（基础数学专业论文）特殊子群与群的结构研究.pdf

s p e c i a ls u b g r o u p sa n dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s b y w a n gx i a n g f e n b s ( h e z eu n i v e r s i t y ) 2 0 0 s at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s c h a n g s h au n i v e r s i t yo fs c i e n c e t e c h n o l o g y s u p e r v i s o r p r o f e s s o ry o ux i n g z h o n g 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担 作者签名：三詹务 日期：加f f 年r 月“日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被 查阅和借阅本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书2 、不保密囱 ( 请在以上相应方框内打“ ”) 作者签名：珞 导师签名：疡叶 日期：冽年f 月“日 日期：纠，年岁月“日 摘要 极大子群是有限群的一类非常重要的子群，在有群论的结构研究中有重要的作用， 许多群论学者都做过这方面的研究，得到了若干关于有限群结构的经典结果，如：著名 的h u p p e r t 定理，有限群g 为超可解群当且仅当g 的任意极大子群的指数为素数； 有限群为幂零群当且仅当它的每个极大子群都正规很多学者利用极大子群的正规性 质和数量性质研究有限群的结构，获得了丰富的研究成果 1 9 5 9 年，d e s k i n s 提出了极大子群的完各和正规指数的概念，为利用极大子群研究 有限群提供了一种新的方法，1 9 9 0 年，d e s k i n s ，m u k h e r j e e 和b l m t t c h a r y a 同时开辟 了以完备和良偶的商群的群论性质为主的研究领域1 9 9 8 年，赵耀庆提出了乒完备 的概念，揭示了完备和乒子群偶之间的内在联系对于极大子群的完备和乒偶，李世 荣、赵耀庆和郭秀云等人作了大量的研究，给出了有限群可解、超可解、幂零性等性质 的一些充分( 充要) 条件 p h a l l ，h u p p e r t ，g u r a l n i c k ，郭秀云和黎先华研究了极大子群的指数对有限群结 构的影响；s a d a n ，徐明耀及a v b e l o g o v 研究了极大子群的共轭类类数对有限群 结构的影响；施武杰、李世荣和黎先华研究了极大子群的同阶类类数对有限群结构的 影响；王立中研究了极大子群个数小于5 的有限群的结构 本文继续王立中的工作，研究极大子群的个数对有限群结构的影响本文共分三 章，主要内容如下： 第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景，研究内容及思路 第二章主要给出本文需要的预备知识，包括基本概念，若干引理及证明 第三章主要研究极大子群的个数为5 ，6 ，7 ，8 的有限群的结构：设g 是有限可解 群，是g 的正规子群，并给出了这类群的结构的刻画 关键词：有限群；可解群；极大子群；f r a t t i n i 子群；共轭 a b s t r a c t m a x i m a ls u b g r o u pi sac l a s so fv e r yi m p o r t a n ts u b g r o u p ，w h i c hp l a y e da ni m p o r - t a n tp a r ti nt h es t u d yo ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s m a n ys c h o l a r ss t u d i e da n d o b t a i n e ds o m en e wr e s u l t so ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s f o re x a m p l e ，af i n i t eg r o u p gi ss u p e r s o l v a b l ei fa n do n l yi ft h ei n d e xo fe a c hm a x i m a ls u b g r o u po fgi sap r i m e ， w h i c hw a sg i v e ni nt