（基础数学专业论文）多圆盘上的hilbert模.pdf

摘要 本文警簧讨论了多麟盘上的h i l b e r t 模，及其相美的t o e p l i t z 分析和几何分 析。 f r e d h o l m 性和f r e d h o l m 指标在经典蜓分析中占据着非零璧鼗鹩地位。在研 究算子组辩，对应静e d h o l m 往窥f r e d h o l m 獾标簸遥过k o 拓u l 甍形放鑫然懿定 义出来。本文的第一部分难要是刻画由两个等距算予组成的算子对的f r e d h o l m 性 和f r e d h o l m 指标。众所周知，亏格算予在n a g y - f o i a s 的膨胀理论中起着基本的俸 爱。裁鼹菇麓孩理论，k 。g u o 骚突了瓣辑h i l b e r t 簇瓣亏搭算子，势发瑗亏掺雾予 抓住了子模臼勺关键信息。本文把解析h i l b e r r 模的亏格算子推广到簿距算子组的情 形。利用亏格算子理论，我们研究了等蹶算子对的e d h o l m 性和f r e d h o l m 指标， 荠发现，等躐冀子对斡f r e d h o l m 性和对应的亏揍算予翦紧性有藿密切的联系。 本质旋觏h i l b e r t 穰怒h i l b e r t 模中重要的一类。对于h a r d y 穰磊产( d 穹获冀 非零子模，容易验证，它们的模结构都鼹由无穷重等躐所诱导，从而不是本质正规 的。于是，问题的焦点是决定它的商模题甭本质正规。r d o u g l a s 提出下列问题，什 么露媛h 2 f 拶 麓一令亵模是本覆歪筑瓣。在d = 2 瓣情撬，r ，d o u g l a s 襄g 。m i s r a 发现日2 ( 曲2 ) 【( 。一埘) 1 怒本质正规的，而日2 ( d 2 ) 【胡不是，这些都是齐次商模。 本文完全刻厩了齐次商模的本质正规性。我们发现，齐次商模的本质正规性和子模 瓣零簇以及双圆盘鲍足键绫褥套羞密切的联系。其绥莱黻及研究方法竞全不弱予 单位球上h i l b e r t 模的研巍。 关键词；亏格算子，f r e d h o l m 指标，h i l b e r t 模，本质正规，多嘲盘，拟齐次多 项式，k 弱调。 孛图分类号：0 1 7 7 1 i l l a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yd e a l sw i t ht h eh i l b e r tm o d u l eo v e rt h ep o l y d i s c i nt h ep a s td e c a d e s ，t h ec o n c e p to fh i l b e r tm o d u l ew a si n t r o d u c e db yr d o u g l a s a n dv ，p a n l s e n 。t h ea i mi st oi n t r o d u c et h ea l g e b r a i cm a c h i n et oo p e r a t o r t h e o r y i n m o s tc a s e s ，ah i l b e r tm o d u l ehi sa na c t i o no ft h ep o l y n o m i a lr i n gc z l ，z d jo n t h eh i l b e r ts p a c e 日i n d u c e db yad - t u p l eo fc o m m u t i n go p e r a t o r s ( n ，正，妁) ， t h a t i s p t 霉一痰噩，蠢) 髫爹c z l ，忽善鼹 i nt h ec l a s s i c a lo p e r a t o rt h e o r y , t h ef r e d h o l mt h e o r yi so n eo ft h em o s tb e a u t i f u l t h e o r y , a n dt h ef r e d h o h ni n d e xi so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ti n v a x i a n t s an a t u r a l w a yt od e f i n et h ef r e d h o l m n e s so f8d - t u p l e ，b yu s i n gt h ek o s z u lc o m p l e x ，i sd u e t oj t a y l o r s o h o wt oc h a r a c t e r i z et h ef r e d h o l m n e s so fad t u p l e ? ap a r to fo u r r e s e 甜c hi sc h a r a c t e r i z i n gt h ef r e d h o l n m e s so fa ni s o m e t r i cp a i rb yt h es o - c a l l e d d e f e c to p e r a t o r 强8d e f e c to p e r a t o ro f8c o n t r a c t i v eo p e r a t o rc o m e sf r o m 拍e d i l a t i o nt h e o r yo fs z 。