（基础数学专业论文）广义连续完备半格、广义连续上半格上的lawson拓扑.pdf

q i a nf e n gn x 摘要 本文主要研究了完备半格上l a w s o n 拓扑的一些性质，证明了在完备半格上 h a u s d o r f f 分离性，单调h a u s d o r f f 分离性，正规性以及单调正规性是等价的并且 在上半格上这个结论也成立在强广义连续完备半格上给出了连续性的几个等价条 件并且广义连续完备半格和广义连续上半格可以用连续保序映射进行等价刻画 如果广义连续完备半格或广义连续上半格具有3 2 2 中定义的可数基。那么它们的 l a w s o n 拓扑是可度量的 由广义连续完备格上的核算子的性质。本文的最后给出了广义连续上半格上同 余的等价刻画，即广义连续上半格关于同余的商格是广义连续上半格l 、同余r 是 广义连续上半格上的子代数、以及存在一个l 上的闭包算子c 使得r = ( c c ) _ 1 ( ) 是等价的 关键词l a w s o n 拓扑；广义连续完备半格；广义连续上半格；单调h a u s d o r f f i v a b s t r a c t n a nj 酣gn o r m a lu n i v e r s i t y i nt h i s p a p e r ，w ei n v e s t i g a t et h el a w s o nt o p o l o g yo nc o m p l e t es e m i l a t t i c e sa n ds h o w t h a tt h eh a u s d o r f f n e e s ，m o n o t o n eh a u s d o r f f n e s s ，n o r m a l i t y a n dm o n o t o n e n o r m a l i t y a r e e q u i v a l e n tw i t hr e s p e c tt ot h el a w s o nt o p o l o g yo nc o m p l e t es e m i l a t t i c e s o nu p p e rs e m i 1 a t t i c e sw eh a v et h es a i n er e s u l t m o r e o v e r ，w eg i v es o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n so ft h ec o n t i n u i t yo ns t r o n gg e n e r a l i z e d c o n t i n u o u sc o m p l e t es e m i l a t t i c e s i fag e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sc o m p l e t es e m i l a t t i c eo ra g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u su p p e rs e m i l a t t i c eh a sac o u n t a b l eb a s i sd e f i n e di n3 3 2 t h e nt h e l a w s o nt o p o l o g yo nt h e mi sm e t e i z a b l e t h el a s tp a r to ft h i sp a p e r g i v e ss o m ec h a r a c t e r i z a t i o no fc o n g r u e n c ero nt h eg e n e r a l - i z e dc o n t i n u o u su p p e rs e m f l a t t i c ela n ds h o wt h a tl ri sa g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u su p p e r s e m i l a t t i c ei f fri sas u b a l g e b r ai 矗t h e r ei sac l o s u r e o p e r a t o rco n ls u c ht h a tt h ei n v e r s e i m a g eo f t h ed i a g n a lo f 工li sr u n d e rt h em a p p i n gc c k e y w o r d s l a w s o n t o p o l o g y ；g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sc o m p l e t es e m i l a t t i c e s ；g e n e r a l i z e d c o n t i n u o u su p p e rs e m i l a t t i c e s ；m o n o t o n eh o u s d o r f f p r e f a c e n a nj i n gn o r m a lu n i v e k s i t y i no c t o b e ro f1 9 6 9d a n as c o t tw a sl e a db yp r o b l e m so fs e m a n t i c s f o rc o m p u t e rl a n g u a g e s t oc o n s i d e rm o r e c l o s e l yp a r t i a l l yo r d e r e d s t r u c t u r e so f f u n c t i o ns p a c e s t h ei d e a so f u s i n g p a r t i a lo r d e r i n g s t oc o r r e s p o n dt o8 p 嘲o f p a r t i a l l yd e f i n e df u n c t i o n s a n df u n c t i o n a l sh a d a p p e a r e ds e v e r a lt i m e se a r l i e ri nr e c u r s i v ef u n c t i o nt h e o r y ；h o w e v e r ，t h e r eh a dn o r b e e n v e r ys u s t a i n e di n t e r e s ti ns t r u c t u r e so