h ef a m o u sh u p p e rt h e o r e m af i n i t eg r o u pgi sn i l p o t e n ti fa n d o n l yi fe a c hm a x i m a ls u b g r o u po fg i sn o r m a ls u b g r o u p al o to fs c h o l a r ss t u d yt h e s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gt h eq u a n t i t a t i v ep r o p e r t i e sa n dn o r m a l p r o p e r t i e so fm a x i m a ls u b g r o u p s ，t h er i c hr e s e a r c hr e s u l t sa r eo b t a i n e d t h ec o n c e p t i o no fc o m p l e t i o na n dn o r m a li n d e xw e r ei n t r o d u c e db yd e s k i n si n 1 9 5 9 ，w h i c hp r o v i d e da n e ws t u d ym e t h o do ft h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sb yu s i n g m a x i m a ls u b g r o u p i n1 9 9 0 ，d e s k i n s ，m u k h e r j e ea n db h a t t c h a r y as i m u l t a n e o u s l yi 吐 t i a t e dr e s e a r c ha r e ao ft h ep r o p e r t i e so fq u o t i e n tg r o u pb yc o n s i d e r i n gc o m p l e t i o na n d t h e t a - p a i r s i n1 9 9 8 ，z h a oy q p r o p o s e dt h ec o n c e p to ft h e t a - p a i r sa n dp r o m u l g a t e d i n n e rl i n kb e t w e e nc o m p l e t i o na n dt h e t a - p a i r s l is r ，z h a oy q ，g u ox y e t c d i dal o to fr e s e a r c hb yu s i gt h ec o m p l e t i o na n dt h e t ap a i r so ft h em a x i m a ls u b g r o u p ， w h i c ho b t a i n e ds o m ec o n d i t i o no fe i t h e rs u f f i c i e n to r ( n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t ) o ft h e p r o p e r t i e sf o ra f i n i t eg r o u pt ob es o l v a b l e ，s u p e r s o l v a b l en i l p o t e n te t c p h a u ，h u p p e r t ，g u r a l n i c k ，g u ox y a n dl ix h s t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t e g r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gi n d e xp r o p e r t i e so fm a x i m a ls u b g r o u p s s a d a n ，x um y a n da v b e l o g o vs t u d i e dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gt h e n u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e so fm a x i m a ls u b g r o u p s ；s h iw j ，l is r a n dl ix h s t u