n a g ya n dc f o i a s ，a n di ti sg e n e r a l i z e db yk g u ot ot h em u l t i v a r i a b l eo p e r a t o rt h e o r yb yu s i n gt h er e p r o d u c i n gk e r n e lt h e o r y g u o 】i ti sp r o v e d t h a t ，t h ed e f e c to p e r a t o ro fas u b m o d u l eo fh 2 ( d d ) c a r r i e 8k e yi n f o r m a t i o no ft h e s u b m o d u l e i n s p i r e db yt h i s w ed e 蠡n et h ed e f e c to p e r a t o ro f 黼i s o m e t r i cp a i r t = ( 五，羁) b y a t = 1 一丑冀一乃巧+ 丑妁咒写 w ef i n dt h a tt h ef r e d h o k m n e 熔so fa r ti s o m e t r i cp a i rc a nb ed e d u c e df r o mt h ec o m - p a c t n e s so ft h ea s s o c i a t e dd e f e c to p e r a t o r s o w ew a n tt oc h a r a c t e r i z et h ec o m p a c t n e s so ft h ed e f e c to p e r a t o rf o rs o m e s p e c i a li s o m e t r i cp a i r s u c h8 8t o e p l i t zp a i rw i t ht h ei n n e rs y m b d so ub o t ht h e h a r d ys p a c e s 丑2 ( d ) a n dh 2 ( d 2 xi nt h ec a s eo fh 2 ( 静) ，w ef i n dt h a tt h ee o m p a c t n e s s o ft h ei n n e rt o e p l i t zp a i ri sc l o s e l yr e l a t e dw i t ht h ec l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r y ： f o r 臻，抛b et w oi n n e rf u n c t i o n si nh 2 ( d ) ，t 一( 蜀l ，了k ) i sa ni s o m e t r i cp a i r o nh 2 ( 蚕) t h e na ti sc o m p a c ti fa n do n l yi fh 。臻l lnh 。睡】ch 。+ c t h i s 麓戈摘要 v i se x a c tt h ea x l e r - c h a n g - s a r a s o n - v o l b e r gc o n d i t i o nf o rt h es e m i c o m m u t a t o ro ft w o t o e p l i t zo p e r a t o rt ob ec o m p a c t + h o w e v e r ，i nt h ec a s eo f 舻( d 2 ) ，t h ec o m p a c t n e s so ft h ed e f e c to p e r a t o ro fa l l i n n e rt o e p l i t zp a i ra p p e a r so n l yi nt h et r i v i a le a s e ： f o r ”l ，啦b et w oi n n e rf l m c t i o n si nh 2 ( 舻) ，t = ( 7 k ，2 ) i sa ni s o m e t r i c p a i ro nh 2 ( d 2 ) ，t h e na ti sc o m p a c ti fa n do n l yi fz h = b l ( z ) ，搬一岛) o r 壤= s i ( w ) ，啦= 最z ) ，w 魏娃e 最9 x ef i n i t eb l a s c