初三相似三角形的基本模型.pdf

精锐教育学科教师辅导讲义精锐教育学科教师辅导讲义 授课授课 类型类型 t (相似三角形的基本类 型。) c （专题方法主题）t （学法与能力主题） 授课日授课日 期时段期时段 教学内容教学内容 一、同步知识梳理一、同步知识梳理 知识点 1：相似证明中的基本模型 i hg fe dcb a g f ed c b a e d cb a ed c b a ef dc ba f e dc ba o dc b a o dc ba h e d cb a e dcb a e dcb a o d c b a dc bdba c a e d cb a dcb a g f e d c b a g f e d c b a g f e d cb a d e fc b a h p m n f e d c b a g h g f e d c b a e f d c b a f e d cb a 知识点 2：相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合 等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等 如图：平分交于，求证：adbacbcd bdab dcac 321 e dc a b 证法一：过作，交的延长线于cceadbae ，1e 23 ，12 3e acae ，adce bdbaba dcbeac 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“a”型图的基本模型 b a cd e 1 2 证法二；过作的平行线，交的延长线于bacade ，12e abbe ，beac bdbeab dcacac 点评：做平行线构造成比例线段，利用了“x”型图的基本模型 知识点 3：相似证明中的面积法 面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题 常用的面积法基本模型如下： 图 1图 “图 图 ”图 hdc b a 如图： 1 2 1 2 abc acd bc ah sbc scd cd ah 图 2图 “图 图 ”图 gh o d c b a 如图： 1 2 1 2 abc bcd bc ah sahao sdgod bc dg 图 3图 “图 图 ”图 c d e b a 如图： abdabdaed aceaedace sssabadab ad sssaeacae ac 。 二、同步题型分析 题型 1：与三角形有关的相似问题 例 1：如图，如图，、是是的边的边、上的点，且上的点，且，求证：求证：deabcacabad acae ab . .adeb 解析： 例 2：如图，在如图，在中，中，于于，于于，的面积是的面积是面积面积abcadbcdceabeabcbde 的的 4 倍，倍，求，求的长的长.6ac de 解析： b a e d c b a e d c dcb a 题型 2：相似中的角平分线问题 例 1：如图，如图，是是的角平分线，求证：的角平分线，求证：adabc abbd accd 解析： 例 2：已知已知中，中，的外角平分线交对边的外角平分线交对边的延长线于的延长线于，求证：，求证：abcbacbcd abbd accd 解析： 例 3：已知：已知：、分别为分别为的内、外角平分线，的内、外角平分线，为为的中点，求证：的中点，求证：adaeabcmde 2 2 abbm accm m e d cb a 解析： d c b a 题型 3： 型结型结 2 abc 论的论的证明证明 例 1：如图，直角如图，直角中，中，证明：，证明：，abcabacadbc 2 abbd bc 2 accd bc . . 