d i e dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g hc o n s i d e r i n gt h en u m b e ro ft h es a m e o r d e rc l a s s e so fm a x i m a ls u b g r o u p s ；w a n gl z s t u d i e dt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s t h r o u g hc o n s i d e r i n gt h en u m b e ri ss m a l l e rt h a nf i v eo fm a x i m a ls u b g r o u p s 腑c o n t i n u et ow o r ko fw a n gl z ，a n ds t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p st h r o u g h c o n s i d e r i n gt h en u m b e ro fm a x i m a ls u b g r o u pi nt h i sp a p e r i tc o n s i s t sf o rt h r e ec h a p - t e r s i nc h a p t e ro n e ，w em a i n l yp r o v i d e sa ni n t r o d u c t i o na b o u tt h el i t e r a t u r eb a c k - g r o u n d ，t h er e s e a r c hc o n t e n ta n dt h em e n t a l i t y i nc h a p t e rt w o ，w em a i 山g i v et h ep r e p a r a t i o nk n o w l e d g ew h i c ha r eu s e di nt h e i i t h e s i s ，i n c l u d i n gb a s i cc o n c e p t s ，s o m el e m m a sa n dp r o o f s i nc h a p t e rt h r e e ，w em a j i l l ys t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p sc o n t a i n i n gj u s tf i v e ， s i x ，s e v e n ，e i g h tm a x i m a ls u b g r o u p s ，w ed e s c r i b et h i sk i n ds t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s k e yw o r d s ：f i n i t eg r o u p ；s o l v a b l eg r o u p ；m a x i m a ls u b g r o u p ；f r a t t i n is u b - g r o u p ；c o n j u g a t e 目录 摘要i a b s t r a c t i i 符号表 第一章绪论 1 1 课题背景与发展概况1 1 2 本文的主要内容2 第二章预备知识 2 1 基本概念：3 2 2 若干引理3 第三章主要结果 3 1 恰有5 个极大子群的有限群j 1 1 3 2 恰有6 个极大子群的有限群1 3 3 3 恰有7 个极大子群的有限群1 7 3 4 恰有8 个极大子群的有限群2 2 参考文献2 7 致谢3 1 附录( 攻读学位n f q 所发表的学术论文目录) 3 3 n g s y l p ( g ) 司g g n l g ：h i n h 【n k h 兰k a u t ( g ) 磊，风 岛，厶 g ( ) c g ( a ) h a 圣( g ) f ( g ) z ( c ) i g i 7 r ( g ) s ( a ) q m ( g ) f ( g ) sg 符号表 是群g 的子群 群g 的s y l o w n 一子群全体 是群g 的正规子群 g 关于的商群 子群日在群g 中的指数 群与群日的直积 群与群k 的半直积 群日与群k 同构 g 的自同构群 亿阶循环群，钆阶二面体群 几次对称群，n 次交错群 子群在群g 中的正规化子 子群a 在群g 中的中心化子 子群日在群g 中的核 群g 的所有极大子群的交称f r a t t i n i 子群 群g 的所有幂零正规子群的乘积称f i t t i n g 子群 