f c o n t i n u o u sf u n c t i o n a l s t h e s ew e r et h eo n e ss c o t t s a wt h a th en e e d e d h i sf i r s ti n s i g h tw a st os e et h a t i nm o r em o d e r nt e m i n o l o g y - t h e c a t e g o r yo fa l g e b r a i cl a t t i c e sa n dt h e ( s oc a l l e d ) s c o t t c o n t i n u o u sf u n c t i o n s i sc a r t e s i a n c l o s e d l a t e rd u r i n g1 9 6 9h ei n c o r p o r a t e dl a t t i c e sl i k et h er e a l si n t ot h et h e o r ya n dm a d e t h ef i r s t s t e p st od e f i n i n gc o n t i n u o u sl a t t i c e sa s 。q u o t i e n t s ”o fa l g e b r a i cl a t t i c e s i t t o o ka b o u tay e a rf o rt h et o p o l o g yi d e a st om a t u r ei nh i sm i n dc u l m i n a t i n gi nt h ep a p e r p u b l i s h e d 船s c o t t 【1 9 7 2 a ( s e e 2 8 ) q u i t es e p a r a t e l yf r o mt h i sd e v e l o p m e n t ，k a r lh o f m a n n ，l i m m i el a w s o n ，m i k em i s l o v e ，a n da is t r a l k a ( a m o n fo t h e r s ) r e c o g n i z e dt h ei m p o r t a n c e o fc o m p a c ts e m i l a t t i c e sa s ac e n t r a li n g r e d i e n ti nt h es t r u c t u r et h e o r yo fc o m p a c ts e m i g r o u p s ，i nh i sd i s s e r t a t i o n 【1 9 7 6 ，l a w s o ni n i t i a t e dt h es t u d y o fac l a s so fc o m p a c ts e m i l a t t i c e sd i s t i n g u i s h e db yt h e p r o p e r t yt h a te a c hh a de n o u g hc o n t i n u o u ss e m i l a t t i c em o r p h i s m s i n t ot h eu n i ti n t e r v a l s e m i l a t t i c e ( i ni t sn a t u r eo r d e r ) t os e p a r a t ep o i n t s ( s u c hap r o g r a mh a da k e a d yb e e n s t a r t e db yn a c h b i nf o rp a r t i a l l yo r d e r e ds p a c e si n 【1 2 ) a b o u tt h es a l n et i m e ，k l a u s k e i m e lh a db e e nw o r k i n go nl a t t i c e sa n dl a t t i c e - o r d e r e da l g e b r a si np u r s u i to ft h e i r s p e c t r a lt h e o r ya n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o ni ns h e a v e s i nh i si n t e n s i v ec o l l a b o r a t i o nw i t h g e r h a r dg i e r zo nt o p o l o g i c a lr e p r e s e n t a t i o n so fn o n - d i s t r i b u t i v el a t t i c e s ，as p e c t r a lp r o p e r t ye m e r g e dw h i c ht u r n e d o u tt ob e q u i t es i g n i f i c a n tf o rc o m p a c t s e m i l a t t i c e sw i t hs m a l l s u b s e m i l a t t i c e s t h e e x p l a n a t i o n f o rt h ef a c tt h a tt h et o p o l o g i c a la l g e b r ao fl a w s o n ss e m i l a t t i c e sh a d b e e ns os a t i s f a c t o r ye m e r g _ e dc l e a r l yw h e nh o f m a n na n ds t r a l k ag a v eac o m p l e t e l yl a t t i c e - t h e o r e t i c a ld e s c r i p t i o no ft h ec l a s s 【1 9 7 6 1 i tw a ss t r a l k aw h o f i r s tr e c o g n i z e dt h er e l a t i o n o ft h i sc l a s st os c o t t 8c o n t i n u o u sl a t t i c e s a n dt h eo b s e r v a t i o nc a , u l ea b o u ta sf o l l o w s t w o m o n o g r a p h s o n d u a l i t yt h e o r i e sf o rl a t t i c e sa n dt o p o l o g i c a l s t r u c t u r e se m e r g e di nt h e e a r l ys e v e n t i e s ：o n ef o rt o p o l o g ya n dl a t t i c e sb yh o f m a n n a n dk e i m e l 【1 9 7 0 ( 8 2 9 】) a n dt h eo t h e rf o rc o m p a c tz e r o - d i m e n s i o n a ls e m i l a t t i c ea n dl a t t i c eb yh o f m a n n ，m i s l o v e ， a n ds t r a l l ! 