2 adbd cd 解析： b a dc 例 2：如图，在如图，在中，中，平分平分，的垂直平分线交的垂直平分线交于于，交，交的延长线于的延长线于，abcadbacadadebcf 求证：求证： 2 fdfb fc 解析： e fdc b a 题型 4、三角形内接矩形问题 例例 1、 已知，如图，已知，如图，中，中，四边形，四边形为正方形，其中为正方形，其中abc3490acbcc，degf 在边在边上，上，在在上，求正方形的边长上，求正方形的边长de，acbc，fg，ab gf e d c b a 解析： 三、课堂达标检测 检测题 1：如图，在正方形 abcd 中，点 e 在 ab 边上，且 aeeb21，afde 于 g 交 bc 于 f，则aeg 的面积与四边形 begf 的面积之比为（ ） a、12 b、14 c、49 d、23 第 1 题图 f e g d cb a 第 2 题图 o e d cb a 检测题2、如图，已知 debc，cd 和 be 相交于点 o，49，则 aeec 为（ doe s cob s ） a、21 b、23 c、49 d、54 检测题3、在abc 中，d 为 ac 边上一点，dbca，bc，ac3，则 cd 的长为（ 6 ） a、1 b、 c、2 d、 2 3 2 5 答案：答案：1、c 2、a 3、c 一、专题精讲 构造相似辅助线双垂直模型 例 1：在abc 中，ab=，ac=4，bc=2，以 ab 为边在 c 点的异侧作abd，使abd 为等腰 直角三角形，求线段 cd 的长 答案：答案：解：情形一： 情形二： 情形三： 例 2：在abc 中，ac=bc，acb=90，点 m 是 ac 上的一点，点 n 是 bc 上的一点，沿着直线 mn 折叠，使得点 c 恰好落在边 ab 上的 p 点求证：mc：nc=ap：pb 答案：答案：证明：方法一： 连接 pc，过点 p 作 pdac 于 d，则 pd/bc 根据折叠可知 mncp 2+pcn=90，pcn+cnm=90 2=cnm cdp=ncm=90 pdcmcn mc：cn=pd：dc pd=da mc：cn=da：dc pd/bc da：dc=pa：pb mc：cn=pa：pb 方法二：如图， 过 m 作 mdab 于 d，过 n 作 neab 于 e 由双垂直模型，可以推知pmdnpe，则， 根据等比性质可知，而 md=da，ne=eb，pm=cm，pn=cn， mc：cn=pa：pb 例 3：已知，如图，直线 y=图2x2 与坐标轴交于 a、b 两点以 ab 为短边在第一象限做一个矩 形 abcd，使得矩形的两边之比为 1图2。 求 c、d 两点的坐标。 构造相似辅助线a、x 字型 例 4：如图：abc 中，d 是 ab 上一点，ad=ac，bc 边上的中线 ae 交 cd 于 f。 求证： 答案：答案：证明：（方法一）如图 延长 ae 到 m 使得 em=ae，连接 cm be=ce，aeb=mec beacem cm=ab，1=b abcm m=mad，mcf=adf mcfadf cm=ab，ad=ac （方法二） 过 d 作 dgbc 交 ae 于 g 则abeadg，cefdgf ， ad=ac，be=ce 例 5：四边形 abcd 中，ac 为 ab、ad 的比例中项，且 ac 平分dab。 求证： 答案：答案：证明： 过点 d 作 dfab 交 ac 的延长线于点 f，则2=3 ac 平分dab 1=2 1=3 ad=df def=bea，2=3 beadef ad=df ac 为 ab、ad 的比例中项 即 又1=2 acdabc 例 6：在梯形 abcd 中，abcd，abb，cda，e 为 ad 边上的任意一点，efab，且 ef 交 bc 于点 f，某同学在研究这一问题时，发现如下事实： (1)当时，ef=；(2)当时，ef=； (3)当时，ef=当时，参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 ef 的 一般结论，并给出证明 答案：答案： 证明： 过点 e 作 pqbc 分别交 ba 延长线和 dc 于点 p 和点 q abcd，pqbc 四边形 pqcb 和四边形 eqcf 是平行四边形 pbefcq， 又abb，cda appb-abef-b，dqdc-qca-ef 例 7：已知：如图，在abc 中，m 是 ac 的中点，e、f 是 bc 上的两点，且 beeffc。 