（基础数学专业论文）弱压缩不变集的动力边界.pdf

d y n a m i c a lb o u n d a r y o faw e a k l yc o n t r a c t i v ei n v a r i a n ts e t a b s t r a c t ， f o rac o n t r a c t i v es i m i l a ri t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m 西= 7 】! j ) 7 - - 1 ，l e tda n ded e n o t et h es e l f - s i m i l a rs e ta n dt h eo v e r l a p p i n gs e t , r e s p e c t i v e l y , t h a ti s d = u 凳1 仍( d ) a n d e = u i 向，1 j m ( 伽( d ) n 仍( d ) ) m o r a nd e f i n e dt h er e s t r i c t e do p e ns e tc o n d i t i o na n di n - t r o d u c e dt h ed y n a m i c a lb o u n d a r y 夕o ft h es e l f - s i m i l a rs e t ( 彦= u 是1 ( 圣以i d p ( e ) ) i n t h i sp a p e r , w em a i n l yc o n s i d e rt h ed y n a m i c a lb o u n d a r y8o faw e a k l yc o n t r a c t i v ei n v a r i a n t s e t u n d e rs o m ec o n d i t i o n ，w es h o wt h a tt h e r ee x i s t saf i n i t ep o s i t i v ei n t e g e r qs u c ht h a t = u ；：l ( 西- 1i d ) j ( enq ) ，w h e r eq i st h el a r g e s ts e ts a t i s f y i n gt h er e s t r i c t e do p e ns e tc o n - d i t i o n w ea l s oe v a l u a t et h eh a u s d o r f fd i m e n s i o n so ft h ed y n a m i c a lb o u n d a r y 管a n dt h e o v e r l a p p i n gs e te ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：w e a k l yc o n t r a c t i v ei n v a r i a n ts e t s ；o p e ns e tc o n d i t i o n ；r e s t r i c t e do p e ns e tc o n d i t i o n ；d y n a m i c a lb o u n d a r y 83ii-m 86m 7 niiilm y c o n t e n t s 1 i n t r o d u c t i o n 1 t h ew e a k l yc o n t r a c t i v ei f s 4 3 t h er e s t r i c t e do p e ns e tc o n d i t i o na n dt h ed y n a m i c a lb o u n d a r y 8 4 d i m e n s i o n so ft h ed y n a m i c a lb o u n d a r ya n dt h eo v e r l a p p i n gs e t r e f e r e n c e s2 l 2 3 f 1 i n t r o d u c t i o n l e t 孵b et h ee u c l i d e a ns p a c ew i t ha 触d f o ra n ys u b s e tr 时，l e tr oa n dr d e n o t et h ei n t e r i o ra n dt h ec l o s u r eo f t h es e tr ，r e s p e c t i v e l y i nt h i sp a p e r , w ea s s u m er 。i sn o n - e m p t ya n dr 。= r l e t 仍：r _ r ，歹= 1 ，2 ，m ，b em a p p i n g s w ec a l l 西：= 仍) 饕1 a ni t e r a t e d f u n c t i o ns y s t e m 凹s ) o nf i ti sw e l lk n o w nt h a t 1 0 】i f 仍，歹= 1 ，2 ，m ，a l e c o n t r a c t i v e ，t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u en o n - e m p t y c o m p a c ts u b s e tds u c ht h a t m d = u 仍( d ) 5 = i w ec a l ldt h ei n v a r i a n t s e to f t h ei f s i f 仍，歹= 1 ，2 ，l lm ，a r ec o n t r a c t i v es i m i l i t u d e s ，t h e n w ec a l ldt h es e l f - s i m i l a rs e t l e trb ea sa b o v e f f 协：r r ，- j = 1 ，2 ，m ，龇- ew e a k l yc o n t r a c t i v em a p p i n g s ( i e ，( 亡) _ s u p d ( x ，v ) t 州$ ) ，刈) ：z ，r ) t ，触觚y t o p r o p o s i t i o n2 7 l e t7 7b ei n j e c t i v ea n dw e a k l yc o n t r a c t i v eo nr t h e n ，t h e r ee x i s t sa w e a k l ye x p a n s i v em a p p i n g 入s u c ht h a t 入07 7 ( z ) = z ，f o ra n yz r p r o o f ：t h ep r o o fi sm o d i f i e df r o m 【2 3 w ep r o v ei th e r ef o rc o m p l e t e n e s s f r o mt h ed e f i n i t i o no ft h ew e a k l yc o n t r a c t i v em a p p i n g ，i tf o l l o w st h a t d ( 7 7 1 ( z ) ，7 7 1 ( y ) ) d ( z ，y ) f o ra n yz ，可叩( r ) d e n o t e 刀一1b y 入s i n c ez i si n j e c t i v e ，w ec a ne a s i l yc h e c kt h a t 入0 ，7 ( 。) = 刃，f o ra n yz r w ew i l lp r o v et h a t 入i sw e a k l ye x p a n s i v e f r o md e f i n i t i o n2 1 ，w ek n o wt h a t ，f o ra n y 亡 0 a ，( 亡) = s u pd ( 刀( z ) ，7 7 ( ) ) t d ( 玉，| ，) t l e tp ( t ) = 墨 + q 町( t ) ) t h u s ，w eh a v eq 叩( t ) p ( 亡) t h e n c e ， 踞s t a t e t h a t ( t ) p ( 亡) 0s u c ht h a t 鼬，瓣( t o ) d ( 入( z ) ，入( ) ) ：删7 7 ( r ) ) o t h e n , t h e r ee x i s tz o ，u o ? 7 ( r ) s u c ht h a t d ( x o ，y o ) p ( 气) a n d d ( 入c x 。) ，入( 蜘) ) t 。 t o g e t h e r w i t h ( t ) p ( 亡) 亡，f o ra n y t 0 t h u s ，w es h o wt h a t 入i sw e a k l ye x p a n s i v e 7 一 3 t h er e s t r i c t e do p e ns e tc o n d i t i o na n dt h ed y n a m i c a l d o u n o a r y - i nt h i ss e c t i o n , w ec o n s i d e rt h ew e a k l yc o n t r a c t i v ei f s 圣= 仍) 饕1w h e r e 仍，j m ， a r ei n j e c t i v ea n db i - c o n t i n u o u s l e tdd e n o t et h ec o r r e s p o n d i n gi n v a r i a n ts e t w ec a l ldt h e w e a k l yc o n t r a c t i v ei n v a r i a n ts e t t h ei f si ss a i dt os a t i s f yt h eo p e ns e tc o n d i t i o n ( o s oi ft h e r ee x i s t sa n o n e m p t yb o u n d e d o p e ns e tus u c h t h a t 仇 u 阢 ( 1 ) j = z 阢n = 口，i 歹，1 i ，j m ( 2 ) f u r t h e r m o r e ，dnu 0 ，w es a yt h a tt h ei f ss a t i s f i e st h es t r o n go p e ns e tc o n d i t i o n ( s o s c ) 。 i ft h eo s ch 0 地w i t ha no p e ns e tu ，t h e nt h i sc a s ee co um a yh a p p e n s h i e f 2 0 】 h a ss h o w e dt h a t ，f o rac o n t r a c t i v es i m i l a ri f s ，t h eo s ci m p l i e st h es o s c o t h e ri n t e r e s t i n g e q u i v a l e n ts t a t e m e n t so ft h eo s ch a v e b e e ns h o w n 【l 】 f o r a n yi ，歹m ，t h eo v e r l a p p i n gs e te i sd e f i n e db ye = u 向( d tn d j ) s u p p o s et h a t t h ei f ss a t i s f i e st h eo s cw i t ha l lo p e ns e tu f r o mt h ec o n t i n u i t yo f 仍，j m ，i tf o l l o w st h a t u 凳1 仍( 可) 一u t h u s ，d 一ua n d 功冬巧，j m t h e r e f o r e ，w eg e t e u ( 玩n 巧) i 向 s i n c e 阢冬r 一f o ri 歹，1 ，歹m ，w eh a v e 阢= ( 阢) 。