群g 的中心 群g 的阶 群g 的阶的所有素数因子的集合 群g 的最大可解正规子群 群g 的所有极大子群的集合 群g 的所有极大子群的个数 群g 在q 下的极大子群的所有轨道的个数 与群g 的子群同构 i v 第一章绪论 全文共分三章，第一章主要介绍和本文工作相关的文献背景，研究内容；第二章主 要给出预备知识，包括基本概念，若干引理及证明；第三章主要研究恰有5 ，6 ，7 和8 个 极大子群的有限可解群的结构 1 1 课题背景与发展概况 极大子群是有限群的一类非常重要的子群，在有群论的结构研究巾有重要的作用， 许多群论学者都做过这方面的研究，得到了若干关于有限群结构的经典结果，如：著名 的h u p p e r t 定理，有限群g 为超可解群当且仅当g 的任意极大子群的指数为素数； 有限群为幂零群当且仅当它的每个极大子群都正规：有限群为可解群当且仅当它的每 个极大子群都c 正规( 见f 3 0 】) 很多学者利用极大子群的正规性质和数量性质研究有 限群的结构，获得了丰富的研究成果 设m 是有限群g 的极大子群，称g 的子群c 为m 在g 巾的一个完备，如果 g 垡m ，而c 的每个g 不变真子群都在m 中用k ( c ) 表示g 的所有g 不变 真子群之积，则k ( c ) c 且k ( c ) qg m 在g 中的所有完备做成一个集合，记为 j ( m ) ，叫做m 在g 巾的指数复合i ( m ) 按集合包含关系做成一个偏序集，其极大元 称为m 的极大完备；令k 是g 的一个主因子，满足g = m 并且有尽可能 小的阶称k 的阶为m 在g 中的正规指数，记为叩( g ：m ) 设m 是有限群g 的极大子群，称子群偶( gd ) 为m 的良偶，若( c ，d ) 满足： ( 1 ) d c ，c 司g ；( 2 ) g = ( gm ) ，d m ；( 3 ) c d 不真包含g d 的正规子群 设m 是有限群g 的极大子群，称g 的子群c 为一个关于m 的乒完备，若c 满足：( 1 ) cgm ；( 2 ) m g q ( 3 ) c m c 不真包含g m o 的异于1 的正规子群 极大子群的完备和正规指数的概念由d e s k i n s 于1 9 5 9 年在【4 】和【5 】中提出，为利 用极大子群研究有限群提供了一种新的方法，良偶的概念由m u k h e r j e e 和b h a t t c h a r y a 于1 9 9 0 年在f 2 3 】巾提出，d e s k i n s ，m u k h e r j e e 和b h a t t c h a r y a 同时开辟了以完备和 良偶的商群的群论性质为主的研究领域( 见【5 】和【2 3 】) 为了进一步研究极大子群的 完备和乒子群偶之间的关系，赵耀庆于1 9 9 8 年在【3 8 】中提出了乒完备的概念，揭示 了完备和乒子群偶之问的内在联系对于极大子群的完备和良偶，李世荣、赵耀庆和 郭秀云等人作了大量的研究，给出了有限群可解、超可解、幂零性等性质的一些充分 ( 充要) 条件( 见【9 】，【6 】，【1 2 ，【2 1 】，【3 5 h 4 5 】) 还有许多群论学家利用指数复合和正规指 数对有限群的可解性进行了一系列的刻画，得到了若干深刻的结果( 见【7 】，【1 4 】，【3 4 】， 【3 8 】) 研究有限群的极大子群的指数，共轭类类数，同阶类类数及个数等算术性质对有 限群结构的影响，也是长期以来令人感兴趣的课题 设g 是有限群，q 为g 的所有极大子群的集合若m q ，称i g ：m i 为m 在 g 中的指数；对任意的g g 及m q ，则m _ m 9 是g 在q 上的一个作用，称 m g l g g ) 为g 在q 下的一个含m 的一个轨道，也称为含m 的一个共轭类其轨 道长为i g ：n c ( m ) i q 在g 作用下的所有轨道的个数( 简称轨道数) 称为g 的极大 子群的共轭类个数 p h a l l 证明了：若有限群g 的任意极大子群的指数为素数或素数的平方，则g 可解；h u p p e r t 证明了：有限群g 为超可解群当且仅当g 的任意极大子群的指数为 素数( 见【2 2 1 ) g u r a l n i c k 应用单群分类定理证明了：若有限群g 的每一极大子群 的指数为素数幂，则g s ( g ) 竺1 或p s l ( 2 ，7 ) ，其中s ( g ) 为g 的最大可解正规 子群( 见【1 0 d ，郭秀云在【8 j 中推广了g u r a l n i c k 的结果，证明了将堡二堑丕登改 为每一非幂零极大子群时结论仍然成立黎先华分别在文献( 【1 5 】， 1 7 1 一【2 0 】) 中利用极 大子群的指数集合对有限单群进行了一系列的刻画 s a d a n 在【1 】和【2 】中证明了：极大子群的共轭类类数2 的有限群为可解群 