h k ep r o d u c t s 饿eo t h e rp a r to fo u rr e s e a r c hf o c u s e so nt h ee s s e n t i a ln o r m a l i t yo fq u o t i e n t m o d u l eo v e rt h eb i 出s k e s s e n t i a l l yn o r m a lh i l b e r tm o d u l e sa r ev e r yi m p o r t a n ti n t h ec a t e g o r yo fh i l b e r tm o d u l e sb e c a u o fb d f - t h c o r y i ti se a s yt os e et h a t ， h a r d ym o d u l eh 2 ( 皿2 ) a n di t sn o n z e r os u b m o d u l e sa r ea l ld e f i n e db yap a i ro fi s c - m e t r i co p e r a t o r so fi n f i n i t em u l t i p l i c i t y , s ot h e ya r en o te s s e n t i a l l yn o r m a l 。h o w e v e r ， r ，d o u g l a sa n dg ，m i s r as h o w e dt h a ts o m eo ft h eq u o t i e n tm o d u l e se r ee s s e n t i a l l y n o r m a l ，a n ds o m eo ft h e ma r en o t t h e nr d o u g l a sa s k e d ，w h e ni saq u o t i e n tm o d l l l e o f 日2 ( 彬) e s s e n t i a l l yn o r m a l ? w em a i n l yc o n c e n t r a t eo nt h eh o m o g e n o u sq u o t i e n t m o d u l eo fh 2 ( d 2 ) i nt h es e c o n dp a r to ft h i st h e s i s ，w ec o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z et h e e s s e n t i a ln o r m a l i t yo ft h eh o m o g e n o u sq u o t i e n tm o d u l eo v e rt h eb i d i s k ， k e y w o r d s ：d e f e c to p e r a t o r ，f r e d h o l mi n d e x ，h i b e r tm o d u l e ，e s s e n t i a l l yn o r m a l ，p o l y d i s c ，q u a s i h o m o g e n o u sp o l y n o m i a l ，k h o m o l o g y c l a s s i f i c a t i o nc o d e ：0 1 7 7 1 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下避行的研究工作及取得的研究成梁。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作考签名；堑燧握一 f j 期： ! 三81 1 1 一 论文使用授权声睨 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学赢论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借测；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：翅鲍埤 导师签名日期：塑! ：! 墨：堡 引言 在近代数学发展过程中，数学的各个分支，各个对象之间的相互交融相互激发 是其中的主旋律。算子理论和算子代数也不例外，人们尝试着将代数、几何、拓扑 等工具引入到其研究中，并尝试从一个新的观点理解代数、几何、拓扑等学科中的 现象和矛盾。 在多元算子理论的研究中，结合代数、几何、分析的方法，r d o u g l a s 和 v p a u l s e n 发展了h i l b e r t 模的理论。简单的说，如果日是一个h i l b e r t 空间，t = ( 乃，乃) 是一个两两交换的算子组，则日可以赋予多项式环c z 1 ) 一，幻】上的 模结构： p h = p ( 乃，乃) ，v p c z l ，z d ，h h 此时，日可以看作c z l j 一，幻1 上的h i l b e r t 模，称丑，乃为日的坐标算子。 