冬( r 一屿) 。r 一巧cp a ， w h i c hs h o w s 阢no g = 移f o ri j ，1 t ，歹m t h e r e f o r e ， e u ( ( a 阢u 阢) n ( a u ) ) = u ( o u , n o u j ) i ，vt j 8 ( 3 ) i ti m p l i e st h a t e n = o ，歹m ( 4 ) d e f i n i t i o n3 1 【1 7 】w es a yt h a tt h ei f ss a t i s f i e st h er e s t r i c t e do p e ns e tc o n d i t i o n ( r o s c ) i fan o n - e m p t ys e tw o p e ni nds a t i s f i e s u w ( 5 ) j = x n e = 0 , j m ( 6 ) i f t h es o s ch o l d sf o ra no p e ns e tu ，i ti se a s yt os e et h a t ，u s i n g ( 4 ) ，t h er o s ch o l d sf o rt h e s e td n 阢b u t i ti sn o tt r i v i a lt h a tt h er o s c i m p l i e st h es o s c i ft h er o s ch o l d sf o ras e t w ，t h e nw = dauf o rs o m eo p e ns e tu ，b u te v e ni nt h ec a s ew h e r eu 凳1 阢阢n c o u l db en o n - e m p t yf o rs o m ep a i ri ，j m f o re x a m p l e ，l e t r = 似，小。矽譬( z + 1 ) , i f - 1 z 三；趾d 。y 一雩( z + 2 ) i i 畦。2 一 a n d l e t 州删) = 互1 ( 删) ，7 2 ( 训) = 扣) + ( 互1 ，。) 觚d 啦( 删) = 百1 ( 删) + ( 而7 ，等) i ti so b v i o u st h a tt h ec o r r e s p o n d i n gi n v a r i a n ts e tdi st h es i e p i n s k ig a s k e t l e tu = r 。w e c a nc h e c kt h a t t h er o s ch o l d sf o rt h es e tw ：= d a ua n du l l 阢b u t 巩n 巩o i tf o l l o w sf r o m ( 6 ) t h a tm n = d ，f o rl 歹，1 i ，歹m s oas u b s e to f ds a t i s f y i n g t h er o s ca l s oh a sp r o p e r t i e s ( i ) a n d ( 2 ) h o w e v e r , f o ra n o n e m p t ys u b s e tvo p e ni ndw h i c h h a sp r o p e r t i e s ( 1 ) a n d ( 2 ) ，p r o p e r t y ( 6 ) m a yf a i lt oh o l d h e n c e ，w ed on o tk n o wt h a tw h e t h e r t h er o s ch o l d sf o ra n o n - e m p t ys u b s e tvo p e ni ndh a v i n gp r o p e r t i e s ( 1 ) a n d ( 2 ) l e tm ，0 ，7 ra n deb ed e f m e da sa b o v e t h eg e o m e t r i cs h i rm a p p i n g 入：d di sg i v e n b y 入( z ) = 7 ro0o7 r - * ( z ) f r o mp r o p o s i t i o n s2 2a n d2 7 ，i tf o l l o w st h a t 入= 圣一1 i 。