这是第一篇从极大子群的共轭类类数的角度研究有限群的论文，它的发表引起了一些 学者的兴趣徐明耀在f 3 2 1 中给出了上述结果的一个简短的初等证明a v b e l o g o v 在【3 】中利用单群分类定理证明了：非正规极大子群的共轭类类数2 的有限群为可 解群在【2 6 】中，施武杰将极大子群的共轭类放宽到极大子群的同阶类，刻画了恰有2 个极大子群的同阶类的有限非可解群的结构，从另一方面推广了s a d a n 的结果李 世荣在【1 1 】中统一并推广了他们的结果，刻画了恰有2 个非正规极大子群的同阶类的 有限非可解群的结构黎先华在【1 5 】中推广了李世荣的工作，并在【1 6 】中刻画了极大 子群同阶类类数= 3 的有限群的结构文献】从极大子群共轭类型的角度给出了交 错群和对称群的一个新的刻画王立中在 2 7 1 中研究了极大子群个数小于5 的有限群 的结构 1 2 本文的主要内容 本文继续王立中的工作，研究极大子群的个数对有限群结构的影响，刻画了极大 子群个数为5 ，6 ，7 和8 的有限群的结构( 见定理3 1 1 ，定理3 1 2 ，定理3 2 1 ，定理 3 2 2 ，定理3 3 1 ，定理3 3 2 ，定理3 4 1 及定理3 4 2 ) 2 2 1 基本概念 第二章预备知识 设g 是有限群，q 为g 的所有极大子群的集合对任意的9 g 及m q ，则 m _ m g 是g 在q 上的一个作用称 m g l g g 为g 在q 下的一个含m 的 一个轨道，也称为含m 的一个共轭类其轨道长为i g ：n g ( m ) | - 令m ( g ) 表示g 的所有极大子群的个数，( g ) 表示g 在q 下的极大子群的所有轨道的个数( 简称轨 道数或共轭类数) 对自然数礼，霄m ) 表示n 的所有素数因子的集合对有限群g ，记 - c g ) = - ( i g i ) 定义2 1 1 ( 参见文献【3 1 ) 称群g 的子群m 为g 的极大子群，如果m g 且 m k g ，可推出m = k 或k = g 定义2 1 2 ( 参见文献【3 1 】) 称群g 的子群m 为正规极大子群，如果m 既是g 的 极大子群又是g 的正规子群 定义2 1 3 ( 参见文献【3 1 】) 设g 是有限群，若g l ，令v ( g ) 为g 的所有极大子 群的交；若g = 1 ，令v ( g ) = 1 称圣( g ) 为g 的f r a t t i n i 子群 定义2 1 4 ( 参见文献【3 1 】) 设g 是有限群，g 的所有幂零正规子群的乘积f ( g ) 仍为g 之幂零群正规子群叫做f i t t i n g 子群 西( g ) 和f ( g ) 都是g 的特征子群f r a t t i n i 子群和f i t t i n g 子群是有限群的非常 重要的子群，有很好的群论性质，在有限群的研究中起着重要的作用 本文中其它未加说明的术语和记号都是标准的( 可参见文献【3 1 】) ；所涉及的群都 是有限群 本文中我们将用到下面的若干引理 2 2 若干引理 引理2 2 1 设g 是有限群且q g ，西( g ) 为g 的f r a t t i n i 子群，召= g n q 为 g 的所有极大子群的集合豆为召的所有极大子群的集合则 ( 1 ) m 是g 的极大子群当且仅当m 圣( g ) 为g i 西( g ) 的极大子群； 3 ( 2 ) 舰和是g 的不同的极大子群当且仅当m i 西( g ) 和m 4 西( g ) 为c 西( g ) 的不同的极大子群特别地，g 与g 圣( g ) 的极大子群的个数相等； ( 3 ) 豆= m nj m q 且n m ) 特别地，g 与召的极大子群的个数相等当且 仅当n 圣( g ) ； ( 4 ) 若m g 且砑= m n ，则砑是召的正规极大子群当且仅当m 是g 的 正规极大子群 证明：f f l 极大子群和f r a t t i n i 子群的定义可得( 1 ) ，( 2 ) 成立 若l n 为g n 的极大子群，则l 显然为g 的极大子群，冈此l q 若m q 且n 基m ，则g = m 因此当m q 且n m 时m = m ，于是m n 为 g n 的极大子群，得到( 3 ) 成立由同态基本定理可得( 4 ) 成立 引理2 2 2 设g 是有限群，西( g ) 为g 的f r a t t i n i 子群则西( g 圣( g ) ) = 西( g ) 垂( g ) 证明：令q 为g 的所有极大子群的集合因为m 为g 的极大子群当且仅当 m 西c g ) 为g 圣( g ) 的极大子群，所以圣( g 垂( g ) ) = n m 印m 西c g ) = ( n j l f nm ) 西( g ) = 圣( g ) 圣( g ) 引理2 2 3 设g 是有限群，m 是g 的极大子群则或者m 司g 或者g ( m ) = m 且l g ：m l 3 证明：若m 