常见的解析h i l b e r t 空间，如h a r d y 空间、b e r g m a n 空间都可以看作c z l ，z d 】 上的h i l b e r t 模，其中坐标算子组就是坐标函数的乘法算子组。 h i l b e r t 模的分类问题是h i l b e r t 模理论中最重要的课题之一。局部化的方法 是对h i l b e r t 模分类的最初的有效方法之- - a c d ，c d i ，c d 2 ，d m l ，d m 2 ，d m 4 ， d m 5 ，d y k l ，d m v i ，d m v 2 ，d p ，d p s y ，y a h l ，y a n 2 。后来，k g u o 提出并系统 的发展了特征空间理论，并使用特征空间理论解决了多项式生成的子模的分类问 题c g ，g u 0 3 ，g u 0 4 ，g u 0 5 ，g u 0 7 1 。 本质正规h i l b e r t 模在h i l b e r t 模的研究中占有重要的地位。设日是一个 h i l b e r t 模，如果对任意l ，j ，换位田，乃】都是紧算子，那么称日是一个本质正规 的h i l b e r t 模。由p u t n a m - f u g l e d e 定理，h i l b e r t 模日是本质正规的当且仅当它所 有的坐标算子都是本质正规的。复平面上有界开区域上的h a r d y 模、b e r g m a n 模 都是本质正规的。容易验证，双圆盘上h a r d y 模日2 ( d 2 ) 不是本质正规的。已知的 结果表明，在高维情况下，解析h i l b e r t 模的本质正规性和潜在区域的几何有着密 切的联系。 本质正规h i l b e r t 模的重要性来自于b d f 理论。y o nn e m n a n n - w e y l 定理说 明 n e u ，w e y l ，在紧绕动的意义下，自伴算子由它的本质谱唯一决定。受这个定 理的激发，l b r o w n r d o u g l a s 和p f i l l m o r e 希望找到本质正规算子在本质酉等 引言 2 价意义下的完全不变量。算子zs 称为本质酉等价的，如果存在酉算子矿使得 u s u 一t 是紧算子。结合代数拓扑的方法，l b r o w n ，r d o u g l a s 和p f i l l m o r e 发 展了代数的扩张理论一一现在被称为b d f 理论 b d f i ，b d f 2 ，d o u l l 。使用 b d f 理论，他们完全刻画了本质正规算予的本质酉等价。 定理0 0 1 设zs 是h i l b e r t 空间日上的两个本质正规算子，则t 和s 本 质酉等价当且仅当以( t ) = 以( s ) ，并且，对任意a 隹a e c t ) ， i n d e x ( a 一刃= i n d e x ( a s ) 虽然这个定理后来被i b e r g 和k d a v i d s o n 用纯粹算子理论的方法证明【b d a 】， 但是b d f 理论在算子理论、算子代数的发展中起着重要的作用。 现在，我们来简单的回忆一下b d f 理论。设x 是一个紧度量空间，记c ( x ) 是其上的连续函数全体。( e ，丌) 称为c ( x ) 对瓦的一个扩张，如果存在下面的短正 合列 o 一_ e 二c ( x ) 一o ， 其中赶是可分h i l b e r t 空间日上的紧算子理想，e 是包含的一个本质交换驴一 代数。扩张( e l ，丌1 ) 和( e 2 ， i f 2 ) 称为等价的，如果下图交换 0 - - - 9 一日马c ( x ) 一0 0掣| l 0 - - - - ) 丘一而马c ( x ) 一0 令e x t ( x ) 表示c ( x ) 对彪扩张的等价类的全体。l b r o w n ，r d o u g l a s 和 p f i l l m o r e 证明了e x t ( x ) 是一个加法群，并且它是同伦不变的，是空间x 的 一个基本的拓扑不变量。他们的结果表明e x t ( x ) 与a t i y a h a t i 】定义的k 一同调等 价，e z t ( x 1 是利用本质交换的g + 代数对x 的k 同调的一个具体实现。 对h i l b e r t 模日，定义其本质谱o e ( h ) 为坐标算子组( 五，乃) 的本质 谱 t a l l ，它是h i l b e r t 模的一个不变量。如果日是本质正规的，则有下面的正合 列： o 一瓦一矿( 日) + 一e ( 以( 日) ) 一。 其中，c ( 日) 是由恒等算子，和五，乃生成的一代数。设日是一个解析 h i l b e r t 模，m 是它的一个子模，n = h m 为对应的商模，在很多情况下，的 g i 言3 本质谱魏是新的零簇。期莱还是本质正娩的，郝么莉掰b d f 理沦，我们就及 舞子代数的角度褥到了子援蟛黪零簇上魄一个拓扑蚕变量。 