a ) + r p ) + c o s ( a r f a - f i n e ) y o = r + c o s ( f i n e ) 一( a l s i n ( a r f a ) + 印) + s i n ( a r f a - f i n e ) t h t a = 9 0 x - - x o + c o s ( t h t a ) 一y o s i n ( t h t a ) y = x o + s i n ( t h t a ) + y o + c o s ( t h t a ) f = 0 2 2 5 变位齿轮参数化造型的原理 ，式中变量分别对应于方程中变量 产把曲线顺时针转过9 0 度 变位齿轮的参数化造型关键在于齿廓渐开线和过渡曲线的参数化建构及连 接，而变位齿轮的分度圆、基圆都与标准齿轮大小相等，所以它们的齿廓渐开线 是相同的一条曲线，但所使用的曲线段根据变位量的不同而位置不同。让p r o e 自动截取变位下所使用的那一段渐丌线比较困难，因此本文根据范成加工原理， 把基圆在p r o e “关系”和“方程”中由加工节圆确定，本文称为虚拟基圆，不 再由分度圆确定。此时变位齿轮的齿廓渐丌线曲线就是虚拟基圆所生成的渐丌线 从初始点到齿顶的那一段。过渡曲线在p r o e “方程”中则直接由加工节圆确 定实现了参数化建构。最后，两段曲线的连接是根据矢量回转原理对参数方程作 相应改变实现的。生成的变位齿轮模型见附录l 。 2 3 模型验证 验证实例：m = 3 ，口= 2 0 。，h 。+ = l ，c = 0 2 5 ，z = 4 0 ，x = o 5 2 4 的 渐开线直齿变位齿轮。 2 3 1 齿根圆、齿顶圆直径 根圆直径d ，= mr ( z - 2 h o - 2 c + 2 x p l l 5 6 4 4 顶圆直径d u = m ( z + 2 九+ 2 x 一2 a y ) = 1 2 9 1 4 4 式中4 y 为齿顶高变动系数，缈= o ，计算结果与p r o e 完全吻合，如图2 - 4 。 l i 渐开线变位尚轮参嚣化精确造型i 脂根扁力分析的研究 n 图2 - 9 延伸外摆线等距曲线的生成原理图 2 3 2 过渡曲线曲率半径 由延伸外摆线等距曲线的生成原理图2 - 9 所示，刀具加工节圆与齿轮加工节 圆为两瞬心线，刀顶圆角与过渡曲线为两共轭齿廓。连接刀具瞬心线与齿廓的曲 率中心，得连线o ，c 。，过节点p 作齿廓公法线a n 的垂线p d 。据欧拉一沙伐尔定 理【4 6 】，过渡曲线的曲率中心应位于连线o d 上，同时它又应位于齿廓公法线a n 上，所以o d 与n i l 的交点c 即为过渡曲线的曲率中心。根据此图进一步可求得 欧拉沙伐尔公式： ( ! 一上) s i n 口，：上+ 土( 2 - 4 ) 1 t c 口r mr p 由于用齿条形刀具加工齿轮时，刀具瞬心线的曲率半径等于无穷大，于是 式( 2 - 4 ) 简化为 毋n 小 由此得 ，= ! 翌! ! ! ： ? l c 口+ r s i n a 。 所以 p = i , ，+ r p - i = l 中+ r 。一百j ：；鼍 考虑到 铲品 i _ _ _ - - _ - _ i _ _ _ _ _ - - l - l _ l l _ l l _ _ _ - l _ _ _ i _ _ - _ 福建农林大学硕士学位论文 最后得延伸渐开线等距曲线上一点的曲率半径 p2蠹-l_l，+。一坐al+rsill2。s ( 2 5 ) p 2 如口，+ 0 一。一 k j 利用p r o e 曲线分析工具可以获得过渡曲线的曲率半径，如图2 1 0 所示， 图中获得最大和最小半径，及标出了曲线上l o 个点的半径，把l o 个点的半径值 导入e x c e l 中，利用m a t l a b 中p l o t 命令画出的曲线图如2 - 1 1 所示。与式( 2 5 ) 的曲率半径公式所得到的m a t l a b 图形如图2 1 2 吻合。此外，l o 个点测得的 半径与公式计算结果的误差见表2 1 。