求 bn：nq：qm 答案：答案：解： 连接 mf m 是 ac 的中点，effc mfae 且 mfae benbfm bn：bmbe：bfne：mf beef bn：bmne：mf1:2 bn：nm1:1 设 nex，则 mf2x，ae4x an3x mfae naqmfq nq：qman：mf3:2 bn：nm1:1，nq：qm3:2 bn：nq：qm5:3:2 相似类定值问题 例 8：如图，在等边abc 中，m、n 分别是边 ab，ac 的中点，d 为 mn 上任意一点，bd、cd 的延长线分别交 ac、ab 于点 e、f 求证： 答案：答案：证明： 如图，作 dpab，dqac 则四边形 mdpb 和四边形 ndqc 均为平行四边形且dpq 是等边三角形 bp+cqmn，dpdqpq m、n 分别是边 ab，ac 的中点 mnbcpq dpab，dqac cdpcfb，bdqbec ， dpdqpqbcab ab（） 例 9：已知：如图，梯形 abcd 中，ab/dc，对角线 ac、bd 交于 o，过 o 作 ef/ab 分别交 ad、bc 于 e、f。 求证： 答案：答案：证明：ef/ab，ab/dc ef/dc aoeacd，doedba ， 例:10：如图，在abc 中，已知 cd 为边 ab 上的高，正方形 efgh 的四个顶点分别在abc 上。 求证： 答案：答案：证明：efcd，ehab ， ， afeadc，cehcab ， efeh 例 11：已知，在abc 中作内接菱形 cdef，设菱形的边长为 a求证： .答案：答案：证明：efac，debc ， ， bfebca，aedabc ， efdea 一线三角等题型： 例 12（2010 年绍兴中考）如图，已知在矩形中，是线段边上的任意 abcd 23abbc， pad 一点（不含端点），连接，过点作交于 ad、pcppepcabe （1）在线段上是否存在不同于的点，使得？若存在，求线段与 adp qqcqe ap 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； aq （2）当点在上运动时，对应的点也随之在上运动，求的取值范围 padeabbe 解：（1）假设存在这样的点 q； pepc， ape+dpc=90， d=90， dpc+dcp=90， ape=dcp， 又a=d=90， apedcp， =， apdp=aedc； 同理可得 aqdq=aedc； aqdq=apdp，即 aq（3aq）=ap（3ap） ， 3aqaq2=3apap2， ap2aq2=3ap3aq， （ap+aq） （apaq）=3（apaq） ； apaq， ap+aq=3（2 分） apaq， ap ，即 p 不能是 ad 的中点， 当 p 是 ad 的中点时，满足条件的 q 点不存在 当 p 不是 ad 的中点时，总存在这样的点 q 满足条件，此时 ap+aq=3 （1 分） （2）设 ap=x，ae=y，由 apdp=aedc 可得 x（3x）=2y， y= x（3x）= x2+ x= （x ）2+ ， 当 x= （在 0x3 范围内）时，y最大值= ； 而此时 be 最小为 ， 又e 在 ab 上运动，且 ab=2， be 的取值范围是 be2 （2 分） 例 13（2012 年宁夏中考）在矩形中，是上的任意一点（与 abcd2ab 3ad pbcp 不重合），过点作，垂足为，交于点 bc、pappeppecde （1）连接，当 与全等时，求的长； aeapeadebp （2）若设为，为，试确定与的函数关系式当取何值时，的值最 bpxce yy xx y 大？最大值是多少？ （3）若，试求出此时的长 pebdbp 解：（1）apeade（已知） ，ad=3（已知） ， ap=ad=3（全等三角形的对应边相等） ； 在 rtabp 中，bp=（勾股定理） ； （2）appe（已知） ， apb+cpe=cpe+pec=90， apb=pec， 又b=c=90， rtabprtpce， 即（相似三角形的对应边成比例） ， = 当 x= 时，y 有最大值，最大值是 ； （3）如图，连接 bd设 bp=x， pebd， cpecbd， （相似三角形的对应边成比例） ， 即 化简得，3x213x+12=0 解得，x1= ，x2=3（不合题意，舍去） ， 当 bp= 时，pebd 例 14（2012 年宜宾中考）如图，在中，已知，且 ， abc5abac6bc abcdef 将 与重合在一起，不动，运动，并满足：点在边上沿到的 defabcabcdefebcbc 方向运动，且、始终经过点，与交于点 deaefacm （1）求证： ； abeecm （2）探究：在运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出的长； defbe 若不能，请说明理由； （3）当线段最短时，求重叠部分的面积 