于煨，问题的焦点就怒刻画一个h i l b e r t 模的本质正规性。对单位球b d 上的 瓣辑h i l b e r t 穰，w a r y e s o n 和r d o u g l a s 猜溯，它稻静掰有齐次子模都是零震正 规的d 心4 ，a r 6 ，d o u 3 。之后，这个猜测弓f 起了很多卿行的关注j a r 4 ，a r 6 ，a t 7 ，a r 8 ， d o u 3 ，d o u 4 ，g u o l ，g w k l ，g w k 2 ，g d l 。 毽跫，多霪圜擞襄攀像球熬a 霹结擒穗去甚远，生长凌其上戆磐爨h i l b e r t 模 的性质也大不一样。容易验证日2 ( d d ) 和它的非零予模都怒由无穷重等距定义的， 袄而它们都不是本矮正规的。阐题就转亿为翔画裔模的本质芷瓶佳。r d o u g l a s 戴提出下嚣的闯题 d o u 2 如燃袤4 画舻f ) 的蔻摸的本质旋规性? 当d = 2 时，r d o u g l a s 和g + m i s r a 发现2 ( d 2 ) 【( z 一叫) 2 】怒本质正规的，日2 ( d 2 ) 妒】不 燕，这篓都是齐次静簿嚣。在本文孛，我们完全裁磴7 髫2 f 转2 ) 瀚齐次蕊攘熬本质 派规性。同时发现，商模的本质正规性和子模的零簇以及双圆盘的几何商着密切的 联系。这和单位球上的h i i b e r t 模的结果和方法完全不同。 零文熬雯努一邦分圭雾碜 交了等鼹算子缀熬f r e d h o l m 性以及朝驻懿亏掺雾 予。亏格算子在s z n a g y 和c f o i a s 的膨胀理论中起着基本的作用。利用再生核 理论，k g u o 研究了解祈h i i b e r t 模的亏格算子 g u 0 2 1 ，并发现亏格辣子抓住了 娃l l b 醮摸懿关键痿患。本文恕髂蛎h i l b e r t 模的亏掺算予桎广到了等鞭算予缎数 情况。在两个蹲距算予组成的算予对时，我们证明了亏格算子的紧性蕴禽着算予对 豹f r e d h o l m 往，t 一( t 1 ，妈) 静f r e d h o l m 指标为 i n d e x t d i m k e r ( a t + i ) 一d i m k e r ( a t 一习 箕中，t 是的亏格算予。 对h a r d y 空间上特殊的等躐簿子j c 重，我们还研究了它瞧亏揍算子的紧性。对 盯2 ( d ) 上具有内函数符号的，i b e p l i t z 对，我们发现，亏格算子的紧性与经典的函数 沦有萋密切熬联系。对h 2 f 舻) 上兵舂内西羧簿号赘w o e p l i t z 对，亏捺篓子豹紧经 只在符母为有限b l a s c h k e 乘积的情况下才会出现。 本文安排如下： 第一章磋突了等距雾予缝黪亏旗篓子。我我谨明了亏楱算予翦紧经蕴含萋等 距算予对的f r e d h o k n l 性。同时，我们还研究了h a r d y 空间上其有内黼数符号的 e p l i t z 对的亏稽算子的紧性。设 7 1 ，啦是纾2 ( d ) 中的两个内函数，t = ( 霸。) 引言4 是点乎( d ) 上的t o e p l i t z 算子对，则r 是紧的当且仅当 嚣。衙t 】n 嚣”阮jc 掰。+ g ( 霹) ， 其中，日”i f 是由焉p 襄，蹩成兹d o u g l a s 代数。 第二章盎要研究了t o e p l i t z 对的f r e d h o l m 性。设目l ，啦怒日2 ( 舻) 中两个连 续内函数，则t ：( ，! ) 怒f r e d h o | m 的当飘仅当 z ( 卵1 ) n z ( 伽) n 脚2 = 仍 第三章主要研究了舻( 抑2 ) 的齐次商横的本质正规性。对h 2 ( 舻) 的一个 子横膨，如榘掰可以由齐次多项式生成，那么称掰是上护圆2 ) 的一个齐次子 模，n = h 2 ( d 2 ) em 是对廒的齐次商模。由于c k 伽是n o e t h e r 环，它所有 的理想j 都是有限生成的。令p = g c d ( z ) 为j 的最大公因子，则f 可以分解 为i = p l ，熊中怒一个有限余维的理想，上述分解也被称为，的b e u r t i n g 形 式 c u 0 5 。因为是衡限余维的，从而蹦ef i 】是有限维空间，所以日2 ( d 2 ) 【明和 h 2 ( 静2 ) 翻冀有相同的本质藏规性。设p 是一个c z ，铘】中一齐次多项式，刚p 可 以分解为 疯z ，埘) = i i ( 瓴z 一最趔) “ 记 p x ( z ，埘) = n ( 吼z - z , w ) “，p 2 ( z ，埘) = ( 则一反叫) i m | - i m ii 蛳l 慨l 奚彗 p = p l 宠，黩1 ) 且， z ( p 1 ) n 细2 c 移，z 渤) n 蚤势2 c ( 瑟笱u ( 蓄x p ) 。 对于齐次商横的本质暇规性，我们有下面的刻域。 定理0 0 2 设p 是c l z ，伽】中的一个非零齐次多项式，如( o ，1 ) 分解p 为 p = 爹l 魏。