显然，变位齿轮齿根部分的参数化建模具 有较高的精度。 图2 1 0 过渡曲线曲率半径 j 、 x 图2 1 lp l 的偃测出的曲率半径图 图2 1 2 式( 2 - 5 ) 曲线图 渐开线变位齿轮参数化楷确造型j 齿根脚力分析的研究 表2 1p r o e 测出的曲率半径与公式计算结果比较 啮合角o 模型半径公式结果误差 2 3 3 分度圆齿厚 利用p r o e 的曲线长度测量工具测得分度圆处齿厚与公式计算结果比较见 2 - 2 ，变位齿轮分度圆齿厚公式为： j = 朋( 詈+ 2 + 工t a i l 口) 表2 - 2 齿厚的p r o e 测量与公式计算结果比较 模数变位系数 模型齿厚公式结果误差 - i i - _ _ _ l _ - _ _ - - - _ _ _ - _ _ l - _ _ _ - _ - _ _ l - _ 1 4 福建农林人学舰l ：学位论文 综上对渐丌线变位齿轮三维模型较全面的几何模型检验，误差均控制在较小 范围内，具有较高精确度。 2 。3 本章小结 本章根据范成加工原理首先对渐开线齿廓曲线及过渡曲线的笛卡尔坐标方 程进行推导。变位齿轮的参数化造型关键在于这两段曲线的连接及参数化建构， 为此，作者根据矢量回转原理改变了参数方程，实现了两段曲线的连接。又根据 范成加工原理，把基圆在p r o e “关系”和“方程”中由加工节圆确定，不再由 分度圆确定，也实现了两段曲线参数化建构，并最终建立了变位齿轮特征参数化 模型。该模型可任意改变齿形参数和刀具参数自动生成新的齿轮模型。此外，还 对模型的精确性作了较全面的检验，几何造型误差在工程允许范围内。 - _ l _ _ _ _ _ i _ l _ _ - _ i i - l - l _ i l _ _ _ l _ _ _ _ i - _ l _ l l _ i _ _ _ i i i l _ - 1 5 - 渐开线变位齿轮参数化榴确i 盘型i 撕根腑力分析的研究 第三章p r o e 与a n s y s 的连接及模型转换 3 1 当前流行的c a d i c a e 集成方式分析比较 c a e 工作起先都是要进行产品的几何模型抽象，从而建立起分析模型。然而 c a e 软件的建模功能不强，对于复杂的分析模型，通常要耗费很多人力。据统 计，c a e 工作7 0 8 0 时阃花在建模上【4 7 j 。而c a d 软件的特点萨好是建模方 便快捷，如何实现c a d 与c a e 之问模型数掘方便、完整地共享。即c a d 与 c a e 技术相集成，是当今c a d 、c a e 领域的一个研究热点。 目前c a d c a e 集成大体有以下四种方式： ( 1 ) 采用同一公司丌发的集成化软件； ( 2 ) 采用有限元模型的转换形式： ( 3 ) 利用标准格式的转换形式： ( 4 ) 利用软件之日j 接口程序的集成形式。 3 1 1 采用同一公司开发的集成化软件 此种集成化形式，提供统一的工程数据库，模型一致性好，数据完整，所以 在数据传输的时候不会出现丢失曲线、曲面或者出错的情况f 4 3 j 。它是真萨意义上 的集成，也是c a e 技术发展的趋势之一【4 9 l 。但目前这种集成化软件的c a e 功能 都相当薄弱，以p t c 公司的p r o e n g i n e e r 和p r o m e c h a n i c a 两软件为例。 p r o m e c h a n i c a 可以独立于p r o e n g i n e e r 运行。功能同其它c a e 软件一 样，也可以集成到p r o e n g i n e e r 环境界面下，直接利用p r o e n g i n e e r 模 型进行网格划分，而p r o m e c h a n i c a 分析中的所有设计参数的变化都直接反 映到p r o e n g i n e e r 模型中去。集成的模型界面如附录2 中图3 1 。 3 , 1 2 采用有限元模型的转换形式 采用有限元模型转换替代几何模型转换，具体措施是先利用c a d 软件的分 析模块对模型进行前处理，获得有限元模型再导入c a e 软件中去，进行分析。 