am （1）证明：ab=ac， b=c， abcdef， aef=b， 又aef+cem=aec=b+bae， cem=bae， abeecm； （2）能 解：aef=b=c，且amec， ameaef， aeam； 当 ae=em 时，则abeecm， ce=ab=5， be=bcec=65=1， 当 am=em 时，则mae=mea， mae+bae=mea+cem， 即cab=cea， 又c=c， caecba， ， ce=， be=6=； 若 ae=am，此时 e 点与 b 点重合，m 点与 c 点重合，即 be=0 be=1 或或 0 （3）解：设 be=x， 又abeecm， ， 即：， cm=+ x= （x3）2+ ， am=5cm （x3）2+， 当 x=3 时，am 最短为， 又当 be=x=3= bc 时， 点 e 为 bc 的中点， aebc， ae=4， 此时，efac， em=， saem= 二、专题过关二、专题过关 【题 1】如上图，垂足分别为、，和相交于点，abbdcdbdbdacbde ，垂足为.证明：.efbdf 111 abcdef f d c e a b 答案：(bf+df)/df=ab/ef 1 bf/df+1=ab/ef (bf+df)/bf=cd/ef 2 df/bf+1=cd/ef 1 推出 bf/df=(ab-ef)/ef 代入 2 ef/(ab-ef)+1=cd/ef = ab/(ab-ef)=cd/ef = 1- ef/ab =ef/cd = 1= ef(1/ab+1/cd) = 1/ef= 1/ab+1/cd 【题 2】如图，已知，找出、之间的关系，并证明你的结论./ / /abefcd abd s bed s bcd s 答案：1/sbde=1/sabd+1/sbdc 以 a e c 三点坐高于 bd 三条高 依然存在 1 题中关系 共用底边 bd 高的比等于面积比。 【题 3】（2012 年成都中考）如图，和是两个全等的等腰直角三角形， abcdef ，的顶点与的斜边的中点重合将绕点 90bacedf defeabcbcdef 旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点 edeabpefca q （1）如图，当点在线段上，且时，求证： ； q ac apaqbpecqe （2）如图，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当 q ca bpeceq 时， 两点间的距离 （用含的代数式表示） 9 2 bpacqa， pq、 a 解：连接 pq， abc 和def 是两个全等的等腰直角三角形， b=c=def=45， beq=eqc+c， 即bep+def=eqc+c， bep+45=eqc+45， bep=eqc， b=c=45， bpeceq， =， bp=a，cq=，be=ce， =， be=ce=a， bc=3a， ab=ac=bcsin45=3a， aq=cqac= a，pa=abbp=2a， 在 rtapq 中，pq= a 三、学法提炼三、学法提炼 1、专题特点：从基本图形入手，能顺利找出解题问题的思路和方法，能帮我们 尽快找到添加的辅助线。 2、解题方法：寻找适当的辅助线，方法有平行型（a、x型） 、相交线型、双垂 型及一线三角等。 3、注意事项 ：在解题过程中要注意比例的基本性质的运用，即等积变换、等 比代换、等线代换。 一、一、 能力培养能力培养 综合题 1：（1）如图 1，点 p 在平行四边形 abcd 的对角线 bd 上，一直线过点 p 分别交 ba，bc 的延长线于点 q，s，交 ad，cd 于点 r，t求证：pqpr = pspt （2）如图 2，图 3，当点 p 在平行四边形 abcd 的对角线 bd 或 db 的延长线上时，pqpr = pspt 是否仍然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理由（要求仅以图 2 为例进行证 明或说明） ； 答案：答案：（1）证明：在平行四边形 abcd 中，adbc， drp=s，rdb=dbs drpbsp 同理由 abcd 可证ptdpqb （2）证明：成立，理由如下： 在平行四边形 abcd 中，adbc， prd=s，rdp=dbs drpbsp 同理由 abcd 可证ptdpqb 综合题 2：已知：如图，abc 中，abac，ad 是中线，p 是 ad 上一点，过 c 作 cfab，延 长 bp 交 ac 于 e，交 cf 于 f求证：bp2pepf 答案：答案：证明: abac，ad 是中线， adbc,bp=cp 1=2 又abc=acb 3=4 cfab 3=f,4=f 又epc=cpf epccpf bp2pepf 即证所求 综合题 3：如图，已知abc 中，ad，bf 分别为 bc，ac 边上的高，过 d 作 ab 的垂线交 ab 于 e，交 bf 于 g，交 ac 延长线于 h。