【a 1 9 7 4 】( s e ef 1 9 d i nt h es u m m e ro f1 9 7 6 ，h o f m a n na n dm i s l o v es p e n ts o m et i m ec o l l a b o r a t i n gw i t h k e i m e la n dg i e r za tt h et e c h n l s c h eh o c 3 a s c h u l ei nd a r m s t a d t ，a n dt o g e t h e rt h e yb e g a n a w r i t e - i n 。s e m i a rc a l l e dt h es e m i a ro nc o n t i n u i t yi ns e m i l a t t i c e s ，o rs c sf o rs h o r t t h es e m i a rt h e nc o n v e n e di np e r s o nf o rs e v e r a ll i v e l ya n dw e l l a t t e n dw o r k s h o p s i nd e s c r i b i n gt h eh m t o r yo ft h el a w s o nt o p o l o g y , i ti sb e s tt od i s t i n g u i s ht w ov i e w - p o i n t s ：t h a to ft o p o l o g i c a la l g e b r aa n dt h a to fl a t t i c et h e o r y i nt o p o l o g i c a la l g e b r ao n e s t u d i e st h es t r u c t u r eo fa l g e b r a i cs t r u c t u r e ss u c ha sg r o u p s ，r i n g s ，a n ds e m i g r o u p sw h i c h a r ea l r e a d ye q u i p p e dw i t ht h et o p o l o g ys u c ha st h eo p e r a t i o n sa r ec o n t i n u o u s i nl a t t i c e t h e o r y , o nt h eo t h e rh a n d ，o n ec o n s i d e r sl a t t i c e sa n dl o o k sf o rt o p o l o g i e sw h i c ha r en a t u r a l l yd e f i n e di nt e r m so ft h eg i v e nl a t t i c es t r u c t u r e t y p i c a le x a m p l e sa r et h et o p o l o g i e s s c o t tt o p ，l o w e rt o p ，l a w s o nt o p t h e r ea r e ，o fc o u r s e ，o t h e r s ，b u tt h e s ed on o ti n t e r e s t u sh e r e t h e e x p l i c i td e f i n i t i o no ft h et o p o l o g yl a w s o nt o pg i v e nh e r eh a se v o l v e di nt h e s c s s e m i a rs i n c e1 9 7 6 t h en a m el a w s o nt o p o l o g yw a sc h o s e na tt h ef i r s tw o r k s h o p o nc o n t i n u o u sl a t t i c e si na p r i l1 9 7 7a tt n l a n e t h em o r e s o p h i s t i c a t e di n v e s t i g a t i o u so f g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sl a t t i c e si sg e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sl a t t i c e s ，o rg c l f o rs h o r t ，d u et o g g i e r za n dj d l a w s o n i nt h i sp a p e rw ei n v e s t i g a t et h em o r e g e n e r a l i z e dl a t t i c e so ft h eg c l ，t h a ta r eg e n - e r a i i z e dc o n t i n u o u sc o m p l e t es e m i l a t t i c e s ，a n dg e n e r a l i z e dc o n t i n u o u su p p e rs e m i l a t t i c e s ， o rg c sa n dg c uf o rs h o r tr e s p e c t i v e l y ，w h i c ha r en o ta b s o l u t e l yn e c e s s a r yf o ra nu n d e r s t a n d i n go ft h eb a s i ct h e o r yo fc o n t i n u o u sl a t t i c e s w em a i n l ys h o wt h ee q u i v a l e n t t o p o l o g i c a ls e p a r a t ep r o p e r t yt ot h eg c u o rg c u ，a n dt h es u b a l g e b r ao nt h e m 果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 v 642 4 9 6 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检 索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密 后适用本规定。 