是g 的非正规的极大子群，则m ( m ) 1 由n g ( p ) 5m 得p 也是m 的s y l o wp - 子群且( p ) = m 1 3n c ( p ) = n g ( p ) 于是由s y l o w 定理，l g ：n g ( p ) l 兰l ( 仇d d 力且i m ：n g ( p ) l 三1 ( m o dp ) 因为 4 l g ：n d e ) i = f g ：m i i m ：n c c p ) i ，所以i g ：m i 三l ( m o dp ) ，从而i g ：m i = 切+ 1 对某个正整数七 引理2 2 6 设g 为有限群，p 勋知( g ) ，其中p 7 r ( g ) 若对g 的任意非正规极 大子群m 都有p l i g ：m i ，则p 司g 证明：因为p l i g ：m l 对g 的任意非正规极大子群m ，所以p 不是m 的极大子 群，从而g c p ) 名m 假定l 是g 的正规极大子群，由引理2 2 4 知：n c ( p ) 菇l 凶此n g ( p ) 不包含于g 的任一极大子群于是必有g ( 尸) = g ，即p 司g 引理2 2 7 ( 参见文献【3 1 】) 设g 是有限群h g 且i g ：h i = 7 , ，则g h o 同构 于晶的一个子群 引理2 2 8 设g 是有限群，若g 的每个极大子群在g 中不正规，则i g ：m i 5 对g 的任意极大子群m 证明：由引理2 2 3 知：i g ：m i 3 由引理2 2 7 知：若l g ：m i = 3 ，g m g 同 构于岛的一个子群；若i g ：m i = 4 ，g i m g 同构于& 的一个子群因为岛，& 为可 解群，所以当l g ：m 5 时g m g 为可解群于是g m o ，亦即g 有正规极大子群， 矛盾故l g ：m i 5 引理2 2 9 ( 参见文献【2 2 】) 设g 是有限群，为g 的正规交换子群，若n n 西c c ) = 1 ，则在g 中有补，即存在a g 使得g = a n 且an n = 1 引理2 2 1 0 设g 是有限群，为g 的交换的极小正规子群若西( g ) = 1 ，则 在g 中有补，即g = m 且mnn = 1 对某个m g 进一步，若n 差z c g ) ，得 m 是g 的非正规的极大子群 证明：由引理2 2 9 知：n 在g 中有补是显然的假定n 葚z ( g ) 且m 是在 g 中的补首先，若m 在g 中正规，则g = n m ，从而n z ( g ) ，矛盾，所以m 在g 中不正规；其次，若m 不是g 的极大子群，令k 是g 的包含m 的极大子群， 则k = gnk = n mnk = ( nnk ) m ，凶此1 2 时，g 的 极大子群的个数4 证明：由引理2 2 1 知：g 的极大子群的个数等于g i 西c g ) 的极大子群的个数因 为g i 西( g ) 为阶初等交换群，所以g # ( g ) 的极大子群的阶为矿由引理2 2 1 3 知道g i 圣c g ) 的矿1 阶子群的个数为鲁，若g 非循环，由引理2 2 1 2 得d 2 ，因 此引理2 2 1 4 成立 引理2 2 1 5 设g 是幂零群且g = p 1 恳只为其s y l o w 子群的直积令 1 只垂( 只) i = 毋则g 恰有釜。等寻个极大子群 证明：我们断言，m 是g 的极大子群当且仅当对某个i ，m = b 只一l 舰冠+ 1 只，其中必是只的极大子群 首先，若必是只的极大子群，则1 只尬l = a ，于是l g m i = p ，即m 是g 的 极大子群；其次，若m 是g 的极大子群，则i a i m i = a 对某个i 于是当歹i 时， b m 因为m 是幂零群，所以m = 只只一1 必最+ 1 只，其中 尬是只的子群，因此1 只眦l = 轨，于是尬是只的极大子群 假定m = r 只一1 坛只+ 1 只及n = b 弓一1 飓 b + 1 只是g 的极大子群则由上面的断言m = n 当且仅当i = j 且坛= ， 因此g 的极大子群的个数等于它的所有s y l o w 子群的极大子群的个数之和因为只 是g 的唯一的s y l o wp 一子群，由引理2 2 1 4 知：只恰有譬寻个极大子群，于是引理 2 2 1 5 成立 引理2 2 1 6 ( 参见文献【3 l 】，第五章，定理3 3 ，3 4 ，3 7 ) 设g 是有限群，西( g ) 是g 的n a t t i n i 子群，司g ，日g 则 ( 1 ) 西( g ) 恰r t lg 的所有非生成元组成； ( 2 ) 若n 西( 日) ，则n 圣( g ) 特别地，西( ) 西( g ) ； ( 3 ) 圣( g ) 为幂零群； ( 4 ) a # ( a ) 为幂零群，则g 为幂零群； ( 5 ) 若p l i 唾 c g ) i ，贝0p l l