求证： de2=egeh 答案：答案：证明：deab 90 90 adedbe de2=aebe bfac 90 90且 beghea de2=egeh 综合题 4：已知如图，p 为平行四边形 abcd 的对角线 ac 上一点，过 p 的直线与 ad、bc、cd 的延长线、ab 的延长线分别相交于点 e、f、g、h. 求证： peph pfpg 答案：答案：证明： 四边形 abcd 为平行四边形 abcd，adbc 1=2，g=h，5=6 pahpcg 又3=4 apecpf 综合题 5：已知，如图，锐角abc 中，adbc 于 d，h 为垂心（三角形三条高线的交点） ；在 ad 上有一点 p，且bpc 为直角求证：pd2addh 。 答案：答案：证明：如图，连接 bh 交 ac 于点 e， h 为垂心 beac ebc+bca=90 adbc 于 d dac+bca=90 ebc=dac 又bdh=adc=90 bdhadc ，即 bdad dhdc bd dcad dhaa bpc 为直角，adbc pd2bddc pd2addh 综合题 6：已知如图，cd 是 rtabc 斜边 ab 上的高，e 为 bc 的中点，ed 的延长线交 ca 于 f。 求证：ac cfbc dfaa 证明：cd 是 rtabc 斜边 ab 上的高，e 为 bc 的中点 ce=eb=de b=bde=fda b+cab=90，acd+cab=90 b=acd fda=acd f=f fdafcd fdad fccd adc=cdb=90，b=acd acdcbd adac cdbc fdac fcbc 即ac cfbc dfaa 综合题 7：如图，在 rtabc 中，cd 是斜边 ab 上的高，点 m 在 cd 上，dhbm 且与 ac 的延 长线交于点 e. 求证：（1）aedcbm；（2）ae cmac cdaa 答案：答案：证明：（1）acbadc90 aacd90 bcmacd90 abcm 同理可得：mdhmbd cmbcdbmbd90mbd adeadcmdh90mdh adecmb aedcbm （2）由上问可知：，即 aead cbcm ae cmad cbaa 故只需证明即可ac cdad cbaa aa，acdabc acdabc ，即 adcd acbc ac cdad cbaa ae cmac cdaa 综合题 8：如图，abc 是直角三角形，acb=90，cdab 于 d，e 是 ac 的中点，ed 的延长 线与 cb 的延长线交于点 f. （1）求证：. 2 fdfb fca （2）若 g 是 bc 的中点，连接 gd，gd 与 ef 垂直吗？并说明理由. 答案：答案：（1）将结论写成比例的形式，可以考虑证明fdbfcd（已经有一个公共 角f） rtacd 中，e 是 ac 的中点 de=ae a=ade ade=fdb a=fdb 而a+acd=90 fcd+acd=90 a=fcd fcd=fdb 而f=f fbdfdc 2 fdfb fca （2）判断：gd 与 ef 垂直 rtcdb 中，g 是 bc 的中点， gdgb gdb=gbd 而gbd+fcd=90 又fcd=fdb（1 的结论） gdb+fdb=90 gdef 综合题 9：如图，四边形 abcd、defg 都是正方形，连接 ae、cg,ae 与 cg 相交于点 m，cg 与 ad 相交于点 n求证：an dncn mnaa 答案：答案：证明：由四边形 abcd、defg 都是正方形可知，adc=gde=90，则 cdg=ade=adg+90 在和中 则dam=dcn 又anm=cnd anmcnd 则 an dncn mnaa 综合题 10：如图，bd、ce 分别是abc 的两边上的高，过 d 作 dgbc 于 g，分别交 ce 及 ba 的延长线于 f、h。 