则窝摸嚣2 ( 舻) 缎是本质蕾规的当藏仅当焱骞下秘彤式之一： ( 1 ) 存在常数c 0 ，使得抛一c ， ( 2 ) 存在常数a ，函满足f o t f 渊使得，抛一o t z + z w ， 引言 5 ( 3 ) 存在常数i o t l 1 ， 1 和c 0 使得，p 2 = c ( z a w ) ( w 一以) 在第四章中，我们主要考虑了拟齐次商模的本质正规链，其结果和齐次的情况 农羞本质的蓑别。 最后，第五章主蒙研究了h 2 ( 舻) 的商模的本质t a y l o r 谱以及其上的k 一同 调。我 f l 涯弱了，当巍模是本霞爰矮对，其诱静静零矮谱上豹k 瀚调楚非平凡静。 部分i 等距算子组和亏格算子 第一章亏格算子 1 1 霹格算予简介 弩格算予静定爻寒塞予爨缭算予熬彩涨瑗论 n 嗣。甏在，我餐默再生孩 理论的角度来理解亏格算予。设d 魑单位圆斑，而2 ( d ) 悬d 上的h a r d y 空 间。b e u r l i n g 定理摆瞧 b e u ，d o u 5 ，珏鹾，嚣2 ( 黏) 空闼熬拄意不变子空溺黎峦内添 数生成。给寇一个内函数叩，则r h 2 ( d ) 显然是一个不炎子空间。现在，给定一个不 变子窆闫掰，我们絮露霉至l 对痤戆内爨数戆痿纛? 下述蕊点来鑫予 g u 0 2 。 设m 为h a r d y 空间点产( 肋) 的一个子模，令甄和髟r 分别表示2 ( 聊和m 的秀燕核，设# 必内灏数，满足m = 肄嚣2 ( 磷。显然秀 p u m q m i 。 从而， p 醚k x ；m n 酝：k k 一t 碣q k k 。 因此 | 2 一币i i p 掰矿k x l l 2 = | | 嘞吼 这里，奴= j 焱删甄l 是标准搬：再生核t 进露，褰易验谖 j i 酬2 = ( 细圆叩) 虬，峨) ( 1 2 ) 现在，设舻是d 重圆盘，上的h a r d y 绽间定义为； 嚣2 ( ) = ，褒拶臻褥强2 一厶弼2 纽 1 的时候，b e u r l i n g 定理对h 2 ( d 4 ) 并不成立【r u l l ，也就憋说，存在 日2 ( d 勺的子模m ，使得不存在内函数目h 2 ( 掘哆满怒m = ”掰2 ( 舻) a 因此，围 绕着灯2 ( d 4 ) 的子模的刻画有着一系列的工作【c g ，d p ，d p s y , d y ，f a l ，g u 0 3 ， g u 0 4 ，g u 0 5 ，g y ，y a l ，y a 2 ，y a 3 ，y a 4 ，y a 昏 7 第一章亏格算子8 然而，穰多个变量的情况下，什么函数扮演着单变量时内函数的角色? 由 1 1 ) ，对于予模掰我们基然躲定义下露豹函数 d f ( a ) 一i l p f 奴慨( 1 3 ) 这堂，瓠是h 2 ( ) 酌正规纯再生孩。类似子( 1 2 ) ，容易验证存在难一的有界线性 算予，记为a m ，满足 d j l f ( = f 甄，j h ) ( 1 4 ) 虫辫u 0 2 ，越予e 2 ( 羚8 ) 翦嚣个子模掰霹，射= 弹当量佼当耐= 。毽麓 是说，亏格算子 f 携带着m 的所有信息。 辩h 2 ( ) 鲍任一予摸膨，令趸= & 翰表拳乘法算挚矗毛卷m 上豹隈 制，则r = ( 您一，r 。) 是作用在m 上的等距算子缀。此时，亏格算予有如下明 确的表达式， a m = ( - 1 ) j 0 1 r r 4 ( 1 5 ) e ，o ) 4 l ，l 这里，对于一多重指标n = ( 0 t l ，口d ) ，r 。一矸1 弼4 。由【c u 0 2 ，_ 】l f 兰0 当 且援当存在内蠡数目h 2 ( d 。) 使褥m = 零上( 嚣 d ) 。 羔2 亏格算子的紧性 嘲于等服算子具有特殊的性质，由等距算子生成的驴。代数也具有比较好 熬毪矮，c ，b e r g e r ，l c o b u m 帮矗l e b o w 就嚣经研究过它静袭示理论和指髹理 论 b c l l ，b c l 2 ，c o b l ，c o b 2 。交换的簿距算予组最典型的模型就是王一( d 4 ) 上嫩 稼函数静乘法箨子组。 设t = ( n ，) 是作用在h i l b e r t 空间的等距算予组，类似于h a r d y 子模， 定义? 豹亏格算子鸯 a t =f( 一1 ) 净r t “扩。 鹣，e ) 8 ( 1 ，1 ) 那么，t 是甭携带着? 的一魑信息? 这一节主要考虑佟耀在h i l b e r t 空润嚣上瓣鑫两个髯子褐成静算予对盼涛况。 对于一个等躐算子对t = ( 噩，) ，由亏格算子的定义， a t = i 一五冒一乃露十矸马霉咒 第一肇亏格算子 9 从而类似于r y a n g y m 对双圆艋上h a r d y 予模的处理，我们有 r 一阿，霸】笛鼍，锡j + 孔f ，肾，锡j 刁，( 1 6 ) 这里融，叠j 一霉筑一霸霉是舞子霉和t 2 靛换彼。注意弱a t 是鑫转豹，遂意 味着 a t 一弘苫，溉k 野，霸】+ 疋社了，b r 霹， 嚣纛， ；= i t ；，姐】f 霹，羁l i t ；，丑】+ 丑辟y ，疋“冀，死l + 冠 因为n ，硒是两个等距算子，所以 阱，列陇，噩】阢，t 1 】= ( 阱，列孵，矧) ( 田，飘】防，矧) 。