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 1 1i n t r o d u c t i o n t h e s t u d y o f p r o p e r t i e so ft o p o l o g i e sd e f i n e db ym e a n so fp a r t i a lo r d e rr e l a t i o no nap o s e t i sm e a n i n g f u l s u c ha st h ef a m o u ss c o t t t o p o l o g y , l a w s o nt o p o l o g ya n do r d e rt o p o l - o g y m a n yi n t e r e s t i n gr e s u l t sc a nb ef o u n di n 【3 】 【5 】 【7 】f o ri n s t a n c e ，i n 【3 】t h e r ei s aw e l lk n o w nr e s u l t ，n a m e l yf o ram e e t - c o n t i n u o u sl a t t i c et h eh a u s d o r f f n e s so fl a w s o n t o p o l o g ya n dt h ec o n t i n u i 扭o f t h ec o m p l e t el a t t i c e8 r ee q u i v a l e n t m o r e o v e rg g i e r za n d j ，d ，l a w s o nd e f i n e das p e c i a lc o m p l e t el a t t i c e g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sl a t t i c e w i t hs o m e i n t e r e s t i n gr e s u l t sg i v e n i nt h ef o l l o w i n gt h eb o o kn a m e dac o m p e n d i u mo fc o n t i n u o u s l a t t i c e s ( s e e 【i i ，p p t 4 5 ，h a ss h o w nt h a tt h el a w s o nt o p o l o g yo fac o m p l e t el a t t i c ei s h a n s d o r f fi fa n do n l yi ft h el a t t i c ei sag e n e r a l i s e dc o n t i n u o u sl a t t i c e ( w h i l et h e p r o o f h a s n o tb e e n g i v e nd i r e c t e d ) ，b u tw h e t h e r i th o l d s0 1 2c o m p l e t es e m i l a t r i c e so ru p p e rs e m i a t t i c e si ss t i l lu n k n o w n i nc h a p t e r1 ，1 2 ，w ei n t r o d u c es o m ep r e l i m i n a r i e st h a tw ew i l lu s el a t e r e s p e c i a l l y , t h en o t i o no fc o n t i n u o u sp o s e t sf r o ml a w s o n j i si m p o r t a n t c o n t i n u o u s p o s e t sa r ea l s o d i s c u s s e di n 【1 3 【1 4 1 2 3a n d1 2 5a r et h e g e n e r a l i z a t i o n so f 1 ( p p 1 6 9 ，p p 1 9 ) i n c h a p t e r2 ，2 1 ，t h ed e f i n i t i o n so fu p - c o m p l e t ep o s e t s ( t h a ti s ，e v e r yd i r e c t e ds u b s e t o fph a sas u p ) a n dc o m p l e t es e m i l a t t i c e s ( t h a ti s ，e v e r yn o n e m p t ys e th a sai n fa n d e v e r y d i r e c t e ds u b s e to fph a sas u p ) a r ef r o m 【l 】t h ed e f i n i t i o no fu p p e r s e m i l a t t i c e ( t h a ti s ， e v e r yn o n e m p t ys e th a sas u p li sn e w 2 i 6 2 1 1 0s h o w st h a tt h eq u a s i c o m p a c t n e s sh o l d s 1 2c h a p t e r1 i n t r o d u g t i o n b o t ho nc o m p l e t es e m i l a t t i c e sa n do nu p p e rs e m i l a t t i c e s ，a n dt h ep r o o fi ss i m i l a rt o 