有限元模型转换，它需要的只是网格数据。如节点信息，单元信息。这种结构化 和规范化的数据，无论是采用文件管理还是采用数据库管理都是非常方便的。它 相对于i g e s 规范、d x f 、s t e p 标准其数据显得简单和实用得多。 此种形式实际上传输的只是网格数据，所以关键在于有限元模型的构造。但 有限元模型的好坏又决定结果的精确度，因此此种形式分析结果的正确性就依赖 一于c a d 软件的有限元建模功能。出于c a d 软件的有限元建模功能相比专业c a e 。_ - - _ - - _ _ _ _ _ _ 二二_ 二_ _ _ - l _ 锅业农林人学顾i 学位论文 软件较薄弱，难以得到理想的网格划分i 删。以p r 0 ，e n g i n e e r 为例，利用 m e c h a n i c a 模块进行分网，其网格质量明显劣于a n s y s 分网后的模型，两种 网格划分方式的有限元计算结果更是相差巨大。图见附录2 。此外， p r o m e c h a n i c a 中添加约束和载荷都是在c a d 模型之上，不是在节点之上， 而根据有限元原理，c a e 软件在进行结果计算时都是把约束和载荷移至节点上。 因此，也造成了结果误差加大。 3 2 3 利用标准格式的转换形式 以标准格式如i g e s 、s t e p 标准为媒介，实现不同系统之间的数据交换。 这种方法适应性强，可以实现不同设计、分析软件系统之间的数据传递。每个子 系统只与标准格式文件打交道，无需知道别的系统细节，为系统的丌发者和使用 者提供了较大的方便，并可以减少集成系统内的接1 3 数和降低接口维护程度。但 这种方法所遇到的主要的问题如下：c a e 系统对c a d 系统的一些处理方法无法 识别，如面一面重叠等。且无法对造型软件中的一些特征进行网格划分，如细 长面等。此外，两种系统定义图元的方式不完全一致，从而产生一些特殊图形格 式，并在c a e 系统中产生异议。 因此，用户需要在c a e 系统中进行模型修补。但由于c a e 系统的建模能 力较差，所以在进行修补的过程中，不能精确复原模型，对不识别的特征，往往 只能采用简化的方式。这些都造成模型不一致，精度较低。且修补时间长，工作 效率低下。 3 2 4 利用软件之间接口程序的集成形式 图3 - 6c a d 、c a e 软件两两接1 3 形式 在这种方式中，各应用系统所建立的产品模型各不相同，相互间的数据交换 需要两个系统之自j 存在接口程序。其特点是原理简单，运行效率较高。但当子系 统较多时，接口程序增多，见图3 - 6 。而且编写接口时需要了解的数据结构也较 多，接口的建立不容易。当一个系统的数据结构发生变化时，引起的修改量也较 i _ _ l _ - - l i l _ i _ l _ _ _ _ _ l l _ _ - _ 一 大。且对彼此对接的c a d 、c a e 软件的版本有严格要求。 在工程实际应用中，p r o e 与a n s y s 接口的设置详见文献【孔- 5 3 1 。模型转换 后没有丢失任何曲线或曲面，无须对图形进行修补，转换过程简单快捷，极大地 提高了工作效率。转换前p r o e 模型见图3 - 7 ，经导入a n s y s 后模型为图3 8 。 而标准格式转化后的模型图3 - 9 ，不仅丢失曲面、曲线，模型还出现了某些零件 丢失。 图3 7 转换前p r o e 模型 图3 8 导入a n s y s 后模型图3 - 9 标准格式转化后的模型 此外，模型转换过程应注意的几个问题： 模型数据在传递的时候，不能把p m 但软件关掉。 p r o e 草绘中, c , , l t p 为a n s y s 总体坐标中心，草绘平面即为a n s y s 的x y 平 面，z 轴根据右手定则确定。 导入到a n s y s 的模型与p r o e 模型单位一致。 此种方式只能转换实体模型，对于曲面模型无效。