， 并且 噩阪，矧回，是】写一圆陬，列) 圆雕，噩孵 综含上述推理，我们得至4 下磷的命题。 命题1 2 1 对作用在h i l b e r t 空问h 上的等距算子时t = ( n ，马) ， ( 1 ) t 为有限秩算子当风仅当孵，丑】【写，t 2 】和阮，恐1 同时为有限秩算子， ( 2 ) r 为紧算予当且仅妊盼，矗】i t ；，正】和陬，b 】同时为紧算子。 设t = ( 研，而) 是作用在日上的一对交换的算子，对应于? 的k o s z u l 复形 【e 定义海 0 一h 生h o h 囊h _ 0 。 这里，边缘算予d i ，d 2 分别定义为 d 1 ( 曲= ( 一元f ，研 ) ，如( 1 ， 2 ) = 墨l + 如如，v ，乳2 h 巍然，如盔= 0 。如果 = k e r ( d 1 ) ，- 1 = k e r ( d 2 ) 愿越( d 1 ) ，憋= 琊r 黼( 国 麓瓣必蠢羧维熬，嚣么穆冀子对爹隽f r e d t m l m 熬f c 毽l ，e 拄2 ，惑。l ，税b 这辩， 的n e d h o l m 指标定义为 i n d t = 一d i m 7 - l o 十d i m 州l d i m 州2 第一肇亏格算予 1 0 为了研究亏格算予和算予对之间的关系，我们需要做些必要的准备工作。对 于馋愿在彦太匏等爨雾子对r = ( 噩，韪x 窖爨验逐 一1 墨r 1 对于给定的- 1s 芦s1 ，我们用笋来表示空间k e r ( p j a n ) 。我们将证明下面 的命题。 命题1 2 2 设( 砖，死) 是作用在h 上的等距算子对，则 1 ) 霎= 跏霉n k e r t ；= h e 涵嚣+ 马嚣) ， ( 2 ) 1 ) 一噩( 日。噩日) n t 2 ( h o t l h ) 证明：( 1 ) 显然肖k e r t fnk e r t ； 现在证明k e r t z nk e r 砧2 璺。 设衅，则 0 = ( i 一r k = t f f + 乃( ，一孔日) 露 = 霸霉 + 曩z 一孙譬) 写g 因必譬一曩露) 和g 一霸霉) 都是正交投影算予，故 0 = ( ( ，一t ) ，) = i i t ；1 1 2 十j | ( ，一研耳) ”1 2 = l | 写稠2 手| | ( j 一为露) 耳钏2 。 因此f k e r 霉f l k e r 霹。综上所述，g = k e r 霉n k e r 露= 嚣e ( 墨曩+ 马日) 。 ( 2 ) 注意到( ，一n 耳) 和( ，一孔碍) 为芷交投影，从而 霸( 窟e 弱冒) n 弱( 屋e 嚣h ) = r a n ( r i ( ，一正巧) ) nr a n ( 处( ，一筑写) ) = r a n ( t l ( ，一乃露) 耳) f lr a n ( 妃( ，丑贯) 霹) 又嚣隽算子曩( j 一噩雩) 霉窝爨( j 一是霉) 霉氇是歪交投影，爨越对 薹褰 扩，我们有 一毫= 菇，f ) 畦，一死贯) 剁2 8 如( j 一置露) 露酬2 骶f 一正露刖2 一l 阮( ，一弱写) 耳钏2 ， 第一耄亏捂算子l l 而且0 疋( ，一霸矸) 露酬1 ，i l 噩( ，一死写) 对钏墨i 。因此 卜f i t k i t 2 写) 露钏= l i t 2 ( x 一冗霉) 写硼 这意味着 f 一研( ，一正巧) 卵g = t 2 ( ，一n 耳) 写f 款藤 a a n ( t t ( f 一嚣露) 霉) f 、r a n ( t 2 ( f 一噩霉) 霹) 。 另一方面，k 巍被( 噩( 1 一霸鬈) ) nr 8 n ( 您( ，一墨雩) ) ，存在露芒h 使 得f = 霸( ，一正巧) 柙，也就是说，町= f + 丑为咒叩。因为毒r a n ( t 2 ) ，所以 曩叩r a n ( t 2 ) ，从而有飘吁= t 2 2 n 枷因此， ( ，一嚣霉一琶譬+ 霸羁霉霉楚 一疋巧研( ，一正刀) q 一死露+ 噩噩譬霉= 一 这意味着r a n ( t l ( 1 一奶霹) ) ar a n ( t 2 ( i 一五矸) ) 篓 ”。 口 下面的定理从一个侧面反映了等距算子对与其对应的亏格算予之间的关系。 定理1 2 3 设t 一( 墨，趸) 是锋籁在h 主砖等距算子砖， ( 1 ) 如装亏格算子r 是紧算子，那么t = ( n ，始) 是f r e d h o m c d ， ( 2 j 务蒜算予对t = ( 旌，t 2 ) 是f r e d h o l m 鳇，移么t 戆f r e d h o l m 摆括莺： i n d t = d i m a ( t - n d i ma ( 笋 证朝：( 1 ) ，童【c u l ，定理l 嚣子怼t 是f r e d h o l m 黪当羼仅当雾子，楚 f r e d h o l m 的。这里 扎( 三芸) ， 诧时，i n d t ；i n d t 。魏就，只需 歪戮算子雪是l h e d h o l m l 匏。 