【1 5 】 ( i nf 15 i ，t h ec o m p l e t e n e s si sn e c e s s a r y ) i 2 2 ，w eg i v et h r e en e wd e f i n i t i o n sb a s e do ng e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sl a t t i c e s ，t h a ti s g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sp o s e t s ( s h o r t l y , g c p s ) ，g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sc o m p l e t es e m u a t t i c e s ( s h o r t l y , g c s s ) ，g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u su p p e rs e m i l a t t i c e s ( s h o r t l y , g c u s ) w ec a n s e et h a tn o n eo ft h e mi st h ec o n t i n u o u sl a t t i c e i nw h i c he x a m p l e2 2 ，3s h o w s i nc h a p t e r3 ，3 , 2 2i sn e w s i n c e3 1 2s h o w st h a ta l lu p p e rs e t sa l es c o t t o p e nt h e c o n t i n u i t yo ft h ec o m p l e t es e m i l a t t i c ec a nb ep h a s e di no t h e re q u i v a l e n tc o n d i t i o n sc o m - p a r e dw i t h ( 1 】( p p 1 5 4 - 1 s s ) ， i n3 3 ，a l lt h ec o n c e p t so f3 3 1a n d3 3 2a r ef r o m 1 0 ， 1 1 】3 3 3s h o w st h a tt h e r ei s ar a d i a l l ym e t r i c ，w h i c hg e n e r a t e st h ea ( p ) t o p o l o g ya n dt h ep r o o fi ss i m i l a rt o 【n 1 3 2a n dc h a p t e r4w i l ls h o wt h em a i nr e s u l t s i n3 2 ，t h ed e f i n i t i o no fm o n o t o n en o r - m a l i t yi sf r o m 【1 2 ，a n dt h em o n o t o n eh a u s d o r f f n e s si n3 2 1 i sn e w w es h o wt h a tt h e l a w s o nt o p o l o g yo fac o m p l e t es e m i l a t t i c e ( r e s p a l lu p p e rs e m i l a t t i c e ) i sh a u s d o r f fi f f t h e p o s e t i sag e n e r a l i z e dc o n t i n u o u sc o m p l e t e s e m i l a t t i c e f r e s p ag e n e r a l i z e dc o n t i n u o u s u p p e rs e m i l a t t i c e ) m o r e o v e r ，t h eh a n s d o r f f n e s s ，m o n o t o n eh a n s d o r f f n e s s ，n o r m a l i t y , a n d m o n o t o n en o r m a l i t ya r ee q u i v a l e n tw i t hr e s p e c tt ol a w s o nt o p o l o g yo n c o m p l e t es e m i l a t t i c e s ( r e s p u p p e rs e m i l a t t i c e s ) w es e et h a ti nt h ep r o o f 3 2 6 ( 3 2 i 0 ) t h ec o n d i t i o no f c o m p a c t n e s si sn e c e s s a r y a n d 2 1 6d o e sn o th o l do nu p - c o m p l e t ep o s e t s s o t h ec o n d i t i o no fc o m p l e t es e m i l a t t i c e si n 3 2 5 ( u p p e rs e m i l a t t i c e si n3 2 1 0 ) c a n n o tb ew e a k e n e dt ot h ec o n d i t i o no fu p - c o m p l e t e p o s e t s i nc h a p t e r4 ，w eg i v e8 0 m ec h a r a c t e r i z a t i o n so f c o n g r u e n c e s o n g e n e r a l i z e dc o n t i n u o u s u p p e r s e m i l a t t i c e sa n ds h o wt h a tl ri sa g e n e r a l i z e d c o n t i n u o u su p p e re e m i l a t t i e e ，w h e r e r l li f fr i s as u b a l g e b r a o f l l 证t h e r e i sa c l o s u r e o p e r a t o r co n ls u c h t h a t 冗= ( c x c ) 一1 ( ) ，w h e r eai st h ed i a g o n a lo fl l ，r i sa n e q u i v a l e n c er e l a t i o no nl 。 