而标准格式对于复杂的模 型、装配体，会出现丢失曲面、曲线，但在传输简单实体和简单曲面的时候， 效果较佳。 福建农林人学颀l ：学位论文 3 2 本章小结 本章综述了c a d 、c a e 集成的四种形式，研究了p r o e 和a n s y s 的接口 问题并且以这两软件为例说明了四种形式的优缺点： 第种形式：模型一致性好，数据完整，但c a e 功能差，工程实践应用不多。 第二种形式：数据传输的是有限元模型，成功率高，但建立有限元模型依赖于 c a d 软件，效果较差。 第三种形式：只能转换简单的实体或曲面模型，容易出现丢线、丢面，成功率较 低。 第四种形式：运行效率较高、可靠，但只能转换实体模型，且转换接口程序不容 易建立。 在此基础上总结了c a d 、c a e 模型转换的一般思路：首先，考虑的是所应 用的c a d 、c a e 软件之间是否可建立接口；其次，对于简单的模型采用标准格 式转换，当标准格式转换不成功时。考虑用有限元模型转换。至于集成化软件， 鉴于目前其c a e 功能都相当薄弱所以实际应用价值不高，因为其建立的有限元 模型可以利用专门的有限元软件如a n s y s 进行求解，所以建议不采用在集成化 软件中进行c a e 分析的方法。 针对本课题的研究对象及应用软件的特点，结合四种集成形式的优缺点和模 型转换的一般思路，采用第四种模型转换形式为本课题c a d 、c a e 模型转换的 较优方案。模型转换不会发生丢失曲线、曲面的情况，且成功率高，操作简单方 便。 19 第四章渐开线齿轮有限元静力分析 4 1 有限单元法基本原理 有限元法的基本思想l 矧是将连续的求解区域离散为一组有限且按一定方式 相互联系在一起的组合体也就是以离散化模型取代实际结构的思想。把连续体 离散化的过程就是网格划分。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本 身又可以有不同的形状，因此有限元法可以模型化几何形状非常复杂的求解域。 具体做法是： 一创建有限元模型 将结构离散成在节点处连结的各个单元的组合体：编排 单元号码与节点号码；将非节点荷载( 如自重) 移置到节点上； 二求出节点位移表示的单元节点力 局部坐标系下：f 。= k 。矿 p 一单元节点力列阵；k 。一单元刚度矩阵；矿一单元节点位移列阵 关键是求出单元剐度矩阵：以最简单的打单元为例 足= 孚 oo 一孚 oo o 等等。一半等 。 等竽。一半孚 f 2， ，2， 一孚o o 7 e a oo o 一等一等。等一等 0掣掣0 一掣丝 l zl|2i 转换为整体坐标系中的单元剐度矩阵：j r = ? i 矿 ? a 彳 吖为单元坐标变换矩阵( 整体坐标专局部坐标) 肘= c o s 口s i n 口 一朝n 口o o s 口 00 0 o o ， 口 口 m o o s a 口 旧 菪- 硼o d d i 福建农林人学坝l + 学位论文 一一 一 ，芦= j r 扩 扩一整体坐标系中的单元节点位移列阵。 三建立节点平衡方程式 根据节点位移引起的单元节点力之和等于节点荷载 的原理建立起全部节点的平衡方程式，得到求解节点位移的线性方程组，就可 以求得节点位移。 四求单元的内力或应力 4 2 有限单元法的误差分析 结构有限元分析得到的是一种近似数值解，它与精确解或真实解之自j 必然存 在误差。分析理解误差产生的原因及其影响，对于深入理解、自如运用有限单元 法有很大的帮助。有限元误差一般分为两类：计算误差和离散误差【5 5 1 。 1 计算误差计算误差是指计算机在数值运算时产生的误差。 2 离散误差 离散误差是由于连续体被离散化模型所代替并进行近似计算 所带来的。引起离散误差的主要原因是，在一般情况下仅用有限个自由度的离散 模型所假设的单元位移函数不可能精确表达连续体真实的位移场。此外，单元网 格不可能精确地和结构的几何形状拟合，载荷的处理和边界条件的假设也不可能 和实际情况完全符合等，这些都直接影响有限元法的离散误差。 在有限元分析中这两种误差总是存在的。有限元误差主要由离散误差引起。