因为t 是一个等距簿予对，通过简单的计算可得 鞭= ( 嚣篇罢罢) ，甜，为rj + 羹霹7 f 第一章亏格算子1 2 并且 持一( 赆：) 7 ， 因为i + 丑奶e 霹怒可逆的，并且a t 是紧的，所以 置譬+ 是霉一i + 曩始写霉一a r 是f r e d h o l m 算子。进而，由命题1 2 ，l ( 2 ) ，换位冀子【霉，t 2 】是紧躲。因此算子争于 和行都是n e d h o l m 的，故于是r e d h o l m 的。 ( 2 ) 现袭泼t 一潍，羁) 是f r e d h o l m 算挚。注意到噩黟t 2 零怒筹距算子， 我们有 h 争邓j ( 芸- t 。5 ) = o ) = ( 1 ，蠡) l 霉6 一为玉= 0 ，露l + 羹岛= o = ( l ，0 ) l f l k e r 耳n k e r 露) 由命题1 2 2 ， k e r 一 ( l ，o ) l l 譬 现在断言 d i m k e r = d i m a ( 于- 1 事实上。 蛔慨岛( 乏芸) ( 加， 一 德l ，勘) i n l 十死6 0 ，一贯 l + 曰勃= o ) 一 ( 磊，2 ) l 羹+ 是鑫= o ，趸基一e ，霉= o + 因为正。疋：日毋露一日。盯是一个等距算子，所以k e r 于和( 噩。疋) ( k e r 于) 具 第一耄亏格算子墙 商相同的维数。注意羽 囊念题1 2 2 ( 辨。或) ( 妇刃 = ( 砖l ，怒) l 羹鑫+ t 2 2 一o ，霉l = o ，霉玉= o = ( 以l ，一噩f 1 ) ：f l 盯 n ( 疋包，一噩如) ：如日) 州m l ，乃f 2 ) ：矸= 0 ，霹 l = o ) = 饶一f ) ：f 曩( k e r 霉) q 憝( k e r 譬) d i m k e r 争一d i m ( f ，一，) ：歹 1 = d i m 矗 轴， 扶夏上述叛言成立。霾藏， l 避? 一d i m k e r 堂一d i m 妇雪一盛氆a n d i m a 笋 o 泣记1 设t 一( 噩，t 2 ) 是作用在日上的等距算子对，由定理1 2 3 ( 2 ) 的证明可知， ( 1 ) 爿o = 0 ， ( 2 ) d i ml d i m k e r l b = d i m 2 , ( r - 1 ) = d i m ( 日e 疋日) n 马( e 置盯) l ， ( 3 ) d i m 7 - 2 一d i m k e r t * 一d i m 衅= d i m 片e ( t 1 h + t 2 h ) 。 因此，等距算子对t ； ( 乃，乃) 是f r e d h o l m 的当且仪当 霸( 窟e 藐h ) a t 2 ( h e 墨嚣) 帮够曩嚣+ 忍露) 均必霄隈维空闻。 、 下藤的命题说明，如暴舞子曩彝露是零成交换躲，也就是谈匝，霉】是紧算 予，那么定理1 2 3 ( 1 1 的逆也成立。 命颓1 2 4 对于作用在h 上的等距算子对t = ( 乃，疋) ，假设噩譬一霹妁是 紧算子，如果t = 涵，逐) 是& e d h o l m 戆，鄂么亏络簿予a t 是紧螃。 证明；自予t 一( 噩，是) 是f r e d h o l m 戆，剿壶【c u l ，定理l 堂也是e d h o l m 的，从而由( 1 7 ) ，置矸+ 乃霸是l 舟e d h o l m 。注意到 ( 死玎+ 如霹) r = 孔m ，巧】四+ 妁m ，端】+ 露 第一章亏榱算子1 4 因此亏格算予r 是紧的。 口 下瑟戆攒子滋襞，一般采说，定壤1 2 3 ( 1 ) 豹遂鑫熬并苓黢立。 例1 2 5 设( z ) = 姒1 - - 5 z ? , ，0 l a i 1 ，则s 一( ，) 是作用于h a r d y 空阍蟊2 ( d 2 ) 上秘等距雾子婶蓠为z ( z 1 ) f 1z ( 哟一线由第二章酌定理2 2 2 ， s = ( 冗，2 k ) 是f r e d h o l m 的然而，对应于s 的亏格算子不是紧的。 下面我们旖给 i ；嚣体的试明对感于s 酾亏格雾乎定叉为 a = i 一五夏一墨墨墨焉东 对于a = l ，a 2 ) d 2 ，令髓表示2 ( d 2 ) 在a 处的再生核，并且令圾一麟川地0 表毒在支憝的正规化再生耘容易验证， - 3a 一0 d 2 拜孛，双善0 。现在考虑等式 奴，瓠= ( 1 - 时) ( 1 一l l a 一1 - - 剖a 2 ) ， 并且取a l = 0 ，则( 奴，奴 = 1 一2 0 这说明a 幂是紧算母 口 对于日2 ( d 4 ) 的予模m ，刻画m 什么时候是紧的，进一步，什么时候是 s c h a t t e n - p 类敢；甚至是毒羰获躲都建一些嚣零套意愿瓣阉鼷。在 g u 0 2 中，薹( 。 g u o 研究了什么时候j l f 是肖限秩的，就是所谓的“有限亏格问题”。当然，如果 h 2 ( d d ) em 是有限维窆阀，那么窑荔验证膨是有隈软算子，但是鸯隈亏格瓣予 模却不仅限于有限余维的情形。读者可以参阕f g u 0 2 求了解更进一步的信息。 1 3h a r d y 空间上的亏格算子 这一