a l 西c a ) 1 特别地，7 r ( g ) = 7 r ( g 西( g ) ) ； 6 引理2 2 1 7 设g 是有限可解群，则g 必有一正规极大子群 证明：因为g 是有限可解群，对每个素数p 而言，g 都是尹可解群，设m 为g 的极大子群，冈为m g ，m 不是s 可j p 子群所以m n a ( m ) ，又由m 的极大性得 g a ( m ) = g ，即m 塑g 引理2 2 1 8 ( 参见文献【3 1 】，第四章，定理2 7 ) 设g 是有限群，则下述事项等价： ( 1 ) g 是幂零群； ( 2 ) 若h g ，则h d 咕( 日) ； ( 3 ) g 的每个极大子群m 笪g ( 这时i g ：m i 为素数) ； ( 4 ) g 的每个s y l o w 子群都是正规的，因而是它的诸s y l o w 子群的直积； 引理2 2 1 9 ( 参见文献【2 7 】) 设g 是有限群，则 ( 1 ) 若g 的所有极大子群共轭，则g 为素数幂阶循环群特别地，g 有唯一极大 子群，o ( 2 ) g 恰有2 个极大子群当且仅当g 为两个不同的素数幂阶循环群的直积； ( 3 ) g 恰有3 个极大予群当且仅当g 为2 元生成的禾群或者为3 个阶为不同 素数幂的循环群的直积： ( 4 ) g 恰有4 个极大子群当且仅当g 为下列情形之一的群： ( i ) g 为2 元生成的3 - 群； ( i i ) g 为4 个阶为不同素数幂的循环群的直积； ( i i i ) g = 缸，y ) ，z 矿= 矿”= 1 ，旷= 矿，k 2 三1 ( r o o d3 m ) ，k = 3 s + 2 ，s ，n ，m ，k 为 正整数： ( i v ) g = p q ，其巾p 为2 元生成的筘群，q 为奇素数幂阶循环群； 引理2 2 2 0 令p s y z 2 ( a ) ，q s y f 3 ( a ) ，则也恰有5 个极大子群，a = p q ， 其中j p 为正规极大子群，q 为非正规极大子群 证明：由参考文献【4 6 】知：a 恰有5 个极大子群，又凶为7 r ( 山) = 2 ，3 ，所以a 为_ 【2 ，3 ) 一群，因为p s 掣z 2 ( 山) ，q s 可f 3 ( 也) ，( z 2 易) 磊垡a ，所以p = z 2 z 2 ， 一q = z a ，分别为( 易易) 磊的正规极大子群和非正规极大子群，由同态基本定理知： h = p 圣( a 4 ) 为a 的正规极大子群且i a ：h l = 3 ，k = q v ( a 4 ) 为山的非正规极 大子群且j a ：k i = 4 ，因为p = 2 l i 山：k j = 4 ，南引理2 2 6 知：p 里山，南山为非 幂零群知q 为非正规极大子群 引理2 2 2 1 设有限群g = ( z ，y ，z l 一= 旷= z 2 = 1 ，x y = y x ，矿= z 2 ，旷= 护) ， p = ( z ，爹) ，m 1 = ( 2 ，z ) ，尬= y ，z ) ，m 3 = ( x y ，z ) ，则p 为g 的唯一的正规极大子群， 7 g l ，m 2 ，m 3 为g 的互不共轭的非正规极大子群特别地，g 至少有1 0 个极大子群 证明：令1 g g ，则9 = x r y s z ，其中0 r ，8 2 ，t = 0 ，1 因为z 3 = y 3 = z 2 = 1 ，x y = y ：r ，矿= z 2 ，旷= 暑2 ，所以严= z z ，z t j = y z ，l ，- = 矿u z 对0 ，- ，s 2 由g 的生成元和定义关系，易见p 司g 且i g ：p im - - _ 2 ，所以p 为g 的正 规极大子群对任意矿矿p ，( 矿旷) 。= ( 护) 7 ( 旷) 。= z 2 r y 知，所以( 矿矿) 司g 若m 是g 的不同于p 的极大正规子群，则i g ：m i = 3 ，因此p 中至少有一个 3 阶元a 不属于m ，于是( 口) nm = 1 又( o ) qg ，所以g = ( 口) m ，矛盾 故p 为g 的唯一的正规极大子群因为尬= ( z ，z ) = 1 ，z ，z 2 ，z ，z z ，z 2 z ) ，所以 矸= ( z 可，z l ) = ( z ，y z ) = 1 ，z ，z 2 ，y z ，：r ! z ，z 2 y z ，j m 。