求证：（1）；（2） 2 dgbg cgabg cggf ghaa 答案：答案：证明：找模型。 （1）bcd、bdg，cdg 构成母子型相似。bdgdcg 2 dgbg cga （2）分析：将等积式转化为比例式。 bg cggf ghaa bggf ghcg gfc=efh，而efh+h=90，gfc+fcg=90 h=fcg 而hgb=cgf=90 hbgcfg bggf ghcg bg cggf ghaa 综合题 11：.abc 和def 是两个等腰直角三角形，a=d=90，def 的顶点 e 位于边 bc 的 中点上 （1）如图 1，设 de 与 ab 交于点 m，ef 与 ac 交于点 n，求证：bemcne； （2）如图 2，将def 绕点 e 旋转，使得 de 与 ba 的延长线交于点 m，ef 与 ac 交于点 n，于是， 除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论 答案：答案：（1）证明：mebnec18045135mebemb necemb 又 b=c bemcne （2）coeeon 证明：oen=c45，coeeon coeeon 综合题 12：如图，四边形 abcd 和四边形 aced 都是平行四边形，点 r 为 de 的中点，br 分别 交 ac、cd 于点 p、q （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1 除外） ； （2）求 bp：pq：qr 解：（1）bcpber，cqpdqr， abpcqp，dqrabp （2）acde bcpber 四边形 abcd 和四边形 aced 都是平行四边形 ad=bc，ad=ce bc=ce，即点 c 为 be 的中点 又acde cqpdqr 点 r 为 de 的中点 dr=re 综上：bp：pq：qr3：1：2 综合题 13：如图，在abc 中，adbc 于 d，deab 于 e，dfac 于 f。求证： aeac afab 答案：答案：证明：adbc，deab adbaed adae ab 同理可证：adaf ac ae abaf ac 即 aeac afab 二、二、 能力点评能力点评 在解决综合性的问题时能将复杂图形划分为几个基本类型，并要注意数形结合思想和分类讨论思想在解决综合性的问题时能将复杂图形划分为几个基本类型，并要注意数形结合思想和分类讨论思想 及方程思想的应用。及方程思想的应用。 学法升华学法升华 一、一、 知识收获知识收获 1、相似证明中的基本模型 i hg fe dcb a g f ed c b a e d cb a ed c b a ef dc ba f e dc ba o dc b a o dc ba h e d cb a e dcb a e dcb a o d c b a dc bdba c a e d cb a dcb a g f e d c b a g f e d c b a g f e d cb a d e fc b a h p m n f e d c b a g h g f e d c b a e f d c b a f e d cb a 2：相似证明中常见辅助线的作法 在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合 等量代换得到要证明的结论常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等 二、二、 方法总结方法总结 （1）梅涅劳斯定理 梅内劳斯（menelaus，公元 98 年左右） ，是希腊数学家兼天文学家梅涅劳斯定理是平面几何 中的一个重要定理 梅涅劳斯定理：、分别是三边所在直线、上的点则、xyzabcbccaabxy 共线的充分必要条件是：z1 cxbzay xbza yc 根据命题的条件可以画出如图所示的两个图形：或、三点中只有一点在三角形边的xyz 延长线上，而其它两点在三角形的边上；或、三点分别都在三角形三边的延长线上xyz z y c a b xcb a c a b y z x a c b 证明：（1）必要性，即若、三点共线，则xyz1 cxbzay xbza yc 设、到直线的距离分别为、则abcxyzabc ，、，三式相乘即得 cxc xbb bzb zaa aya ycc 1 cxbzayc b a xbza ycb a c （2）充分性，即若，则、三点共线1 cxbzay xbza yc xyz 设直线交于，由已证必要性得：xzac y 1 cxbzay xbza y c 又因为，所以1 cxbzay xbza yc ayay y cyc 因为和或同在线段上，或同在边的延长线上，并且能分得比值相等，所以和 y yacac y 比重合为一点，也就是、三点共线yxyz 梅涅劳斯定理的应用，一是求共线线段的笔，即在、三个比中，已知其中两个 cx xb bz za ay yc 可以求得第三个二是证明三点共线 （2）塞瓦定理 连结三角形一个顶点和对边上一点的线段叫做这个三角形的一条塞瓦线塞瓦（ggevo1647- 1734）是意大利数学家兼水利工程师他在 1678 年发表了一个著名的定理，后世以他的名字来 命名，叫做塞瓦定理 塞瓦定理：从abc的每个顶点出发作一条塞瓦线则共点的充axbycz，axbycz， 分必要条件是1 bxcyaz xcyazb p c b z y x cb a 充分性命题：设的三条塞瓦线共点，则必有abcaxbycz，1 bxcyaz xcyazb 必要性命题：设中，是三条塞瓦线，如果，则abcaxbycz，1 bxcyaz xcyazb 三线共点axbycz， 我们先证明充分性命题 如图，设相交于点，过作边的平行线，分别交的延长线于axbycz，pabcbycz， 由平行截割定理，得 bxabcybcazac xcacyaabzbbc ，上面三式两边分别相乘得：bc， 1 bxcyaz xcyazb 我们再证明必要性命题 z z y x p cb a 假设与这两条塞瓦线相交于点，连交于则也是一条过点的axbypcpab z cz p 的塞瓦线根据已证充分性命题，可得，由因为，进而abc1 bxcyaz xcyaz b 1 bxcyaz xcyazb 可得所以，因此所以与重合，从而和重合，于是 azaz z bzb azaz abab azaz z z cz cz 得出共点axbycz， 塞瓦定理在平面几何证题中有着举足轻重的作用第一方面，利用塞瓦定理的必要性可证明三 线共点问题第二方面，当一个三角形有三条塞瓦线共点时，依据塞瓦定理的充分性命题，就可以 得出六条线段比例乘积等于 1 的关系式利用这个关系式可以证明线段之间的比例式或乘积式 三、三、 技巧提炼技巧提炼 本节常见误区有（本节常见误区有（1）相似三角形中对应边及对应角找不准。）相似三角形中对应边及对应角找不准。 （2）在运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似时容易把两边的夹角和其）在运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似时容易把两边的夹角和其 中一边的对角混淆。中一边的对角混淆。 （3）在确定两个三角形相似时由于对应元素的不确定可能会出现多种结论，往往）在确定两个三角形相似时由于对应元素的不确定可能会出现多种结论，往往 考虑问题欠全面，出现漏解现象。考虑问题欠全面，出现漏解现象。 课后作业课后作业 一、选择题一、选择题 1如图所示，在abc 中，debc，若 ad1，db2，则的值为( ) bc de 第 1 题图 abcd 3 2 4 1 3 1 2 1 2如图所示，abc 中 debc，若 addb12，则下列结论中正确的是( ) 第 2 题图 ab 2 1 bc de 2 1 周周周 周周周 abc ade cd 周周周 周周周 abc ade 3 1 周周周 周周周 abc ade 3 1 3如图所示，在abc 中bac90，d 是 bc 中点，aead 交 cb 延长线于 e 点，则下 列结论正确的是( ) 第 3 题图 aaedacbbaebacd cbaeacedaecdac 4如图所示，在abc 中 d 为 ac 边上一点，若dbca，ac3，则 cd6bc 长为( ) 第 4 题图 a1bc2d 2 3 2 5 5若 p 是 rtabc 的斜边 bc 上异于 b，c 的一点，过点 p 作直线截abc，截得的三角形 与原abc 相似，满足这样条件的直线共有( ) a1 条b2 条c3 条d4 条 6如图所示，abc 中若 debc，efab，则下列比例式正