1 2p r e l i m i n a r i e s 3 l e tpb eap o s e t f o rz pa n da p ，w ed e f i n etz = 掣p ：。s 可 a n d t a = u ( ta ：a a ) ，d u a l l y ，w ed e f i n e 上za s w e l la s 土a as u b s e t a i s c a l l e da nu p p e r ( 1 0 w e r ) s e t i f a = t a ( a = i a ) 。a nu p p e rs e t u = t u w i l lb ec a l l e do p e n i fa n do n l y i f f o re a c hu ut h e r ei sa ne l e m e n t uw i t h u ( e q u i v a l e n t l y ：姐nnu 0 ) t h e t o p o l o g yg e n e r a t e db y t h ec o l l e c t i o no fs e t sp lz ( a st h es u b - b a s i co p e n s u b s e t s ) i sc a l l e d t h el o w e rt o p o l o g yo npa n dd e n o t ei tu ( p ) f o ra p o s e tpw ed e f i n eat o p o l o g ya ( p ) b y u a ( e ) i f a n d o n l y i f u = t u a n d f o re a c hd i r e c t e ds e t d p ，w eh a v e u n d 0 w i t h s u p ( d ) u l e ta ( p ) d e n o t et h et o p o l o g yo npg e n e r a t e db yw ( p ) ua ( p ) a ss u b b a s i c o p e ns e t s ，a n da ( p ) = ( p i ( p ) ) i f pi sa c o m p l e t el a t t i c e ，t h e nt h i st o p o l o g yi st h es a m e a sl a w s o n t o p o l o g y f o rad i r e c t e dc o m p l e t ep o s e tp ，w ed e f i n eab i n a r yr e l a t i o n ( c a l l e dw a yb e l o w r e l a t i o n ) o npb yo y i f a n do n l yi f f o re a c hd i r e c t e ds u b s e td p ，耵兰s u p d ，t h e n 。玉df o rs o i n ed d ；d e f i n euz = v ：9 z ) ，d u a l l y1 rz = 可：。g ) ad i r e c t e d c o m p l e t ep o s e rp i sc a l l e dc o n t i n u o u si fi ) 姐oi sd i r e c t e d i i ) z = s u p 扎z ，f o re a c hz p t h e f o l l o w i n gr e s u l ti sw e l lk n o w n ( s e e 【1 】) ： l e m m a1 2 1l e tpb ead i r e c t e dp o s e t i ) z y i m p l i e s t h a t t h e r e e x i s t saz p ，s u c h t h a to z v i i ) 1 f u i sa 口( p ) - o p e ns e t l e m m a1 2 2l e tz yi nac o n t i n u o u sp o s e r t h e nt h e r ei sa no p e nf i l e ruw i t h y u c _ f r z p r o o f ：b yt h ei n t e r p o l a t i o np r o p e r t yi nl e m m a1 2 1 ( i ) ，w ec o n s t r u c tad e c r e a s i n gs e - q u e n c eo fe l e m e n t sy nw i t h $ 骱一1 ”l 。y s e tu = u ty n ：n = l 。2 ) ，w h i c h i s w h a tw eh a d t o s h o w l e m m a1 2 3l e tpb eac o n t i n u o u s p o s e t i ) e a c hp o i n t $ p h a sa 口( p ) n e i g h b o r h o o db a s i sc o n s i s t i n go ft h es e t s 仃nw i t h u z i i ) t h eo p e nu p p e r s e t sa r ee x a c t l yt h eo p e ns e t so ft h et o p o l o g y p r o o f ：i ) f i r s t l y , t h es e t s1 a r e 口( p ) 一o p e nn e i g h b o r h o o d sb yl e m m a1 , 2 1 ( i i ) c o n v e r s e l y , i fu i sa 仃( p ) o p e nn e i g h b o r h o o d so f x ，t h e r ei sat uonus i n c es u p 扯= 4 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n 正u w ec o n c l u d e 霉介u u ，w h i c h i s w h a th a d t o s h o w i i ll e tub eu p p e ro p e n f o re v e r yd i r e c t e ds e td w i t hs u p d u ，t h e r ei 8an u s u c h t h a tu s u p d a n d s ou s d f o rs o