= ( x y 2 ，2 矿) = ( z ，y 2 z ) = 1 ，z ，铲，! ，2 z ，= u 2 z ，z 2 护z ) ，因此尬，聊和坷互不相同，易见i g ：舰i = 3 ，于是 尬在g 中不正规且 m i ，聊，聊) 是含尬的轨道同理，地在g 中也不正 规，所以蝇，m 2 ，m 3 为g 的非正规极大子群 因为 磊r i m - - y ，z ) = 1 ，y ，犷，z ，z ，沪z ) ， 笤= 1 ，可，y g z z ，暑，z z ，u 2 x z ， 鳄2 = 1 ，y ，旷，z 2 z ，y x ，y 2 x 2 名 ，= l ，：r y ，z 2 1 ，2 ，z ，z 妒，咖2 z ) ，所以m 2 ，蝎m ，聊， 聊，蟛，坷，因此尬，蜗互不共轭 引理2 2 2 2 不存在具有平凡n a t 试子群的有限可解群g 使得g 恰有1 个正规 极大子群和两个轨道长均为3 的非正规极大子群的共轭类 证明：假设结论不成立，即g 恰有7 个极大子群，其中有一个正规，另有两个轨道 长均为3 的非正规极大子群的共轭类，我们将导出矛盾 令f ( a ) 为g 的f i t t i n g 子群因为g 可解且西( g ) = 1 ，所以g 的极小正规子群 为初等交换群，且f ( a ) 是g 的极小正规子群的积，从而f ( a ) 是交换群由引理2 2 9 知：g = f ( a ) a ，其巾f ( a ) na = 1 令f ( a ) = u xz ( g ) ，其巾unz ( a ) = 1 - 显然 u 是g 的极小正规子群的直积，于是令u = 仉以，其中阢( 1 i s ) 是 g 的交换的极小正规子群注意到若是g 的2 阶的正规子群，则必有k z 昭) ， 因此i 阢l 3 0 i s ) 由引理2 2 9 知：阢在g 巾有补，令尬是阢在g 巾的补 子群由引理2 2 1 0 知：坛为g 的非正规的极大子群因此与尬共轭的极大子群 的个数为i g ：g ( 尬) i = i g ：舰i = i 阢l 3 冈此由条件推出s = 2 ，i 仉i = i 踢i = 3 ， g = f ( a ) a = ( 仉x 玩z ( g ) ) a 令尸s u t 3 ( a ) ，m 为g 的任一极大子群若m 不在g 中正规，由上面的推理 得l g ：m i = 3 ，冈此p 名m ，从而g ( p ) gm ；若m 在g 中正规且( p ) m ， 则g ( m ) = m ，与m 在g 巾正规矛盾这样必有g ( 尸) = g ，即p 司g ，于是p 含 于g 的唯一的极大子群由引理2 2 1 知：a p 恰有1 个极大子群，因而a p 为素 数幂阶循环群令i a p i = q n ，q s y l q ( g ) ，则g = 【尸】q ，其中q 为矿阶循环群， 8 且由pq g 得p r ( a ) = u lx 巩xz ( g ) ，a q 令u 1 = ( z ) ，巩= ( 可) ，q = ( z ) ，其中d ) = o ( y ) = 3 ，o ( z ) = g n 因为巩，u 2 司g ， 所以阢，巩z ( p ) ，且矿= z 或z 2 ，旷= 暑，或可2 若= z ，则z 名= 猫， 因此z z ( g ) ，即巩z ( g ) ，矛盾，因此只能有矿= z 2 同理可得旷= 圹 于是( z ) = c q ( u 1 ) q 因为c c q ( u 1 ) 焉a u t ( u 1 ) 且a u t ( u 1 ) 竺易，所以 q ( 研) 竺易，这样q 为釜群 因为i q l = 2 n ，着n 2 ，则由矿= z 2 ，旷= 秒2 得矿2 = z ，旷2 = 暑，因此 1 z 2 z ( g ) 注意到g = f ( c ) a = ( u 1 u 2 z ( g ) ) a 且p 仉巩z ( g ) ，所 以q 可以表示成a 与z ( g ) 的s y l o wq - 子群的直积，这显然与q 为循环群矛盾因 此n = 1 ，a = q 为2 阶循环群于是p = 0 1x 现z ( g ) ，g = ( 阢xu 2 z ( g ) ) q 因为a z ( a ) 垒( u 1 u 2 ) q ，且( u 1x 观) q 与引理2 2 2 1 中的群同构，所以由引理 2 2 2 1 知：( 仉x 巩) q 至少有1 0 个极大子群，由引理2 2 1 知a z ( a ) 至少有1 0 个 极大子群，从而g 至少有1 0 个极大子群，矛盾这样我们就证明了引理2 2 2 2 成立 引理2 2 2 3 ( 参见文献【3 3 】) 设g = g xxg 2 g n 是有限群的直积分解， 令啦a u t ( a , ) ( 1 i 死) ，作对应( o t l ，o t 2 ，) 一o t ，其巾q 是g 的变换 口p 1 ，x 2 ，) = ( q 仁1 ) ，a ( z n ) ) 则口a 位( g ) ，r f l 此得到映射妒为：a u t ( g 1 ) x a u t ( g 2 ) xa u t ( c , , ) 一a u t ( g ) 是单同态冈而可以视a u t ( c h ) a 位( g 2 ) x xa u t ( g , ) 为a u t ( a ) 的子群 引理2 2 2 4 ( 参见文献【3 3 】) 设g = g 1 g 2x g n ，若i