a n d 入i s w e a k l ye x p a n s i v eo nd i fe = d ，t h eg e o m e t r i cs h i rm a p p i n gai sap o i n t - t o - p o i n tm a p p i n g ； i fe 仍，t h eg e o m e t r i cs h i rm a p p i n g 入i sas e t - v a l u e d m a p p i n g ，s i n c ei f - * ( z ) i s ，i ng e n e r a l ， as u b s e to fm w el e t a ( x ) = 7 r 0007 r 一1 ( x ) ，f o ra n ys u b s e tx d p r o p o s i t i o n3 2 l e t 垂b eaw e a k l yc o n t r a c t i v ei f s w i t ht h ei n v a r i a n ts e tda n dl e t 入b ea s z 入( x ) 铮依( z ) x ，f o rs o m ei 六 p r o o f ：t h ep r o o fi sm o d i f i e df r o m 17 w ep r o v ei th e r ef o rc o m p l e t e n e s s a s s u m et h a tz 入( x ) t h e n ，t h e r ee x i s t ss o m ey xs u c ht h a tz = 入( y ) = f f0 0 0 f f 一1 ( ! ，) l e t7 r 一1 ( 暑，) = 1f o rs o m ei = ( i l i 2 ) m t h u s ，z = 7 r o o ( i ) a n d 班l ( z ) = 7 r ( i ) = y x ， f o ri x m c o n v e r s e l y , a s s u l n et h a t 仇( z ) xw i t hz d a n di m t h e n ，z = 7 r ( j ) f o rs o m e j m ，a n d 哺( 名) = 7 r ( 订) s o ，z = 7 r0p ( 巧1 歹2 ) = 7 r o00 , i f - 1 ( 琅( z ) ) 入( x ) t h u s ，w es h o wt h a tz 入( x ) 铮依( z ) x ，f o rs o m ei m l e t 矽b ea si ns e c t i o n1 h e r e ，w ew i l ls h o wt h a tt h er o s ch o l d si fa n do n l yi ft h es e t d 一雳i sn o n - e m p t y t h e n ，t h es e tq ：= d 一a c t u a l l yi st h el a r g e s ts e to p e ni nds a t i s f y i n g t h er o s c h e n c e ，汐= 0 dqa n dw ec a l l 锣t h ed y n a m i c a lb o u n d a r yo ft h ei n v a r i a n ts e td i n t h ef o l l o w i n g ，w ew i l la n a l y z et h eb a s i cp r o p e r t yo ft h ed y n a m i c a lb o u n d a r y 锣 t h e r ea r es e v e r a lr e a s o n st or e g a r dt h es e t8a sa b o u n d a r yo faw e a k l yc o n t r a c t i v ei n v a r i a n t s e t f i r s t l y , i ti st h et o p o l o g i c a lb o u n d a r yo ft h el a r g e s ts e ts a t i s f y i n gt h er o s c s e c o n d l y , i t i sc o n t a i n e di nt h et o p o l o g i c a lb o u n d a r yo fa n yb o u n d e do p e ns e tus a t i s f y i n gt h eo s c ( s e e p r o p o s i t i o n3 4 ) t h i r d l y , i ft h ei n v a r i a n ts e tdh a san o n e m p t yi n t e r i o r , t h e n i st h e b o u n d a r yo fd ( s e ep r o p o s i t i o n3 12 ) w ec a l las u b s e t x ( sd ) a i n v a r i a n ti f 入( x ) x t h es e t 汐i sa - i n v a r i a n t ( s e e p r o p o s i t i o n3 4 ) l e tb ( z ，r ) d e n o t et h eo p e nb a l lc e n t e r e da t zw i t hr a d i u s7 f o ra n ys u b s e t y r ，b y ( x ，r ) = 毫，y ：d ( z ，) r ) ，z r l i k e w i s e ，a d h y , i n t ya n do yd e n o t e t h ec l o s u r e ，t h ei n t e r i o ra n dt h eb o u n d a r yo fy ，r e s p e c t i v e l y s i m i l a r l y , f o ra n ys u b s e tz r ， a d h z ( y ) ，h a t z ya n do z ( y ) s t a n df o ra d h yn z ，i n t ynza n do yn z ，r e s p e c t i v e l y n o t i